• Sonuç bulunamadı

# Burgers denkleminin çözümü için bir yarı-analitik uygulama

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Burgers denkleminin çözümü için bir yarı-analitik uygulama"

Copied!
84
9
0
Daha Fazlasını Göster ( sayfa)

Tam metin

(1)

(2)

### ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

### %ø5<\$5,-\$1\$/ø7ø.8<*8/\$0\$

Derya TÜRK øQ|QhQLYHUVLWHVL Fen Bilimleri Enstitüsü 0DWHPDWLN\$QDELOLP'DOÕ 75 + x sayfa 2005 Tez'DQÕúPDQÕ'Ro'U\$OLg='(ù %XWH]\HGLE|OPGHQROXúPDNWDGÕU BiULQFLE|OPGHEXoDOÕúPDGDPRGHOSUREOHPRODUDNNXOODQÕODQ%XUJHUV GHQNOHPLKDNNÕQGDELOJLYHULOPHNWHGLU øNLQFLE|OPGHNRQX\ODLOJLOLWHPHOWDQÕPODUWHRUHPOHUYH\|QWHPOHUNÕVDFD WDQÕWÕOPDNWDGÕU

Üçüncü bölümde, Methof of Lines  \|QWHPL  DoÕNODQDUDN  ELU  X\JXODPDVÕ \DSÕOPÕúWÕU

Dördüncü bölümde, Burgers denkleminin analitik çözümü verilmektedir. %HúLQFLE|OPEXoDOÕúPDQÕQHVDVÕQÕWHúNLOHGLS burada,OLQHHUOHúWLULOPLú

Burgers denkleminin nümerik çözümleri elde HGLOPLúWLU \$\UÕFD NXOODQÕODQ

\|QWHPOHULQNDUDUOÕOÕNDQDOL]L\DSÕOPÕúWÕU

\$OWÕQFÕE|OP\LQHtezin temelNÕVPÕROXS\|QWHPOHUGHQNOHPHGR÷UXGDQ uygulanDUDNQPHULNo|]POHUHOGHHGLOPLúWLU

Yedinci bölümde, elde edilen VRQXoODUÕQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕYHULOPHNWHGLU \$1\$+7\$5.(/ø0(/(5 Burgers denklemi, Method of Lines, Euler yöntemi, øNLQFL mertebeden ve Dördüncü mertebeden Runge-Kutta yöntemleri, Crank-Nicolson yöntemi, Matris yöntemi.

(3)

M.Sc. Thesis

### FOR SOLUTION OF BURGERS’ EQUATION

Derya TÜRK øQ|Q8QLYHUVLW\

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

75 + x pages 2005

Supervisor : Assoc. Prof. \$OLg='(ù

This thesis consists of seven chapters.

In chapter 1, it is devoted to Burgers’ equation that is used as a model problem in this study.

In chapter 2, it is briefly introduced general concepts, theorem and methods concerning with the subject.

In chapter 3, The Method of Lines is explained and applied to a problem. In chapter 4, analitic soOXWÕRQRI%XUJHUV’ equation is given.

Chapter 5 is the main part of this study in which numerical solutions of Burgers’ equation reduced by the Hopf-Cole transformation are obtained. Also, stability of the methods is investigated.

Chapter 6 is also important part of this thesis. In this chapter, the methods are directly applied to Burgers’ equation.

In chapter 7, it is given the comparison of the obtained numerical solutions.

KEYWORDS: Burgers’ equation, Method of Lines, Euler method, 2. order and 4. order Runge-Kutta methods, Crank-Nicolson method, Matrix method.

(4)

### 7(ù(..h5

Bu WH]LQKD]ÕUODQPDVÕQGDLOJLYHGHVWHNOHEDQD\DUGÕPFÕRODQoRNGH÷HUOL GDQÕúPDQKRFDP'Ro'U\$OLg='(ù¶HVD\ÕQE|OPEDúNDQÕPÕ]3URI'U6DGÕN .(/(ù¶H0DWHPDWLN%|OPKRFDODUÕQDELOJLOHULQGHQID\GDODQGÕ÷ÕP \$Uú. Gör. Dr.

E. Nesligül AKSAN ve g÷U*|UYusuf UÇAR’ a, hem maddi hem de manevi

(5)

### ødø1'(.ø/(5

ÖZET ... iii ABSTRACT ... iv 7(ù(..h5 ... v ødø1'(.ø/(5 ... vi ù(.ø//(5/ø67(6ø ... viii 7\$%/2/\$5/ø67(6ø ... ix BÖLÜM 1 1.1.*ø5øù... 1 BÖLÜM 2 2.1. %ø5  0\$75ø6ø1  g='(ö(5/(5ø  ø/(  ø/*ø/ø  7(0(/  7\$1,0  9( TEOREMLER ... 4 2.2. 7h5(9/(5(621/8)\$5.<\$./\$ù,0/\$5, 5 2.2.1. %LULQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ 5 2.2.2. øNLQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ 6 2.3. %ø5ø1&ø  0(57(%('(1  /ø1((5  '(1./(0/(5  ødø1  1h0(5ø. YÖNTEMLER ……….….. 8 2.3.1. Euler Yöntemi ………...….... 8 2.3.2.øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi ………... 9

2.3.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi ………... 9

2.4. %ø5ø1&ø  0(57(%('(1  /ø1((5  2/0\$<\$1  '(1./(0/(5  ødø1 1h0(5ø.<g17(0/(5«««««««««««««««««« 11 2.4.1. Euler Yöntemi ……….... 11

2.4.2. øNLQFL0HUWHbeden Runge-Kutta Yöntemi ………... 11

2.4.3. Crank-Nicolson Yöntemi ………... 12 2.5. 621/8)\$5.<g17(0/(5øødø1*(1(/.\$5\$5/,/,.\$1\$/ø=ø 2.5.1. Matris Yöntemi ……….. 12 BÖLÜM 3 3.1. M(7+2'2)/,1(6 02/ <g17(0ø««««««««««««« 16 3.2. 02/<g17(0ø1ø1,6,'(1./(0ø1(8<*8/\$10\$6,««««« 16 3.2.1. Euler Yöntemi ……….….... 20 3.2.2. øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi ……….………... 21

3.2.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi………... 22

3.3. ,6,'(1./(0ø1ø1\$1\$/ø7ø.dg=h0h«««««««««««« 22 BÖLÜM 4 4.1. %85*(56'(1./(0ø1ø1\$1\$/ø7ø.dg=h0h……….... 28

(6)

BÖLÜM 5 5.1. /ø1((5/(ù7ø5ø/0øù%85*(56'(1./(0ø1(02/<g17(0ø1ø1 UYGULANMASI ... ………... 33 5.1.1. Euler Yöntemi ……….. 36 5.1.2.øNLQFL0HUWHEHGHQ5unge-Kutta Yöntemi ……….. 39 5.2. 1h0(5ø.<g17(0/(5ø1.\$5\$5/,/,ö,««««««««««« 42 5.2.1.(XOHU<|QWHPLøoLQ.DUDUOÕOÕN\$QDOL]L«««««««««« 42 5.2.2.øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-.XWWD<|QWHPLøoLQ.DUDUOÕOÕN\$QDOL]L .... 44 BÖLÜM 6 6.1. %85*(56'(1./(0ø1ø11h0(5ø.dg=h0h«««««««... 50 6.1.1. Euler Yöntemi ………....………... 51 6.1.2. øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi ………... 55 6.1.3. Crank-Nicolson Yöntemi ………..…... 57 BÖLÜM 7 7.1. 6218d9(.\$5ù,/\$ù7,50\$ ... 61

7.1.1. /LQHHUOHúWLULOPLú%XUJHUV Denkleminin Çözümleri ... 61

7.1.2. Burgers Denkleminin Çözümleri ... 66

KAYNAKLAR ... 73

(7)

### ù(.ø//(5'ø=ø1ø

3.1 h=0.1 ve k=0.001 için t=0.05 zaman DGÕPÕQGD Euler yöntemi ile elde edilen çözümün analitik o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPaVÕ... 27 3.2 h=0.1 ve k=0.001 için t=0.5 zaman DGÕPÕQGD elde edilen nümerik

çözümlerle analitik çözümüQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 27 5.1 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD Euler yöntemi

ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerleNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 38 5.2 h=0.1, v=0.1 ve k=0.0005 için t=0.2 , 0.8 zaman DGÕPODUÕQGD Euler

yöntemi ile elde edilen çözümleriQDQDOLWLNo|]POHUOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 38 5.3 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD ikinci mertebeden

Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle karúÕODúWÕUÕOPDVÕ ………...…... 41

5.4 h=0.1, v=0.1 ve k=0.0005 için t=0.2, 0.8 zaman DGÕPODUÕQGD LNLQFL mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik

çözümlerOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 42

6.1 h=0.01,v=0.1 ve k=0.00005 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD

Euler yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle kDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 54

6.2 h=0.01, v=0.1 ve k=0.00005 için fDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümleri analitik o|]POHUOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 57

6.3 h=0.01, v=0.1 ve k=0.00005 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD  Crank- Nicolson yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 60 7.1 h=0.1, v=0.5 ve k=0.0001 için t ]DPDQDGÕPODUÕQGDNL

nümerik çözümler ile analitik çözüPOHULQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 63 7.2 h=0.01, v=0.09 ve k=0.00001 için t=0.2, 0.4 zaman DGÕPODUÕQGDNL

nümerik o|]POHUOHDQDOLWLNo|]POHULQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 64 7.3 h=0.02, v=0.05 ve k=0.0001 için t ]DPDQDGÕPODUÕQGD elde

edilen nümeriko|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 64 7.4 h=0.02, v=0.009 ve k=0.0001 için t=0.6, 0.9 zaman DGÕPODUÕQGD elde

edilen nümerik çözümlerin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 65 7.5 h=0.02, v=0.005 ve k=0.0001 için t=0.8, ]DPDQDGÕPODUÕQGDHOGH

edilen çözümlerLQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 65 7.6 h=0.1, v=0.7 ve k=0.002 için t=0.8 zaman DGÕPÕQGDNL nümerik çözümler

LOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 70 7.7 h=0.02, v=0.07 ve k=0.0005 için t=0.5 zaman DGÕPÕQGDNLQPHULN

o|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 70

7.8 h=0.01, v=0.01 ve k=0.00005 için t=0.3, 0.5 zaman DGÕPODUÕQGDNL QPHULNo|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 71 7.9 h=0.1, 10 10− = v ve k=0.001 için t=0.1, 0.2, 0.3  ]DPDQ  DGÕPODUÕQGDNL nümerik çözümler ... 71

(8)

### 7\$%/2/\$5'ø=ø1ø

3.1 h=0.1 ve k =0.001 için t =0.01 ]DPDQDGÕPÕQGDNLnümerik çözümlerle analitik çözümün NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ...………... 26

3.2 h=0.02 ve k=0.0001 için t=0.1]DPDQDGÕPÕQGDNL nümerik çözümlerle analitik o|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ……...……...…... 26

5.1 h=0.1 ve v =1 için t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ k GH÷HUOHULDOÕQDUDN Euler \|QWHPLLOHHOGHHGLOHQo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ 37 5.2 v =0.1 ve k =0.00001 için t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN Euler yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümle NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ .………... 37 5.3 h=0.1 ve v =1 için t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGD IDUNOÕ k GH÷HUOHUL DOÕQDUDN

ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin

DQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 40 5.4 v =0.1 ve k =0.00001 için t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitiko|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 41 6.1 h=0.1, v=1 ve k=LoLQIDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD(XOHU\|QWHPLLOH

elde edilen çözümlerin analitiko|]POHUOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 53 6.2 v =1 ve k =0.00001 için t = 0.01]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN Euler yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik

o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 54 6.3 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD ikinci mertebeden

Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle kDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 56 6.4 v =1 ve k =0.00001 için t = 0.01]DPDQDGÕPÕQGD IDUNOÕhGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitiko|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 56 6.5 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için  IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD Crank-Nicolson

yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 59 6.6 v =1 ve k =0.00001 için t = 0.01]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕh GH÷HUOHUL

DOÕQDUDN Crank-Nicolson yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 59 7.1 h=0.01, v=0.5 ve k=0.00002 için t=0. 2 ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen

nümerik çözümler ile analitik çözümün kaUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 62 7.2 h=0.01, v=0.1 ve k=0.00005 için t=0.3 ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen

nPHULNo|]POHULOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 62

7.3 h=0.02, v=0.01 ve k=0.0001 için t=0.8 ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen QPHULNo|]POHULOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 63

7.4 h=0.01, v=0.5 ve k =0.00001 için t=   ]DPDQ DGÕPÕQGD elde edilen QPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 66

7.5 h=0.01, v =0.1 ve k =0.00001 için t =   ]DPDQ DGÕPÕQGD HOGH edilen nümerik çözümlerin anDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 67

7.6 h=0.01, v =0.05 ve k =0.00002 için t = 0.6 zaman DGÕPÕQGD elde HGLOHQQPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 67 7.7 h=0.01, v =0.01 ve k =0.00005 için t =1 ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen

QPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 68 7.8 h=0.01, v =0.005 ve k =0.00001 için t =0.8 zaman DGÕPÕQGD elde edilen

(9)

7.9 h=0.01, k=0.00005 ve t=0.3 için IDUNOÕ viskosite GH÷HUOHULLOHHOGH edilen nümerik çözümler ... 69 7.10 h=0.01, v=0.05 ve k=0.00001 için t=0.1 zaman DGÕPÕQGD  HOGH  HGLOHQ

(10)

### BÖLÜM 1

*ø5øù

Bir boyutlu Burgers denklemi,

2 2 x U v x U U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ úHNOLQGHGLU%XUDGDv >0NLQHPDWLNYLVNRVLWHNDWVD\ÕVÕGÕU %XUJHUVGHQNOHPLJD]GLQDPL÷LWUEODQV NDUÕúÕNDNÕúNDQDNÕúÕ YHúRN dalgalar tHRULVL  JLEL oR÷X IL]LNVHO ROD\ÕQ PDWHPDWLNVHO PRGHOL RODUDN J|UOU 7UEODQVÕ PRGHOOH\HQ YH WDP o|]P DúÕUÕ GHUHFHGH ]RU RODQ 1DYLHU-Stokes GHQNOHPL\OH%XUJHUVGHQNOHPLOLQHHUROPD\DQWHULPOHULQLQúHNOLYHNoNNDWVD\ÕOÕ yüksek mertebeli türevlHULQ úHNOL D\QÕ  ROGX÷XQGDQ EHQ]HUGLUOHU %X EHQ]HUOLNWHQ GROD\Õ %XUJHUV  GHQNOHPL VÕN  VÕN  WUEODQVÕ LoHUHQ  VÕYÕ  GLQDPLN  SUREOHPOHULQL o|]PHGHPDWHPDWLNVHOPRGHORODUDNNXOODQÕOÕU

%DúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕQÕQGH÷LúLNVHoLPLLoLQ%XUJers denklemi, analitik olarak çözülebilen bir kaç lineer olmayan denklemden birisidir. 1950’ de Cole [1], ELUG|QúP\DUGÕPÕ\ODEXGHQNOHPLOLQHHUGLI]\RQGHQNOHPLQHG|QúWUGYH NH\ILELUEDúODQJÕoúDUWÕLoLQWDPRODUDNo|]G\$QFDNRe =1vúHNOLQGHNLE\N

5H\QROG  VD\ÕODUÕ  LoLQ  DQDOLWLN  o|]P  \HWHUVL]  NDOPDNWDGÕU dQN  GHQNOHP YLVNRVLWHQLQ  oHúLWOL  VHoLPOHUL  LoLQ SDUDEROLN  \D  GD  KLSHUEROLN  |]HOOLNOHU gösterebilmektedir. Bu yüzden pek çok yazar Burgers denklemini çözmek için, VRQOXIDUNODUVRQOXHOHPDQODUVÕQÕUHOHPDQPHWRGXYDU\DV\RQHO\|QWHPOHUJLEL nümerik yöntemler önerdiler.

(9DUR÷OXYH:')LQQ>@D÷ÕUOÕNOÕNDODQIRUPODV\RQXQDGD\DQDQELU sonlu eleman metodunu, J &DOGZHOO  YG >@ KHU VDIKDGD |QFHNL DGÕPODUGDQELOJLOHU NXOODQDUDN HOHPDQODUÕQ  E\NONOHULQL  GH÷LúWLUHQ  VRQOX  HOHPDQ  PHWRGXQX + 1JX\HQYH-5H\QHQ>@5H\QROGVD\ÕVÕQÕQE\NGH÷HUOHULLoLQVRQOXHOHPDQ metodunun en küçük kaUHOHU  ]D\ÕI  IRUPODV\RQXQX  NXOODQGÕODU 3 -DPHW YH 5 Bonnerot [5] Burgers denklemini isoparametrik rectangular konum-zaman sonlu HOHPDQPHWRGXQXNXOODQDUDNo|]GOHU)DNDWEX\|QWHPVÕQÕUNDWPDQÕE|OJHVLQGHNL QPHULNo|]PLoLQDúÕUÕVD\ÕGDNRQXPVDOJULGQRNWDVÕQDLKWL\DoGX\GX7g]Lú

(11)

o|]POHULWDPo|]POHUOHNDUúÕODúWÕUGÕODU\$'R÷DQ>@YLVNRVLWHGH÷HUOHULQLQE\N bir cümlHVLLoLQ\NVHNGR÷UXOXNWDo|]PHVDKLS*DOHUNLQVRQOXHOHPDQPHWRGXQX NXOODQGÕYHEXPHWRGXQGDKD|QFHNLPHWRWODUÕQoR÷XQGDQGDKDL\LVRQXoYHUGL÷LQL gösterdi.

K. Kakuda  YH 1 7RVDND >@ JHQHOOHúWLULOPLú  VÕQÕU  HOHPDQ  PHWRGXQX '- (YDQVYH\$5\$EGXOODK>@JUXSDoÕNVRQOXIDUNPHWRGXQXNXOODQGÕODU6.XWOXD\ YG>@LVH\NVHNGR÷UXOXNWDQPHULNo|]POHUHOGHHWPHNLoLQ%XUJHUVEHQ]HUL denklemlere tam-DoÕNVRQOXIDUNPHWRGXQX|QHUGLOHU\$5%DKDGÕUYH06D÷ODP >@VRQOXIDUNYHVÕQÕUHOHPDQ\DNODúÕPODUÕQÕQNXOODQÕOGÕ÷ÕELUPHWRWODGHQNOHPL çözdüler.

(% /LQ  YH  ; =KRX >@ NÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPOHULQ o|]P LoLQ Burgers denklemini örnek alarak Galerkin metodu ve sonlu fark metodunu ELUOHúWLUHQ\DUÕ-NDSDOÕ]DPDQÕD\UÕúWÕUPDPHWRGXQXNXOODQGÕODU6\$EEDVEDQG\YH M.T. Darvishi [13], Burgers denklemini Hopf-&ROHEHQ]HULKHUKDQJLELUG|QúP NXOODQPDGDQ OLQHHUOHúWLUPHGHQ ]DPDQÕD\UÕúWÕUPDPHWRGX]HULQHNXUXOan modife HGLOPLú\$GRPLDQD\UÕúÕPPHWRGX\ODGLUHNWRODUDNo|]GOHU7g]LúYH\$g]GHú >@ GHQNOHPLQ VHUL IRUPXQGDNL \DNODúÕN  o|]PQ HOGH HGHELOPHN LoLQ bir direkt YDU\DV\RQHO  PHWRG  NXOODQGÕODU (1 \$NVDQ  YH  \$ g]GHú >@ ]DPDQÕ  D\UÕúWÕUma metodunu temel alan bir varyasyonel metodla denklemi çözdüler. Viskositenin IDUNOÕGH÷HUOHULLoLQEX\ROODEXOGXNODUÕQPHULNo|]POHULWDPo|]POHNDUúÕODúWÕUGÕODU YH  EXQODUÕQ  ELUELUL  LOH X\XPOX ROGX÷XQX J|VWHUGLOHU (1 \$NVDQ >@  GHQNOHme ]DPDQÕQD\UÕúWÕUÕOPDVÕQDGD\DQDQ*DOHUNLQVRQOXHOHPDQPHWRGXQXX\JXODGÕ

Burgers denkleminin çözümünde, nümerik tekniklerle beraber Spline ve B-VSOLQHIRQNVL\RQODUÕGDNXOODQÕOPDNWDGÕUgUQH÷LQ6.XWOXD\YG>@X\JXQEDúODQJÕo ve sÕQÕU úDUWÕQD VDKLS ELU ER\XWOX %XUJHUV EHQ]HUL GHQNOHPOHULQ QPHULN o|]POHULQL hesaplamak için en küçük kareler kuadratik B-spline sonlu eleman metodunu WDQÕWWÕODU 7 g]Lú YG >@ *DOHUNLQ  NXDGUDWLN   %-spline sonlu eleman metodunu kullanarak, Hopf-&ROH G|QúP \DUGÕPÕ\OD LQGLUJHQHQ  ELU ER\XWOX  %XUJHUV GHQNOHPLQLQ  \DNODúÕN  o|]POHULQL  EXOGXODU , 'D÷ YG >@ GHQNOHPGHNL OLQHHU ROPD\DQWHULPLOLQHHUOHúWLUHQELUNELN%-VSOLQHG]HQOHPH\|QWHPLQLNXOODQGÕODU

6RQ  \ÕOODUGD  LVH  oRN E\N 5H\QROG VD\ÕODUÕ LoHUHQ %XUJHUV GHQNOHPLQL o|]PHGH\HQLPHWRWODU|QHULOGL7g]LúYH<\$VODQ>@5H\QROGVD\ÕVÕQÕQPPNQ RODQ  EWQ \NVHN  GH÷HUOHUL  LoLQ  GHQNOHPL SHUWXUEDV\RQ  WHNQL÷LQL    NXOODQDUDN

(12)

çözdüler. M.B. Abd-el-Malek ve S.M.A. El-0DQVL >@ \DNODúÕN EDúODQJÕo YH VÕQÕU úDUWOÕ Burgers denklemini çözmek için grup-NXUDPVDOPHWRWODUÕNXOODQGÕODU

<R÷XQ  oDOÕúPDODUD  UD÷PHQ OLQHHU ROPD\DQ UUx WHULPLQLQ  úRN GDOJDODUD

J|WUG÷ E\N 5H\QROG VD\ÕODUÕQGD %XUJHUV GHQNOHPLQLQ o|]P KDOD |QHPLQL NRUXPDNWDGÕU

%L] EX oDOÕúPDGD KHP  %XUJHUV  GHQNOHPLQH KHP GH +RSI-&ROH G|QúP \DUGÕPÕ\ODOLQHHUOHúWLULOPLú%XUJHUVGHQNOHPLQH0HWKRGRI/LQHV 02/ ¶ÕX\JXODGÕN Bu yolla elde edilen adi türevli denklem sistemini ise Euler, ikinci mertebeden Runge-Kutta ve Crank-Nicolsan yöntemleri gibi nümerik yöntemlerle çözerek tam o|]POHNDUúÕODúWÕUGÕN

(13)

### BÖLÜM 2

%X  NÕVÕPGD  oDOÕúPDPÕ]GD  NXOODQDFD÷ÕPÕ]  ED]Õ  WHPHO  WDQÕm, teorem ve \|QWHPOHUNÕVDFDWDQÕWÕODFDNWÕU   %ø5  0\$75ø6ø1  g='(ö(5/(5ø  ø/(  ø/*ø/ø  7\$1,0  9( TEOREMLER 2.1.1. 7DQÕP n n IR A ∈ ve λIR olmak üzere,

A In

### )

P λ = det λ

RODUDNWDQÕPODQDQ P polinomuna A matrisinin karakteristik polinomu denir [22].

2.1.2. 7DQÕP n

n IR

A ∈ matrisinin karakteristik polinomu P ise P polinomunun köklerine A matrisinin NDUDNWHULVWLNGH÷HUOHULYH\D|]GH÷HUOHUL denir [22].

7DQÕP n

n IR

A ∈ matrisinin λi (i=1,2,3,…,n |]GH÷HUOHULLoLQ

A−λiIn

### )

x=0

HúLWOL÷LQL  VD÷OD\DQ  VÕIÕUGDQ  IDUNOÕ  ELU  n IR

x ∈ vektörüne A matrisinin λi

|]GH÷HUOHULQHNDUúÕOÕNJHOHQkarakteristik vektörü veya özvektörü denir [22]. 2.1.4. Teorem ( 2. Gerschgorin veya Brauer Teoremi) : Bir A

### [ ]

aij n n

×

= karesel

matrisinin ass N|úHJHQ HOHPDQÕ KDULo  s VDWÕUGD EXOXQDQ  HOHPDQODUÕQ  PRGOOHUL

WRSODPÕPs olsun. Bu takdirde A¶QÕQKHUELU|]GH÷HUL

çemberlerinin en az birinin içinde veya üzerinde bulunur [23].

s ss P

a

(14)

2.2. TÜRE9/(5(621/8)\$5.<\$./\$ù,0/\$5,

%LULQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ

xt

### )

U , fonksiyonu GH÷LúNHQOHULQHJ|UH\HWHULQFHWUHYOHQHELOen bir fonksiyon olsun. U

x+h,t

ve U

xh,t

### )

IRQNVL\RQODUÕQÕQx QRNWDVÕFLYDUÕQGDNL7D\ORU VHULDoÕOÕPODUÕ

,

,

### )

1! 2! 3! 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + x U h x U h x U h t x U t h x U (2.1)

,

,

### )

1! 2! 3! 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − x U h x U h x U h t x U t h x U (2.2) GÕU  YH  ¶GHQU ∂xWUHYLoHNLOLUVHVÕUDVÕ\OD

### )

... ! 3 ! 2 , , 3 3 2 2 2 − ∂ ∂ − ∂ ∂ − − + = ∂ ∂ x U h x U h h t x U t h x U x U (2.3)

### )

... ! 3 ! 2 , , 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + − − = ∂ ∂ x U h x U h h t h x U t x U x U (2.4) \D]ÕOÕU  ¶GHQ  oÕNDUWÕOÕUYHU ∂xWUHYL\DOQÕ]EÕUDNÕOÕUVD

### )

... 6 2 , , 3 3 2 − ∂ ∂ − − − + = ∂ ∂ x U h h t h x U t h x U x U (2.5)

bulunur. Bulunan bu (2.3), (2.4) ve (2.5) denklemlerinden U

x,t

### )

fonksiyonunun

xFLYDUÕQGDNLELULQFLPHUWHEHGHQWUHY\DNODúÕPODUÕ

### ( )

h O h t x U t h x U x U + − + = ∂ ∂ , , ³øOHULIDUN´ 

x,t

U

x h,t

### )

O(h) U U “ Geri fark ” (2.7)

(15)

### )

( ) 2 , , O h2 h t h x U t h x U x U + − − + = ∂ ∂ “ Merkezi fark ” (2.8)

olarak elde edilir. Burada “O ” sonsuz terimli bir ifadenin sonlu terimine kadar DOÕQGÕ÷ÕQÕO(h) terimi ise h→0LNHQROXúDFDNKDWDQÕQhLOHRUDQWÕOÕROGX÷XQX gösterir [24]. øNLQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ 2 2 x U ∂ ∂ LNLQFLPHUWHEHGHQWUHY\DNODúÕPÕQÕEXOPDNLoLQU

x+2h,t

ve

x ht

### )

U 2 ,   IRQNVL\RQODUÕQÕQ  x  FLYDUÕQGDNL  7D\ORU  VHUL  DoÕOÕPODUÕQÕ  J|] |QQH

DODOÕP%XDoÕOÕPODUVÕUDVÕ\OD

2 ,

,

### )

2 42 86 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + x U h x U h x U h t x U t h x U (2.9)

2 ,

,

### )

2 42 86 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − x U h x U h x U h t x U t h x U (2.10)

GÕU  YH  GHQNOHPOHULQGHQU ∂x yok edilip 2U ∂x2 çekilirse;

,

2

,

2 ,

### )

... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − + + + − = ∂ ∂ x U h h t h x U t h x U t x U x U HOGHHGLOLU%HQ]HUúHNLOGH  YH  GHQNOHPOHULQGHQ

,

2

,

2 ,

### )

... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + − + − − = ∂ ∂ x U h h t h x U t h x U t x U x U

bulunur. (2.1) ve (2.2) denklemlerinden U ∂x yok edilip 2U ∂x2 \DOQÕ] EÕUDNÕOÕUVD

### )

... 12 , , 2 , 4 4 2 2 2 2 + ∂ ∂ − − + − + = ∂ ∂ x U h h t h x U t x U t h x U x U

(16)

bulunur. Böylece,

,

2

,

2 ,

### )

( ) 2 2 2 h O h t h x U t h x U t x U x U + + + + − = ∂ ∂ ³øOHULIDUN´  2

,

2

2,

2 ,

### )

( ) 2 h O h t h x U t h x U t x U x U + − + − − = ∂ ∂ “Geri fark” (2.12) “Merkezi fark” (2.13) WUHY\DNODúÕPODUÕHOGHHGLOLU

Problemin çözüm bölgesinin B=

x,t

### )

:0 xl,t>0, l sonlu

### }

 ROGX÷XQX NDEXOHGHOLP6RQOXIDUN\DNODúÕPÕLoLQo|]m bölgesi; t =k ve x=h =l N olmak üzere xi =ih, tn =nk ( i=0,1,2,…,N , n=0,1,2,… , +

Ζ ∈

N ) koordinat

GR÷UXODUÕ  \DUGÕPÕ\OD  NDIHVOHUH  E|OQU  |\OH NLU

x, t

### )

GH÷LúNHQL  VDGHFH  JULG

QRNWDODUÕQGDGH÷HUDOÕU

Bir P

ih,nk

### )

JULGQRNWDVÕ]HULQGHU ¶QXQGH÷HUL

### )

in in

p U ih nk U U

U =

,

,

gösterimlerinden biri ile ifade edilir.

%X  J|VWHULPOHULQ  NXOODQÕOPDVÕ  YH  KDWDODUÕQ  LKPDO  HGLOPHVL\OH  ELULQFL PHUWHEHGHQWUHYOHULQVRQOXIDUN\DNODúÕPODUÕRODQ    YH  IRUPOOHUL VÕUDVÕ\OD h U U x U in in ≅ ∂ ∂ +1 h U U x U n i n i − −1 ≅ ∂ ∂

,

2

,

,

### )

( 2) 2 2 2 h O h t h x U t x U t h x U x U + − + − + = ∂ ∂

(17)

h U U x U n i n i 2 1 1 − + − ≅ ∂ ∂

ikinci mertebeden türevlerin sRQOXIDUN\DNODúÕPODUÕRODQ(2.11), (2.12) ve (2.13) IRUPOOHULLVHVÕUDVÕ\OD 2 2 1 2 2 2 h U U U x U in in in + + + − ≅ ∂ ∂ 2 2 1 2 2 2 h U U U x U in in in − − + − ≅ ∂ ∂ 2 1 1 2 2 2 h U U U x U in in in − + − + ≅ ∂ ∂ RODUDN\D]ÕOÕU %ø5ø1&ø0(57(%('(1/ø1((5'(1./(0/(5ødø11h0(5ø. YÖNTEMLER

Birinci mertebeden bir lineer adi türevli diferansiyel denklem,

t U

### ( )

t

U =λ (2.14)

úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOLUλU

t = f

### ( )

U denilirse (2.14) denklemi,

t f

### ( )

U

U =

RODUDN\D]ÕOÕU Burada λ, sabitler matrisidir.

2.3.1. Euler Yöntemi

 IRUPXQGDNLELUOLQHHUGHQNOHPH(XOHU\|QWHPLQLQX\JXODQPDVÕ\OD çözümler,

(18)

### ( )

n n n U kf U U +1 = + , n=0,1,2,... ya da n n n U k U U +1= + λ IRUPO\OHKHVDSODQÕU>@ øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi

(2.14) denklemi için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi,

### ( )

n n U kf U U 2 1 * + = olmak üzere,

### ( )

* 1 U kf U Un+ = n+ ile verilir.

Yani çözümler n=0,1,2,… için,

      + + = + n n n n U k U k U U λ λ 2 1 1 veya n n

n

### )

n U k U k U U 1 2 2 1 λ λ + + = + IRUPO\OHKHVDSODQÕU>@

2.3.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi Dördüncü mertebeden Runge-Kutta çözümleri ise,

### ( )

Un f F =0

(19)

      + = 0 1 2 1 kF U f F n       + = 1 2 2 1 kF U f F n

2

### )

3 f U kF F = n+ olmak üzere,

0 1 2 3

### )

1 2 2 6 F F F F k U Un+ = n+ + + + , n=0,1,2,… (2.15) úHNOLQGHGLU>@ i

F’ ler ( i=0,1,2 GDKDDoÕNRODUDN

### ( )

Un F Un f F0 = 0 =λ

n

### )

n n n n U k U F U k U kF U f F 2 2 1 2 1 2 1 0 1 λ λ ⇒ =λ + λ      + =       + = n n n n n n n U k U k U F U k U k U kF U f F 4 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 1 2 λ λ λ λ λ λ ⇒ = + +                 + + =       + =

### )

               + + + = + = n n n n n U k U k U k U kF U f F 4 2 3 2 2 2 3 λ λ λ λ n n n n U k U k U k U F 4 2 4 3 3 2 2 3 =λ + λ + λ + λ

úHNOLQGH \D]ÕOÕU %XQODUÕQ    HúLWOL÷LQGH  \HUOHULQH \D]ÕOPDVÕ\OD    OLQHHU denklemi için dördüncü mertebeden Runge-Kutta çözümleri,

(20)

n

n

### )

n n n n U k U k U k U k U U 24 6 2 4 3 2 1 λ λ λ λ + + + + = + , n=0,1,2,… ile bulunur [25]. 2.4. %ø5ø1&ø0(57(%('(1 /ø1((52/0\$<\$1'(1./(0/(5ødø1 1h0(5ø.<g17(0/(5 2.4.1. Euler Yöntemi Genel olarak,

### ( )

U f U =′ (2.16) úHNOLQGHNLOLQHHUROPD\DQGHQNOHPOHULoLQ(XOHU\|QWHPL

### ( )

n n n U kf U U +1= + , n=0,1,2,... úHNOLQGHWDQÕPOÕGÕU>@

øNLQFL0HUWHEHGHn Runge-Kutta Yöntemi

(2.16) lineer olmayan denklemi için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi, ) ( 2 1 * n n U kf U U = + (2.17) olmak üzere, Un 1 Un kf(U*) + = + , n=0,1,2,… (2.18)

(21)

formülü ile verilir. Burada, (2.17) ile hesaplanan U*   GH÷HUOHUL 2 1 + n t zaman DGÕPÕQGDKHVDSODQDQ 2 1 + n U GH÷HUOHULGLU  ¶GH f fonksiyonu bu 2 1 + n U ara

QRNWDODUÕQGDGH÷HUDODUDNUn+1GH÷HUOHUL bulunur [25].

2.4.3. Crank-Nicolson Yöntemi

(2.16) denkleminin Crank-1LFROVRQ\|QWHPLLOHo|]POHULQLQEXOXQPDVÕQGD n=0,1,2,… için,

IRUPONXOODQÕOÕU [25].

2.5. 621/8)\$5.<g17(0/(5øødø1*(1(/.\$5\$5/,/,.\$1\$/ø=ø

.ÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPH  NDUúÕOÕN  JHOHQ  VRQOX  IDUN  GHQNOHPLQLQ o|]PQQNÕVPLGLIHUDQVL\HOGHQNOHPLQWDPo|]PQH\DNÕQVDPDVÕLoLQJHUHNOL RODQ  úDUWODUD  NDUDUOÕOÕN  úDUWODUÕ  NDUDUOÕOÕN  úDUWODUÕQÕQ  EXOXQPDVÕ  LúOHPLQH  GH NDUDUOÕOÕNDQDOL]LGHQLU

.DUDUOÕOÕN  DQDOL]L  LoLQ  ELOLQHQ  LNL  \|QWHP  YDUGÕU %L]  EXUDGD  PDWULV \|QWHPLQGHQEDKVHGHFH÷L] 2.5.1. Matris Yöntemi 0DWULV\|QWHPLOLQHHUGHQNOHPOHULoLQNXOODQÕODQNDUDUOÕOÕNDQDOL]OHULQGHQ biridir. 6RQOXIDUNGHQNOHPOHULQLQo|]PQQNDUDUOÕOÕ÷ÕQÕQLQFHOHQPHVLQGH\D\JÕQ RODUDNNXOODQÕOÕU %X\|QWHPOHNDUDUOÕOÕ÷ÕLQFHOHPHNLoLQ 2 2 x U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ , l x ≤ ≤ 0 , t>0 ]DPDQED÷ÕPOÕER\XWVX]ÕVÕ-iletim problemini,

1

### )

1 2 + + + + = n n n n U U f k U U

(22)

t

g

### ( )

t U 1 , 0 = , t≥0

l t g

### ( )

t U 2 , = , t ≥0 VÕQÕUúDUWODUÕYH

x

f

### ( )

x U ,0 = , 0 x ≤l EDúODQJÕoúDUWÕLOHGúQHOLP%urada g1

t , g2

t ve f

### ( )

x IRQNVL\RQODUÕELOLQL\RU

ROVXQ .ÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPH  NDUúÕOÕN JHOHQ VRQOX IDUN \DNODúÕPÕ NDSDOÕ olarak matris notasyonunda,

( ) AU( ) b

U m+1 = m +

(2.19)

úHNOLQGH\D]ÕODELOLUU(m+1)GH÷HULQHoRN\DNÕQELUo|]PU(m+1)* olsun ve bu

o|]P\XYDUODPDKDWDODUÕQÕGDLoHUVLQ%XGXUXPda, ( ) AU( ) b U m+1* = m*+ (2.20) \D]ÕODELOLU%XUDGDNLKDWDQÕQ * m i m i m i U U e = ROGX÷XGúQOUVHKDWDYHNW|U ( )

m

## ]

T N m N m m m m m U U U U U U e * * * 1 1 2 2 1 1 − − − − − = 

olur. (2.19) ifadesindHQ  LIDGHVLQLQoÕNDUÕOPDVÕ\OD

(m ) ( )m e A e +1 =

(23)

EXOXQXU%XHúLWOLNWHQ ( ) ( 1) 2 ( 2) ( )0 e A e A e A em = m= m= = m  (2.21) \D]ÕODELOLU %XUDGD  ( )

e e eN

### ]

T e 0 1 0 2 0 1 0 −

=    EDúODQJÕo  KDWDVÕGÕU %DúODQJÕo

KDWDVÕQÕQt ¶GDELOLQGL÷LQLNDEXOHGHOLPYH ( )m

e KDWDVÕQÕQVÕQÕUOÕNDOPDúDUWÕQÕ DUDúWÕUDOÕP

A  UHHO  VLPHWULN  YH  UDQNÕ  N-1) olan bir matris olsun. Böylece A matrisinin λ1,λ2,...,λN−1|]GH÷HUOHULQH N-1 WDQHOLQHHUED÷ÕPVÕ]W1,W2,...,WN−1 |]YHNW|UNDUúÕOÕNJHOLU%|\OHFHWk ( k=1,2,3,…,N-1) lar 1 − N IR X]D\ÕLoLQELU ED]GÕU'ROD\ÕVÕ\OD N-1) boyutlu herhangi bir vektör Wk¶ODUÕQOLQHHUELUOHúLPL

RODUDN\D]ÕODELOLU ( )0 1 ∈ N IR e ROGX÷XQGDQ ( )

### ∑

− = = 1 1 0 N k k kW a e (2.22) \D]ÕODELOLU  ¶QLQ  ¶GH\D]ÕOPDVÕ\OD ( )

### ∑

− = = 1 1 N k k k m m W a A e (2.23) bulunur. g]GH÷HUYH|]YHNW|UWDQÕPÕPGDQ GLU\$\UÕFD k m k k m W W A =λ GLU%XHúLWOLN  ¶GHNXOODQÕOÕUVD k k k W W A =λ

(24)

( )

### ∑

− = − = − = = = = 1 1 1 1 1 1 N k k m k k N k k m k N k k k m m W a W A a W a A e λ elde edilir. m artarken ( )m e QLQVÕQÕUOÕNDOPDVÕ \DQLPXWODNGH÷HUFHLVWHQLOGL÷LNDGDU NoNELUSR]LWLIVD\ÕGDQNoNNDOPDVÕ Loin, 1 max k k λ ROPDOÕGÕU>@

(25)

### BÖLÜM 3

3.1. METHOD OF LINES (MOL)<g17(0ø

0HWKRGRIOLQHV 02/ OLQHHUYHOLQHHUROPD\DQGHQNOHPOHULQEDúODQJÕo VÕQÕU  GH÷HU  SUREOHPOHULQLQ  o|]PQ  EXOPDNWD  NXOODQÕODQ bir yöntemdir [26]. <|QWHP ELU  GH÷LúNHQH  NRQXP  GH÷LúNHQLQH  J|UH NÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPL D\UÕúWÕUDUDN VRQXoWD GHQNOHPL  NROD\OÕNOD o|]OHELOHQ  DGL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP VLVWHPLQH G|QúWUU .ÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP  EWQ GH÷LúNHQOHULQH J|UH D\UÕúPDGÕ÷ÕQGDQ02/ED]HQ\DUÕ-D\UÕúWÕUPDPHWRGXRODUDNELOLQLU>@\$\UÕúWÕUPD VRQOXIDUNODUVRQOXHOHPDQODU\DGDD÷ÕUOÕNOÕNDODQ\|QWHPOHULJLELoHúLWOL\ROODUOD \DSÕODELOLU>@

02/\DNODúÕPÕQÕQHQ|QHPOLDYDQWDMÕKHPDoÕN\|QWHPOHULQNROD\OÕ÷ÕQD KHP  GH DGL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPLQ  o|]PQGH  ]D\ÕI  ELU  QPHULN  \|QWHP NXOODQPDGÕNoD NDSDOÕ  \|QWHPOHULQ  VWQO÷QH  NDUDUOÕOÕN  DYDQWDMÕQD  VDKLS ROPDVÕGÕU0HWRGXQEXQGDQEDúNDoRN|QHPOLLNLDYDQWDMÕGDKDYDUGÕU%LULQFLVL EX  PHWRGOD VD\ÕVDO  KHVDSODPDODUGD  |QHPOL  DUWÕúODU  YH  VÕQÕU  úDUWODUÕ  LoLQ  HN zorluklar olmadan \NVHNPHUWHEHGHQ\DNODúÕPODUÕo|]PHNPPNQGUøNLQFLVL zaman integrasyonunda güvenli ve etkili bir adi diferansiyel denklem çözücüsünün NXOODQÕPÕ\ODoRNNoNDGÕPODUNXOODQPDGDQGDL\LVRQXoODUDOÕQDELOLU>@

3.2. MOL <g17(0ø1ø1 ISI'(1./(0ø1(8<*8/\$10\$6,

xx

t U

U = (3.1) úHNOLQGHNL-boyutlu lineer parabolik denklem,

x

f

### ( )

x U ,0 =

EDúODQJÕoúDUWÕYH0 x ≤l olmak üzere,

t

f

### ( )

t U 1 , 0 = , t >0

l t f

### ( )

t U , = 2 , t >0

(26)

VÕQÕUúDUWODUÕLOHJ|]|QQHDOÕQVÕQ ih xi = , h= xi xi +1 tn =nk, k =ti ti +1

olmak üzere,

xi,tn

### )

grid  QRNWDODUÕQÕ  WHPVLO  HWVLQ n i

U de bu

xi,tn

### )

grid QRNWDODUÕQGDNLQPHULNo|]POHULJ|VWHUVLQ<DQLU

x,t

### )

YHULOHQNÕVPLGLIHUDQVL\HO

denklemin tam çözümü olmak üzere

n

i U t x

U , olsun.

0,l

### ]

DUDOÕ÷Õ N parçaya bölünsün. Bu durumda, N +1WDQHJULGQRNWDVÕ olup x∆ , N l h x= = ∆ dir.

MOL yöntemiyle çözümü bulmak için, denklemdeki x’ e göre türevin yerine

sonlu fark \DNODúÕPÕ \D]ÕODUDN denklem diskrize edilir. Yani, 2 1 1 2 2 2 h U U U x Ui i i i − + − + ≅ ∂ ∂

DOÕQÕUBöylece kÕVPLGLIeransiyel denklem, 2 1 1 2 h U U U dt dUi i i i + − − + = , i=1,2,3,...,N −1

úHNOLQGHNROD\OÕNOD çözülebilen lineer adi diferansiyel denklem sistemine G|QúU ve matris notasyonunda,

t AU

t f

### ( )

t

U = + (3.2)

úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XUDGD A üçlü bant matris ve f

### ( )

t VÕQÕUúDUWODUÕQÕLoHUHQ

(27)

) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 − × −                           − − − − − − − = N N h A  ,

### ( )

( 1)1 2 1 2 0 0 0 1 × −                           = N t f t f h t f  %XGLIHUDQVL\HOGHQNOHPVLVWHPLoHúLWOLQPHULN\|QWHPOHUNXOODQÕODUDNo|]OHELOLU %X  E|OPGH    GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP VLVWHPLQLQ  o|]PQ  DúD÷ÕGDNL EDúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕLoLQ(XOHU\|QWHPLLNLQFLPHUWHEHGHQ5XQge-Kutta ve dördüncü mertebeden Runge-.XWWD\|QWHPOHULLOHHOGHHWWLNYHVRQXoODUÕ7DEOR 7DEORYHùHNLOùHNLO¶GHWDPo|]POHNDUúÕODúWÕUGÕN ùLPGL  GHQNOHPLQL

x

x

x

U ,0 = 1 (3.1a)

0,t

=U

### ( )

1,t =0 U , t>0 (3.1b)

EDúODQJÕoYHVÕQÕUGH÷HUOHULLOHJ|]|QQHDOÕS MOL yöntemini uygulayalÕP

### [ ]

0,1   DUDOÕ÷Õ  N =10 olmak üzere N parçaya bölünsün. Bu durumda

10 1 =

h olup denklem sistemi,

1 22 1 h U U U dt dU i i i i + − + − = , i=1,2,...,9 veya

(28)

0 2 2 2 2 0 10 2 8 9 10 9 2 2 3 4 3 2 1 2 3 2 2 0 1 2 1 0 = + − = + − = + − = + − = = U h U U U dt dU h U U U dt dU h U U U dt dU h U U U dt dU U 

úHNOLQGH\D]ÕODELOLUBu lineer diferansiyel denklem sistemi matris formunda,

                                                          − − − − − − − − − =                               9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 U U U U U U U U U h U U U U U U U U U dt d úHNOLQGHGLU%XUDGD 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1                 − − − − =  h A , U

U1 U2 U3 U8 U9

### ]

1T9 × = 

(29)

ile J|VWHULOLUVHGLIHUDQVL\HOGHQNOHPVLVWHPLNÕVDFD AU U= (3.3) úHNOLQGHLIDGHHGLOLU 3.2.1. Euler Yöntemi

Bu diferansiyel denklem sistemini ilk olarak Euler yöntemiyle çözelim. Bu yönteme göre (3.3 úHNOLQGHNL denklemlerin çözümü,

n n n kAU U U +1 = + , n=0,1,2,…

IRUPO  LOH KHVDSODQÕU >@ Burada k , t (zaman) yönündeki grid mesafesi olup IRUPOPDWULVQRWDV\RQXQGD\D]ÕOÕUVD                                                         − − − − − − − − − +                             =                               + + + + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n U U U U U U U U U h k U U U U U U U U U U U U U U U U U U 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ve k h2 r = ROPDN]HUHDoÕNRODUDN\D]ÕOÕUVD

### )

       = − + = + − + = + − + = − + − + + 9 , 2 8 ,..., 2 , 2 1 , 2 1 1 1 1 1 i U U r U i U U U r U i U U r U U n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i úHNOLQGHGLU

(30)

(XOHU\|QWHPLQGHDoÕNVRQOXIDUNWHNQL÷LNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDn, r≤1 2NDUDUOÕOÕN úDUWÕVD÷ODQDFDNúHNLOGHk ve hGH÷HUOHULDOÕQDUDNo|]P\DSÕOGÕ6RQXoODUt ’ nin IDUNOÕLNLGH÷HULLoLQ7DEORYH7DEOR¶GHYHULOGL

øNLQFL0ertebeden Runge-Kutta Yöntemi

øNLQFLPHUWHEHGHQ5XQJH-Kutta yöntemi ile (3.3) denkleminin çözümü

n

### )

n n n U kA U kA U U 1 2 2 1 + + = + , n=0,1,2,… IRUPO\OHKHVDSODQÕU>@\$OJRULWPDQÕQPDWULVIRUPX,                                                         − − − − − − − − − +                             =                             + + + + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n U U U U U U U U U h k U U U U U U U U U U U U U U U U U U 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2                                                         − − − − − − − − − − − − − − − −       + n n n n n n n n n U U U U U U U U U h k 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 2 5 4 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 4 5 2 1 úHNOLQGHGLU

(31)

\$oÕNúHNLOGH\D]DUVDN

### )

         = + − + − + = − + − + + − + = + − + − + + − + = + − + − + + − + = + − + + − + = − − − + − − + − + + − − + − + + − + − + + + + 9 , 5 4 5 . 0 2 8 , 4 6 4 5 . 0 2 7 ,..., 3 , 4 6 4 5 . 0 2 2 , 4 6 4 5 . 0 2 1 , 4 5 5 . 0 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 i U U U r U U r U i U U U U r U U U r U i U U U U U r U U U r U i U U U U r U U U r U i U U U r U U r U U n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i ROXU<LQHDoÕNVRQOXIDUNWHNQLNOHULNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDQr12RODFDNúHNLOGH k ve hGH÷erleri seçilerek bu algoritmadan elde edilen çözümler Tablo 3.1 ve Tablo 3.2’ de verildi.

3.2.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi

Dördüncü mertebeden Runge –.XWWD\|QWHPLQGHo|]POHULQKHVDEÕLoLQ

n n n

n

n

### )

n U kA U kA U kA kAU U U 1 2 3 4 24 1 6 1 2 1 + + + + = + , n=0,1,2,… IRUPONXOODQÕOÕU [25].

Euler ve ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemlerLQGH \DSÕODQ LúOHPOHU EX yöntem için de benzer olarak \DSÕOÕU

,6,'(1./(0ø1ø1\$1\$/ø7ø.dg=h0h

 ÕVÕGHQNOHPLQLQ D YH E EDúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕLOHDQDOLWLN çözümünü GH÷LúNHQOHULQH D\UÕúWÕUPD yöntemini kullanarak EXODOÕP X sadece x’ in ve T sadece t’ nin birer fonksiyonu olmak üzere çözüm,

x,t

### )

X(x)T(t) U = IRUPXQGDGÕU

### ( )

t T x X Ut = ( ) ve Uxx = X′′(x)T(t)

(32)

ROGX÷XQDJ|UH  ÕVÕGHQNOHPL

′ = ′′

### ( ) ( )

= −λ2 ⇒ ′ = ′′ =−λ2 X X T T t T x X t T x X , λ >0 (sabit) úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XUDGDQ t e T T T 2 2 λ λ ⇒ = − − = ′

olarak elde edilir.

λ λ

λ

λ X m m i m i

X′′+ 2 =0 2+ 2 =0 1 = , 2 =

ROGX÷XQGDQ X

### ( )

x çözümü, c1 ve c2 iki keyfi sabit olmak üzere,

x c

x c

### ( )

x X sinλ cosλ

2

1 +

=

dir. O halde   ÕVÕGHQNOHPLQLJHQHOçözümü,

U x,t

c1sin

x c2cos

x

### )

e λ2t

λ

λ + −

=

olarak bulunur. Sol sÕQÕUúDUWÕQGDQ

0,

### )

0 2 0 2 0 2 = ⇒ = ⇒ = cec t U λt olur. Böylece çözüm,

### ( )

t e x c t x U , sin 2 1 λ λ − = úHNOLQH gelir.6D÷VÕQÕUúDUWÕQGDQ

(33)

### ( )

1, 0 sin 0 2 1 = ⇒ = −λ λ t e c t U

olur. ∀ t için

−λ2t

### 0

   GÕU. c1=0 ROPDVÕ  GXUXPXQGD GD DúLNDU çözüm elde

HGLOHFH÷LQGHQc1 ≠0ROPDOÕGÕUO halde,

sinλ =0⇒λ = nπ , n=0,#1,#2,... dir. Böylece, Un

x,t

cnen2π2tsin

nπx

### )

=

çözümü elde edilir. Burada c1 yerine n’ nin  IDUNOÕ  GH÷HUOHUL için  NXOODQÕODELOHQ,

fonksiyon sabitlerini gösteren cn DOÕQPÕúWÕU. %X úHNLOGHNL o|]POHULQ KHU ELUL  VÕQÕU

úDUWODUÕQÕVD÷ODU/LQHHUGHQNOHPOHULoLQo|]POHULQWRSODPÕGD\LQHELUo|]P ROGX÷XQGDQ

### )

= − = 1 sin , 2 2 n t n ne n x c t x U π π (3.4)

de çözümdür (Süperpozisyon ilkesi). Son olarak EDúODQJÕo úDUWÕQÕn da VD÷ODnPDVÕ JHUHNWL÷LQGHQ

x

x

x

U ,0 = 1U

x

c

n x

x

x

n n = − =

### ∑

∞ = 1 sin 0 , 1 π

olur. Bu ise x

1x

### )

fonksiyonunun 0< x<1 için Fourier sinüs serisinin DoÕOÕPÕ SUREOHPLQHHúGH÷HUGLU O halde,

### )

      − = − =

### ∫

1 0 1 0 2 1 0 sin sin 2 sin 1 2 x x n xdx x n xdx x n xdx cn π π π RODUDN\D]ÕOÕUVD

(34)

ve

2 2

3 3

### )

3 3 1 0 2 2 cos 2 sin 2 cos 1 sin π π π π π π π π n n n n n n n dx x n x = + +

ROGX÷XQGDQ

3 3

### )

3 3 2 2 4 cos 4 sin 2 π π π π π n n n n n cn = +

bulunur. Bu GH÷HU (3.4)’ de yerine  \D]ÕOÕUVD     ÕVÕ  GHQNOHPLQLQ  D-b) úDUWODUÕQÕVD÷OD\DQo|]P,

e

n x

### )

n n n n n t x U n t n π π π π π π π sin 4 cos 4 sin 2 , 2 2 1 2 2 3 3 3 3 − ∞ =

### ∑

      + − − =

e

n x

### )

n n n n n t n n π π π π π π sin 4 1 4 sin 2 1 2 2 3 3 3 3 2 2

### ∑

∞ = −       + − − − = ya da

( )

k x

### )

e k t x U k t k π π π sin 2 1 1 2 8 , 0 1 2 3 3 2 2 + + =

### ∑

∞ = + − úHNOLQGHelde edilir.

π

### )

π π π π n n n n dx x n

xsin 1 cos 1 sin

2 2 1 0 + − =

### ∫

(35)

Tablo 3.1 h=0.1 ve k =0.001 için t=0.01 zaman DGÕPÕQGDNL nümerik o|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ x Euler øNLQFL mertebeden Runge-Kutta Dördüncü mertebeden Runge-Kutta Analitik çözüm 0.1 0.07574 0.07597 0.07596 0.07560 0.2 0.14126 0.14145 0.14145 0.14114 0.3 0.19021 0.19029 0.19029 0.19016 0.4 0.22002 0.22005 0.22005 0.22002 0.5 0.23000 0.23001 0.23002 0.23000 0.6 0.22002 0.22005 0.22005 0.22002 0.7 0.19021 0.19029 0.19029 0.19016 0.8 0.14126 0.14145 0.14145 0.14114 0.9 0.07574 0.07597 0.07596 0.07560

Tablo 3.2 h=0.02 ve k=0.0001 için t=0.1  ]DPDQ  DGÕPÕQGDNL nümerik çözümlerle analitik o|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ

x Euler øNLQFL mertebeden Runge-Kutta Dördüncü mertebeden Runge-Kutta Analitik çözüm 0.1 0.02971 0.02973 0.02973 0.02972 0.2 0.05652 0.05654 0.05654 0.05652 0.3 0.07778 0.07782 0.07782 0.07780 0.4 0.09144 0.09148 0.09148 0.09146 0.5 0.09615 0.09619 0.09619 0.09616 0.6 0.09144 0.09148 0.09148 0.09146 0.7 0.07778 0.07782 0.07782 0.07780 0.8 0.05652 0.05654 0.05654 0.05652 0.9 0.02971 0.02973 0.02973 0.02972

(36)

ùHNLO h=0.1 ve k=0.001 için t=0.05 ]DPDQDGÕPÕQGD(XOHU\|QWHPLLOHHOGH HGLOHQo|]PQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ

ùHNLOh=0.1 ve k=0.001 için t ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen nümerik çözümlerle aQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x U (x ,t )

Euler øNLQFLPHUWHEHGHQ5XQJH.XWWD Tam çözüm

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x U (x ,t ) Euler Tam çözüm

(37)

### BÖLÜM 4

%XE|OPGHPRGHOSUREOHPRODUDNNXOODQÕODFDNRODQ 2 2 x U v x U U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ (4.1)

x

U

x

### ( )

x U ,0 sinπ 0 = = (4.1a)

0,t

=U

### ( )

1,t =0 U (4.1b) EDúODQJÕo-VÕQÕUGH÷HUSUREOHPLQLQDQDOLWLNo|]P\DSÕODFDNWÕU %85*(56'(1./(0ø1ø1\$1\$/ø7ø.dg=h0Ü

   LOH  YHULOHQ  %XUJHUV  GHQNOHPLQLQ  GR÷UXGDQ  DQDOLWLN  o|]PQQ EXOXQPDVÕPPNQGH÷LOGLU)DNDWELUG|QúP\DUGÕPÕ\ODOLQHHUKDOHJHWLULOHUHN o|]OHELOHQoRND]VD\ÕGDNi non-lineer denklemlerden birisidir.

Burgers denklemi, Hopf-&ROHG|QúPRODUDNELOLQHQ

θ θx v U =2 (4.2) úHNOLQGHELUG|QúPLOH 2 2 x v t ∂ = ∂ ∂θ θ (4.3)

OLQHHU  ÕVÕ  SUREOHPLQH  LQGLUJHQLU >@ %DúODQJÕo  YH  VÕQÕU  GH÷HUOHUL  LVH    G|QúPDOWÕQGD

x θ

x

c

vπ

πx

### }

θ ,0 exp 2 1 cos 1 0 0 = = − − − (4.3a)

0,t

= x

### ( )

1,t =0 x θ θ (4.3b)

(38)

haline gelir.

ùLPGL    D   YH  E   úHNOLQGH  LQGLUJHQPLú  EDúODQJÕo-VÕQÕU  GH÷HU SUREOHPLQLQDQDOLWLNo|]PQGH÷LúNHQOHULQHD\ÕUPD\|QWHPL\OHEXODOÕP

Bunun için,

x,t

= X

### ( ) ( )

xT t

θ

(4.3) denkleminin bir çözümü olsun.

### ( ) ( )

xT t X x = ′ ∂ ∂θ

### ( ) ( )

xT t X x = ′′ ∂ ∂ 2 2 θ

### ( ) ( )

xT t X t = ′ ∂ ∂θ HúLWOLNOHUL  GHQNOHPLQGH\HULQH\D]ÕOÕUVD

xT t vX

### ( ) ( )

xT t X = HOGHHGLOLU%XUDGDJHUHNOLG]HQOHPHOHU\DSÕOÕUVD 2 1 λ − = ′ = ′ ′ T T v X X , λ >0 (sabit) olur. Buradan, 0 2 = + ′ ′ X X λ 0 2 = + ′ vT T λ

(39)

úHNOLQGH  LNL  DGL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP  HOGH  HGLOLU %X  GHQNOemlerin çözümleri VÕUDVÕ\OD

x B

x

### )

A X = 1cosλ + 1sinλ vt ce T −λ2 = dir. Bu çözümler,

x,t

= X

### ( ) ( )

xT t θ LIDGHVLQGH\HULQH\D]ÕOÕUVD

x,t

Acos

x B sin

x

ce 2vt

## ]

1 1 λ λ λ θ = + −

elde edilir. Burada cA =1 A , cB =1 B denirse,

xt

e vt

A

λx B

λx

### ]

θ , λ cos sin 2 + = − (4.4) ROXU6ROVÕQÕUúDUWÕQGDQ

A x B x

### ]

e x vt λ λ λ λ θ λ2 sin cos + − = ∂ ∂ −

0,

### )

0 2 = = ∂ ∂ − λ θ t e λ B x vt

GÕUe−λ2vt 0ROGX÷XQGDQB ROPDOÕGÕU%|\OHFH  o|]mü,

xt

Ae vt

λx

### )

θ , λ cos 2 − = KDOLQHJHOLU'L÷HUVÕQÕUúDUWÕQÕQNXOODQÕOPDVÕ\OD

(40)

### ( )

x e A x vt λ λ θ −λ2 sin − = ∂ ∂

λ

### ( )

λ θ 1,t A e λ2vtsin x − − = ∂ ∂

bulunur. Burada A ROXUVDDúLNDUo|]PEXOXQDFD÷ÕQGDQ 0 sinλ = ROPDOÕGÕU%|\OHFH π λ = n , n=0,#1,#2,... dir. λGH÷HULQLQ\HULQH\D]ÕOPDVÕ\OD

x t

Ane vn t

n x

### )

n π θ , π cos 2 2 − =

o|]P  HOGH  HGLOLU 6SHUSR]LV\RQ  LONHVL  JHUH÷LQFH    GHQNOHPLQLQ  JHQHO çözümü,

### )

∞ = − + = 1 0 cos , 2 2 n n vt n x n A e A t x π θ π úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XLVHELU)RXULHUFRVLQVVHULVLGLU%XUDGDA0 , An Fourier NDWVD\ÕODUÕ

=

### ∫

− − = − 1 0 1 0 1 0 0 0 x dx c exp 2 v 1 cos x dx A θ π π

v x

n x

### )

dx c

An 2 exp 2π 1 cosπ cos π

1 0

1

0

### ∫

− −

Şekil

+7

Referanslar

Benzer Belgeler

Güneş enerji santrallerinin elektrik piyasa katılımcısı olması ile birlikte elektrik piyasasında depolama sistemi ile yapacağı karlılığın analiz edilmesi için ele

Halkevlerinin, kapatıldıkları dönemde, 200 milyonun üstünde menkul ve gayrimenkul mallarının olduğu sanılmak­ tadır (CHP Halkevleri Öğreneği, 1939; Halkevi İdare ve

Yani, verilen denklemdeki en yüksek mertebeden lineer olmayan terim ve en yüksek mertebeden lineer olan terim alınarak seçilen uygun bir lineer birleşim

Maksiller sinüs yükseltme işleminde doğal mineralize hidroksilapatit uygulanan hastalardan 8 ay sonra elde edilen preparatlarda yeni oluşan kemik trabeküllerinin

Elde edilen katı modelin içine hava tanecikleri eklenerek, kömür yığınının gerçek şekline mümkün olduğu kadar yakın bir katı model oluşturulmuştur.. Modeli

Also, a new hybrid method was developed by combining of FPM and Immersed Boundary Method (IMD). This method ensured the proper solution for BE [17]. Jiwari introduced a

Hibe olabilmesi için tasarmi&#34; dan faydalanacak olan kimsenin (mi­ salde (deh) temyiz kudretine sahip bu lunması şarttır. Bu zaruri bilgiden sonra, vakıf vc ibahe arasındaki

Finite Element Method (FEM) is applied by software called COMSOL to calculate electric field and current density distribution simultaneously in several

nuclear weapons will strengthen Turkey's position vis- a-vis the aspiring nuclear states in the region and will also improve the pros- pects of a NWZ in the Middle East..

Etkin seçicilik yani hareket algısı, zeka içeren başka faaliyetlerde olduğu gibi görsel algının da temel bir özelliğidir ve dikkat edilmesi gereken en temel seçim de,

The current study found that there was no eﬀect of any CCT in terms of time spent, number of errors, number of decision points or route choice, and that there was no signiﬁcant eﬀect

Doğum ve jinekoloji alanında daha pek çok akupunktur nokta- ları kullanılmakla birlikte, bu alanda kullanılan en önemli noktalar yukarıda açıklandığı gibidir ve bu

İsteme Adresi: Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi, 06110, Dış- kapı - Ankara ve T.M.M.O.B. Ziraat Mühendisleri Odası - Ankara.. Konu: Türkiye'de Tarımsal Yapı ve Bu

- Peki her işadamının iş hayatmda zaman zaman işlerinin bozulacağı gibi devletlerin de ekonomik darboğazlara girdikleri çok görülen bir olay, bizim ülkemizde de

Volüm gereksinimi, meme prote- zi, daha sonra meme protezi ile yer değiştirecek olan doku genişletici ya da kalıcı doku genişletici ile karşılanabilir.. (a, b)

24 Mart 1931’de Mustafa Kemal Paşa'mn, Türk Ocaklarının Bilimsel Halkçılık ve Milliyetçilik ilkelerini yaymak görevi amacına ulaştığını ve CHP’nin bu

“İlkokullarda çalışan öğretmenlerin yöneticileriyle ilgili iletişimlerine dair algı düzeyi nedir?” ve “İlkokullarda çalışan öğretmenlerin yöneticileriyle

Bu ¸calı¸smada bir ve iki boyutlu Burgers’ denkleminin n¨ umerik ¸c¨oz¨ umleri Varyasyonel ˙Iterasyon Metodu ile elde edildi ve elde edilen n¨ umerik ¸c¨oz¨ umler

Bu problemin n¨ umerik ¸c¨ oz¨ umlerini elde etmek i¸cin Liao [41] denkleme Hopf-Cole d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u uygulamı¸s ve daha sonra elde edilen iki boyutlu ısı

In this study, we examine the numerical and exact solutions of the time fractional Burgers’ equation by using the extended finite difference for numerical solutions, an expansion

For this reason, the exact solution, which does not contain fractional order derivatives, will be compared with the numerical solutions to be obtained for the equa- tion

Dilinizi seçin

Seçtiğiniz dilde web sitesi çevrilecektir.

Sizin için önerilen diller:

Diğer: