Burgers denkleminin çözümü için bir yarı-analitik uygulama

T.C.

ø1g1hh1ø9(56ø7(6ø

)(1%ø/ø0/(5ø(167ø7h6h

%85*(56'(1./(0ø1ø1dg=h0hødø1

%ø5<$5,-$1$/ø7ø.8<*8/$0$

DERYA TÜRK

<h.6(./ø6$167(=ø

0$7(0$7ø.$1$%ø/ø0'$/,

MALATYA

Temmuz 2005

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

%85*(56'(1./(0ø1ø1dg=h0hødø1

%ø5<$5,-$1$/ø7ø.8<*8/$0$

Derya TÜRK øQ|QhQLYHUVLWHVL Fen Bilimleri Enstitüsü 0DWHPDWLN$QDELOLP'DOÕ 75 + x sayfa 2005 Tez'DQÕúPDQÕ'Ro'U$OLg='(ù %XWH]\HGLE|OPGHQROXúPDNWDGÕU BiULQFLE|OPGHEXoDOÕúPDGDPRGHOSUREOHPRODUDNNXOODQÕODQ%XUJHUV GHQNOHPLKDNNÕQGDELOJLYHULOPHNWHGLU øNLQFLE|OPGHNRQX\ODLOJLOLWHPHOWDQÕPODUWHRUHPOHUYH\|QWHPOHUNÕVDFD WDQÕWÕOPDNWDGÕU

Üçüncü bölümde, Methof of Lines _{ \|QWHPL  DoÕNODQDUDN  ELU  X\JXODPDVÕ} \DSÕOPÕúWÕU

Dördüncü bölümde, Burgers denkleminin analitik çözümü verilmektedir. %HúLQFLE|OPEXoDOÕúPDQÕQHVDVÕQÕWHúNLOHGLS burada,OLQHHUOHúWLULOPLú

Burgers denkleminin nümerik çözümleri elde HGLOPLúWLU $\UÕFD NXOODQÕODQ

\|QWHPOHULQNDUDUOÕOÕNDQDOL]L\DSÕOPÕúWÕU

$OWÕQFÕE|OP\LQHtezin temelNÕVPÕROXS\|QWHPOHUGHQNOHPHGR÷UXGDQ uygulanDUDNQPHULNo|]POHUHOGHHGLOPLúWLU

Yedinci bölümde, elde edilen VRQXoODUÕQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕYHULOPHNWHGLU $1$+7$5.(/ø0(/(5 Burgers denklemi, Method of Lines, Euler yöntemi, øNLQFL mertebeden ve Dördüncü mertebeden Runge-Kutta yöntemleri, Crank-Nicolson yöntemi, Matris yöntemi.

ABSTRACT

M.Sc. Thesis

A SEMI-ANALITIC APPLICATION

FOR SOLUTION OF BURGERS’ EQUATION

Derya TÜRK øQ|Q8QLYHUVLW\

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

75 + x pages 2005

Supervisor : Assoc. Prof. $OLg='(ù

This thesis consists of seven chapters.

In chapter 1, it is devoted to Burgers’ equation that is used as a model problem in this study.

In chapter 2, it is briefly introduced general concepts, theorem and methods concerning with the subject.

In chapter 3, The Method of Lines is explained and applied to a problem. In chapter 4, analitic soOXWÕRQRI%XUJHUV’ equation is given.

Chapter 5 is the main part of this study in which numerical solutions of Burgers’ equation reduced by the Hopf-Cole transformation are obtained. Also, stability of the methods is investigated.

Chapter 6 is also important part of this thesis. In this chapter, the methods are directly applied to Burgers’ equation.

In chapter 7, it is given the comparison of the obtained numerical solutions.

KEYWORDS: Burgers’ equation, Method of Lines, Euler method, 2. order and 4. order Runge-Kutta methods, Crank-Nicolson method, Matrix method.

7(ù(..h5

Bu WH]LQKD]ÕUODQPDVÕQGDLOJLYHGHVWHNOHEDQD\DUGÕPFÕRODQoRNGH÷HUOL GDQÕúPDQKRFDP'Ro'U$OLg='(ù¶HVD\ÕQE|OPEDúNDQÕPÕ]3URI'U6DGÕN .(/(ù¶H0DWHPDWLN%|OPKRFDODUÕQDELOJLOHULQGHQID\GDODQGÕ÷ÕP $Uú. Gör. Dr.

E. Nesligül AKSAN ve g÷U*|UYusuf UÇAR’ a, hem maddi hem de manevi

ødø1'(.ø/(5

ÖZET ... iii ABSTRACT ... iv 7(ù(..h5 ... v ødø1'(.ø/(5 ... vi ù(.ø//(5/ø67(6ø ... viii 7$%/2/$5/ø67(6ø ... ix BÖLÜM 1 1.1.*ø5øù... 1 BÖLÜM 2 2.1. _{%ø5  0$75ø6ø1  g='(ö(5/(5ø  ø/(  ø/*ø/ø  7(0(/  7$1,0  9(} TEOREMLER ... 4 2.2. _{7h5(9/(5(621/8)$5.<$./$ù,0/$5, 5} 2.2.1. %LULQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ 5 2.2.2. _{øNLQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ 6} 2.3._{ %ø5ø1&ø  0(57(%('(1  /ø1((5  '(1./(0/(5  ødø1  1h0(5ø.} YÖNTEMLER ……….….. 8 2.3.1. Euler Yöntemi ………...….... 8 2.3.2._{øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi ………... 9}

2.3.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi ………... 9

2.4. _{%ø5ø1&ø  0(57(%('(1  /ø1((5  2/0$<$1  '(1./(0/(5  ødø1} 1h0(5ø.<g17(0/(5«««««««««««««««««« 11 2.4.1. Euler Yöntemi ……….... 11

2.4.2. _{øNLQFL0HUWHbeden Runge-Kutta Yöntemi ………... 11}

2.4.3. Crank-Nicolson Yöntemi ………... 12 2.5. 621/8)$5.<g17(0/(5øødø1*(1(/.$5$5/,/,.$1$/ø=ø 2.5.1. Matris Yöntemi ……….. 12 BÖLÜM 3 3.1. _{M(7+2'2)/,1(602/<g17(0ø««««««««««««« 16} 3.2. 02/<g17(0ø1ø1,6,'(1./(0ø1(8<*8/$10$6,««««« 16 3.2.1. Euler Yöntemi ……….….... 20 3.2.2. øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi ……….………... 21

3.2.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi………... 22

3.3. ,6,'(1./(0ø1ø1$1$/ø7ø.dg=h0h«««««««««««« 22 BÖLÜM 4 4.1. %85*(56'(1./(0ø1ø1$1$/ø7ø.dg=h0h……….... 28

BÖLÜM 5 5.1. /ø1((5/(ù7ø5ø/0øù%85*(56'(1./(0ø1(02/<g17(0ø1ø1 UYGULANMASI ... ………... 33 5.1.1. Euler Yöntemi ……….. 36 5.1.2._{øNLQFL0HUWHEHGHQ5unge-Kutta Yöntemi ……….. 39} 5.2. 1h0(5ø.<g17(0/(5ø1.$5$5/,/,ö,««««««««««« 42 5.2.1._{(XOHU<|QWHPLøoLQ.DUDUOÕOÕN$QDOL]L«««««««««« 42} 5.2.2.øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-.XWWD<|QWHPLøoLQ.DUDUOÕOÕN$QDOL]L .... 44 BÖLÜM 6 6.1. _{%85*(56'(1./(0ø1ø11h0(5ø.dg=h0h«««««««... 50} 6.1.1. _{Euler Yöntemi ………....………... 51} 6.1.2. øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi ………... 55 6.1.3. _{Crank-Nicolson Yöntemi ………..…... 57} BÖLÜM 7 7.1. _{6218d9(.$5ù,/$ù7,50$ ... 61}

7.1.1. /LQHHUOHúWLULOPLú%XUJHUV Denkleminin Çözümleri ... 61

7.1.2. _{Burgers Denkleminin Çözümleri ... 66}

KAYNAKLAR ... 73

ù(.ø//(5'ø=ø1ø

3.1 h=0.1 ve k=0.001 için t=0.05 zaman DGÕPÕQGD Euler yöntemi ile elde edilen çözümün analitik o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPaVÕ... 27 3.2 h=0.1 ve k=0.001 için t=0.5 zaman DGÕPÕQGD elde edilen nümerik

çözümlerle analitik çözümüQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 27 5.1 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD Euler yöntemi

ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerleNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 38 5.2 h=0.1, v=0.1 ve k=0.0005 için t=0.2 , 0.8 zaman _{DGÕPODUÕQGD Euler}

yöntemi ile elde edilen çözümleri_{QDQDOLWLNo|]POHUOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 38} 5.3 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için _{IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD ikinci mertebeden}

Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle karúÕODúWÕUÕOPDVÕ ………...…... 41

5.4 h=0.1, v=0.1 ve k=0.0005 için t=0.2, 0.8 zaman DGÕPODUÕQGD LNLQFL mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik

çözümlerOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 42

6.1 h=0.01,v=0.1 ve k=0.00005 için _{IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD}

Euler yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle kDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 54

6.2 h=0.01, v=0.1 ve k=0.00005 için f_{DUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD ikinci} mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümleri analitik o|]POHUOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 57

6.3 h=0.01, v=0.1 ve k=0.00005 için _{IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD  Crank-} Nicolson yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 60 7.1 h=0.1, v=0.5 ve k=0.0001 için t _{]DPDQDGÕPODUÕQGDNL}

nümerik çözümler ile analitik çözüPOHULQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 63 7.2 h=0.01, v=0.09 ve k=0.00001 için t=0.2, 0.4 zaman DGÕPODUÕQGDNL

nümerik o|]POHUOHDQDOLWLNo|]POHULQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 64 7.3 h=0.02, v=0.05 ve k=0.0001 için t ]DPDQDGÕPODUÕQGD elde

edilen nümeriko|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 64 7.4 h=0.02, v=0.009 ve k=0.0001 için t=0.6, 0.9 zaman _{DGÕPODUÕQGD elde}

edilen nümerik çözümlerin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 65 7.5 h=0.02, v=0.005 ve k=0.0001 için t=0.8, ]DPDQDGÕPODUÕQGDHOGH

edilen çözümlerLQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 65 7.6 h=0.1, v=0.7 ve k=0.002 için t=0.8 zaman DGÕPÕQGDNL nümerik çözümler

LOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 70 7.7 h=0.02, v=0.07 ve k=0.0005 için t=0.5 zaman DGÕPÕQGDNLQPHULN

o|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 70

7.8 h=0.01, v=0.01 ve k=0.00005 için t=0.3, 0.5 zaman DGÕPODUÕQGDNL QPHULNo|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 71 7.9 h=0.1, 10 10− = v ve k=0.001 için t=0.1, 0.2, 0.3  ]DPDQ  DGÕPODUÕQGDNL nümerik çözümler ... 71

7$%/2/$5'ø=ø1ø

3.1 h=0.1 ve k =0.001 için t =0.01 ]DPDQDGÕPÕQGDNLnümerik çözümlerle analitik çözümün NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ...………... 26

3.2 h=0.02 ve k=0.0001 için t=0.1]DPDQDGÕPÕQGDNL nümerik çözümlerle analitik o|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ……...……...…... 26

5.1 h=0.1 ve v =1 için t = 0.1_{]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ k GH÷HUOHULDOÕQDUDN} Euler \|QWHPLLOHHOGHHGLOHQo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ 37 5.2 v =0.1 ve k =0.00001 için t = 0.1_{]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL}

DOÕQDUDN Euler yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümle NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ .………... 37 5.3 h=0.1 ve v =1 için t = 0.1_{]DPDQDGÕPÕQGD IDUNOÕ k GH÷HUOHUL DOÕQDUDN}

ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin

DQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 40 5.4 v =0.1 ve k =0.00001 için t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitiko|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 41 6.1 h=0.1, v=1 ve k=_{LoLQIDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD(XOHU\|QWHPLLOH}

elde edilen çözümlerin analitiko|]POHUOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 53 6.2 v =1 ve k =0.00001 için t = 0.01_{]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL}

DOÕQDUDN Euler yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik

o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 54 6.3 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için _{IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD ikinci mertebeden}

Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle kDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 56 6.4 v =1 ve k =0.00001 için t = 0.01]DPDQDGÕPÕQGD IDUNOÕhGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitiko|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 56 6.5 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için _{ IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD Crank-Nicolson}

yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 59 6.6 v =1 ve k =0.00001 için t = 0.01_{]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕh GH÷HUOHUL}

DOÕQDUDN Crank-Nicolson yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 59 7.1 h=0.01, v=0.5 ve k=0.00002 için t=0. 2 _{]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen}

nümerik çözümler ile analitik çözümün kaUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 62 7.2 h=0.01, v=0.1 ve k=0.00005 için t=0.3 _{]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen}

nPHULNo|]POHULOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 62

7.3 h=0.02, v=0.01 ve k=0.0001 için t=0.8 _{]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen} QPHULNo|]POHULOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 63

7.4 h=0.01, v=0.5 ve k =0.00001 için t=   ]DPDQ DGÕPÕQGD elde edilen QPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 66

7.5 h=0.01, v =0.1 ve k =0.00001 için t = _{  ]DPDQ DGÕPÕQGD HOGH} edilen nümerik çözümlerin anDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 67

7.6 h=0.01, v =0.05 ve k =0.00002 için t = 0.6 zaman _{DGÕPÕQGD elde} HGLOHQQPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 67 7.7 h=0.01, v =0.01 ve k =0.00005 için t =1 _{]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen}

QPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 68 7.8 h=0.01, v =0.005 ve k =0.00001 için t =0.8 zaman DGÕPÕQGD elde edilen

7.9 h=0.01, k=0.00005 ve t=0.3 için IDUNOÕ viskosite GH÷HUOHULLOHHOGH edilen nümerik çözümler ... 69 7.10 h=0.01, v=0.05 ve k=0.00001 için t=0.1 zaman DGÕPÕQGD  HOGH  HGLOHQ

BÖLÜM 1

*ø5øù

Bir boyutlu Burgers denklemi,

2 2 x U v x U U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ úHNOLQGHGLU%XUDGDv >0NLQHPDWLNYLVNRVLWHNDWVD\ÕVÕGÕU %XUJHUVGHQNOHPLJD]GLQDPL÷LWUEODQVNDUÕúÕNDNÕúNDQDNÕúÕYHúRN dalgalar tHRULVL  JLEL oR÷X IL]LNVHO ROD\ÕQ PDWHPDWLNVHO PRGHOL RODUDN J|UOU 7UEODQVÕ PRGHOOH\HQ YH WDP o|]P DúÕUÕ GHUHFHGH ]RU RODQ 1DYLHU-Stokes GHQNOHPL\OH%XUJHUVGHQNOHPLOLQHHUROPD\DQWHULPOHULQLQúHNOLYHNoNNDWVD\ÕOÕ yüksek mertebeli türevlHULQ úHNOL D\QÕ  ROGX÷XQGDQ EHQ]HUGLUOHU %X EHQ]HUOLNWHQ GROD\Õ %XUJHUV  GHQNOHPL VÕN  VÕN  WUEODQVÕ LoHUHQ  VÕYÕ  GLQDPLN  SUREOHPOHULQL o|]PHGHPDWHPDWLNVHOPRGHORODUDNNXOODQÕOÕU

%DúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕQÕQGH÷LúLNVHoLPLLoLQ%XUJers denklemi, analitik olarak çözülebilen bir kaç lineer olmayan denklemden birisidir. 1950’ de Cole [1], ELUG|QúP\DUGÕPÕ\ODEXGHQNOHPLOLQHHUGLI]\RQGHQNOHPLQHG|QúWUGYH NH\ILELUEDúODQJÕoúDUWÕLoLQWDPRODUDNo|]G$QFDN_{Re =1}vúHNOLQGHNLE\N

5H\QROG  VD\ÕODUÕ  LoLQ  DQDOLWLN  o|]P  \HWHUVL]  NDOPDNWDGÕU dQN  GHQNOHP YLVNRVLWHQLQ  oHúLWOL  VHoLPOHUL  LoLQ SDUDEROLN  \D  GD  KLSHUEROLN  |]HOOLNOHU gösterebilmektedir. Bu yüzden pek çok yazar Burgers denklemini çözmek için, VRQOXIDUNODUVRQOXHOHPDQODUVÕQÕUHOHPDQPHWRGXYDU\DV\RQHO\|QWHPOHUJLEL nümerik yöntemler önerdiler.

(9DUR÷OXYH:')LQQ>@D÷ÕUOÕNOÕNDODQIRUPODV\RQXQDGD\DQDQELU sonlu eleman metodunu, J &DOGZHOO  YG >@ KHU VDIKDGD |QFHNL DGÕPODUGDQELOJLOHU NXOODQDUDN HOHPDQODUÕQ  E\NONOHULQL  GH÷LúWLUHQ  VRQOX  HOHPDQ  PHWRGXQX + 1JX\HQYH-5H\QHQ>@5H\QROGVD\ÕVÕQÕQE\NGH÷HUOHULLoLQVRQOXHOHPDQ metodunun en küçük ka_{UHOHU  ]D\ÕI  IRUPODV\RQXQX  NXOODQGÕODU 3 -DPHW YH 5} Bonnerot [5] Burgers denklemini isoparametrik rectangular konum-zaman sonlu HOHPDQPHWRGXQXNXOODQDUDNo|]GOHU)DNDWEX\|QWHPVÕQÕUNDWPDQÕE|OJHVLQGHNL QPHULNo|]PLoLQDúÕUÕVD\ÕGDNRQXPVDOJULGQRNWDVÕQDLKWL\DoGX\GX7g]Lú

o|]POHULWDPo|]POHUOHNDUúÕODúWÕUGÕODU$'R÷DQ>@YLVNRVLWHGH÷HUOHULQLQE\N bir cümlHVLLoLQ\NVHNGR÷UXOXNWDo|]PHVDKLS*DOHUNLQVRQOXHOHPDQPHWRGXQX NXOODQGÕYHEXPHWRGXQGDKD|QFHNLPHWRWODUÕQoR÷XQGDQGDKDL\LVRQXoYHUGL÷LQL gösterdi.

K. Kakuda  YH 1 7RVDND >@ JHQHOOHúWLULOPLú  VÕQÕU  HOHPDQ  PHWRGXQX '- (YDQVYH$5$EGXOODK>@JUXSDoÕNVRQOXIDUNPHWRGXQXNXOODQGÕODU6.XWOXD\ YG>@LVH\NVHNGR÷UXOXNWDQPHULNo|]POHUHOGHHWPHNLoLQ%XUJHUVEHQ]HUL denklemlere tam-DoÕNVRQOXIDUNPHWRGXQX|QHUGLOHU$5%DKDGÕUYH06D÷ODP >@VRQOXIDUNYHVÕQÕUHOHPDQ\DNODúÕPODUÕQÕQNXOODQÕOGÕ÷ÕELUPHWRWODGHQNOHPL çözdüler.

(% /LQ  YH  ; =KRX >@ NÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPOHULQ o|]P LoLQ Burgers denklemini örnek alarak Galerkin metodu ve sonlu fark metodunu ELUOHúWLUHQ\DUÕ-NDSDOÕ]DPDQÕD\UÕúWÕUPDPHWRGXQXNXOODQGÕODU6$EEDVEDQG\YH M.T. Darvishi [13], Burgers denklemini Hopf-&ROHEHQ]HULKHUKDQJLELUG|QúP NXOODQPDGDQOLQHHUOHúWLUPHGHQ]DPDQÕD\UÕúWÕUPDPHWRGX]HULQHNXUXOan modife HGLOPLú$GRPLDQD\UÕúÕPPHWRGX\ODGLUHNWRODUDNo|]GOHU7g]LúYH$g]GHú >@ GHQNOHPLQ VHUL IRUPXQGDNL \DNODúÕN  o|]PQ HOGH HGHELOPHN LoLQ bir direkt YDU\DV\RQHO  PHWRG  NXOODQGÕODU (1 $NVDQ  YH  $ g]GHú >@ ]DPDQÕ  D\UÕúWÕUma metodunu temel alan bir varyasyonel metodla denklemi çözdüler. Viskositenin IDUNOÕGH÷HUOHULLoLQEX\ROODEXOGXNODUÕQPHULNo|]POHULWDPo|]POHNDUúÕODúWÕUGÕODU YH  EXQODUÕQ  ELUELUL  LOH X\XPOX ROGX÷XQX J|VWHUGLOHU (1 $NVDQ >@  GHQNOHme ]DPDQÕQD\UÕúWÕUÕOPDVÕQDGD\DQDQ*DOHUNLQVRQOXHOHPDQPHWRGXQXX\JXODGÕ

Burgers denkleminin çözümünde, nümerik tekniklerle beraber Spline ve B-VSOLQHIRQNVL\RQODUÕGDNXOODQÕOPDNWDGÕUgUQH÷LQ6.XWOXD\YG>@X\JXQEDúODQJÕo ve sÕQÕU úDUWÕQD VDKLS ELU ER\XWOX %XUJHUV EHQ]HUL GHQNOHPOHULQ QPHULN o|]POHULQL hesaplamak için en küçük kareler kuadratik B-spline sonlu eleman metodunu WDQÕWWÕODU 7 g]Lú YG >@ *DOHUNLQ  NXDGUDWLN   %-spline sonlu eleman metodunu kullanarak, Hopf-&ROH G|QúP \DUGÕPÕ\OD LQGLUJHQHQ  ELU ER\XWOX  %XUJHUV GHQNOHPLQLQ  \DNODúÕN  o|]POHULQL  EXOGXODU , 'D÷ YG >@ GHQNOHPGHNL OLQHHU ROPD\DQWHULPLOLQHHUOHúWLUHQELUNELN%-VSOLQHG]HQOHPH\|QWHPLQLNXOODQGÕODU

6RQ  \ÕOODUGD  LVH  oRN E\N 5H\QROG VD\ÕODUÕ LoHUHQ %XUJHUV GHQNOHPLQL o|]PHGH\HQLPHWRWODU|QHULOGL7g]LúYH<$VODQ>@5H\QROGVD\ÕVÕQÕQPPNQ RODQ  EWQ \NVHN  GH÷HUOHUL  LoLQ  GHQNOHPL SHUWXUEDV\RQ  WHNQL÷LQL    NXOODQDUDN

çözdüler. M.B. Abd-el-Malek ve S.M.A. El-0DQVL >@ \DNODúÕN EDúODQJÕo YH VÕQÕU úDUWOÕ Burgers denklemini çözmek için grup-NXUDPVDOPHWRWODUÕNXOODQGÕODU

<R÷XQ  oDOÕúPDODUD  UD÷PHQ OLQHHU ROPD\DQ UUx WHULPLQLQ  úRN GDOJDODUD

J|WUG÷ E\N 5H\QROG VD\ÕODUÕQGD %XUJHUV GHQNOHPLQLQ o|]P KDOD |QHPLQL NRUXPDNWDGÕU

%L] EX oDOÕúPDGD KHP  %XUJHUV  GHQNOHPLQH KHP GH +RSI-&ROH G|QúP \DUGÕPÕ\ODOLQHHUOHúWLULOPLú%XUJHUVGHQNOHPLQH0HWKRGRI/LQHV02/¶ÕX\JXODGÕN Bu yolla elde edilen adi türevli denklem sistemini ise Euler, ikinci mertebeden Runge-Kutta ve Crank-Nicolsan yöntemleri gibi nümerik yöntemlerle çözerek tam o|]POHNDUúÕODúWÕUGÕN

BÖLÜM 2

%X  NÕVÕPGD  oDOÕúPDPÕ]GD  NXOODQDFD÷ÕPÕ]  ED]Õ  WHPHO  WDQÕm, teorem ve \|QWHPOHUNÕVDFDWDQÕWÕODFDNWÕU   %ø5  0$75ø6ø1  g='(ö(5/(5ø  ø/(  ø/*ø/ø  7$1,0  9( TEOREMLER 2.1.1. 7DQÕP n n IR A ∈ ve _λ∈IR olmak üzere,

( )

(

A In

)

P _{λ = det −λ}

RODUDNWDQÕPODQDQ P polinomuna A matrisinin karakteristik polinomu denir [22].

2.1.2. _7DQÕP n

n IR

A ∈ matrisinin karakteristik polinomu P ise P polinomunun köklerine A matrisinin _{NDUDNWHULVWLNGH÷HUOHULYH\D|]GH÷HUOHUL denir [22].}

7DQÕP n

n IR

A ∈ matrisinin λi (i=1,2,3,…,n|]GH÷HUOHULLoLQ

(

A−λiIn

)

x=0

HúLWOL÷LQL  VD÷OD\DQ  VÕIÕUGDQ  IDUNOÕ  ELU  n IR

x ∈ vektörüne A matrisinin λi

|]GH÷HUOHULQHNDUúÕOÕNJHOHQkarakteristik vektörü veya özvektörü denir [22]. 2.1.4. Teorem ( 2. Gerschgorin veya Brauer Teoremi) : Bir A

_{[ ]}

aij _{n n}

×

= karesel

matrisinin ass N|úHJHQ HOHPDQÕ KDULo  s VDWÕUGD EXOXQDQ  HOHPDQODUÕQ  PRGOOHUL

WRSODPÕPs olsun. Bu takdirde A¶QÕQKHUELU|]GH÷HUL

çemberlerinin en az birinin içinde veya üzerinde bulunur [23].

s ss P

a _≤

−

2.2. TÜRE_{9/(5(621/8)$5.<$./$ù,0/$5,}

%LULQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ

(

xt

)

U _{, fonksiyonu} GH÷LúNHQOHULQHJ|UH\HWHULQFHWUHYOHQHELOen bir fonksiyon olsun. U

₍

x₊h,t

₎

ve U

₍

x₋h,t

₎

IRQNVL\RQODUÕQÕQx QRNWDVÕFLYDUÕQGDNL7D\ORU VHULDoÕOÕPODUÕ

(

,

)

(

,

)

_{1! 2! 3!} 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + x U h x U h x U h t x U t h x U (2.1)

(

,

)

(

,

)

_{1! 2! 3!} 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − x U h x U h x U h t x U t h x U _(2.2) GÕUYH¶GHQ_{∂U ∂}xWUHYLoHNLOLUVHVÕUDVÕ\OD

(

)

(

)

_... ! 3 ! 2 , , 3 3 2 2 2 − ∂ ∂ − ∂ ∂ − − + = ∂ ∂ x U h x U h h t x U t h x U x U (2.3)

(

)

(

)

_... ! 3 ! 2 , , 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + − − = ∂ ∂ x U h x U h h t h x U t x U x U (2.4) \D]ÕOÕU¶GHQoÕNDUWÕOÕUYH_{∂U ∂}xWUHYL\DOQÕ]EÕUDNÕOÕUVD

(

)

(

)

_... 6 2 , , 3 3 2 − ∂ ∂ − − − + = ∂ ∂ x U h h t h x U t h x U x U (2.5)

bulunur. Bulunan bu (2.3), (2.4) ve (2.5) denklemlerinden U

₍

x,t

₎

fonksiyonunun

xFLYDUÕQGDNLELULQFLPHUWHEHGHQWUHY\DNODúÕPODUÕ

(

)

(

)

( )

h O h t x U t h x U x U + − + = ∂ ∂ , , _{³øOHULIDUN´}

(

x,t

)

U

(

x h,t

)

_O(h) U U _{− −} ∂ _{“ Geri fark ” (2.7)}

(

)

(

)

_{( )} 2 , , _{O h}2 h t h x U t h x U x U + − − + = ∂ ∂ _{“ Merkezi fark ” (2.8)}

olarak elde edilir. Burada “O ” sonsuz terimli bir ifadenin sonlu terimine kadar DOÕQGÕ÷ÕQÕO(h) terimi ise h→0LNHQROXúDFDNKDWDQÕQhLOHRUDQWÕOÕROGX÷XQX gösterir [24]. øNLQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ 2 2 x U ∂ ∂ LNLQFLPHUWHEHGHQWUHY\DNODúÕPÕQÕEXOPDNLoLQU

(

x+2h,t

)

ve

(

x ht

)

U _{−2 ,}   IRQNVL\RQODUÕQÕQ  x  FLYDUÕQGDNL  7D\ORU  VHUL  DoÕOÕPODUÕQÕ  J|] |QQH

DODOÕP%XDoÕOÕPODUVÕUDVÕ\OD

(

2 ,

)

(

,

)

2 4₂ 8₆ 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + x U h x U h x U h t x U t h x U _(2.9)

(

2 ,

)

(

,

)

2 4₂ 8₆ 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − x U h x U h x U h t x U t h x U _(2.10)

GÕUYHGHQNOHPOHULQGHQ_{∂U ∂}x yok edilip _∂2_{U ∂}x2 çekilirse;

(

,

)

2

(

,

)

(

2 ,

)

_... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − + + + − = ∂ ∂ x U h h t h x U t h x U t x U x U HOGHHGLOLU%HQ]HUúHNLOGHYHGHQNOHPOHULQGHQ

(

,

)

2

(

,

)

(

2 ,

)

_... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + − + − − = ∂ ∂ x U h h t h x U t h x U t x U x U

bulunur. (2.1) ve (2.2) denklemlerinden _{∂U ∂}x _{yok edilip ∂}2_{U ∂}x2 \DOQÕ] EÕUDNÕOÕUVD

(

)

(

)

(

)

_... 12 , , 2 , 4 4 2 2 2 2 + ∂ ∂ − − + − + = ∂ ∂ x U h h t h x U t x U t h x U x U

bulunur. Böylece,

(

,

)

2

(

,

)

(

2 ,

)

_{( )} 2 2 2 h O h t h x U t h x U t x U x U + + + + − = ∂ ∂ _{³øOHULIDUN´ 2}

(

,

)

2

(

₂,

)

(

2 ,

)

( ) 2 h O h t h x U t h x U t x U x U + − + − − = ∂ ∂ _{“Geri fark” (2.12)} “Merkezi fark” (2.13) WUHY\DNODúÕPODUÕHOGHHGLOLU

Problemin çözüm bölgesinin B₌

_{

₍

x,t

₎

:0_≤ x_≤l,t_>0, l sonlu

_}

 ROGX÷XQX NDEXOHGHOLP6RQOXIDUN\DNODúÕPÕLoLQo|]m bölgesi; _{∆t =}k _{ve ∆}x₌h ₌l N olmak üzere x_{i =}ih_, t_{n =}nk ( i=0,1,2,…,N , n=0,1,2,… , +

Ζ ∈

N _{) koordinat}

GR÷UXODUÕ  \DUGÕPÕ\OD  NDIHVOHUH  E|OQU  |\OH NLU

(

x, t

)

GH÷LúNHQL  VDGHFH  JULG

QRNWDODUÕQGDGH÷HUDOÕU

Bir P

₍

ih_,nk

₎

JULGQRNWDVՁ]HULQGHU ¶QXQGH÷HUL

(

)

in in

p U ih nk U U

U _{= ≅ ≅}

,

,

gösterimlerinden biri ile ifade edilir.

%X  J|VWHULPOHULQ  NXOODQÕOPDVÕ  YH  KDWDODUÕQ  LKPDO  HGLOPHVL\OH  ELULQFL PHUWHEHGHQWUHYOHULQVRQOXIDUN\DNODúÕPODUÕRODQYHIRUPOOHUL VÕUDVÕ\OD h U U x U _in _{− i}n ≅ ∂ ∂ +1 h U U x U n i n i − −1 ≅ ∂ ∂

(

,

)

2

(

,

)

(

,

)

₍ 2₎ 2 2 2 h O h t h x U t x U t h x U x U + − + − + = ∂ ∂

h U U x U n i n i 2 1 1 − + − ≅ ∂ ∂

ikinci mertebeden türevlerin sRQOXIDUN\DNODúÕPODUÕRODQ(2.11), (2.12) ve (2.13) IRUPOOHULLVHVÕUDVÕ\OD 2 2 1 2 2 2 h U U U x U _in _in _in + + + − ≅ ∂ ∂ 2 2 1 2 2 2 h U U U x U _in _in _in − − + − ≅ ∂ ∂ 2 1 1 2 2 ₂ h U U U x U _in _in _in − + − + ≅ ∂ ∂ RODUDN\D]ÕOÕU %ø5ø1&ø0(57(%('(1/ø1((5'(1./(0/(5ødø11h0(5ø. YÖNTEMLER

Birinci mertebeden bir lineer adi türevli diferansiyel denklem,

( )

t U

( )

t

U_{′ =λ} (2.14)

úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOLUλU

( )

t = f

( )

U denilirse (2.14) denklemi,

( )

t f

( )

U

U_{′ =}

RODUDN\D]ÕOÕU Burada λ, sabitler matrisidir.

2.3.1. Euler Yöntemi

IRUPXQGDNLELUOLQHHUGHQNOHPH(XOHU\|QWHPLQLQX\JXODQPDVÕ\OD çözümler,

( )

n n n U kf U U +1 _{= +} , n=0,1,2,... ya da n n n U k U U +1_{= + λ} IRUPO\OHKHVDSODQÕU>@ øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi

(2.14) denklemi için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi,

( )

n n U kf U U 2 1 * + = olmak üzere,

( )

* 1 U kf U Un+ ₌ n₊ ile verilir.

Yani çözümler n=0,1,2,… için,

      + + = + n n n n U k U k U U _{λ λ} 2 1 1 veya n n

₍

₎

n

₍

₎

n U k U k U U 1 2 2 1 λ λ + + = + IRUPO\OHKHVDSODQÕU>@

2.3.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi Dördüncü mertebeden Runge-Kutta çözümleri ise,

( )

Un f F =0

      + = 0 1 2 1 kF U f F n       + = 1 2 2 1 kF U f F n

(

2

)

3 f U kF F ₌ n₊ olmak üzere,

(

0 1 2 3

)

1 _{2 2} 6 F F F F k U Un+ ₌ n_{+ + + + , n=0,1,2,… (2.15)} úHNOLQGHGLU>@ i

F_{’ ler ( i=0,1,2}GDKDDoÕNRODUDN

( )

Un F Un f F_{0 = ⇒ 0 =λ}

(

n

)

n n n n U k U F U k U kF U f F 2 2 1 2 1 2 1 0 1 λ λ ⇒ =λ + λ      + =       + = n n n n n n n U k U k U F U k U k U kF U f F 4 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 1 2 λ λ λ λ λ λ ⇒ = + +                 + + =       + =

(

)

_               + + + = + = n n n n n U k U k U k U kF U f F 4 2 3 2 2 2 3 λ λ λ λ n n n n U k U k U k U F 4 2 4 3 3 2 2 3 =λ + λ + λ + λ

úHNOLQGH \D]ÕOÕU %XQODUÕQ  HúLWOL÷LQGH  \HUOHULQH \D]ÕOPDVÕ\OD  OLQHHU denklemi için dördüncü mertebeden Runge-Kutta çözümleri,

(

)

n

(

)

n

(

)

n n n n U k U k U k U k U U 24 6 2 4 3 2 1 λ λ λ λ + + + + = + , n=0,1,2,… ile bulunur [25]. 2.4. %ø5ø1&ø0(57(%('(1 /ø1((52/0$<$1'(1./(0/(5ødø1 1h0(5ø.<g17(0/(5 2.4.1. Euler Yöntemi Genel olarak,

( )

U f U =′ (2.16) úHNOLQGHNLOLQHHUROPD\DQGHQNOHPOHULoLQ(XOHU\|QWHPL

( )

n n n U kf U U +1_{= + , n=0,1,2,...} úHNOLQGHWDQÕPOÕGÕU>@

øNLQFL0HUWHEHGHn Runge-Kutta Yöntemi

(2.16) lineer olmayan denklemi için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi, ) ( 2 1 * n n U kf U U _{= +} (2.17) olmak üzere, _Un 1 _Un _kf(_U*) + = + , n=0,1,2,… (2.18)

formülü ile verilir. Burada, (2.17) ile hesaplanan _U*_{   GH÷HUOHUL} 2 1 + n t zaman DGÕPÕQGDKHVDSODQDQ 2 1 + n U GH÷HUOHULGLU¶GH f fonksiyonu bu 2 1 + n U _ara

QRNWDODUÕQGDGH÷HUDODUDN_Un+1GH÷HUOHUL bulunur [25].

2.4.3. Crank-Nicolson Yöntemi

(2.16) denkleminin Crank-1LFROVRQ\|QWHPLLOHo|]POHULQLQEXOXQPDVÕQGD n_{=0,1,2,… için,}

IRUPONXOODQÕOÕU [25].

2.5. _{621/8)$5.<g17(0/(5øødø1*(1(/.$5$5/,/,.$1$/ø=ø}

.ÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPH  NDUúÕOÕN  JHOHQ  VRQOX  IDUN  GHQNOHPLQLQ o|]PQQNÕVPLGLIHUDQVL\HOGHQNOHPLQWDPo|]PQH\DNÕQVDPDVÕLoLQJHUHNOL RODQ  úDUWODUD  NDUDUOÕOÕN  úDUWODUÕ  NDUDUOÕOÕN  úDUWODUÕQÕQ  EXOXQPDVÕ  LúOHPLQH  GH NDUDUOÕOÕNDQDOL]LGHQLU

.DUDUOÕOÕN  DQDOL]L  LoLQ  ELOLQHQ  LNL  \|QWHP  YDUGÕU %L]  EXUDGD  PDWULV \|QWHPLQGHQEDKVHGHFH÷L] 2.5.1. Matris Yöntemi 0DWULV\|QWHPLOLQHHUGHQNOHPOHULoLQNXOODQÕODQNDUDUOÕOÕNDQDOL]OHULQGHQ biridir. 6RQOXIDUNGHQNOHPOHULQLQo|]PQQNDUDUOÕOÕ÷ÕQÕQLQFHOHQPHVLQGH\D\JÕQ RODUDNNXOODQÕOÕU %X\|QWHPOHNDUDUOÕOÕ÷ÕLQFHOHPHNLoLQ 2 2 x U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ _{, l} x ≤ ≤ 0 , t>0 ]DPDQED÷ÕPOÕER\XWVX]ÕVÕ-iletim problemini,

(

1

)

1 2 + + + + = n n n n U U f k U U

(

t

)

g

( )

t U 1 , 0 = , t≥0

( )

l t g

( )

t U 2 , = , t ≥0 VÕQÕUúDUWODUÕYH

(

x

)

f

( )

x U _{,0 = ,} 0_{≤ x ≤}l EDúODQJÕoúDUWÕLOHGúQHOLP%urada g1

( )

t , g2

( )

t ve f

( )

x IRQNVL\RQODUÕELOLQL\RU

ROVXQ .ÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPH  NDUúÕOÕN JHOHQ VRQOX IDUN \DNODúÕPÕ NDSDOÕ olarak matris notasyonunda,

( ) _AU( ) _b

U m+1 ₌ m ₊

(2.19)

úHNOLQGH\D]ÕODELOLU_U(m+1)GH÷HULQHoRN\DNÕQELUo|]P_U(m+1)* _{olsun ve bu}

o|]P\XYDUODPDKDWDODUÕQÕGDLoHUVLQ%XGXUXPda, ( ) _AU( ) _b U m+1* ₌ m*_{+ (2.20)} \D]ÕODELOLU%XUDGDNLKDWDQÕQ * m i m i m i U U e _{= −} ROGX÷XGúQOUVHKDWDYHNW|U ( )

[

m

]

T N m N m m m m m U U U U U U e * * * 1 1 2 2 1 1 − − − − − = 

olur. (2.19) ifadesindHQLIDGHVLQLQoÕNDUÕOPDVÕ\OD

(m ) ( )m e A e +1 ₌

EXOXQXU%XHúLWOLNWHQ ( ) ( 1) 2 ( 2) ( )0 e A e A e A em ₌ m− ₌ m− _{= =} m  (2.21) \D]ÕODELOLU %XUDGD  ( )

[

e e eN

]

T e 0 1 0 2 0 1 0 −

=    EDúODQJÕo  KDWDVÕGÕU %DúODQJÕo

KDWDVÕQÕQt ¶GDELOLQGL÷LQLNDEXOHGHOLPYH ( )m

e KDWDVÕQÕQVÕQÕUOÕNDOPDúDUWÕQÕ DUDúWÕUDOÕP

A  UHHO  VLPHWULN  YH  UDQNÕ  N-1) olan bir matris olsun. Böylece A matrisinin λ1,λ2,...,λN−1|]GH÷HUOHULQHN-1WDQHOLQHHUED÷ÕPVÕ]W1,W2,...,WN−1 |]YHNW|UNDUúÕOÕNJHOLU%|\OHFHWk ( k=1,2,3,…,N-1) lar 1 − N IR X]D\ÕLoLQELU ED]GÕU'ROD\ÕVÕ\ODN-1) boyutlu herhangi bir vektör Wk¶ODUÕQOLQHHUELUOHúLPL

RODUDN\D]ÕODELOLU ( )0 ₋1 ∈ N IR e ROGX÷XQGDQ ( )

∑

− = = 1 1 0 N k k kW a e (2.22) \D]ÕODELOLU¶QLQ¶GH\D]ÕOPDVÕ\OD ( )

∑

− = = 1 1 N k k k m m W a A e (2.23) bulunur. g]GH÷HUYH|]YHNW|UWDQÕPÕPGDQ GLU$\UÕFD k m k k m W W A _=λ GLU%XHúLWOLN¶GHNXOODQÕOÕUVD k k k W W A _=λ

( )

∑

∑

∑

− = − = − = = = = 1 1 1 1 1 1 N k k m k k N k k m k N k k k m m W a W A a W a A e _λ elde edilir. m _artarken ( )m e QLQVÕQÕUOÕNDOPDVÕ\DQLPXWODNGH÷HUFHLVWHQLOGL÷LNDGDU NoNELUSR]LWLIVD\ÕGDQNoNNDOPDVÕLoin, 1 max k _≤ k λ ROPDOÕGÕU>@

BÖLÜM 3

3.1. METHOD OF LINES (MOL)_<g17(0ø

0HWKRGRIOLQHV02/OLQHHUYHOLQHHUROPD\DQGHQNOHPOHULQEDúODQJÕo VÕQÕU  GH÷HU  SUREOHPOHULQLQ  o|]PQ  EXOPDNWD  NXOODQÕODQ bir yöntemdir [26]. <|QWHP ELU  GH÷LúNHQH  NRQXP  GH÷LúNHQLQH J|UH NÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPL D\UÕúWÕUDUDN VRQXoWD GHQNOHPL  NROD\OÕNOD o|]OHELOHQ  DGL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP VLVWHPLQH G|QúWUU .ÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP  EWQ GH÷LúNHQOHULQH J|UH D\UÕúPDGÕ÷ÕQGDQ02/ED]HQ\DUÕ-D\UÕúWÕUPDPHWRGXRODUDNELOLQLU>@$\UÕúWÕUPD VRQOXIDUNODUVRQOXHOHPDQODU\DGDD÷ÕUOÕNOÕNDODQ\|QWHPOHULJLELoHúLWOL\ROODUOD \DSÕODELOLU>@

02/\DNODúÕPÕQÕQHQ|QHPOLDYDQWDMÕKHPDoÕN\|QWHPOHULQNROD\OÕ÷ÕQD KHP  GH DGL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPLQ  o|]PQGH  ]D\ÕI  ELU  QPHULN  \|QWHP NXOODQPDGÕNoD NDSDOÕ  \|QWHPOHULQ  VWQO÷QH  NDUDUOÕOÕN  DYDQWDMÕQD VDKLS ROPDVÕGÕU0HWRGXQEXQGDQEDúNDoRN|QHPOLLNLDYDQWDMÕGDKDYDUGÕU%LULQFLVL EX  PHWRGOD VD\ÕVDO  KHVDSODPDODUGD  |QHPOL  DUWÕúODU  YH  VÕQÕU  úDUWODUÕ  LoLQ  HN zorluklar olmadan \NVHNPHUWHEHGHQ\DNODúÕPODUÕo|]PHNPPNQGUøNLQFLVL zaman integrasyonunda güvenli ve etkili bir adi diferansiyel denklem çözücüsünün NXOODQÕPÕ\ODoRNNoNDGÕPODUNXOODQPDGDQGDL\LVRQXoODUDOÕQDELOLU>@

3.2. MOL <g17(0ø1ø1 ISI'(1./(0ø1(8<*8/$10$6,

xx

t U

U = (3.1) úHNOLQGHNL-boyutlu lineer parabolik denklem,

(

x

)

f

( )

x U _{,0 =}

EDúODQJÕoúDUWÕYH0_{≤ x ≤}l olmak üzere,

(

t

)

f

( )

t U 1 , 0 = , t >0

( )

l t f

( )

t U , = ₂ , t _>0

VÕQÕUúDUWODUÕLOHJ|]|QQHDOÕQVÕQ ih x_{i =} , h₌ x_{i −}x_i +1 t_{n =}nk, k ₌t_{i −}t_i +1

olmak üzere,

₍

xi,tn

₎

grid  QRNWDODUÕQÕ  WHPVLO  HWVLQ n i

U de bu

₍

x_i,t_n

₎

grid QRNWDODUÕQGDNLQPHULNo|]POHULJ|VWHUVLQ<DQLU

(

x,t

)

YHULOHQNÕVPLGLIHUDQVL\HO

denklemin tam çözümü olmak üzere

₍

₎

n

i U t x

U , _≈ olsun.

[

0,l

]

DUDOÕ÷Õ N parçaya bölünsün. Bu durumda, N +1WDQHJULGQRNWDVÕ olup x∆ , N l h x_{= =} ∆ dir.

MOL yöntemiyle çözümü bulmak için, denklemdeki x_{’ e göre türevin yerine}

sonlu fark \DNODúÕPÕ \D]ÕODUDN denklem diskrize edilir. Yani, 2 1 1 2 2 2 h U U U x U_{i i i i} − + − + ≅ ∂ ∂

DOÕQÕUBöylece kÕVPLGLIeransiyel denklem, 2 1 1 2 h U U U dt dU_{i i i i} + − − + = , i=1,2,3,...,N −1

úHNOLQGHNROD\OÕNOD çözülebilen lineer adi diferansiyel denklem sistemine G|QúU ve matris notasyonunda,

( )

t AU

( )

t f

( )

t

U_{′ = + (3.2)}

úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XUDGD A üçlü bant matris ve f

( )

t VÕQÕUúDUWODUÕQÕLoHUHQ

) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 − × −                           − − − − − − − = N N h A  ,

( )

( )

( )

₍ 1₎1 2 1 2 0 0 0 1 × −                           = N t f t f h t f  %XGLIHUDQVL\HOGHQNOHPVLVWHPLoHúLWOLQPHULN\|QWHPOHUNXOODQÕODUDNo|]OHELOLU %X  E|OPGH   GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP VLVWHPLQLQ  o|]PQ  DúD÷ÕGDNL EDúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕLoLQ(XOHU\|QWHPLLNLQFLPHUWHEHGHQ5XQge-Kutta ve dördüncü mertebeden Runge-.XWWD\|QWHPOHULLOHHOGHHWWLNYHVRQXoODUÕ7DEOR 7DEORYHùHNLOùHNLO¶GHWDPo|]POHNDUúÕODúWÕUGÕN ùLPGLGHQNOHPLQL

(

x

)

x

(

x

)

U ,0 ₌ 1₋ (3.1a)

(

0,t

)

=U

( )

1,t =0 U , t_>0 (3.1b)

EDúODQJÕoYHVÕQÕUGH÷HUOHULLOHJ|]|QQHDOÕS MOL yöntemini uygulayalÕP

[ ]

0,1   DUDOÕ÷Õ  N =10 olmak üzere N parçaya bölünsün. Bu durumda

10 1 =

h olup denklem sistemi,

1 2₂ 1 h U U U dt dU i i i i + − + − = , i=1,2,...,9 veya

0 2 2 2 2 0 10 2 8 9 10 9 2 2 3 4 3 2 1 2 3 2 2 0 1 2 1 0 = + − = + − = + − = + − = = U h U U U dt dU h U U U dt dU h U U U dt dU h U U U dt dU U 

úHNOLQGH\D]ÕODELOLUBu lineer diferansiyel denklem sistemi matris formunda,

                                                          − − − − − − − − − =                               9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 U U U U U U U U U h U U U U U U U U U dt d úHNOLQGHGLU%XUDGD 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1                 − − − − =  h A , U

_[

U₁ U₂ U₃ U₈ U₉

_]

₁T₉ × = 

ile J|VWHULOLUVHGLIHUDQVL\HOGHQNOHPVLVWHPLNÕVDFD AU U ′ ₌ (3.3) úHNOLQGHLIDGHHGLOLU 3.2.1. Euler Yöntemi

Bu diferansiyel denklem sistemini ilk olarak Euler yöntemiyle çözelim. Bu yönteme göre (3.3úHNOLQGHNL denklemlerin çözümü,

n n n kAU U U +1 _{= +} , n=0,1,2,…

IRUPO  LOH KHVDSODQÕU >@ Burada k , t (zaman) yönündeki grid mesafesi olup IRUPOPDWULVQRWDV\RQXQGD\D]ÕOÕUVD                                                         − − − − − − − − − +                             =                               + + + + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n U U U U U U U U U h k U U U U U U U U U U U U U U U U U U 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ve _{k h}2 r = ROPDN]HUHDoÕNRODUDN\D]ÕOÕUVD

(

)

(

)

(

)

       = − + = + − + = + − + = − + − + + 9 , 2 8 ,..., 2 , 2 1 , 2 1 1 1 1 1 i U U r U i U U U r U i U U r U U n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i úHNOLQGHGLU

(XOHU\|QWHPLQGHDoÕNVRQOXIDUNWHNQL÷LNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDn, r≤1 2NDUDUOÕOÕN úDUWÕVD÷ODQDFDNúHNLOGHk ve hGH÷HUOHULDOÕQDUDNo|]P\DSÕOGÕ6RQXoODUt ’ nin IDUNOÕLNLGH÷HULLoLQ7DEORYH7DEOR¶GHYHULOGL

øNLQFL0ertebeden Runge-Kutta Yöntemi

øNLQFLPHUWHEHGHQ5XQJH-Kutta yöntemi ile (3.3) denkleminin çözümü

(

)

n

(

)

n n n U kA U kA U U 1 2 2 1 + + = + , n=0,1,2,… IRUPO\OHKHVDSODQÕU>@$OJRULWPDQÕQPDWULVIRUPX,                                                         − − − − − − − − − +                             =                             + + + + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n U U U U U U U U U h k U U U U U U U U U U U U U U U U U U 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

                                                        − − − − − − − − − − − − − − − −       + n n n n n n n n n U U U U U U U U U h k 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 2 5 4 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 4 5 2 1 úHNOLQGHGLU

$oÕNúHNLOGH\D]DUVDN

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

         = + − + − + = − + − + + − + = + − + − + + − + = + − + − + + − + = + − + + − + = − − − + − − + − + + − − + − + + − + − + + + + 9 , 5 4 5 . 0 2 8 , 4 6 4 5 . 0 2 7 ,..., 3 , 4 6 4 5 . 0 2 2 , 4 6 4 5 . 0 2 1 , 4 5 5 . 0 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 i U U U r U U r U i U U U U r U U U r U i U U U U U r U U U r U i U U U U r U U U r U i U U U r U U r U U n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i ROXU<LQHDoÕNVRQOXIDUNWHNQLNOHULNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDQr_≤12RODFDNúHNLOGH k ve hGH÷erleri seçilerek bu algoritmadan elde edilen çözümler Tablo 3.1 ve Tablo 3.2’ de verildi.

3.2.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi

Dördüncü mertebeden Runge –.XWWD\|QWHPLQGHo|]POHULQKHVDEÕLoLQ

n n n

₍

₎

n

₍

₎

n

₍

₎

n U kA U kA U kA kAU U U 1 2 3 4 24 1 6 1 2 1 + + + + = + _{, n=0,1,2,…} IRUPONXOODQÕOÕU [25].

Euler ve ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemlerLQGH \DSÕODQ LúOHPOHU EX yöntem için de benzer olarak \DSÕOÕU

,6,'(1./(0ø1ø1$1$/ø7ø.dg=h0h

ÕVÕGHQNOHPLQLQDYHEEDúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕLOHDQDOLWLN çözümünü GH÷LúNHQOHULQH D\UÕúWÕUPD yöntemini kullanarak EXODOÕP X sadece x’ in ve T sadece t’ nin birer fonksiyonu olmak üzere çözüm,

(

x,t

)

X(x)T(t) U ₌ IRUPXQGDGÕU

( )

t T x X U_{t =} ( ) _′ ve U_{xx =} X_′′(x)T(t)

ROGX÷XQDJ|UHÕVÕGHQNOHPL

( ) ( )

′ = ′′

( ) ( )

= −λ2 ⇒ ′ = ′′ =−λ2 X X T T t T x X t T x X _{, λ >0 (sabit)} úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XUDGDQ t e T T T ₂ 2 λ λ ⇒ = − − = ′

olarak elde edilir.

λ λ

λ

λ X m m i m i

X_′′+ 2 ₌0_⇒ 2₊ 2 ₌0_{⇒ 1 =} , _{2 =−}

ROGX÷XQGDQ X

( )

x çözümü, c1 ve c2 iki keyfi sabit olmak üzere,

( )

x c

( )

x c

( )

x X _{sinλ cosλ}

2

1 +

=

dir. O halde ÕVÕGHQNOHPLQLJHQHOçözümü,

( )

U x,t

(

c₁sin

( )

x c₂cos

( )

x

)

e λ2t

λ

λ + −

=

olarak bulunur. Sol sÕQÕUúDUWÕQGDQ

(

0,

)

0 2 0 2 0 2 = ⇒ = ⇒ = ce− c t U λt

olur. Böylece çözüm,

₍

₎

_{( )}

t e x c t x U _{, sin} 2 1 λ λ − = úHNOLQH gelir.6D÷VÕQÕUúDUWÕQGDQ

( )

1, 0 sin 0 2 1 = ⇒ = −λ λ t e c t U

olur. ∀ t için

e

−λ2t

≠

0

   GÕU. c1=0 ROPDVÕ  GXUXPXQGD GD DúLNDU çözüm elde

HGLOHFH÷LQGHQc1 ≠0ROPDOÕGÕUO halde,

sinλ =0⇒λ = nπ , n=0,#1,#2,... dir. Böylece, U_n

₍

x,t

₎

c_ne−n2π2tsin

₍

n_πx

₎

=

çözümü elde edilir. Burada c₁ yerine n’ nin  IDUNOÕ  GH÷HUOHUL için  NXOODQÕODELOHQ,

fonksiyon sabitlerini gösteren cn DOÕQPÕúWÕU. %X úHNLOGHNL o|]POHULQ KHU ELUL  VÕQÕU

úDUWODUÕQÕVD÷ODU/LQHHUGHQNOHPOHULoLQo|]POHULQWRSODPÕGD\LQHELUo|]P ROGX÷XQGDQ

₍

₎

_∑

∞

₍

₎

= − = 1 sin , 2 2 n t n ne n x c t x U π _{π (3.4)}

de çözümdür (Süperpozisyon ilkesi). Son olarak EDúODQJÕo úDUWÕQÕn da VD÷ODnPDVÕ JHUHNWL÷LQGHQ

(

x

)

x

(

x

)

U ,0 ₌ 1₋ ⇒ U

₍

x

₎

c

₍

n x

₎

x

₍

x

₎

n n = − =

_∑

∞ = 1 sin 0 , 1 π

olur. Bu ise x

₍

1₋x

₎

fonksiyonunun 0_{< x<}1 için Fourier sinüs serisinin DoÕOÕPÕ SUREOHPLQHHúGH÷HUGLU O halde,

(

)

(

)

(

)

(

)

      − = − =

_∫

_∫

_∫

1 0 1 0 2 1 0 sin sin 2 sin 1 2 x x n xdx x n xdx x n xdx c_{n π π π} RODUDN\D]ÕOÕUVD

ve

(

)

(

)

2 2

(

)

3 3

(

)

3 3 1 0 2 2 cos 2 sin 2 cos 1 sin π π π π π π π π n n n n n n n dx x n x _{=− + + −}

∫

ROGX÷XQGDQ

(

)

3 3

(

)

3 3 2 2 4 cos 4 sin 2 π π π π π n n n n n c_{n =− − +}

bulunur. Bu GH÷HU (3.4)’ de yerine  \D]ÕOÕUVD    ÕVÕ  GHQNOHPLQLQ  D-b) úDUWODUÕQÕVD÷OD\DQo|]P,

(

)

(

)

(

)

e

(

n x

)

n n n n n t x U n t n π π π π π π π _sin 4 cos 4 sin 2 , 2 2 1 2 2 3 3 3 3 − ∞ =

∑

      + − − =

₍

₎

₍

₎

e

₍

n x

₎

n n n n n t n n π π π π π π _sin 4 1 4 sin 2 1 2 2 3 3 3 3 2 2

∑

∞ = −       + − − − = ya da

(

)

(

)

( )

(

)

(

k x

)

e k t x U k t k π π π _{sin 2 1} 1 2 8 , 0 1 2 3 3 2 2 + + =

_∑

∞ = + − úHNOLQGHelde edilir.

(

)

(

)

(

π

)

π π π π n n n n dx x n

x_sin 1 _cos 1 _sin

2 2 1 0 + − =

∫

Tablo 3.1 h=0.1 ve k =0.001 için t=0.01 zaman DGÕPÕQGDNL nümerik o|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ x _Euler øNLQFL mertebeden Runge-Kutta Dördüncü mertebeden Runge-Kutta Analitik çözüm 0.1 0.07574 0.07597 0.07596 0.07560 0.2 0.14126 0.14145 0.14145 0.14114 0.3 0.19021 0.19029 0.19029 0.19016 0.4 0.22002 0.22005 0.22005 0.22002 0.5 0.23000 0.23001 0.23002 0.23000 0.6 0.22002 0.22005 0.22005 0.22002 0.7 0.19021 0.19029 0.19029 0.19016 0.8 0.14126 0.14145 0.14145 0.14114 0.9 0.07574 0.07597 0.07596 0.07560

Tablo 3.2 h=0.02 ve k=0.0001 için t=0.1  ]DPDQ  DGÕPÕQGDNL nümerik çözümlerle analitik o|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ

x _Euler øNLQFL mertebeden Runge-Kutta Dördüncü mertebeden Runge-Kutta Analitik çözüm 0.1 0.02971 0.02973 0.02973 0.02972 0.2 0.05652 0.05654 0.05654 0.05652 0.3 0.07778 0.07782 0.07782 0.07780 0.4 0.09144 0.09148 0.09148 0.09146 0.5 0.09615 0.09619 0.09619 0.09616 0.6 0.09144 0.09148 0.09148 0.09146 0.7 0.07778 0.07782 0.07782 0.07780 0.8 0.05652 0.05654 0.05654 0.05652 0.9 0.02971 0.02973 0.02973 0.02972

ùHNLO h=0.1 ve k=0.001 için t=0.05 ]DPDQDGÕPÕQGD(XOHU\|QWHPLLOHHOGH HGLOHQo|]PQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ

ùHNLOh=0.1 ve k=0.001 için t ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen nümerik çözümlerle aQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x U (x ,t )

Euler øNLQFLPHUWHEHGHQ5XQJH.XWWD Tam çözüm

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x U (x ,t ) Euler Tam çözüm

BÖLÜM 4

%XE|OPGHPRGHOSUREOHPRODUDNNXOODQÕODFDNRODQ 2 2 x U v x U U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ _(4.1)

(

x

)

U

( )

x

( )

x U _{,0 sinπ} 0 = = (4.1a)

(

0,t

)

=U

( )

1,t =0 U (4.1b) EDúODQJÕo-VÕQÕUGH÷HUSUREOHPLQLQDQDOLWLNo|]P\DSÕODFDNWÕU %85*(56'(1./(0ø1ø1$1$/ø7ø.dg=h0Ü

  LOH  YHULOHQ  %XUJHUV  GHQNOHPLQLQ  GR÷UXGDQ  DQDOLWLN  o|]PQQ EXOXQPDVÕPPNQGH÷LOGLU)DNDWELUG|QúP\DUGÕPÕ\ODOLQHHUKDOHJHWLULOHUHN o|]OHELOHQoRND]VD\ÕGDNi non-lineer denklemlerden birisidir.

Burgers denklemi, Hopf-&ROHG|QúPRODUDNELOLQHQ

θ θx v U ₌₋2 (4.2) úHNOLQGHELUG|QúPLOH 2 2 x v t _∂ ∂ = ∂ ∂θ θ _(4.3)

OLQHHU  ÕVÕ  SUREOHPLQH  LQGLUJHQLU >@ %DúODQJÕo  YH  VÕQÕU  GH÷HUOHUL  LVH   G|QúPDOWÕQGD

( )

x _θ

(

x

)

c

{

(

v_π

)

[

( )

_πx

]

}

θ ,0 exp 2 1 cos 1 0 0 = = − − − (4.3a)

(

0,t

)

= x

( )

1,t =0 x θ θ (4.3b)

haline gelir.

ùLPGL   D  YH  E  úHNOLQGH  LQGLUJHQPLú  EDúODQJÕo-VÕQÕU  GH÷HU SUREOHPLQLQDQDOLWLNo|]PQGH÷LúNHQOHULQHD\ÕUPD\|QWHPL\OHEXODOÕP

Bunun için,

(

x,t

)

= X

( ) ( )

xT t

θ

(4.3) denkleminin bir çözümü olsun.

( ) ( )

xT t X x = ′ ∂ ∂θ

( ) ( )

xT t X x = ′′ ∂ ∂ 2 2 θ

( ) ( )

xT t X t = ′ ∂ ∂θ HúLWOLNOHULGHQNOHPLQGH\HULQH\D]ÕOÕUVD

( ) ( )

xT t vX

( ) ( )

xT t X _{′ = ′′} HOGHHGLOLU%XUDGDJHUHNOLG]HQOHPHOHU\DSÕOÕUVD 2 1 λ − = ′ = ′ ′ T T v X X , λ >0 (sabit) olur. Buradan, 0 2 = + ′ ′ X X _λ 0 2 = + ′ vT T _λ

úHNOLQGH  LNL  DGL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP  HOGH  HGLOLU %X  GHQNOemlerin çözümleri VÕUDVÕ\OD

( )

x B

(

x

)

A X _{= 1}cos_{λ + 1}sin_λ vt ce T −λ2 = dir. Bu çözümler,

(

x,t

)

₌ X

( ) ( )

xT t θ LIDGHVLQGH\HULQH\D]ÕOÕUVD

(

x_,t

)

[

A_cos

( )

x B _sin

( )

x

]

[

ce 2vt

]

1 1 λ λ λ θ = + −

elde edilir. Burada _{cA =1} A , _{cB =1} B denirse,

(

xt

)

e vt

[

A

( )

_λx B

( )

_λx

]

θ , λ cos sin 2 + = − (4.4) ROXU6ROVÕQÕUúDUWÕQGDQ

(

)

(

)

[

A x B x

]

e x vt λ λ λ λ θ λ2 sin cos + − = ∂ ∂ −

(

0,

)

(

)

0 2 = = ∂ ∂ − λ θ _{t e} λ _B x vt

GÕU_e−λ2vt _≠0ROGX÷XQGDQB ROPDOÕGÕU%|\OHFHo|]mü,

(

xt

)

Ae vt

(

λx

)

θ , λ cos 2 − = KDOLQHJHOLU'L÷HUVÕQÕUúDUWÕQÕQNXOODQÕOPDVÕ\OD

( )

x e A x vt λ λ θ −λ2 _sin − = ∂ ∂

( )

λ

( )

λ θ 1,_{t A e} λ2vtsin x − − = ∂ ∂

bulunur. Burada A ROXUVDDúLNDUo|]PEXOXQDFD÷ÕQGDQ 0 sinλ = ROPDOÕGÕU%|\OHFH π λ = n , n=0,#1,#2,... dir. λGH÷HULQLQ\HULQH\D]ÕOPDVÕ\OD

(

x t

)

Ane vn t

(

n x

)

n π θ , π cos 2 2 − =

o|]P  HOGH  HGLOLU 6SHUSR]LV\RQ  LONHVL  JHUH÷LQFH   GHQNOHPLQLQ  JHQHO çözümü,

(

)

_∑

(

)

∞ = − + = 1 0 cos , 2 2 n n vt n x n A e A t x _π θ π úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XLVHELU)RXULHUFRVLQVVHULVLGLU%XUDGDA0 , An Fourier NDWVD\ÕODUÕ

( )

{

(

)

[

( )

]

}

∫

=

∫

− − = − 1 0 1 0 1 0 0 0 x dx c exp 2 v 1 cos x dx A _{θ π π}

(

)

[

( )

]

{

v x

}

(

n x

)

dx c

A_n 2 exp 2_π 1 cos_π cos _π

1 0

1

0

_∫

− −