• Sonuç bulunamadı

Burgers denkleminin çözümü için bir yarı-analitik uygulama

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Burgers denkleminin çözümü için bir yarı-analitik uygulama"

Copied!
84
9
0
Daha Fazlasını Göster ( sayfa)

Tam metin

(1)

T.C.

ø1g1hh1ø9(56ø7(6ø

)(1%ø/ø0/(5ø(167ø7h6h

%85*(56'(1./(0ø1ø1dg=h0hødø1

%ø5<$5,-$1$/ø7ø.8<*8/$0$

DERYA TÜRK

<h.6(./ø6$167(=ø

0$7(0$7ø.$1$%ø/ø0'$/,

MALATYA

Temmuz 2005

(2)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

%85*(56'(1./(0ø1ø1dg=h0hødø1

%ø5<$5,-$1$/ø7ø.8<*8/$0$

Derya TÜRK øQ|QhQLYHUVLWHVL Fen Bilimleri Enstitüsü 0DWHPDWLN$QDELOLP'DOÕ 75 + x sayfa 2005 Tez'DQÕúPDQÕ'Ro'U$OLg='(ù %XWH]\HGLE|OPGHQROXúPDNWDGÕU BiULQFLE|OPGHEXoDOÕúPDGDPRGHOSUREOHPRODUDNNXOODQÕODQ%XUJHUV GHQNOHPLKDNNÕQGDELOJLYHULOPHNWHGLU øNLQFLE|OPGHNRQX\ODLOJLOLWHPHOWDQÕPODUWHRUHPOHUYH\|QWHPOHUNÕVDFD WDQÕWÕOPDNWDGÕU

Üçüncü bölümde, Methof of Lines  \|QWHPL  DoÕNODQDUDN  ELU  X\JXODPDVÕ \DSÕOPÕúWÕU

Dördüncü bölümde, Burgers denkleminin analitik çözümü verilmektedir. %HúLQFLE|OPEXoDOÕúPDQÕQHVDVÕQÕWHúNLOHGLS burada,OLQHHUOHúWLULOPLú

Burgers denkleminin nümerik çözümleri elde HGLOPLúWLU $\UÕFD NXOODQÕODQ

\|QWHPOHULQNDUDUOÕOÕNDQDOL]L\DSÕOPÕúWÕU

$OWÕQFÕE|OP\LQHtezin temelNÕVPÕROXS\|QWHPOHUGHQNOHPHGR÷UXGDQ uygulanDUDNQPHULNo|]POHUHOGHHGLOPLúWLU

Yedinci bölümde, elde edilen VRQXoODUÕQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕYHULOPHNWHGLU $1$+7$5.(/ø0(/(5 Burgers denklemi, Method of Lines, Euler yöntemi, øNLQFL mertebeden ve Dördüncü mertebeden Runge-Kutta yöntemleri, Crank-Nicolson yöntemi, Matris yöntemi.

(3)

ABSTRACT

M.Sc. Thesis

A SEMI-ANALITIC APPLICATION

FOR SOLUTION OF BURGERS’ EQUATION

Derya TÜRK øQ|Q8QLYHUVLW\

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

75 + x pages 2005

Supervisor : Assoc. Prof. $OLg='(ù

This thesis consists of seven chapters.

In chapter 1, it is devoted to Burgers’ equation that is used as a model problem in this study.

In chapter 2, it is briefly introduced general concepts, theorem and methods concerning with the subject.

In chapter 3, The Method of Lines is explained and applied to a problem. In chapter 4, analitic soOXWÕRQRI%XUJHUV’ equation is given.

Chapter 5 is the main part of this study in which numerical solutions of Burgers’ equation reduced by the Hopf-Cole transformation are obtained. Also, stability of the methods is investigated.

Chapter 6 is also important part of this thesis. In this chapter, the methods are directly applied to Burgers’ equation.

In chapter 7, it is given the comparison of the obtained numerical solutions.

KEYWORDS: Burgers’ equation, Method of Lines, Euler method, 2. order and 4. order Runge-Kutta methods, Crank-Nicolson method, Matrix method.

(4)

7(ù(..h5

Bu WH]LQKD]ÕUODQPDVÕQGDLOJLYHGHVWHNOHEDQD\DUGÕPFÕRODQoRNGH÷HUOL GDQÕúPDQKRFDP'Ro'U$OLg='(ù¶HVD\ÕQE|OPEDúNDQÕPÕ]3URI'U6DGÕN .(/(ù¶H0DWHPDWLN%|OPKRFDODUÕQDELOJLOHULQGHQID\GDODQGÕ÷ÕP $Uú. Gör. Dr.

E. Nesligül AKSAN ve g÷U*|UYusuf UÇAR’ a, hem maddi hem de manevi

(5)

ødø1'(.ø/(5

ÖZET ... iii ABSTRACT ... iv 7(ù(..h5 ... v ødø1'(.ø/(5 ... vi ù(.ø//(5/ø67(6ø ... viii 7$%/2/$5/ø67(6ø ... ix BÖLÜM 1 1.1.*ø5øù... 1 BÖLÜM 2 2.1. %ø5  0$75ø6ø1  g='(ö(5/(5ø  ø/(  ø/*ø/ø  7(0(/  7$1,0  9( TEOREMLER ... 4 2.2. 7h5(9/(5(621/8)$5.<$./$ù,0/$5, 5 2.2.1. %LULQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ 5 2.2.2. øNLQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ 6 2.3. %ø5ø1&ø  0(57(%('(1  /ø1((5  '(1./(0/(5  ødø1  1h0(5ø. YÖNTEMLER ……….….. 8 2.3.1. Euler Yöntemi ………...….... 8 2.3.2.øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi ………... 9

2.3.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi ………... 9

2.4. %ø5ø1&ø  0(57(%('(1  /ø1((5  2/0$<$1  '(1./(0/(5  ødø1 1h0(5ø.<g17(0/(5«««««««««««««««««« 11 2.4.1. Euler Yöntemi ……….... 11

2.4.2. øNLQFL0HUWHbeden Runge-Kutta Yöntemi ………... 11

2.4.3. Crank-Nicolson Yöntemi ………... 12 2.5. 621/8)$5.<g17(0/(5øødø1*(1(/.$5$5/,/,.$1$/ø=ø 2.5.1. Matris Yöntemi ……….. 12 BÖLÜM 3 3.1. M(7+2'2)/,1(6 02/ <g17(0ø««««««««««««« 16 3.2. 02/<g17(0ø1ø1,6,'(1./(0ø1(8<*8/$10$6,««««« 16 3.2.1. Euler Yöntemi ……….….... 20 3.2.2. øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi ……….………... 21

3.2.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi………... 22

3.3. ,6,'(1./(0ø1ø1$1$/ø7ø.dg=h0h«««««««««««« 22 BÖLÜM 4 4.1. %85*(56'(1./(0ø1ø1$1$/ø7ø.dg=h0h……….... 28

(6)

BÖLÜM 5 5.1. /ø1((5/(ù7ø5ø/0øù%85*(56'(1./(0ø1(02/<g17(0ø1ø1 UYGULANMASI ... ………... 33 5.1.1. Euler Yöntemi ……….. 36 5.1.2.øNLQFL0HUWHEHGHQ5unge-Kutta Yöntemi ……….. 39 5.2. 1h0(5ø.<g17(0/(5ø1.$5$5/,/,ö,««««««««««« 42 5.2.1.(XOHU<|QWHPLøoLQ.DUDUOÕOÕN$QDOL]L«««««««««« 42 5.2.2.øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-.XWWD<|QWHPLøoLQ.DUDUOÕOÕN$QDOL]L .... 44 BÖLÜM 6 6.1. %85*(56'(1./(0ø1ø11h0(5ø.dg=h0h«««««««... 50 6.1.1. Euler Yöntemi ………....………... 51 6.1.2. øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi ………... 55 6.1.3. Crank-Nicolson Yöntemi ………..…... 57 BÖLÜM 7 7.1. 6218d9(.$5ù,/$ù7,50$ ... 61

7.1.1. /LQHHUOHúWLULOPLú%XUJHUV Denkleminin Çözümleri ... 61

7.1.2. Burgers Denkleminin Çözümleri ... 66

KAYNAKLAR ... 73

(7)

ù(.ø//(5'ø=ø1ø

3.1 h=0.1 ve k=0.001 için t=0.05 zaman DGÕPÕQGD Euler yöntemi ile elde edilen çözümün analitik o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPaVÕ... 27 3.2 h=0.1 ve k=0.001 için t=0.5 zaman DGÕPÕQGD elde edilen nümerik

çözümlerle analitik çözümüQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 27 5.1 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD Euler yöntemi

ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerleNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 38 5.2 h=0.1, v=0.1 ve k=0.0005 için t=0.2 , 0.8 zaman DGÕPODUÕQGD Euler

yöntemi ile elde edilen çözümleriQDQDOLWLNo|]POHUOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 38 5.3 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD ikinci mertebeden

Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle karúÕODúWÕUÕOPDVÕ ………...…... 41

5.4 h=0.1, v=0.1 ve k=0.0005 için t=0.2, 0.8 zaman DGÕPODUÕQGD LNLQFL mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik

çözümlerOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 42

6.1 h=0.01,v=0.1 ve k=0.00005 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD

Euler yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle kDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 54

6.2 h=0.01, v=0.1 ve k=0.00005 için fDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümleri analitik o|]POHUOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 57

6.3 h=0.01, v=0.1 ve k=0.00005 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD  Crank- Nicolson yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle

NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 60 7.1 h=0.1, v=0.5 ve k=0.0001 için t ]DPDQDGÕPODUÕQGDNL

nümerik çözümler ile analitik çözüPOHULQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 63 7.2 h=0.01, v=0.09 ve k=0.00001 için t=0.2, 0.4 zaman DGÕPODUÕQGDNL

nümerik o|]POHUOHDQDOLWLNo|]POHULQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 64 7.3 h=0.02, v=0.05 ve k=0.0001 için t ]DPDQDGÕPODUÕQGD elde

edilen nümeriko|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 64 7.4 h=0.02, v=0.009 ve k=0.0001 için t=0.6, 0.9 zaman DGÕPODUÕQGD elde

edilen nümerik çözümlerin NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 65 7.5 h=0.02, v=0.005 ve k=0.0001 için t=0.8, ]DPDQDGÕPODUÕQGDHOGH

edilen çözümlerLQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 65 7.6 h=0.1, v=0.7 ve k=0.002 için t=0.8 zaman DGÕPÕQGDNL nümerik çözümler

LOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 70 7.7 h=0.02, v=0.07 ve k=0.0005 için t=0.5 zaman DGÕPÕQGDNLQPHULN

o|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 70

7.8 h=0.01, v=0.01 ve k=0.00005 için t=0.3, 0.5 zaman DGÕPODUÕQGDNL QPHULNo|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 71 7.9 h=0.1, 10 10− = v ve k=0.001 için t=0.1, 0.2, 0.3  ]DPDQ  DGÕPODUÕQGDNL nümerik çözümler ... 71

(8)

7$%/2/$5'ø=ø1ø

3.1 h=0.1 ve k =0.001 için t =0.01 ]DPDQDGÕPÕQGDNLnümerik çözümlerle analitik çözümün NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ...………... 26

3.2 h=0.02 ve k=0.0001 için t=0.1]DPDQDGÕPÕQGDNL nümerik çözümlerle analitik o|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ……...……...…... 26

5.1 h=0.1 ve v =1 için t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ k GH÷HUOHULDOÕQDUDN Euler \|QWHPLLOHHOGHHGLOHQo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ 37 5.2 v =0.1 ve k =0.00001 için t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN Euler yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümle NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ .………... 37 5.3 h=0.1 ve v =1 için t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGD IDUNOÕ k GH÷HUOHUL DOÕQDUDN

ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin

DQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 40 5.4 v =0.1 ve k =0.00001 için t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitiko|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 41 6.1 h=0.1, v=1 ve k=LoLQIDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD(XOHU\|QWHPLLOH

elde edilen çözümlerin analitiko|]POHUOHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 53 6.2 v =1 ve k =0.00001 için t = 0.01]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN Euler yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik

o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 54 6.3 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD ikinci mertebeden

Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle kDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 56 6.4 v =1 ve k =0.00001 için t = 0.01]DPDQDGÕPÕQGD IDUNOÕhGH÷HUOHUL

DOÕQDUDN ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitiko|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 56 6.5 h=0.1, v=1 ve k=0.001 için  IDUNOÕ zaman DGÕPODUÕQGD Crank-Nicolson

yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik çözümlerle NDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 59 6.6 v =1 ve k =0.00001 için t = 0.01]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕh GH÷HUOHUL

DOÕQDUDN Crank-Nicolson yöntemi ile elde edilen çözümlerin analitik o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 59 7.1 h=0.01, v=0.5 ve k=0.00002 için t=0. 2 ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen

nümerik çözümler ile analitik çözümün kaUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 62 7.2 h=0.01, v=0.1 ve k=0.00005 için t=0.3 ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen

nPHULNo|]POHULOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 62

7.3 h=0.02, v=0.01 ve k=0.0001 için t=0.8 ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen QPHULNo|]POHULOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ... 63

7.4 h=0.01, v=0.5 ve k =0.00001 için t=   ]DPDQ DGÕPÕQGD elde edilen QPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 66

7.5 h=0.01, v =0.1 ve k =0.00001 için t =   ]DPDQ DGÕPÕQGD HOGH edilen nümerik çözümlerin anDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 67

7.6 h=0.01, v =0.05 ve k =0.00002 için t = 0.6 zaman DGÕPÕQGD elde HGLOHQQPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 67 7.7 h=0.01, v =0.01 ve k =0.00005 için t =1 ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen

QPHULNo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ ... 68 7.8 h=0.01, v =0.005 ve k =0.00001 için t =0.8 zaman DGÕPÕQGD elde edilen

(9)

7.9 h=0.01, k=0.00005 ve t=0.3 için IDUNOÕ viskosite GH÷HUOHULLOHHOGH edilen nümerik çözümler ... 69 7.10 h=0.01, v=0.05 ve k=0.00001 için t=0.1 zaman DGÕPÕQGD  HOGH  HGLOHQ

(10)

BÖLÜM 1

*ø5øù

Bir boyutlu Burgers denklemi,

2 2 x U v x U U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ úHNOLQGHGLU%XUDGDv >0NLQHPDWLNYLVNRVLWHNDWVD\ÕVÕGÕU %XUJHUVGHQNOHPLJD]GLQDPL÷LWUEODQV NDUÕúÕNDNÕúNDQDNÕúÕ YHúRN dalgalar tHRULVL  JLEL oR÷X IL]LNVHO ROD\ÕQ PDWHPDWLNVHO PRGHOL RODUDN J|UOU 7UEODQVÕ PRGHOOH\HQ YH WDP o|]P DúÕUÕ GHUHFHGH ]RU RODQ 1DYLHU-Stokes GHQNOHPL\OH%XUJHUVGHQNOHPLOLQHHUROPD\DQWHULPOHULQLQúHNOLYHNoNNDWVD\ÕOÕ yüksek mertebeli türevlHULQ úHNOL D\QÕ  ROGX÷XQGDQ EHQ]HUGLUOHU %X EHQ]HUOLNWHQ GROD\Õ %XUJHUV  GHQNOHPL VÕN  VÕN  WUEODQVÕ LoHUHQ  VÕYÕ  GLQDPLN  SUREOHPOHULQL o|]PHGHPDWHPDWLNVHOPRGHORODUDNNXOODQÕOÕU

%DúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕQÕQGH÷LúLNVHoLPLLoLQ%XUJers denklemi, analitik olarak çözülebilen bir kaç lineer olmayan denklemden birisidir. 1950’ de Cole [1], ELUG|QúP\DUGÕPÕ\ODEXGHQNOHPLOLQHHUGLI]\RQGHQNOHPLQHG|QúWUGYH NH\ILELUEDúODQJÕoúDUWÕLoLQWDPRODUDNo|]G$QFDNRe =1vúHNOLQGHNLE\N

5H\QROG  VD\ÕODUÕ  LoLQ  DQDOLWLN  o|]P  \HWHUVL]  NDOPDNWDGÕU dQN  GHQNOHP YLVNRVLWHQLQ  oHúLWOL  VHoLPOHUL  LoLQ SDUDEROLN  \D  GD  KLSHUEROLN  |]HOOLNOHU gösterebilmektedir. Bu yüzden pek çok yazar Burgers denklemini çözmek için, VRQOXIDUNODUVRQOXHOHPDQODUVÕQÕUHOHPDQPHWRGXYDU\DV\RQHO\|QWHPOHUJLEL nümerik yöntemler önerdiler.

(9DUR÷OXYH:')LQQ>@D÷ÕUOÕNOÕNDODQIRUPODV\RQXQDGD\DQDQELU sonlu eleman metodunu, J &DOGZHOO  YG >@ KHU VDIKDGD |QFHNL DGÕPODUGDQELOJLOHU NXOODQDUDN HOHPDQODUÕQ  E\NONOHULQL  GH÷LúWLUHQ  VRQOX  HOHPDQ  PHWRGXQX + 1JX\HQYH-5H\QHQ>@5H\QROGVD\ÕVÕQÕQE\NGH÷HUOHULLoLQVRQOXHOHPDQ metodunun en küçük kaUHOHU  ]D\ÕI  IRUPODV\RQXQX  NXOODQGÕODU 3 -DPHW YH 5 Bonnerot [5] Burgers denklemini isoparametrik rectangular konum-zaman sonlu HOHPDQPHWRGXQXNXOODQDUDNo|]GOHU)DNDWEX\|QWHPVÕQÕUNDWPDQÕE|OJHVLQGHNL QPHULNo|]PLoLQDúÕUÕVD\ÕGDNRQXPVDOJULGQRNWDVÕQDLKWL\DoGX\GX7g]Lú

(11)

o|]POHULWDPo|]POHUOHNDUúÕODúWÕUGÕODU$'R÷DQ>@YLVNRVLWHGH÷HUOHULQLQE\N bir cümlHVLLoLQ\NVHNGR÷UXOXNWDo|]PHVDKLS*DOHUNLQVRQOXHOHPDQPHWRGXQX NXOODQGÕYHEXPHWRGXQGDKD|QFHNLPHWRWODUÕQoR÷XQGDQGDKDL\LVRQXoYHUGL÷LQL gösterdi.

K. Kakuda  YH 1 7RVDND >@ JHQHOOHúWLULOPLú  VÕQÕU  HOHPDQ  PHWRGXQX '- (YDQVYH$5$EGXOODK>@JUXSDoÕNVRQOXIDUNPHWRGXQXNXOODQGÕODU6.XWOXD\ YG>@LVH\NVHNGR÷UXOXNWDQPHULNo|]POHUHOGHHWPHNLoLQ%XUJHUVEHQ]HUL denklemlere tam-DoÕNVRQOXIDUNPHWRGXQX|QHUGLOHU$5%DKDGÕUYH06D÷ODP >@VRQOXIDUNYHVÕQÕUHOHPDQ\DNODúÕPODUÕQÕQNXOODQÕOGÕ÷ÕELUPHWRWODGHQNOHPL çözdüler.

(% /LQ  YH  ; =KRX >@ NÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPOHULQ o|]P LoLQ Burgers denklemini örnek alarak Galerkin metodu ve sonlu fark metodunu ELUOHúWLUHQ\DUÕ-NDSDOÕ]DPDQÕD\UÕúWÕUPDPHWRGXQXNXOODQGÕODU6$EEDVEDQG\YH M.T. Darvishi [13], Burgers denklemini Hopf-&ROHEHQ]HULKHUKDQJLELUG|QúP NXOODQPDGDQ OLQHHUOHúWLUPHGHQ ]DPDQÕD\UÕúWÕUPDPHWRGX]HULQHNXUXOan modife HGLOPLú$GRPLDQD\UÕúÕPPHWRGX\ODGLUHNWRODUDNo|]GOHU7g]LúYH$g]GHú >@ GHQNOHPLQ VHUL IRUPXQGDNL \DNODúÕN  o|]PQ HOGH HGHELOPHN LoLQ bir direkt YDU\DV\RQHO  PHWRG  NXOODQGÕODU (1 $NVDQ  YH  $ g]GHú >@ ]DPDQÕ  D\UÕúWÕUma metodunu temel alan bir varyasyonel metodla denklemi çözdüler. Viskositenin IDUNOÕGH÷HUOHULLoLQEX\ROODEXOGXNODUÕQPHULNo|]POHULWDPo|]POHNDUúÕODúWÕUGÕODU YH  EXQODUÕQ  ELUELUL  LOH X\XPOX ROGX÷XQX J|VWHUGLOHU (1 $NVDQ >@  GHQNOHme ]DPDQÕQD\UÕúWÕUÕOPDVÕQDGD\DQDQ*DOHUNLQVRQOXHOHPDQPHWRGXQXX\JXODGÕ

Burgers denkleminin çözümünde, nümerik tekniklerle beraber Spline ve B-VSOLQHIRQNVL\RQODUÕGDNXOODQÕOPDNWDGÕUgUQH÷LQ6.XWOXD\YG>@X\JXQEDúODQJÕo ve sÕQÕU úDUWÕQD VDKLS ELU ER\XWOX %XUJHUV EHQ]HUL GHQNOHPOHULQ QPHULN o|]POHULQL hesaplamak için en küçük kareler kuadratik B-spline sonlu eleman metodunu WDQÕWWÕODU 7 g]Lú YG >@ *DOHUNLQ  NXDGUDWLN   %-spline sonlu eleman metodunu kullanarak, Hopf-&ROH G|QúP \DUGÕPÕ\OD LQGLUJHQHQ  ELU ER\XWOX  %XUJHUV GHQNOHPLQLQ  \DNODúÕN  o|]POHULQL  EXOGXODU , 'D÷ YG >@ GHQNOHPGHNL OLQHHU ROPD\DQWHULPLOLQHHUOHúWLUHQELUNELN%-VSOLQHG]HQOHPH\|QWHPLQLNXOODQGÕODU

6RQ  \ÕOODUGD  LVH  oRN E\N 5H\QROG VD\ÕODUÕ LoHUHQ %XUJHUV GHQNOHPLQL o|]PHGH\HQLPHWRWODU|QHULOGL7g]LúYH<$VODQ>@5H\QROGVD\ÕVÕQÕQPPNQ RODQ  EWQ \NVHN  GH÷HUOHUL  LoLQ  GHQNOHPL SHUWXUEDV\RQ  WHNQL÷LQL    NXOODQDUDN

(12)

çözdüler. M.B. Abd-el-Malek ve S.M.A. El-0DQVL >@ \DNODúÕN EDúODQJÕo YH VÕQÕU úDUWOÕ Burgers denklemini çözmek için grup-NXUDPVDOPHWRWODUÕNXOODQGÕODU

<R÷XQ  oDOÕúPDODUD  UD÷PHQ OLQHHU ROPD\DQ UUx WHULPLQLQ  úRN GDOJDODUD

J|WUG÷ E\N 5H\QROG VD\ÕODUÕQGD %XUJHUV GHQNOHPLQLQ o|]P KDOD |QHPLQL NRUXPDNWDGÕU

%L] EX oDOÕúPDGD KHP  %XUJHUV  GHQNOHPLQH KHP GH +RSI-&ROH G|QúP \DUGÕPÕ\ODOLQHHUOHúWLULOPLú%XUJHUVGHQNOHPLQH0HWKRGRI/LQHV 02/ ¶ÕX\JXODGÕN Bu yolla elde edilen adi türevli denklem sistemini ise Euler, ikinci mertebeden Runge-Kutta ve Crank-Nicolsan yöntemleri gibi nümerik yöntemlerle çözerek tam o|]POHNDUúÕODúWÕUGÕN

(13)

BÖLÜM 2

%X  NÕVÕPGD  oDOÕúPDPÕ]GD  NXOODQDFD÷ÕPÕ]  ED]Õ  WHPHO  WDQÕm, teorem ve \|QWHPOHUNÕVDFDWDQÕWÕODFDNWÕU   %ø5  0$75ø6ø1  g='(ö(5/(5ø  ø/(  ø/*ø/ø  7$1,0  9( TEOREMLER 2.1.1. 7DQÕP n n IR A ∈ ve λIR olmak üzere,

( )

(

A In

)

P λ = det λ

RODUDNWDQÕPODQDQ P polinomuna A matrisinin karakteristik polinomu denir [22].

2.1.2. 7DQÕP n

n IR

A ∈ matrisinin karakteristik polinomu P ise P polinomunun köklerine A matrisinin NDUDNWHULVWLNGH÷HUOHULYH\D|]GH÷HUOHUL denir [22].

7DQÕP n

n IR

A ∈ matrisinin λi (i=1,2,3,…,n |]GH÷HUOHULLoLQ

(

A−λiIn

)

x=0

HúLWOL÷LQL  VD÷OD\DQ  VÕIÕUGDQ  IDUNOÕ  ELU  n IR

x ∈ vektörüne A matrisinin λi

|]GH÷HUOHULQHNDUúÕOÕNJHOHQkarakteristik vektörü veya özvektörü denir [22]. 2.1.4. Teorem ( 2. Gerschgorin veya Brauer Teoremi) : Bir A

[ ]

aij n n

×

= karesel

matrisinin ass N|úHJHQ HOHPDQÕ KDULo  s VDWÕUGD EXOXQDQ  HOHPDQODUÕQ  PRGOOHUL

WRSODPÕPs olsun. Bu takdirde A¶QÕQKHUELU|]GH÷HUL

çemberlerinin en az birinin içinde veya üzerinde bulunur [23].

s ss P

a

(14)

2.2. TÜRE9/(5(621/8)$5.<$./$ù,0/$5,

%LULQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ

(

xt

)

U , fonksiyonu GH÷LúNHQOHULQHJ|UH\HWHULQFHWUHYOHQHELOen bir fonksiyon olsun. U

(

x+h,t

)

ve U

(

xh,t

)

IRQNVL\RQODUÕQÕQx QRNWDVÕFLYDUÕQGDNL7D\ORU VHULDoÕOÕPODUÕ

(

,

)

(

,

)

1! 2! 3! 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + x U h x U h x U h t x U t h x U (2.1)

(

,

)

(

,

)

1! 2! 3! 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − x U h x U h x U h t x U t h x U (2.2) GÕU  YH  ¶GHQU ∂xWUHYLoHNLOLUVHVÕUDVÕ\OD

(

)

(

)

... ! 3 ! 2 , , 3 3 2 2 2 − ∂ ∂ − ∂ ∂ − − + = ∂ ∂ x U h x U h h t x U t h x U x U (2.3)

(

)

(

)

... ! 3 ! 2 , , 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + − − = ∂ ∂ x U h x U h h t h x U t x U x U (2.4) \D]ÕOÕU  ¶GHQ  oÕNDUWÕOÕUYHU ∂xWUHYL\DOQÕ]EÕUDNÕOÕUVD

(

)

(

)

... 6 2 , , 3 3 2 − ∂ ∂ − − − + = ∂ ∂ x U h h t h x U t h x U x U (2.5)

bulunur. Bulunan bu (2.3), (2.4) ve (2.5) denklemlerinden U

(

x,t

)

fonksiyonunun

xFLYDUÕQGDNLELULQFLPHUWHEHGHQWUHY\DNODúÕPODUÕ

(

)

(

)

( )

h O h t x U t h x U x U + − + = ∂ ∂ , , ³øOHULIDUN´ 

(

x,t

)

U

(

x h,t

)

O(h) U U “ Geri fark ” (2.7)

(15)

(

)

(

)

( ) 2 , , O h2 h t h x U t h x U x U + − − + = ∂ ∂ “ Merkezi fark ” (2.8)

olarak elde edilir. Burada “O ” sonsuz terimli bir ifadenin sonlu terimine kadar DOÕQGÕ÷ÕQÕO(h) terimi ise h→0LNHQROXúDFDNKDWDQÕQhLOHRUDQWÕOÕROGX÷XQX gösterir [24]. øNLQFL0HUWHEHGHQ7UHYOHUøoLQ6RQOX)DUN<DNODúÕPODUÕ 2 2 x U ∂ ∂ LNLQFLPHUWHEHGHQWUHY\DNODúÕPÕQÕEXOPDNLoLQU

(

x+2h,t

)

ve

(

x ht

)

U 2 ,   IRQNVL\RQODUÕQÕQ  x  FLYDUÕQGDNL  7D\ORU  VHUL  DoÕOÕPODUÕQÕ  J|] |QQH

DODOÕP%XDoÕOÕPODUVÕUDVÕ\OD

(

2 ,

)

(

,

)

2 42 86 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + x U h x U h x U h t x U t h x U (2.9)

(

2 ,

)

(

,

)

2 42 86 3 ... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − x U h x U h x U h t x U t h x U (2.10)

GÕU  YH  GHQNOHPOHULQGHQU ∂x yok edilip 2U ∂x2 çekilirse;

(

,

)

2

(

,

)

(

2 ,

)

... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ − + + + − = ∂ ∂ x U h h t h x U t h x U t x U x U HOGHHGLOLU%HQ]HUúHNLOGH  YH  GHQNOHPOHULQGHQ

(

,

)

2

(

,

)

(

2 ,

)

... 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + − + − − = ∂ ∂ x U h h t h x U t h x U t x U x U

bulunur. (2.1) ve (2.2) denklemlerinden U ∂x yok edilip 2U ∂x2 \DOQÕ] EÕUDNÕOÕUVD

(

)

(

)

(

)

... 12 , , 2 , 4 4 2 2 2 2 + ∂ ∂ − − + − + = ∂ ∂ x U h h t h x U t x U t h x U x U

(16)

bulunur. Böylece,

(

,

)

2

(

,

)

(

2 ,

)

( ) 2 2 2 h O h t h x U t h x U t x U x U + + + + − = ∂ ∂ ³øOHULIDUN´  2

(

,

)

2

(

2,

)

(

2 ,

)

( ) 2 h O h t h x U t h x U t x U x U + − + − − = ∂ ∂ “Geri fark” (2.12) “Merkezi fark” (2.13) WUHY\DNODúÕPODUÕHOGHHGLOLU

Problemin çözüm bölgesinin B=

{

(

x,t

)

:0 xl,t>0, l sonlu

}

 ROGX÷XQX NDEXOHGHOLP6RQOXIDUN\DNODúÕPÕLoLQo|]m bölgesi; t =k ve x=h =l N olmak üzere xi =ih, tn =nk ( i=0,1,2,…,N , n=0,1,2,… , +

Ζ ∈

N ) koordinat

GR÷UXODUÕ  \DUGÕPÕ\OD  NDIHVOHUH  E|OQU  |\OH NLU

(

x, t

)

GH÷LúNHQL  VDGHFH  JULG

QRNWDODUÕQGDGH÷HUDOÕU

Bir P

(

ih,nk

)

JULGQRNWDVՁ]HULQGHU ¶QXQGH÷HUL

(

)

in in

p U ih nk U U

U =

,

,

gösterimlerinden biri ile ifade edilir.

%X  J|VWHULPOHULQ  NXOODQÕOPDVÕ  YH  KDWDODUÕQ  LKPDO  HGLOPHVL\OH  ELULQFL PHUWHEHGHQWUHYOHULQVRQOXIDUN\DNODúÕPODUÕRODQ    YH  IRUPOOHUL VÕUDVÕ\OD h U U x U in in ≅ ∂ ∂ +1 h U U x U n i n i − −1 ≅ ∂ ∂

(

,

)

2

(

,

)

(

,

)

( 2) 2 2 2 h O h t h x U t x U t h x U x U + − + − + = ∂ ∂

(17)

h U U x U n i n i 2 1 1 − + − ≅ ∂ ∂

ikinci mertebeden türevlerin sRQOXIDUN\DNODúÕPODUÕRODQ(2.11), (2.12) ve (2.13) IRUPOOHULLVHVÕUDVÕ\OD 2 2 1 2 2 2 h U U U x U in in in + + + − ≅ ∂ ∂ 2 2 1 2 2 2 h U U U x U in in in − − + − ≅ ∂ ∂ 2 1 1 2 2 2 h U U U x U in in in − + − + ≅ ∂ ∂ RODUDN\D]ÕOÕU %ø5ø1&ø0(57(%('(1/ø1((5'(1./(0/(5ødø11h0(5ø. YÖNTEMLER

Birinci mertebeden bir lineer adi türevli diferansiyel denklem,

( )

t U

( )

t

U =λ (2.14)

úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOLUλU

( )

t = f

( )

U denilirse (2.14) denklemi,

( )

t f

( )

U

U =

RODUDN\D]ÕOÕU Burada λ, sabitler matrisidir.

2.3.1. Euler Yöntemi

 IRUPXQGDNLELUOLQHHUGHQNOHPH(XOHU\|QWHPLQLQX\JXODQPDVÕ\OD çözümler,

(18)

( )

n n n U kf U U +1 = + , n=0,1,2,... ya da n n n U k U U +1= + λ IRUPO\OHKHVDSODQÕU>@ øNLQFL0HUWHEHGHQ5XQJH-Kutta Yöntemi

(2.14) denklemi için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi,

( )

n n U kf U U 2 1 * + = olmak üzere,

( )

* 1 U kf U Un+ = n+ ile verilir.

Yani çözümler n=0,1,2,… için,

      + + = + n n n n U k U k U U λ λ 2 1 1 veya n n

(

)

n

(

)

n U k U k U U 1 2 2 1 λ λ + + = + IRUPO\OHKHVDSODQÕU>@

2.3.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi Dördüncü mertebeden Runge-Kutta çözümleri ise,

( )

Un f F =0

(19)

      + = 0 1 2 1 kF U f F n       + = 1 2 2 1 kF U f F n

(

2

)

3 f U kF F = n+ olmak üzere,

(

0 1 2 3

)

1 2 2 6 F F F F k U Un+ = n+ + + + , n=0,1,2,… (2.15) úHNOLQGHGLU>@ i

F’ ler ( i=0,1,2 GDKDDoÕNRODUDN

( )

Un F Un f F0 = 0 =λ

(

n

)

n n n n U k U F U k U kF U f F 2 2 1 2 1 2 1 0 1 λ λ ⇒ =λ + λ      + =       + = n n n n n n n U k U k U F U k U k U kF U f F 4 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 1 2 λ λ λ λ λ λ ⇒ = + +                 + + =       + =

(

)

               + + + = + = n n n n n U k U k U k U kF U f F 4 2 3 2 2 2 3 λ λ λ λ n n n n U k U k U k U F 4 2 4 3 3 2 2 3 =λ + λ + λ + λ

úHNOLQGH \D]ÕOÕU %XQODUÕQ    HúLWOL÷LQGH  \HUOHULQH \D]ÕOPDVÕ\OD    OLQHHU denklemi için dördüncü mertebeden Runge-Kutta çözümleri,

(20)

(

)

n

(

)

n

(

)

n n n n U k U k U k U k U U 24 6 2 4 3 2 1 λ λ λ λ + + + + = + , n=0,1,2,… ile bulunur [25]. 2.4. %ø5ø1&ø0(57(%('(1 /ø1((52/0$<$1'(1./(0/(5ødø1 1h0(5ø.<g17(0/(5 2.4.1. Euler Yöntemi Genel olarak,

( )

U f U =′ (2.16) úHNOLQGHNLOLQHHUROPD\DQGHQNOHPOHULoLQ(XOHU\|QWHPL

( )

n n n U kf U U +1= + , n=0,1,2,... úHNOLQGHWDQÕPOÕGÕU>@

øNLQFL0HUWHEHGHn Runge-Kutta Yöntemi

(2.16) lineer olmayan denklemi için ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemi, ) ( 2 1 * n n U kf U U = + (2.17) olmak üzere, Un 1 Un kf(U*) + = + , n=0,1,2,… (2.18)

(21)

formülü ile verilir. Burada, (2.17) ile hesaplanan U*   GH÷HUOHUL 2 1 + n t zaman DGÕPÕQGDKHVDSODQDQ 2 1 + n U GH÷HUOHULGLU  ¶GH f fonksiyonu bu 2 1 + n U ara

QRNWDODUÕQGDGH÷HUDODUDNUn+1GH÷HUOHUL bulunur [25].

2.4.3. Crank-Nicolson Yöntemi

(2.16) denkleminin Crank-1LFROVRQ\|QWHPLLOHo|]POHULQLQEXOXQPDVÕQGD n=0,1,2,… için,

IRUPONXOODQÕOÕU [25].

2.5. 621/8)$5.<g17(0/(5øødø1*(1(/.$5$5/,/,.$1$/ø=ø

.ÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPH  NDUúÕOÕN  JHOHQ  VRQOX  IDUN  GHQNOHPLQLQ o|]PQQNÕVPLGLIHUDQVL\HOGHQNOHPLQWDPo|]PQH\DNÕQVDPDVÕLoLQJHUHNOL RODQ  úDUWODUD  NDUDUOÕOÕN  úDUWODUÕ  NDUDUOÕOÕN  úDUWODUÕQÕQ  EXOXQPDVÕ  LúOHPLQH  GH NDUDUOÕOÕNDQDOL]LGHQLU

.DUDUOÕOÕN  DQDOL]L  LoLQ  ELOLQHQ  LNL  \|QWHP  YDUGÕU %L]  EXUDGD  PDWULV \|QWHPLQGHQEDKVHGHFH÷L] 2.5.1. Matris Yöntemi 0DWULV\|QWHPLOLQHHUGHQNOHPOHULoLQNXOODQÕODQNDUDUOÕOÕNDQDOL]OHULQGHQ biridir. 6RQOXIDUNGHQNOHPOHULQLQo|]PQQNDUDUOÕOÕ÷ÕQÕQLQFHOHQPHVLQGH\D\JÕQ RODUDNNXOODQÕOÕU %X\|QWHPOHNDUDUOÕOÕ÷ÕLQFHOHPHNLoLQ 2 2 x U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ , l x ≤ ≤ 0 , t>0 ]DPDQED÷ÕPOÕER\XWVX]ÕVÕ-iletim problemini,

(

1

)

1 2 + + + + = n n n n U U f k U U

(22)

(

t

)

g

( )

t U 1 , 0 = , t≥0

( )

l t g

( )

t U 2 , = , t ≥0 VÕQÕUúDUWODUÕYH

(

x

)

f

( )

x U ,0 = , 0 x ≤l EDúODQJÕoúDUWÕLOHGúQHOLP%urada g1

( )

t , g2

( )

t ve f

( )

x IRQNVL\RQODUÕELOLQL\RU

ROVXQ .ÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPH  NDUúÕOÕN JHOHQ VRQOX IDUN \DNODúÕPÕ NDSDOÕ olarak matris notasyonunda,

( ) AU( ) b

U m+1 = m +

(2.19)

úHNOLQGH\D]ÕODELOLUU(m+1)GH÷HULQHoRN\DNÕQELUo|]PU(m+1)* olsun ve bu

o|]P\XYDUODPDKDWDODUÕQÕGDLoHUVLQ%XGXUXPda, ( ) AU( ) b U m+1* = m*+ (2.20) \D]ÕODELOLU%XUDGDNLKDWDQÕQ * m i m i m i U U e = ROGX÷XGúQOUVHKDWDYHNW|U ( )

[

m

]

T N m N m m m m m U U U U U U e * * * 1 1 2 2 1 1 − − − − − = 

olur. (2.19) ifadesindHQ  LIDGHVLQLQoÕNDUÕOPDVÕ\OD

(m ) ( )m e A e +1 =

(23)

EXOXQXU%XHúLWOLNWHQ ( ) ( 1) 2 ( 2) ( )0 e A e A e A em = m= m= = m  (2.21) \D]ÕODELOLU %XUDGD  ( )

[

e e eN

]

T e 0 1 0 2 0 1 0 −

=    EDúODQJÕo  KDWDVÕGÕU %DúODQJÕo

KDWDVÕQÕQt ¶GDELOLQGL÷LQLNDEXOHGHOLPYH ( )m

e KDWDVÕQÕQVÕQÕUOÕNDOPDúDUWÕQÕ DUDúWÕUDOÕP

A  UHHO  VLPHWULN  YH  UDQNÕ  N-1) olan bir matris olsun. Böylece A matrisinin λ1,λ2,...,λN−1|]GH÷HUOHULQH N-1 WDQHOLQHHUED÷ÕPVÕ]W1,W2,...,WN−1 |]YHNW|UNDUúÕOÕNJHOLU%|\OHFHWk ( k=1,2,3,…,N-1) lar 1 − N IR X]D\ÕLoLQELU ED]GÕU'ROD\ÕVÕ\OD N-1) boyutlu herhangi bir vektör Wk¶ODUÕQOLQHHUELUOHúLPL

RODUDN\D]ÕODELOLU ( )0 1 ∈ N IR e ROGX÷XQGDQ ( )

− = = 1 1 0 N k k kW a e (2.22) \D]ÕODELOLU  ¶QLQ  ¶GH\D]ÕOPDVÕ\OD ( )

− = = 1 1 N k k k m m W a A e (2.23) bulunur. g]GH÷HUYH|]YHNW|UWDQÕPÕPGDQ GLU$\UÕFD k m k k m W W A =λ GLU%XHúLWOLN  ¶GHNXOODQÕOÕUVD k k k W W A =λ

(24)

( )

− = − = − = = = = 1 1 1 1 1 1 N k k m k k N k k m k N k k k m m W a W A a W a A e λ elde edilir. m artarken ( )m e QLQVÕQÕUOÕNDOPDVÕ \DQLPXWODNGH÷HUFHLVWHQLOGL÷LNDGDU NoNELUSR]LWLIVD\ÕGDQNoNNDOPDVÕ Loin, 1 max k k λ ROPDOÕGÕU>@

(25)

BÖLÜM 3

3.1. METHOD OF LINES (MOL)<g17(0ø

0HWKRGRIOLQHV 02/ OLQHHUYHOLQHHUROPD\DQGHQNOHPOHULQEDúODQJÕo VÕQÕU  GH÷HU  SUREOHPOHULQLQ  o|]PQ  EXOPDNWD  NXOODQÕODQ bir yöntemdir [26]. <|QWHP ELU  GH÷LúNHQH  NRQXP  GH÷LúNHQLQH  J|UH NÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPL D\UÕúWÕUDUDN VRQXoWD GHQNOHPL  NROD\OÕNOD o|]OHELOHQ  DGL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP VLVWHPLQH G|QúWUU .ÕVPL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP  EWQ GH÷LúNHQOHULQH J|UH D\UÕúPDGÕ÷ÕQGDQ02/ED]HQ\DUÕ-D\UÕúWÕUPDPHWRGXRODUDNELOLQLU>@$\UÕúWÕUPD VRQOXIDUNODUVRQOXHOHPDQODU\DGDD÷ÕUOÕNOÕNDODQ\|QWHPOHULJLELoHúLWOL\ROODUOD \DSÕODELOLU>@

02/\DNODúÕPÕQÕQHQ|QHPOLDYDQWDMÕKHPDoÕN\|QWHPOHULQNROD\OÕ÷ÕQD KHP  GH DGL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHPLQ  o|]PQGH  ]D\ÕI  ELU  QPHULN  \|QWHP NXOODQPDGÕNoD NDSDOÕ  \|QWHPOHULQ  VWQO÷QH  NDUDUOÕOÕN  DYDQWDMÕQD  VDKLS ROPDVÕGÕU0HWRGXQEXQGDQEDúNDoRN|QHPOLLNLDYDQWDMÕGDKDYDUGÕU%LULQFLVL EX  PHWRGOD VD\ÕVDO  KHVDSODPDODUGD  |QHPOL  DUWÕúODU  YH  VÕQÕU  úDUWODUÕ  LoLQ  HN zorluklar olmadan \NVHNPHUWHEHGHQ\DNODúÕPODUÕo|]PHNPPNQGUøNLQFLVL zaman integrasyonunda güvenli ve etkili bir adi diferansiyel denklem çözücüsünün NXOODQÕPÕ\ODoRNNoNDGÕPODUNXOODQPDGDQGDL\LVRQXoODUDOÕQDELOLU>@

3.2. MOL <g17(0ø1ø1 ISI'(1./(0ø1(8<*8/$10$6,

xx

t U

U = (3.1) úHNOLQGHNL-boyutlu lineer parabolik denklem,

(

x

)

f

( )

x U ,0 =

EDúODQJÕoúDUWÕYH0 x ≤l olmak üzere,

(

t

)

f

( )

t U 1 , 0 = , t >0

( )

l t f

( )

t U , = 2 , t >0

(26)

VÕQÕUúDUWODUÕLOHJ|]|QQHDOÕQVÕQ ih xi = , h= xi xi +1 tn =nk, k =ti ti +1

olmak üzere,

(

xi,tn

)

grid  QRNWDODUÕQÕ  WHPVLO  HWVLQ n i

U de bu

(

xi,tn

)

grid QRNWDODUÕQGDNLQPHULNo|]POHULJ|VWHUVLQ<DQLU

(

x,t

)

YHULOHQNÕVPLGLIHUDQVL\HO

denklemin tam çözümü olmak üzere

(

)

n

i U t x

U , olsun.

[

0,l

]

DUDOÕ÷Õ N parçaya bölünsün. Bu durumda, N +1WDQHJULGQRNWDVÕ olup x∆ , N l h x= = ∆ dir.

MOL yöntemiyle çözümü bulmak için, denklemdeki x’ e göre türevin yerine

sonlu fark \DNODúÕPÕ \D]ÕODUDN denklem diskrize edilir. Yani, 2 1 1 2 2 2 h U U U x Ui i i i − + − + ≅ ∂ ∂

DOÕQÕUBöylece kÕVPLGLIeransiyel denklem, 2 1 1 2 h U U U dt dUi i i i + − − + = , i=1,2,3,...,N −1

úHNOLQGHNROD\OÕNOD çözülebilen lineer adi diferansiyel denklem sistemine G|QúU ve matris notasyonunda,

( )

t AU

( )

t f

( )

t

U = + (3.2)

úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XUDGD A üçlü bant matris ve f

( )

t VÕQÕUúDUWODUÕQÕLoHUHQ

(27)

) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 − × −                           − − − − − − − = N N h A  ,

( )

( )

( )

( 1)1 2 1 2 0 0 0 1 × −                           = N t f t f h t f  %XGLIHUDQVL\HOGHQNOHPVLVWHPLoHúLWOLQPHULN\|QWHPOHUNXOODQÕODUDNo|]OHELOLU %X  E|OPGH    GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP VLVWHPLQLQ  o|]PQ  DúD÷ÕGDNL EDúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕLoLQ(XOHU\|QWHPLLNLQFLPHUWHEHGHQ5XQge-Kutta ve dördüncü mertebeden Runge-.XWWD\|QWHPOHULLOHHOGHHWWLNYHVRQXoODUÕ7DEOR 7DEORYHùHNLOùHNLO¶GHWDPo|]POHNDUúÕODúWÕUGÕN ùLPGL  GHQNOHPLQL

(

x

)

x

(

x

)

U ,0 = 1 (3.1a)

(

0,t

)

=U

( )

1,t =0 U , t>0 (3.1b)

EDúODQJÕoYHVÕQÕUGH÷HUOHULLOHJ|]|QQHDOÕS MOL yöntemini uygulayalÕP

[ ]

0,1   DUDOÕ÷Õ  N =10 olmak üzere N parçaya bölünsün. Bu durumda

10 1 =

h olup denklem sistemi,

1 22 1 h U U U dt dU i i i i + − + − = , i=1,2,...,9 veya

(28)

0 2 2 2 2 0 10 2 8 9 10 9 2 2 3 4 3 2 1 2 3 2 2 0 1 2 1 0 = + − = + − = + − = + − = = U h U U U dt dU h U U U dt dU h U U U dt dU h U U U dt dU U 

úHNOLQGH\D]ÕODELOLUBu lineer diferansiyel denklem sistemi matris formunda,

                                                          − − − − − − − − − =                               9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 U U U U U U U U U h U U U U U U U U U dt d úHNOLQGHGLU%XUDGD 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1                 − − − − =  h A , U

[

U1 U2 U3 U8 U9

]

1T9 × = 

(29)

ile J|VWHULOLUVHGLIHUDQVL\HOGHQNOHPVLVWHPLNÕVDFD AU U= (3.3) úHNOLQGHLIDGHHGLOLU 3.2.1. Euler Yöntemi

Bu diferansiyel denklem sistemini ilk olarak Euler yöntemiyle çözelim. Bu yönteme göre (3.3 úHNOLQGHNL denklemlerin çözümü,

n n n kAU U U +1 = + , n=0,1,2,…

IRUPO  LOH KHVDSODQÕU >@ Burada k , t (zaman) yönündeki grid mesafesi olup IRUPOPDWULVQRWDV\RQXQGD\D]ÕOÕUVD                                                         − − − − − − − − − +                             =                               + + + + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n U U U U U U U U U h k U U U U U U U U U U U U U U U U U U 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ve k h2 r = ROPDN]HUHDoÕNRODUDN\D]ÕOÕUVD

(

)

(

)

(

)

       = − + = + − + = + − + = − + − + + 9 , 2 8 ,..., 2 , 2 1 , 2 1 1 1 1 1 i U U r U i U U U r U i U U r U U n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i úHNOLQGHGLU

(30)

(XOHU\|QWHPLQGHDoÕNVRQOXIDUNWHNQL÷LNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDn, r≤1 2NDUDUOÕOÕN úDUWÕVD÷ODQDFDNúHNLOGHk ve hGH÷HUOHULDOÕQDUDNo|]P\DSÕOGÕ6RQXoODUt ’ nin IDUNOÕLNLGH÷HULLoLQ7DEORYH7DEOR¶GHYHULOGL

øNLQFL0ertebeden Runge-Kutta Yöntemi

øNLQFLPHUWHEHGHQ5XQJH-Kutta yöntemi ile (3.3) denkleminin çözümü

(

)

n

(

)

n n n U kA U kA U U 1 2 2 1 + + = + , n=0,1,2,… IRUPO\OHKHVDSODQÕU>@$OJRULWPDQÕQPDWULVIRUPX,                                                         − − − − − − − − − +                             =                             + + + + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n U U U U U U U U U h k U U U U U U U U U U U U U U U U U U 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

                                                        − − − − − − − − − − − − − − − −       + n n n n n n n n n U U U U U U U U U h k 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 2 5 4 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 4 5 2 1 úHNOLQGHGLU

(31)

$oÕNúHNLOGH\D]DUVDN

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

         = + − + − + = − + − + + − + = + − + − + + − + = + − + − + + − + = + − + + − + = − − − + − − + − + + − − + − + + − + − + + + + 9 , 5 4 5 . 0 2 8 , 4 6 4 5 . 0 2 7 ,..., 3 , 4 6 4 5 . 0 2 2 , 4 6 4 5 . 0 2 1 , 4 5 5 . 0 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 i U U U r U U r U i U U U U r U U U r U i U U U U U r U U U r U i U U U U r U U U r U i U U U r U U r U U n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i ROXU<LQHDoÕNVRQOXIDUNWHNQLNOHULNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDQr12RODFDNúHNLOGH k ve hGH÷erleri seçilerek bu algoritmadan elde edilen çözümler Tablo 3.1 ve Tablo 3.2’ de verildi.

3.2.3. Dördüncü Mertebeden Runge-Kutta Yöntemi

Dördüncü mertebeden Runge –.XWWD\|QWHPLQGHo|]POHULQKHVDEÕLoLQ

n n n

(

)

n

(

)

n

(

)

n U kA U kA U kA kAU U U 1 2 3 4 24 1 6 1 2 1 + + + + = + , n=0,1,2,… IRUPONXOODQÕOÕU [25].

Euler ve ikinci mertebeden Runge-Kutta yöntemlerLQGH \DSÕODQ LúOHPOHU EX yöntem için de benzer olarak \DSÕOÕU

,6,'(1./(0ø1ø1$1$/ø7ø.dg=h0h

 ÕVÕGHQNOHPLQLQ D YH E EDúODQJÕoYHVÕQÕUúDUWODUÕLOHDQDOLWLN çözümünü GH÷LúNHQOHULQH D\UÕúWÕUPD yöntemini kullanarak EXODOÕP X sadece x’ in ve T sadece t’ nin birer fonksiyonu olmak üzere çözüm,

(

x,t

)

X(x)T(t) U = IRUPXQGDGÕU

( )

t T x X Ut = ( ) ve Uxx = X′′(x)T(t)

(32)

ROGX÷XQDJ|UH  ÕVÕGHQNOHPL

( ) ( )

′ = ′′

( ) ( )

= −λ2 ⇒ ′ = ′′ =−λ2 X X T T t T x X t T x X , λ >0 (sabit) úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XUDGDQ t e T T T 2 2 λ λ ⇒ = − − = ′

olarak elde edilir.

λ λ

λ

λ X m m i m i

X′′+ 2 =0 2+ 2 =0 1 = , 2 =

ROGX÷XQGDQ X

( )

x çözümü, c1 ve c2 iki keyfi sabit olmak üzere,

( )

x c

( )

x c

( )

x X sinλ cosλ

2

1 +

=

dir. O halde   ÕVÕGHQNOHPLQLJHQHOçözümü,

( )

U x,t

(

c1sin

( )

x c2cos

( )

x

)

e λ2t

λ

λ + −

=

olarak bulunur. Sol sÕQÕUúDUWÕQGDQ

(

0,

)

0 2 0 2 0 2 = ⇒ = ⇒ = cec t U λt

olur. Böylece çözüm,

(

)

( )

t e x c t x U , sin 2 1 λ λ − = úHNOLQH gelir.6D÷VÕQÕUúDUWÕQGDQ

(33)

( )

1, 0 sin 0 2 1 = ⇒ = −λ λ t e c t U

olur. ∀ t için

e

−λ2t

0

   GÕU. c1=0 ROPDVÕ  GXUXPXQGD GD DúLNDU çözüm elde

HGLOHFH÷LQGHQc1 ≠0ROPDOÕGÕUO halde,

sinλ =0⇒λ = nπ , n=0,#1,#2,... dir. Böylece, Un

(

x,t

)

cnen2π2tsin

(

nπx

)

=

çözümü elde edilir. Burada c1 yerine n’ nin  IDUNOÕ  GH÷HUOHUL için  NXOODQÕODELOHQ,

fonksiyon sabitlerini gösteren cn DOÕQPÕúWÕU. %X úHNLOGHNL o|]POHULQ KHU ELUL  VÕQÕU

úDUWODUÕQÕVD÷ODU/LQHHUGHQNOHPOHULoLQo|]POHULQWRSODPÕGD\LQHELUo|]P ROGX÷XQGDQ

(

)

(

)

= − = 1 sin , 2 2 n t n ne n x c t x U π π (3.4)

de çözümdür (Süperpozisyon ilkesi). Son olarak EDúODQJÕo úDUWÕQÕn da VD÷ODnPDVÕ JHUHNWL÷LQGHQ

(

x

)

x

(

x

)

U ,0 = 1U

(

x

)

c

(

n x

)

x

(

x

)

n n = − =

∞ = 1 sin 0 , 1 π

olur. Bu ise x

(

1x

)

fonksiyonunun 0< x<1 için Fourier sinüs serisinin DoÕOÕPÕ SUREOHPLQHHúGH÷HUGLU O halde,

(

)

(

)

(

)

(

)

      − = − =

1 0 1 0 2 1 0 sin sin 2 sin 1 2 x x n xdx x n xdx x n xdx cn π π π RODUDN\D]ÕOÕUVD

(34)

ve

(

)

(

)

2 2

(

)

3 3

(

)

3 3 1 0 2 2 cos 2 sin 2 cos 1 sin π π π π π π π π n n n n n n n dx x n x = + +

ROGX÷XQGDQ

(

)

3 3

(

)

3 3 2 2 4 cos 4 sin 2 π π π π π n n n n n cn = +

bulunur. Bu GH÷HU (3.4)’ de yerine  \D]ÕOÕUVD     ÕVÕ  GHQNOHPLQLQ  D-b) úDUWODUÕQÕVD÷OD\DQo|]P,

(

)

(

)

(

)

e

(

n x

)

n n n n n t x U n t n π π π π π π π sin 4 cos 4 sin 2 , 2 2 1 2 2 3 3 3 3 − ∞ =

      + − − =

(

)

(

)

e

(

n x

)

n n n n n t n n π π π π π π sin 4 1 4 sin 2 1 2 2 3 3 3 3 2 2

∞ = −       + − − − = ya da

(

)

(

)

( )

(

)

(

k x

)

e k t x U k t k π π π sin 2 1 1 2 8 , 0 1 2 3 3 2 2 + + =

∞ = + − úHNOLQGHelde edilir.

(

)

(

)

(

π

)

π π π π n n n n dx x n

xsin 1 cos 1 sin

2 2 1 0 + − =

(35)

Tablo 3.1 h=0.1 ve k =0.001 için t=0.01 zaman DGÕPÕQGDNL nümerik o|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ x Euler øNLQFL mertebeden Runge-Kutta Dördüncü mertebeden Runge-Kutta Analitik çözüm 0.1 0.07574 0.07597 0.07596 0.07560 0.2 0.14126 0.14145 0.14145 0.14114 0.3 0.19021 0.19029 0.19029 0.19016 0.4 0.22002 0.22005 0.22005 0.22002 0.5 0.23000 0.23001 0.23002 0.23000 0.6 0.22002 0.22005 0.22005 0.22002 0.7 0.19021 0.19029 0.19029 0.19016 0.8 0.14126 0.14145 0.14145 0.14114 0.9 0.07574 0.07597 0.07596 0.07560

Tablo 3.2 h=0.02 ve k=0.0001 için t=0.1  ]DPDQ  DGÕPÕQGDNL nümerik çözümlerle analitik o|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ

x Euler øNLQFL mertebeden Runge-Kutta Dördüncü mertebeden Runge-Kutta Analitik çözüm 0.1 0.02971 0.02973 0.02973 0.02972 0.2 0.05652 0.05654 0.05654 0.05652 0.3 0.07778 0.07782 0.07782 0.07780 0.4 0.09144 0.09148 0.09148 0.09146 0.5 0.09615 0.09619 0.09619 0.09616 0.6 0.09144 0.09148 0.09148 0.09146 0.7 0.07778 0.07782 0.07782 0.07780 0.8 0.05652 0.05654 0.05654 0.05652 0.9 0.02971 0.02973 0.02973 0.02972

(36)

ùHNLO h=0.1 ve k=0.001 için t=0.05 ]DPDQDGÕPÕQGD(XOHU\|QWHPLLOHHOGH HGLOHQo|]PQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ

ùHNLOh=0.1 ve k=0.001 için t ]DPDQDGÕPÕQGD elde edilen nümerik çözümlerle aQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x U (x ,t )

Euler øNLQFLPHUWHEHGHQ5XQJH.XWWD Tam çözüm

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x U (x ,t ) Euler Tam çözüm

(37)

BÖLÜM 4

%XE|OPGHPRGHOSUREOHPRODUDNNXOODQÕODFDNRODQ 2 2 x U v x U U t U ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ (4.1)

(

x

)

U

( )

x

( )

x U ,0 sinπ 0 = = (4.1a)

(

0,t

)

=U

( )

1,t =0 U (4.1b) EDúODQJÕo-VÕQÕUGH÷HUSUREOHPLQLQDQDOLWLNo|]P\DSÕODFDNWÕU %85*(56'(1./(0ø1ø1$1$/ø7ø.dg=h0Ü

   LOH  YHULOHQ  %XUJHUV  GHQNOHPLQLQ  GR÷UXGDQ  DQDOLWLN  o|]PQQ EXOXQPDVÕPPNQGH÷LOGLU)DNDWELUG|QúP\DUGÕPÕ\ODOLQHHUKDOHJHWLULOHUHN o|]OHELOHQoRND]VD\ÕGDNi non-lineer denklemlerden birisidir.

Burgers denklemi, Hopf-&ROHG|QúPRODUDNELOLQHQ

θ θx v U =2 (4.2) úHNOLQGHELUG|QúPLOH 2 2 x v t ∂ = ∂ ∂θ θ (4.3)

OLQHHU  ÕVÕ  SUREOHPLQH  LQGLUJHQLU >@ %DúODQJÕo  YH  VÕQÕU  GH÷HUOHUL  LVH    G|QúPDOWÕQGD

( )

x θ

(

x

)

c

{

(

vπ

)

[

( )

πx

]

}

θ ,0 exp 2 1 cos 1 0 0 = = − − − (4.3a)

(

0,t

)

= x

( )

1,t =0 x θ θ (4.3b)

(38)

haline gelir.

ùLPGL    D   YH  E   úHNOLQGH  LQGLUJHQPLú  EDúODQJÕo-VÕQÕU  GH÷HU SUREOHPLQLQDQDOLWLNo|]PQGH÷LúNHQOHULQHD\ÕUPD\|QWHPL\OHEXODOÕP

Bunun için,

(

x,t

)

= X

( ) ( )

xT t

θ

(4.3) denkleminin bir çözümü olsun.

( ) ( )

xT t X x = ′ ∂ ∂θ

( ) ( )

xT t X x = ′′ ∂ ∂ 2 2 θ

( ) ( )

xT t X t = ′ ∂ ∂θ HúLWOLNOHUL  GHQNOHPLQGH\HULQH\D]ÕOÕUVD

( ) ( )

xT t vX

( ) ( )

xT t X = HOGHHGLOLU%XUDGDJHUHNOLG]HQOHPHOHU\DSÕOÕUVD 2 1 λ − = ′ = ′ ′ T T v X X , λ >0 (sabit) olur. Buradan, 0 2 = + ′ ′ X X λ 0 2 = + ′ vT T λ

(39)

úHNOLQGH  LNL  DGL  GLIHUDQVL\HO  GHQNOHP  HOGH  HGLOLU %X  GHQNOemlerin çözümleri VÕUDVÕ\OD

( )

x B

(

x

)

A X = 1cosλ + 1sinλ vt ce T −λ2 = dir. Bu çözümler,

(

x,t

)

= X

( ) ( )

xT t θ LIDGHVLQGH\HULQH\D]ÕOÕUVD

(

x,t

)

[

Acos

( )

x B sin

( )

x

]

[

ce 2vt

]

1 1 λ λ λ θ = + −

elde edilir. Burada cA =1 A , cB =1 B denirse,

(

xt

)

e vt

[

A

( )

λx B

( )

λx

]

θ , λ cos sin 2 + = − (4.4) ROXU6ROVÕQÕUúDUWÕQGDQ

(

)

(

)

[

A x B x

]

e x vt λ λ λ λ θ λ2 sin cos + − = ∂ ∂ −

(

0,

)

(

)

0 2 = = ∂ ∂ − λ θ t e λ B x vt

GÕUe−λ2vt 0ROGX÷XQGDQB ROPDOÕGÕU%|\OHFH  o|]mü,

(

xt

)

Ae vt

(

λx

)

θ , λ cos 2 − = KDOLQHJHOLU'L÷HUVÕQÕUúDUWÕQÕQNXOODQÕOPDVÕ\OD

(40)

( )

x e A x vt λ λ θ −λ2 sin − = ∂ ∂

( )

λ

( )

λ θ 1,t A e λ2vtsin x − − = ∂ ∂

bulunur. Burada A ROXUVDDúLNDUo|]PEXOXQDFD÷ÕQGDQ 0 sinλ = ROPDOÕGÕU%|\OHFH π λ = n , n=0,#1,#2,... dir. λGH÷HULQLQ\HULQH\D]ÕOPDVÕ\OD

(

x t

)

Ane vn t

(

n x

)

n π θ , π cos 2 2 − =

o|]P  HOGH  HGLOLU 6SHUSR]LV\RQ  LONHVL  JHUH÷LQFH    GHQNOHPLQLQ  JHQHO çözümü,

(

)

(

)

∞ = − + = 1 0 cos , 2 2 n n vt n x n A e A t x π θ π úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XLVHELU)RXULHUFRVLQVVHULVLGLU%XUDGDA0 , An Fourier NDWVD\ÕODUÕ

( )

{

(

)

[

( )

]

}

=

− − = − 1 0 1 0 1 0 0 0 x dx c exp 2 v 1 cos x dx A θ π π

(

)

[

( )

]

{

v x

}

(

n x

)

dx c

An 2 exp 2π 1 cosπ cos π

1 0

1

0

− −

Şekil

Tablo 3.1    h = 0 . 1    ve    k = 0 . 001    için    t = 0 . 01     zaman     DGÕPÕQGDNL   nümerik    o|]POHUOHDQDOLWLNo|]PQNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ  x   Euler  øNLQFL mertebeden   Runge-Kutta  Dördüncü   mertebeden   Runge-Kutta  Analitik çözüm  0
Tablo 5.1   h=0.1  ve  v =1  için   t = 0.1 ]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕkGH÷HUOHULDOÕQDrak   (XOHU\|QWHPLLOHHOGHHGLOHQo|]POHULQDQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ  x                                  Euler    Analitik çözüm     k =0.001  k
Tablo 5.3   h=0.1  ve  v =1  için   t = 0.1 ]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕk GH÷HUOHULDOÕQDUDN ikinci  mertebeden  Runge-Kutta yöntemi  ile  elde  edilen  çözümlerin  analitik   o|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ  x  øNLQFLPHUWHEHGHQ5XQJH-Kutta     Analitik çözü
Tablo 5.4   v =0.1  ve  k =0.00001   t = 0.1]DPDQDGÕPÕQGDIDUNOÕ hGH÷HUOHUL DOÕQDUDNLNLQFLPHUWHEHGHQ5XQJH- Kutta   yöntemi  ile  elde  edilen    çözümlerin   DQDOLWLNo|]POHNDUúÕODúWÕUÕOPDVÕ  x  øNLQFLPHUWHEHGHQ5XQJH-Kutta      An
+7

Referanslar

Benzer Belgeler

Güneş enerji santrallerinin elektrik piyasa katılımcısı olması ile birlikte elektrik piyasasında depolama sistemi ile yapacağı karlılığın analiz edilmesi için ele

Halkevlerinin, kapatıldıkları dönemde, 200 milyonun üstünde menkul ve gayrimenkul mallarının olduğu sanılmak­ tadır (CHP Halkevleri Öğreneği, 1939; Halkevi İdare ve

Yani, verilen denklemdeki en yüksek mertebeden lineer olmayan terim ve en yüksek mertebeden lineer olan terim alınarak seçilen uygun bir lineer birleşim

Maksiller sinüs yükseltme işleminde doğal mineralize hidroksilapatit uygulanan hastalardan 8 ay sonra elde edilen preparatlarda yeni oluşan kemik trabeküllerinin

Elde edilen katı modelin içine hava tanecikleri eklenerek, kömür yığınının gerçek şekline mümkün olduğu kadar yakın bir katı model oluşturulmuştur.. Modeli

Also, a new hybrid method was developed by combining of FPM and Immersed Boundary Method (IMD). This method ensured the proper solution for BE [17]. Jiwari introduced a

Hibe olabilmesi için tasarmi&#34; dan faydalanacak olan kimsenin (mi­ salde (deh) temyiz kudretine sahip bu lunması şarttır. Bu zaruri bilgiden sonra, vakıf vc ibahe arasındaki

Finite Element Method (FEM) is applied by software called COMSOL to calculate electric field and current density distribution simultaneously in several

nuclear weapons will strengthen Turkey's position vis- a-vis the aspiring nuclear states in the region and will also improve the pros- pects of a NWZ in the Middle East..

Etkin seçicilik yani hareket algısı, zeka içeren başka faaliyetlerde olduğu gibi görsel algının da temel bir özelliğidir ve dikkat edilmesi gereken en temel seçim de,

The current study found that there was no effect of any CCT in terms of time spent, number of errors, number of decision points or route choice, and that there was no significant effect

Doğum ve jinekoloji alanında daha pek çok akupunktur nokta- ları kullanılmakla birlikte, bu alanda kullanılan en önemli noktalar yukarıda açıklandığı gibidir ve bu

İsteme Adresi: Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi, 06110, Dış- kapı - Ankara ve T.M.M.O.B. Ziraat Mühendisleri Odası - Ankara.. Konu: Türkiye'de Tarımsal Yapı ve Bu

- Peki her işadamının iş hayatmda zaman zaman işlerinin bozulacağı gibi devletlerin de ekonomik darboğazlara girdikleri çok görülen bir olay, bizim ülkemizde de

Volüm gereksinimi, meme prote- zi, daha sonra meme protezi ile yer değiştirecek olan doku genişletici ya da kalıcı doku genişletici ile karşılanabilir.. (a, b)

24 Mart 1931’de Mustafa Kemal Paşa'mn, Türk Ocaklarının Bilimsel Halkçılık ve Milliyetçilik ilkelerini yaymak görevi amacına ulaştığını ve CHP’nin bu

陰之使也。 帝曰:法陰陽奈何? 岐伯曰:陽盛則身熱,腠理閉,喘麤為之俛抑,汗不 出而熱,齒乾,以煩冤腹滿死,能冬不能夏。

“İlkokullarda çalışan öğretmenlerin yöneticileriyle ilgili iletişimlerine dair algı düzeyi nedir?” ve “İlkokullarda çalışan öğretmenlerin yöneticileriyle

Bu ¸calı¸smada bir ve iki boyutlu Burgers’ denkleminin n¨ umerik ¸c¨oz¨ umleri Varyasyonel ˙Iterasyon Metodu ile elde edildi ve elde edilen n¨ umerik ¸c¨oz¨ umler

Bu problemin n¨ umerik ¸c¨ oz¨ umlerini elde etmek i¸cin Liao [41] denkleme Hopf-Cole d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u uygulamı¸s ve daha sonra elde edilen iki boyutlu ısı

In this study, we examine the numerical and exact solutions of the time fractional Burgers’ equation by using the extended finite difference for numerical solutions, an expansion

For this reason, the exact solution, which does not contain fractional order derivatives, will be compared with the numerical solutions to be obtained for the equa- tion