CHANGE BASE FOR CROSSED COMPLEXES OVER GROUPOIDS

23

GRUPOİDLER ÜZERİNDE ÇAPRAZLANMIŞ KOMPLEKSLERİN TABAN DEĞİŞTİRMESİ

Rahime ÇELİK

¹

, Özgün GÜRMEN

²

1Kastamonu Üniversitesi, İnebolu Meslek Yüksekokulu, Bilgisayar Programcılığı, Kastamonu, rahime@mail.dumlupinar.edu.tr

2Dumlıpınar Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Kütahya, ogurmen@dumlupinar.edu.tr

Geliş Tarihi: 13.10.2010 Kabul Tarihi: 29.11.2010

ÖZET

Bu çalışmada, grupoidler üzerinde çaprazlanmış komplekslerin geri çekme yapısı incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Çaprazlanmış Kompleks, Çaprazlanmış Modül, Pullback, Grupoid.

CHANGE BASE FOR CROSSED COMPLEXES OVER GROUPOIDS

ABSTRACT

In this work, we give the notion of a pullback crossed complex of groupoids.

Key Words: Crossed Complex, Crossed Module, Pullback, Gruopoid.

1.GİRİŞ

D1grupoidinin C₁ grupoidi üzerindeki etkisi, morfizmler kümesi üzerinde;

( )

1 1 1

, ^d

D C C

d c c

× ⎯⎯→

⎯⎯→

c nin tanımlanabilmesi için gerek ve yeter şart d ^{t c}

( )

^{=s d}

( )

olmalı ve doğal olarak ^{t c}

( )

^{d =t d}

^{( )}

^olup

i.

(

c c1o 2

)

d =c1d oc2d ve

( )

e_x ^d =e_y,d∈D x y1

(

,

)

ve c1∈C x x1

( )

, dir.

ii. ^{c1d d1o 2 =}

( )

^{c1d1 d2, d1∈D x y1}

^{( )}

^{, , d2∈D y z1}

^{( )}

^{, dir.}

dır.[1]

24

C ve 1 D aynı ₁ C obje kümesi üzerinde birer grupoid, ⁰ C tamamen bağlantısız ve ₁ D in ₁ C üzerine bir grupoid ₁ etkisi var olsun. δ: C₁⎯⎯→D₁ bir grupoid morfizmi olmak üzere yani;

1 1

C ⎯⎯⎯⎯⎯→^δ D

s t s t

C0 C₀

(

^{x y}

) ( ) ( )

^{x y}

δ o =δ oδ olsun. Bu durumda,

CM1) ^{t c}

( )

^{=s d}

( )

^ve c C∈ ,1 d D∈ olmak üzere ₁ ^δ

( ) ( )

^{cd = d−1 oδ}

^{( )}

^{c od}

CM2) c c, ′ ∈C x x x C

( )

, ; ∈ 0 olmak üzere ^{cδ ′( )c =}

( )

^{c′ −1}o o ^{c c′}

şartları sağlanırsa δ ya grupoidler üzerinde çaprazlanmış modül denir. [1]

Grupoidler üzerindeki çaprazlanmış modüller kategorisi Objeleri

^{C1⎯⎯⎯⎯⎯⎯δ1 →D1} ve C₂ ⎯⎯⎯⎯⎯→^δ2 D₂

C⁰ C ₀ C₀ C₀ şeklinde çaprazlanmış modüller ve morfizmleri de

1 0 1 1 0

C C ^δ D C

⎛ ⎯⎯→ ⎞ ⎛ ⎯⎯→ ⎞

⎜ ⎯⎯→ ⎟⎯⎯⎯→⎜ ⎯⎯→ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

α β

2 0 2 2 0

C C ^δ D C

⎛ ⎯⎯→ ⎞ ⎛ ⎯⎯→ ⎞

⎜ ⎯⎯→ ⎟⎯⎯⎯→⎜ ⎯⎯→ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

diyagramını komütatif yapacak şekilde, α β, grupoid morfizmleridir. Bu kategoriyi XMod ₀

C şeklinde göstereceğiz.

25 1.1. Grupoidler Üzerinde Çaprazlanmış Kompleksler

Çaprazlanmış kompleksler ilk olarak [2] de Brown ve Higgins tarafından tanımlanmıştır. [2] den çaprazlanmış kompleks tanımını aşağıdaki gibi verebiliriz.

3 2

2 1 0

: ... s

C C C C

t

δ δ ⎯⎯→

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

diyagramı

1. ₂: _{2 1} s ₀

C C C

t

δ ⎯⎯→ ^⎯⎯→⎯⎯→ , C tabanlı bir grupoidler için bir çaprazlanmış modül olmalıdır. ₀

2. Her n için δ δ_{no n+1}⁼sıfır dönüşümolmalıdır.

3. Burada; C , ₂ C üzerinde tamamen bağlantısız bir grupoid ve ₀ n≥ için 3 C ler de yine _n C üzerinde tamamen ₀ bağlantısız grupoidlerdir.

4. ⎛⎜⎜C₁ ⎯⎯→⎯⎯→C₀⎞⎟⎟

⎝ ⎠

grupoidinin n≥ için 2 C_n ^s C₀ t

⎛ ⎯⎯→ ⎞

⎜ ⎯⎯→ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

tamamen bağlantısız grupoidleri üzerinde grupoid etkisi vardır ve δ2

( )

C2 , n≥ için 3 C_n ler üzerine birim etki ile etki eder.

5. δ_i ler ; C₀ üzerinde birim dönüşümdür. Yani;

^{... ⎯⎯⎯⎯⎯→C3 ⎯⎯⎯⎯⎯δ3 →C2 ⎯⎯⎯⎯⎯δ2 →C1} s′ t′ s′ t′ s t

C₀ C₀ C₀ (C grupoid, ₁ C , ² C tamamen bağlantısız) ve ³ δi

( )

C0 =C0dır.

şartları sağlanırsa C ye C0 tabanlı grupoidler üzerinde çaprazlanmış kompleks [2] denir. Ayrıca çaprazlanmış komplekslerin çeşitli uygulamaları için A. Tonks [5]’e bakınız.

Grupoidler üzerinde çaprazlanmış kompleksler kategorisi

2 2 1 0

: ... s

C C C C

t

δ ⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→

f … f ² f¹

2 2 1 0

: ... s

C C C C

δ ′ t

⎯⎯⎯⎯⎯′ →

′ ⎯⎯⎯⎯→ ′ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ′⎯⎯⎯⎯⎯→

′

26

diyagramı komütatif ve

(

f2,f1

)

bir çaprazlanmış modül morfizmi (grupoidler üzerinde); n≥ için de 3 f ler _n birer grup homomorfizmi olmak üzere C den C′ne giden çaprazlanmış kompleks morfizmi f =

(

f f1, 2,f3,,...

)

ile tanımlanır.

C0 tabanlı grupoidlerin çaprazlanmış kompleksler kategorisini

0

XComp

C ile göstereceğiz.

1.2. Çaprazlanmış Komplekslerin Taban Değiştirmesi

(

,

)

: ... 2 ² 1 ¹ 0 s

C I C C C I

t

δ δ ⎯⎯→

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

I obje kümesi üzerinde bir grupoidler için çaprazlanmış kompleks olsun. Bu çaprazlanmış komplekse I tabanlı çaprazlanmış kompleks denir. Herhangi bir J kümesi ve :f J⎯⎯→ fonksiyonu verildiğinde I

(

^{C I,}

)

çaprazlanmış kompleksinden yararlanarak, J tabanlı yeni bir çaprazlanmış kompleks elde edeceğiz. Önce [4] ten

0

C s I

t

⎯⎯→⎯⎯→ grupoidinin :f J⎯⎯→I dönüşümü ile pullback grupoidin nasıl oluştuğunu verelim.

( )

* 0 f 0

f C ⎯⎯⎯⎯⎯→C s′ t′ s t e

^{J ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→f I}

şeklinde bir ^f*

( )

^C₀ ^⎯⎯→_⎯⎯→^J grupoidini oluşturacağız ve burada; f^*

( )

C0 ’a ⎛⎜⎜⎝C₀⎯⎯→⎯⎯→I⎞⎟⎟⎠

grupoidinin

:

f J⎯⎯→ fonksiyonu yardımıyla pullback’i (geri çekmesi) denir. Burada I f f, ^*

( )

C0 ,s^' ve t , ^' f^*

( )

C0 ; J C× 0× nin bir alt kümesi olmak üzere,: J

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 0 1 1

* 0

1 1

, , : , , ,

:

j x j x C s x f j t x f j f C

x f j f j morfizm

′ ∈ = = ′

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎯⎯→ ′

⎪ ⎪

⎩ ⎭

dir. j j_{1 1}, ′ ∈ için, J

(

1, , 1

)

1

s j x j′ ′ = j

(

1, , 1

)

1

t′ j x j′ = j′

olup;

(

j x j′1, ,1 1

)

ve

(

j x2, 2,j′2

)

morfizmlerinin f^*

( )

C0 içindeki kompozisyonu; j₁′ = olmak üzere; j₂

(

j x j1, ,1 1′

) (

o j x2, 2,j2′

) (

= j x1, 1ox2,j2′

)

27

şeklinde tanımlanabilir. Ayrıca f j x j

(

₁, , ₁′ =

)

xşeklinde tanımlıdır. Buradan J tabanlı bir ^*

( )

0

f C s J

t

⎯⎯→′

⎯⎯→′ şeklinde yeni bir grupoid elde ederiz. Bu grupoid ^Gp_I kategorisinde, ₀ s

C I

t

⎛ ⎯⎯→ ⎞

⎜ ⎯⎯→ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

grupoidinin bir geri çekmesidir. Yani;

f^*

( )

C₀ ⎯⎯⎯⎯⎯→^f C₀

J ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→f I

diyagramında ¹

1

s

M J

t

⎯⎯→ başka bir J tabanlı grupoid ve ⎯⎯→

(

^θ,f

)

^{de ; 1}

1

s

M J

t

⎯⎯→ grupoidinden ⎯⎯→ ⁰ s

C I

t

⎛ ⎯⎯→ ⎞

⎜ ⎟

⎯⎯→

⎜ ⎟

⎝ ⎠

grupoidine giden bir morfizm olmak üzere; aşağıdaki diyagramı komütatif yapan bir tek

( )

* 0

:M f C

µ ⎯⎯→ grupoid morfizmi vardır.

f^*

( )

C₀ ⎯⎯⎯⎯⎯→^f C₀

J ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→f I

( ) ( )

fµ m =θ m olup f^*

( )

C0 için µ evrensellik özelliğini sağlar.

θ

s t t′

s1 t ₁ s′

M

 

µ θ

s t t′

s1 t ₁ s′

M

 

28 Şimdi [4] de verilen yolu kullanarak benzer durumu ₁ s

C I

t

⎛ ⎯⎯→′ ⎞

⎜ ⎯⎯→ ⎟

⎜ ′ ⎟

⎝ ⎠

grupoidi için uyarlayalım. Aynı şekilde

1

s

C I

t

⎛ ⎯⎯→′ ⎞

⎜ ⎯⎯→ ⎟

⎜ ′ ⎟

⎝ ⎠

tamamen bağlantısız grupoidi için yaparsak,. :f J⎯⎯→ fonksiyon olmak üzere; I

( )

¹

* 1 f 1

f C ⎯⎯⎯⎯⎯→C

s′ t′ ^{s t}

J ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯f →I

diyagramını oluşturacağız. f^*

( )

C1 ;J C× 1×J nin bir alt kümesi olup, aşağıdaki gibi tanımlanır:

( ) ( { ) ( ) ( ( ) ( ) ) }

* 1 , , : 1 1

f C = j x j ∴C tamamen bağlantısız x C∈ f j = f j

olup,

(

j x j J, ,

)

: ⎯⎯→ bir morfizm olarak J f^*

( )

C1 de değerlendirilir. Burada ^{s j x j′}

(

^{, ,}

)

^{= =j t j x j′}

(

^{, ,}

)

^dir

ve

(

j x j, ,1

) (

o j x, 2, j

) (

= j x, 1ox2,j

)

şeklinde de kompozisyon tanımlanabilir. Böylece, ₁ s

C I

t

⎛ ⎯⎯→ ⎞

⎜ ⎯⎯→ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

tamamen bağlantısız grupoidinden :f J⎯⎯→ fonksiyonu yardımıyla J tabanlı tamamen bağlantısız I

( )

* 1

f C s J

t

⎯⎯→′

⎯⎯→′

şeklinde bir grupoid elde edilir. Dolayısıyla,

1: C1 C0 I

δ ⎯⎯→ ^⎯⎯→⎯⎯→

çaprazlanmış modülü yardımıyla;

( ) ( )

* *

1: f C1 f C0 ⎯⎯→J

∂ ⎯⎯→ ⎯⎯→

çaprazlanmış modülünü oluşturacağız. Bu dönüşüm,

( ) ( )

( ) ( ( ) )

* *

1 1 0

1

:

, , , ,

f C f C

j x j jδ x j

∂ ⎯⎯→

⎯⎯→

olsun. f^*

( )

C0 ın f^*

( )

C1 üzerindeki etkisi x=

(

j x j1, , 1′

)

∈ f*

( )

C0 ve a=

(

j a j, ,

)

∈ f*

( )

C₁ olmak üzere; x in a üzerindeki etkisi ^{t a}

( )

^{= =j j1 =s x}

( )

^ile,

29

( )

^{a x=}

(

^{j a j1′, x, 1′}

)

^{∈f *}

^{( )(}

^{C1 j j1 1′ ′,}

⁾

dir.

( ) ( )

t a =s x ve ^{t a⎛⎜ x ⎟⎞=t j a}

(

^{1′, x,j1′}

)

^{= j1′=t x}

( )

⎝ ⎠

olup bu etki iyi tanımlı bir grupoid etkisidir. Bu etkiye göre ∂ in J tabanlı grupoidler üzerinde çaprazlanmış ₁ modüldür. Gerçekten de

CM1) ^∂1_⎝^{⎜⎛ax⎟⎞}_⎠^{= ∂1}

(

^{j a j1, , 1}

)

^{(j x j1, ,1′) = ∂1}

(

^{j a1′, x,j1′}

)

⁼

(

^j1′,δ1

( )

^{ax ,j1′}

)

⁼

(

^{j x1′, −1oδ}

^{( )}

^{a ox j, 1′}

)

⁼

(

^{j x1′, −1,j1}

)

^o

⁽

^j,δ

^{( )}

^{a ,j}

⁾

^o

⁽

^{j x j1, , 1′}

⁾

⁼

(

^{j x1′, −1,j1}

)

^o∂1

⁽

^{j a j, ,}

^{) (}

^{o j x j1, , 1′}

⁾

⁼

( )

^{x −1o∂1}

( ) ( )

^{a o x}

CM2) a1=

(

j a j, ,1

)

,a2=

(

j a j, 2,

)

∈f^*

( )

C1 olsun.

( )

^{a1 ∂1}

^{( ) (}

^{a2 = j a j, ,1}

⁾

^{(j,δ1( )a2 ,j) =}

(

^{j a, 1δ1( )a2 ,j}

)

⁼

(

^{j a, 2−1o oa a1 2,j}

)

⁼

(

^{j a, 2−1,j}

)

^o

⁽

^{j a j, ,1}

^{) (}

^{o j a, 2,j}

⁾

⁼

( )

^{a2 −1o oa a1 2}

dir. Böylece,

( )

¹

( )

* *

1 0

f C ⎯⎯⎯⎯⎯→^∂ f C

s′ t′ s′ t′

J J

30

J tabanlı bir grupoidler üzerinde çaprazlanmış modül olur. Sonuç olarak, 1:

( )

1

( )

0 s

C C I

t

∂ ⎯⎯→ ⎯⎯→⎯⎯→ bir

çaprazlanmış modül olduğunda f J: ⎯⎯→ fonksiyonu yardımıyla bu I δ₁ çaprazlanmış modülünün pullback çaprazlanmış modülü J tabanlı

( ) ( )

* *

1: f C1 f C0 ⎯⎯→J

∂ ⎯⎯→ ⎯⎯→

morfizm olur. Bu yapılanlara göre [4] den yararlanarak n≥ için 2 C_ngrupoidleri üzerine uyarlayalım.

2

n≥ için _n s ₀

C C

t

⎛ ⎯⎯→ ⎞

⎜ ⎯⎯→ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

tamamen bağlantısız grupoidleri için :f J⎯⎯→I fonksiyonu yardımıyla;

( )

* n

f C ⎯⎯→J

⎯⎯→ grupoidlerini oluşturabiliriz.

( ) ( { ) ( ( ) ( ) ) }

* _n , , : _n ,

f C = j x j x C∈ f j f j için

( ) ( )

( ) ( ( ) )

* *

: 1

, , , ,

n n n

n

f C f C

j a j jδ a j

∂ ⎯⎯→ −

⎯⎯→

olmak üzere J tabanlı ^f*

(

^{C I,}

)

^{: ...f*}

( )

^C₂ ^{2 f*}

( )

^C₁ ^{1 f*}

( )

^C₀ ^{s J}

t

∂ ∂ ⎯⎯→

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

şeklinde bir çaprazlanmış kompleks elde ederiz. Bu yapının;

(

^{C I,}

)

çaprazlanmış kompleksinin, :f J⎯⎯→ I fonksiyonu yardımıyla geri çekmesi olduğunu göstereceğiz.

(

,

)

: ...

( )

2 ²

( )

1 ¹

( )

0 s

C I C C C I

t

δ δ ⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

^{f1 f} f

(

^f*

( )

^{C J,}

)

^{: ... f*}

^{( )}

^{C2 ⎯⎯⎯⎯∂2 → f*}

^{( )}

^{C1 ⎯⎯⎯⎯∂1 → f*}

^{( )}

^{C0 ⎯⎯⎯⎯}⎯⎯⎯⎯^→→ ^J

^{µ3 µ2 µ1}

(

,

)

: ... ₂ ² ₁ ¹ ₀

s

M J M M M J

t

δ′ δ′ ⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

diyagramını komütatif yapacak şekilde bir tek

(

1, 2, ... :

) ⁽

M J,

^{) (}

f C J^*

^{( )}

,

⁾

µ= µ µ ⎯⎯→

f θ1

θ2

31

morfizminin var olduğunu göstermeliyiz. Pullback grupoid yapısını oluştururken Diyagram 2 nin bir pullback diyagramı ve µ nin tek olduğundan. ₁ fµ₁=θ₁ dir.

Benzer düşünceyle; ₁ s

M J

t

⎛ ⎯⎯⎯′′→ ⎞

⎜ ⎯⎯→ ⎟

⎜ ′′ ⎟

⎝ ⎠

, J üzerinde başka bir tamamen bağlantısız grupoid olduğunda; f^*

( )

C1 de bir pullback olduğundan Diyagram 3 te

(

θ₂^,f

)

^,⎜⎛⎜⎝^M₁⎯⎯→⎯⎯→^J⎞⎟⎟⎠

grupoidinden ⎛⎜⎜⎝C₁⎯⎯→⎯⎯→I⎞⎟⎟⎠

grupoidine bir grupoid homomorfizmi olmak üzere; f^*

( )

C1 in oluşturulmasında µ2:M1 ⎯⎯→f C*

( )

1 ; f1 2µ =θ2olacak şekilde bir tek µ morfizmi vardır ve ₂ ∂_{1 2}µ µ δ: _{1 1}′dür. Bu şekilde devam edilirse her n için

( )

: *

n Mn f Cn

µ ⎯⎯→ , f_{n n}µ =θ_n ve ∂_n−1µ_n=µ δ_{n−1 n}′₋₁ olacak şekilde µ_n homomorfizmleri vardır ve tektir. Yani,

(

^f*

( )

^{C J,}

)

^{⎯⎯⎯⎯⎯→f=}

⁽

^{f f1, ,...2}

^{) ( )}

^{C I,}

^µ=

(

^{µ µ1, 2,...}

)

θ=

(

θ θ1, ,...2

)

(

^{M J,}

)

her bir n için f_{n n}µ =θ_nolduğundan; f oµ θ= olup, her n için µ bu diyagramla komütatif yapacak bir tek _n homomorfizmler olduğundan µ, J tabanlı M çaprazlanmış kompleksinden ^f*

( )

^C ye tanımlı bir tek morfizmdir.

Sonuç olarak I tabanlı bir çaprazlanmış kompleksten :f J⎯⎯→ fonksiyonu yardımıyla J tabanlı bir I çaprazlanmış kompleks elde ederiz ki burada;

*:

f ^XComp_I ⎯⎯→ ^XComp J şeklinde taban değiştirme funktoru tanımlamış oluruz.

32 KAYNAKÇA

[1] Brown, R. and Gılbert, N. D., Algebraic Models of 3-Types and types and automorphism structures for Crossed Modules, Proc. London Math. Soc.(3) 59, 51-73, (1989).

[2] Brown R., Higgins P.J.: Tensor Products and Homotopies for w-Groupoids and Crossed Complexes, J. Pure Appl. Algebra 47 (1987), no. 1, 1–33.

[3] Brown R.: Crossed complexes and homotopy groupoids as non commutative tools for higher dimensional local-to-global problems. Galois theory, Hopf algebras, and semiabelian categories, 101–130, Fields Inst.

Commun., 43, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2004).

[4] Brown R. and Sivera R., `Algebraic colimit calculations in homotopy theory using fibred and cofibred categories', Theory and Applications of Categories, 22, 222-251,(2009)

[5] Tonks, A. P., Theory and applications of crossed complexes, PhD thesis, University of Wales, (1993)