MT 132 Analiz II Final Sınavı
1.
Z dθ
1 + sin θ + cos θ integralini hesaplayınız.
2.
Z ∞ 1
1
x ln x dx ¨ozge integralinin yakınsak olup olmadı˘gını belirleyiniz.
3. F (x) = Z x
sin x
√
1 + t4 dt fonksiyonu i¸cin F00(0) ı, C¸ ¨OZ ¨UM ADIMLARINI G ¨OSTEREREK, bulunuz.
4. α bir ger¸cel sayı olsun. (Kutupsal koordinatlarda denklemi) r = e3θ olan e˘grinin (−∞, α] aralı˘gındaki yay uzunlu˘gunu (bir ¨ozge integrali hesaplaya- rak) bulunuz. Bulunan uzunlu˘ga L(α) dersek, r(α)
L(α) nin (r(α) = e3α) sabit oldu˘gunu g¨osteriniz.
5. y = Arcsin x ve y = π2x2 e˘grileri arasında kalan b¨olgenin x-ekseni ve y- ekseni etrafında d¨onmesiyle olu¸san cisimlerin hacimlerini hesaplayan integ- ralleri yazınız (e˘griler x = 0 ve x = 1 iken kesi¸sir). Bu integrallerden birini hesaplayınız.
6. y = √
3 x2 ve y = √
4 − x2 e˘grileri arasında kalan ve koordinatları po- zitif olan noktalardan olu¸san d¨uzlem b¨olgesinin a˘gırlık merkezinin koordi- natlarını bulunuz. (B¨olgenin alanı= π3 +
√3 6 )
7. f (x, y) ve g(x, y) fonksiyonları bir (a, b) noktasında diferansiyellenebiliyor ise f (x, y) + g(x, y) fonksiyonunun da (a, b) noktasında diferansiyellenebilir oldu˘gunu g¨osteriniz.
8. f (x, y) = x2y + x2+ y2− 2y fonksiyonunun yerel ekstremumlarını bulunuz.
9. df =
1
x − y + y − e2x
dx+
1
y − x + x + y3
dy olacak ¸sekilde bir f (x, y) fonksiyonu bulunuz.
1