Örnek...1 :Örnek...1 :Birim çember kullanarak aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.a) sin

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

BİR AÇININ KOSİNÜS VE SİNÜS DEĞERLERİ BİR AÇININ KOSİNÜS VE SİNÜS DEĞERLERİ

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir.

Standart pozisyonda (Köşesi orijinde, başlangıç kenarı x ekseni ve

yönü pozitif yön olan açı) ve ölçüsü θ olan açının birim çember üzerinde yay bitim noktası P(a,b) olsun:

A) cos(θ)=a olarak tanımlanır.˙ Ox eksenine kosinüs ekseni denir.

θ reel sayısını cos θ ile eşleyen fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.

Kosinüs Fonksiyonu cos : R → [−1,1]

θ → cos θ

Burada cos θ nın değer aralığı

−1≤ cosθ ≤1 dir.

Ayrıca, cos( θ +k.2 π )=cos θ dır.

B) sin(θ)=b olarak tanımlanır.

Oy eksenine ise sinüs ekseni denir θ reel sayısını sin θ ile eşleyen fonksiyona sinüs fonksiyonu denir Sinüs Fonksiyonu

sin : R → [−1,1]

θ → sin θ

Burada sin θ nın değer aralığı

−1≤ sinθ ≤1 dir.

Ayrıca, sin( θ +k.2 π )=sin θ dır.

SONUÇ SONUÇ

OKP dik üçgenin de cos²(θ)+sin²(θ)=1 dir.

Örnek...1 : Örnek...1 :

B irim çember kullanarak aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.

a) sin 90⁰ b) cos180⁰

c) sin225⁰ d) cos330⁰

Örnek...2 : Örnek...2 :

sin²12+cos²12−1 sin 67+cos34.sin 41 işleminin sonucu kaçtır?

Örnek...3 : Örnek...3 :

8+cos²x

sinx+3 +sinx+2 işleminin sonucu kaçtır?

Örnek...4 : Örnek...4 :

a=13+5sinx 3

ise a kaç farklı tam sayı değeri alır?

www.matbaz.com

Sinüs ekseni

Kosinüs ekseni

P(a,b)

x

y 1

O −1

x 1 y

1

−1 O

A B

C

D

Örnek...5 : Örnek...5 :

Değerleri üçgenleri kullanarak bulunuz

A)

cos45=

sin45= tan45=

cot 45=

B)

cos30= sin30= tan30= cot 30=

C)

cos60= sin60= tan 60=

cot 60=

BİR AÇININ TANJANT VE KOTANJANT BİR AÇININ TANJANT VE KOTANJANT DEĞERLERİ

DEĞERLERİ

noktasından çizilen teğete tanjant ekseni, B(0,1) noktasında n çizilen teğete de kotanjant ekseni denir.

Bir açının tanjant (kotanjant) değeri bulunurken şu adımlar izlenir :

Adım 1) Verilen açıya eşit olan pozitif yönlü standart biçimli yayın bitim noktası birim çemberde işaretlenir,

Adım 2) Y ay bitim noktası ve orijini birleştiren doğru çizilir,

Adım 3) Doğru tanjant ekseni ile kesiştirilir,

Adım 4) Kesim noktasının ordinatı açının tanjantıdır.

Aynı şekilde kotanjant değeri de yay bitim ve orijini birleştiren doğrunu n (veya uzantısının) kotanjant eksenini kestiği noktanın apsisidir.

Örnek...6 : Örnek...6 :

B irim çember kullanarak aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.

a) tan 60 b) cot 120 c) tan 225

www.matbaz.com

Kotanjant ekseni

Tanjant ekseni T(1,t)

K(k,1) B

1 A 1

y

x

−1

x 1 y

1

−1 O

A B

C

D

45^o 45^o

M

B Z

a a

2a a

M

T ³⁰ Z

o

DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ

DEĞERLERİ

POR dik üçgeninde cos²(θ)+sin²(θ)=1 elde edilir

Şekildeki POR ve TOF üçgenlerinin benzerliğinde n

tan(θ)=sin(θ) cos(θ) ve cot(θ)=cos(θ)

sin(θ) elde edilir.

Bu benzerliğin rastgele benzer

bir dik üçgene uygulanmasıyla

cos(θ)=x

r , sin(θ)=y

r , tan(θ)=y

x , cot(θ)=x y elde edilir.

TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER

cos²(θ)+sin²(θ)=1 ve tan(θ).cot(θ)=1 dir.

Ayrıca birbirini 90^o ye (

π 2

birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir. Yani,

cos(90^o−θ)=y

r=sin(θ) , tan(90^o−θ)=x

y=cot (θ)

Örnek...7 : Örnek...7 :

5sinx

9 = cosx

tanx. cotx+2 ise tanx kaçtır?

Örnek...8 : Örnek...8 :

cos²1^o+ cos²2^o+cos²3^o+ ...+ cos²90^o kaçtır?

Örnek...9 : Örnek...9 :

x dar bir açı olmak üzere, cos(x)=2 3 ise sin²(x)−tan²(x) kaçtır?

Örnek...10 : Örnek...10 :

tan²x− 1

cos²x+sin²x+cos²x=?

Örnek...11 : Örnek...11 :

TBZ bir dik üçgen m^(TMZ)=90^o m^(BTZ)=90^o

|TM|=6br

|MZ|=4br ise cos(^TBM) kaçtır?

Örnek...12 : Örnek...12 :

a= cos70^o b= sin70^o c= tan70^o sayılarını sıralayınız.

www.matbaz.com

T Z

M

y

x r

x y

T

K F

R 1

cos

tanθ

1 P O

sinθ

T

6

B 4 Z

M

Örnek...13 : Örnek...13 :

şekilde O merkezli birim çember ve bu çembere T(1,0) noktasında teğet olan TF doğru parçası verilmiştir. RK//OT olduğuna göre A(RFK) kaç birim karedir?

SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI : SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI :

Standart pozisyonda ( köşesi orijin ve başlangıç kenarı Ox

ekseni ) verilmiş ve ölçüsü θ olan açının birim çember üzerinde gördüğü

yayın bitim noktası P(x,y) noktası olsun.

P(x,y) noktasında birim çembere çizilen teğetin x eksenini kestiği R noktasının apsisine θ nın sekantı ; y eksenini kestiği S noktasının ordinatına θ nın kosekantı denir. θ reel sayısını sec θ ile eşleyen fonksiyona sekant fonksiyonu;

cosec θ ile eşleyen fonksiyona ise kosekant fonksiyonu denir.

SONUÇLAR SONUÇLAR

cosec(θ)= 1

sinθ sec(θ)= 1 cosθ

Örnek...14 : Örnek...14 :

Tabloda boş kalan yerleri doldurunuz.

1. Bölge 2. Bölge 3. Bölge 4. Bölge cos

sin +

tan −

cot sec

Örnek...15 : Örnek...15 :

a= cos190^o , b= sin170^o , c= tan70^o , d= sec320^o e= cosec179^o sayılarının işaretlerini

belirleyiniz.

Örnek...16 : Örnek...16 :

√

Örnek...17 : Örnek...17 :

1−sinx cosx + cosx

1−sinx ifadesinin en sade halini bulunuz.

Örnek...18 : Örnek...18 :

1

1+tan²x+ 1

1+cot²x ifadesinin en sade halini bulunuz.

www.matbaz.com

x S(0,c)

A B

L P

K y

R(s,0) x

y

T F R

P O

K

İNDİRGEME BAĞINTILARI İNDİRGEME BAĞINTILARI

Şekli inceleyiniz.

Birim çemberde standart biçimde ve ölçüsü θ radyan olan bir dar açı alalım.

Bu açının gördüğü yayın bitim

noktasının

koordinatı P(a,b) olsun.

cos θ =a , sin θ =b , tan θ =b/a olmak üzere, π−θ ve π2−θ türündeki açıların trigonometrik oranları şöyle hesaplanır.

π−θ BİÇİMİNDEKİ AÇILAR BİÇİMİNDEKİ AÇILAR

π−θ ‘lık yayın bitim noktası P'(−a,b) olacağından :

cos (π−θ) =−a =−cos θ sin (π−θ) = b = sin θ tan (π−θ) = −b/a=−tan θ cot (π−θ) =−a/b=−cot θ olur.

π 2 −θ BİÇİMİNDEKİ AÇILAR BİÇİMİNDEKİ AÇILAR

π2−θ ‘lık yayın bitim noktası P(b,a) olacağından : cos

(

)

sin

(

)

tan

(

)

cot

(

)

GENELLEME (GENEL İNDİRGEME BAĞINTISI) GENELLEME (GENEL İNDİRGEME BAĞINTISI)

Ölçüsü

(

)

(

) ⁽

⁾

verilen ifadelerde π sadeleştirilmesi için Adım 1 Açının bölgesind en yaralanılarak işaret bulunur.(Açı daima dar kabul edilir) Adım 2 π, 2π için isim değiştirilmez,

π2,3π

2 için isim sin

↔

↔

Örnek...19 : Örnek...19 :

Aşağıdaki ifadelerin özdeşlerini bulunuz.

1) tan(180+x)

2) cos(90+2x)

3) sin(270−4x) 4) cot(90−7x) 5) cos(360−4x)

6) tan(270+8x)

7) a) cos(−x) b) sin(−x) c) tan(−x) d) cot(−x) e) cosec(−x)

8) sin(−5x)

9) tan (9x−270)

10) cot(4x−180)

11) cos240+sin150

12) tan135

−cos(−240)=?

y

P(a,b)

K O

x P'(-a,b)

θ θ π−θ

y

P(b,a)

K O

x

www.matbaz.com

DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME

1) sinx+cosx=0,7 ise sinx.cosx kaçtır?

2) sinx=0,8 ise sin

x+cos

x kaçtır?

3) cosx−sinx=m ise cos

x−sin

x m türünden nedir?

4) tanx+cotx=m ise tan

x+cot

x m türünden nedir?

5) a=cos10

,b=cos20

,c=sin50

sayılarını sıralaması nasıldır?

6) a=tan100

,b=tan120

,c=tan150

sayılarını sıralaması nasıldır?

7) tan1

. tan3

. tan5

...tan89

kaçtır?

1

8)

1−cosx+cos³x+cosx. sin²x

ifadesinin en sade hali nedir?

9) (

)

ifadesinin en sade hali nedir?

10)

sin²x−cosec²x+cot²x

ifadesinin en sade hali nedir?

11) sin

4)

+cos

=?

12)

cos

(

)

cot

(

) ifadesinin en sade hali nedir?

www.matbaz.com

T

B Z

M

13) sinx=a ise

2−x)+sin(−π−x)

ifadesinin a türünden eşiti nedir?

14)

5

ve sin x=0,3 ise cos (4x+5y) kaçtır?

15)

|TZ|=3br ,

|BZ|=5br ise cos^(BMZ) kaçtır

?

16)

|MZ|_=4.|MB|, ise cos^(MBT) kaçtır

?

17) tan24

=p ise

tan564^o−tan225^o

ifadesinin p türünden eşiti nedir?

18) sin

1

+ sin

2

+ sin

3

+...+ sin

90

kaçtır?

19) Eş kareler kullanılarak elde edilen şekilde ki x açısı için tan x kaçtır?

20)

olmak üzere , sin2x=

5

olduğuna göre, tanx+cotx kaçtır?

x T

3

B 5 Z

M

www.matbaz.com