ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
KESİKLİ BİR POLİMERLEŞME TEPKİME KABININ SICAKLIK DENETİMİ
Ateş ERŞAN
KİMYA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
ANKARA 2010
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans TeziKESİKLİ BİR POLİMERLEŞME TEPKİME KABININ SICAKLIK DENETİMİ Ateş ERŞAN
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. M. Çetin KOÇAK
Polistiren, üstün mekanik ve dielektrik özeliklerini geniş bir sıcaklık aralığında koruyan önemli bir endüstriyel kimyasaldır. Üretim seçeneklerinden birisi; toluende çözülmüş stirenin benzoil peroksit başlatıcılı, serbest radikalik katılmalı polimerleşmesidir.
Fortran diline dayalı önceki bir benzetim çalışması, kesikli bir polistiren reaktörünün matematiksel bir modelini oluşturup tepkime sıcaklığının değişik yöntemlerle ayrı ayrı denetlenmesini araştırmıştır. Anılan çalışmada; Cohen-Coon, İç Modelli Denetim (IMC) yaklaşımına göre ya da elsel ayarlı beş PID, iki PI, bir P geri beslemeli denetleç ve ayrıca dinamik matrisli denetim (DMC) kullanılmıştır. Bu tek girdi-tek çıktı (SISO) dizgede; ayar değişkeni ısıtma hızıdır, denetim değişkeni ise tepkime sıcaklığıdır. Dinamik matrisli denetimdeki katlama model ile kimi geribeslemeli denetleçlerin birinci basamak artı ölü zaman modeli (FOPDT), alışılageldiği gibi bir tepki eğrisine değil ikisinin farkına dayanmıştır.
Başlatıcı atılırken ısıtma hızına verilen artışın doğurduğu sıcaklık eğrisinden başlatıcı atılması üzerine gelişen sıcaklık eğrisinin çıkarılması, bir tür doğrusallaştırma sayılabilir. Çalışılan denetimin amacı, izotermal işletimdir. Kapalıçevrim denemelerde, sıcaklık başlangıçtaki 363.15 K değerinde başarı ile tutulabilmiş ancak bunun bedeli, monomer dönüşümünün açıkçevrimdekinin altına düşmesi olmuştur.
Eski modeli Matlab’a uyarlayıp önceki tüm yanıtımları doğrulamakla başlayan şimdiki çalışma, bir üst yazılım olan Simulink ortamına geçip bir kez daha doğrulama yaptıktan sonra bir de S- işlevi kutusu kullanıp aynı sonuçlara ulaşmayı başarmıştır.
Yeni benzetim modeli ve yazılım dizgesi, genişlemeye, ileri DMC yöntemlerini uygulamaya ve birden çok S-işlevi kutusu eklemeye açıktır.
Şubat 2010, 103 Sayfa
Anahtar Kelimeler: Sıcaklık denetimi, süreç denetimi, model öngörmeli denetim, polimerleşme, kesikli tepkime kabı, benzetim, dinamik matrisli denetim
ABSTRACT Masters Thesis
TEMPERATURE CONTROL OF A BATCH POLYMERIZATION REACTOR Ateş ERŞAN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Chemical Engineering
Supervisor: Prof. Dr. M. Çetin KOÇAK
Polystyrene is an important industrial chemical that keeps its high mechanic and dielectric features in a wide temperature range. One of its production options is free radicalic addition polymerization of styrene dissolved in toluene where benzoyl peroxide is employed as initiator.
A previous simulation work built up a dynamic model of a reactor where the aforementioned polymerization process occurred and studied its feedback and dynamic matrix control. In this single input – single output (SISO), the control and manipulated variables were the reaction temperature and heating rate, respectively. There were eight distinct feedback controllers investigated, namely, five PID, two PI, and one P; these were adjusted according to Cohen- Coon or Internal Model Control (IMC) approach or tuned manually. Both the convolution model of dynamic matrix control and first-order plus dead-time (FOPDT) model used by some feedback controllers were not based on a single reaction curve as usual but on the difference between two reaction curves. The response to initiator addition was subtracted from the one obtained when an increase in heating rate accompanied the initiator addition. This was a kind of linearisation. The purpose of the studied control was isothermal operation. Closed-loop controllers managed to bring the temperature back to its initial steady-state value of 363.15 K but the monomer conversion fell below the openloop counterpart.
The current study started with adaption of the former model to Matlab environment, verified the harmony with the previous responses, moved on to Simulink, verified the results again both before and after incorporation of a single S-function box.
Simulation model and software package are open to expansion, application of advanced DMC methods, and incorporation of multiple S-function blocks.
February 2010, 103 Pages
Key Words: Temperature control, process control, model predictive control, polymerization, batch reactor, simulation, dynamic matrix control
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım, katkılarıyla beni yönlendiren Sayın Danışmanım Prof. Dr. M. Çetin KOÇAK’a (Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı) en derin şükranlarımı sunarım.
Büyük bir anlayış ve özveriyle bana her türlü yardımda bulunarak çalışmanın gerçekleşmesini sağlayan kız kardeşim Veteriner Hekim Işık ERŞAN’a ve destek olan Öğretmenim, Annem Sema ERŞAN’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Ateş ERŞAN
Ankara, Şubat 2010
İÇİNDEKİLER
ÖZET ... i
ABSTRACT ... ii
TEŞEKKÜR ... iii
SİMGELER DİZİNİ ... v
ŞEKİLLER DİZİNİ ... ix
ÇİZELGELER DİZİNİ ... x
1. GİRİŞ ... 1
1.1 Süreç Denetimi ... 1
1.1.1 İletim işlevleri ve FOPDT yaklaşık modeli ... 1
1.1.2 Geribeslemeli denetim ve uygunlaştırılması ... 2
1.1.3 Eğrisel denetim ... 5
1.1.4 Model öngörmeli denetim ... 6
1.1.5 Süreç benzetimi ... 7
1.2 Polimerleşme ve Denetimi ... 10
1.2.1 Serbest radikalik katılmalı polimerleşme ... 10
1.2.2 Polimerleşme Denetimi ... 13
1.3 Bu Çalışma ... 15
2. KURAMSAL TEMELLER ... 16
2.1 Dinamik Matrisli Denetim ... 16
2.2 Soğutma Ceketli Kesikli Bir Polimerleşme Kabının Modellenmesi ... 21
2.2.1 Kinetik ... 22
2.2.2 Matematiksel model ... 23
3. MATERYAL VE YÖNTEM ... 25
3.1 Deneysel Tanıtım ... 25
3.1.1 Açıkçevrim iki deney ... 25
3.1.2 Kapalıçevrim iki deney ... 26
3.2 Dinamik Benzetim ... 27
3.2.1 reactor.m kütüğü ... 28
3.2.2 batchol.m kütüğü ... 29
3.2.3 Kapalıçevrim benzetim ... 30
3.3 Simulink ortamında benzetim ve S-işlevi kutusu ... 32
4. ARAŞTIRMA BULGULARI ... 35
4.1 Açıkçevrim Denemeler ... 35
4.2 Geribeslemeli denetim denemeleri... 39
4.3 Dinamik matrisli denetim denemeleri ... 44
5. TARTIŞMA VE SONUÇ ... 47
KAYNAKLAR ... 50
EKLER ... 54
EK 1 ... 55
EK 2 ... 59
EK 3 ... 101
ÖZGEÇMİŞ ... 103
SİMGELER DİZİNİ
A Isı aktarım alanı A Dinamik Matris
b Basamak etki katsayısı C
IBaşlatıcı derişimi
C
I0Başlangıçtaki başlatıcı derişimi C
MMonomer derişimi
C
M0Başlangıçtaki monomer derişimi C
pKarışımın özgül ısısı
C
pcSoğutma suyunun özgül ısısı C
R•Radikal derişimi
E Aktivasyon enerjisi
E Hata
E
iBaşlangıç evresi aktivasyon enerjisi E
iCLKapalıçevrim hata
E
iOLAçıkçevrim hata
E
iOL*Açıkçevrim düzelmiş hata E
iCLKapalıçevrim hata
E
pBüyüme evresi aktivasyon enerjisi E
tSonlanma evresi aktvasyon enerjisi f Başlatıcı etkinlik faktörü
f İçmodelli denetim süzgeci f
2Ayar kısma çarpanı
F Değişmez
G İletim işlevi
G
FBGeribeslemeli iletim işlevi G
Iİç model iletim işlevi G
LYük iletim işlevi G
MÖlçer iletim işlevi G
pSüreç iletim işlevi
G
vSon denetim üyesi (vana)
∆H Tepkime ısısı
I Başlatıcı
I Birim matris
I
0Başlatıcının başlangıç konsantrasyonu I
•Başlatıcı radikali
K Tepkime hız sabiti
K
DMCGeribesleme kazanç matrisi
k
cReaktör duvarının ısıl iletkenliği k
dBaşlatıcının parçalanma hız sabiti k
iBaşlama hız sabiti
k
pBüyüme hız sabiti
k
rPolimerleşme hız değişmezi k
tSonlanma hız sabiti
L Yük
m Ayar değişkeni
M Monomer
M
cSoğutma suyu kütlesel akış hızı M
i•Polimer radikali M
i+jÖlü polimer M
iÖlü polimer
M
jÖlü polimer
MW Molekül ağırlığı
NS Örnek sayacı
NT Model ufku
NU Denetim ufku
NV Kestirim ufku
Q Isıtma hızı
Q
LOSSÇevreye ısı yitiği R Evrensel gaz değişmezi R
•Başlatıcı radikali R
MMonomer tepkime hızı
S Değişmez
S Servo iletim işlevi
t Zaman
t
CLKapalıçevrim yanıtımdaki ölü zaman t
dSüreç ölü zamanı
T Sıcaklık
T
ceSoğutma suyu çıkış sıcaklığı T
ciSoğutma suyu giriş sıcaklığı T
RReferans sıcaklık
TS Örnek arası süresi
U Tüm ısı aktarım katsayısı
V Karışımın hacmi
V
cSoğutma ceketi iç hacmi
W
1Kestirilen hatalar için ağırlık matrisi W
2Ayarlar için ağırlık matrisi
y Denetim değişkeni
y
CLKatlama modelin kapalıçevrim yanıtımı y
OLKatlama modelin geçmiş ayarlara yanıtımı
y
OL*Katlama modelin geçmiş ayarlara düzeltilmiş yanıtımı y
0OLKatlama modelin şimdiki y kestirimi
y
meŞimdiki ölçüm y
setSet noktası
τ Zaman değişmezi
τ
Iİntegral zaman değişmezi τ
CLKapalıçevrim zaman değişmezi τ
DTürevsel zaman değişmezi ρ Karışımın yoğunluğu ρ
cSoğutma suyu yoğunluğu μ Çözelti viskozitesi
μ
0Başlangıçtaki çözelti viskozitesi
KISALTMALAR DİZİNİ
AIBN Azobis (isobütironitril)
CL Kapalıçevrim
DMC Dinamik matrisli denetim MIMO Çok girdi-çok çıktı MMA Metil metakrilat
MPC Model öngörmeli denetim MWD Molekül ağırlığı dağılımı
NLDMC Eğrisel dinamik matrisli denetim NLQDMC Eğrisel ikinci derece DMC
OL Açıkçevrim
P Oransal denetim
PI Oransal + tümlevsel denetim
PID Oransal + tümlevsel + türevsel denetim SBR Stiren-butadien kauçuğu
SEC Boyut dışlamalı kromotoğraf SISO Tek girdi-tek çıktı
QDMC İkinci derece dinamik matrisli denetim
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 1.1 Sürücü işleyişi ... 9
Şekil 2.1 Kesikli polimerleşme kabı ... 22
Şekil 3.1 Kapalıçevrim benzetim yapısı... 30
Şekil 3.2 Kapalıçevrim, Oransal (P) denetim simülasyonu blok diyagramı ... 34
Şekil 4.1 İkinci açıkçevrim deney ... 37
Şekil 4.2 Beşinci açıkçevrim deney ... 37
Şekil 4.3 EOL5-EOL2 ve U113-U103 fark eğrileri ... 38
Şekil 4.4 Regülatör olayında PID1 (U201) denetleci... 41
Şekil 4.5 Regülatör olayında PID5(U241), PI1(U251) ve P(U271) ... 42
Şekil 4.6 Erek değer ve yük bozusunda sıcaklık değişimleri ... 42
Şekil 4.7 Erek değer ve yük bozusunda PID2(U114) ... 43
Şekil 4.8 Erek değer ve yük bozusunda PID5(U242), PI1(U252) ve P(U272)... 43
Şekil 4.9 f
2=10 iken DMC’de sıcaklık değişimleri ... 46
Şekil 4.10 DMC’de sıcaklık değişimleri ... 46
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 1.1 Denetimde süreçten kaynaklanan sorunlar ... 5
Çizelge 1.2 Eğrisel denetim yöntemleri ... 5
Çizelge 1.3 Matlab’da türevli denklem çözümünde sürücü işlev kullanımı ... 9
Çizelge 1.4 Polimerleşme reaktörlerinin denetimi ... 14
Çizelge 2.1 Katlama modelin ilk on ve son on üyesi ... 19
Çizelge 2.2 Sürecin
yset u(t)erekdeğer bozusuna yanıtımı ... 20
Çizelge 2.3
yset u(t)erekdeğer bozusuna yanıtımı ... 20
Çizelge 2.4 Sürecin
m u(t)Lyük bozusuna yanıtımı ... 21
Çizelge 2.5 Kinetik veriler ... 22
Çizelge 3.1 Yazılımda kullanılan simgeler ... 26
Çizelge 3.2 Tepkime kabı modelini barındıran reactor.m kütüğü ... 27
Çizelge 3.3 globl.m kütüğü ... 28
Çizelge 3.4 batchol.m kütüğü ... 28
Çizelge 3.5 pol0.m kütüğü ... 28
Çizelge 3.6 Açıkçevrim batchol.m kütüğünün örnek bir çıktısı ... 29
Çizelge 3.7 Euler tümlev sürücüsüne uyarlanmış batchol.m kütüğü ... 29
Çizelge 3.8 batchpid.m kütüğü ... 30
Çizelge 3.9 batchdmc.m kütüğü ... 31
Çizelge 3.10 dmc0.m kütüğü ... 32
Çizelge 3.11 S işlevi kullanan Oransal denetleçli
polymer_sfcnpkütüğü ... 33
Çizelge 3.12 polymer_sfcnp.m, Oransal (P) denetleç S-işlevi... 34
Çizelge 4.1 Açıkçevrim denemeler ... 35
Çizelge 4.2 Açıkçevrim tepkime sıcaklığı değişimleri ... 36
Çizelge 4.3 FOPDT modelleri ... 38
Çizelge 4.4 Geribeslemeli denetim denemeleri ... 39
Çizelge 4.5 Regülatör olayı sıcaklık değişimleri ... 39
Çizelge 4.6 Erekdeğer ve yük bozusunda sıcaklık değişimleri ... 40
Çizelge 4.7 Polimerleşmede katlama model ... 44
Çizelge 4.8 Dinamik matrisli denetim denemeleri ... 44
Çizelge 4.8 Dinamik matrisli denetimde sıcaklık değişimleri ... 45
1. GİRİŞ
1.1 Süreç Denetimi
Süreç denetimi, sürecin kimi değişkenlerini ayarlayarak, kimi çıktı değişkenlerini erek değer denilen istenilen değerlerde tutma bilimidir (Koçak 2004). Denetim altındaki çıktı, denetim değişkeni; ayarlanamayan girdi ise yüktür. Bir girdinin ayarı; bir çıktının değerine göre yapılırsa denetim geri besleme, bir yükün değerine göre yapılırsa ileri besleme diye nitelenir.
Denetim kuramının en çok ilgilendiği dizgeler; dinamik, doğrusal ve geri döngülüdür.
Doğrusal süreç; bir girdi (uyarı) katlandığında yanıtımını aynı oranda katlayan, girdiler karmasına, yanıtımlarını aynı oranda toplayarak tepki verendir. Çıktıları sınırlı kalan süreç, kararlı; çıktılarının genliği gittikçe büyüyen süreç ise kararsız olarak tanımlanmaktadır.
Çoğu süreç açıkçevrim, başka deyişle denetim yokken kararlıdır. İyi tanınan ve kendi başına kararsız ancak kapalı çevrim kararlı olabilen bir örnek, tam karışmalı bir kapta gelişen ısı salan tepkimedir. Bu süreçte, ısı üretiminin sıcaklıkla değişimi bir S eğrisi;
ceketin sağladığı soğutmanınki ise bir doğrudur. Diğer taraftan açıkçevrim kararlı bir sürece denetim eklenmesi (toplam) davranışı kararsız kılabilmektedir.
Luyben (1990); sürecin yatışkın ve dinamik davranışının bilinmesinin başarı için ön koşul olduğunu, anlaşılamayan sürecin denetlenemeyeceğini ve işi gören en basit denetim dizgesinin en iyisi olacağını belirtmiştir.
1.1.1 İletim işlevleri ve FOPDT yaklaşık modeli
Doğrusal süreçleri s bölgesinde incelemede geçen bir kavram olan iletim işlevi G(s),
çıktı ve girdinin ilk yatışkınlıktan sapmalarının oranıdır: G(s)=y(s)/m(s). İletim işlevi iki
s polinomunun oranı olduğunda, payın derecesi paydanınkini geçmezse süreç
fizikseldir. Paydanın derecesiyle zaman bölgesindeki ilgili diferansiyel denklemin ve dolayısıyla sürecin basamağı eşittir.
Birinci ve ikinci basamak iletim işlevi yaygındır. İkinci ya da daha yüksek basamak olanların yerine, birinci basamak artı ölü zaman (FOPDT) modeli denen,
K exp ( t s)
dG(s) τ s 1
= −
+
(1.1) konmak istendiğinde (Smith ve Corripio 1985):
a) K özgün kazanca eşittir.
b) Zaman sabiti
τ , özgün işlevdeki en büyük zaman sabitine kabaca eşittir.
c) Ölü zaman t , kalan zaman sabitleri ile özgün zaman toplamına yakındır.
dτ
ve t
d
değerleri zaman bölgesinde tepki eğrisine başvurularak iyileştirilir. Girdiye t başlangıç anında basamak etki (m(t) m u(t))
0= verildiğinde y’deki sapmanın son yatışkınlık değeri y
∞olsun ve 0.283 y
∞ve 0.632 y
∞’a ulaşmak için etkiden t ve
1t süreleri gereksin. Smith ve Corripio’nun (1985) önerisi,
2K y / m =
∞, τ = 1.5 (t -t )
2 1, t
d= t
2− τ
(1.2) alınmasıdır. Çok sık kullanılan bir başka yöntem, değişim hızının en büyük olduğu andaki teğetten yararlanır. Bu teğetin t eksenini ve y
∞doğrusunu kestiği zamanlar, sırayla, t ve
dt ise
3K y / m =
∞, τ = t
3− ile t
0t
d= t
0(1.3)
1.1.2 Geri beslemeli denetim ve uygunlaştırılması
1940’lar öncesinde kimyasal tesislerin çoğunun denetimi elseldi (Luyben 1990).
1950’lerde, sürecin dinamiğine pek bakmayan, oldukça bilinçsiz uygulamalarla, geri
beslemeli denetim başladı. Tasarımı on yıl kadar yalnızca deneyime ve başparmakkurallarına dayandıktan sonra başka dallardan kuramsal destek alan bu dizgelerde,
denetim değişkeni denen bir y çıktısının erek değeri y
setile ölçülen değeri arasındaki, E farkına (hata) ve bunun türevi ve tümlevine göre bir m ayarı olasıdır. En basitinde ayar, hatayla orantılıdır; buna bakarak denetlece oransal denilmiş ve P simgesi verilmiştir. D türevsel, I tümlevsel eylemi göstermek üzere; PD, PI ve PID türleri de bir olgudur.
Denetleç kazancı K
FB,türevsel zaman sabiti
τDve integral zaman sabiti τ ise
IPID için G
FBiletim işlevi şöyle yazılabilir:
FB
m(s)
G (s)
= E(s) = K
FB(1+
I
1
τ s
+
τDs) (1.4) Bequette (1991); akış denetimini kolayca yapması ve nerede ise tüm ileri yöntemlerin böylesi döngülere erek değer üretmesi (iç içe denetim) nedeniyle PID’nin daha çok uzun bir süre uygulamalarda başı çekeceğini kestirmektedir. Aslında yeni bir çok yöntem, belli modellerle, sezgisel ve basit olan PID’ye indirgenmektedir (Rivera vd. 1986).
Bir hata saptayıncaya kadar eyleme geçemeyen geribeslemeli denetleç, sürecin bozulmasını beklemek durumundadır. Yük sapma gösterir göstermez karşı ayarla düzeltime başlama, ileribeslemeli denetimde vardır. Yükün ve ayarın denetim değişkenine etkilerini saptadığı ölçüde tek başına başarılı olabilen bu yöntem, geribeslemeli döngülere eşlik ederek de önemli katkıda bulunur.
Geleneksel geribeslemeli denetim örnekseldir; denetlecin girdi ve çıktısı, zamana göre sürekli birer elektronik ya da pnömatik sinyaldir. Getirdiği esneklik, güç ve ekonomiden ötürü kullanımı artan sayısal bilgisayarlı uygulamalarda ise bunlar sayısal ya da kesiklidir. Ölçerin sürekli sinyali, bir örneksel-sayısal (A/D) çevirici yardımıyla belli aralıklarla örneklenip çevrilerek denetlece gönderilir; onun çıktısı ise bir sayısal- örneksel (D/A) çevirici üzerinden son denetim üyesine ulaşır.
Zaman bölgesinde örneksel PID denklemi şudur:
m= m s + K
FB(E +
τ
I1 ∫t
0
Edt +
τ
DdE
dT ) (1.5)
(s) koymayarak yalınlaştırılmış bir geribeslemeli döngü gösteren Şekil 1.1’de L bir yüktür; G
FBdenetleç, G
vson denetim üyesi (örneğin vana), G
Pve G
Lise süreç ve yük iletim işlevleri ise, y, y
setve L arasındaki bağıntı şudur:
y =
setP V FB
P V
FB y
G G G 1
G G G
+
+
LG G G G 1
G
M P V FB
L
+
(1.6) G
FBG
VG
PG
Mçarpımı, döngünün açıkçevrim iletim işlevi; oranlarsa sırayla, servo ve
yük kapalıçevrim işlevidir. Bozu erek değerde ise bir servoolay, yükte ise bir regülatör
olayı vardır. Kimya mühendisliğinde ikincisi çok yaygındır. İkisinde de kararlılığı ve genel gidişi, paydanın sıfıra eşitlenmesi ile türeyen
1+G
FBG
VG
PG
M=0 (1.7) özdenkleminin özdeğer denen kökleri belirler. Buradan G
FB’de geçen K
FB,τ
D veτ
Ideğerlerinin önemi anlaşılır.
Şekil 1.1 Geribeslemeli denetim döngüsü
Seborg vd. (1989) geribeslemeli bir denetlecin uygunlaştırılması için şu almaşıkları vermiştir: Doğrudan bireşim yöntemi, iç modelli denetim, ayar bağıntıları, sıklık yanıtımı yöntemleri, fiziksel modele dayalı bilgisayar benzetimi ve kurulum ertesi ayarlama. Bunların ilk beşinden, uzun süren ve hayli yorucu olan sonuncuyu iyi bir noktadan başlatmak üzere yararlanılabilir.
G
FBDenetleç
G
VSon Denetim Üyesi
G
PSüreç
G
MÖlçer
G
LSüreç
+
-
y
setE
Yük, L
m y
+ +
1.1.3 Eğrisel denetim
Kimyasal süreçlerin genelde eğrisel olmasına karşın bunların denetiminde doğrusal dizge kuram ve araçlarına yaygın başvuruyu, analitik çözüm, ayrıntılı kararlılık ve başarı kanıtı varlığına bağlayan Bequette (1991) yaptığı derlemede, bilgisayar donanımındaki ve alanındaki gelişmelerin artık eğrisel denetime elverdiğini söylemiş ve Çizelge 1.1’de sayılan başlıca sorunların aşılmasına dönük yeni yaklaşımları Çizelge 1.2’deki başlıklar altında betimlemiştir. Uygulama yapılan süreçler listesinde; 1 absorbsiyon, 10 biyokimyasal reaktör, 1 kristallendirme, 18 damıtma, 3 evaporatör, 1 akış, 9 ısı değiştirici, 5 düzey, 10 pH, 1 basınç ve 1 elektrometalurji geçmektedir. Altısı deneysel sonuçlu olan bu çalışmalardan beşinde ölü zaman ve dokuzunda ayar sınırlaması vardır.
Çizelge 1.1 Denetimde süreçten kaynaklanan sorunlar Eğrisellik
Ayar ve denetim değişkinleri arasında çoklu etkileşim Ölçülemeyen durum değişkenleri
Ölçülemeyen ve sık yükler
Yüksek basamak ve dağıtık süreçler Belirsiz ve zamanla değişen parametreler Ayar ve durum değişkenlerine sınırlamalar Girdi ve ölçümlerde ölü zaman
Çizelge 1.2 Eğrisel denetim yöntemleri Özel yöntemler
Hataya göre parametre ayarlama Parametre planlama
Eğrisel ileri besleme Değişken dönüştürme İçmodelli denetim (IMC)
Eğrisel iç modelli denetim (NLIMC)
Ardışık ikinci derece programlama (SQP) çözümlü Eğrisel çıkarımsal (dolaylı) denetim (NLIC) Diferansiyel geometrik yaklaşımlar
Durum denklemini doğrusallaştırma
Evrensel doğrusallaştırma ( GLC)
Çizelge 1.2 Eğrisel denetim yöntemleri (devam) Yaklaşık (kısmi) doğrusallaştırma
Referans dizge bireşimi (RSS) Sağlam denetim dizgesi tasarımı
Öngörmeli (kestirimsel) yaklaşımlar (MPC) Doğrusal model öngörmeli denetim (LMPC) Dinamik matrisli denetim (DMC)
İkinci derece dinamik matrisli denetim (QDMC) Eğrisel model öngörmeli denetim (NLPC)
Doğrusal olmayan ikinci derece dinamik matrisli denetim (NLQDMC) Evrensel dinamik matrisli denetim (UDMC)
Açıkçevrim/kapalı çevrim salınımlardan yararlanma Başka yöntemler
1.1.4 Model öngörmeli denetim
Doğrusal model öngörmeli kontrol yöntemleri endüstrice gittikçe benimsenmektedir. En çok anılan dinamik matrisli yöntemde (DMC) temel düşünce, basamak ya da dürtü yanıtım katsayılarından oluşan bir modeli süreçle birlikte kullanarak geçmiş etkiler ve şimdiki ölçümden gelecekteki çıktıları kestirmektir. Bir erekişlevi en uygun kılacak ayarlar en küçük kareler ilkesine göre çevrimiçi saptanıp ilki uygulanarak ilerlenir.
QDMC, sınırlamaları doğrudan hesaba katan bir uyarlamadır. Eğrisel uyarlamalı NLQDMC’deki yenilik, model olarak cebirsel-diferansiyel bir denklem takımı kullanmasıdır.
En küçük kareler ilkesi, genel sağlıksızlık sorununu dinamik matrisli denetime taşır.
Maurath vd. (1988) bunu gidermek üzere tekil değer ayrıştırmasına dayalı temel üye
seçimi önermiştir. Yüksek saflık damıtma kolonlarına değişken dönüşümlü bir tür
eğrisel DMC uygulayan Georgiou vd. (1988), bunu parametre planlamalı doğrusal
DMC’ye göre daha basit ama daha başarılı bulmuştur. Rani ve Gangiah (1991), benzer
bir yaklaşımla, açıkçevrim kararsız bir tam karışmalı tepkime kabının denetimini
araştırmıştır. Peterson vd. (1992) eğrisel bir model yardımıyla doğrusal bir modelin
güncelleştirilmesine dayalı bir DMC denemiştir. Bir başka çalışma (Zafiriou ve Marchal
1991), QDMC’de olası kararsızlığı giderip denetimi sağlam kılmaktadır.
Özellikle yük bozularının basamağı andırmayan bir biçim göstererek başarıyı azaltabileceğini belirten Ricker (1990) durum kestirimli, doğrusal model öngörmeli bir yöntem önermiştir. Aşırı bilgiişlem gereksinmesinin eğrisel modele dayalı yaklaşımlar için önemli bir engel olduğu söyleyen Gattu ve Zafiriou (1992) bunu NLQDMC ile birleştirmiştir. Sistu vd. (1993) bilgiişlem üzerinde durmuş, NLQDMC’yi başka yöntemlerle karşılaştırmıştır.
Eaton ve Rawlings (1992) doğrusal/eğrisel süreçlerin MIMO, Padwardhan vd. (1992) ise ayrık parametreli süreçlerin eğrisel model öngörmeli denetimini araştırmıştır.
1.1.5 Süreç benzetimi
Benzetim; iki dizge arasındaki bir benzerlikten, daha az bilinen dizgenin davranışlarını anlamak üzere yararlanılan bir etkinliktir (Koçak 2004). Daha iyi bilinen dizge ya da bir eşdeğeri (örneğin bir matematiksel model) bu süreçte kullanılabilir.
Kimyasal bir fabrika; karmaşık kimyasal ve fiziksel süreçler barındıran çok birimli bir dizgedir (Koçak 2004). İşletimi; çok yönlü kütle, enerji, momentum ve sinyal akımlarına bağlıdır. Zengin bir fiziksel özelik veri tabanı ile desteklenen bir matematiksel modeli; tasarı aşamasında ise dizgeyi kurmadan, kurulu ise dizgeyi yok etmeden, dayanma sınırında zorlamadan, işletimini aksatmadan, tehlikeli ya da pahalı deneyler yapmadan, onun yatışkın ya da zamanla değişen davranış bilgilerini ortaya koymada ve en uygun işletim koşullarını saptamada yardımcı olabilir.
Kimyasal fabrika modelleri; çok boyutlu (büyük), hayli eğrisel ve bol etkileşimli
olmakla ünlüdür (Koçak 2004). Benzetim yazılımları daha çok kimya mühendisliğine
dönüktür çünkü başka mühendislik ve bilim alanlarındaki model denklem takımları
genelde küçüktür ve doğrudan çözüme elverişlidir.
Yatışkın ve devingen benzetim bir çok düzeyde kesişir (Koçak 2004). İkisinde de cebirsel denklemler eşliğinde tikel türevli ya da bayağı türevli denklemler bulunabildiğinden çözüm için benzer sayısal yöntemler gereksinirler. Yatışkınlık benzetim çözümü, kaba bir devingen modelden elde edilebilir. Devingen benzetim de başlangıç koşullarının saptanmasında ya da bir parça yalınlaştırmada yatışkınlık modellerinden yararlanabilir. Bu iki benzetim türü, süreç bilgisi ve fiziksel veri tabanı paylaşabilir. İkisi de teknik ya da ekonomik bakımdan uygunlaştırmalara konu olabilir.
Kimya mühendisliğinde zaman bölgesi modellerinin temeli; sakınım, korunum ya da süreklilik denen ilkedir. Taşınım, denge ve kinetik ile ilgili katkılarda olayına göre modelde yer alır. Model, genelde cebirsel-diferansiyel bir denklem takımıdır. Toplaşık parametreli süreçler bayağı, dağıtık parametreliler tikel türevli denklem verir. Yukarıda anılan derleme (Bequette 1991), birinci türün SISO ve MIMO denetimi üzerinde yoğunlaşmışsa da sonlu fark uygulayıp indirgemekle ikisinin de kapsama alınabileceğini eklemiştir.
Bağımsız değişken, durum değişkenleri (“türevliler”), cebirsel değişkenleri (“türevsizler”), parametreleri ve değişmezleri, sırayla
t, x, a, p ve csimgelesin (Koçak 2004). Parametre yalnız koşudan koşuya ayrık değer taşıyabilen değişmezdir. Benzetim [0, t ] aralığında çok sayıda koşu gerektirebilir. Çok sayıda türevli denkleme çok sayıda cebirsel denklemin eşlik ettiği modeller olağandır:
x =f (t, x, a, p ve c ), 0=h(t, x, a, p ve c )′
Cebirsel denklem takımcıkları yerel döngülere yol açar. Ne var ki ne zaman türev
gerekse önce a sonra f saptanmalıdır. Tümlevin tek adımda sonuçlanması çok özel bir
durumdur. Genelde sayısal bir yöntem adım adım koşacak; bu adımlardan da küçük bir
kesri benzetim çıktısı olacaktır.
Matlab, bayağı türevli denklem çözmek isteyen kullanıcıya ode23, ode45, ode15s gibi değişken adımlı bir çok sürücü işlev sunmaktadır. Bunlardan ode15s, gevrek modeller içindir. Sürücülerin çağırılabileceği en basit yapı şöyledir: [t, x]=sürücü('dut', ts, x0) .
Burada ts zaman bilgisi olup t0: baskı arası: son biçimindedir. Sürücünün türevleri kolon vektör olarak alabileceği kütüğün adı, dut yerine yazılmalıdır. x ,durum
0değişkenlerinin başlangıç değerlerini gösteren vektördür. Türevli denklem takımı
0.1 0 1
x x, x(0)=
0 0.2 1
⎡ − ⎤ ⎡ ⎤
′ = ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
için yazılan işlev kütüğü turevler ve onu ode45 sürücüsüne çağırtan turevci kütüğü Çizelge 1.3’tedir. Burada, sürücünün 0.1 aralı doldurduğu t ve x değerleri disp komutu ile ekranda dökümlendikten sonra plot komutu ile de t-x çizimi üretilmektedir. İki yanda görülen global deyimi, A değerinin evrensel paylaşımını sağlar. Sürücü işleyişi, Şekil 1.1’den kolayca anlaşılabilir.
Çizelge 1.3 Matlab’da türevli denklem çözümünde sürücü işlev kullanımı turevler.m işlev kütüğü
function dx=turevler(t,x) global A
dx=A*x;
turevci.m global A
A=[-0.1 0;0 -0.2]; ts=0:0.1:1; x0=[1;1];
[t, x]=ode45(‘turevler’, ts, x0);
disp([t x]), plot(t,x)
Şekil 1.1 Sürücü işleyişi
Matlab’a dayalı araç kutularından Simulink, Bequette’e (2003) göre şu nedenlerle dizge benzetiminde Matlab’dan daha kullanışlıdır:
turevler sürücü …
turevci
a) Blok çizenekleri kolayca oluşturulabilir.
b) Simulink kütüphanesinde, sürükle-bırak yöntemiyle modelin çizeneğine taşınabilen çok sayıda blok hazırdır.
c) Taşınan blok simgesine çift tıklayarak ilgili parametre ve katsayılar girilebilir.
d) Bloklar oklarla kolayca birbirine bağlanabilir.
e) Adım ve yokuş gibi standart girdiler için hazır blok vardır.
f) Benzetim parametreleri menüdeki Simulation sekmesinde ayarlanabilir.
1.2 Polimerleşme ve Denetimi
Polimerler, monomer adı verilen çok sayıda molekülün kovalent bağlarla düzenli bir şekilde bağlanarak oluşturdukları uzun zincirli ve yüksek molekül ağırlıklı bileşiklerdir.
Dünyada polimer üretimi giderek artmaktadır. Polimer üretiminde başlıca dört süreç (Pişkin 1987) vardır: Yığın, çözelti, süspansiyon ve emülsiyon. Oluşumda su gibi küçük, ikincil bir ürün çıkarsa polimerleşmeye ve polimere kondensasyon (basamaklı);
yoksa katılma (zincir) nitelemesi eklenir. Serbest radikalik, iyonik ya da koordinasyon kompleksli olabilen katılma, doymamış ya da halkalı girdilerde söz konusudur.
1.2.1 Serbest radikalik katılmalı polimerleşme
Başlama, büyüme ve sonlanma evrelerinden oluşur.
Başlama evresi
Bu basamakta monomer moleküllerini kimyasal veya fiziksel yolla aktifleştirerek
radikal yapmak üzere ısı ya da iyonlaştırıcı ışına başvurabilirse de en yaygını peroksit
ya da diazo bileşiği gibi, kendisi ısıyla kolayca parçalanıp radikalleşen, bir başlatıcı
eklemektir. (Pişkin 1987). Azo-bis-izobütironitril (AIBN) ve benzoilperoksit oldukça
sık yararlanılan başlatıcılardır. Kim vd. (1989) polimer özelliklerini belirlemek ve
monomer dönüşümünü arttırmak için endüstride çift işlevsel ya da çok işlevsel başlatıcı kullanıldığını belirtmiştir.
Benzoilperoksit ( C H O ), 60°C üzerindeki sıcaklıklarda iki radikale parçalanır.
14 10 4I
2b u başlatıcının kendisi,
Rde onun radikali ise bu ilk tepkime şöyledir:
I
2⎯⎯→
ki2
R(1.8) Serbest bir radikal M monomerinin çift bağının bir elektronunu çekerek bir bağ yaptığında, öbür elektron monomerin ucuna kayarak ilk polimerik radikal’i M ’i
1oluşturur:
R
+M ⎯⎯→
krM
1(1.9)
Büyüme evresi
Bu evrede monomer radikali çok sayıda çarpışmalarla monomerlere katılır ve polimer zinciri, aşağıdaki gibi, hızla büyür:
kp
1 2
M + ⎯⎯→ M M
M
2+ ⎯⎯→ M
kpM
3L
kp
i 1 i
M
−+ M ⎯⎯→ M
(1.10)
Sonlanma evresi
Sonlanma tepkimeleri, büyümekte olan polimerik zincirlerin birbirleriyle verdiği tepkimelerle aktifliklerini yitirerek aktif olmayan polimer zincirlerine dönüştüğü tepkimelerdir.
kt
i j i j
M + M ⎯⎯→ M
+(1.11)
kt
i j i j
M + M ⎯⎯→ M + M
(1.12)
Tepkime Hız Denklemleri
Başlatıcının parçalanması ve radikalinin oluşması için
I i IdC k C
− dT =
(1.13)
R i I r R M
dC 2 f k C - k C C
− dT = (1.14) hız denklemleri yazılabilir. Başlatıcı radikalinin polimerleşmeye yol açan kesri (etkinlik) olan f ; tekişlevsel başlatıcılar için stirenin çözelti polimerleşmesinde 0.5-0.6 (Brooks 1981), yığında 0.6-0.8 (Kim vd. 1989), bir çözelti çalışmasında ise 0.585’tir.
(Chaimberg ve Cohen 1990).
Yatışkınlıkta başlatıcı radikalinin oluşum hızının sıfırlandığı ve polimer radikalinin de anında tüketildiği varsayımları
)2
R M Mi
i I r t
2 f k C = k C C =k (C
(1.15)
eşitliğini doğurur. Kolaylık olsun diye
CMiyerine toplam radikal derişimi
CMkonup
düzenleme yapılarak
M i I t 0.5
C =(2 f k C / k )
(1.16) denklemi bulunur.
Monomerin tüketim hızını gösteren
M
dC
M r M R p M MR k C C k C C
= − dT = + (1.17) denklemindeki ilk terim, başlatıcı çok az kullanıldığından ikincisine göre küçük sayılıp atılırsa
M
dC
M p M MR k C C
= − dt =
(1.18)
olur. Burada (1.16) denklemine başvurarak
M p M i I t 0.5
R =k C (2 f k C / k )
(1.19)
elde edilir. Bir adım daha ilerleyip
p i t 0.5k k (2 f k / k )=
(1.20)
yerine konursa monomer tüketim hızı için
M M I0.5
R = k C C (1.21) türer.
1.2.2 Polimerleşme denetimi
Isı alan tepkimeler, işletimi güçleştirir. Pişkin’in (1987) belirttiği üzere endüstriyel polimer üretimi hayli sorunludur. Özellikle zincir polimerleşmede, artan molekül ağırlığı ile viskozite yükselirken bir yandan sıcaklık aktarımı bir yandan da radikallerin çarpışması, dolayısıyla da sonlanma azalır. Böylece; büyüme ve sıcaklığın kendiliğinden hızlandığı, jelleşme denen (Takamatsu vd. 1988) bir süreç doğarak sıcaklık denetimini zorlaştırır. Eliçabe ve Meira (1988) şu zorlukları dile getirmiştir.
1. İlgili dinamik modeller, yüksek derecede eğrisel kütle ve enerji denkliklerine dayanır. Doğrusal kontrol teorileri doğrudan uygulanamaz. Üstelik, model parametrelerini belirlemek ya da kestirmek güçtür.
2. Isı salan tepkimeler denetimi güçleştirmektedir. Yüksek dönüşümlerde iyice artan viskozluk karıştırma sorunu doğurmaktadır.
3. Ürün niteliği, moleküler ve/veya makroskopik yapısı ile ilişkili olup üretim ertesinde değiştirilemez. Dinamik modeller, son kullanım niteliklerini öngörmede kullanılamaz.
4. Bileşim ve molekül ağırlığı gibi yapısal özeliklerin çevrimiçi ölçümü kolay
olmayabilir.
Özkan vd. (2003), polimerleşme reaktörlerinin denetimi ile ilgili çok çalışma olduğunu ve Congalidis ve Richards (1998) tarafından bir sınıflama yapıldığını dile getirmiştir.
Anılan sınıflama Çizelge 1.4’de özetlidir.
Çizelge 1.4 Polimerleşme reaktörlerinin denetimi Konu Çalışma
Sıcaklık denetimi Chylla ve Haase (1993); Defaye vd.
(1993); Ni vd. (1997) Kesikli ya da yarı kesikli üretimde,
istenen polimer niteliğine en kısa sürede ve en yüksek verimle ulaşabilmek için başlatıcı ve monomer eklenmesinin ve/veya tepkime kabı sıcaklığının optimizasyonu; ürün moleküler ağırlığı dağılımının denetimi
Arzamendi ve Asua(1989);Chen ve Jeng (1978), Chen ve Huang, (1981), Louie ve Soong (1985 a, b); Maschio vd.
(1992, 1994),Ponnuswamy vd. (1986), Scali vd. (1995), Secchi vd.
(1990);Soroush ve Kravaris (1993);
Thomas ve Kiparissides (1984 a, b); Wu vd. (1982)
Polimer özeliklerinin kalorimetrik teknikler, genişletilmiş Kalman filtresi kalıbında bir kinetik model ya da yapay sinir ağları ile çevrimiçi tahmini
Dimitratos vd. (1991);Eliçabe vd.
(1995); Ellis vd. (1994); Kim ve Choi (1991); McAuley veMacGregor (1991);
Kozub ve MacGregor, (1992); Moritz (1989); Mutha vd. (1997); Scali vd.
(1995);Semino vd. (1995); Zhang vd.
(1997) Adaptif denetleçleri de kapsayan ileri
geribeslemeli denetleçlerin değerlendi- rilmesi
Defaye vd. (1993); Houston veSchork (1987); Kiparissides ve Shah, (1983);
Wang vd. (1995), model öngörmeli denetleçler: Dittmar vd. (1991); Gobin, vd. (1994); Inglis vd. (1991); Ogunnaike ( 1994);Ohshima vd. (1994); Peterson vd.(1992), eğrisel denetleçler: Alvarez vd. (1990); Gentric vd. (1997); Kravaris ve Soroush ( 1990); McAuley ve
MacGregor (1993); Soroush ve Kravaris (1992, 1994)
Polimer reaktörü izlemek ve denetlemek için çok yollu temel bileşen analizine dayalı istatiksel teknik değerlendirme
Nomikos ve MacGregor (1994);
Neogive Schlags (1997); Yabuki ve MacGregor, (1997)
Reaktörü işletmeye alma ve ürün kesim geçişleri için denetim stratejilerinin araştırılması
Debling vd. (1994); Farber ve Laurence
(1986); McAuley ve MacGregor (1992)
1.3 Bu Çalışma
Polimerleşme denetimi Türkiye’de de çalışılan bir konudur. Karagöz (1991) stirenin polimerizasyonunun oluştuğu kesikli bir reaktörün çevrimiçi bilgisayar ile PID denetimini incelemiştir. Karaduman (1992) kesikli bir stiren polimerleşme reaktöründe soğutma suyu debisini çevrimiçi ayarlayarak reaktör sıcaklığını istenilen değerlere getirmiştir.
Polistiren, üstün mekanik ve dielektrik özeliklerini geniş bir sıcaklık aralığında koruyan önemli bir endüstriyel kimyasaldır. Üretim seçeneklerinden birisi; toluende çözülmüş stirenin benzoil peroksit başlatıcılı, serbest radikalik katılmalı polimerleşmesidir. Böyle bir sürecin kesikli olarak gerçekleştiği bir tepkime kabına (Karagöz 1991) tek girdi-tek çıktı (SISO) dinamik matrisli denetim uygulanmasını Fortran’a dayalı benzetim yoluyla araştıran Ünal (1995); ek olarak elsel yönteme, Cohen-Coon ya da iç modelli denetim (IMC) yaklaşımına göre ayarlı sekiz geri beslemeli denetleç sınamıştır. Bu çalışmada ayar değişkeni ısıtma hızı, denetim değişkeni ise tepkime sıcaklığıdır.
Şimdiki çalışma, anılan kesikli tepkime kabının sıcaklığının geri beslemeli ve model
öngörmeli denetimini Matlab’a dayalı benzetim yoluyla araştırmıştır. İlk aşamada,
Ünal’ın (1995) yaklaşımı Matlab’a uyarlanmış, açıkçevrim, oransal, integral, türevsel
ve dinamik matrisli kontrol ediciler için Matlab yazılımları geliştirilmiştir. Sonuçlar
doğrulandıktan sonra, bir üst yazılım olan Matlab Simulink ortamına geçilmiş, bir de
S-işlevsel kutusu kullanılarak benzetim sonuçları elde edilmiş ve sonuçlar bir kez daha
doğrulanmıştır. Böylece model, ayrıca Simulink ortamında kullanılmaya hazır hale
getirilmiştir.
2. KURAMSAL TEMELLER
2.1 Dinamik Matrisli Denetim
Bu kesimdeki bilgiler Koçak’ın yayınlanmamış bir çalışmasından
1alınmıştır. Tek girdi- tek çıktı (SISO) dinamik matrisli denetimin (DMC) dayanağı, doğrusal sayılan sürecin y denetim değişkenini TS süreli aralarla NT kez örnekleyerek oluşturulan bir basamak ya da dürtü yanıtımı modelidir. Üç ayrı ufuktan söz edilen yaklaşımda, katlama diye de nitelenen modelin ufku NT’dir. Kestirim ufku NV, işletimde her örnek zamanı (her adımda) geleceğin kaç y değerinin; denetim ufku NU, şimdiki yanında kaç ileri ayarın göz önünde tutulacağını gösterir.
Ayardaki basamak bozu m u(t) , y örnekleri c , c ,c , ,c
1 2 3K
NTise katlama model
i i
b = c / m, i 1(1)NT, t TS, 2TS, , NT *TS = = K (2.1) olur. t 0 =
anında m u(t) ve t TS
1=
anında m u(t-TS) ayar sapıntısı olsun. Başka
2etki verilmezse y’nin ilk yatışkınlıktan sapıntısı, doğrusallık gereği, şöyle değişecektir:
0
1 1 1
1 2 1 1 2
2 3 1 2 2
t 0, y 0
t 1 TS, y b m
t 2 TS, y b m b m
t 3 TS, y b m b m
= =
= =
= = +
= = +
L
NU ayar ve NV kestirim için
y A m=biçiminde genelleşen bu yanıtımın dinamik matrisi A şöyle doldurulur:
1 Koçak, M.Ç., Dinamik Matrisli Denetim, yayınlanmamış çalışma.(Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümü, Tandoğan ANKARA)
1
2 1
3 2 1
NV NV 1 NV 2 NV 1 NU
b 0 0 0
b b 0 0
b b b 0
A
b b
−b
−b
+ −⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
L L L
L L L L L
L
(2.2)
Kestirim ufkunda üç yanıtım tanımlanır: açıkçevrim y
OL, düzeltilmiş açıkçevrim
*y
OLve kapalıçevrim y
CL. Burada,
OLy katlama modelin geçmiş ayarlara yanıtımıdır.
*y
OL, bunun eldeki son ölçüme dayanarak düzeltilmişidir. y
CLise tasarlanacak ayarlara yanıtımın
*y
OLile toplamıdır. Katlama modele dayalı şimdiki y kestirimi y
OL,0, buna karşılık ölçülen değer y
meolsun. NS.
örnekleme anında kestirim ufkundaki bir i.
noktada hata E
CL,iiçin
*OL,i OL,i me OL,0
me OL,i OL,0
NS 1 NS 1
me i k NS k k NS k
k 1 k
NS 1
me i k k NS k
k 1
y y (y y )
y (y y )
y b m b m
y (b b ) m
− −
+ − −
=
−
+ −
=
= + −
= + −
= + ∑ − ∑
= + ∑ −
(2.3)
* NU
CL,i OL,i i 1 k NS 1 k
k 1k i
y y b
+ −m
− +=≤
= + ∑ (2.4)
CL,i seti CL,i
E = y − y (2.5)
yazılabilir. W hatalar,
1W ise ayarlar için seçilen birer ağırlık matrisi olmak üzere
2J E= TCLW E1 CL+m W mT 2
(2.6)
diye tanımlanan bir erekişlevi en aza indiren
m,en küçük kareler yönteminden (Seborg vd. 1989, Luyben 1990) bulunur:
* set *
DMC OL DMC OL
m K= E =K (y −y )
(2.7)
T 1 T
DMC 1 2
K =(A W A W )+ − A W
(2.8)
Burada geçen K
DMCgeribesleme kazanç matrisidir. Çıkacak
m’nin ilk üyesi de şimdi uygulanacak ayar sapıntısıdır, başka deyişle
m(1) m(NS)=. Denklem genellikle W
1= I ve
W2 =f I2alınarak yalınlaştırılır:
T 2 1 T
KDMC =(A A f I)+ − A
(2.9)
Özellikle
f2 =0kullanımı ile
T 1 T
KDMC =(A A)− A
(2.10)
olur. Dinamik Matrisli denetimin algoritması şöyle özetlenebilir:
İlk evrede, sürecin basamak yanıtımından elde edilen katlama model b ile A dinamik matrisinin doldurulması vardır. İkinci evrede, W ve
1W seçiminin ardından
2KDMC
bulunur. Üçüncü evre,
NSsayacının belli NSL değerine dek, her örnek zamanı bir kez, aşağıdaki adımları yineleyen bir döngüdür:
a) Denetim değişkeni ölçümü y
me,
b) Denklem (2.3) yardımıyla NV tane
y*OLüyesinin bulunması,
c) Denklem (2.7) yardımıyla NU tane ayar sapıntısının m(NS), m(NS 1), , m(NS NU 1) + K + − eldesi,
d) Bu m üyelerinden birincisini TS süreli uygulayıp (a) şıkkına dönülmesi. (Ötekiler nasılsa atılacağından yalnızca ilk ayar sapıntısını saptamakla yetinilebilir.)
yset
ve y
medeğişimlerini de göz önünde tutarak yapılan ayarın, ancak örnekten örneğe güncellendiği açıktır.
Seborg vd. (1989), iletim işlevi belli bir sürecin katlama modeline dayalı iki DMC
tasarımını yapıp erekdeğer ve yük yanıtımlarını geribesleme döngüleriyle
karşılaştırmıştır. Örneğin iletim işlevi
P L
e
sG G
(10s 1) (5s 1)
= =
−+ + (2.11) olarak verilmiştir. Kaynakta gösterilmeyen aşağıdaki ayrıntılar, olayı iyice aydınlatmaktadır. Birim basamak yanıtımı;
y(s) ’yi Hevisayd yöntemine göre tikel kesirlerine parçalayıp ters Laplas dönüşümü yardımıyla zaman bölgesine geçirerek kolayca bulunur:
P
1 e
s1 1 20 5
sy(s) G (s) ( ) e
s (10s 1) (5s 1) s s 10s 1 5s 1
− −
= = = − +
+ + + + , (2.12)
1
1 20 5
0.1t 0.2 tL u(t) 2e u(t) e u(t)
s 10s 1 5s 1
−
⎛ ⎞
− −− + = − +
⎜ + + ⎟
⎝ ⎠ (2.13)
0.1(t 1) 0.2(t 1)
y(t) u(t 1) 2e = − −
− −u(t 1) e − +
− −u(t 1) − (2.14) (Ters dönüşümde
e−sdışarda tutulmuş, sonra zaman bölgesinde
tyerine t 1 − koyarak ölü zaman ötelemesi yapılmıştır.)
TS 1, NT 70 ve m 1 = = =
alınarak saptanan katlama model Çizelge 2.1’de özetlidir.
f
2= 0, NU 1ve NV 3 = = seçildiğinde
0.00000 A 0.00906 0.03286
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
, A A
T= [ 0.0011619 ] ,
(A A)
T −1= [ 860.69 ] ,
[ ]
T 1 T
K
DMC= (A A)
−A = 0.00000 7.7978 28.2822
olur. Denetim değişkeni
yve ayar değişkeni m Çizelge 2.2’deki gibi değişmektedir.
Çizelge 2.1 Katlama modelin ilk 10 ve son 10 üyesi
i bi i bi i bi i bi
1 0.00000 6 0.15482 61 0.99505 66 0.99700 2 0.00906 7 0.20357 62 0.99552 67 0.99728 3 0.03286 8 0.25343 63 0.99595 68 0.99754 4 0.06718 9 0.30324 64 0.99633 69 0.99777 5 0.10869 10 0.35216 65 0.99668 70 0.99799
Çizelge 2.2 Sürecin y
set= u(t) erekdeğer bozusuna yanıtımı ( f
2= 0, NU 1ve NV 3 = = )
NS ty y −
0 mNS-m0 Toplam m-m01 0 0.0000 36.0805 36.0805 2 1 0.0000 -41.7163 -5.6358 3 2 0.3267 -3.7860 -9.4217
4 3 0.8078 5.7680 -3.6538
5 4 1.0187 3.9910 0.3372 6 5 1.0471 1.1698 1.5070 7 6 1.0232 -0.0936 1.4135 8 7 1.0042 -0.2751 1.1384 9 8 0.9980 -0.1383 1.0000 10 9 0.9981 -0.0263 0.9738
Öte yanda, f
2= 0, NU 2 ve NV 4 = = durumunda
0.00000 0.00000 0.00906 0.00000 A 0.03286 0.00906 0.06718 0.03286
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
,
3 3
T
3 3
5.674e 2.505e A A
2.505e 1.162e
− −
− −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
=⎢⎣ ⎥⎦
,
T 1
3660 7891
(A A)
7891 1787
−
⎡ − ⎤
= ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ ,
DMC0.0000 33.1406 48.7898 13.4466
K 0.0000 71.4577 97.4050 57.2786
⎡ − ⎤
= ⎢ ⎣ − − ⎥ ⎦
olur. Yanıtım Çizelge 2.3’tedir.
Çizelge 2.3 y
set= u(t) erekdeğer bozusuna yanıtımı ( f
2= 0, NU 2 ve NV 4 = = )
NS ty y −
0m
NS-m
0Toplam
m-m
01 0 0.0000 68.4837 68.4837
2 1 0.0000 -130.4558 -61.9720
3 2 0.6202 74.3919 12.4198
4 3 1.0689 -13.4908 -1.0710
5 4 0.9875 2.4465 1.3756
6 5 1.0023 -0.4437 0.9319
7 6 0.9996 0.0805 1.0124
8 7 1.0001 0.026 0.9978
9 8 1.0000 0.0026 1.0004
10 9 1.0000 -0.0005 0.9999
Yük m
L= u(t) , y
set= olsun. Bu durumda sürecin DMC altında yük yanıtımı Çizelge 0 2.4’deki gibidir.
Çizelge 2.4 Sürecin m
L= u(t) yük bozusuna yanıtımı
f
2= 0, NU 1ve NV 3 = = f
2= 0, NU 2 ve NV 4 = =
NS
t y y −
0m
NS-m
0Toplam m-m
0y y −
0m
NS-m
0Toplam m-m
01 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
3 2 0.0091 -0.3267 -0.3267 0.0091 -0.6202 -0.6202
4 3 0.0329 -0.4810 -0.8078 0.0329 -0.4487 -1.0689
5 4 0.0642 -0.2109 -1.0187 0.0616 0.0814 -0.9875
6 5 0.0936 -0.0284 -1.0471 0.0842 -0.0148 -1.0023
7 6 0.1152 0.0239 -1.0232 0.0992 0.0027 -0.9996
8 7 0.1286 0.0190 -1.0042 0.1086 -0.0005 -1.0001
9 8 0.1357 0.0062 -0.9980 0.1136 -0.0001 -1.0000
10 9 0.1384 -0.0001 -0.9981 0.1155 -0.0000 -1.0000
Tüm sonuçlar, kaynaktaki Seborg vd. (1989) çizimlerle uyumludur. DMC uygulamalarında iki noktaya özenle eğilinmelidir. Birincisi, sapıntı ve toplam değişkenlerin ayırt edilmesidir. İkincisi ise y
medoğrudan süreçten değil de onun yerini tuttuğu umulan bir iletim işlevinden geldiğinde, ölçüme hem yüklerin hem önceki ayarların etki yaptığının unutulmamasıdır.
2.2 Soğutma Ceketli Kesikli bir Polimerleşme Kabının Modellenmesi
Denetim araştırmalarına doğal bir kuramsal başlangıç; zaman bölgesinde, cebirsel- diferansiyel bir modelin eldesidir. Genelde sakınıma dayanan kimya mühendisliği modellerinde taşınım, denge ve kinetik ile ilgili katkılar da olayına göre yer alır.
Bu çalışmada, stirenin polimerleştiği soğutma ceketli bir kesikli tepkime kabı için
Ünal’ın (1995) geliştirdiği sakınıma dayalı model kullanılmıştır. Modelin toplam dört
adet diferansiyel denklemi, tepkime kabı ve ceket için enerji denklikleri ile monomer ve başlatıcı için kütle denkliklerinden türetilmiştir.
Kesikli işletilen tepkime kabında (Şekil 2.1), madde giriş-çıkışı yoktur. Birden atılan başlatıcının tetiklediği tepkime, monomer ve başlatıcıyı azaltırken polimeri çoğaltmakta ya da uzatmaktadır. İçeriden ısıtılan, tepkime nedeniyle de ısı salınan kap; cekete oradan da çevreye ısı yitirmektedir. Fiziksel ya da kimyasal dengenin konu olmadığı bu sürecin Kesim 1.2.1’de sunulan kinetik hız denklemleri, ufak bir eklentiyle, aşağıda yinelendikten sonra, matematiksel modelin kalanı betimlenmektedir.
Şekil 2.1 Kesikli polimerleşme kabı
2.2.1 Kinetik
Karagöz (1991); başlama, büyüme ve sonlanma adımları için Çizelge 2.5’de görülen aktivasyon enerjisi değerlerini ve referans sıcaklığı olan 303.15 K’deki hız sabitlerini vermiştir.
Çizelge 2.5 Kinetik veriler
Aktivasyon Enerjisi Hız sabiti
E =28800 kal gmol
i -1k =4.94 10
iR -8s
-1E =7400 kal gmol
p -1k
pR=72.5 10
-3s
-1E =2370 kal gmol
t -1k =66.5 10
tR -3s
-1T
ciT
ceT
CM CIBaşka sıcaklıklardaki hız sabitleri ise aşağıdaki eşitliklerden bulunabilir:
TTR=(1/TR - 1/T) (2.15)
E .TTR / Ri i iR
k = k e , k
p= k
pRe
E .TTR / Rp, k
t= k
tRe
E .TTR / Rt(2.16)
Monomer ve başlatıcı tepkime hızı için
k= k (2f
pk /
ik )
t 0.5(2.17)
M
R =k C
MC
I0.5(2.18)
dC
M Mdt R
− =
(2.19)
I i I
dC k C
− dt = (2.20)
yazılabilir. (Kesim 1.2.1)
2.2.2 Matematiksel model
Durum değişkenlerinin tepkime kabı sıcaklığı, soğutma ceketi sıcaklığı, monomer derişimi ve başlatıcı derişimi olan bu modelde şu varsayımlar yapılmıştır:
a) Başlatıcı radikalinin etkinliği f=0.5 olarak alınabilir.
b) Tepkime kabının hacmi, ısı aktarım alanı, çözeltinin özgül ısısı, soğutma suyunun özgül ısısı ve giriş sıcaklığı değişmeyerek, sabit kalmaktadır.
c) Rotari viskozimetresi ve dipten gönderilen azot gazı ile yapılan karıştırma tam olduğundan, derişimler ve sıcaklık tepkime kabının her noktasında aynıdır.
d) Çözeltinin başlangıç viskozitesi; sıcaklığa, monomer ve başlatıcı derişimlerine şöyle bağlıdır:
3 3 2 3
0
3.727*10 T
− 03.009*10 C
− M0327.6C
I0µ = + − (2.21)
e) Ortalama molekül ağırlığı MW=104 olmak üzere, çözelti viskozitesinin sonraki
değişimi;
-3(0.6539+0.5888+1) 0.6539 0.5888
0 M M0 I I0
µ=µ +10 0.9615 ((C -C ) MW) (C -C )
f) Reaksiyon ortamında meydana gelen viskozite değişimlerinin çalışma koşulları içerisinde reaksiyon kinetiğine etkisi yoktur.
g) Polimerleşmenin tepkime ısısı, büyüme evresindekine eşit olup işletim süresince aynı değerde kalmaktadır.
h) Tepkime kabı ve soğutma ceketi arasındaki camın ısı kapasitesi ihmal edilebilir.
i) Ceketten çevreye yitirilen ısı Q
LOSS=13.56 kal s
-1j) Tüm ısı aktarım katsayısı U ile µ’yu birbirine U=1/(S µ
0.33+FF) eşitliği bağlar.
Burada FF=0.0660339, S=0.062345 değerindedir.
Soğutma ceketli kesikli bir polimer reaktörünün matematiksel modeli kütle ve enerji denklikleri şeklinde ifade edilmiştir. Çizelge 2.5 ve eşitlik 2.15-2.18’den R
M
hesaplandıktan sonra durum denklemlerinde kullanılır.
M c
p
dT Q ( H) R V U A (T T )
dt V C
+ −∆ − −
= ρ
(2.22)
c pc ci ce c
c LOSS
c c pc
M C (T T ) U A (T T ) Q
dT
dt V C
− + − −
= ρ (2.23)
M M
dC R
dt = − (2.24)
I i I
dC k C
dt = − (2.25)
Modelde T ikinci durum değişkeni olmakta ve ceket çıkış sıcaklığı
cT ,
ceT
ce= 2T
c− T
cieşitliğinden güncellenerek elde edilmektedir.
3. MATERYAL VE YÖNTEM
Bu bölüm; yararlanılan deneysel verileri ve dinamik benzetim yaklaşımını tanıtmaktadır.
3.1 Deneysel Tanıtım
Kesikli işletilen bir stiren polimerleşme kabının sıcaklık denetimini konu alan bu çalışmada, denetim değişkeni tepkime sıcaklığı (T); ayar değişkeni ise ısıtma hızıdır (Q). İkisi açıkçevrim, ikisi kapalıçevrim toplam dört deneyin verileri; kesikli polimerleşmenin sıcaklık denetiminde çevrimiçi bilgisayarlı PID uygulayan önceki bir çalışmadan (Karagöz 1991) alınmıştır. Aynı verileri kullanan Ünal (1995); bu deneyleri, sırayla EOL2, EOL5, ECL1ve ECL2 ile simgelemiştir.
3.1.1 Açıkçevrim iki deney
EOL2 şöyle gerçekleşmiştir. Yatışkın koşuldaki dizgenin tepkime sıcaklığı T=90 °C ve ısıtma hızı Q=40.5 kal/s iken birden %1’lik başlatıcı eklenerek tepkimenin başlatılmasının ardından T düzgün bir artışa geçmiş, 40 dakikada 110 °C’a yükselmiş, sonra azalarak 80 dakikada 100 °C civarında yeniden yatışkınlaşmıştır. Viskozitenin ilk değeri 0.5 cp, son değeri ise 5.5 cp’dir. Dönüşüm ise 0’dan % 55’e değişmiştir.
EOL5’te başlatıcı atıldığı sırada ısıtma hızına pozitif bir basamak etki verilip Q=43.8 kal/s yapılması söz konusudur.
EOL5 için çizilen sıcaklık tepki eğrisinden, Kesim 1.1.1’de anlatılan Smith ve Corripio (1985) yöntemine göre (Denklem 1.3) elde edilen FOPDT modeli şudur:
K exp ( t s)d
G(s) τ s 1
= −
+
, K=8.788 K s kal
-1, τ = 22.5 dak , t =0.5 dak.
d3.1.2 Kapalıçevrim iki deney
ECL1 deneyinde PID denetleç parametreleri; elle ayarlama ile en iyileme sonucunda, K =14 K s kal
c -1, τ
I= 6 dk, τ =0.5 dk bulunmuştur. Dizge EOL2 ile aynı yatışkın
dkoşulda ve erekdeğer T=90 °C iken tepkime başlatıldığında bu parametreler başarılı görülmüştür (Karagöz 1991). Öte yanda, ECL2 deneyi, Cohen-Coon yöntemine göre saptanan denetleç parametrelerini ( K =6.9 K s kal
c -1, τ
I= 1.3 dk, τ =0.2 dk), aynı
dkoşullar ve erek değer ile kullanmıştır.
3.2 Dinamik Benzetim
Çalışmaya konu olan kesikli tepkime dizgesinin benzetimi, Matlab ortamında (sürüm 7.8.0.347 R2009a) gerçekleştirilmiştir. Çizelge 3.1, yazılımda kullanılan simgeleri göstermektedir. Çalışmada yaratılan yazılımın çoğu, topluca Ek 1’de yer almaktadır.
Çizelge 3.1 Yazılımda kullanılan simgeler
Simge Açıklama ACCUI PI ve PID için hata integrali (K s) AH Isı aktarım alanı (m2)BMC Soğutma suyu debisi (kg s-1)
CKV Sayısal-örneksel çevirici/ısıtıcı kazancı (kal s-1 çoklu-1) CMW Polimerin ortalama molekül ağırlığı
CNV Monomer dönüşümü (%)
CI0D Başlatıcı derişimi bozusu (gmol m-3) DELH Tepkime ısısı ∆H (kal gmol-1)
DM Denetleç çıktısının sapması (çoklu olarak) DQ Denetleç çıktısının toplam sapması (çoklu olarak) DQH DQ için üst sınır (çoklu olarak)
DQL DQ için alt sınır (çoklu olarak) ER Denetleç için hata E (K) ERL Bir önceki adımdaki E (K)
FBKC KDMC, geri besleme kazanç matrisi FK Başlatıcı radikali etkinliği
HH İntegrasyon adım boyu (s)
IQ Denetleç çıktısının ilk değeri (çoklu olarak)