LGS MATEMATİK LGS MATEMATİK ÜSLÜ SAYILAR FASİKÜLÜ ÜSLÜ SAYILAR

LGS MATEMATİK ÜSLÜ SAYILAR

FASİKÜLÜ

HAZIRLAYAN RAMAZAN AKKUŞ

LGS MATEMATİK ÜSLÜ SAYILAR

FASİKÜLÜ

HAZIRLAYAN RAMAZAN AKKUŞ

sınırları_zorlayan_matematik sınırları_zorlayan_matematik

2

 Bir üslü ifadede; taban 0 ise sonuç 0, üs 0 ise sonuç 1’dir.

Örnek:



0 = 0

0 = 0



(99) = 1

(5) = 1

 Bir üslü ifadede; taban 1 ise sonuç her zaman 1, üs 1 ise sonuç sayının kendisine eşittir.

Örnek:

1 = 1⁸ 1²⁰¹⁷ = 1 1 = 1^-9

3 = 3

(-7) = -7

(99) = 99

 -1 sayısının çift tamsayı kuvvetleri 1, tek tamsayı kuvvetleri -1'dir.

Örnek:

(-1) = +1

(-1)

= +1

(-1) = +1

(-1) = -1

(-1)

= -1

(-1)

= -1

 Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.

Örnek:

2 = 2.2.2 = 8

7 = 7.7 = 49

5² - (2)³ işleminin sonucu kaçtır?

Öğreten Soru 2

 

Öğreten Soru 3:

 

1 0

99 - 24 + -1 işleminin sonucu kaçtır?

Öğreten Soru 4:

 

1

1 0

9

-1 + 7 - 5

-1 işleminin sonucu kaçtır?

Öğreten Soru 5:

3 2 0

5 - 9 - 15

a bir tamsayı, n sayma sayısı olmak üzere n tane a nın çarpımı aⁿ şeklinde gösterilir ve “ a nın n. kuvveti” ya da “a üssü n” olarak okunur.

Üs (kuvvet)

a.a.a.a…….a=

a

Taban

ÜSLÜ SAYILAR

ANCAK 0 = belirsizdir. 0

R A M A Z A N A K K U Ş

www.ramazanakkus.com.tr

3

 Negatif tam sayıların çift tam sayı kuvveti pozitif, tek tamsayı kuvvetleri negatiftir.

Örnek:

4 4

(-3) = 3 = +81 (-5) = (-5).(-5) = +25

(-7) = -7

Yukarıdaki örneklere baktığımızda;

Üssü çift ise sonuç pozitif,

Üssü tek ise sonuç negatif olmaktadır.

Buradan anlaşıldığı gibi sonucun işaretini belirlemek için sadece üsse bakmamız yeterlidir.

ÖĞRETEN MİNİ ETKİNLİK Aşağıdaki üslü ifadeleri açarak değerini bulunuz.

(-5) = (-5).(-5).(-5).(-5) = +625

(-4) =

-9 =

(-10) =

-1 =0

(-2) =

-6 =

-1 =8

(-2) =

(-6) =

Öğreten Soru:

(-2)² + (-2²) - 2 işleminin sonucu kaçtır?

Öğreten Soru:

  ^-2

^{+ -3}  

^{- 5}

Öğreten Soru:

 

2 10 2

-6 - 1

-3 işleminin sonucu kaçtır?

DİKKAT!!!

Sayının etrafında parantez yok ise veya kuvvet parantezin dışında değilse sayının üssü tek veya çift olması hiç önemli değil;

Sonuç her zaman negatiftir.

4 4

( 2) 16 2 16

    

     

Kuvvet çift olmasına rağmen parantez olmadığı için sonuç negatif.

0

0

( 5) 1

5 1

    

     

Parantez yok sonuç -1

2 2

( 3) 9 ( 3 ) 9



   

    

Sonuç olarak; Negatif sayılarda kuvvet parantezin dışında değilse; kuvveti tek, çift, sıfır olması önemli değildir. Sonuç her zaman negatiftir.

R A M A Z A N A K K U Ş

4 NEGATİF KUVVET

a) Pozitif tamsayıların negatif kuvveti;

Örnek:

 ^-2

1

1 1

3 = = =

3 3.3 9



1

= 5 = 5.5.5 = 125 5

b) Negatif tamsayıların negatif kuvveti;

 Üsse bakılıp önce sonucun işareti belirlenir.

 İşaret belirlendikten sonra negatif üsten kurtulmak için ters çevrilir ve sonuç bulunur.

Örnek:

(-4)

Çözüm:

Üs tek olduğu için işaret (-) olur.

 

1 1 1

- = - = -

4 4.4.4 64

Örnek:

-3

Çözüm:

Parantez olmadığı için işaret etkilenmez

-4 4

1 1 1

-3 = - = - =

3 3.3.3.3 81

Örnek:

(-5)

Çözüm:

Üs çift olduğu için sonuç (+) olur.

-2

2

1 1

(-5) = + = + (-5) 25

ÖĞRETEN MİNİ TEST

1) Aşağıdakilerden hangisinin sonucu pozitiftir?

A) 3^4 B)3⁵ C)

( 3) 

( 3) 

2)

2 + 5

A) 1

7 B) 7

10 C) 10

7 D) 3

 5

3) Aşağıdakilerden hangisi en küçüktür?

A)

( 5) 

( 5) 

( 5) 

( 5) 

4) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A)

( 5) 

  5

4 4

( 2)   2

C) ¹ 1

( 4 )

4

    D) ² 1

( 5) 25

  

5)

2 + (-4)

A)

2

8

2 C) 1 D) 0 R

A M A Z A N A K K U Ş

5 Rasyonel Sayıların Kuvvetleri

N bir reel sayı ve a 

0

0

-n n

a b

( ) = ( )

b a ya da a ⁿ b ^n

( ) = ( )

b a dir.

Payı ve paydası sıfırdan farklı olan bir rasyonel sayının payı ile paydası yer değiştirirse, üssün işareti de değişir.

Örnek:

-2

1

6

Çözüm:

1

= 6 = 6.6 = 36

6

Örnek:

2

(- ) 3

Çözüm:

Negatif üsten kurtulmak için önce kesri ters çeviririz.

-3 3

2 3

(- ) = (- )

3 2

Negatif kesrin üssü tek olduğu için sonuç (-) olur.

3

3.3.3 27 (- ) = - = -

2 2.2.2 8

ÖĞRETEN MİNİ TEST 1)

3

A) 1

9 B) 1

81 C) 9 D) 81

2) ^a

1

2 = 32

A) -5 B) -3 C) 3 D) 5

3)

1 1

( + )

3 2

A) 5

6 B) 6

5 C) 6

 5 D) 6

4)

1

(- ) 3

A) 1 1 1

( ).( ).( )

3 3 3

  

B) 1 1 1

( ).( ).( )

3 3 3

C) (-3).(-3).(-3) D) 3.3.3 R

A M A Z A N A K K U Ş

www.ramazanakkus.com.tr

6 Üssün Üssü:

Üslü bir sayının kuvveti alınırken üsler çarpılır.

(am)n = am.n Örnek:







2 3 6

-4 -2 8

(-2 ) = -2 (-2 ) = 2

Pozitif tamsayıların bütün kuvvetlerinin sonucu her zaman pozitiftir.

2 -3 2.(-3) -6

-4 -2 (-4).(-2) 8

(5 ) = 5 = 5 (5 ) = 5 = 5

ANCAK;

Negatif sayıların parantez dışındaki kuvveti çift ise sonuç pozitif tek ise sonuç negatif olur. Önemli olan parantez dışındaki kuvvettir.

2 3 6

4 2 8

( 2 ) 2 ( 2 )

2



   

    

Örnek:

 

 

 

3

1

(- ) 2

Çözüm:

 

 

 

3

-1 -3 3

1 1

(- ) = (- ) = (-2) = -8

2 2

Parantez dışındaki kuvvet tek olduğu için sonuç(-) olur.

Taban pozitif ise; üsler yer değiştirebilir.

a>0; (a^m)ⁿ = a^m.n = a^n.m = (aⁿ)^m

MİNİ ETKİNLİK

Aşağıda verilen üslü ifadeleri hesaplayınız.

(3²)⁴ = (7²)^-1 =

(-2³)⁵ = (-6⁴)⁰ =

(-2⁴)³ = (6⁰)^-3 =

Bir üslü ifadenin tabanını parçalayarak bu üslü ifadeye eşit olan başka üslü ifadeler yazabiliriz.

Örnek:

64³

64 = 2⁶ 64³ = (2⁶)³ = 2¹⁸

64³

64 = 4³ 64³ = (4³)³ = 4⁹

Öğreten Soru:

Aşağıdakilerden hangisi daha büyüktür?

A) 2 B)¹² 4 C)⁹ 8⁷ D) ³²⁴ R

A M A Z A N A K K U Ş

www.ramazanakkus.com.tr

7 ÜSLÜ İFADELERİ KARŞILAŞTIRMA

Tabanları aynı üslü ifadelerden üssü büyük olan daha büyüktür.

Örnek:

5

5

Kuvvetler eşit ise tabanı büyük olan daha büyüktür.

Örnek:

43 <

5

( 2) 

( 3) 

Öğreten Soru:

83 , 164

ve 46

sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğreten Soru:

813 , 644 ve 256 sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

İki üslü ifade birbirine eşit ise;

a≠0

n m

a = a

Örnek:

2x+1 x+4

3 = 3

Çözüm:

2x+1 x+4

3 = 3

x= 3 olur.

ÜSLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA

 Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için hem tabanlar hem de üslerin aynı olması gerekir.

 Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi sadece katsayılar arasında yapılır. Ortak taban ve üs ,toplam katsayı sonucuna çarpım olarak yazılır

 Tabanlar aynı fakat üsler farklı ise üs eşitleme işlemi yapılır. Sonra işleme geçilir.

Örnek:

4 4 4

8.10 + 5.10 = 13.10

Örnek:

15 12

2 - 2 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Önce üsleri eşitlemeliyiz.

15 12 3 12 12

2 - 2 = 2 .2 - 2

=

8.2 - 2

=

(8 -1).2 = 7.2

Öğreten Soru:

9 7

3 - 4.3

Çözüm:

R A M A Z A N A K K U Ş

sınırları_zorlayan_matematik

8 Üslü sayılarda Çarpma İşlemi

A) Tabanları aynı üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır taban aynen yazılır.

x y x+ y

a .a = a

Örnek:

2 .2 = 2

= 2

B) Üsleri aynı tabanları farklı ise tabanlar çarpılır üs aynen yazılır.

x x x

a .b = (a.b)

Örnek:

2 .3 = (2.3) = 6

C) Üsleri ve tabanı farklı olan üslü ifadelerin çarpımında; yapılması gereken üslü ifadelerin ayrı ayrı değerini bularak çarpmaktır.

Örnek: ^{3 -1}

1 8 2 .5 = 8. =

5 5

D) Tabanı bir tamsayı olan üslü ifadenin asal çarpanlarına parçalanarak yazılması;

Örnek:

12 2 12 2 12 12 24 12

20 = (2 .5) = (2 ) .5 = 2 .5

-8 -8 -8 -8 -8

30 = (2.3.5) = 2 .3 .5

ÖĞRETEN MİNİ TEST

1)

5 .5

A) 125 B) 25 C) 5 D) 1

2)

2 .3

A)2 B) ¹⁴ 6¹⁴ C)⁶⁷ D)5⁷

3)

2 .3 .4

A) 3

8 B) 8

3 C)3 2

3 D)3 2 8

4)

4 .32

A) 4 B) ^{15 6 44} C) ⁸¹¹ D)2 ³¹

5)

(-3) .(-3) .(-3)

A) -3 B) 1

 C)3 1

3 D)3 R

A M A Z A N A K K U Ş

www.ramazanakkus.com.tr

9 Öğreten Soru

46 _ile

1

8

A) 2 B)³ 2 C)⁶ 2 D) ⁹ 2 ¹¹

Çözüm:

 



 

6 2 6 12

6 12 -3 9

-3 3

4 = (2 ) = 2

4 . 1 = 2 .2 = 2

1 1

= = 2 8 8 2

Öğreten Soru

A= 2⁴ , b=

5

A) 7⁴ B)1 0⁴ C)1 0⁸ D) 1016

Çözüm: Üsler aynı tabanlar farklı olduğunda tabanlar çarpılır üs aynen

yazılır.

a.b=

2 .5 = 10

Öğreten Soru

16 .8

Çözüm:

ÖĞRETEN MİNİ TEST

1)

2 .(-2) .2

A) 2 B) ⁵ 2⁵ C)2⁹ D)2 ⁹

2)

2 .5

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13

3)

1

16.( ) .4

2

A) 2 B)¹³ 2 C)¹⁴ 2 D)¹⁵ 2 ¹⁶

4)

3 .5

A) 3¹² B)⁵¹² C)15¹² D)^{1 56}

5)

3 .5

A) 7 B) 12 C)15 D) 17 R

A M A Z A N A K K U Ş

www.ramazanakkus.com.tr

10 Üslü Sayılarda Bölme İşlemi:

A) Tabanları aynı olan üslü ifadelerde;

x

x y x - y

y

a : a = a = a

a

B) Tabanları farklı üsler aynı ise;

x x

x

a a

( ) =

b b veya ^{x x}

y

a a

= ( )

b b

Örnek:

15 -8 -14

5 .5

5

Çözüm:

15 -8 15+(-8) 7

7+14 21

-14 -14 -14

5 .5 5 5

= = = 5 = 5

5 5 5

Örnek:

-4-3sayısının 2^-4 sayısına bölümü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1

 4

B) 1

 2 C) 1

2 D) 1 4

Çözüm:

-3 -6

-6+4 -2

-4 -4 2

-4 -2 1 1

= = -2 = -2 = = -

2 2 -2 4

Etrafında parantez olmadığı için işaret hep (-) olur.

ÖĞRETEN MİNİ TEST

1)

8 5

3 .3

9

A) 3¹¹ B) ³¹⁰ C)³⁹ D)

3

2)

28 12

4

4

A) 2^{4 0} B) 2^{4 8} C) 4 D) ¹⁶ 4 ¹⁸

3)

3 3

48

16

A) 3 B) 9 C) 27 D) 81

4)

-5 -7

(-3)

3

A) -9 B) 1

9

C)1

9 D) 9

5) 2⁵⁰sayısının yarısı kaçtır?

A) 1 B)²⁵ 2^{2 5} C)2^{4 9} D) 2^{4 8} R

A M A Z A N A K K U Ş

sınırları_zorlayan_matematik

11 Ondalık Çözümleme

Ondalık gösterimli bir sayıyı 10’un kuvvetleri şeklinde aşağıdaki gibi gösteririz.

Ondalık gösterimleri çözümlerken 10’un kuvvetlerinden yararlanırız;

0

1

2

3

-1

-2

-3

10 = 1 10 = 10 10 = 100 10 = 1000 10 = 1 = 0,1

10

10 = 1 = 0, 01 100

10 = 1 = 0, 001 1000

Örnek:

1 1

245, 72 = 2x100 + 4x10 + 5x1 + 7x + 2x

10 100

=

2x10 + 4x10 + 5x10 + 7x10 + 2x10

2 -1 -2

200,17 = 2x10 + 1x10 + 7x10

Burada sıfırların basamak değerlerini yazmayabiliriz.

Aşağıda çözümlemesi verilen ondalık sayıları bulunuz

2 1 0 1 2

2 10x 3 10x x10 7 10x ^ 9 10x ^ =

2 0 1 3

7 10x 3 10x 1 10x ^ 5 10x ^ =

0 1 2 3

2 10x 3 10x ^ 7 10x ^ 4 10x ^ =

3 0 1

2 10x 7 10x 3 10x ^ =

Aşağıda verilen ondalık sayıları çözümleyiniz.

240,27

302,002

3,007

17,049

14,53

0,0002

Öğreten Soru:

3 0 1 1

5.10 + 6.10 + 4. + 7.

100 1000^şeklinde çözümlenen ondalık gösterim aşağıdakilerden hangisidir?

Öğreten Soru:

-10 a -12

4, 28.10 = 0, 428.10 = b.10

R A M A Z A N A K K U Ş

www.ramazanakkus.com.tr

12 10’un Pozitif Tam Sayı Kuvvetleri

Bir doğal sayının sonundaki sıfır sayısı 10’un pozitif kuvvetini belirler

A bir sayı ve x pozitif bir tamsayı olmak üzere;

x

xtane

10 = 1000000   

Xtane

A.10 = A000000  

Örnek:

10

 100

1 03 1 0 0 0

105 100000

2.105 200000

57.103 57000

4 3

5.10 50.10

4 2

5.10 500.10

4 1

5.10 5000.10 2500250 10x 1

250025 10x 2

10’un Negatif Tam Sayı Kuvvetleri

Bir ondalık kesrin virgülden sonraki basamak sayısı 10’un negatif kuvvetini belirler.

Örnek:

0, 0005  5.10

0, 000024  24.10

Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi;

sayının değeri artınca 10’un kuvvetlerinde azalma, sayının değeri azalınca 10’un kuvvetlerinde artma olmaktadır.

.

ÖĞRETEN MİNİ ETKİNLİK 10'un verilmeyen kuvvetlerini ve noktalı yerleri doldurunuz.

.... ....

200000 2.10 20.10

.... .... ....

300000003000.10 30.10 3.10

5000000=5.10^....

6 ....

1453.10

 1, 453.10

12 ...

5400.10 54.10 100000010....

8 ...

24.10^  240000.10

5 ....

200000.10^ 2.10

0, 0000007  7.10

29 ....

0,1453.10

 1453.10

5 ...

0, 000001.10

 10

8 ....

0, 0000016.10  1, 6.10 0, 254  25.4.10

8 ....

0,14.10  1400.10

42 ....

0, 000005.10

 5.10

Öğreten Soru:

7 8

2 .10

R A M A Z A N A K K U Ş

www.ramazanakkus.com.tr

13 Bilimsel Gösterim

a sayısı 1 ≤ a < 10 olacak şekilde bir rasyonel sayı ve n bir tam sayı olmak üzere, bir sayının bilimsel gösterimi a . 10ⁿ şeklindedir.

Örnek:



3600 = 3,6.10



1440000 =1,44.10



a

7 Virgülün7

bas maksola kaymasıgerekir

1 2500000 = 1, 25.10

 ^{12 19}

Tamsayılarda virgülherzaman sondadır.

5 0000000 .10 = 5.10

 ^-7

Virgül7basamak sağakaymalı

0, 0000002 5 = 2, 5.10

Sonuçta:

 Bir sayının bilimsel gösterimini yazmadan önce virgülü nereye kaydıracağımıza karar veririz.

 Virgül kaydırırken dikkat edilecek nokta

1  x  1 0

olmalıdır.

 Virgül sağa kaydırılırsa; kaç basamak kaydırırsak 10'un kuvveti o kadar azaltılır.

 Virgül sola kaydırılırsa; kaç basamak kaydırırsak 10'un kuvveti o kadar arttırılır.

 Sayıda hiç virgül görünmüyorsa virgül sayının sonundadır.

ÖĞRETEN MİNİ ETKİNLİK Aşağıdaki sayıların bilimsel gösterimini yazınız.

420000=

2500.10 4

0,000078=

0, 273.10



0, 00000003.10



4 5 0 0 .1 03 6 

845000000=

0,0000078=

1 4 8 .1 0^8 

75000000=

0,00065=

0, 0000189.10



15000.1014 

243000.10^1

0,00000184=

50=

144=

24 40 .1 02 5  R

A M A Z A N A K K U Ş

www.ramazanakkus.com.tr