BÖLÜM 1
GİRİŞ
Bu çalışmada, dikdörtgen kesitli, elyaf takviyeli kompozit malzemeden yapılan kirişlerin farklı sınır koşulları altında eğilme davranışları incelenmiştir. Bu bölümde problem ve önemi açıklandıktan sonra, konuyla ilgili olarak daha önce yapılmış çalışmalara yer verilmiş ve son kısımda ise yapılan çalışmanın amacı ve içeriği üzerinde durulmuştur.
1.1. Problem ve Önemi
Mühendislikte kullanılan yapı malzemeleri metaller, polimerler, seramikler ve kompozitler olmak üzere dört gruba ayırmak mümkündür. Kompozit malzemeler, aynı veya farklı diğer üç gruptan iki ya da daha fazla malzemenin uygun olan özelliklerini tek bir malzemede toplamak ya da yeni bir özellik ortaya çıkarmak amacıyla makro düzeyde birleştirilmesi ile oluşturulan malzemeler olarak adlandırılabilir. Metal alaşımları da birkaç malzemeden meydana geldiği halde mikroskobik düzeyde birleştirildiği için kompozit malzeme olarak adlandırılmazlar (Gibson, 1994).
Kompozit malzemelerin en yaygın örneklerinden biri elyaf takviyeli kompozitlerdir. Elyaflar, elyafları bir arada tutan, bağlayıcı matris malzemesi ile birleştirilir. Tipik elyaf malzemesi için boron, grafit, cam, matris malzemesi için ise epoksi örneği verilebilir. Elyaflar, matris içinde parçalı, örülü, kıyılmış veya sürekli biçimde yer alabilir.
Kompozit malzemeler binlerce yıldır kullanılmaktadır. Köylerde çamur içine saman çöpleri karıştırarak elde edilen kerpiç kompozit malzemeye bir örnektir. Ayrıca ahşap, kemik gibi kompozit malzemeler doğada değişik biçimlerde bulunabilmektedir.
Kompozit malzemeler yüksek dayanım/ağırlık (özgül dayanım) ve yüksek sertlik/ağırlık (özgül modülüs) oranlarına sahip olduğundan, özellikle hafiflik ve dayanımın önem kazandığı hava ve uzay endüstrisi (uçak pervaneleri, kanatları, uzay mekiği gövdeleri vs.), kara ve deniz taşımacılığında birçok uygulama alanına sahiptir. Ayrıca çeşitli spor malzemeleri, tıp gereçleri, mutfak eşyaları, robot malzemeleri yapımında, kimya ve elektroteknik sanayisinde kullanılmaktadır.
Bu çalışmanın konusunu oluşturan kompozit malzemeler, sürekli elyaf takviyeli olan katmanların (ply) farklı sıralanışı ile oluşturulmuş laminatlar (laminated) şeklindedir.
Elyafların doğrultuları katmandan katmana değişebilmekte, ayrıca katmanların istiflenmesi de değişik biçimlerde oluşturulabilmektedir. Matris ve elyaf malzemesinin de farklı seçilebilmesi mümkün olduğundan, tasarımcı kompozit malzemeden yapılmış yapı elemanlarını istenen mekanik özelliklerde tasarlarken geniş bir özgürlük alanına sahiptir.
Kompozit malzemeler uygulama alanlarına göre kiriş, plak ve kabuk gibi taşıyıcı yapılarda kullanılabilmektedir. Eksenine düşey yönde etkiyen yükleri taşıyan, kalınlık ve genişlikleri uzunluklarına göre daha az olan narin yapı elemanları kiriş olarak adlandırılır. Kirişler uçlarında farklı sınır koşullarına sahip olabilirler. Örneğin kirişin bir ucu pimli diğeri ise rulmanlı (kayar) destek olabilir. Bu tip kirişlere basit desteklenmiş kiriş denir. Pimli destekte kiriş yatay ve dik yönde harekete kısıtlanmıştır, fakat dönmesi engellenmez. Kayar destekte ise kiriş yatay yönde hareket edebilir.
Ankastre kirişin bir ucu sabit (gömülü) diğeri ise serbesttir. Ankastre (sabit) uçta kiriş ne hareket edebilir ne de dönebilir. Böylelikle bu uçta karşı koyan bir moment ve kuvvet oluşur. Kirişte uygulanan dış yanal yükler etkisinde kesme kuvvetleri ve eğilme momentleri şeklinde iç kuvvetler oluşur. Yüklemeden sonra kirişin düz ekseni çökme eğrisi denen bir eğriye eğilir. Bu olaya kirişin eğilmesi denir. Kirişte ortaya çıkan genleme ve gerilmeler doğrudan eğrilik kavramıyla belirlenen bu çökme eğrisinin şekline bağlıdır (Gere ve Timoshenko,1992).
Kompozit kirişlerin statik ve dinamik analizleri plak ve kabuk yapılar için geliştirilen analizlerin özel bir durumu olarak ele alınabilir. Klasik kiriş teorilerinde kiriş kalınlığı boyunca düşey yöndeki kayma ve normal deformasyon etkileri, kirişin dış düzlemlerindeki kayma gerilmelerinin olmaması ve katmanlar arası yer değiştirme ve gerilmelerin sürekliliği gibi koşullar göz önüne alınmamaktadır. Bu çalışmada elyaf- takviyeli katmanlı dikdörtgen kesitli kirişlerin farklı sınır koşullarında düşey yayılı yük etkisinde eğilme davranışı incelenmiştir. Bu amaçla klasik kiriş teorisinin ve diğer kayma deformasyon etkilerini içeren diğer teorilerin özel bir hal olarak elde edilebildiği, yukarıda belirtilen koşulları hesaba katan bir kiriş teorisi kullanılmıştır. Eğilme etkisindeki, elyafların doğrultularının katmandan katmana birbirine dik olarak değiştiği kirişlerin farklı kesit ve noktalarındaki eğilme ve düşey kayma gerilmeleri, yer değiştirmeleri farklı sınır koşulları için hesaplanmıştır. Ayrıca kiriş boyutlarının ve malzemesinin oluşacak yer değiştirme ve gerilme parametrelerine etkisi araştırılmıştır.
1.2. Önceki Çalışmalar
Daha önce belirtildiği gibi, kompozit kirişlerin statik ve dinamik davranışlarını analizlerinin dayandığı teoriler plak ve kabuk yapılar için geliştirilen teoriler ile paralellikler taşımaktadır.
Klasik plak teorileri, klasik kiriş teorilerinde karşılığı olan;
• şekil değiştirmeden (deformasyon) önce plağın orta düzlemine dik olan doğrular, şekil değiştirmeden sonra da dik kalırlar,
• orta düzleme paralel düzlemlerde etkiyen normal gerilmeler ihmal edilebilirler, şeklinde verilen Kirchoff varsayımlarına dayanmaktadır. Bu varsayımlardan yola çıkarak 3-boyutlu global yer değiştirme alan bileşenleri plağın orta düzlem bileşenleri cinsinden, üç-serbestlik dereceli 2-boyutlu plak teorilerine indirgenmektedir. Serbestlik derecesi sayısı kayma deformasyon etkilerinin göz önüne alındığı kayma deformasyon teorilerinde beşe (Soldatos ve Tımarcı, 1993) ve normal deformasyon etkileri de göz önüne alınırsa altıya çıkabilmektedir.
En basit klasik kiriş teorisi, Euler-Bernoulli kiriş teorisidir. Bu teori plaklar için yukarıda verilen varsayımlar üzerine kurulmuştur. Klasik teoriler özellikle ince ve izotropik yapıların global mekanik davranışını açıklayan karakteristik özellikleri (doğal frekanslar, burkulma yükleri, çökmeler) için iyi sonuçlar verirken, kalınlık/uzunluk oranlarının daha büyük olduğu ve yüksek oranda güçlendirilmiş kompozit katmanlı yapılarda, düzlem-içi gerilmeler ve yer değiştirme bileşenlerinin katmanlar arasında ve yanal düzlemlerde dağılımını, 3-B elastisite çözümleriyle karşılaştırıldığında doğru olarak tahmin edememektedir. Daha sonra geliştirilen Timoshenko (1921) kiriş modelinde düşey normal gerilmeleri yine ihmal edilmekte, düşey kayma gerilmesinin ise kiriş kalınlığı boyunca doğrusal (lineer) olarak değiştiği kabul edilmektedir.
Bickford (1982) ise düşey kayma gerilmelerinin kalınlık boyunca parabolik olarak değişimini göz önüne alarak bir kiriş teorisi oluşturmuştur. Bu modele paralel olarak plaklar için Reddy, (1984) parabolik kayma deformasyon teorisini sunmuştur. Reddy ve ark., (1997), izotropik kirişler için klasik ve kayma deformasyon teorilerinin eğilme çözümleri arasında bağıntılar oluşturmuşlardır.
Khdeir ve Reddy (1997), farklı sınır koşullarındaki ince ve kalın dik-katmanlı kirişlerin eğilmesi için, klasik ve farklı (kalınlık koordinatının birinci, ikinci ve üçüncü mertebelerinin hesaba katıldığı) kayma deformasyon teorilerini kullanarak kesin çözümler bulmuşlardır. Bu amaçla durum-uzay (state-space) kavramını uygulamışlardır.
Soldatos ve Watson (1997), Tımarcı ve Soldatos (1995)’da sunulan birleştirilmiş kayma deformasyon teorisine paralel olarak, düşey kayma deformasyonunun ve aynı zamanda düşey normal gerilmelerin de hesaba katıldığı, süreklilik koşullarının göz önüne alınabildiği dört-serbestlik dereceli bir teoriyi homojen ve katmanlı kompozit kirişlerin eğilme analizine uygulamışlardır. Burada göz önüne alınan kompozit kiriş anti-simetrik olup bir ucu sabit diğeri serbest desteklidir. Yer değiştirme alanında kullanılan şekil fonksiyonlarının seçimi Pagano (1969)’ta verilen düzlem genleme elastisite çözümlerine dayanmaktadır.
Icardi (2001), kalın ortotropik katmanlı, basit desteklenmiş kirişlerin silindirik eğilmesi için düzlem-içi yer değiştirmeler için parçalı kübik yaklaşıklığının kabul edildiği ve düşey yer değiştirmelerin ve süreklilik koşullarının hesaba katıldığı, eşdeğer- tek-katman ve çok-katmanlı modellerinin, değiştirilmiş zig-zag modelleriyle birleştirildiği bir teoriyi sunmuştur. Düşey kayma gerilmesinin trigonometrik olarak değişiminin kabul edildiği zig-zag modeller de, basit desteklenmiş, ortotropik kirişlerin eğilme analizinde kullanılmıştır ( Arya ve ark., 2002).
Matsunaga (2002), yine basit desteklenmiş sinüsoidal yayılı yük etkisinde dikdörtgen kesitli ortotropik kirişlerde düşey kayma ve normal gerilmelerini hesaba katan yüksek mertebeden bir kayma deformasyon teorisi kullanmış ve yer değiştirme bileşenlerini kalınlık koordinatında kuvvet serisi açılımı şeklinde kabul etmiştir. Düşey gerilmeler 3-boyutlu denklemler kalınlık yönünde integre edilerek, süreklilik ve en dıştaki kayma gerilmelerinin sıfır olması koşulları sağlanarak hesaplanmıştır. Benzer bir problemi Liu ve Soldatos (2002) farklı sınır koşullarındaki anti-simetrik kiriş için
“tahmin etme-düzeltme” (predictor-corrector) yöntemiyle ele almışlardır.
Karama ve ark. (2003), düşey kayma gerilmesinin sürekliliğini hesaba katan bir model ile çok-katmanlı ortotropik kirişlerin mekanik davranışını statik ve dinamik açıdan incelemişlerdir. Modelde, yer değiştirme alanında kayma gerilme fonksiyonu
“üstel fonksiyon” şeklinde seçilmiştir. Farklı sınır koşullarındaki kiriş probleminde kirişin denklemleri sekiz bilinmeyen katsayı içeren üç denkleme dönüştürülmekte ve bilinmeyen katsayılar sınır koşulları kullanılarak çözülmektedir. Değişik sınır koşullarının göz önüne alındığı problemlerde sonlu elemanlar yönteminin uygulandığı çalışmalar da bulunmaktadır (Murthy ve ark., 2005, Karama ve ark., 1998).
1.3. Çalışmanın Amacı ve Kapsamı
Daha önce gerçekleştirilen, kayma deformasyon etkilerini göz önüne alan 2- boyutlu kompozit plak ve kabuk teorileri incelendiğinde, bu teorilerin çoğunun beş serbestlik dereceli yer değiştirme alanı varsayımına dayalı olduğu görülmektedir.
Bilinmeyen yer değiştirme bileşenlerinin üçü, klasik laminasyon teorilerinde varolanlara karşılık gelmekte; diğer ikisi ise genellikle dik koordinatın belli bir fonksiyonu ile çarpılmakta ve klasik teori yer değiştirme alanına eklenmektedir. Bu fonksiyonun lineer olarak seçildiği uniform kayma deformasyon teorisinde (UKDT) düzlem-içi yer değiştirmelerinin plak kalınlığı boyunca lineer değiştiği varsayılmakta, böylelikle dik yöndeki kayma genleme ve gerilmeleri uniform olmaktadır. Bu teoride plağın en dış yüzlerinde kayma gerilmelerinin sıfır olma ve ardı ardına gelen iki katman arasındaki kayma gerilmelerinin sürekliliği şartları sağlanmamakta ve bu durumu iyileştirmek için
“kayma düzeltme faktörleri” kullanılmaktadır (Whitney, 1987). Yer değiştirme alanı açılımında plağın alt ve üst yüzeylerinin gerilmeden bağımsız olma şartının kullanılması ile elde edilen parabolik kayma deformasyon teorisinde (PKDT) ise, kalınlık boyunca düzlem-içi yer değişimleri kübik, böylelikle dik kayma genlemeleri parabolik olarak değişmektedir (Reddy, 1984). Bu teorilerden hiçbiri, kompozit yapılarda ardı ardına gelen katmanlar arasındaki süreklilik şartlarını sağlamamaktadır. Bu nedenle Di Sciuva (1987) anizotropik kabuk ve plaklar için katmanlar arasında sürekliliği hesaba katan zig-zag kayma deformasyon teorisini oluşturmuştur. Bu teoride plak kalınlığı boyunca düzlem-içi yer değişimlerinin parçalı lineer olarak değiştiği varsayılmıştır.
Soldatos ve Tımarcı (1993), daha önceki kayma deformasyon teorilerinin elde edilebildiği, laminatın alt ve üst yüzeylerinde kayma gerilmelerinin sıfır olması ve katmanlar arasındaki süreklilik koşullarının yer değiştirme alanına eklenen şekil fonksiyonları yardımı ile hesaba katılabildiği bir birleştirilmiş kayma deformasyonu teorisini (BKDT) kabuk yapılar için formülüze etmişlerdir. Bu teori dik-katmanlı kabuk yapıların dinamik (Tımarcı ve Soldatos,1995) ve dik-katmanlı plakların burkulma (Tımarcı ve Aydoğdu, 2005) analizinde uygulanmıştır.
Bu çalışmanın amacı, bu teoriyi (BKDT) kirişler için uygun bir şekilde değiştirerek dik-katmanlı dikdörtgen kesitli kompozit kirişlerin eğilme davranışını incelemektir. Kompozit kirişler için oluşturulan bu modelin yer değiştirme alanında kiriş ekseni koordinatına bağlı bilinmeyen üç yer değiştirme bileşeni bulunmaktadır.
Yer değiştirme alanındaki şekil fonksiyonu kalınlık koordinatının kübik bir fonksiyonu
olarak seçilmiştir. Bundan dolayı model parabolik kayma deformasyon teorisine karşılık gelmektedir. Çalışmada, ilk önce, sözü edilen kayma deformasyonlu kiriş teorisi çerçevesinde dik-katmanlı kompozit kirişlerin, yayılı yük etkisinde eğilme davranışının diferansiyel denklemleri varyasyonel olarak elde edilmiştir. Bu denklemler iki ucundan basit desteklenmiş, sinüsoidal yayılı yük etkisindeki, dikdörtgen kesitli, simetrik dik- katmanlı, kompozit kirişlerin eğilme problemi için analitik olarak çözülmüştür.
Çalışmanın ikinci aşamasında, uçlarından, basit destekli (B), ankastre (A) ve serbest (S) sınır koşullarının farklı kombinasyonlarının etkisindeki katmanlı kompozit kirişlerin düzgün yayılı yük etkisinde eğilme analizi gerçekleştirilmiştir. Bu durumda, kiriş denge denklemlerinin integrasyonu ve birlikte çözümleri ile üç adet bilinmeyen yer değiştirme fonksiyonu sekiz bilinmeyen sabit cinsinden elde edilebilmektedir.
Bilinmeyen sabitler kirişin iki ucundaki sınır koşullarında kullanılarak elde edilir.
Farklı sınır koşullarındaki kirişlerin belli noktalarındaki, çökme ve düzlem-içi yer değiştirme değerleri, ayrıca belli kesitlerde oluşan düşey kayma gerilmesi ve eğilme gerilmesi dağılımları farklı kiriş malzeme ve boyutlarına bağlı olarak bulunmuştur.
Bulunan sonuçlar, literatürdeki farklı teoriler temelinde oluşturulmuş diğer çalışmaların sonuçları ile karşılaştırılmış, çizelge ve grafikler şekilde sunulmuştur.
Tez dört bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünden sonraki ikinci bölümde katmanlardaki gerilme-genleme ilişkileri, dik-katmanlı kirişlerin kuvvet ve genleme bağıntıları sunulmuş, üç-serbestlik dereceli yer değiştirme modeli çerçevesinde kiriş denge denklemleri elde edilmiştir. Üçüncü bölümde, kiriş denge denklemleri ilk önce basit desteklenmiş, daha sonra farklı sınır koşulları için çözülerek elde edilen sonuçlar grafik ve çizelgeler şeklinde verilmiştir. Son bölümde elde edilen sonuçlar tartışılmıştır.
BÖLÜM 2
KATMANLI KOMPOZİT KİRİŞ DENKLEMLERİ
2.1. Giriş
Bu bölümde eğilme etkisindeki dik katmanlı kompozit kirişlerin denge denklemleri elde edilmiştir. Kiriş katmanlarına ait gerilme-genleme ilişkileri verilip, klasik ve yüksek mertebeden kayma deformasyon teorileri incelenmiştir.
2.2. Katman Gerilme-Genleme İlişkileri
Bu çalışmada elyaf takviyeli katmanlardan oluşan kirişlerin eğilme davranışları incelendiğinden, kirişlerden önce katmanların mekanik davranışlarının bilinmesi gerekmektedir.
Şekil 2.1. Diferansiyel küçük bir hacim elemanında gerilme bileşenleri 2
3
σ22
σ12
σ11
σ13
σ23
σ21
1 σ31
σ32
σ33
Elastik sınırlar içinde bir cisimdeki üç boyutlu gerilme durumu 9 gerilme bileşeni ile temsil edilebilir. Bu bileşenler σij (i, j = 1, 2, 3) olarak gösterilebilir. i = j iken σij normal gerilmeyi, i ≠ j olduğunda ise kayma gerilmelerini temsil etmektedir (Şekil 2.1). Her bir gerilme değerine karşılık gelen, εij ile gösterilen bir genleme değeri mevcuttur.
En genel durumda elastik bir cisimde bir noktadaki gerilmeler ile genlemeler arasındaki ilişkiyi veren Hooke Yasası tensörel olarak aşağıdaki gibi gösterilir.
kl ijkl ij =C ε
σ (2.1)
Yukarıda en genel anizotropik durum için geçerli olan bağıntı, matris formunda aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
=
21 13 32 12 31 23 33 22 11
2121 2113
2132 2112
2131 2123
2133 2122
2111
1321 1313
1332 1312
1331 1323
1333 1322
1311
3221 3213
3232 3212
3231 3223
3233 3222
3211
1221 1213
1232 1212
1231 1223
1233 1222
1211
3121 3113
3132 3112
3131 3123
3133 3122
3111
2321 2313
2332 2312
2331 2323
2333 2322
2311
3321 3313
3332 3312
3331 3323
3333 3322
3311
2221 2213
2232 2212
2231 2223
2233 2222
2211
1121 1113
1132 1112
1131 1123
1133 1122
1111
21 13 32 12 31 23 33 22 11
ε ε ε ε ε ε ε ε ε
C C
C C
C C
C C
C
C C
C C
C C
C C
C
C C
C C
C C
C C
C
C C
C C
C C
C C
C
C C
C C
C C
C C
C
C C
C C
C C
C C
C
C C
C C
C C
C C
C
C C
C C
C C
C C
C
C C
C C
C C
C C
C
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
(2.2)
Bu eşitlikteki [C] matrisi (9x9) katılık matrisi adını alır. Elastik sabitlerdeki ilk iki indis gerilmeyi, son iki indis ise genlemeye karşılık gelmektedir. Çeşitli simetri koşullarından dolayı (σij=σji,εij=εji) elastik sabitlerin sayısı önce 54, sonra da 36’ya düşmektedir (Gibson, 1994).
Mekanikte genellikle kısaltılmış notasyon olarak adlandırılan notasyonun kullanılması ile rijitlik ve gevşeklik tansörlerinin ikinci mertebeden olması sağlanmaktadır. Bu durumda gerilme ve şekil değiştirme büyüklükleri aşağıdaki gibi tanımlanır.
Gerilmeler Genlemeler
1
11 σ
σ = , ε11=ε1,
2
22 σ
σ = , ε22=ε2,
3
33 σ
σ = , ε33=ε3, (2.3)
23 4 32
23 σ σ τ
σ = = = , 2ε23=2ε32 =γ23= γ32=ε4,
13 5 31
13 σ σ τ
σ = = = , 2ε13=2ε31 =γ13= γ31=ε5,
12 6 21
12 σ σ τ
σ = = = , 2ε12=2ε21 =γ12 = γ21=ε6.
Böylece Hooke yasası aşağıdaki hali alır.
j ij i=C ε
σ (i, j = 1, 2,..., 6) (2.4)
Burada Cij matrisi 36 bileşene sahiptir. Bu matrisin simetrik olduğu genleme enerjisi yoğunluk fonksiyonu yardımıyla gösterilebilir. Böylece bağımsız sabit sayısı 21’e düşmektedir. Ayrıca bağımsız sabit sayısı malzeme özellikleri simetri düzlemi sayısına bağlı olarak değişmektedir (Ek-A). Bağımsız sabit sayısı monoklinik malzemelerde 13’e, ortotropik malzemelerde 9’a ve izotropik malzemelerde 2’ye düşmektedir. Katılık matrisi bileşenleri, deneysel olarak elde edilen mühendislik sabitleri olan Young Modülü, Kayma Modülü ve Poisson oranları cinsinden belirlenebilir.
Düşey yöndeki normal genleme değeri ihmal edildiğinde gerilme ve genleme ilişkileri aşağıdaki gibi elde edilir.
ε ε ε ε ε
=
σ σ σ σ σ
6 5 4 2 1
66 55 44 22 12
12 11
6 5 4 2 1
Q 0 0 0 0
0 Q 0 0 0
0 0 Q 0 0
0 0 0 Q Q
0 0 0 Q Q
(2.5)
Yukarıdaki eşitliklerdeki Qij değerleri indirgenmiş elastik sabitler olup, Young, Kayma modülleri ve poisson oranları cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
21 12
2 22
21 12
21 2 21 12 21 12
1
11 1
Q E 1 ,
Q E Q 1 ,
Q E
ν ν
= − ν
ν
−
= ν ν =
ν
= −
12 66 13 55 23 44 21 12 2
1 , Q G , Q G , Q G
E
E = = =
ν
= ν (2.6)
Elyaf doğrultusundan başlayıp sağ el kuralına göre çizilen eksen takımına asal eksen takımı adı verilir. Katman kenarlarına paralel olarak çizilen eksen takımına ise asal olmayan (global) eksen takımı adı verilir (Şekil 2.2). Global eksenler her zaman malzemenin asal eksenleri ile çakışmayabilir. Özellikle katmanlı yapılarda elyaf yönlenme açısı katmandan katmana değişebilir. Böyle bir durumda farklı yönlerdeki bağıntılar dönüşüm tansörü kullanılarak saptanabilir.
Şekil 2.2. Kompozit katmanda asal (1, 2), global eksenler (x, y) ve yönlenme açısı (θ).
Yeni transforme edilmiş indirgenmiş rijitlik matris bileşenleri indirgenmiş sertlikler cinsinden, elyaf yönlenme açısına bağlı olarak aşağıdaki gibi verilmiştir.
θ sin Q θ cos θ sin ) Q 2 Q ( 2 θ cos Q
Q11 = 11 4 + 12 + 66 2 2 + 22 4 ) θ cos θ (sin Q θ cos θ sin ) Q 4 Q Q (
Q12 = 11+ 22 − 66 2 2 + 12 4 + 4 θ cos Q θ cos θ sin ) Q 2 Q ( 2 θ sin Q
Q22 = 11 4 + 12 + 66 2 2 + 22 4
θ cos θ sin ) Q 2 Q Q ( θ cos θ sin ) Q 2 Q Q (
Q16 = 11− 12 − 66 3 + 12 − 22 + 66 3 (2.7)
θ cos θ sin ) Q 2 Q Q ( θ cos θ sin ) Q 2 Q Q (
Q26 = 11 − 12 − 66 3 + 12 − 22 + 66 3 ) θ cos θ (sin Q θ cos θ sin ) Q 2 Q 2 Q Q (
Q66 = 11+ 22 − 12 − 66 2 2 + 66 4 + 4 θ
sin Q θ cos Q
Q44 = 44 4 + 55 4 θ cos Q θ sin Q
Q55 = 44 4 + 55 4 y
x
θ
2
1
Elyaf takviyeli kompozit malzemeler çoğunlukla tek yönde takviyeli çok sayıda ince ortotropik tabakadan oluşmaktadır. Bu yüzden kompozit malzemelerin mekaniği incelenirken laminaların analizi pek kullanışlı olmamaktadır. Laminanın (katman) düşey mekanik özelliklerinin kötü olmasından dolayı, laminaların bir araya getirilmesiyle elde edilen ve laminat adı verilen yapılar kullanılmaktadır. Bu amaçla katmanların bir araya getiriliş şekillerine bağlı olarak sınıflandırmalar yapılmıştır. Eğer yönlenme açısı 0°
veya 90° ise bu tip kirişe dik-katmanlı kompozit laminat adı verilmektedir. Eğer yönlenme açısında 0° ≤ θ ≤ 90° şeklinde bir yönlenme söz konusu ise bu tip kirişe açılı- katmanlı laminat adı verilir. Diğer bir sınıflandırma da referans düzlemine göre simetri durumuna bağlı olarak yapılabilir (Şekil 2.3). Eğer referans düzlemine aynı uzaklıktaki katmanlar aynı elyaf yönlenme açısına sahipse, oluşan yapı simetrik laminat adını almaktadır. Eğer katmanlar birbirinin eksi işaretlisi ise anti-simetrik laminat adını alır.
Eğer referans düzleminde farklı yönlenme açısına sahip katmanlar bir arada bulunuyorsa, simetrik olmayan bir durum söz konusudur (R. M. Jones, 1973).
Simetrik Anti-Simetrik Simetrik olmayan Şekil 2.3. Yönlenme açılarına göre kirişlerin sınıflandırılması
2.3. Katmanlı Kompozit Kiriş Teorileri
2.3.1. Klasik kiriş teorileri
Kirişlerde deformasyonun kinematiğini temsil edebilmek için birçok kiriş teorisi geliştirilmiştir. Bu amaçla x-y-z koordinat sistemi, x-ekseni kiriş uzunluğu (L), y-ekseni kiriş genişliği (a) ve z-ekseni kiriş kalınlığı (h) olacak şekilde, kiriş orta düzleminde seçilebilir (Şekil 2.4).
Dikdörtgen kesitli katmanlı kompozit kirişler için temelde en basit ve de en çok bilinen modeller “Euler-Bernoulli Teorisi (EBKT)” diğer adıyla “Klasik Kiriş
θ2 θ1
θ1 θ2
θ2
θ1
θ1 θ2
θ1 θ2
θ3 θ4
Teorisi (KKT)” ve “Timoshenko Kiriş Teorisi (TKT)”dir. Klasik laminasyon teorisine göre herhangi bir noktaya ait yer değiştirme bileşenleri aşağıdaki gibidir.
x
zw,
) y , x ( u ) z , y , x (
U = −
y
zw,
) y , x ( v ) z , y , x (
V = − (2.8)
) y , x ( w ) z , y , x (
W =
U, V, W değerleri katmana ait her bir noktanın sırasıyla x, y, z eksenleri doğrultusundaki yer değiştirmeleri, u, v, w ise orta düzlemdeki bir noktanın yer değiştirmelerini temsil etmektedir. Burada (),x ≡∂()/∂x’i temsil etmektedir. Kiriş teorisinde tüm büyüklükler y-ekseninden bağımsız olduklarından, (EBKT) için yer değiştirme alanı aşağıdaki hali alır (Reddy ve ark.,1997).
x
zw,
) x ( u ) z , x (
U = −
) x ( w ) z , x (
W = (2.9)
Timoshenko Kiriş Teorisine ait yer değiştirme bileşenleri aşağıdaki şekli alır.
) x ( z ) x ( u ) z , x (
U = − φ
) x ( w ) z , x (
W = (2.10)
Burada φ düşey normalin y-eksenine göre dönmesini hesaba katar.
Şekil 2.4. Kiriş geometrisi ve eksen takımı z
x
y
a
L Orta Düzlem
h
Klasik kiriş teorisi aşağıdaki kabullere dayanmaktadır.
• Düzlemsel simetri: Kiriş, boyunca uzanan düz bir eksene sahiptir ve kesit alanında eksenel bir simetri söz konusudur.
• Diklik şartı: Kiriş boyunca orta düzleme dik olan doğrultular, deformasyondan sonra da dik kalırlar, şekil değiştirmezler.
• Genleme enerjisi: Kiriş elemanlarının iç genleme enerjileri sadece eğilme deformasyonlarında önem kazanır. Diğer tüm etkiler ihmal edilmektedir.
• Lineerleştirme: Kiriş kalınlığı boyunca oluşacak dönme ve deformasyonlar ihmal edilebilir. Böylece düşey yöndeki normal ve kayma gerilmeleri hesaba katılmaz
2.3.2 Kayma deformasyon teorileri
Kompozit katmanlı kiriş, plak ve kabuk yapıların analizlerinde kullanılan klasik laminasyon teorileri, özellikle yüksek oranda güçlendirilmiş anizotropisi yüksek, katmanlı kompozit yapılarda kalınlık/uzunluk oranlarının da artmasıyla, bu tip yapıların mekanik özelliklerini, 3-B elastisite çözümleriyle karşılaştırıldığında doğru tahmin edememektedir. Bunun nedeni düşey yöndeki kayma gerilmelerinin göz önüne alınmamasıdır.
Düşey kayma gerilmelerinin hesaba katıldığı kayma deformasyon teorilerinin çoğu plak ve kabuk yapılar için 5-serbestlik dereceli yer değiştirme alanı varsayımına dayanmaktadır. Bilinmeyen yer değiştirme bileşenlerinin üçü klasik teorideki bileşenlere karşılık gelmekte, diğer ikisi ise dik koordinatın belli bir fonksiyon ile çarpılıp klasik yer değiştirme alanına eklenmektedir.
Uniform kayma deformasyon teorisinde (UKDT) düzlem-içi yer değiştirmeler kalınlık boyunca linner olarak değişmekte, bunun sonucunda dik kayma genleme ve gerilmeleri üniform olmaktadır(Yang, 1966). Parabolik kayma deformasyon (PKDT) teorisinde ise, düzlem-içi yer değiştirmelerinin kübik olarak seçilmesi, parabolik kayma genlemesi dağılımına yol açmakta ve böylelikle en üst ve en alt düzlemlerde kayma gerilmelerinin yok olması şartı da sağlanmaktadır (Reddy, 1984). Literatürde yer değştirme alanında, kalınlık koordinatının farklı fonksiyonları kullanılmıştır. Bu fonksiyonlara bağlı olarak, teoriler hiperbolik (Touratier, 1991), trigonometrik, üstel (eksponansiyel) (Karama, 1998), kayma deformasyon teorileri isimlerini almıştır.
Soldatos ve Tımarcı, (1993), bu kayma deformasyon teorilerine, klasik teorideki yer değiştirme bileşenlerine düşey kalınlık koordinatına bağlı şekil fonksiyonları ekleyerek birleştirilmiş bir kayma deformasyon teorisi sunmuşlardır. Bu teori daha önce dik-katmanlı kompozit kabukların dinamik (Tımarcı ve Soldatos, 1995) ve dik-katmanlı kompozit plakların burkulma analizlerinde kullanılmıştır (Tımarcı ve Aydoğdu, 2005).
Bu teorinin dayandığı, iki şekil fonksiyonu içeren yer değiştirme alanı aşağıdaki gibidir.
) x ( u ) z ( zw
) y , x ( u ) z , y , x (
U = − ,x +φ1 1
) x ( v ) z ( zw
) y , x ( v ) z , y , x (
V = − ,y +φ2 1 (2.11)
) y , x ( w ) z , y , x (
W =
Sunulan çalışmada kullanılan kompozit katmanlı kirişler için yukarıda plaklar için verilen yer değiştirme alanı aşağıdaki gibi basitleştirilir.
) x ( u ) z ( zw ) x ( u ) z , x (
U = − ,x +φ 1
) x ( w ) z , x (
W = (2.12)
Burada u, w terimleri orta düzlemdeki bir noktanın yer değiştirme bileşenlerini, w,x ise orta düzleme dik doğrultuların dönmelerini göstermektedir. Yer değiştirme bileşenlerinde yer alan u1, orta düzleme etki eden kayma genlemesini temsil eden bilinmeyen bir fonksiyondur. φ şekil fonksiyonu malzeme geometrisine ve özelliklerine bağlı olarak, kısıtlamaları sağlayacak bir şekilde seçilebilir. Ayrıca bu şekil fonksiyonlarının uygun bir şekilde aşağıdaki gibi seçilmesiyle daha önce geliştirilen kiriş kayma deformasyon teorileri özel bir hal olarak elde edilebilir.
KKT : φ(z)=0
TKT : φ(z)=z
PKDT : )
h 3
z 1 4 ( z ) z
( = − 22 φ
HKDT : φ(z)=z
[
hsinh(z/h)/z−cosh(1/2)]
EKDT :
)2
h (z
ze 2
) z
( = −
φ
(2.12) no’lu denklemdeki yer değiştirme alan bileşenleri lineer elastik cismin (EK-B) kinematik ilişkilerinde εz=0 kabulü ile yerine yazıldığında, aşağıda verilen genleme bileşenleri orta düzlem gerilme bileşenleri cinsinden elde edilir.
a x k x k x
x =e +zk +φk ε
' a xz xz=e φ
γ (2.13)
Eşitliklerde yer alan “k” üst indisi klasik teoriyi temsil ederken, “a” üst indisi ise kayma deformasyonlarından dolayı oluşan ek terimleri temsil etmektedir.
1 a xz x
, k
x u , e u
e = =
x , 1 a x xx
, k
x w , k u
k =− = (2.14)
Yukarıdaki denklemlerde e orta düzlemdeki normal genlemeyi, kx e değerlerikxz ise kayma genlemesini temsil etmektedir. k , x-z düzleminde orta düzlemin dönmekx eğriliğidir. Burada (') üs işareti z’ye göre türevleri göstermektedir. Sonuç olarak genleme alan bileşenleri, yer değiştirme alanları, orta düzlem yer değiştirme bileşenleri ve bunların türevleri cinsinden elde edilir.
x , 1 xx
, x ,
x =u −zw +φ(z)u ε
1 ' xz=φ (z)u
γ (2.15)
2.4. Katmanlı Kompozit Kiriş Denklemleri
Bu kısımda katmanlı kompozit kiriş için denge denklemleri elde edildikten sonra, moment ve kuvvet bileşenleri ile genlemeler arasındaki ilişkiyi veren bünye denklemleri sunulacak ve denge denklemleri yer değiştirme fonksiyonlarının türevleri cinsinden verilecektir. Kirişin düşey q yüküne maruz kaldığı kabul edilecektir. q yükü sadece x’in bir fonksiyonu olup x-z düzleminde aşağı doğru yayılı olarak etkimektedir.
Kiriş denge denklemlerini elde etmek için, virtüel iş ilkesi varyasyonel olarak uygulanacaktır. Bu ilkeden yola çıkarak, sistemin denge durumu için;
0 ) U W
( − D =
δ (2.16)
olmalıdır. W yapının genleme enerjisi olup, genleme enerjisi yoğunluna (UG) bağlıdır.
∫∫∫
=
V
GdAdx U
W , ( )
2
UG = 1 σxεx +τxzγxz (2.17)
Burada, A kiriş kesit alanını göstermektedir.
Dış q yükünün oluşturduğu potansiyel enerji ise UD ile gösterilir.
∫∫
=
S
D wqdS
U (2.18)
S kirişin üst yüzeyini göstermekte olup, yüzey integraline karşılık gelmektedir.
Genleme-yer değiştirme bağıntıları (2.16)’da kullanılıp, kiriş kesit alanı integre edilip kısmi integrasyon uygulanırsa aşağıda verilen bir boyutlu kiriş denge denklemleri elde edilmiştir.
0 Nx,x =
) x ( q
Mx,xx = (2.19)
0 Q Max,x − ax =
Burada, kuvvet ve moment bileşenleri birim genişlikte etkiyip aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
−
∫
σ
= h/2
2 / h
x k
x dz
N , (2.20)
−
∫
φ τ
= h/2
2 / h
' xz a
x (z)dz
Q (2.21)
−
∫
σ
= h/2
2 / h
x k
x zdz
M (2.22)
−
∫
φ σ
= h/2
2 / h
x a
x (z)dz
M (2.23)
Virtüel iş ilkesi aynı zamanda varyasyonel olarak kabul edilebilen sınır şartlarını da oluşturur.
x = 0, L uçlarındaki sınır şartları her çiftten biri seçilerek, aşağıdaki gibi farklı kombinasyonlarda uygulanabilir.
k
Nx
veya u
k x ,
Mx
veya w
k x x
, veya M
w
a x
1 veya M
u
Sunulan çalışmada aşağıdaki sınır şartları kullanılacaktır.
x = 0, L ’de Basit Destekli Sınır Şartı 0
M M w
Nkx = = kx = ax = (2.24)
x = 0, L ’de Ankastre Sınır Şartı 0
u w w
u= = ,x = 1 = (2.25)
x = 0, L ’de Serbest Sınır Şartı 0 M M M
Nkx = kx,x = kx = ax = (2.26)
Dik-katmanlı kompozit kiriş için kuvvet ve moment bileşenleri ile yer değiştirme bileşenleri arasındaki ilişkiyi veren bünye denklemleri, gerilme-genleme ilişkileri kullanılarak aşağıdaki gibi matris formunda ifade edilir.
−
=
x , 1
xx , x ,
1111 111
111
111 11
11
111 11
11
a x k x k x
u w u D
D B
D D B
B B A M
M N
(2.27)
Ayrıca kayma etkilerinden dolayı oluşacak kesme kuvveti aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
1 55 a
x A u
Q = (2.28)
Matris içerisinde yer alan Aij, Bij ve Dij terimleri sırasıyla uzama, eğilme ve birleşme rijitliklerine karşılık gelmektedir. Bununla birlikte indisleri ikiden fazla olan terimler kayma deformasyonları sonucunda oluşan rijitliklerdir. Simetrik katmanlı kirişlerde “Bij” rijitliği sıfır olmaktadır. Katmanlı kompozit kirişlere ait rijitlik denklemleri aşağıdaki gibi verilmiştir.
∫
∫
−−
φ
=
= h/2
2 / h
2 ) ' k ( 55 55
2 / h
2 / h
) k ( 11
11 Q dz, A Q ( ) dz
A
∫
∫
−−
φ
=
= h/2
2 / h
) k ( 11 111
2 / h
2 / h
) k ( 11
11 Q zdz, B Q dz
B (2.29)
∫
∫
∫
− −−
φ
= φ
=
= h/2
2 / h
) 2 k ( 1111 11
2 / h
2 / h
) k ( 111 11
2 / h
2 / h
) 2 k (
11 Q11 z dz ,D Q zdz ,D Q dz
D
dz / () d ()' =
Bünye denklemlerinin (2.19) denge denklemlerinde kullanılmasıyla, yer değiştirme bileşenlerine bağlı olarak Navier tip diferansiyel denge denklemleri aşağıdaki gibi elde edilir.
0 u
B w
B u
A11 ,xx − 11 ,xxx + 111 1,xx =
) x ( q u
D w
D u
B11 ,xxx − 11 ,xxxx + 111 1,xxx = (2.30)
0 u A u
D w
D u
B111 ,xx − 111 ,xxx + 1111 1,xx − 5555 1 =
BÖLÜM 3
DİK KATMANLI SİMETRİK KİRİŞLERİN EĞİLME PROBLEMİ
3.1. Giriş
Bu bölümde, önceki bölümde elde edilen, düşey yayılı yük etkisindeki katmanlı kompozit kirişlerin denge denklemleri, farklı sınır şartları ve malzemeye sahip dik katmanlı simetrik kirişler için farklı yöntemler uygulanarak çözülmüş, yer değiştirmeler ile eğilme ve düşey kayma gerilmeleri hesaplanmıştır.
Çalışma literatürde var olan Karama ve ark., (2003) ve Khdeir ve Reddy, (1997)’de sunulan yöntem ve sonuçlara paralel olarak gerçekleştirilmiş ve elde edilen sonuçlar bu makalelerdeki sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Ayrıca ek olarak farklı malzeme ve boyutlardaki kirişlerin farklı sınır koşulları ve yükleme halleri için elde edilen sonuçlar grafik ve çizelgelerle sunulmuştur.
Şekil 3.1. Dört katmanlı simetrik bir kiriş
-h/2 1(90°) -h/4
2(0°)
3(0°) h/4
4(90°) h/2
x z
h
L
3.2. İki Ucu Basit Desteklenmiş Simetrik Dik-Katmanlı Kiriş
Bu kısımda, ilk olarak (Karama ve ark., 2003)’te eğilme analizinde göz önüne alınan kiriş kullanılacaktır. Kiriş iki ucundan basit destekli olup, dikdörtgen kesite ve dört ortotropik katmana [90°/0°/0°/90°] sahiptir (Şekil 3.1). Kiriş malzemesi boron epoksi olup, bu malzemeye ait mekanik özellikler aşağıda verilmektedir.
GPa 5 . 241
E11= , E22 =E33 =18.89GPa GPa
45 . 3
G23 = , G12 =G13 =5.18GPa (3.1)
25 .
23 =0
ν , ν12 =ν13 =0.24
Kiriş birim genişliğe sahip olup, uzunluğu L = 6.35m ve kalınlığı (yüksekliği) ise h = 2.794m’dir. Kirişin, düşey yönde etkiyen sinüsoidal bir yayılı yükün etkisinde olduğu kabul edilecektir.
,...) 2 , 1 m L ( , m
) x sin(
q ) x (
q = 0 α α= π = (3.2)
Bu yükleme biçimi, herhangi bir yayılı yükün Fourier serisi açılımındaki basit harmonik olarak düşünülebilir (Şekil 3.2).
Şekil 3.2. İki ucu basit desteklenmiş sinüsoidal yayılı yük altındaki kiriş
z
x
x sin q
q= 0 α
Kiriş aşağıda verilen basit destekli sınır şartlarına sahiptir.
L , 0
x = ’de Nkx =w =Mkx =Max =0 (3.3)
Bu sınır şartları aşağıdaki trigonometrik yer değiştirme bileşenleri ile tam olarak sağlanır.
L) cos( x B u L ), sin( x C w L ), cos( x A
u= π = π 1 = π (3.4)
Simetrik dik-katmanlı kirişler için(B11 =B111 =0) bu yer değiştirme bileşenleri düşey kayma gerilmesinin etkisini de içeren, aşağıda verilen Navier tipi diferansiyel denklemlerde yerlerine yazılırsa,
0 u A11 ,xx =
q u
D w
D11 ,xxxx + 111 1,xxx =
− (3.5)
0 u A u
D w
D111 ,xxx + 1111 1,xx − 55 1 =
−
aşağıda verilen üç adet bilinmeyen (A, B, C) sabitler cinsinden lineer cebirsel denklem sistemi elde edilir.
0 x cos A
A11α2 α =
−
x sin q x sin B D x sin C
D11α4 α − 111α3 α = 0 α
− (3.6)
0 x cos B A x cos B D
x cos C
D111α3 α − 1111α2 α − 55 α =
Burada L
= π
α ’dir.
Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra bu denklemler matris formunda ifade edilebilir.
=
− α
− α
α α
− α
−
0 q
0 B C A A D
D 0
D D
0
0 0
A
0 55
1111 2 111
3
111 3 11
4 11 2
(3.7)
Matris formunda yazılan denklem sistemi bilgisayar programı aracılığıyla çözülerek sırasıyla orta düzlemdeki yer değiştirmeler elde edilir. Orta düzlemdeki şekil değişimlerinin elde edilmesiyle, kirişin herhangi bir noktasındaki şekil değişimleri de elde edilebilir.
Sonuç olarak, elde edilen A, B, C değerlerinin aşağıdaki yer değiştirme alanlarında yerine yazılmasıyla,
) x ( u ) z ( zw ) x ( u ) z , x (
U = − ,x +φ 1
) x ( w ) z , x (
W = (3.8)
sinüsoidal bir yayılı yük altındaki iki ucu basit desteklenmiş kompozit kiriş için şekil değiştirme bileşenleri aşağıdaki hali alır.
x cos ) B ) z ( zC A (
U= − α+φ α
x sin C
W= α (3.9)
Katmanlı kompozit kirişlere ait gerilme-genleme ilişkileri (2.5)’in kullanılması ile aşağıdaki gibi elde edilir.
γ
ε
=
τ σ
xz x ) k ( 55 ) k ( 11 )
k ( xz
) k ( x
Q 0
0
Q (3.10)
(2.15) ile verilen genleme-yer değiştirme ilişkilerinin yerlerine yazılması ve
şekil fonksiyonun )
h 3
z 1 4 ( z − 22
=
φ olarak seçilmesiyle düşey kayma ve eğilme gerilmeleri aşağıdaki gibi elde edilir.
) x ( u h )
z 1 4 (
Q(55k) 22 1
) k (
xz = −
τ
[
,x ,xx 1,x]
) k ( 11 ) k (
x =Q u −zw +φ(z)u
σ (3.11)
Çizelge 3.1’de kirişin farklı noktalarındaki çökme, x yönündeki yer değişimi, eğilme ve düşey kayma gerilme değerleri sunulmuş Karama ve ark., (2003) ve sonlu
elemanlar yöntemleri Karama ve ark., (1998) ile elde edilen değerlerle karşılaştırma yapılmıştır. Karama ve ark., (2003), çalışmasında üstel bir fonksiyon kullanırken, Karama ve ark., (1993)’teki çalışmasında sinüs fonksiyonunu kullanmıştır. Bu makalelerde elde edilen sonuçlar Karama ve ark., (1998)’te verilen Abaqus (sonlu elemanlar yöntemi programı) ile elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmış ve Abaqus ile elde edilen değerler referans alınmıştır. Yapılan çalışmada, elde edilen sonuçlardan τxz
değeri dışında kalan tüm değerlerin üstel fonksiyon ile elde edilenlere oldukça yakın olduğu görülmektedir.
Elde edilen değerlerin (Abaqus) ile karşılaştırılmasında ortaya çıkan farklılıklar
Abaqus 100
) Değer Yeni Abaqus
Hata (
% = − × (3.12)
bağıntısı ile hesaplanmıştır.
Şekil 3.3’te kirişin x = 3L/8 kesitinde, kiriş kalınlığı boyunca oluşan düşey kayma gerilmelerinin (τxz) değişimi gösterilmiştir. Şekil 3.4’te z = -h/2 noktasında kiriş uzunluğu boyunca eğilme gerilmelerinin değişimi verilmiştir. Burada, eğilme momentinin en yüksek değer aldığı kiriş ortasında maksimum normal gerilmeler oluşmaktadır. Şekil 3.5 ve 3.6’da sırasıyla x = L/4 ve x = 3L/4 kesitlerinde ortaya çıkacak düzlem-içi yer değişiminin (U) kiriş kalınlığı boyunca dağılımı görülmektedir.
Çizelge 3.1. Sinüsoidal yayılı yük altında basit desteklenmiş simetrik kirişte yer değiştirmeler ve gerilmeler
Model W(L/2)(m) U(0, h/2)(m) τxz(L/4, 0)(Pa) σx(L/2, -h/4+)(Pa) Bu Çalışma -6.2317.10-4 2.0382.10-4 -892316.0 7527000.0
Hata (%) 2.2 11.8 11.3 3.9
Karama(2003) -6.3701. 10-4 2.1196.10-4 -940098.0 8112840.0
Hata (%) 4.4 8.3 6.6 3.5
Karama(1993) -6.2794.10-4 2.0180.10-4 -896865.0 8158932.0
Hata (%) 2.9 12.7 10.8 4.1
Karama(1998) -6.1006.10-4 2.3125.10-4 -1006000.0 7835200.0
-500000 -400000 -300000 -200000 -100000 0 -2.00
-1.00 0.00 1.00 2.00
Şekil 3.3. x = 3L/8 için, sinüsoidal yayılı yük altında basit desteklenmiş kiriş kalınlığı boyunca kayma gerilmesinin değişimi (τxz), [90°/0°/0°/90°]
0.00 2.00 4.00 6.00
0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000
Şekil 3.4. z = -h/2 için, sinüsoidal yayılı yük altında basit desteklenmiş kiriş boyunca eğilme gerilmesinin değişimi (σx), [90°/0°/0°/90°]
z
τxz
σx
x
-0.0002 -0.0001 0.0000 0.0001 0.0002 -2.00
-1.00 0.00 1.00 2.00
Şekil 3.5. x = L/4 için, sinüsoidal yayılı yük altında basit desteklenmiş kiriş kalınlığı boyunca düzlem-içi yer değişiminin dağılımı (U), [90°/0°/0°/90°]
-0.0002 -0.0001 0.0000 0.0001 0.0002
-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00
Şekil 3.6. x = 3L/4 için, sinüsoidal yayılı yük altında basit desteklenmiş kiriş kalınlığı boyunca düzlem-içi yer değişiminin dağılımı (U), [90°/0°/0°/90°]
U
zz
U
3.3. Düzgün Yayılı Yük Etkisinde, Ankastre-Serbest Desteklenmiş Simetrik Dik- Katmanlı Kiriş
Şekil 3.7. A-S sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki simetrik kiriş
Bu kısımda bir ucu ankastre (A) diğeri ise serbest (S) olan, bir önceki kısımda verilen malzeme ve geometrik özelliklere sahip kiriş göz önüne alınmıştır. Bu durumda kiriş, düşey düzlemde düzgün yayılı q0 yükünün etkisindedir.
Daha önce (2.30) ile verilen kiriş denklemlerinin integrasyon ve birlikte çözümleri yapılarak birbiri cinsinden yazılacak olursa, orta düzlemdeki yer değiştirme bileşenleri x değişkenine bağlı olacak şekilde aşağıdaki gibi elde edilir.
11 55 3 111 px
2 px 1
1 A D
) D C qx ( e C e
C ) x (
u = − + − +
8 7 1
11
111 u (x) C x C
A ) B x (
u =− + + (3.13)
6 ) C x 24 (qx D
1 A
x p 2 C
e qx C e pD C
) D x (
w 4 3 3
11 55
3 px 2
2 px 1 11
111 + +
+
− +
−
= −
6 5 2
4 C x C
2
C x + +
+ z
x q0
q=
Burada “p” ile gösterilen terim rijitliklere bağlı olup, aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
11 11 1111 11
2 111
11 11 55
D A D A D
D A p A
−
= − (3.14)
Bu denklemlerde yer alan “Ck” (k = 1,…, 8) terimleri integral sabitleri olup sınır şartlarının denge denklemlerinde yerlerine konulmasıyla analitik olarak elde edilirler.
Elde edilen yer değiştirme fonksiyonları (u, u1, w) kirişin iki ucundaki sınır koşullarında kullanıldığında sekiz bilinmeyenli sekiz tane cebirsel denklem takımı elde edilir. Bilinmeyen sabitler bilgisayar programı yardımı ile hesaplanmıştır. A-S kirişe ait sınır şartları aşağıdaki gibidir.
Ankastre Uç (A); x = 0’da Serbest Uç (S); x = L’de 0
) 0 (
u1 = A11u,x(L)=0
0 ) 0 (
u = D11w,xxx(L)−D111u1,xx(L)=0 (3.15) 0
) 0 (
w = D111w,xx(L)−D1111u1,x(L)=0 0
) 0 (
w,x = −D11w,xx(L)+D111u1,x(L)
Sonuç olarak, elde edilen “Ck” integral sabitlerinin yerlerine yazılmasıyla düzgün bir yayılı yük altında A-S sınır şartlarına sahip kompozit kiriş için yer değiştirme bileşenleri ve gerilmeler daha önce açıklandığı şekilde elde edilebilir (Karama ve ark., 2003). Elde edilen değerler Çizelge 3.2’de verilip, Karama ve ark., (1993, 1998, 2003) çalışmalarında elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır.
Abaqus (Karama ve ark., 1998) ile elde edilenlerden farklı olarak, bu çalışmada elde edilen sonuçlarda en büyük sapmanın %14 ile x = L/2 ve z = h/2 için düzlem-içi yer değişiminde (U) oluştuğu görülmektedir. Karama ve ark., 2003’te verilen sonuçlarda ise %10’luk bir fark söz konusudur. Bu durumun, şimdiki çalışmada şekil fonksiyonun parabolik olarak seçilmesi ve süreklilik koşullarının göz önüne alınmamasından kaynaklandığı söylenebilir.
Şekil 3.8’de x = 3L/8 için kiriş kalınlığı boyunca τxz kayma gerilmesinin dağılımı görülmektedir. Şekil 3.9’da ise z = -h/2’de kiriş ekseni boyunca eğilme
gerilmesinin (σx) değişimi verilmiştir. x = L/4’teki kesitte, düzlem-içi yer değişiminin (U) kiriş kalınlığı boyunca dağılımı Şekil 3.10’da sunulmuştur.
Çizelge 3.2. A-S sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki simetrik kirişte yer değiştirmeler ve gerilmeler
Model W(L)(m) U(L/2, h/2)(m) τxz(L/4, 0)(Pa) σx(L/2, -h/4+)(Pa) Bu Çalışma -4.25513.10-6 7.01188.10-7 -3019.43 -10173.24
Hata (%) 5.8 14.0 2.9 6.2
Karama(2003) -4.40057.10-6 7.36497.10-7 -3181.03 -9986.18
Hata (%) 2.6 9.8 -2.3 7.9
Karama(1993) -4.37885.10-6 7.19163.10-7 -3031.42 -9939.30
Hata (%) 3.1 11.9 2.5 8.3
Karama(1998) -4.51810.10-6 8.16300.10-7 -3110.00 -10842.00
-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0
-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00
Şekil 3.8. x = 3L/8 için, A-S sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki kiriş kalınlığı boyunca kayma gerilmesinin değişimi (τxz), [90°/0°/0°/90°]
z
τxz
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 -25000
-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 25000
Şekil 3.9. z = -h/2 için, A-S sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki kiriş boyunca eğilme gerilmesinin değişimi (σx), [90°/0°/0°/90°]
-0.0000008 -0.0000004 0.0000000 0.0000004 0.0000008 -2.00
-1.00 0.00 1.00 2.00
Şekil 3.10. x = L/4 için, A-S sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki kiriş kalınlığı boyunca düzlem-içi yer değişiminin dağılımı (U), [90°/0°/0°/90°]
x
σx z
U
3.4. Düzgün Yayılı Yük Etkisinde, Ankastre-Ankastre Desteklenmiş Simetrik Dik- Katmanlı Kiriş
Şekil 3.11. A-A sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki simetrik kiriş Bu bölümde iki ucundan ankastre desteklenmiş (A-A) dört katmanlı, bir önceki malzeme ve geometrik özelliklere sahip kiriş göz önüne alınmıştır. Kiriş, düzgün yayılı yükün etkisindedir (Şekil 3.11).
A-A kiriş için geçerli sınır şartları aşağıdaki gibidir.
Ankastre Uç (A); x = 0’da Ankastre Uç (A); x = L’de 0
) 0 (
u1 = u1(L)=0
0 ) 0 (
u = u(L)=0 (3.16)
0 ) 0 (
w = w(L)=0
0 ) 0 (
w,x = w,x(L)=0
Önceki kısımda elde ettiğimiz yer değiştirme bileşenlerine (3.13) bu sınır şartları uygulandığında, sekiz bilinmeyenli sekiz denklem elde edilmiş ve bilinmeyenler bilgisayar programıyla hesaplanmıştır.
Sonuç olarak, elde edilen “Ck” integral sabitlerinin yerlerine yazılmasıyla düzgün bir yayılı yük altında A-A sınır şartlarına sahip kompozit kiriş için yer değiştirme bileşenleri ve gerilmeler analitik olarak elde edilir. A-A sınır şartına sahip simetrik dik-katmanlı kompozit kirişin orta noktasındaki çökme, x = L/4 ve z = h/2’de
z
x
q0
q=
düzlem-içi yer değiştirme, yine farklı noktalar için düşey kayma ve eğilme gerilmeleri sayısal olarak Çizelge 3.3’te sunulmuştur.
Çizelge 3.3. A-A sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki simetrik kirişte yer değiştirmeler ve gerilmeler
W(L/2) (m) U(L/4, h/2) (m) τxz (L/4, 0) (Pa) σx (L/2, -h/4+) (Pa)
-4.85849.10-7 9.1118. 10-8 -1000.80060 2733.07
Şekil 3.12’de kirişin x = 3L/8 kesitinde, kiriş yüksekliği boyunca oluşan düşey kayma gerilmelerinin (τxz) değişimi gösterilmiştir. Şekil 3.13’te z = -h/2 noktasında kiriş uzunluğu boyunca eğilme gerilmelerinin (σx) değişimi verilmiştir. Şekil 3.14’te x = L/4 için kiriş boyunca oluşacak düzlem-içi yer değişiminin kiriş kalınlığı boyunca dağılımı görülmektedir.
-600 -400 -200 0
-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00
Şekil 3.12. x = 3L/8 için, A-A sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki kiriş kalınlığı boyunca kayma gerilmesinin değişimi (τxz), [90°/0°/0°/90°]
z
τxz
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 -8000
-6000 -4000 -2000 0 2000
Şekil 3.13. z = -h/2 için, A-A sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki kiriş boyunca eğilme gerilmesinin değişimi (σx), [90°/0°/0°/90°]
-0.00000010 -0.00000005 0.00000000 0.00000005 0.00000010 -2.00
-1.00 0.00 1.00 2.00
Şekil 3.14. x = L/4 için, A-A sınır şartlarına sahip düzgün yayılı yük altındaki kiriş kalınlığı boyunca düzlem-içi yer değişiminin dağılımı (U), [90°/0°/0°/90°]
σx
x
z
U
