MATEMATİKSEL İSPAT VE ÖĞRETİMİ

(1)

(2)

MATEMATİKSEL İSPAT

VE

ÖĞRETİMİ

Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış

Editör

Prof. Dr. Işıkhan UĞUREL

Ankara

2020

(3)

MATEMATİKSEL İSPAT VE ÖĞRETİMİ

Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış Editör: Prof. Dr. Işıkhan UĞUREL

Bu kitabın basım, yayın, satış hakları Anı Yayıncılık Eğitim ve Danışmanlık San. Tic. Ltd. Şti‘ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri herhangi bir bilgi depo- lama ve erişim sistemiyle veya mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, aktarılamaz veya dağıtılamaz.

Yayıncı Sertifika No” : 16003 Matbaa Sertifika No : 46586

ISBN : 978-605-170-435-7

e-ISBN : 978-605-170-439-5

Kapak Tasarımı : Kezban KILIÇOĞLU

Mizanpaj : Kezban KILIÇOĞLU

Baskı : Sözkesen Matbaası

Adres : İvedik OSB 1518. Sokak Mat-Sit İş Mrk. No: 2/40 Yenimahalle-ANKARA

Tel : 0 312 395 21 10

KÜTÜPHANE BİLGİ KARTI

Editör: UĞUREL, Işıkhan

MATEMATİKSEL İSPAT VE ÖĞRETİMİ

Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış Anı Yayıncılık, 1. Baskı, Ankara/Türkiye

2020, xvi + 432 Sf., 16 x 24 cm ISBN : 978-605-170-435-7 e-ISBN : 978-605-170-439-5 Matematik, Matematik Öğretimi, Eğitim

Matematik, Matematik Tarihi, Geometri, İspat, İspat Yapma, İspat Öğretimi, İspat Öğrenimi, Akıl Yürütme, Argümantasyon, İspat Şeması, Görsel İspat

Anı Yayıncılık Kızılırmak Sok. 10/A Bakanlıklar / ANKARA Tel : 0 312 425 81 50 pbx Faks : 0 312 425 81 11

e-posta: aniyayincilik@aniyayincilik.com.tr http:// www.aniyayincilik.com.tr

A harfinin evrimi

(4)

BÖLÜMLER

BÖLÜM-1: İspat Nedir Sorusuna Farklı Pencerelerden Bakış Dr. Zülfiye ZEYBEK ŞİMŞEK-

ORCID: 0000-0003-1601-8654

ATIF: Zeybek Şimşek, Z. (2020). İspat nedir sorusuna farklı pencerelerden bakış. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 1-22). Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-2: İspat ve İspatlamada Bazı Temel Kavramlar Dr. Tangül UYGUR KABAEL-

ORCID: 0000-0001-7894-6910

ATIF: Uygur Kabael, T. (2020). İspat ve ispatlamada bazı temel kavram- lar. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İs- pat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 23-40). Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-3: Matematik Tarihi ve Felsefesi Çerçevesinde İspat ve İspatlama

Dr. Nazan SEZEN YÜKSEL-

ORCID: 0000-0002-0539-3785

ATIF: Sezen Yüksel, N. (2020). Matematik tarihi ve felsefesi çerçevesinde ispat ve ispatlama. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi.

Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 41- 68). Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-4: İspatın Matematik Öğretim Programları ve Uluslararası Standartlardaki Yeri ve Önemi

Dr. Zülfiye ZEYBEK ŞİMŞEK-

ORCID: 0000-0003-1601-8654

ATIF: Zeybek Şimşek, Z. (2020). İspatın matematik öğretim programları ve uluslararası standartlardaki yeri ve önemi. In I. Uğurel (Ed.), Matema- tiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 69-88). Ankara: Anı Yayıncılık.

(5)

iv / Matematiksel İspat ve Öğretimi

BÖLÜM-5: Akıl Yürütme ve İspat İlişkisi

Dr. Gürsel GÜLER-

ORCID: 0000-0003-1429-1585

ATIF: Güler, G. (2020). Akıl yürütme ve ispat ilişkisi. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destek- leyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 89-112). Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-6: İspatın Sahip Olduğu Roller ve İşlevler Dr. Işıkhan UĞUREL-

ORCID: 0000-0003-4067-1522

ATIF: Uğurel, I. (2020). İspatın sahip olduğu roller ve işlevler. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 113-148). Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-7: Argümantasyon ve Matematiksel İspat Süreçleri Arasın- daki İlişki

Dr. Selin URHAN-

ORCID: 0000-0002-1665-7643

ATIF: Urhan, S. (2020). Argümantasyon ve matematiksel ispat süreçleri arasındaki ilişki. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 149- 188). Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-8: Öğrenenlerin İspat Yapma Davranışları / İspat Şemaları Dr. Meltem SARI UZUN-

ORCID: 0000-0003-3580-2372

ATIF: Sarı Uzun, M. (2020). Öğrenenlerin ispat yapma davranışları / ispat şemaları. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yılla- rında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 189-226).

Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-9: İspat Yapma Yöntemleri

Dr. Tangül UYGUR KABAEL-

ORCID: 0000-0001-7894-6910 ATIF: Uygur Kabael, T. (2020). İspat yapma yöntemleri. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 227-242). Ankara: Anı Yayıncılık.

(6)

Bölümler / v

BÖLÜM-10: Görsel (Sözsüz) İspatlar

Nurefşan ŞADAN ve Dr. Işıkhan UĞUREL

ORCID: 0000-0002-6834-0664

ORCID: 0000-0003-4067-1522

ATIF: Şadan, N. & Uğurel, I. (2020). Görsel (Sözsüz) ispatlar. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 243-274). Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-11: İspatın Kavranması ve İspat Kavrama Testleri Dr. Işıkhan UĞUREL ve Bahattin İNAM

ORCID: 0000-0003-4067-1522 ORCID: 0000-0002-6212-8013

ATIF: Uğurel, I. & İnam, B. (2020). İspatın kavranması ve ispat kavrama testleri. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 275-302). Ankara:

Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-12: Çift Sütun İspat, Akış Diyagramı İle İspat ve Paragraf İspat

Dr. Işıkhan UĞUREL-

ORCID: 0000-0003-4067-1522

ATIF: Uğurel, I. (2020). Çift sütun ispat, akış diyagramı ile ispat ve parag- raf ispat. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yılla- rında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 303-332).

Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-13: Kâğıt Katlama (Origami) ve İspat

Dr. Burçak BOZ YAMAN

-ORCID: 0000-0002-0922-3652

ATIF: Boz Yaman, B. (2020). Kâğıt katlama (Origami) ve ispat. In I.

Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğre- timini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 333-362). Ankara: Anı Yayın- cılık.

(7)

vi / Matematiksel İspat ve Öğretimi

BÖLÜM-14: İspat ve İspatlamaya Yönelik Algılar ve İnançlar Dr. Zekiye ÖZGÜR ve Dr. Muhammed Fatih DOĞAN

ORCID: 0000-0001-8746-3857

ORCID: 0000-0002-5301-9034

ATIF: Özgür, Z. & Doğan, M. F. (2020). İspat ve ispatlamaya yönelik algı- lar ve inançlar. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 363- 392). Ankara: Anı Yayıncılık.

BÖLÜM-15: İspat Öğretiminde Teknolojiden Yararlanma Dr. Melike YİĞİT KOYUNKAYA-

ORCID: 0000-0002-7872-3917

ATIF: Yiğit Koyunkaya, M. (2020). İspat öğretiminde teknolojiden yarar- lanma. In I. Uğurel (Ed.), Matematiksel İspat ve Öğretimi. Okul Yıllarında İspat Öğretimini Destekleyen Çok Yönlü Bir Bakış, (ss. 393-426). Ankara:

Anı Yayıncılık.

(8)

Problem Çözmek Matematiğin Kalbi ise İspat Yapmak Ruhudur.

- Alan Schoenfeld -

(9)

(10)

İÇİNDEKİLER

BÖLÜM-1

İspat Nedir Sorusuna Farklı Pencerelerden Bakış ... 1

İspat Tanımları ... 6

İspat Oluşturma Kriterleri ... 10

İspat Kavramının Farklı Alanlardaki Anlamları ... 12

Son Söz ... 15

İleri Okumalar ... 17

Kaynaklar ... 18

BÖLÜM-2

İspat ve İspatlamada Bazı Temel Kavramlar ... 23

Matematiğin Aksiyomatik Yapısı ... 29

Aksiyomatik Sistemin Elemanları ... 31

Aksiyomatik Sistemin Özellikleri ... 35

Son Söz ... 37

Kaynaklar ... 39

BÖLÜM-3

Matematik Tarihi ve Felsefesi Çerçevesinde İspat ve İspatlama ... 41

Babil Dönemi ... 42

Antik Yunan Dönemi ... 44

Modern Matematik ... 53

Matematikteki Felsefi Akımlar Açısından İspat ... 60

Son Söz ... 65

Kaynaklar ... 67

(11)

x / Matematiksel İspat ve Öğretimi

BÖLÜM-4

İspatın Matematik Öğretim Programları ve Uluslararası Standartlardaki Yeri ve

Önemi ... 69

İlkokul ve Ortaokul Matematik Öğretim Programlarında Akıl Yürütme ve İspat ... 71

Ortaöğretim Matematik Öğretim Programında Akıl Yürütme ve İspat ... 78

Akıl Yürütme ve İspat Etkinliklerinin Uygulanmasında Karşılaşılan Bazı Zorluklar ... 80

Son Söz ... 81

Kaynaklar ... 84

BÖLÜM-5

Akıl Yürütme ve İspat İlişkisi ... 89

Akıl Yürütme Nedir? ... 91

Akıl Yürütme Türleri ... 91

Matematiksel Akıl Yürütme Türleri ... 92

Lithner’in Akıl Yürütme Türleri ... 93

Matematiksel Akıl Yürütme ve İspat ... 101

Son Söz ... 105

Kaynaklar ... 108

BÖLÜM-6

İspatın Sahip Olduğu Roller ve İşlevler ... 113

İspatın Temel Rolleri... 117

Doğrulama Rolü ... 117

Açıklama Rolü ... 121

Keşfetme Rolü ... 124

İletişim Rolü ... 127

Sistematikleştirme Rolü ... 132

Araştırma/Sorgulama Rolü ... 135

Son Söz ... 143

Kaynaklar ... 146

(12)

İçindekiler / xi BÖLÜM-7

Argümantasyon ve Matematiksel İspat Süreçleri Arasındaki İlişki... 149

Toulmin Modeli ... 154

Argümantasyon ve Matematiksel İspat Yapma Süreçleri Arasındaki İlişkilerin Analizi ... 157

Argümantasyon ve Matematiksel İspat Yapma Süreçlerinin Analizlerine Örnekler ... 162

Son Söz ... 180

Kaynaklar ... 184

BÖLÜM-8

Öğrenenlerin İspat Yapma Davranışları / İspat Şemaları ... 189

İspat Türlerine ve İspat Yapma Biçimlerine Yönelik Kavramsal Çerçeveler ... 191

Son Söz ... 219

Kaynaklar ... 224

BÖLÜM-9

İspat Yapma Yöntemleri ... 227

Önermenin Yanlış Olma Hali ... 228

Önermenin Doğru Olma Hali ... 229

İspat Yapma Sürecinde Yaygın Görülen Güçlükler ... 237

Son Söz ... 240

Kaynaklar ... 242

BÖLÜM-10

Görsel (Sözsüz) İspatlar... 243

Görsel İspat Nedir? ... 244

Görsel İspata Yönelik Tartışmalar ... 255

Bazı Görsel İspat Örnekleri ... 260

Görsel İspatlar Nasıl Değerlendirilebilir? ... 264

Son Söz ... 269

(13)

xii / Matematiksel İspat ve Öğretimi

Kaynaklar ... 272

BÖLÜM-11

İspatın Kavranması ve İspat Kavrama Testleri ... 275

İspatların Kavranması ... 277

Geometrik İspatların Kavranarak Okunması ... 279

İspat Kavrama Testleri (Proof Comprehension Tests) ... 286

İspat Kavrama Testi Örnekleri ... 290

Son Söz ... 297

Kaynaklar ... 300

BÖLÜM-12

Çift Sütun İspat, Akış Diyagramı ile İspat ve Paragraf İspat ... 303

Çift Sütun İspat (Two-Column Proof) ... 304

Üç Sütun İspat (Three-Column Proof) ... 310

Akış Diyagramı ile İspat (Flow-Chart Proof) ... 316

Paragraf ispat ... 323

Son Söz ... 326

Kaynaklar ... 329

BÖLÜM-13

Kâğıt Katlama (Origami) ve İspat ... 333

Kâğıt Katlama Postulatları ... 336

Kâğıt Katlamada İleri Düzey Postulat ve Teoremler ... 343

Son Söz ... 359

Kaynaklar ... 361

(14)

İçindekiler / xiii BÖLÜM-14

İspat ve İspatlamaya Yönelik Algılar ve İnançlar ... 363

Öğrencilerin Matematiksel İspat Algıları ve Yeterlikleri ... 365

Öğretmenlerin Matematiksel İspat Algıları ve Görüşleri ... 376

Son Söz ... 385

Kaynaklar ... 387

BÖLÜM-15

İspat Öğretiminde Teknolojiden Yararlanma ... 393

İspat Öğretiminde Kullanılabilecek Teknolojik Araçlar ve Uygulamaları ... 398

Dinamik Matematik Yazılımları ... 399

İnteraktif Manipülatif / Sanal Uygulamalar ... 412

İspat Öğretiminde Yararlanılabilecek Bazı Web-Siteleri ... 417

Son Söz ... 419

Kaynaklar ... 422

(15)

ÖN SÖZ

İspat ve ispatlama matematiksel düşünmenin (ve tabii ileri ma- tematiksel düşünmenin) geliştirilmesinde, matematik yapmada, matematiksel bilginin yapısını, doğasını, tarihsel gelişimini kavramada, matematiksel nesnelerin türlerini, geliştirilme yol- larını, bireyler ve toplumlar tarafından ne şekilde paylaşıldı- ğını algılamada merkezi bir öneme sahiptir.

(Uğurel ve Moralı, 2010).

Bu kitap, tüm yazar ekibinin özenli ve yoğun çalışmaları sonucu hayata geçmiş büyük bir kolektif emeğin ürünüdür. Kitabın fikirsel temelleri yaklaşık on iki-on üç yıl öncesine, doktora yaptığım yıllara dayanmaktadır. O yıllarda ispat ve ispat öğretimi üze- rine yeni çalışmaya başlamış ve tez konumu ispatlara yönelik seçmeye karar vermiştim.

Daha birkaç yıldır ispat ve ispatlama literatürünü okuyor, dünya genelinde bu konuda yapılanları öğrenmeye ve kavramaya çalışıyordum. Okumalarımın daha başındayken bile matematik eğitiminde ispatın ve ispat yapmanın merkezi bir yere ve büyük bir öneme sahip olduğunu fark ettim. İlgili literatürde ilerledikçe ve yapılan çalışmaların çeşitlili- ğini, çokluğunu, alt çalışma alanlarının zenginliğini gördükçe bu konuda çalışmak benim için daha heyecan verici ve merak uyandırıcı hâle gelmeye başladı. Bugün bile hala ispat ve ispat öğretimi, matematik eğitiminin akademik alanında en çok araştırma yapılan konu alanlarının ilk sıralarında yer almaktadır.

O yıllarda ülkemizde matematik eğitimi akademik çalışma alanı henüz çok ye- niydi ve sekiz-dokuz yıllık bir geçmişe sahipti. Dolayısıyla matematik eğitimi alanında kariyer yapan kişi sayısı da çalışılan konu sayısı da oldukça azdı. O dönem benim için önemli ve şans olarak gördüğüm bir şey gerçekleşti. “European Society for Research in Mathematics Education” (ERME) organizasyonunun lisansüstü öğrencilerine yönelik düzenlediği periyodik yaz okulunun dördüncüsü olan “Young European Researchers in Mathematics Education Summer School”, yani YESS-4, Karadeniz Teknik Üniversi- tesi’nin ev sahipliğinde Trabzon’da düzenlendi. Bir hafta süren organizasyon oldukça yararlı ve ufuk açıcıydı. Alanın tanınmış hocalarından (Prof. Dr. Guershon Harel, Prof.

Dr. Paolo Boreo, Prof. Dr. Ferdinando Arzarello gibi) dersler almak ve aynı zamanda hem ülkemizdeki hem de diğer ülkelerdeki (benzer konularda tez çalışması yapmakta olan) bir grup lisansüstü öğrencisi ile tanışma ve çalışma fırsatı bulmak sanırım benim için olduğu gibi tüm katılımcılar için çok güzel ve unutulmaz bir tecrübeydi. Bu grupta yer alan, ispat ve ispat öğretimi üzerine çalışan, Türkiye’nin farklı üniversitelerinden gelmiş arkadaşlarımla yaptığımız akşam sohbetlerinden birinde ispatlara yönelik bir ça- lışma grubu kurulabileceği ve Türkçe bir kaynak kitap yazılabileceği fikrini öne sürmüş- tüm. Fikir, gruptaki arkadaşlarım tarafından beğenilse de sayımızın azlığı, tezlerimiz

(16)

Ön Söz / xv

üzerinde çalışıyor olmamız, çoğumuzun üniversitelerde araştırma görevlisi olması ve genel iş yükümüzün fazlalığı sebebiyle maalesef o dönem bu fikri hayata geçirme şansımız olmadı.

İlerleyen dönemde doktoramı tamamlayıp öğretim üyesi olur olmaz yaptığım ön- celikli işlerden biri, bölümümüzdeki lisans ve lisansüstü dersleri arasına “Matematik Eğitiminde İspat ve İspatlama” adlı bir dersin eklenmesini sağlamak oldu. Böylece söz konusu ders, ülkemizdeki eğitim fakültelerinin matematik öğretmenliği bölümlerinde is- patları öğretimsel açıdan konu alan ilk ders olma özelliğine sahip olurken ben de bu dersi veren ilk hoca oldum (Bugün ülkemizdeki bazı eğitim fakültelerinde ispat öğretimine yönelik farklı dersler bulunmaktadır.). Bu dersi verdiğim yıllar içerisinde bir yandan dersin matematik öğretmeni adaylarına olan katkılarını yakından gözlemleme şansı bulur- ken bir yandan da dersin konularını genişleterek literatürdeki temel noktaları yansıtacak şekilde organize etme ve derinleştirme olanağı buldum. Zaman geçtikçe ülkemizde ispat ve ispat öğretimi alanında akademik düzeyde çalışan kişilerin sayısında ve Türkiye kö- kenli makale ve tezlerin oranında da bir artış meydana geldi. Sevindirici ve ülkemiz adına yararlı olan bu gelişme, yürüttüğüm lisans derslerindeki izlenimlerimle de birleşince bana ispatları öğretimsel perspektifte konu edinen bir akademik kitap yazma fikrimi hayata geçirmek için güçlü bir motivasyon sağladı. Böylece yaklaşık üç yıl önce bu kitabın yazımına yönelik planlamalara başladım. Kariyerlerini inşa ettikleri ana çalışma konusu ya da konularından biri ispat ve ispat öğretimi olan bir grup meslektaşım ile görüşerek onlarla fikrimi paylaştım. Ekibin oluşması sürecinde çok şanslıydım çünkü kendi çalışma yoğunlukları ne düzeyde olursa olsun paylaşımda bulunduğum tüm meslektaşlarım sü- rece dâhil olmayı çok büyük bir memnuniyetle karşıladı ve kıymetli zamanlarından bir bölümünü bu işe ayırarak bilgilerini ve emeklerini benimle paylaşacaklarını ifade etti.

Böylece yazar ekibimiz oluştu ve üç yıla yakın sürecek olan serüven başladı.

Sürecin başında “Matematik Eğitiminde İspat ve İspatlama” dersine yönelik oluş- turduğum konu yelpazesinden yola çıkarak yazar ekibi olarak yaptığımız fikir alışveriş- leri sonucunda kitabın bölümlerine karar verdik. Kitaptaki bölümleri belirlerken dikkat ettiğimiz bazı temel noktalar vardı. Bunlar; ispata yönelik uluslararası akademik litera- türü geniş boyutta yansıtabilmek, bölümlerin birbirini bütünler şekilde yapılanmasını sağlamak, bölüm içeriklerinin yeterli akademik derinlikte mümkün olduğunca yalın ve anlaşılır bir şekilde yazılmasına özen göstermek ve kitabın hedef kitlesini (lise ve üni- versite öğrencileri, eğitim ve fen/fen edebiyat fakültesi matematik bölümü öğrencileri, öğretmenler, lisansüstü öğrencileri ve diğer matematikseverler) konuların elverdiği öl- çüde geniş tutmaktı. Yazım süreci boyunca her bölüm, hem kendi bağlamında hem de diğer bölümleri bütünleme anlamında en az iki-üç kez gözden geçirme ve yeniden dü- zenleme sürecine tabi tutuldu. Süreçte bölüm yazarı olan tüm meslektaşlarım gerçekten büyük bir özveri ve titizlikle çalıştı, bu güzel ve nitelikli olduğuna canı gönülden inan- dığımız esere çok büyük katkı sağladı. Bu nedenle kitabın editörü olarak ekipteki her bir meslektaşıma ayrı ayrı çok teşekkür ediyorum. Tohumu on iki-on üç yıl önce atılan ve üç yıl önce filizlenmeye başlayan bu eser onlarsız yeşerip büyüyemezdi.

(17)

xvi / Matematiksel İspat ve Öğretimi

Kitap içerisinde 15 bölüm bulunmaktadır. Bölümler birbirini bütünleyecek şe- kilde yazılmış olmasına karşın okuyucuların ilgilerine göre birbirinden bağımsız olarak da okunabilir. Ancak tavsiyemiz, kitabın tüm bölümlerinin okunması ve okuyucuların zihinlerinde bağlantı kurmaya çalışmaları yönündedir. Bölümler, ülkemizin yedi farklı üniversitesinde görev yapmakta olan ben dâhil on üç araştırmacı tarafından yazılmıştır.

Yazarlarımızdan ikisi, yazarı oldukları bölümlerin konularıyla ilgili yüksek lisans tezi yazmış ve doktora eğitimlerine devam etmekte olan öğrencilerimizdir. Ekipte yer alan meslektaşlarımızın tümü, ülkemizde ya da Amerika’nın farklı üniversitelerinde ispat ve ispat öğretimi üzerine doktora yapmış veya bu alanda makale ve proje çalışmaları ger- çekleştirmiş deneyimli, alanında yetkin kişilerdir.

İspatlar ve ispatlama becerisini konu alan çalışmalar uluslararası literatürde ilk sıralarda yer alsa da basılı eserler (özellikle kitaplar) bağlamında aynı şeyi ülkemiz için söylemek güçtür. Dolayısıyla bu alanda üretilmiş eserlere fazlaca ihtiyaç duyulmaktadır.

Tümüyle ispat ve ispat öğretimini konu edinen ülkemizdeki ilk akademik kitap olması nedeniyle gurur duyduğumuz bu eserin, matematik eğitimi alanına çok yönlü kat- kılar yapmasını ve bu alanda daha fazla eserin üretilmesine yönelik bir başlangıç ivmesi oluşturmasını temenni ediyoruz.

Umarız bu eser, bizleri heyecanlandırdığı kadar siz okurları da heyecanlandırarak matematik yapma ve öğrenme serüveninizde sizlere yardımcı olur.

KASIM, 2020 Prof. Dr. Işıkhan UĞUREL Editör

(18)

ZEYBEK ŞİMŞEK

1. BÖLÜM

İspat, matematik yapma ve matematik öğrenme eylemlerinin temelini oluşturduğun- dan matematiğin yapısının öğrenilmesi, takdir edilmesi ve matematiksel bilginin ile- tişiminin geliştirilmesi ve yaygınlaştırılması için olmazsa olmazdır (Pólya, 1981).

Schoenfeld (2009) eğer problem çözme matematiğin kalbi ise, ispat ruhudur di- yerek ispat kavramının matematik için önemini vurgular.

İSPAT NEDİR SORUSUNA FARKLI

PENCERELERDEN BAKIŞ

Dr. Zülfiye ZEYBEK ŞİMŞEK

(19)

2 / Matematiksel İspat ve Öğretimi

Kelime anlamı olarak ispatlama eylemi (to prove), geçerliliğin test edilmesi anlamına gelen “to probe” kelimesinden türetilmiştir. İspat kavramının tarihi ve epis- temik gelişimi incelendiğinde, matematik konu alanı genişledikçe ispat kavramının da geliştiği ve önem kazandığı görülmektedir (Hersh, 2009). Babil matematiği, Yu- nan öncesi matematiğin en gelişmiş halidir, ancak ispat kavramından yoksundur (Ca- jori, 1909). Babil döneminden kalma kayıtlar incelendiğinde herhangi bir genelleme kaygısının olmadığı ve bulunan sonuçların sadece belirli durumlar için kullanıldığı görülür (Harel ve Sowder, 2007; Kleiner, 1991). Oysaki matematiğin aksiyomatik bir yapıya dönüşmesi ve dedüktif düşünmenin öneminin anlaşılması Yunanlılar dö- neminde gerçekleşir (Almedia, 2001; Hanna, 1990; Harel ve Sowder, 2007; Kleiner, 1991).

Dedüktif (mantıksal ve kesin yargı bildiren) ve indüktif (deney ve gözleme dayalı) muhakeme arasındaki rol değişimi ve bilim insanlarının her iki muhakeme şeklinin matematiksel düşünme yeteneğinin gelişiminde önemli bir araç olduğunu fark etmeleri ispat kavramının tarihi ve epistemik gelişiminin önemli bir parçasını oluşturur (Courant ve Robbins, 1996; Moreno-Armella, 2007; Lakatos, 1976). Harel ve Sowder (2007) ispat kavramının bilişsel ve sosyal ihtiyaçlara bir cevap olarak doğduğunu savunur. Bireyin matematiksel kavramlar arasındaki ilişkileri fark etme, anlama, doğru veya yanlışlığına karar verme gibi ihtiyaçlarını oluşturan bilişsel ih- tiyaçları ve kendini ifade edebilme, düşüncelerini savunma, başkalarını ikna etme türündeki sosyal ihtiyaçları ispat kavramının epistemik gelişiminin önemli bir nede- nini oluşturur.

Pólya (1954) matematiksel aktiviteleri iki tür düşünme şekli içeren aktiviteler olarak tanımlar: 1-olası muhakeme (plausible reasoning)-çıkarımda bulunmayı des- tekleyen muhakeme ve 2-dedüktif muhakeme (deductive reasoning)-matematiksel bilgiyi teminat altına alan muhakeme. Pólya’nın matematiğin yapısını oluşturduğunu öne sürdüğü bu muhakeme türleri (olası ve dedüktif muhakeme) Harel ve Sowder’in altını çizdiğini bilişsel ve sosyal ihtiyaçlardan kaynaklandığını söylemek yanlış ol- maz. Pólya’nın bahsettiği bu iki muhakeme türünü bir örnek ile açıklayalım:

1=1

²

1+3=2

²

1+3+5=3

²

1+3+5+7=4

²

……….

Figür 1. Matematiksel gözlem temsili.

(20)

İspat Nedir Sorusuna Farklı Pencerelerden Bakış / 3 Sayılar arasında yapılan böyle bir gözlem matematikçiyi bir örüntünün hipo- tezine götürür. Oysaki bu örüntünün “1’den başlayarak n sayıda tek sayının toplamı

n² ye eşittir” genellemesi, matematikçinin daha fazla tek sayıların toplamını deneye-

rek değil, yani indüktif muhakeme veya Pólya’nın kullanımı ile olası muhakeme (plausible reasoning) ile değil, genellemeyi doğru sayılan birtakım öncüllerden çı- karsayarak saptamaya çalışması sonucu, dedüktif muhakeme ile kesinlik kazanır (Yıldırım, 2000). Şüphesiz her iki muhakeme türü ispat yapma eyleminde önemli bir yer teşkil etmektedir.

Matematik yapma ve öğrenme eylemlerinin özünü oluşturan ispat kavramının yapısı gereği farklı düşünme şekillerini içermesi, farklı rol/misyon ve anlamlara sa- hip olması, bu kavramın bünyesinde barındırdığı farklı anlamların kavranması ve öneminin farkına varılmasını gerekli kılar. Hanna (1990) ispat algısını üç başlık al- tında inceleyerek, ispatın bu farklı anlamlarının kavranmasına katkıda bulunur. Bu üç başlık kısaca aşağıdaki şekildedir:

(1) Formal İspat (Formal Proof): İdeal matematiksel eylemlere en yakın uy- gulama olarak görülen/kabul edilen formal mantıktaki teorik kavram ola- rak ispat.

(2) Kabul Edilebilir İspat (Acceptable Proof): Nitelikli matematikçiler tara- fından kabul edilebilir olan normatif kavram olarak ispat.

(3) İspat Öğretimi (The Teaching of Proof): Nakletmeye değer fikirleri öğ- rencilere açıklamak amacı ile matematik eğitimindeki aktivite olarak ispat.

Tymoczko (1986) ispata formal yaklaşımı şu şekilde özetler “… ideal mate-

matikçi, araştırmak için bir aksiyomatik sistem seçer… geçerli formal sistemde ge- çerli olan formal dedüktif muhakemeyi kullanır…, genellikle formal sistemle oyna- nan oyunun bir oyuncusudur” (s.45). Formal ispat algısının iki temel düşünce üze-

rine kurulu olduğu görülür: (1) modern matematiksel teoride matematiksel ispatların geçerliliğini sağlayıcı genel olarak kabul edilmiş kriterler mevcuttur ve (2) özenli ispatlar modern matematiksel uygulamaların damgasıdır (Hanna, 1995, s. 42). İspa- tın formal yapısı şüphesiz ki, Antik Yunan’ın matematiğe en önemli katkısıdır (Kle- iner, 1991). Ancak, ispat kavramının sadece formal yönüne yapılan vurgu ispat kav- ramının gerçekte ne olduğunun anlaşılmasına bir engel teşkil edebilir (Cadwallader Olsker, 2011). Ayrıca, araştırmacılar ispatın formal yapısının yeteri kadar anlaşılma- ması ve yüzeysel öğrenilmesinden kaynaklanabilecek bazı yanılgılara dikkat edil- mesi hususunda da uyarıda bulunur (Almedia, 2001; Hanna, 1990; Martin ve Harel, 1989).

MATEMATİKSEL İSPAT VE ÖĞRETİMİ