BELİRLİ İNTEGRAL 01             

Tanım:

f fonksiyonu [a,b] aralığında

tanımlı ve integrallenebilen fonksiyon

ise;

)

(

)

(

)

(

)

(

x

dx

F

x

F

b

F

a

f

b a b a









*Özellikleri

*İntegral Türevi

*Özel tanımlı Fonksiyonların İntegrali

*Eğri Altında Kalan Alan Hesabı

*İki Eğri Arasında Kalan Alan

*Dönel Cisimlerin Alanı

ÖZELLİKLERİ



















b b b a b a b a

dx

)

x

(

f

c

dx

)

x

(

cf

)

3

dx

)

X

(

f

dx

)

x

(

f

)

2

0

dx

)

x

(

f

)

1





dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

b

c

a

)

5

dx

)

x

(

g

dx

)

x

(

f

d

)

x

(

g

)

x

(

f

)

4

b b b a c a b c b a b a b a

















































 a a -a a a 0 b a b a

0

f(x)dx

ise

fonksiyon

tek

f(x)

)

9

dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

f(x)

f(-x)

ise

fonksiyon

çift

f(x)

)

8

dx

)

x

(

g

dx

)

x

(

f

ise,

g(x)

f(x)

ve

b

a

)

7

2 n 10 n 3 n 10 ) f(n 6 f(1) -f(n) x 3 2 2x f(x) Çözüm ? n ise 6 dx ) 3 x 2 ( Ör 2 2 n 1              



                      











dx x 2 cos dx x f(x)dx f(x)dx Çözüm ? dx ) x ( f ise 2 x 1 , 2 cos 1 x 0 x, f(x) Ör 2 1 1 0 2 1 1 0 2 0

2 3 3 2 sin 3 sin u 2 sin u 2 2 u 1 sinu 2sinu 2 2 x 6 u 2 1 sinu sin2u 1 1 x u 2 sin u 2 u 2 sin 2 1 u ( 2 u 2 cos 1 2 du u cos 4 du u cos 2 u 4sin -4 2cosu dx 2sinu x Çözüm ? dx x 4 Ör 3 2 6 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2                                              









İNTEGRAL TÜREVİ







g

(

x

)



g

'

(

x

)

f



h

(

x

)



h

'

(

x

)

f

dt

)

t

(

f

dx

d

)

3

)

x

(

'

g

)

x

(

g

f

dt

)

t

(

f

dx

d

)

2

)

x

(

f

dt

)

t

(

f

dx

d

)

1

) x ( g ) x ( h ) x ( g a x a



















sin

2

x

2



2

2

cos

2

x

4

cos

2

x

dx

d

Çözüm

?

)

udu

sin

(

dx

d

Ör

u

12

cos

u

6

u

6

)

u

3

(

4

cos

Çözüm

?

xdx

4

cos

du

d

Ör

x 2 3 2 2 2 2 u 3 0 2































dx

dy

1

-2y

2x

dx

dy

)

1

y

2

(

x

2

dx

dy

)

1

y

2

(

x

2

e

0

dx

dy

)

1

y

2

(

x

x

2

e

0

dt

)

1

t

2

(

dx

d

dx

e

dx

d

Çözüm

?

dx

dy

ise

0

dt

)

1

t

2

(

dt

e

Ör

3 3 lnx 2 x ln 2 y 1 x ln 1 t 2 x ln 1 1 y t 2 4 2 2 2



















































ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ



x

1

2

x



dx

?

Ör

3 1













 3 -2x 1 2x -3 x 2 1 -x 2 -x -x -2 x -2 x -2 1 x 1 -x x -1 1 x 2 1 x   























1 1 3 1 3 2

23

dx

)

3

x

2

(

dx

dx

)

3

x

2

(

Çözüm

?

dx

)

x

sin

x

(sin

Ör









   2sinx 2sinx x sin x sin sinx sinx sinx sinx sinx -sinx sin(-x9 x sin x x x 0 x     





  









0 0

8

xdx

sin

2

xdx

sin

2

Çözüm



    4 1 2 _{5x 6)dx ?} x ( Sgn Ör 1 1 1 Sgn 6 5x -x 4 3 2 1 x 2 _{  }











  2 1 3 2 4 3 1 dx dx dx Çözüm ? dx ) 1 x sgn( x ( Ör 3 1    



 1 x 1 x 1 -x 1 1 1 1) sgn(x 1 x x x - x x 0 1 x     



















0 1 3 0

5

dx

)

1

x

(

dx

)

1

x

(

Çözüm

? dx 4 x 3 Ör 2 1   



1 0 1 4 -3x 2 1 0 1 4 -3x 6 5 4 3 x 3 3 6 3 5 3 4 3 3 x













3 4 1 3 6 3 5

0

dx

dx

Çözüm

?

dx

4

x

:

Ör

9 0





2 1 0 4 x 3 2 1 0 4 x 12 8 4 0 x









8 4 9 8

6

dx

2

dx

:

Çözüm



1

1



?

:

2 0











x

x

dx

Ör

1

x

x

-2

1

x

1

x

2

1

1

x

3

2

1

1

x

1

x

x

-1

1

-x

2

1

0













x



2

-

x





1



4

:

2 1 1 0











dx

x

dx

Çözüm

?

x

sgn

:

3 1

-



dx

Ör

1 1 0 1 - x sgn 2 1 0 1 x 3 2 1 0 1 - x









0 1 -3 1

1

dx

dx

:

Çözüm

?

sinx

sgn

:

2 2





dx

Ör

  1 0 sinx sgn 1 1 0 sinx 0 1 0 1 sinx 2 2 3 2









x





 



2

-dx

:

Çözüm

?

cos

cosx

:

2







x

dx

Ör

  0 cosx cos cosx cosx cosx cosx 0 1 cosx 1 0 1 cosx 2 2 3 x x    

1

cos

:

2 3







 

dx

x

Çözüm

EĞRİ ALTINDA KALAN ALANIN HESABI

A2

y=f(x)

a

c

b

x

y

A1



b



c



b

1)

2)

y

y=f(x)

b

a

x









b a b a

ydx

dx

x

f

A

(

)

y

y=f(x)

b

a

_x







b

f

x

dx

A

(

)

3)

a

b

y

A1

x=f(y)

x

A2















b c c a b a

dy

y

f

dy

y

f

dy

y

f

A

A

A

)

(

)

(

)

(

2 1

4)

5)









b b

xdy

dy

y

f

A

(

)

a

b

y

x

x=f(y)

6)

a

b

y

x

x=f(y)







b a

dy

y

f

A

(

)

nedir?

alanı

bölgenin

kalan

arasıras

ekseni

x

ile

eğğris

x

-2x

y

:



2

Ör

3 2 2

4

2

2

x

0

x

)

2

(

x

x

x

x

y









2

0

y

x

?

dir

'

br

kaç

alan

kalan

arasıras

ekseni

x

ve

doğoğrula

2

x

-1,

x

doğoğrus

2

x

:

2







Ör

2 2 2 1 2 1 2 1 2

2

15

2

2

1

2

2

2

2

2

2

)

2

(

)

(

br

x

x

dx

x

dx

x

f

A













 



































  _ -1 -2 2 2 y

x

Ör: f(x)=2-x2_{/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan alanı bulunuz.} ÇÖZÜM: -2 2 2

x

y

   

2 3 3 2 2 2 2 3 2

16

4

4

6

2

2

2

6

2

2

2

3

2

1

2

2

2

x

dx

x

x

A























_

















































 



İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN

f(x) a b c g(x)

x

y







b a

dx

x

g

x

f

S

(

)

(

)

a b

f(x)

g(x)

S

x

y







b a

dx

x

g

x

f

S

(

)

(

)

a

b

x

y

f(y)

g(y)







b a

dy

y

g

y

f

S

(

)

(

)

ÖR:y2_{=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br}2_dir? ÇÖZÜM:

y2_{=y+6 y}2_{-y-6=0 (y+2) (y-3)=0}

y=-2 , y=3 y=x-6 y x 3 -2 x y





dir br y y y dy y y A ' 125 11 19 8 9 19 3 8 10 9 2 9 3 8 12 2 4 3 27 18 2 9 3 6 2 6 2 3 2 3 2 3 2 2                 _{ }        _{ }         



DÖNEL CİSİMLERİN ALANI

x

y

a

_b

y=f(x)



f

x



dx

y

dx

V

b a b a x









2 2

)

(





x

a

b

y

x=f(y)



f

y



dy

x

dy

V

b b











₍

₎

2



2

nedir?

hacmi

cismin

edilen

elde

siyle

döndürülme

360

etrafinda

ekseni

ox

bölgenin

kalan

arasıras

ekseni

ox

e

parabolüyl

1

:

0 2

x

y

Ör



















15

16

2

1

1

1 1 4 2 1 1 2

















  x x x

V

dx

x

x

V

dx

x

V

x

1

y

-1