Ağırlık ve Kütle Merkezi

(1)

SIRADIŞIANALİZ YAYINLARI

Ağırlık ve Kütle Merkezi KONU ÖZETİ

Bir kalasın farklı noktalarına uygulanılan aynı yönlü paralel iki kuvvetin bileşkesi kuvvetler arasında bü- yük olan kuvvete daha yakın bir noktadadır. Bileşke- nin şiddeti bu iki kuvvetin toplamı kadardır.

SORU 1

L

F₁ F₂

Şekildeki kalasa uygulanan kuvvetlerin bileşke (uygulama) noktası neresidir?

ÇÖZÜM 1

F₁ > F₂ ⇒ Bileşke kuvvet F₁ kuvvetine daha yakın bir noktada ve onunla aynı yönde olur.

O

x L–x

R=F₁+F₂

F₁ F₂

O noktasına göre moment alabilirsiniz.

F₁ . X = F₂ . (L–X)

F₂ > F₁ ⇒ Bileşke kuvveti F₂ kuvvetine daha yakın bir noktada ve onunla aynı yönde olur.

O x L–x

F₁ F₂

O noktasına göre moment alabilirsiniz.

F₁ . (L – X) = F₂ . X

1) AYNI YÖNLÜ PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ

Aynı yönlü parelel kuvvetlerin bileşkesinin bulunma- sı mantığını aşağıdaki sorular üzerinden açıklayalım.

Kalasa aynı yönlü, ikiden fazla kuvvet uygulanı- yorsa bileşkenin yerini bulmak için

Toplam Moment

X= Toplam Kuvvet bağıntısı kullanılabilir.

Bu bağıntıyı kullanabilmek için Moment almak gere- kecektir. Momenti çubuğun sol ucuna göre almamız menfaatimize olacaktır.

2) ZIT YÖNLÜ PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ

Zıt yönlü parelel kuvvetlerin bileşkesinin bulunması mantığını yan sayfadaki sorular üzerinden açıklayalım.

SORU 2

A B C D E F G

2F 3F 4F

F

Eşit bölmeli kalasa şekildeki gibi uygulanılan dört kuvvetin bileşke noktası neresidir?

ÇÖZÜM 2

Soruda ikiden fazla kuvvet olduğundan Toplam Moment

X= Toplam Kuvvet esprisini kullanalım.

Momenti sol uca (A noktasına) göre alalım.

2F 2 3F 4 4F 6 40F

X 4

F 2F 3F 4F 10F

⋅ + ⋅ + ⋅

= = =

+ + +

A noktasından itibaren X = 4 birim ilerlediğimizde kuvvetlerin bileşke noktasının E noktası olduğu görü- lür.

Ağırlık Merkezi konusuna geçmeden önce paralel kuvvetlerin bileşkesi nasıl bulunur önce bunu öğ- renelim.

Niye mi böyle yapıyoruz...!

1) Ağırlık Merkezi sorularının çözümünde özellikle çok karmaşık olan tiplerde bu mantık, çözümü olduk- ça pratikleştiriyor.

2) Ben öyle istiyorum :)

(2)

Ağırlık ve Kütle Merkezi KONU ÖZETİ

SORU 4

A B

C D

E

F G

2F

2F 3F

4F F

Eşit bölmeli kalasa şekildeki gibi uygulanılan dört kuvvetin bileşke noktası neresidir?

ÇÖZÜM 4

Momenti A noktasına göre alalım.

Toplam Moment X Toplam Kuvvet 4F 3 2F 6 2F 1 3F 4

F 4F 2F 2F 3F X 10F 5

2F

=

⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

+ + − −

= =

A noktasından itibaren X = 5 birim ilerlediğimizde kuvvetlerin bileşke noktasının F noktası olduğu görü- lür.

Kalasa zıt yönlü, ikiden fazla kuvvet uygulanıyor- sa bileşkenin yerini bulmak için

Toplam Moment

X= Toplam Kuvvet bağıntısı kullanılabilir.

Bu bağıntıyı kullanabilmek için moment almak gere- kecektir. Momenti çubuğun sol ucuna göre almamız menfaatimize olacaktır.

AĞIRLIK MERKEZİ

Bir cismin moleküllerine etki eden yerçekimi kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktasına ağırlık merkezi denir.

Ağırlık merkezi fizikte ve mühendislik hesaplarında işlemlerin basitleştirilmesi için yaygın olarak kullanılır.

Sistemlerde ağırlık dağılımı, ağırlık merkezi etrafın- da dengelenir.

SORU 3

F₁

F₂

Şekildeki kalasa uygulanan kuvvetlerin bileşke (uygulama) noktası neresidir?

ÇÖZÜM 3

F₁ > F₂ ⇒ Bileşke kuvvet F₁ kuvvetine daha yakın bir noktada onunla aynı yönde ve kuvvetlerin dışın- da olur.

O x L

R=F₁– F₂ F₁

F₂

O noktasına göre moment alabilriz.

F₁ . X = F₂ . (L+X)

F₂ > F₁ ⇒ Bileşke kuvvet F₂ kuvvetine daha yakın bir noktada onunla aynı yönde ve kuvvetlerin dışın- da olur.

x O L

R=F₂– F₁

F₁

F₂

O noktasına göre moment alabilriz.

F₁ . (L+X) = F₂ . X

Bir kalasın farklı noktalarına uygulanılan zıt yönlü paralel iki kuvvetin bileşkesi kuvvetlerin dışında büyük olan kuvvete daha yakın bir noktada olur. Bileşkenin şiddeti bu iki kuvvetin farkı kadardır.

(3)

Ağırlık ve Kütle Merkezi KONU ÖZETİ

Homojen Madde :

Her yerinde aynı özelliği gösteren maddeye homojen madde denir.

Kalınlığı her yerinde aynı olan bir çubuk için türdeş veya homojen çubuk deniyorsa bize verilen mesaj şudur.

Bu çubuğun ağırlık merkezi tam orta noktasıdır.

G

Türdeş veya homojen çubuk

Çubuk türdeş veya homojen değildir.

Düzgün eşit bölmeli, şekildeki gibi ipe bağlanmış çu- buk dengede ise bize verilmek istenen mesaj nedir?

Mesaj şudur gençler.

1. Çubuk türdeş değildir.

2. Çubuğun ağırlık merkezi ipe asıldığı noktanın dü- şeyindedir.

Düzgün, eşit bölmeli kalas şekildeki gibi destek üzeri- ne konuluyor ve dengede kalıyor.

Peki bu durum bize ne mesajı vermektedir?

Fizik dostları mesaj basittir.

1. Bu fizik adamı delirtir. :) 2. Çubuk türdeş değildir.

3. Çubuğun ağırlık merkezi destek üzerine konulduğu noktanın düşeyindedir.

Katı bir cismin çok küçük parçacıklarından meydana geldiği düşünülürse, bu parçacıklara etkiyen yerçeki- mi kuvveti, yani parçacıkların ağırlık kuvvetleri paralel ve aynı yönlü olur.

Ağırlık merkezinin yeri sistemlerin denge durumunu doğrudan etkileyen bir faktördür.

Bunu örnekler üzerinde ifade edelim.

Yatay yüzey G

3 G A

B C

Türdeş ve özdeş küplerden oluşan şekildeki sistem dengededir. Çünkü sistemin ağırlık merkezi AB nok- taları arasındadır. Bu ağırlık merkezinin doğrultusu boşluktan geçmemektedir. Direkt zemine etki etmektedir. Ağırlık merkezi boşluktan geçmediğinden sistem dengededir deriz.

Sistem türdeş olmasaydı ve ağırlık merkezi BC ara- sında olsaydı sistem dengede olamazdı. Çünkü ağır- lık merkezinin doğrultusu boşluktan geçmiş olacaktı.

Bu durumda sistemin dengesi bozulacaktı.

Sizce türdeş ve özdeş küplerden oluşan...

Yatay yüzey bu sistem dengede midir?

Peki özdeş ve türdeş küplerden oluşan bu sistem

Yatay yüzey İp

Yatay tavan

Dengede midir?

Bu soruların çözümlerini size bırakıyorum.

Ağırlık merkezi sorularında türdeş veya homojen ifa- delerini çok sık duyarsınız.

Aralarında küçük bir nüans farklılığı olsa da bu iki ke- lime bize aynı şeyi ifade etmektedir.

Türdeş Madde :

Aynı cins maddeden meydana gelen maddeye türdeş madde denir.

Mesela türdeş çubuk denildiğinde, çubuğun her tara- fı aynı maddedendir denilmek istenir.

Yarısı tahta, yarısı demir olan bir çubuğa türdeş çu- buk denemez.

(4)

Ağırlık ve Kütle Merkezi KONU ÖZETİ

Ağırlık kuvvetlerinin şiddetleri belirlenirken, türdeş çu- buk için uzunluklar arasındaki oran, levha için alanlar arasındaki oran, küre, silindir, prizma gibi cisimlerde ise hacimler arasındaki oran kullanılabilir.

G = 8 m

4 m 4 m

Türdeş çubuk

a

a a

b

G = 4a G = 2a + 2b

G = a² G = a . b

Telden yapılmışsa ağırlık çevre cinsinden yazılır.

Levhadan yapılmışsa ağırlık alan cinsinden yazılır.

Çember Daire Küre

r r r

G 2 r= π G= πr² G 4 r³

= π3



Çemberin içi boş olduğundan ağırlık çevre cinsinden tanımlandı.

Daire içi dolu olduğundan ağırlık alan cinsinden tanımlandı.

Kürenin içi üç boyutlu olduğundan ağırlık hacim cinsinden tanımlandı.

x Yarım

çember Yarım

daire Yarım

küre

r

x r

r x

r

x =2rπ

x 4r

=3 π

x 3r

= 8 G₃

G₁ G₂

G₄ G₅

G₆ G₇

Bu kuvvetlerin bileşkesi cismin ağırlık kuvvetini, bi- leşke kuvvetin uygulama noktası ise, cismin ağırlık merkezini verir.

Düzgün türdeş bir çubuğun ağırlık merkezini bulmak kolay. Biliyorum arkadaş sadede gel dediğinizi duyar gibiyim.

Lakin ağırlık merkezi soruları genellikle bir kaç geometrik şekilli sistemleri içermektedir. Çok şekilden oluşan sistemlerin ağırlık merkezi bulunurken, şekil- lerin ağırlık merkezlerinin bileşkesi alınmalıdır.

Peki o zaman zurnanın zırt dediği noktaya geliyoruz.

Gençler benden söylemesi

Karışık sistemlerin ağırlık merkezini bulurken aşağı- da ifade ettiğim 5 aşamayı takip edin. 5 aşama so- nunda sorunun çözümünü bulmuş olmalısınız.

Bulamadıysanız panik yapmayın. Anlattıklarımı bir kere daha alıcı bir gözle okuyun.

İşte o 5 aşama...

1. Önce sistemi geometrik parçalara bölün. Üçgen, daire, kare, silindir sistemde ne varsa hepsini önce o karışık soru içinde görmeye çalışın.

2. Sonra, o böldüğünüz parçaların (geometrik sistem- lerin) ağırlık merkezi vektörlerinin yönünü, türdeş ise geometrik ortalarına, değilse soruda belirtilen yere işaretleyiniz.

Valla buraya kadar yaptıysanız soru yarılanmış de- mektir gençler. Hadi biraz daha gayret az kaldı.

3. Şimdi işaretlediğimiz ağırlık merkezi vektörlerinin sayısal değerlerini yazmalıyız.

Ama nasıl... Soruda ağırlık namına hiçbirşey yok dimi... Panik yok fizik dostları...

Soruyu veren Allah çözümü de verir.

(5)

Ağırlık ve Kütle Merkezi KONU ÖZETİ

K

L M

r r 2r r r

1 2

G = πr

2 2

G = π(2r) G₃= πr²

K dairesel levhasından L dairesel kısmı şekildeki gibi kesilip M gibi yapıştırılıyor.

K parçasından hiç parça çıkarılmamış gibi düşüne- rek ağırlık merkezi vektörünü aşağı yönde gösterdik.

Eklenen M parçasınında ağırlık merkezi vektörünü aşağı yönde gösterdik.

Çıkarılan L parçasının ağırlık merkezi vektörünü ise yukarı yönde gösterdik. Parçalar daire olduğundan ağırlık merkezinin değerini alan olarak aldık. Şimdi sıra öldürücü vuruşumuzu yapmaya geldi. Zıt yönlü paralel kuvvetlerin bileşkesi mantığını kullanarak sistemin ağırlık merkezini bulmamız artık an meselesi.

P

P O

4P

r r

3r 2r

Ağırlık merkezi

r

2

P

π =

kabul ettik.

     

O noktasına göre moment alalım 4P r P 4r 2r

4P P P

⋅ + ⋅ =

+ −

Tüm bu ekleme ve çıkarma operasyonları sonucunda ağırlık merkezi, K'nın ilk ağırlık merkezine göre r kadar sağa kaymış.

Türdeş silindirin ağırlık merkezi geometrik orta nokta- sıdır. Silindir üç boyutlu olduğundan ağırlık merkezinin sayısal değeri hacim cinsinden alınabilir.

h r

G= πr h2

Üçgen şeklinde yapılmış bir sistem, türdeş metal, ya da türdeş karton gibi bir şeyden yapılmış yani içi dolu olan bir sistem ise, ağırlık merkezinin yeri kenarortay- ların kesim noktası olarak bulunur.

2x y z

2y x

2z

Üçgen şeklinde yapılmış sistem türdeş tellerden ya- pılmış ise yani içi boş ise, ağırlık merkezinin yeri her telin ağırlık merkezi orta noktalarından işaretlenip, bunların bileşkeleri alınmak süretiyle bulunur.

Yani telden yapılmış bu üçgenin ağırlık merkezinin yerini bulurken kesinlikle kenarortayların kesim nok- tasını almayın.

G₁

G₂

G₃

G₂ + G₃

4. Sistemden parça çıkarılıyor ya da ekleniyorsa çı- karılan parçanın ağırlık merkezi vektörü yukarı yön- de, eklenen parça aşağı yönde çizilir.

(6)

Ağırlık ve Kütle Merkezi KONU ÖZETİ

PRATİK YOL

K

L M

r r O 2r r r

        

x

K dairesel levhasının içinden, L dairesel levhası çı- karılıp M konumuna yapışıtırılıyor. Soruda sistemin ağırlık merkezi ne kadar yerdeğiştirir ( x)∆ diyorsa bunu bulmanın bir yolu daha var. Hemde ne yol. Tam pratik. Bayılacaksınız.

L 2 K 2

P

(2r) π π ⋅

K dairesinden L dairesi çıkarılıp, M gibi yan tarafa ya- pıştırıldığında sistemin ağırlık merkezi r kadar sağ tarafa kayar.

Nasıl müthiş pratik değil mi?

P_çıkarılan : Çıkarılan parçanın ağırlığı (alan cinsinden) P_ilkdurum : Sistemin ilk durumunun ağırlığı (alan cinsinden)

x : Çıkarılan parçanın ağırlık merkezinin yer değiştir- mesi

7r 5r

x r

2 2

= − =

Sistemin ağırlık merkezi K'nın ağırlık merkezine göre 5r

2 kadar sağa kaymış.

PRATİK YOL

Bir çemberin çapı doğrultusunda sağ ve soluna iki çember yapıştırılır ise, oluşan yeni sistemin ağırlık merkezi yapıştırılan büyük çember tarafına doğru kayar. Ne kadar mı kayar ?

Uzun iş değil mi?

Normal metodu kullanırsanız evet uzun iş. Lakin bu soru için basit bir meteodla hatta hiç işlem yapmadan kafadan işlem yaparak sorunun üstesinden gelebilir- siniz.

Yapıştırılan çemberlerin yarıçaplarını çıkarın.

Evet hepsi bu kadar ÇIKARIN:

Ağırlık merkezi yapıştırılan çemberlerin yarıçapları- nın farkı kadar büyük çember tarafına doğru kayar.

Yalnız bu mantığı sadece yapıştırılan çemberler için kullanın. Gidip her soruda kullanmaya kalkmayın.

Adamı öğrettiğine pişman etmeyin.

K

L K

M

r 2r 2r 2r

7r 2

x

PRATİK YOL

L cm uzunluğundaki düzgün türdeş bir çubuğun ucundan x cm kadar kısmı (mavi renkli kısım) kesilip hemen aynı taraftan çubuğun üzerine katlanırsa ağırlık merkezi

(Katlanan Kısmın Uzunluğu)2

Çubuğun Toplam Uzunluğu kadar kayar.

L 2

x

x2

Z= L (Ağırlık merkezini kayma miktarı) Z

PRATİK YOL

Uzun türdeş bir telin ucundan x kadar uzunluğunda bir parça kesilip atıldığında, telin uzunluğu ne olursa olsun ağırlık merkezi x x

∆ =2 kadar yer değiştirir.

G

G′

∆x

x x

∆ =2

x

(7)

Ağırlık ve Kütle Merkezi KONU ÖZETİ

PRATİK YOL

Ağırlığı G olan levhanın, G′ parçasını (mor renkli) ke- sip 1 numaralı konumdan 2 numaralı konuma x kadar yol aldırarak getirdiğimizde, levhanın ilk ağırlık merkezi O'dan O′ ne ∆x kadar kaymış olsun.

G

x

∆ G′

1 2

O O′

x G′

x x

∆ = G ⋅

        

PRATİK YOL

Ağırlığı G olan levhadan, ağırlık merkezinden (O nok- tası) x kadar uzaklıktaki G′ ağırlıklı parça (mor renkli) kesilip atılıyor ve ağırlık merkezi ∆x kadar kayarak O′ ne geliyor.

G

x

∆ G′

′

′ O

′

O

x

x G x

∆ =G G ⋅

−

5. Yönlerini ve ağırlık merkezi değerlerini yazdığımız vektörlerin paralel kuvvetlerin bileşkesi mantığı kulla- nılarak bileşkesi alınır.

Bulunan bu bileşke sistemin ağırlık merkezi olacaktır.

Hayırlı uğurlu olsun.

PRATİK YOL

Bir sistemde levhanın herhangi bir parçası kesilip baş- ka bir noktaya taşımak için izlenen yol her ne ise, lev- hanın ilk ağırlık merkezide aynı yolu izleyerek kayar.

1

2 3

O K

Ağırlık merkezi O noktası olan levhanın K parçası eğrisel bir yol izleyerek, şekildeki gibi 1. konumdan 2. konuma getirilmiştir. Bu durumda levhanın ağırlık merkezi (O noktası) aynı eğrisel yolu izleyerek 3 nu- maralı konuma gelmiştir.

KÜTLE MERKEZİ

Kütle merkezinin bulunması, ağırlık merkezini bulun- ması ile aynı mantığı taşır.

Sonuçta bu iki kavram hemen hemen eş anlamlı fizik- sel ifadelerdir.

Kütle merkezinin soruları genellikle kareli sistemlerde verilir. Olayın formül boyutu vardır. Lakin sorula- rın soruluş tarzı pek de formülü kullanmaya gerek bı- rakmamaktadır.

Bunu neden söyledim.

Kütle merkezi sorularına bakılırsa genellikle iki kütle- nin kütle merkezi aralarındaki karesel uzaklığa bakı- larak hemencik bulunabilecek tarzdadır.

Şayet soruyu yazan benim gibi cins biri ise formülü kullanmaktan başka çare kalmayacaktır.

m

3m

4m 4m

8m K

L

Örneğin bu üç kütlenin kütle merkezini bulmak için formül kullanmak tam bir çılgınlık olur. 3m ile m'in küt- le merkezi 4m olarak K noktasında. Oluşan bu 4m ile sorudaki 4m'in kütle merkezi 8m olarak L noktasında olur.

(8)

Ağırlık ve Kütle Merkezi KONU ÖZETİ

Yerçekimi ivmesi, bütün kütle boyunca sabitse ağır- lık merkezi kütle merkeziyle çakışır yani aynı noktada oluşurlar.

Yerçekimi ivmesi olmadığı durumlarda kütle merkezinden söz edilebilir fakat ağırlık merkezinden söz edilemez.

Yani kütle merkeziyle ağırlık merkezi kesinlikle aynı kavramlardır denilemez.

Yerin merkezinde yerçekimi ivmesi büyük olduğunu düşündüğümüzde her katı özdeş ve türdeş olan bir gökdelenin kütle merkezi tam ortada olur fakat ağırlık merkezi tam ortasında olmaz.

Alt katlara inildikçe yer yüzeyine yaklaşıldığından yer- çekimi ivmesi artar dolayısıyla bu noktaların ağırlık değerleri de artar.

Alt katlarda ağırlık değeri daha büyük olduğundan gökdelenin ağırlık merkezi ortasında değil alt katlara daha yakın bir noktada olur.

Gökdelenin kütle merkezi Gökdelenin

ağırlık merkezi

KÜTLE MERKEZİ İLE AĞIRLIK MERKEZİ AYNI KAVRAMLAR MIDIR?

Günlük yaşamda, mekanik sistemlerle ilgili birçok problemi çözerken sistemi noktasal bir parçacık gibi düşünmek bize kolaylık sağlar.

Mekanik bir sistem boyutları ne olursa olsun sistemin tüm kütlesi bir noktada toplanmış gibi hareket eder.

Bu noktaya sistemin kütle merkezi denir.

Katı cismin, sürekli bir kütle dağılımı olduğundan, bu cismin her bir küçük parçası yerçekimi kuvveti etkisin- dedir.

Biribrine paralel bu kuvvetlerin bileşkesi ağırlık merkezini verir.

y

x m₁

m₂

m₃

m₄

m₅ m₆

m₇

x eksenine göre toplam moment x= Toplam kütle

1 2 3 4 5 6 7

m ( 2) m 0 m 3 m 4 m 3 m ( 2) m ( 1)

x m m m m m m m

⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ −

= + + + + + +

y eksenine göre toplam moment y= Toplam kütle

1 2 3 4 5 7

1 2 3 4 5 6 7

m 4 m 3 m 2 m 0 m ( 2) m6 ( 1) m 0

y m m m m m m m

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅

= + + + + + +

Buradan kütlelerin kütle merkezinin (x,y) koordinat- ları tespit edilir.

Bazen de öyle bir soru çıkar ki kütleler arasında ilişki kurulamaz. İşte o zaman formülü kullanmaktan başka çare kalmaz.

(9)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 1

1.

Üçgen levha şekillerdeki gibi asıldığında dengede kalabilmektedir.

Buna göre levhanın ağırlık merkezi neresidir?

A) K B) K-L arası C) L

D) L-M arası E) M

2.

Ağırlığı önemsenmeyen eş bölmeli şekildeki çubuğa etkiyen kuvvetlerin bileşkesi aşağıda- kilerden hangisidir?

A) K B) K-L arası C) M

D) M-N arası E) N

3.

Ağırlığı önemsenmeyen eş bölmeli şekildeki çubuk kuvvetlerle dengelenmiştir.

Buna göre çubuk nereden asılırsa yatay konu- munu bozmaz?

D) L-M arası E) M-N arası

4.

P düzlemi içinde şekildeki gibi bükülmüş düz- gün ve türdeş telin kütle merkezi nerededir?

A) K noktasında

B) KL uzunluğunun orta noktasında C) L noktasında

D) LM uzunluğunun orta noktasında E) M noktasında

(2001 / ÖSS)

(10)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 1

5.

Aynı maddeden yapılmış şekildeki düzgün ho- mojen dairelerin ağırlık merkezi, O noktasına kaç r uzaklığındadır?

(3r ve 2r dairelerin yarıçapıdır.)

A) 19

13 B) 20

13 C) 13

19 D) 3

2 E) 2

6.

Aynı maddeden yapılmış r ve 2r yarıçaplı şekil- deki düzgün türdeş çemberlerin ağırlık merkezi O noktasına ne kadar uzaklıktadır?

A) r B) 1,5r C) 2r D) 2,5r E) 3r

7.

Şekildeki düzgün türdeş levhanın ağırlık mer- kezi O noktasıdır. Taralı parçalarla birlikte han- gi parçalar çıkarıldığında ağırlık merkezi yine O noktası olur?

(Kareler özdeştir.)

A) M ve N B) K ve L C) S ve T

D) K ve N E) M ve L

8.

Özdeş karelerden oluşan düzgün türdeş levhanın taralı kısımları çıkarılıyor.

Bunlarla beraber aşağıdaki parçalardan hangi- leri ayrı ayrı çıkarıldığında denge bozulmaz?

I. K ve L II. M ve N III. K ve N IV. L ve M

A) Yalnız I B) I ve II C) II, III ve IV

D) I ve IV E) Hepsi

9.

|DF|=|EF|

Şekildeki türdeş üçgen levhanın B ve C noktaları bulundukları kenarların orta noktalarıdır.

ADE üçgeninin, ABC üçgen kısmı kesilip atıldı- ğında yeni ağırlık merkezinin F noktasına uzak- lığı kaç cm olur?

(|AF| = 6 cm) A) 1

3 B) 2

3 C) 1 D) 4

3 E) 5 3

(11)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 1

10. Aşağıdaki özdeş ve düzgün parçalardan olu- şan metal çubuklar O noktasından asıldığında hangi şekildeki gibi dengede kalır?

(|KO| = |OL|) A)

D) E)

B) C)

11.

Şekildeki bükülmüş düzgün türdeş metal par- çası nereden asılırsa yatay konumu bozulmaz?

(|PN| = |ON| = |OR| = |RS| = |ST|) (|OK| = |KL| = |LM| = |MN|)

A) N B) M-N arası C) M

D) L-M arası E) K-L arası

12.

P düzlemi içinde şekildeki gibi bükülmüş düz- gün ve türdeş telin ağırlık merkezi neresidir?

A) K B) K-L ortası C) L D)L-M ortası E) M 13.

Eşit uzunluktaki, sırasıyla 3m, m, 2m ve 4m küt- leli yapışık düzgün türdeş çubuklardan oluşan sistemin ağırlık merkezi aşağıdakilerden han- gisidir?

D) L-M’nin ortası E) L-M arası

14.

O₁ ve O₂ merkezli yarıçapları eşit d ve 2d özküt- leli düzgün homojen iki kürenin kütle merkezi O₁’e uzaklığı kaç r 'dir?

A) 4

3 B) 2

3 C) 1 D) 3

2 E) 1 2

15. Düzgün geometriye ve özkütleye sahip, gökdelen- ler gibi görece yüksek yapıların ağırlık merkezleri ile kütle merkezleri arasında az da olsa bir fark var- dır.

Bu tür düzgün ve yüksek yapılarda kütle mer- kezi ve ağırlık merkezi ile ilgili;

I. Kütle ve ağırlık merkezleri arasındaki fark bina- ların depreme dayanıklı olması için özellikle ta- sarlanmıştır.

II. Ağırlık merkezi, düşey olarak kütle merkezinden daha aşağıdadır.

III. Kütle ve ağırlık merkezleri arasındaki fark bina- nın her noktasındaki yer çekimi ivmesinin aynı- olmamasının bir sonucudur.

yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III 2017 LYS

(12)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 2

1. Düzgün türdeş ve özdeş levhalardan oluşan aşağıdaki sistemlerden hangisi şekillerdeki gibi dengede kalabilir?

A) B)

D) E)

C)

2.

Aynı maddeden yapışmış şekilde çember ve tel parçalarından kurulu sistemin ağırlık merkezi K noktasından ne kadar uzakta olur?

(π = 3 alınız)

(Çember ve tel düzgün türdeştir ve kalınlıkları eşittir.)

A) r B) r

2 C) 2r

5 D) 6r

5 E) r 5

3.

Özdeş ve düzgün türdeş kare lego parçaların- dan oluşan sistemlerden hangisi şekillerdeki gibi dengede kalabilir?

A) Yalnız 2 B) 1 ve 2 C) 2 ve 3

D) Hepsi E) 1 ve 3

4.

Şekildeki 4m, m ve 10m kütleli aynı düzlemdedir.

Buna göre bu kütlelerin kütle merkezi neresidir?

(Bölmeler eşit aralıklıdır.)

A) K B) L C) M

D) N-M arası E) L-M arası

5.

Ağırlık merkezi X, Y, Z olan K, L, M blokları eğik düzlemler üzerinde dengededirler.

37^o, 38^o’ye çıkarıldığında blokların devrilmeleri öncelik sırasına göre nasıl olur?

A) K, L, M B) K, M, L C) L, K, M

D) L, M, K E) M, L, K

(13)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 2

6.

Aynı düzlemde bulunan şekildeki kütlelerin kütle merkezi, (X,Y) koordinatları cinsinden aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2, –1) B) (1,2) C) (–2,1)

D) (2,1) E) (2,2)

7.

Aynı düzlemde bulunan üç cismin kütle merkezi K noktasıdır.

Buna göre, M₁, M₂, M₃ kütlelerinin büyüklükleri arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

A) M₁=M₂>M₃ B) M₁=M₂<M₃ C) M₁=M₂=M₃ D) M >M>M E) M >M >M

8.

Taralı G₁ ağırlıklı parça ile G₂ ağırlıklı diğer par- ça şekildeki gibi dengede olduğuna göre ¹

2

G oranı nedir? G

(Kareler eşit uzunluktadır ve düzgün türdeştir.)

A) 2 B) 1

2 C) 1 D) 3

2 E) 1 4

9.

Şekildeki gibi iplerle asılmış çubuk dengededir.

T₂ gerilmesi sıfır olduğuna göre,

I. T₁ gerilmesinin büyüklüğü çubuğun ağırlığın- dan küçüktür.

II. K noktası çubuğun ağırlık merkezi olabilir.

III. Çubuk homojendir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) Yalnız III

10.

Düzgün homojen küp ve eşit uzunluktaki düzgün homojen parçalardan kurulu sistemlerden hangi- si şekillerdeki gibi dengede kalabilir?

A) 1 ve 2 B) 2 ve 3 C) 1 ve 3

D) Hepsi E) Yalnız 3

(14)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 2

11.

P ağırlığındaki eşit bölmeli düzgün türdeş şekildeki gibi P, 2P, 3P ağırlıkları ile dengededir.

Buna göre çubuk nereden asılırsa dengede ka- lır?

D) L-M arası E) M

12.

Özdeş ve düzgün türdeş küpler birbirine şekildeki gibi yapıştırılmıştır.

Buna göre sistem nereden asılırsa dengede ka- labilir?

( |KL| = |LM| = |NP|)

A) K’dan B) K-L arası C) L-M arası

D) M’den E) M-N arası

13.

Şekildeki düzgün homojen daire düşey düzlemde- ki ip yardımıyla dengededir.

Eşit yarıçaplı K, L, M, N dairelerinden hangileri aynı anda çıkarıldığında levhanın dengesi bo- zulmaz?

A) L ve N B) L ve M C) Yalnız N

D) L, M ve N E) K ve M

14.

Özdeş küpler birbirine yapıştırılarak şekildeki sistem oluşturulmaktadır.

K, L, M, N, P parçalarından hangisi çıkarılıp sis- tem serbest bırakılırsa yatay konumunu korur?

(Küpler düzgün türdeştir.)

A) K B) L C) M D) N E) P

(15)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 3

1.

Birbirine yapıştırılmış özdeş ve türdeş küpler ile türdeş üçgen levha şekillerdeki gibi sürtünmeli eğik düzlemler üzerinde tutulmaktadır.

Buna göre sistemler serbest bırakıldığında K, L, M cisimlerinden hangileri devrilmeden dura- bilir?

A) K ve L B) K ve M C) K, L, M

D) Yalnız K E) Yalnız L

2.

Bölme aralıkları ve ağırlıkları eşit iki yamuk blok şekil-1 ve şekil-2'de dengededir.

Bloklar şekil-3'deki gibi yapıştırıldığında siste- min ağırlık merkezi neresi olur?

A) L-M arası B) M’de C) M-N arası

D) N’de E) N-P arası

3.

K, L, M sistemlerinden, taralı özdeş ve düzgün türdeş daireler çıkarıldığında hangilerinin den- gesi bozulmaz?

(İpler karenin ve dairenin merkezinden geçmektedir.) A) Yalnız K B) Yalnız L C) Yalnız M

D) K ve L E) L ve M

4.

Şekildeki r yarıçaplı düzgün türdeş K dairesi 2r ya- rıçaplı düzgün türdeş büyük daire içinden kesilip yan tarafa yapıştırılmıştır.

Buna göre yeni şeklin ağırlık merkezi O nokta- sından kaç r uzaklığında olur?

(Noktalar dairelerin merkezidir.)

A) 1 B) 2 C) 1

2 D) 3

2 E) 1

3

(16)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 3

5.

Yarıçapları 2r ve r, uzunlukları 2L ve 4L, yoğun- lukları d ve 2d olan yapışık düzgün homojen si- lindirlerin ortak ağırlık merkezleri K noktasın- dan kaç L uzaklığındadır?

A) 1 B) 2 C) 1

2 D) 3

2 E) 1 3

6.

P düzlemi içinde şekildeki gibi bükülen düzgün homojen telin, ağırlık merkezinin düşeyi nere- den geçer?

A) K’dan B) K-L arasından C) L’den D) L-M arasından E) M’den

7.

Kütleleri 2m ve m olan düzgün türdeş yarım iki yapışık daire levha, K noktasından asıldığında levhanın alacağı son durum aşağıdakilerden hangisi gibi olur?

(O noktası merkezdir.)

A) B)

D) E)

C)

8.

O ucundan duvara menteşelenmiş şekildeki düzgün homojen çubuğa duvarın uygulayaca- ğı tepki kuvvetinin doğrultusu nereden geçer?

A) K’dan B) K-L arasından C) M’den D) M-N arasından E) N’den

9.

Şekildeki düzgün kapların bir kenarının uzunlukla- rı X ve 4X iken kalınlıkları eşittir.

Musluk, dolu kabı doldurmaya başladığında sıvı seviyesi nereye geldiğinde denge bozulur?

A) K-L arasından B) L’den C) L-M arasından

D) M’de E) M-N arasından

(17)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 3

10.

Şekildeki dairenin içinden K dairesi çıkarılıp L’deki gibi yapıştırılmıştır.

Buna göre ağırlık merkezi hangi yöne doğru kayar?

(O noktası büyük dairenin merkezidir.)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11.

Eşit bölmelerle ayrılmış üçgen levha şekildeki gibi iplere bağlı olarak dengelenmiştir.

T₁>T₂ olduğuna göre üçgenin ağırlık merkezi K, L ve M bölmelerinden hangilerine denk gelebilir?

A) K ve L B) L ve M C) Yalnız L

D) K ve M E) K, L ve M

12.

Aynı sıvı içerisinde bulunan düzgün homojen X, Y, Z sistemlerinden hangileri şekillerdeki gibi kesinlikle dengede kalamaz?

(Bölmeler eşit aralıktadır.)

A) X ve Y B) Y ve Z C) X, Y ve Z D) Yalnız Y E) Yalnız Z

13.

Aynı maddeden yapılmış ağırlıkları P, P ve 2P olan düzgün türdeş tellerden oluşan şekildeki üçgenin ağırlık merkezi neresidir?

(Kenarortay üzerindeki aralıklar eşittir.)

A) K-L arası B) L noktası C) L-M arası D) M noktası E) M-N arası

14.

Şekil-1’deki küresel cisim serbest bırakıldığında ok yönünde yuvarlanıp şekil-2’deki gibi dengeye geliyor.

Kürenin merkezi K noktası olduğuna göre, I. Kürenin ağrılık merkezi K noktasıdır.

II. Kürenin ağırlık merkezi L noktası olabilir.

III. Kürenin ağırlık merkezi L-M arasında olabilir.

A) Yalnız I B) I ve II C) II ve III D) I ve III E) I, II ve III

(18)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 4

1.

Şekildeki düzgün homojen çubuk, tekerlekler üze- rinde dengededir.

Çubuk tekerlekler aracılığıyla ok yönünde ha- reketlendirildiğinde K ve L tekerleklerinin çu- buğa uyguladıkları N_K, N_L tepki kuvvetleri nasıl değişir?

N_K N_L � �A) Değişmez Değişmez

B) Artar Azalır C) Azalır Artar D) Artar Artar E) Azalır Azalır

2.

Şekildeki birbirine yapıştırılmış X, Y, Z küreleri F kuvveti yardımıyla dengelenmiştir.

Buna göre sistemin ağırlık merkezi aşağıdaki- lerden hangisi olabilir?

3.

Şekildeki kenar uzunluğu a olan küçük kare, kenar uzunluğu 2a olan büyük kare levhanın içinden kesilip yan tarafa yapıştırılmıştır.

Buna göre yeni şeklin ağırlık merkezi neresi olur?

(Noktalar eşit aralıklıdır. N ve K karelerin merkez- leridir, sistemler düzgün türdeştir.)

4.

Şekildeki eşit kalınlıktaki birbirine yapışık düzgün türdeş X, Y cisimleri dengededir.

Bölmeler eşit uzunlukta olduğuna göre X cis- minin özkütlesi d_X ile Y cisminin d_Y arasındaki oran ^X

Y

d d

 

 

  nedir?

A) 9

4 B) 4

9 C) 1 D) 2

3 E) 1 4

(19)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 4

5.

Dikdörtgen K, L, M blokları şekildeki gibi üst üste konulduğunda sistem dengelenmektedir.

Buna göre,

I. M cismi türdeş olabilir.

II. M cismi kesinlikle homojendir.

III. L cismi homojen değildir.

IV. Sistemin ağırlık merkezi K cisminin üstüne denk gelir.

(|CD| > |AB| = |EF|)

A) I ve II B) II ve III C) I, II ve III D) II, III ve IV E) I, III ve IV

6.

Şekildeki düzgün homojen K ve L çubukları dengededir.

İp gerilmesi 3T ve 4T olduğuna göre K çubu- ğunun ağırlığı G_K ve L çubuğunun ağırlığı G_L arasındaki oran ^K

L

G G

 

 

  nedir?

(Aralıklar eşittir.) A) 12 B) 1

12 C) 4 D) 1

4 E) 8 7.

Şekildeki yarım dairenin merkezi O noktasıdır.

Dairenin yarıçapı 9cm olduğuna göre yarım dairenin ağırlık merkezi O noktasından kaç cm uzaklıktadır?

(π = 3 alınız, daire düzgün türdeştir.)

A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 4,5

9.

Şekildeki eş bölmeli ve ağırlıklı çubuk ipler ve G ağırlığı yardımıyla dengelenmiştir. İplerdeki gerilme kuvvetlerinin şiddeti T₁ ve T₂’dir.

T₂ > T₁ olduğuna göre, I. Çubuk homojen olabilir.

II. Çubuğun ağırlık merkezi K-L arasında olabilir.

III. Kuvvetlerin bileşke noktası N-P arasındadır.

A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) Yalnız I E) I, II ve III 8.

Şekilde, düzgün türdeş telden üç tane çember ya- pılmıştır.

Bu üç çemberin ağırlık merkezi O’dan kaç r uzakta olur?

A) 1,3 B) 2,3 C) 2 D) 1 E) 0

(20)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 4

10.

Şekildeki özdeş ve düzgün türdeş küpler birbirlleri- ne yapıştırılmıştır.

Buna göre bu sistem nereden asıldığında ko- numunu bozmaz?

A) K noktası B) K-L arası C) L noktası D) L-M arası E) M-N arası

11.

Şekildeki eşit uzunluktaki kendi içlerinde düzgün türdeş yapışık küplerden oluşmuş X ve Y blokları dengededir.

Buna göre,

I. A küpünün altına kendisi ile özdeş iki küp, B kü- pünün altına da kendisi ile özdeş bir tane daha asıldığında denge bozulmaz.

II. ^X

Y

d 1

d =2 dir. (d: özkütle)

III. C ve B küpleri çıkarlıdığında denge bozulmaz.

A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) Yalnız II E) I, II ve III

12.

Şekildeki (X,Y) koordinat sisteminde bulunan düzgün türdeş üçgenlerin ağırlık merkezinin (X,Y) koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4,5) B) (5,4) C) (3,4) D) 4,3) E) (4,4)

13.

Eşit bölmeli ve ağırlıkları G_Xve G_Y olan iki çubuk şekildeki gibi dengelenmiştir.

İplerdeki gerilme kuvvetleri T₁ ve T₂ sıfır olma- dığına göre,

I. T₁ > T₂ dir.

II. X çubuğu çıkarılırsa T₁ = T₂ olur.

III. T₁ + T₂ = G_X + G_Y dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) Yalnız III E) I, II ve III

14.

Şekil-I'deki 100 cm uzunluğundaki türdeş çubuğun ucundan 20 cm'lik parçası şekil-II'deki gibi katlanıyor.

Buna göre, sistemin ağırlık merkezi kaç cm ka- yar?

A) 10 B) 40 C) 5 D) 8 E) 4

(21)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 5

1.

Şekildeki düzgün türdeş küresel cisim destek üs- tünde dengededir. O noktası kürenin merkezidir ve küre eşit bölmelere ayrılmıştır.

Sistemden K ve L parçaları aynı anda çıkarıl- dığında dengenin bozulmaması için hangi iki parça daha çıkarılmalıdır?

A) Yalnız N B) N ve P C) M, N ve P

D) M ve R E) P ve R

2.

Merkezi O noktası olan 12 cm yarıçaplı dairenin ta- ralı kısmı şekildeki gibi kesilip yan tarafına K nok- tasından yapıştırılmıştır.

Buna göre dairenin ağırlık merkezi kaç cm ka- yar?

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3

3.

Şekildeki K çemberi, L levhası, M tel parçaları düz- gün türdeştir.

Bölmeler eşit uzunlukta olduğuna göre K, L, M sistemlerinden hangilerinde ağırlık merkezi sistem üzerindedir?

A) Yalnız K B) Yalnız L C) K ve L

D) L ve M E) K, L ve M

4.

Şekildeki eşit bölmeli düzgün türdeş levhadan par- çalar çıkarıldığında ağırlık merkezi ok yönünde kaymıştır.

Buna göre,

I. K levhası çıkarılmalıdır.

II. K’nın üzerine levha eklenmelidir.

III. L-M-N levhaları çıkarılmalıdır.

hamlelerinden hangileri yapılmalıdır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ya da III E) I ya da III

(22)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 5

5.

Şekildeki küresel cisim serbest bırakıldığında ok yönünde hareketlendirmektedir.

Cisim yeterince uzun yolda 3/4 kadar tur atıp dur- duktan sonra ters yönde hareketlenmektedir.

Cisim kaymadan döndüğüne göre ağırlık mer- kezi nerededir?

(O noktası kürenin merkezidir.) A) O noktasında

B) A parçasının üzerinde C) B parçasının üzerinde D) C parçasının üzerinde E) D parçasının üzerinde

6.

1 m’lik özdeş demir çubuklardan oluşturulan şekildeki A harfinin ağırlık merkezinin O nokta- sına uzaklığı nedir?

A) 3 B) 3

2 C) 3

6 D) 1

2 E) 3 2

7.

Şekildeki düzgün türdeş ABCD kare levhasından, AEFG kare levha kısmı kesilip atılıyor.

|AB| = 8m, |AE| = 2m olduğuna göre ağırlık mer- kezi kaç m yer değiştirir?

A) 2

2 B) 2 C) 2

3 D) 2

4 E) 2 5

8. 18m uzunluğundaki düzgün demir çubuk kat- lanarak eşkenar üçgen yapıldığında, sistemin ağırlık merkezinin üçgenin tabanına dik uzaklı- ğı kaç m olur?

A) 2 3

2 B) 3 C) 2 3 D) 3 E) 2

9.

2r yarıçaplı D dairesinin içerisinden r yarıçaplı B dairesi çıkarılıp B' olarak D dairesinin yanına, r ya- rıçaplı C dairesini çıkarıp C' olarak diğer yanına yapıştırılıyor.

Buna göre yeni şeklin ağırlık merkezi neresi olur?

A) K-L arasında B) L-O arasında C) O noktasında D) O-M arasında

E) M-N arasında

(23)

Ağırlık ve Kütle Merkezi TEST 5

10.

2r yarıçaplı A dairesel levhasından B dairesi çıkarı- lıp B' olarak üst tarafa, C dairesi çıkarılıp C' olarak yan tarafa yapıştırılıyor.

Buna göre ağırlık merkezi ne kadar kayar?

A) 3 r⋅ B) 3 2 r 4

⋅ C) 3 r

2

⋅

D) 2 3 r 3

⋅ E) 3 r

3

⋅

11.

O merkezli 2r yarıçaplı B dairesel levhasından bir kenarı 2r olan A karesi şekildeki gibi çıkarılıp A' olarak yan tarafa yapıştırılmıştır.

Buna göre ağırlık merkezi kaç r kadar değiştirir?

( π = 3 alınız.)

A) 1

2 B) 3

4 C) 1 D) 3

2 E) 2

12. X uzunluğundaki düzgün türdeş bir metal çubuğun 4m’lik kısmı ucundan kıvrılıp kendi üzerine yapıştı- rıldığında ağırlık merkezi 2m kadar yer değiştiriyor.

Buna göre çubuğun uzunluğu nedir?

A) 8m B) 10m C) 12m D) 16m E) 24m 13.

3r yarıçaplı düzgün türdeş dairesel levhadan r ya- rıçaplı K dairesi şekildeki gibi çıkarıldığında ağır- lık merkezi X₁ kadar yer değiştirmektedir. Sadece r yarıçaplı L dairesi çıkarıldığına X₂ sadece r ya- rıçaplı M dairesi çıkarıldığında ağırlık merkezi X₃ kadar yer değiştirmektedir.

Buna göre X₁, X₂, X₃ arasındaki ilişki nedir?

(O = levhanın ağırlık merkezidir.)

A) X₁=X₂=X₃ B) X₁>X₂>X₃ C) X₃>X₂>X₁ D) X₂>X₃>X₁ E) X₁>X₃>X₂

14.

Dikdörtgen prizmaya yatay eşit şiddetteki F₁ ve F₂ yatay kuvvetleri ayrı ayrı uygulanmaktadır.

F₂ kuvveti prizmayı x noktası çevresinde döndürü- lebilirken, F₁ kuvveti prizmayı Y noktası çevresin- de döndürememektedir.

Buna göre,

I. Prizmanın ağırlık merkezi AO arasında olabilir.

II. Prizmanın ağırlık merkezi OB arasında olabilir.

III. Prizma homojen değildir.

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III