ÇıkarsamaSorunuYrd.Doç.Dr.A.TalhaYALTA ˙IkiDe˘gi¸skenliBa˘glanımModeli

(1)

Aralık Tahmini Önsav Sınaması Çıkarsamaya ˙Ili¸skin Konular

˙Iki De˘gi¸skenli Ba˘glanım Modeli

Çıkarsama Sorunu

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 1 Ders Notları

Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

(2)

Açık Lisans Bilgisi

˙I¸sbu belge, “Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported” (CC BY-NC-SA 3.0) lisansı altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur.

Eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve geçerli lisansın korunması ko¸sulu ile özgürce kullanılabilir, ço ˘galtılabilir ve de ˘gi¸stirilebilir.

Creative Commons örgütü ve “CC-BY-NC-SA” lisansı ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ekonometri ders notlarımın güncel sürümüne

“http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz.

A. Talha Yalta

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Ekim 2011

(3)

Ders Planı

1 Aralık Tahmini

Bazı Temel Noktalar

SEK Tahmincilerinin Güven Aralıkları

2 Önsav Sınaması

Güven Aralı ˘gı Yakla¸sımı Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı Anlamlılık Konusu

3 Çıkarsamaya ˙Ili¸skin Konular Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu

Ba ˘glanım Bulgularının De ˘gerlendirilmesi

(4)

Ders Planı

1 Aralık Tahmini

2 Önsav Sınaması

(5)

Bazı Temel Noktalar

Yansız SEK tahmincilerinin üretti ˘gi tahminlerin anakütle de ˘gerlerine e¸sit olması beklenir.

Ancak, örneklemlerin rastsallı ˘gı nedeniyle sonuçların gerçek de ˘gerlerden farklı çıkabilece ˘gi de bir gerçektir.

Hata teriminin normalli ˘gi varsayımı altında ˆβ1, ˆβ2, ve ˆσ² tahmincilerinin da ˘gılımları ile ilgili ¸su bilgileri anımsayalım:

βˆ₁∼ N(β₁, σ²_ˆ

β₁) βˆ2∼ N(β2, σ²_ˆ

β2) Z = (n − 2)^σ_σ^ˆ²₂ ∼ χ²_n−2

(6)

Bazı Temel Noktalar

Rastsallık etmeni nedeniyle tahminlerin gerçek de ˘gerlerine ne kadar yakın oldu ˘gunu bilmek isteriz.

Öyleyse, yalnızca nokta tahminine güvenmek yerine onun iki yanında öyle bir aralık olu¸sturalım ki anakütlenin gerçek katsayısını belli bir olasılıkla içersin:

P( ˆβ − δ ≤ β ≤ ˆβ + δ) =1 − α Buradaki

0 < α < 1’e“anlamlılık düzeyi”(significance level), 1 − α’ya“güven katsayısı”(confidence coefficient), β − δ’yaˆ “alt güven sınırı”(lower confidence limit), β + δ’ya iseˆ “üst güven sınırı”(upper confidence limit) adı verilir.

(7)

Bazı Temel Noktalar

Aralık tahminine ili¸skin bazı önemli noktalar ¸sunlardır:

Tanımlanan aralık rastsal bir aralıktır ve bir örneklemden di ˘gerine de ˘gi¸secektir.

E ˘ger α = 0,05 ise, tanımlanan rastsal aralı ˘gın gerçek β de ˘gerini içerme olasılı ˘gı 0,95 ya da %95’tir.

Belli bir örneklem alınarak bulunan sabit aralı ˘gın gerçek β’yı içerme olasılı ˘gının ise (1 − α) oldu ˘gu söylenmez.

Çünkü, böyle bir durumda β ya bu aralı ˘gın içindedir ya da dı¸sındadır. Di ˘ger bir deyi¸sle olasılık ya 1’dir ya da 0’dır.

(8)

β

₁

ve β

₂

˙Için Güven Aralı˘gı

Hata teriminin normalli ˘gi varsayımı altında ˆβ₁ve ˆβ₂SEK tahmincilerinin normal da ˘gılımlı oldu ˘gunu biliyoruz.

Öyleyse, bir ölçünlü normal de ˘gi¸sken olan Z ’yi a¸sa ˘gıdaki gibi tanımlayabiliriz:

Z =

βˆ₂− β₂ öh( ˆβ₂) =

( ˆβ₂− β₂)q P x_i² σ

Demek ki anakütlenin gerçek varyansı σ²biliniyorsa, β₂’yi incelemek için normal da ˘gılımdan yararlanılabilir.

Ancak, σ²genellikle bilinemedi ˘gi için uygulamada yansız tahmincisi ˆσ²kullanılır.

(9)

β

₁

ve β

₂

˙Için Güven Aralı˘gı

σ²bilinmedi ˘gi zaman bunun yerine yansız tahminci ˆσ² a¸sa ˘gıda gösterilen ¸sekilde kullanılır:

Z₁ =

( ˆβ₂− β₂) q

P x_i² σ

Z₂ = (n − 2)ˆσ² σ²

t = Z₁

pZ₂/(n − 2)

=

( ˆβ₂− β₂) q

P x_i² ˆ

σ

Demek ki, normal da ˘gılan Z₁’in ki-kare da ˘gılan Z₂’nin kendi serbestlik derecesine bölümünün kareköküne bölünmesi ile elde edilen t rastsal de ˘gi¸skeni, n − 2 sd ile t da ˘gılımlıdır.

Bu i¸slem β₁için öh( ˆβ₁) =

q

P X_i²/nP x_i²σ olması dı¸sında benzerdir.

(10)

β

₁

ve β

₂

˙Için Güven Aralı˘gı

Normal da ˘gılım yerine t da ˘gılımı kullanıldı ˘gı zaman β₁için güven aralı ˘gı a¸sa ˘gıdaki gibi kurulur:

P(−t_α/2≤ t ≤ t_α/2) = 1 − α P

"

−t_α/2≤ βˆ₁− β₁ öh( ˆβ₁) ≤ t_α/2

#

= 1 − α

Buradaki t_α/2de ˘geri, α/2 anlamlılık düzeyinde ve (n − 2) serbestlik derecesi için t da ˘gılımından bulunan t de ˘geridir.

Bu t_α/2de ˘gerine α/2 anlamlılık düzeyindeki“kritik t de ˘geri”

(critical t value) adı verilir.

Normal da ˘gıldı ˘gı bilinen β₂’nin güven aralı ˘gı da benzer

¸sekilde bulunur.

(11)

β

₁

ve β

₂

˙Için Güven Aralı˘gı

β₁ve β₂’nin %100(1 − α) güven aralıkları kısaca a¸sa ˘gıdaki gibi de gösterilebilir:

βˆ₁± t_α/2öh( ˆβ₁) βˆ₂± t_α/2öh( ˆβ₂)

Her iki durumda da güven aralı ˘gının geni¸sli ˘gi tahmincinin ölçünlü hatası ile do ˘gru orantılıdır.

Zaman zaman β₁ve β₂için bir“birle¸sik güven aralı ˘gı”(joint confidence interval) kurmak gerekli olabilir. Bu durum daha sonraki konularda ele alınacaktır.

(12)

σ

²

˙Için Güven Aralı˘gı

Normallik varsayımı altında (n − 2)^ˆ^σ_σ²₂ ¸seklinde tanımlanan de ˘gi¸skenin n − 2 sd ile ki-kare da ˘gılımlı oldu ˘gunu biliyoruz.

Bu bilgiden yararlanarak σ²’nin güven aralı ˘gını bulabiliriz:

P(χ²_1−α/2≤ χ²≤ χ²_α/2) = 1 − α P

"

(n − 2) σˆ²

χ²_α/2 ≤ σ²≤ (n − 2) σˆ² χ²_1−α/2

#

= 1 − α

Bu güven aralıklarının yorumu ¸sudur: Farklı örneklemler kullanarak σ²ve β’lar için %100(1 − α) güven sınırları bulur ve gerçek de ˘gerlerin bu sınırlar içinde oldu ˘gunu söylersek, her 100 seferde 100(1 − α) kez haklı çıkarız.

(13)

Ders Planı

1 Aralık Tahmini

2 Önsav Sınaması

(14)

Bazı Önemli Noktalar

Önsav sınaması konusu ile ilgili bazı önemli noktalar ¸sunlardır:

Önsav sınaması, verili bir gözlem ya da bulgunun belli bir önsav ile uyu¸sup uyu¸smadı ˘gı sorusu ile ilgilenir.

Buradaki uyu¸smak sözcü ˘gü, önsavdaki de ˘gere bu önsavı reddetmemeyi sa ˘glamaya yetecek derecede yakın olmak anlamındadır.

˙Ileri sürülen önsava H₀ya da“sıfır önsavı”(null hypothesis) denir ve H₁ile gösterilen“alma¸sık önsav”(alternative hypothesis) kar¸sısında sınanır.

Alma¸sık önsav“basit”(simple) ya da“bile¸sik”(composite) olabilir. E ˘ger belli bir de ˘ger öne sürülüyor ise önsav basittir.

Örnek olarak

H₁: β₁=3 basit, H₁: β₁≥ 3 bile¸sik,

H₁: β₁6= 3 ise yine bir bile¸sik önsavdır.

(15)

Güven Aralı ˘gı Yakla¸sımı

Önsav sınamasına birbirini kar¸sılıklı tamamlayıcı iki farklı yakla¸sım vardır.

Bu yakla¸sımlar“güven aralı ˘gı”(confidence interval) ve

“anlamlılık sınaması”(test of significance) yakla¸sımlarıdır.

Güven aralı ˘gı yakla¸sımı için karar kuralı a¸sa ˘gıdaki gibidir:

Güven Aralı ˘gı Karar Kuralı

Sınanacak katsayı için %100(1 − α) güven aralı ˘gı belirlenir.

E ˘ger katsayı bu güven aralı ˘gının içinde ise H₀reddedilmez.

Katsayı e ˘ger güven aralı ˘gının dı¸sında kalıyorsa H₀reddedilir.

(16)

Güven Aralı ˘gı Yakla¸sımı

Örnek olarak, serbestlik derecesi 11 ve ölçünlü hatası 0,1 olan ve ˆβ₂=0,5 olarak tahmin edilen katsayı için ¸sunu ileri sürdü ˘gümüzü dü¸sünelim:

H₀: β₂=0,8 H₁: β₂6= 0,8

Alma¸sık önsava göre β₂0,8’den küçük ya da büyük olabilir.

Dolayısı ile bu“çift kuyruklu”(two tailed) bir sınamadır.

Gözlemlenen ˆβ₂’nın H₀ile uyumlu olup olmadı ˘gını bulmak için β₂’ye ait %95 güven aralı ˘gını olu¸sturalım:

0,28 ≤ β₂≤ 0,72

0,8 de ˘geri, %95 güven aralı ˘gının dı¸sında kalmaktadır.

Buna göre gerçek β₂’nin 0,8 oldu ˘gu önsavını %95 güvenle reddederiz.

(17)

Tek Kuyruklu Güven Aralı ˘gı

Zaman zaman alma¸sık önsavın iki yanlı yerine tek yanlı oldu ˘gu yönünde önsel bilgi ya da kuramsal beklentilerimiz olabilir.

Bu durumda güven aralı ˘gı“tek yanlı”(one sided) ya da“tek kuyruklu”(one tailed) olarak a¸sa ˘gıdaki gibi belirlenir:

β ≥ ˆβ −t_αöh( ˆβ) ya da β ≤ ˆβ +t_αöh( ˆβ) Güven aralı ˘gının tek-kuyruklu mu yoksa çift-kuyruklu mu olu¸sturulaca ˘gı alma¸sık önsavın belirleni¸s biçimine ba ˘glıdır.

(18)

Tek Kuyruklu Güven Aralı ˘gı

Tek kuyruklu sınamaya örnek olarak, serbestlik derecesi 11 ve ölçünlü hatası 0,1 olan ˆβ₂=0,5 için β₂’nin 0,8’den küçük oldu ˘gu kanısında oldu ˘gumuzu varsayalım.

Bu durumda sıfır önsavı ve alma¸sık önsav ¸söyle seçilir:

H₀: β2≥ 0,8 H₁: β₂<0,8

Burada da ˘gılımının sol kuyru ˘gunu göz önüne almaya gerek olmadı ˘gı için 1 − α güven aralı ˘gı (−∞, ˆβ2+t_αöh( ˆβ2)]olur.

Tek kuyruklu %95 güven aralı ˘gı a¸sa ˘gıdaki gibi bulunur:

−∞ ≤ β₂≤ 0,6796

0,8 de ˘geri %95 tek yanlı güven aralı ˘gının dı¸sında oldu ˘guna göre gerçek β₂’nin 0,8’den büyük ya da 0,8’e e¸sit oldu ˘gu sıfır önsavını %95 güvenle reddedebiliriz.

(19)

Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı

Anlamlılık sınaması yakla¸sımı güven aralı ˘gı yakla¸sımını tamamlayıcı ve ona benzer bir süreçtir.

Normallik varsayımı altında

t = β − βˆ öh( ˆβ)

de ˘gi¸skeninin (n − 2) sd ile t da ˘gılımına uydu ˘gunu biliyoruz.

E ˘ger sıfır önsavı altında sınanmak üzere belli bir β^∗ de ˘geri seçilmi¸s ise, yukarıdaki t de ˘geri örneklemden kolayca hesaplanabilir ve bir sınama istatisti ˘gi görevi görebilir.

(20)

Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı

Anlamlılık sınaması yakla¸sımındaki sınama istatisti ˘gi t da ˘gılımlı oldu ˘guna göre ¸su güven aralı ˘gını yazabiliriz:

P

"

−t_α/2≤ β − βˆ ^∗ öh( ˆβ) ≤ t_α/2

#

=1 − α (1)

| ˆβ − β^∗| ≤ t_α/2öh( ˆβ) (2) β^∗ burada H₀altındaki β’dır. t_α/2ise (α/2) anlamlılık düzeyinde ve (n − 2) sd ile t çizelgesinden okunan kritik de ˘gerdir.

(21)

Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı

Anlamlılık sınaması yakla¸sımına bir örnek olarak σ²’yi ele alalım:

χ²= (n − 2)_σ^ˆ^σ2∗²

Yukarıda gösterilen de ˘gi¸skenin (n − 2) serbestlik derecesi ile ki-kare da ˘gılımına uydu ˘gunu biliyoruz.

n = 13 ve ˆσ²=40 verili olsun.

H₀: σ^2∗=50 önsavını sınamak için önce a¸sa ˘gıdaki ki-kare de ˘geri hesaplanır.

χ²= (13 − 2)⁴⁰₅₀ =8,8

11 serbestlik derecesi ile ve anlamlılık düzeyi α = 0,05 için χ²_0,975 =3,82 ve χ²_0,025 =21,92’dir.

Hesaplanan χ²de ˘geri yukarıdaki iki de ˘ger arasında kaldı ˘gı

(22)

Anlamlılık Sınaması Yakla¸sımı

t sınaması karar kuralları a¸sa ˘gıdaki gibi özetlenebilir:

Çizelge:t Anlamlılık Sınaması Karar Kuralları Önsav Türü Sıfır önsavı Alma¸sık önsav H0ret kuralı Çift Kuyruk β = β^∗ β 6= β^∗ |t| > tα/2,sd

Sa ˘g Kuyruk β ≤ β^∗ β > β^∗ t > tα,sd

Sol Kuyruk β ≥ β^∗ β < β^∗ t < −tα,sd

Dikkat:˙Iki de˘gi¸skenli model için sd = (n − 2)’dir.

(23)

Bir Önsavı Reddetmemenin Anlamı

Bir anlamlılık sınamasına dayanarak sıfır önsavının desteklenmesi demek, aslında, örneklem verilerine dayanarak bu önsavı reddedecek bir neden olmadı ˘gı anlamına gelir.

Örnek olarak gerçek β = 0,5 oldu ˘gunu varsayalım.

Verilere dayanarak burada H₀: β =0,4 ve H₀: β =0,5 gibi farklı önsavlar ileri sürmek olasıdır.

Ancak bu önsavlardan hangisinin do ˘gru oldu ˘gu bilinemez.

Bu nedenle, tıpkı bir mahkemenin “suçsuzdur” yerine

“beraat etmi¸stir” demesi gibi “kabul ederiz” yerine

“reddedemeyiz” sonucuna varmalıyız.

(24)

β

₂

= 0 Sıfır Önsavı ve 2t Yöntemi

Görgül çalı¸smalarda H₀: β2=0 önsavı sıklıkla sınanır.

Burada amaç Y ’nin açıklayıcı de ˘gi¸sken X ile ili¸skisi olup olmadı ˘gına karar vermektir.

H₀: β2=0 sıfır önsavını sınamada“2t ba¸sparmak kuralı”

(2t rule of thumb) kullanılabilir:

2t Yöntemi

Serbestlik derecesi 30 ya da daha fazla ise, anlamlılık düzeyi α =0,05 iken bulunan t = ˆβ2/öh( ˆβ2), mutlak de ˘ger olarak e ˘ger 2’den büyükse, β₂=0 sıfır önsavı reddedilir.

Bunun nedeni, sd> 30 oldu ˘gunda, t da ˘gılımındaki alanın yüzde 95’ten büyük bölümünün (−2, 2) de ˘gerleri arasında yer almasıdır. Bu durum t çizelgesinden de görülebilir.

H₀: β₂=0’a kar¸sı β₂<0 ya da β₂>0 tek yanlı sınamaları için ise kullanılacak de ˘ger 2 de ˘gil 1,7’dir.

(25)

Anlamlılık Düzeyinin Seçimi

Uygulamada anlamlılık düzeyi α ço ˘gu zaman %1, %5 ya da en çok %10 olarak seçilmektedir.

Aslında bu de ˘gerlerin yerine ba¸ska herhangi bir de ˘ger de aynı i¸si görebilir.

H₀’ı kabul ya da ret kararı verilirken iki tür hata yapılabilir:

I. Tür Hata: Aslında do ˘gru olan H₀’ı reddetmek.

II. Tür Hata: Aslında yanlı¸s olan H₀’ı reddetmemek.

Örneklem büyüklü ˘gü veriliyken, I. tür hata yapma olasılı ˘gı azaltılmak istenirse II. tür hata yapma olasılı ˘gı artar. E ˘ger II azaltılırsa bu sefer de I artar.

Anlamlılık düzeyi seçimindeki klasik yakla¸sım, uygulamada I. tür hatanın II. türe göre daha ciddi oldu ˘gudur.

Dolayısıyla, α = 0,01 ya da α = 0,05 seçilerek I. tür hata

(26)

Anlamlılı ˘gın Kesin Düzeyi

Önsav sınamasındaki zayıf noktanın α’nın seçimindeki geli¸sigüzellik oldu ˘gunu biliyoruz.“p-de ˘geri”(p-value) kavramı, α de ˘gerini seçme sorununu ortadan kaldırır:

P de ˘geri

P-de ˘geri ya da“olasılık de ˘geri”(probability value), anlamlılı ˘gın gözlenen kesin düzeyi ya da I. tür hata yapma olasılı ˘gının kesin düzeyinin ölçüsüdür.

Di ˘ger bir deyi¸sle p de ˘geri, sıfır önsavının reddedilebilece ˘gi en dü¸sük anlamlılık düzeyini verir.

Belli bir örneklem veriliyken |t| büyüdükçe p de ˘geri azalır ve sıfır önsavı da gittikçe artan bir güvenle reddedilebilir.

Güncel ekonometri yazılımları çe¸sitli sınama istatistiklerine ili¸skin p-de ˘gerlerini de hesaplayıp verebilmektedir.

(27)

˙Istatistikte Anlamlılık ve Uygulamada Anlamlılık

˙Istatistiksel anlamlılık uygulamada anlamlı˘gı gerektirmez. Buna ili¸skin olarak Türkiye milli gelir-tüketim örne ˘gimizi anımsayalım:

Örneklemden elde etti ˘gimiz ˆβ₂de ˘geri 0,59 idi.

βˆ₂için %95 güven aralı ˘gı (0,56, 0,63) olarak hesaplanır.

Buna göre β₂=0,64 sıfır önsavını reddedebiliriz.

Öte yandan, ˆβ₂’yı 0,56 ya da 0,63 almak arasındaki farkın uygulamada önemli olup olmadı ˘gı da dikkate alınmalıdır.

Bu sorunun yanıtı modelden modele de ˘gi¸sir.

Örnek olarak, burada ˆβ₂marjinal tüketim e ˘gilimi MTüE’dir.

˙Iktisat kuramına göre yatırım çarpanı ise 1/(1 − MTüE)’dir.

Buna göre e ˘ger MTüE = 0,56 ise çarpan 2,27 olurken MTüE = 0,63 ise de çarpan 2,70 olacaktır.

Görüldü ˘gü gibi, bu örnekteki fark hem istatistiksel olarak

(28)

Varyans Çözümlemesi Kestirim Sorunu

Ders Planı

1 Aralık Tahmini

2 Önsav Sınaması

(29)

Varyans Çözümlemesi

“Varyans çözümlemesi”(analysis of variance) ya da kısaca

“VARÇÖZ”(ANOVA), istatistiksel çıkarsama sorununa tamamlayıcı ve aydınlatıcı bir yakla¸sım sunar.

A¸sa ˘gıdaki özde¸sli ˘gi anımsayalım:

P y_i²= P ˆy_i² +P ˆu_i² P y_i²= ˆβ₂²P x_i²+P ˆu_i²

TKT = BKT +KKT

VARÇÖZ yakla¸sımının temelinde TKT’nin bu iki parçasının incelenmesi yatar.

(30)

Varyans Çözümlemesi

BKT 1 sd ile ve KKT de iki de ˘gi¸skenli model için (n − 2) sd ile ki-kare da ˘gılımlıdır.

O halde, toplamların kendi sd’lerine bölünmesi ile bulunan

“ortalama kareleri toplamı”(mean sum of squares) ya da kısaca“OKT”(MSS) de ˘gerlerini kullanarak ¸sunu yazabiliriz:

F = BKT’nin OKT’si KKT’nin OKT’si

= ( ˆβ₂²P x_i²)/1 P ˆu_i²/(n − 2)

Yukarıdaki de ˘gi¸sken, hata teriminin normalli ˘gi varsayımı altında pay 1 ve payda (n − 2) sd ile F da ˘gılımına uyar.

(31)

Varyans Çözümlemesi

Tanımladı ˘gımız F oranından nasıl yararlanabilece ˘gimizi görmek için a¸sa ˘gıdaki e¸sitliklere bakalım:

E

( ˆβ₂²P x_i²)/1

= . . . = σ²+ β₂²P x_i² E

P ˆu_i²/(n − 2)

=E (ˆσ²) = σ² β₂ve σ²gerçek anakütle katsayılarıdır.

E ˘ger β₂sıfır ise e¸sitliklerin her ikisi de aynı çıkar.

Demek ki, F oranı bize H₀: β₂=0 sıfır önsavını sınamada kullanılabilecek bir sınama istatisti ˘gi vermektedir.

Dikkat:Bu durum iki de ˘gi¸skenli ba ˘glanım için geçerlidir. F oranının çoklu ba ˘glanımdaki yorumu farklıdır.

(32)

Varyans Çözümlemesi Örnek

Varyans çözümlemesine örnek olarak, Türkiye gelir-tüketim örne ˘gimize dönelim.

F de ˘geri 1213,49 olarak hesaplanmaktadır.

Anlamlılık düzeyi %5 iken, 1 ve 18 sd için kritik F de ˘geri 4,41 olarak verilidir.

Elimizdeki F istatisti ˘gi kritik de ˘gerden büyük oldu ˘gu için, β₂=0 önsavını reddederek Türkiye’de gelirin, özel tüketim harcamaları üzerinde etkili oldu ˘gunu söyleyebiliriz.

Bu noktada, k sd ile t da ˘gılımına uyan de ˘gi¸skenin karesinin de 1 ve k sd ile F da ˘gılımına uydu ˘gunu da anımsayalım.

H₀: β₂=0 altında tahmin edilen t de ˘geri 34,84’tür.

(33)

Varyans Çözümlemesi Örnek

Yuvarlama hatalarını bir yana bırakırsak t²= (34,84)²=F e¸sitli ˘ginin geçerli oldu ˘gunu görüyoruz.

Bu nedenle, iki de ˘gi¸skenli ba ˘glanım için F sınamasına aslında gerek yoktur.

¸

Simdilik F ve t sınamalarının β₂=0 sınamasının iki farklı ve birbirini tamamlayıcı yolu oldu ˘gunu söyleyebiliriz.

F sınamasının önemini ve farklı uygulamalarını çoklu ba ˘glanım konusu içerisinde ele alaca ˘gız.

(34)

Ortalama Kestirimi

Örneklem katsayıları yanında tekil ˆY_i de ˘gerleri için de aralık tahmini ve önsav sınaması yapılabilir.

Örnek olarak, a¸sa ˘gıdaki örneklem ba ˘glanımına bakalım:

Yˆ_i=25 + 2X_i

Katsayı tahminlerine dayanarak E (Y |X₀=100) kestirimini yapmak istedi ˘gimizi varsayalım.

Bu“ortalama kestirimi”(mean prediction) ¸söyle bulunur:

Yˆ₀= ˆβ₁+ ˆβ₂X₀

=25 + 2(100) = 225 Yˆ₀burada E (Y |X₀)tahmincisidir.

(35)

Ortalama Kestirimi

Yˆ₀’nın, bir tahminci olmasından dolayı, kendi gerçek de ˘gerinden farklı çıkması söz konusudur.

Yˆ₀tahmincisinin a¸sa ˘gıda gösterilen ortalama ve varyans ile normal da ˘gılımlı oldu ˘gu kanıtlanabilir:

E ( ˆY₀) = β₁+ β₂X₀ var( ˆY₀) = σ²

"

1

n +(X₀− ¯X )² P x_i²

#

Bilinmeyen σ²yerine yansız tahminci ˆσ²koyuldu ˘gunda ise bulunan de ˘gi¸sken (n − 2) sd ile t da ˘gılımına uyacaktır:

t = Yˆ₀− (β₁+ β2X₀) öh( ˆY₀)

Öyleyse, t da ˘gılımını kullanarak E (Y₀|X₀)güven aralı ˘gını

(36)

Ortalama Kestirimi

E (Y₀|X₀)güven aralı ˘gının tüm X ’ler için hesaplanması ile anakütle ba ˘glanım i¸slevine ili¸skin bir“güven ku¸sa ˘gı”

(confidence band) elde edilebilir.

Bu güven ku¸sa ˘gı X₀= ¯X oldu ˘gunda en dar noktadadır. X₀ de ˘geri ¯X ’den uzakla¸stıkça kemer de geni¸sler.

Dolayısıyla, örneklem ortalaması ¯X ’den uzakla¸sıldıkça örneklem ba ˘glanımının kestirim yetene ˘gi de azalacaktır.

(37)

Ba ˘glanım Bulgularının De ˘gerlendirilmesi

Verilere yakı¸stırılan model sonuçları yorumlanırken a¸sa ˘gıdaki üç ölçüt göz önüne alınmalıdır:

1 Tahmin edilen katsayıların i¸saretlerinin kuramsal ya da önsel bilgilere dayalı beklentilerle uyumlulu ˘gu,

2 Kuramsal ili¸skinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadı ˘gı,

3 Ba ˘glanım modelinin güvenilirli ˘gi ve kuramsal ili¸skiyi açıklayabilme derecesi.

(38)

Ba ˘glanım Bulgularının De ˘gerlendirilmesi

Türkiye gelir-tüketim örne ˘gi için gretl ba ˘glanım çıktısı ¸söyledir:

(39)

Ba ˘glanım Bulgularının De ˘gerlendirilmesi

Ba ˘glanım bulgularını inceledi ˘gimizde ¸sunları görürüz:

Keynesci tüketim kuramı çerçevesinde β₁otonom tüketimi, β₂ise marjinal tüketim e ˘gilimi MTüE’yi göstermektedir.

Sıfır gelir gerçek hayatta gözlenen bir durum olmadı ˘gı için β₁’e otonom tüketim anlamı yüklemekten kaçınılmalıdır.

β₂ise önsel beklentilere uygun ¸sekilde 1’den küçük ve 0,59 olarak tahmin edilmi¸stir. Buna göre, Türkiye’de milli gelir 1 TL arttı ˘gında tüketim de 59 kuru¸s artmaktadır.

t istatistikleri ilgili anakütle de ˘gerinin sıfır oldu ˘gu varsayımı altında bulunmu¸stur. β₂için 34,84 = 0,59335/0,017033’tür.

βˆ₂’ya ait p-de ˘geri de 18 sd ile 34,84 ya da daha yüksek bir t de ˘geri bulma olasılı ˘gını 5,68 × e⁻¹⁸olarak vermektedir.

Demek ki MTüE’nin sıfırdan farklı oldu ˘gunu söyleyebiliriz.

Yakla¸sık 0,98 büyüklü ˘gündeki r²de ˘geri, özel tüketim harcamalarındaki de ˘gi¸simin %98 oranında milli gelirdeki

(40)

Ba ˘glanım Bulgularının De ˘gerlendirilmesi

Ba ˘glanım sonuçlarının güvenilir oldu ˘guna karar verebilmek için modelimizin KNDBM varsayımlarını sa ˘gladı ˘gını da onaylamak zorundayız.

¸

Su an tüm KNDBM’nin varsayımlarını denetleyemesek de u_i hata teriminin normalli ˘gi varsayımına bakabiliriz.

Yazında çe¸sitli normallik sınamaları bulunmaktadır. Biz bunlardan ki-kare“yakı¸smanın iyili ˘gi”(goodness of fit) ve Jarque-Bera normallik sınamalarını ele alaca ˘gız.

Bu sınamaların ikisi de ˆu_i kalıntılarını ve ki-kare olasılık da ˘gılımını temel almaktadır.

(41)

χ

²

Yakı¸smanın ˙Iyili ˘gi Sınaması

χ²yakı¸smanın iyili ˘gi sınamasının adımları ¸söyledir:

1 Ba ˘glanım i¸slevi bulunur ve ˆu_i kalıntıları elde edilir.

2 uˆ_i’nın örneklem ölçünlü sapması hesaplanır.

3 Örneklem büyüklü ˘güne göre bir“kap”(bin) sayısı belirlenir.

Kalıntılar büyüklük sırasına sokulur ve sıfırdan kaç ölçünlü sapma uzaklıkta olduklarına göre bu kaplara bölü¸stürülür.

4 Gözlenen sıklıklar (G_i) ile normal da ˘gılım için beklenen sıklıklar (B_i) arasındaki farkların kareleri alınır, beklenen sıklıklara bölünür ve bunların toplamı hesaplanır:

χ²=

k

X

i=1

(G_i− B_i)² B_i

k = kap sayısı iken, yukarıdaki de ˘gi¸sken (k − 3) (normal da ˘gılıma kar¸sı sınadı ˘gımız için) sd ile χ²da ˘gılımına uyar.

(42)

Jarque-Bera Normallik Sınaması

JB sınaması bir“kavu¸smazsal”(asymptotic) ya da büyük örneklem sınamasıdır. ¸Su ¸sekilde yapılır:

1 Öncelikle SEK kalıntılarının“çarpıklık”(skewness) ve

“basıklık”(kurtosis) ölçüleri bulunur.

2 Daha sonra a¸sa ˘gıdaki istatistik hesaplanır:

JB = n S²

6 +(K − 3)² 24

Burada S çarpıklı ˘gı, K ise basıklı ˘gı göstermektedir.

Jarque ve Bera, 1987 tarihli bir çalı¸smalarında, kalıntıların normal da ˘gıldı ˘gı varsayımı altında JB istatisti ˘ginin büyük örneklemde 2 sd ile χ²da ˘gılımlı oldu ˘gunu göstermi¸slerdir.

3 E ˘ger hesaplanan sınama istatisti ˘gine ait p de ˘geri yüksekse H₀:normallik önsavı reddedilmez.

(43)

Jarque-Bera Normallik Sınaması

Ki-kare sınamasının çekici yanı,“yı ˘gınsal da ˘gılım i¸slevi”

(cumulative distribution function) hesaplanabilen her türlü da ˘gılım için yakı¸smayı sınamak için kullanılabilmesidir.

Sakıncası ise kap sayısının nesnel bir ölçütü olmadı ˘gı için hesaplanan χ²de ˘gerinin farklılık gösterebilmesidir.

SEK yönteminin istatistiksel özelliklerinden dolayı, büyük örneklemlerde normallik sınaması ço ˘gu zaman gerekmez.

Ba ˘glanım ile ilgili olarak normallik sınaması daha çok bir küçük örneklem konusudur.

Di ˘ger yandan, JB kavu¸smazsal bir sınama oldu ˘gu için küçük örneklemlerde ki-kare da ˘gılımından sapmaktadır.

Örnek olarak, n = 70 gibi çok da küçük sayılamayacak örneklemlerde bile bulunan JB p de ˘geri yanıltıcı olabilir.

Bu yüzden Jarque-Bera yerine Doornik-Hansen sınaması

(44)

Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev

Ödev

KitaptanBölüm 5“Two-Variable Regression: Interval Estimation and Hypothesis Testing” okunacak.

Önümüzdeki Ders

˙Iki De˘gi¸skenli Do˘grusal Ba˘glanım Modelinin Uzantıları