ANALİZ 2. = şeklinde tanımlı fonksiyonlardır. 1) ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR 2) LİMİT VE SÜREKLİLİK 3) KISMİ TÜREVLER 4) MAKSİMUM VE MİNİMUMLAR

ANALİZ – 2

KONU ŞEMASI

1) ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR 2) LİMİT VE SÜREKLİLİK

3) KISMİ TÜREVLER 4) MAKSİMUM VE MİNİMUMLAR 5) ÇOK KATLI İNTEGRALLER

Bilgi : Bu dersi 5 bölümde ele alacağız.

1. BÖLÜM

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR

Tanım :

z f x y = ( ) ,

şeklinde tanımlı fonksiyonlardır.

Örnek : ^{f x y}

(

^,

)

^=sin

(

^x2+y2

)

^,

^{z = x y +}

^{, f x y}

⁽

^,

⁾

^=ln

(

^x2+y2

)

^{+ xy} formatındaki fonksiyonlardır.

Şimdi bu fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri nasıl bulunur onu görelim.

( , ) z f x y

→ = fonksiyonunda

,x y

yerine yazılabilecek değerlerin oluşturduğu kümeye Tanım kümesi denir.

( , ) z f x y

→ = fonksiyonunda , fonksiyonun sonucunun alacağı değerlerin oluşturduğu kümeye ise Görüntü kümesi denir.

Bilgi : Tek değişkenlerde geçerli olan tüm kurallar bu kısımda da geçerlidir.

Bilgi : Fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer almazlar.

• POLİNOM FONKSİYONLAR İÇİN ;

3 2

( , ) 2 5 7

f x y = x + y + xy −

polinomu için ;

Tanım Kümesi =R ve Görüntü kümesi =R olur.

• RASYONEL İFADELER İÇİN

( , )

( , )

( , ) h x y f x y

g x y

=

biçiminde ise ;

Tanım Kümesi

= − R Paydayı sıfır yapan değerlerin kümesi { }

ve Görüntü kümesi =R olur.

• KÖKLÜ FONKSİYONLAR İÇİN ;

Derece Tek ise ; ^{2 1n+}

f x y ( , )

için , Tanım Kümesi =R ve Görüntü kümesi =R olur.

Derece Çift ise ; ²ⁿ

f x y ( , )

için , Tanım Kümesi : ( , ) 0f x y ≥ ve Görüntü kümesi

: R

⁺

∪ { } 0

olacaktır.

Örnek :

f x y ( ) , =

⁴

x y +

fonksiyonu için tanım ve görüntü kümesini bulunuz.

Çözüm :

Derece çifttir. Tanım Kümesi : ( , ) 0f x y ≥ yani x y+ ≥0 olur ki şekil çizilir ve bulunur.

Taralı bölge , bizim tanım kümemiz olacaktır.

Bilgi :

z f x y = ( ) ,

fonksiyonunun

z c =

sabit düzlemi ile kesişmesiyle oluşan eğrilere Seviye Eğrileri denir.

Örnek :

f x y ( ) , = x

²

+ y

²

− 4

fonksiyonunun seviye eğrileri nelerdir ? Çözüm :

2 2

4

2 2

4

x + y − = ⇒ c x + y = + c

çember ailesi seviye eğrisi olacaktır.

2. BÖLÜM LİMİT VE SÜREKLİLİK

Çok değişkenli fonksiyonlarda limit konusu için Ardışık Limit kavramını bilmek gerekir.

• Peki Ardışık Limit kavramı nedir ? Nasıl bulunur ? Görelim.

( ) ( )_{x y,}^lim_{→a b,} f x y

(

^,

)

için ;

→

Önce

x

, daha sonra y değişkenine göre limit alınır. ^{lim lim}y b x a

(

f x y

(

^,

) )

L¹

→ → = olsun.

→

Önce y , daha sonra

x

değişkenine göre limit alınır.

^{lim lim}

x a y b_→

(

_→

f x y ( ) ^, ) = L

² olsun.

Bu limitlere ardışık limitler denir.

Örnek : _{( ) ( )x y,}

^lim

_→1,2

( ^x

²

^{+ xy + 1} )

limit değeri için ardışık limitleri bulalım.

Çözüm :

Önce

x

, sonra y değişkenine göre limit alınır. ^{lim lim}_y→₂

(

_x→₁

(

^x2+^xy+¹

) )

=^{lim 1}_y→₂

⁽

+ + = =^{y 1 4}

⁾

^L1 Önce y , sonra

x

değişkenine göre limit alınır.

lim lim

1

(

2

(

²

1 ) ) lim

1

⁽

²

2 1 4 ⁾

²

x y

x xy

x

x x L

→ →

+ + =

→

+ + = =

Ardışık limitler sırasıyla bulunur.

Bilgi : Ardışık limit kavramı bizim limit konumuzun içinde karşımıza çokça çıkacaktır. İyi bilelim

LİMİTİN HESAPLANMASI

Bilgi : 2 parçada limit değeri kolayca hesaplanır Bunun için aşağıdaki tabloyu iyi bilelim

LİMİT HESAPLAMA

( ) ( )_{x y,}^lim_{→a b,} f x y

(

^,

)

• ifadesi verilsin.

Öncelikle , x a y b= , = değerleri fonksiyona yazılır.

1. DURUM 0

• 0 belirsizliği çıkmazsa ;

Bilgi : En kolay limit bulma kısmıdır.

Yerine yazdığımızda çıkan değer limit değeri olacaktır.

Örnek : _{( ) ( ) 2}

,

lim

0,1

3

x y

x y x y

→

 + 

 − − 

 

değeri

kaçtır ? Çözüm :

Verilen değer yerine yazılır.

0, 1 x= y= ise

_{2 2}

0 1 1

3 0 1 3 4

x y x y

+ +

= = −

− − − −

Limit değeri bulunur.

Örnek : _{( ) ( )x y,}

^lim

_→1,2

( ^{x y}

³

^{+ 2 y xy −} )

^değeri

kaçtır ? Çözüm :

1, 2 x= y= için ;

3

2 1.2 2.2 1.2 4 x y + y xy − = + − =

bulunur.

2. DURUM 0

• 0 belirsizliği çıkarsa ;

Bilgi : 3 farklı çözüm yolu vardır. Hangisi uygunsa onu kullanırız.

A) İlk olarak sadeleştirme ya da eşlenik ile çarpma yolu ile belirsizlik yapan terim yok edilir. Daha sonra değer yerine yazılır.

Örnek : _{( ) ( ) 2 2}

,

lim

1, 1 x y

x y x y

→ −

 + 

 − 

 

değeri kaçtır ? Çözüm : Değer yerine yazılırsa , 0

0 ^olur.

Çarpanlara ayrılır.

( )( )

2 2

1

x y x y

x y x y x y x y

+ = + =

− − + −

^olur.

1, 1 x= y= − ise

1 ( ) 1 1

1 1 2

x y = =

− − −

^olur.

Örnek : _{( ) ( )}

,lim1,1 x y

x y x xy

→

 − 

 

 − 

  değeri kaçtır ? Çözüm : 0

0 olur. Payda eşlenik ile çarpılır.

( ) ( )

2

x y x xy x y

x y

x xy x xy

− + −

− = =

− −

( ) (

^{x xy}

)

x x y +

(

−

)

^{= x+x xy}

1, 1

x= y= için , x+ xy 1 1 2+

= = bulunur.

3. BÖLÜM

KISMİ TÜREVLER

Bu kısımda seçilen bir değişkene göre türev alacağız. Diğerleri sabit sayı gibi düşünülecek.

x f

f x

→ = ∂ =

∂

x

değişkenine göre 1. Türevdir. Diğerleri sabit sayı kabul edilerek işlem yapılır.

y

f

f y

→ = ∂ =

∂

^y değişkenine göre 1. Türevdir. Diğerleri sabit sayı kabul edilerek işlem yapılır.

Örnek :

f x y ( ) , = 2 x

²

− 5 xy y +

³ fonksiyonu için ,

f

_x ve f_y bulalım.

Çözüm :

( ²

²

⁵

³

)

_'

^{4 5}

x x e göre

f = x − xy y + ′ = x − y

ve

f

y

= ( ² x

²

− ⁵ xy y +

³

) ′

y ye göre_'

= − + ⁵ x ³ y

² bulunur.

Örnek :

f x y ( ) , = x sin y

fonksiyonu için , ^x

y

f

f

ifadesinin eşitini bulalım.

Çözüm :

( .sin )

_'

sin

x x e göre

f = x y ′ = y

ve

f

_y

= ( x .sin y ) ′

_{y ye göre'}

= x cosy .

olur.

sin 1 tan

x

cos

y

f y y

f = x y x =

bulunur

Örnek :

f x y ( ) , = x

^y

+ y x ln

fonksiyonu için ,

f

_x

( ) 2,1

değeri kaçtır ?

Çözüm :

Öncelikle türev hesaplanır ve değer yerine yazılır. fx

(

x^y y x^ln

)

x e göre_' x^y.ln y y^.1 x

= + ′ = +

2, 1

x= y= ise

( )

2,1 2 .ln1 1.^{1 1}

( )

2,1 ¹

2 2

x x

f = + ⇒ f = bulunur.

Örnek :

f x y z ( ^{, ,} ) = ² x z

²

+ ³ y

²

+ xyz

fonksiyonu için ,

f

_z

( 1,1,1 ) + f

_x

( 1,1,1 )

toplamı kaçtır ?

Çözüm :

Öncelikle kısmi türevler bulunur.

(

^{2 2 3 2}

)

_' ⁴ ₂

x x e göre

f x z y xyz xz yz

xyz

= + + ′ = + ve ^{fz =}

(

^{2x z2 +3y2+ xyz}

)

^′_{z ye göre'} ^=2x2+₂ ^xy_xyz

1, 1, 1

x= y= z= için ,

( 1,1,1 2.1 )

²

^{1.1 5}

2 1.1.1 2

f

z

= + =

bulunur.

( 1,1,1 4.1.1 ) ^{1.1 9}

2 1.1.1 2

f

x

= + =

Sonuç :

(

1,1,1

) (

1,1,1

)

^{5 9} 7

z x 2 2

f + f = + = olarak hesaplanır.

Bilgi : İkinci türev hesaplanırken öncelikle 1. Türev hesaplanır. Daha sonra tekrar istenilen değişkene göre türev alınır.

2

xx 2

f

f x

→ = ∂ =

∂

x

değişkenine göre 2. Türevdir. 1. Türevden sonra tekrar

x e '

türev alınır.

2

yy 2

f

f y

→ = ∂ =

∂

^y değişkenine göre 2. Türevdir. 1. Türevden sonra tekrar y ye' göre türev alınır.

2

xy

f

f y x

→ = ∂ =

∂ ∂

^Önce

x

değişkenine göre 1. türev alınır. Daha sonra , y ye' göre türev alınır.

2

yx

f

f x y

→ = ∂ =

∂ ∂

^{Önce y} değişkenine göre 1. türev alınır. Daha sonra ,

x e '

göre türev alınır.

Örnek :

f x y ( ) , = x

²

+ 3 y

²

− 4 xy + 2

fonksiyonu için ,

f

_xx ve f_yy bulalım.

Çözüm :

Öncelikle 1. Türevler bulunur.

(

²

³

²

^{4 2} )

_'

^{2 4}

x x e göre

f = x + y − xy + ′ = x − y

buradan da

f

_xx

= ( 2 x − 4 y ′ )

_{x e göre'}

= 2

bulunur.

(

²

³

²

^{4 2} )

_'

^{6 4}

y y ye göre

f = x + y − xy + ′ = y − x

buradan da

f

yy

= ( ⁶ y − ⁴ x ′ )

y ye göre_'

= ⁶

bulunur.

YÖNLÜ TÜREV

Tanım :

v f x y z = ( , , )

formatında verilen fonksiyonun bir

u 

vektörü yönündeki

P a b c ( , , )

noktasında aldığı değeri hesaplama konusudur.

→

Bu konumuzda karşımıza Gradiyent diye bir kavram çıkacaktır. Görelim.

Gradiyent

f x y z ( , , )

fonksiyonunda bir vektör belirtir. Ve ∇f ile gösterilir.

• Nasıl Bulunur ?

( , , )

f x y z

ve

P = ( a b c , , )

noktası için

∇ = f ( f f f

x

^{, ,}

y z P a b c

)

_{=( , ,)} formülü ile bulunur.

Örnek :

f x y z ( , , ) = x y yz z

²

− +

² fonksiyonunun

P ( 1,1,2 )

noktasındaki Gradiyentini bulalım.

Çözüm :

Öncelikle kısmi türevler bulunur.

f

_x

= 2 xy

,

f

_y

= x

²

− z

ve

f

_z

= − + y 2 z

olur.

(

x

^{, ,}

y z P a b c

)

_{( , , )}

( ^{2 ,}

²

^{, 2} )

P _(1,1,2)

^{( 2, 1,3 )}

f f f f f xy x z y z f

= =

∇ = = ∇ = − − + ⇒ ∇ = −

olarak bulunur.

• Peki yönlü türev nasıl hesaplanır ? Görelim

( , , )

f x y z

fonksiyon ,

P a b c ( , , )

nokta ve

u

birim vektör olsun.

Yönlü Türev ,

D f P

_u

( )

ile gösterilir.

D f P

_u

( ) = ∇ f u .

formülü ile bulunur.

Öğrenci Dili : Yönlü türev için verilen noktadaki Gradiyent vektörü bulunur. Soruda verilen vektör birim vektör yapılır.

Son olarak bu iki vektörün iç çarpımı yapılır.

Bilgi : Bir

u = ( m n t , , )

vektörü , ₂

m

_{2 2}

,

₂

n

_{2 2}

,

₂

t

_{2 2}

m n t m n t m n t

 

 

+ + + + + +

 

şeklinde birim

vektöre çevrilir.

( 3, 2, 6 )

→ − −

vektörü :

3 , 2 , 6 3 2 6 , ,

7 7 7 49 49 49

− − − −

   

=  

   

 

şeklinde birim vektör olur.

Örnek :

f x y z ( , , ) = xyz + 2 y

²

− 3 x

² fonksiyonunun

u = − ( 1,2,2 )

vektörü yönünde

P ( 2, 1,1 − )

noktasındaki yönlü türevi kaçtır ? Çözüm :

İşlem adımları uygulanır. Öncelikle verilen vektör birim yapılır.

( 1,2,2 )

u = −

vektörü ,

1 , 2 , 2 1 2 2 , , 3 3 3 1 4 4 1 4 4 1 4 4

− −

   

=  

 + + + + + +   

 

birim vektör olur.

Şimdi bu fonksiyonun gradiyentini bulalım. Öncelikle kısmi türevler bulunur.

x

6

f = yz − x

, f_y =xz+4y ve

f

_z

= xy

olur.

(

x

^{, ,}

y z

)

P a b c_{( , , )}

^{( 6 , 4 , )}

P _{( 1,2,2)}

^{( 10,6, 2 )}

f f f f

₌

f yz x xz y xy

_{= −}

f

∇ = = ∇ = − + ⇒ ∇ = −

olarak bulunur.

Bu iki vektörün iç çarpımı bize sonucu verecektir.

Yönlü Türev:

( )

^{. 1 2 2}, , . 10,6, 2

( )

^{10 12 4 2}

3 3 3 3 3 3 3

D f Pu = ∇f u=−  − =− + +− =− hesaplanır.

KISMİ TÜREV İLE TEĞET DÜZLEMİ VE NORMAL DENKLEMİ YAZMA

→

f x y z = ( , , ) 0

fonksiyonu ve

P a b c ( , , )

noktası verilsin.

• Öncelikle ,

f a b c

_x

( , , ) = k

1 ,

f a b c

_y

( , , ) = k

2 ve

f a b c

_z

( , , ) = k

3 değerleri bulunur.

• Teğet Düzlem Denklemi :

k x a k y b k z c

₁

( − + )

₂

( − + )

₃

( − = ) 0

ile bulunur.

• Normal doğrusu ise ,

1 2 3

x a y b z c

k k k

− = − = − şeklinde bulunur.

Örnek :

3 x

²

− 2 yz + 4 z

²

− = 1 0

yüzeyine

P − ( 1, 1,1 )

noktasında teğet olan düzlemin ve normal doğrusunun denklemini bulunuz ?

Çözüm :

İşlem adımları uygulanır. Öncelikle kısmi türevler bulunur.

x

6

f = x

, f_y = −2z ve

f

_z

= − 2 y + 8 z

olur.

P − ( 1, 1,1 )

noktası yerine yazılırsa ,

6 , 2 , 10

x y z

f = f = − f = bulunur.

Teğet Düzlem Denklemi :

6. ( x − + − 1 ) 2. ( y + + 1 10. ) ( z − = 1 0 ) ⇒ 6 x − 2 y + 10 18 0 z − =

bulunur.

Normal Doğrusu : 1 1 1

6 2 10

x− = y+ = z−

− olur.

Örnek : D bölgesi

y x y x = , =

² ile sınırlı bölge olduğuna göre

2

D

∫∫ xydA

integrali kaçtır ?

Çözüm :

Öncelikle verilen eğrileri temsil eden şekil çizilir. Ortak çözüm yaparsak ,

x

²

= ⇒ = x x 0, x = 1

2.adımda bu bölgenin içinde oklar çizilir. Mesela y eksenine paralel oklar çizelim.

3.adımda sınırları belirleyeceğiz. y eksenine paralel çizdiğimiz için , okun başladığı eğri yani y x= ⇒ x Alt Sınır: ve okun sonlandığı eğri yani

y x =

²

⇒ x Üst Sınır

²

:

bulunur.

Son olarak bu taralı bölge içinde

x

‘ in aldığı değerlere bakalım .

En yüksek 1 olur ki x=1 üst sınır ve en az 0 olur ki x=0 Alt sınır bulunur.

Bu değerleri integral içine yazarsak ;

1 2

0

2

^x

2

D x

xydA = xydydx

∫∫ ∫ ∫

olarak yazılır. İşlem yaparsak ;

( )

2 2

2 1

1 1 1 1 6 4

2 5 3 1 1 1

2 2

6 4 6 4 12

x x x

x

x x

xy dydx=  xy dy dx = xy dx⇒ x −x dx= −  = − = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

olur.

Örnek : D bölgesi y=0,y=4x ve

x = 2

ile sınırlı bölge olduğuna göre

( ^{1 2 2} )

D

x y dA

− −

∫∫

integrali kaçtır ? Çözüm :

Öncelikle verilen eğrileri temsil eden şekil çizilir. Ortak çözüm yaparsak ,

4 2 8

y= x⇒ =x için y= bulunur.

2.adımda bu bölgenin içinde oklar çizilir. Bu kez

x

eksenine paralel oklar çizelim.

3.adımda sınırları belirleyeceğiz.

x

eksenine paralel çizdiğimiz için , okun başladığı eğri yani

4 :

4 4

y y

y= x ⇒ x= ⇒ Alt Sınır ve okun sonlandığı eğri yani

x = 2 ⇒ 2 : Üst Sınır

Son olarak bu taralı bölge içinde y ‘ nin aldığı değerlere bakalım .

En yüksek değer 8 olur ki y=8 üst sınır ve en az 0 olur ki y=0 Alt sınır bulunur.

Bu değerleri integral içine yazarsak ;

( )

^{8 2}

( )

0 4

1 2 2 1 2 2

D y

x y dA x y dxdy

− − = − −

∫∫ ∫∫

olarak yazılır. İşlem yaparsak ;

( ) ( ) ( )

8 2 8 2 8 2 2

0 0 0 4

4 4

8 2 2 3 8

1 2 2 1 2 2 2

17 9 17 9

2 2 56

y

y y

x y dxdy x y dx dy x x xy dy

y y dy y y y

 

 

 

− − =  − −  =  − − 

 

 

 

   

⇒ − − +  = − − +  = −

∫∫ ∫ ∫ ∫

∫

sonuç

− 56

bulunur

ÇÖZÜMLER ÇIKMIŞ SORULAR

1) Verilen değer yerine yazılır. x=0,y=0 için

4

₂ ²₂

0 0 xy x y =

+

belirsizliği olur.

Öncelikle ardışık limitler kontrol edilir.

2

2 2 2 1

0 0 0

4 0

lim lim lim 0

y x y

xy L

x y y

→ → →

    

= = =

  +   

  ^ve

2

2 2 2 2

0 0 0

4 0

lim lim lim 0

x y x

xy L

x y x

→ → →

  =  = =

  +   

 

Ardışık limitler eşit olduğu için konu kısmından C yöntemine geçilir. Eğri hesabıdır.

y x= eğrisi yerine yazılırsa ,

0 , 4

₂ ²₂

4

³₂

2 0 2

xy x

x x

x y x

→ == = ⇒

+

bulunur.

Eğri boyunca bulunan sonuç ardışık limite eşit olduğu için limit vardır ve değeri sıfırdır.

2) ²₂

f ( ) ^1,1

²

f ( ) ^0,1 f

xx

( ) ^1,1 f

yx

( ) ^0,1

x x y

∂ ∂

+ = +

∂ ∂ ∂

anlamına gelir.

( ) ,

²

.

^xy x

2 .

^{xy 2 xy}

.

xx

2

^xy

2 . .

^xy

2 .

^{xy 2 xy}

.

²

f x y = x e ⇒ f = x e + x e y ⇒ f = e + x e y + xy e + x e y

bulunur.

( ) 1,1 7

f

xx

= e

bulunur.

( ) ,

²

.

^xy _y ^{2 xy}

.

^{3 xy} _yx

3

^{2 xy 3}

. .

^xy

f x y = x e ⇒ f = x e x x e = ⇒ f = x e + x e y

olur.

( ) 0,1 0

f

yx

=

hesaplanır.

Sonuç :

f

_xx

( ) 1,1 + f

_yx

( ) 0,1 7 0 7 = e + = e

bulunur.

3) Öncelikle bölge çizilir. y=1,y x= ve x=0,x=1 temsil eden bölgeyi çizelim.

Soruda

y

eksenine paralel çizilmiş şekilde verilmiş. Bizde x eksenine paralel oklar çizeceğiz.

Son olarak yeni sınırları belirleyeceğiz. x eksenine paralel çizdiğimiz için , okun başladığı eğri yani

0 0 :

x= ⇒ Alt Sınır ve okun sonlandığı eğri yani

y x = ⇒ y Üst Sınır :

Son olarak bu taralı bölge içinde

y

‘ nin aldığı değerlere bakalım .

En yüksek değer 1 olur ki y=1 üst sınır ve en az 0 olur ki y=0 Alt sınır bulunur.

Bu değerleri integral içine yazarsak ;

( ) ( )

1 1 1

0 0 0

,

^y

,

x

f x y dy dx  f x y dx dy 

 

=  

   

   

∫ ∫ ∫ ∫

integraline dönüşür. ¹

( )

0 0 y ,

f x y dx dy

 

 

 

 

∫ ∫

Sınır değişmiş

yeni denk integral elde edilir.

4) Önce ardışık limitlere bakılır.

2

2 4 4 1

0 0 0

2 0

lim lim lim 0

y x y

x L

x y y

→ → →

     

= = =

   +       

 

^ve

2 2

2 4 2 2

0 0 0

2 2

lim lim lim 2

x y x

x x L

x y x

→ → →

     

= = =

   +       

 

Ardışık limitler eşit olmadığı için limit yoktur.

5)

f ( ^1,2,3 ) f ( ^1,2,3 ) f

x

( ^1,2,3 ) f

y

( ^1,2,3 )

x y

∂ + ∂ = +

∂ ∂

anlamına gelir.

( , , )

_x

f x y z = xy yz + ⇒ f = y

ve f_y = +x z olur.

( 1,2,3 2 )

f

x

=

ve

f

_y

( 1,2,3 1 3 4 ) = + =

bulunur. Sonuç :

f

_x

( 1,2,3 ) + f

_y

( 1,2,3 2 4 6 ) = + =

olur.