T.C.
ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MEROMORF HARMONİK FONKSİYONLAR
Hakan BOSTANCI
Doç. Dr. Metin ÖZTÜRK (Danışman)
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
BURSA-2008
ÖZET
Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak temel tanım ve teoremler verildi. Ayrıca bu bölümde birim diskte analitik olmak üzere
0 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0
( =g =h′ − =
h şeklinde normalize edilmiş, yön koruyan harmonik yalınkat g
h
f = + tipindeki fonksiyonların S sınıfı ve bunun alt sınıflarının temel özellikleri H incelendi.
İkinci bölümde, birim diskin dışında meromorf harmonik fonksiyonların Σ sınıfı ile H ilgili temel özellikler verildi ve Σ sınıfının H ΣH(λ,α) ve ΣH( ba, ) ile adlandırılan iki özel alt sınıfı çalışıldı. Bu sınıflara ait fonksiyonlar için katsayı tahminleri, distorsiyon ve alan teoremleri verildi.
Üçüncü bölümde, orijinde kutup noktası olan meromorf harmonik fonksiyonların )
(α
∗
MHSSC ve MHSS∗(n,α) sınıfları ile 0≤ p<1 olmak üzere p noktasında kutba sahip olan meromorf harmonik fonksiyonların SH( p) sınıfı incelendi.
Anahtar Kelimeler : Meromorf harmonik, yıldızıl, konveks, simetrik
ABSTRACT
This work consists of three chapters. In the first chapter, basic definitions and theorems, which will be used in other chapters are given. Furthermore, the class S of sense H preserving univalent harmonic functions f =h+g normalized by
0 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0
( =g =h′ − =
h , where h and g are analytic on the unit disk, and fundamental properties of its subclasses are examined in this chapter.
In the second chapter, fundamental properties the class Σ of meromorphic harmonic H functions in the exterior unit disc are given, and two special subclasses ΣH(λ,α) and
) , ( ba
ΣH of the class Σ are worked. Coefficient relations, area and distortion theorems H are given for functions in these classes.
In the third chapter, subclasses MHSSC∗ (α) and MHSS∗(n,α) of the class of meromorphic harmonic functions with a pole at the origin, and the calass SH( p) of the class of meromorphic harmonic functions with a pole at the p point for 0≤ p<1 are examined.
Key words : Meromorphic harmonic, starlike, convex, symmetric
İÇİNDEKİLER Sayfa
TEZ ONAY SAYFASI ……….………...ii
ÖZET………...iii
ABSTRACT……….………...iv
İÇİNDEKİLER………...v
SİMGELER DİZİNİ………...vi
GİRİŞ……..………1
1. TEMEL KAVRAMLAR………...3
1.1. Harmonik Fonksiyonlar ………..3
1.2. Harmonik Yalınkat Fonksiyonların SH Sınıfı ………...6
1.3. Konveks Harmonik Fonksiyonlar ………..………...10
1.4. Yıldızıl Harmonik Fonksiyonlar ………...11
1.5. Tipik Reel Fonksiyonlar ………13
2. BİRİM DİSKİN DIŞINDA MEROMORF HARMONİK FONKSİYONLAR…….15
2.1. Temel Kavramlar ………..……...15
2.2. ΣH(λ,α) Sınıfı ………...19
2.3. ΣH( ba, ) Sınıfı ………..………28
3. BİRİM DİSKDE BASİT KUTUP NOKTASINA SAHİP MEROMORF HARMONİK YALINKAT FONKSİYONLAR………34
3.1. Orijinde Basit Kutup Noktasına Sahip Meromorf Harmonik Yalınkat Fonksiyonların MHSSC∗ (α) ve MHSS∗(n,α) Sınıfları ………..….…….34
3.2. Orijin Dışında Basit Kutup Noktası olan Meromorf Harmonik Fonksiyonların )SH( p Sınıfı ………….………56
KAYNAKLAR ………70
ÖZGEÇMİŞ………..………72
TEŞEKKÜR……….73
SİMGELER DİZİNİ
∆ u nun Laplasiyeni u g
f o f ile g fonksiyonlarının bileşkesi C Kompleks düzlem
D Birim disk
Jf f fonksiyonunun Jakobiyeni f f fonksiyonunun eşleniği
D f (| fz |+| fz |)/(| fz |−| fz |)
fz f fonksiyonunun z ye göre kısmi türevi f z f fonksiyonunun z ye göre kısmi türevi
∂ D nin sınırı D }
Re{ f f fonksiyonunun reel kısmı }
arg{ f f fonksiyonunun argümenti }
Im{ f f fonksiyonunun imajiner kısmı D~ Birim diskin dışı
(D)
f D nin f fonksiyonu altındaki resmi F
f ∗ F fonksiyonu ile f fonksiyonunun Hadamard çarpımı f
Fp F nin görüntü bölgesi f nin görüntü bölgesi tarafından kapsanmıştır (Sabordinasyon).
|
| f f fonksiyonunun modülü d f fonksiyonunun çapı (diameter) f
D D nin kapanışı R Reel sayılar kümesi
GİRİŞ
Bu çalışmanın amacı, meromorf harmonik fonksiyonlar sınıfının bazı alt sınıfları için katsayı bağıntıları, distorsiyon ve alan teoremleri elde edip ekstremal (uç) problemleri çözmektir. Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır.
Çalışmanın birinci bölümde, ikinci ve üçüncü bölümlerde sıkça kullanacağımız bazı tanımlar ve sonuçlar verildi. Ayrıca bu bölümde h ve g fonksiyonları birim diskte analitik olmak üzere h(0)=g(0)=h′(0)−1=0 şeklinde normalize edilmiş, yön koruyan harmonik yalınkat f =h+g tipindeki fonksiyonların SH sınıfı ve bunun alt sınıflarının temel özellikleri verildi.
İkinci bölümde, ilk olarak birim diskin dışında meromorf harmonik fonksiyonların ΣH sınıfı ile ilgili temel özellikler verildi. Sonra 0≤λ≤1 ve 0≤α <1 olmak üzere
) ( ) ( )
(z h z g z
f = +
∑
∞=
+ −
=
1 k
k kz a
z
∑
∞=
+ − 1 k
k kz b
biçiminde ve
[
( )| | ( )| |]
1 11 ) 1 (
1
≤
− +
− + +
∑
∞ −= n n
n
b n
a
n n α α
α λ
katsayı bağıntısını sağlayan meromorf harmonik fonksiyonların ΣH(λ,α) sınıfı ve a ve b reel sayıları −1, −1/2, −1/3,K den farklı olmak üzere
n n
a z
a z n
t −
∞
−
= + +
=
∑
1 (1 1)) (
1
ve n
n
b z
b z n
t −
∞
−
= + +
=
∑
1 (1 1)) (
1
biçiminde tanımlı ta(z), )tb(z fonksiyonları ile tipik reel harmonik f fonksiyonunun Hadamard çarpımlarıyla elde edilen
) ( )
(ta ta tb tb f
G H
F = + = ∗ + ∗ +
fonksiyonlarının )ΣH( ba, sınıfı incelendi. Bu sınıflara ait fonksiyonlar için katsayı tahminleri, distorsiyon ve alan teoremleri verildi.
Çalışmamızın üçüncü bölümü iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda,
[
( ) ( )]
2 ) 1
(z f z f z
Tf = − − ve Dnf(z)=Dnh(z)+(−1)nDng(z) operatörleri için α ≥0 olmak üzere
) 0 ( ) ) 1 ( (
) ( ) ) 1 (
Re ( >
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+ +
+
− +
z Tf D D
z f D D
D
o o
α α
α α
eşitsizliğini sağlayan orijinde kutup noktası olan meromorf harmonik fonksiyonların )
(α
∗
MHSSC sınıfı ve
α
⎭>
⎬⎫
⎩⎨
⎧
−
− −+
) ( )
(
) ( Re 2
1
z f D z f D
z f D
n n
n
eşitsizliğini sağlayan meromorf harmonik fonksiyonların MHSS∗(n,α) sınıfı incelendi.
İkinci kısımda ise 0≤ p<1 ve α∈C\{0} olmak üzere D\ p{ } halka bölgesinde
n n n
z p c
z z
h
∑
∞=
− +
=
1
)
( α
ve n n
n
z d z
g
∑
∞=
=
1
) (
veya Dp ={z : 0<|z− p|<1−p} halka bölgesinde
n n
n
p z p a
z z
h( ) ( )
1
−
− +
=
∑
∞=
α ve n n
n
p z b z
g( ) ( )
1
−
=
∑
∞=
biçiminde seri açılımına sahip h(z) ve g(z) fonksiyonları için
|
| log )
( ) ( )
(z h z g z A z p
f = + + −
biçimindeki p noktasında kutba sahip ve =∞
→ ( )
lim f z
p
z özelliğindeki meromorf harmonik fonksiyonların SH( p) sınıfı incelendi.
1. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, reel ve sanal kısımları eşlenik olmak zorunda olmayan kompleks değerli harmonik yalınkat fonksiyonların bazı sınıfları hakkında genel bilgiler verildi.
Bu fonksiyonlar analitik olmadığından, analitik yalınkat fonksiyonlarda olmayan bazı zorluklarla karşılaşmak kaçınılmaz olmaktadır. Konform dönüşümlerin bir genellemesi olan bu fonksiyonlarla ilgili ilk çalışma James Clunie ve Terry Sheil-Small (1984) tarafından yapılmıştır. Konuyla ilgili makalelerinde, bu dönüşümlerin bazı sınıflarında tahminlerin kesin biçimlerini büyük oranda belirleyememiş olmalarına rağmen, daha genel sınıfta katsayı tahminlerini, distorsiyon teoremlerini ve örtme teoremlerinin benzerlerini elde ettiler. Adı geçen bu çalışmada bazı geometrik özellikteki harmonik dönüşümler için oldukça güzel tahminler ortaya çıkardılar. Yapılan bu ilk çalışma, bu alanda çalışan bir kısım matematikçilerin dikkatini çekti ve böylece harmonik yalınkat dönüşümler yeni ve aktif araştırma alanı kazanmış oldu.
1.1. Harmonik Fonksiyonlar
Bir D bölgesinde tanımlı reel değerli )u( yx, veya u(z) fonksiyonu D de ikinci mertebeden sürekli kısmi türevlere sahip ve Laplace denklemi denilen
2 0
2 2
2 =
∂ + ∂
∂
= ∂
∆ y
u x
u u
denklemini sağlıyorsa u fonksiyonuna D de reel harmonik fonksiyon denir. Eğer, )
, (x y u
u= ve v=v(x,y) fonksiyonları xy-düzleminde bir D bölgesini uv-düzleminde bir B bölgesine bire bir ve harmonik olarak dönüştürüyorsa, f(z)= u(z)+iv(z) fonksiyonuna D de harmonik yalınkat fonksiyon denir. Buna göre, kompleks değerli harmonik yalınkat bir fonksiyon, reel ve imajiner kısımları reel harmonik olan ve bir bölgeyi bire bir harmonik olarak dönüştüren bir fonksiyondur. Bu fonksiyonlar analitik olmak zorunda olmadığından analitik yalınkat fonksiyonlar için geçerli olan bazı özellikler harmonik yalınkat fonksiyonlar için geçerli değildir. Örneğin analitik fonksiyonlar bileşke altında korunmasına rağmen, harmonik fonksiyonlar korunmaz.
Yani, f harmonik ϕ analitik fonksiyonu için f oϕ harmonik olmasına rağmen, ϕo f fonksiyonunun harmonik olması gerekmez. Analitik fonksiyonların sınıfı bir cebir
oluşturmasına rağmen, harmonik fonksiyonların sınıfı oluşturmaz. Ayrıca bir harmonik yalınkat dönüşümün tersi de harmonik olmak zorunda değildir. Üstelik harmonik dönüşümlerin sınır davranışları konform dönüşüm denilen analitik yalınkat fonksiyonlardan çok daha karmaşıktır. Bununla birlikte, konform dönüşümlerin bilinen teorisi bir şekilde harmonik dönüşümlere taşınabilir (Duren 2004).
C kompleks düzleminde basit bağlantılı her hangi bir bölgede harmonik yalınkat dönüşümleri çalışmak yerine, birim diskte çalışmak genelliği bozmaz. Çünkü f , basit bağlantılı bir D⊂C bölgesinden G bölgesi üzerine harmonik yalınkat bir dönüşüm ve ϕ de D ={z:|z|<1} açık birim diskini D bölgesi üzerine konform olarak resmeden bir dönüşümü ise F = f oϕ, D diskini G üzerine resmeden harmonik yalınkat bir dönüşüm olur. Bu durumda esas dönüşüm ise f = Foϕ−1 biçimindedir.
En basit harmonik yalınkat dönüşüm örneği konform olması gerekmeyen z
z z
f( )=α +γ +β , |α|≠|β| biçimindeki afin dönüşümledir. Bu dönüşümler kompleks düzlemden kendisi üzerine harmonik dönüşümler dönüşümlerdir.
Bir afin dönüşüm ile bir harmonik yalınkat dönüşümün bileşkesi olan f
f γ β
α + + dönüşümü yine bir harmonik yalınkat dönüşümdür. Diğer bir örnek;
2 12
)
(z z z
f = + dönüşümüdür. Bu dönüşüm D birim diskinde yalınkat ve harmonik olup, D diskini |w|= 23 çemberi ile çevrelenmiş bir eğrisel üçgen içine resmeder.
Benzer şekilde n≥2 için f(z)= z+ n1 zn fonksiyonu da harmonik yalınkat olup, bu dönüşüm altında açık birim diskin görüntüsü, |w|=(n+1)/n çemberi içinde kalan n+1 köşeli eğrisel bir çokgendir (Duren 2004).
f =u+iv fonksiyonunun Jakobiyeni
x y y x y y
x x
f u v u v
v u
v z u
J ( )= = −
biçiminde tanımlanır. Eğer f fonksiyonu analitik ise Jf(z)=| f′(z)|2 dir. Analitik bir f fonksiyonunun bir z noktasında yerel olarak yalınkat olması için gerek ve yeter şart
0 ) (z ≠
Jf olmasıdır (Clunie ve Sheil-Small 1984). Hans Lewy 1936 da bu sonucun harmonik yalınkat dönüşümler için de geçerli olduğunu gösterdi. Bir D bölgesinde harmonik yalınkat bir f fonksiyonu için Jf(z)>0 ise f ye yön koruyan, 0Jf(z)<
ise f ye yönü ters çeviren denir. Eğer f yön koruyan ise f eşlenik fonksiyonu yönü ters çevirendir.
f =u+iv fonksiyonunun Jakobiyeni Jf =| fz|2 −| fz |2 biçiminde de ifade edilebilir. Sonuç olarak, | fz(z)|>| fz(z)| olduğu yerlerde f fonksiyonu yerel olarak yalınkat ve yön koruyan, | fz(z)|<| fz(z)| olduğu yerlerde f yönü ters çeviren bir fonksiyondur. Eğer f fonksiyonu yön koruyan ise
|
| )
|
|
|
| (
|
|
|
| )
|
|
|
|
( fz − fz dz ≤ dw ≤ fz + fz dz
eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğin geometrik bir yorumu; f fonksiyonu sonsuz küçük bir çemberi, büyük ve küçük eksenleri oranı
|
|
|
|
|
|
|
|
z z
z z
f f f
f D f
−
= +
olan sonsuz küçük bir elips üzerine resmeder biçimindedir. Df =Df(z), 1≤Df(z)<∞, oranına f fonksiyonunun z noktasındaki genleşmesi (dilatation) denir. K, 1≤ K <∞ özelliğinde sabit bir sayı olmak üzere verilen bir bölgede |Df(z)|≤K ise yön koruyan bir f homeomorfizmine kuasikonform veya K-kuasikonform dönüşüm denir. Buna göre 1-kuasikonform dönüşümler konform dönüşümlerdir. µf = f /z fz oranına f fonksiyonunun kompleks genleşmesi denir. Eğer f yön koruyan bir dönüşüm ise
1
|
|
0≤ µf < olduğu açıktır. Ayrıca |Df(z)|≤K olması için gerek ve yeter şart )
1 /(
) 1 (
| ) (
|µf z ≤ K− K+ olmasıdır. Yani yön koruyan bir homeomorfizmin kuasikonform olması için gerek ve yeter şart verilen bir bölgede onun kompleks genleşmesinin 1|µf(z)|≤ K < olmasıdır. Harmonik fonksiyonlar teorisinde νf = f /z fz oranına ikinci kompleks genleşme denir ve µf kompleks genleşmesinden daha fazla kullanılır. ||νf |=|µf olduğundan f fonksiyonunun kuasikonform olması için gerek ve yeter şart 1|νf |≤ K < olmasıdır.
Teorem 1.1.1. f bir D⊂C bölgesinde yerel olarak yalınkat ve yön koruyan olsun. Bu takdirde f fonksiyonunun harmonik olması için gerek ve yeter şart ω=νf = f /z fz fonksiyonunun D de analitik olmasıdır.
İspat. f fonksiyonunun D de yerel olarak yalınkat ve Jf(z)>0 olduğunu kabul edelim. fz =ω fz eşitliğinin z ye göre türevi ve (f)z = fz eşitliği dikkate alınırsa
fzz = fzzω+ fzωz (1.1) elde edilir. f harmonik olduğundan fzz =41∆ f =0 olup (1.1) bağıntısı gereği D de
=0
ωz elde edilir. Bu da ω fonksiyonunun D de analitik olduğunu gösterir.
Tersine eğer ω , D de analitik ise ωz =0 olup (1.1) eşitliğinden fzz = fzzω olur. f fonksiyonu D de yerel olarak yalınkat ve Jf(z)>0 olduğundan, her z∈ için D
1
| ) (
|ω z < dir. O halde fzz = fzzω eşitliği ancak fzz =0 olması durumunda sağlanır.
Bu ise f fonksiyonunun D de harmonik olduğu gösterir. ■
Bu teorem özellikle yön koruyan f harmonik yalınkat dönüşümün ikinci kompleks genleşmesi olan ω= f /z fz fonksiyonunun analitik ve modülünün 1 den daha küçük olduğunu gösterir. Bu yüzden ω = f /z fz fonksiyonuna f fonksiyonunun analitik genleşmesi veya kısaca genleşmesi de denilir. Ayrıca, “ω ≡0 olması için gerek ve yeter şart f fonksiyonunun analitik olmasıdır” önermesinin doğruluğu açıktır.
1.2. Harmonik Yalınkat Fonksiyonların S Sınıfı H
Bu kısımda yalınkat analitik fonksiyonların genellemesi olarak harmonik yalınkat fonksiyonların sınıfı ve bu sınıfa ait bazı önemli özelliklerden bahsedildi.
D birim diskinde analitik h ve g fonksiyonları için D de harmonik bir f fonksiyonu
g h
f = + , g(0)=0
biçiminde yazılabilir ve buna f fonksiyonunun standart gösterimi denir (Clunie ve Sheil-Small 1984). Üstelik böyle bir yazılım tektir. Gerçekten; f harmonik fonksiyon iken fz fonksiyonunun analitik olduğu göz önüne alınırsa, D diskinde analitik bir h fonksiyonu için h′= fz dir. g= f −h denirse, h fonksiyonunun tanımı gereği D diskinde
=0
−
= z z
z f h
g
olur. Bu ise g fonksiyonunun D de analitik olduğunu gösterir. Bu temsilin tekliği hem analitik hem de anti-analitik yani bir analitik fonksiyonun eşleniği, fonksiyonunun sabit olması gerçeğine bağlı olmak zorundadır. Eğer f reel değerli ise temsil
) 2 ( Re h h
h
f = + = eşitliğine indirgenir ve teklik bir imajiner sabit farkıyla ortaya çıkar.
D diskinde h ve g analitik fonksiyonlarının seri açılımları
∑
∞=
=
0
) (
n n nz a z
h ve
∑
∞=
=
1
) (
n n nz b z
g
olmak üzere D de yön koruyan f =h+g harmonik yalınkat fonksiyonu için
| ) ( '
|
| ) ( '
|g z < h z dir. Bu durum h'(z)≠0 olduğunu gösterir. Bu yüzden h(0)=0 ve 1
) 0 (
' =
h almak genelliği bozmayacaktır. Böylece D diskinde )
( ) ( )
(z h z g z
f = +
∑ ∑
∞=
∞
=
+ +
=
1
2 n
n n n
n
nz b z
a
z (1.2)
özelliğinde yön koruyan harmonik yalınkat dönüşümlerinin SH sınıfı oluşturulmuş olur. Buna göre SH sınıfının, analitik yalınkat fonksiyonların bilinen S sınıfını kapsadığı açıktır. f =h+g∈SH fonksiyonunun analitik kısmı olan h fonksiyonu yerel olarak yalınkat olmasına rağmen D diskinde yalınkat olması gerekli değildir. S H
normal bir ailedir. Yani S sınıfındaki her fonksiyon dizisi D diskinde yerel olarak H düzgün yakınsak bir alt diziye sahiptir. Diğer yandan, S sınıfına ait bir fonksiyon H dizisinin limit fonksiyonu harmonik olmasına rağmen yalınkat olmak zorunda olmadığından S kompakt değildir. Gerçekten H
n z z n z fn
) 1
( = + +
biçiminde tanımlanan fn ∈SH afin dönüşümlerin bir dizisini göz önüne alalım.
iy x
z= + için fn(z)→ f(z)=2x yakınsaması D diskinde düzgündür ancak limit fonksiyonu yalınkat değildir.
Her bir f ∈SH fonksiyonu için |b1|< a| 1|=1 olduğundan
1 2 1
|
| ) 1
( b
w b w w
−
= −
ϕ (1.3) fonksiyonu yön koruyan bir afin dönüşümdür. Böylece
0 0
0 f h g
f = oϕ = + fonksiyonu
0 ) 0 ( ) 0
( 0
0 = g =
h , h'(0)=1 ve g'(0)=0
özelliğinde yön koruyan harmonik yalınkat bir dönüşümdür. Bu yüzden f0∈SH fonksiyonu ek olarak g'(0)=0 özelliğine de sahiptir. g'(0)=0 özelliğindeki bütün
SH
f ∈ fonksiyonlarının sınıfı S ile gösterilir. H0
Eğer f =h+g∈SH0 ise bu takdirde g'(0)=0 ve |g'(z)/h'(z)|<1 olup Schwarz lemması gereği ||g'(z)|≤|z ||h'(z) olduğu açıktır. Buna göre f ∈SH0 ise ω = f /z fz genleşmesi için |ω(z)|≤|z| olduğu görülür.
Eğer f ∈SH fonksiyonunu f0∈SH0 fonksiyonuna taşıyan f → f0 =ϕo f dönüşümünün tersi alınırsa f = f0 +b1f0 elde edilir. Böylece |b1|<1 özelliğindeki belli bir g'(0)=b1 sayısı için SH sınıfı ile S sınıfı arasında bire-bir bir bağıntı H0 kurulmuş olur. Bu durum SH sınıfında çözümü güç olan bir çok problemin S H0 sınıfında çözünü yapılarak tekrar SH sınıfına taşımasını sağlar. Aşağıdaki Clunie ve Sheil-Small’a (1984) ait sonuçlar bununla ilgili olup ekstremal problemlerin çalışmasında önemli bir yere sahiptirler.
Teorem 1.2.1. S sınıfı normaldir. H SH0 sınıfı normal ve kompakttır.
Teorem 1.2.2. f =h+g∈SH0 fonksiyonları için |b2|≤ 21 dir.
Henüz SH0 sınıfı dolayısıyla da S sınıfı için genel katsayı bağıntıları ispat H edilememiştir. Ancak Clunie ve Sheil-Small (1984), f =h+g∈SH0 fonksiyonları için katsayı tahminlerinin
) 1 )(
1 2 6(
| 1
|an ≤ n+ n+ , (2 1)( 1) 6
| 1
|bn ≤ n− n− ve ||an|−|bn||≤n (1.4) olduğunu ifade etmişlerdir. Bu tahminlerine
3 3 61 2 21
) 1 ) (
( z
z z z z
h −
+
= − ve 3
3 61 2 12
) 1 ) (
( z
z z z
g −
= +
olmak üzere harmonik Koebe fonksiyonu denilen K =h+g fonksiyonundan hareketle ulaşmışlardır. Gerçekten (1.4) bağıntısı için eşitlik harmonik Koebe fonksiyonu için sağlanır. k(z)= z/(1−z)2 analitik Koebe fonksiyonu için
} Re{
2 }
Re{
2 g k g
g h g h
K = + = − + = +
veya
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ + −
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
−
= +31 33 2
) 1 Im ( )
1 Re ( )
( z
i z z
z z z
K (1.5)
olarak yazılabileceğinden, K∈SH0 fonksiyonu birim diski reel eksenden (−∞,−61] çıkarılmış kompleks düzlem üzerine bire bir ve harmonik olarak resmeder. Koebe fonksiyonunun analitik yalınkat fonksiyonların S sınıfında oynadığı rolü Harmonik Koebe fonksiyonu S sınıfında oynar. H0
0 0 SH
f ∈ ve |b1|<1 olmak üzere her bir f =h+g∈SH fonksiyonu
0 1 0 b f f
f = + biçiminde yazılabileceğinden (1.4) bağıntısı gereği f ∈SH fonksiyonları için katsayı bağıntılarının
) 1 2 3(
| 1
|an < n2+ ve (2 1) 3
| 1
|bn < n2+ (1.6)
olduğu görülür. Ayrıca (1.4) ve (1.6) bağıntılarından S sınıfında H0 |a2 |≤25, S H sınıfında ise |a2 |<3 tahminleri elde edilebilir.
1.3. Konveks Harmonik Fonksiyonlar
Bu kısımda, birim diskin konveks bölgeler üzerine harmonik yalınkat dönüşümlerin genel özellikleri verildi. Özellikle, bu dönüşümlerin yapısal özelliği ile ilgili Rado- Kreser-Choquet teoremi ve katsayı eşitsizlikleri üzerinde duruldu.
Teorem 1.3.1 (Rado-Kneser-Choquet). Ω⊂C, Γ Jordon eğrisi tarafından sınırlanmış konveks bir bölge ve ϕ de ∂D den Γ üzerine bir homeomorfizm olsun. Bu takdirde
∫
−−= π ϕ
π
2
0
2 2
)
| (
|
|
| 1 2 ) 1
( e dt
z e z z
f it it , (1.7)
fonksiyonu D diskinden Ω üzerine bir konveks harmonik yalınkat dönüşümdür (Duren 2004).
Özel olarak, θ =θ(t), θ(2π)−θ(0)=2π özelliğinde ][0,2π aralığında azalmayan sürekli bir fonksiyon ise D diskinden yine kendi üzerine yön koruyan harmonik bir dönüşüm
∫
−−= π θ
π
2
0
) ( 2 2
|
|
|
| 1 2 ) 1
( e dt
z e z z
f it i t (1.8)
biçimindedir. Tersine (1.8) tipindeki her bir fonksiyon D kapanışında sürekli ve bir
)
) (
(eit ei t
f = θ sınır fonksiyonuna sahiptir.
Konveks konform dönüşümlerle ilgili bazı sonuçlar konveks harmonik yalınkat dönüşümlere genişletilebilir. (1.2) bağıntısını sağlayan birim diskin konveks bölgeler üzerine bütün yön koruyan f = h+ g harmonik yalınkat dönüşümlerin sınıfı CH ile gösterilir. Konveksliği ve yönü koruyan (1.3) afin dönüşümü ile f = h+ g∈CH fonksiyonunun bileşkesi olan ϕo f fonksiyonu da konveks olup bu fonksiyonların sınıfı
0
CH ile gösterilir. Böylece, f ∈CH isef0 =(f −b1 f)/(1−|b1|2)∈CH0 ve f0∈CH0 ise
0 1
0 b f
f
f = + ∈CH olur.
Clunie ve Sheil-Small’a (1984) ait olan aşağıdaki teoremleri verelim.
Teorem 1.3.2. Her bir f ∈CH0 fonksiyonunun f(D) görüntü kümesi tüm |w|<12 diskini bulundurur.
İspat. Hipotez gereği f(D) konvekstir. Eğer w∉ f(D) ise uygun bir rotasyonla her z D için ∈ Re{eiθ[f(z)− w]}>0yapılabilir. f = h+ g fonksiyonu için
⋅⋅
⋅ + + +
= +
−
= [ ( ) ] − ( ) 0 1 2 2
)
(z eiθ h z w e iθg z c cz c z ϕ
denirse Re{ϕ(z)}>0 olur. Buna göre c0 =−eiθw ve c1 =eiθ dır. Böylece reel kısmı pozitif analitik fonksiyonlar için geçerli olan katsayı bağıntısından
|
| 2
|
| 2
|
| 2
|
|
|
|
1= eiθ = c1 ≤ c0 = −eiθw = w veya |w|≥21 elde edilir. ■
Teorem 1.3.3. f = h+ g ∈CH ise bu takdirde her z D∈ için 0 )}
))(
( )
(
Re{(eiαh′ z +e−iαg′ z eiβ −e−iβz2 >
olacak şekilde α ve β açıları vardır.
Bu teoremin bir sonucu olarak aşağıdaki teorem verilebilir.
Teorem 1.3.4. f ∈CH0 ise f fonksiyonunun katsayıları n=2,3,... için
2
| 1
| +
≤n an ,
2
| 1
| −
≤ n
bn ve ||an |−|bn ||≤1 eşitsizliklerini sağlar. Eşitlik
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ + −
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
= − 2
) 1 Im ( Re 1
)
( z
i z z z z
L (1.9)
fonksiyonu için geçerlidir. Bu fonksiyon birim diski Re{w}>−21 yarı düzlemin tamamı üzerine yön koruyan harmonik yalınkat olarak dönüştürür.
1.4. Yıldızıl Harmonik Fonksiyonlar
Birim diskin f ∈SH fonksiyonu altında görüntüsü orijine göre yıldızıl bir bölge ise f fonksiyonuna yıldızıl harmonik yalınkat fonksiyon denir. Bunun anlamı f(D)
görüntü kümesinin tamamı orijinden görünmesidir. Bir başka değişle, )w0 = f(z0 noktası f fonksiyonunun görüntü kümesine ait ise orijin ile w noktasını birleştiren 0 doğru parçası da görüntü kümesine aittir. Orijine göre yıldızıl bir bölgenin sınır eğrisine yıldızıl eğri denir. Eğer f birim çemberi yıldızıl bir eğriye dönüştürüyor ise bu takdirde
)}
(
arg{f eiθ fonksiyonu θ fonksiyonunun azalmayan fonksiyonu yani 0
)}
(
arg{ θ ≥
θ
ei
d f
d
dır. Bu kısımda, yıldızıl olan f ∈SH0 dönüşümlerinin genel özellikleri ile S sınıfı için H0 tahmin edilen fakat henüz ispatlanamayan (1.4) bağıntılarının yıldızıl fonksiyonlar için ispatlandığı gösterildi.
Teorem 1.4.1. Her bir yıldızıl f ∈SH0 fonksiyonu (1.4) eşitsizliklerini sağlar. Eşitlik )
(z
K harmonik Koebe fonksiyonu için geçerlidir. Ayrıca her bir yıldızıl f ∈SH fonksiyonu (1.6) bağıntısını sağlar (Clunie ve Sheil-Small 1984).
Sonuç 1.4.2. Her bir yıldızıl f ∈SH0 fonksiyonu için
3 3
) 1 ( 3 3
| 1 ) (
| r
r z r
f −
≤ + , |z|= r<1
eşitsizliği sağlanır. Eşitlik harmonik Koebe fonksiyonu için geçerlidir.
Gerçekten, Teorem 1.4.1 gereği
3 3
1 2
1 1
1 1
) 1 ( 3 3 ) 1 1 2 3 ( 1
) 1 )(
1 2 6 ( ) 1 1 )(
1 2 6 ( 1
|
|
|
|
| ) (
|
r r r r
n
r n n r
n n
r b r
a z
f
n n
n n
n n
n n
n n
n n
−
= + +
=
−
− +
+ +
≤
+
≤
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
elde edilir.
Aşağıdaki teorem analitik yalınkat fonksiyonlar için geçerli olan Alexander teoreminin harmonik yalınkat fonksiyonlara kısmi bir genellemesidir.
Teorem 1.4.3. f =h+g∈SH yıldızıl bir fonksiyon, H ve G )
( ) (z h z H
z ′ = , zG′(z)=−g(z) ve H(0)= G(0)=0
özelliğinde analitik fonksiyonlar ise bu takdirde F =H +G , CH sınıfına ait konveks bir fonksiyondur (Duren 2004).
Bu teoremin tersi genelde harmonik yalınkat fonksiyonlar için doğru değildir. Yani G
H
F = + , CH sınıfına ait konveks bir fonksiyon iken h(z)=zH′(z) ve )
( )
(z zG z
g =− ′ olmak üzere f =h+g fonksiyonu yıldızıl olmak zorunda değildir.
Örneğin, (1.9) da verilen L fonksiyonu için L=H +G alındığında elde edilecek olan g
h
f = + fonksiyonu yalınkat değildir.
1.5. Tipik Reel Fonksiyonlar
Birim diskte kompleks değerli harmonik bir f fonksiyonu için ancak ve ancak z reel iken f(z) reel ise f fonksiyonuna tipik reel fonksiyon denir. 0h(0)= g(0)= ,
1
| ) 0 ( '
|h = ve 0< r<1 için f(r)>0 özelliklerindeki bütün yön koruyan tipik reel harmonik f =h+g fonksiyonların sınıfı TH ile gösterilir. TH sınıfının 0g'(0)= özelliğindeki alt sınıfı T ile gösterilir. Burada H0 h'(0)=1 olması gerekmediği gibi tipik reel harmonik bir fonksiyonun yalınkat olması da gerekli değildir. Ancak, her bir reel katsayılı f ∈SH fonksiyonu tipik reeldir ve TH sınıfına aittir. Gerçekten, f =h+g fonksiyonunun bütün a ve n b katsayıları reel ise bu takdirde her n z D için ∈
) ( ) ( ) ( )
(z h z g z f z
f = + = dir. Öte yandan, f(z) fonksiyonunun reel olması için gerek ve yeter şart f(z)= f(z) olmasıdır. Böylece, f(z) reel iken f(z)= f(z) elde edilir.
Eğer f yalınkat ise bu durum z = için geçerli olabilir. Bunun anlamı z f(z) ancak z reel olduğunda reeldir. Böylece f ∈TH dır.
Eğer f =h+g∈TH ise bu takdirde Im{z}>0 için Im{f(z)}>0 ve Im{z}<0 için 0Im{f(z)}< dır.
)}
( ) ( Im{
} ) ( ) ( Im{
)}
(
Im{f z = h z +g z = h z −g z
olduğundan, f fonksiyonunun tipik reel olması için gerek ve yeter şart ϕ =h−g analitik fonksiyonunun tipik reel olması gerektiği açıktır. Bir analitik tipik reel fonksiyonu reel katsayılara sahip olduğundan her bir f ∈TH fonksiyonu için an − bn (n=1,2,...) reeldir. a1− reel ve b1 |b1|<|a1|=1 olduğundan
) ( )
| (
| 1
) ( ) ) (
( 2 0 0
1 1 1
0 h z g z
b z f b z f z a
f = +
−
= − (1.10)
yön koruyan tipik reel harmonik bir fonksiyondur ve f0(0)=0, 1h0′(0)= ve g0′(0)=0 özelliklerini sağlar. Böylece, f0∈TH0 dır. Tersine (1.10) bağıntısından
) ( )
( )
(z a1f0 z b1 f0 z
f = + (1.11)
olarak verilebilir. Ayrıca, f0∈TH0 fonksiyonu için f fonksiyonu (1.10) biçiminde ve a1 ve b1, |b1|<|a1|=1, a1+ b1 >0 özelliğinde herhangi iki sabit ise f ∈TH olduğu açıktır.
Aşağıdaki teorem tipik reel fonksiyonların katsayı bağıntıları ile ilgilidir.
Teorem 1.5.1. Eğer f =h+g∈TH0 ise bu takdirde a1 =1 ve n=2,3,... için (1.4) ve TH
f ∈ ise (1.6) eşitsizlikleri sağlanır. Eşitlik harmonik Koebe fonksiyonu için geçerlidir (Clunie ve Small 1984).
2. BİRİM DİSKİN DIŞINDA MEROMORF HARMONİK FONKSİYONLAR
Bu bölümde, öncelikle birim diskin dışında tanımlı yön koruyan meromorf harmonik yalınkat fonksiyonların sınıfları ile ilgili yapılan çalışmalar, temel kavramlar başlığı altında verildi. Daha sonra birim diskin dışında meromorf harmonik yalınkat fonksiyonların iki sınıfı tanımlanarak ve bu sınıflara ait fonksiyonlar için katsayı bağıntıları, distorsiyon teoremleri ile bazı sonuçlar elde edildi.
2.1. Temel Kavramlar
Bu kısımda birim diskin dışı olan D~={z:|z|>1} bölgesinde tanımlı yön koruyan meromorf harmonik yalınkat fonksiyonların sınıfı ve alt sınıfları hakkında genel bilgiler verildi. Bu fonksiyon sınıfları ilk olarak Hengartner ve Schober (1987) tarafından çalışılmış olup, çeşitli yazarlar tarafından değişik alt sınıfları incelenmiştir. Aşağıda, gelecek bölümlerde kullanılacak olan bu çalışmalarda elde edilen bazı sonuçlar verildi.
Önce Hengartner ve Schober’e (1987) ait birim diskin dışında yön koruyan meromorf harmonik yalınkat fonksiyonların yapısını verelim.
Teorem 2.1.1. f , D~ da kompleks değerli yön koruyan harmonik yalınkat ve
∞
=
=
∞) lim→∞ ( )
( f z
f z özelliğinde bir fonksiyon olsun. Bu takdirde, f fonksiyonu
|
| log )
( ) ( )
(z h z g z A z
f = + + (2.1)
biçiminde yazılabilir. Burada
∑
∞=
+ −
=
0
) (
k
k kz a z z
h α ve
∑
∞=
+ −
=
1
) (
k k kz b z z
g β (2.2)
D~ da analitik, A∈C ve 0≤|β|<|α| dır. Ayrıca ω = f /z fz analitik ve |ω(z)|<1 şartını sağlar.
Bu teoremin bir sonucu olarak Silverman ve Jahangiri (1999), (1.11) tipindeki fonksiyonların aşağıdaki katsayı bağıntısını sağlamaları durumunda yalınkat olduklarını gösterdi.
Teorem 2.1.2. (2.1) ve (2.2) bağıntıları ile verilen f fonksiyonu
(
| | | |)
| | | | | |1
A b
a n
n n + n ≤ − −
∑
∞=
β α ise f D~ da yön koruyan ve yalınkattır.
(2.1) ile verilen f fonksiyonuna
2 2
0 0
|
|
| β
α −
+
−
→ −
|
βa a α βw w w α
afin dönüşümü uygulandığında α =1, β =0 ve a0 =0 elde edilerek, f fonksiyonu normalize edilmiş olur. Böylece,
∑
∞=
+ −
=
1
) (
k
k kz a z z
h ve
∑
∞=
= − 1
) (
k k kz b z
g (2.3)
olmak üzere D~ da yön koruyan meromorf harmonik yalınkat fonksiyonların (2.1) tipindeki f fonksiyonunun ∑′H sınıfı elde edilir. Ayrıca ∑′H sınıfının logaritmik singüleritesiz alt sınıfı ∑H ile gösterilir. Buna göre ∑H ={f ∈∑′H :A=0} dır. Analitik yalınkat fonksiyonlarda olduğu gibi SH ile ∑′H sınıfları arasında birebir bir geçiş yoktur. Son olarak, ∑′H sınıfında sıfırı olmayan fonksiyonların
~)}
( ve
:
0 {
f D c f
c
f H
H = − ∈∑′ ∉
∑ sınıfını tanımlayalım.
Schwarz lemması ve Teorem 2.1.1 kullanılarak Hengartner ve Schober (1987) aşağıdaki sonuçları elde ettiler.
Teorem 2.1.3. (a) Eğer f∈∑′H ise bu takdirde |A|≤2 ve |b1|≤1 dir.
(b) Eğer f ∈∑H ise bu takdirde |b1|≤1 ve |b2|≤ 21(1−|b1|2)≤ 21 dir.
İspat. D~ da analitik ve |w(z)|≤1 özelliğindeki bir w(z)=w0 +w1z−1 +... fonksiyonu için |w0 |≤1 ve |w1 |≤1−|w0 | eşitsizlikleri sağlanır.
f∈∑′H ise f fonksiyonu (2.3) ile birlikte (2.1) tipinde olup
A z h z
A z g z z
a ′ +
′ +
= 2 ( ) ) ( ) 2
( = 1 1 | |2 2
4 1 2
1 − ⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ +
− b A z
z A
⎟ +K
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − − −
− 2 1 1 | |2 −3
8 1 2
1 2
2b 1Aa Ab A A z
fonksiyonu D~ da analitik ve f yön koruyan olduğundan |a(z)|<1 dir. Maksimum prensibi gereği w(z)=za(z) fonksiyonu için |w(z)|≤1 dir. Böylece |21A|≤1 ve
2 21 2
41
1 | | | 1 | |
|b + A ≤ − A elde edilir. Bu durum |b1|≤1 olmasını gerektirir.
Eğer f ∈∑H ise bu takdirde A=0, a(z)=−b1z−2 −2b2z−3+⋅ ⋅⋅ ve w(z)= z2a(z) olup |w(z)|≤1 dır. Böylece |b1 |≤1 ve |b2 |≤ 21(1−|b1|2)≤ 21 elde edilir.
Her iki eşitsizlik kesin olup eşitlik f(z)=z−1/z+2log|z| ve f(z)=z+1/(2z2) fonksiyonları için geçerlidir. ■
Aşağıdaki sonuç distorsiyon teoremi ile ilgilidir.
Teorem 2.1.4. Eğer f −c∈Σ0H ise bu takdirde her z∈D~ için | f(z)|≥|z|/[4(1+|z|)2] dir. Ayrıca ~)
(D
f ,
{
w |:w|>16}
kümesini kapsar ve |c|<16 dır( Hengartner ve Schober 1987 ).Teoremde c sabiti için elde edilen sınır aşağıdaki sonucun ortaya çıkmasına sebep olmuştur.
Sonuç 2.1.5. Eğer f ∈ΣH ise bu takdirde ~) (D
f ⊃
{
w |:w|>16}
dır.Gelecek teorem bahsi geçen sınıfların kompaktlığı ile ilgilidir.
Teorem 2.1.6. Σ0H , ∑′ ve H ∑H sınıfları lokal düzgün yakınsaklık topolojisine göre kompaktırlar.
Tanım 2.1.7. Düzlemde konveks bir bölgenin sınır noktalarından çizilen teğetlerden karşılıklı olarak paralel olanlar arasındaki uzaklığın en büyüğüne bölgenin çapı (diameter) denir.
Aşağıdaki teorem C\ f(D~) atlanmış kümesinin alt sınırının b1 katsayısına bağlı olarak elde edilebileceğini gösterir.
Teorem 2.1.8. f ∈Σ′H olsun. C\ f(D~) kümesinin df çapı için
| 1
| 2 b1 df ≥ +
eşitsizliği sağlanır. Eşitlik |b1|<1 ve |A|≤(1−|b1 |2)/|1+b1 |, |b1|=1 ve A=0 veya
1 =−1
b ve |A|≤2 olduğunda
|
| log /
)
(z z b1 z A z
f = + +
fonksiyonu için geçerlidir.
Aşağıdaki teorem klasik alan teoremiyle ilgilidir.
Teorem 2.1.9. (2.1) ile verilen f ∈Σ′H fonksiyonu (2.3) seri açılımına sahip olsun. Bu takdirde
∑
∞=
+
≤
−
1
1 2
2 | | ) 1 2Re
| (|
k
k
k b b
a k
eşitsizliği sağlanır. Eşitlik ancak ve ancak C\ f(D~) alanının sıfır olması durumunda geçerlidir.
∑ sınıfına ait ve tipik reel olan fonksiyonlarının oluşturduğu alt sınıf H ∑ ve TH orijine göre yıldızıl olan fonksiyonlarının oluşturduğu alt sınıf ∑ ile gösterilir. *H Ayrıca, ∑ sınıfına ait olan ve *H
∑
∞=
+ −
=
1
) (
k
k kz a z z
h ve
∑
∞=
− −
=
1
) (
k k kz b z
g ; ak ≥0, 0bk ≥
olmak üzere f =h+g fonksiyonların oluşturduğu alt sınıf ∑*RH ile gösterilir. ∑ ve *H
*RH
∑ sınıfları ile bunların alt sınıfları J. M. Jahangiri ve H. Silverman (2002) tarafından çalışılmıştır. Bu çalışmada özellikle, f ∈∑*RH olması için gerek ve yeter şartın
