Ekonometrik Modelin Tahmini

Ekonometrik Modelin Tahmini

Ekonometrik Model + Mevcut Bilgi (veriseti) + Ekonometrik Yöntem → Tahmin Denklemi

1 En Küçük Kareler Yöntemi

Çalışmada Y’nin X tarafından etkilenen bir değişken olduğu, yani, X’ten Y’ye doğru bir nedensellik olduğu kabul edilmektedir. Bu durumda model aşağıdaki gibi yazılır:

𝑌_𝑖 = 𝐵₀+ 𝐵₁𝑋_𝑖+ 𝑢_𝑖

Beş farklı birey için Y ve X değişkenlerinin aşağıdaki değerleri aldığı bir örneklem ele alalım:

Bireyler X Y

1 2 11

2 3 12

3 4 20

4 5 20

5 6 22

Gözlemlere ilişkin serpilme diyagramı aşağıdaki gibidir:

Bu durumda regresyon analizinin amacı X → Y bağıntısını en başarılı şekilde temsil eden doğrunun denklemini bulmak olacaktır.

0 5 10 15 20 25

0 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

𝑌̂_𝑖 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑋_𝑖

denklemiyle ifade edilebilecek bu doğru, gözlem değerlerine mümkün olduğunca yakın olmalıdır. Diğer bir deyişle, açıklayıcı değişkenin alacağı değerlere karşılık gelen Y-tahmin değerleri ile gerçek Y değerleri arasındaki uzaklık (artıklar, 𝑢̂𝑖) minimumda kalmalıdır. Dolayısıyla sonuçta artıklar ne kadar küçük olursa regresyon denklemi o kadar başarılıdır. Ancak yığına ilişkin regresyon fonksiyonu doğrudan

gözlenemeyeceği için bu katsayılar örneklemden yararlanılarak tahmin edilir.

Yığın için 𝑌𝑖 = 𝐵₀+ 𝐵1𝑋_𝑖+ 𝑢_𝑖 şeklinde yazılan modeli örnekten elde edilecek tahmin değerlerini kullanarak aşağıdaki gibi tekrar yazabiliriz:

𝑌_𝑖 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑋_𝑖+ 𝑢̂_𝑖

Sadece deterministik ilişkiyi ifade etmek istediğimizde ise (regresyon doğrusu üzerindeki tahmin değerleri):

𝑌̂𝑖 = 𝑏0+ 𝑏1𝑋𝑖

Dolayısıyla Y’nin gerçek gözlem değeri, Y’nin tahmin değeri ile hata teriminin toplamına eşittir:

𝑌_𝑖 = 𝑌̂ + 𝑢̂_𝑖

(𝑑𝑜𝑙𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤𝑦𝑙𝑎, 𝑢̂_𝑖 = 𝑌_𝑖− 𝑌̂_𝑖)

Regresyon denklemi bize tek bir doğru vereceği için her bir 𝑢𝑖 terimini tek tek minimize etmek söz konusu değildir, bu nedenle 𝑢_𝑖 terimlerinin birleşimiyle ilgili bir minimizasyon gerekir. Bu hedefe yönelik olarak, hata karelerinin toplamını (∑ 𝑢_𝑖²) minimize eden bir regresyon denklemi tahmin edilebilir. Bu amaçla EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ kullanılmaktadır.

𝑌_𝑖 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑋_𝑖+ 𝑢̂_𝑖 denkleminde yer alan hata terimleri toplamı için hata kareler toplamı aşağıdaki gibi bulunur ve minimize edilir:

𝑢̂_𝑖= 𝑌_𝑖− (𝑏₀+ 𝑏₁𝑋_𝑖) ve,

∑ 𝑢̂_𝑖² = ∑{𝑌_𝑖− (𝑏₀+ 𝑏₁𝑋_𝑖)}² (Artık Kareler Toplamı)

Minimizasyon amacıyla bu toplamın 𝑏0 ve 𝑏1’e göre kısmi türevi alınır:

𝜕(𝛴𝑢̂_𝑖²)

𝜕𝑏₀ = −2𝛴(𝑌_𝑖− 𝑏₀− 𝑏₁𝑋_𝑖) = −2𝛴𝑢̂_𝑖

𝜕(𝛴𝑢̂_𝑖²)

𝜕𝑏₁ = −2𝛴(𝑌𝑖− 𝑏0− 𝑏1𝑋𝑖) = −2𝛴𝑢̂_𝑖𝑋𝑖

Yukarıda bulunan kısmi türevler sıfıra eşitlenip gerekli düzenlemeler yapıldığında normal denklemler olarak bilinen aşağıdaki denklemlere ulaşılır:

𝛴𝑌_𝑖 = 𝑛𝑏₀+ 𝑏₁𝛴𝑋_𝑖 𝛴𝑌_𝑖𝑋_𝑖 = 𝑏₀𝛴𝑋_𝑖+ 𝑏₁𝛴𝑋_𝑖²

Bu noktada elimizde iki bilinmeyenli iki denklem bulunmakta ve katsayılara ait tahmin değerleri elde edilebilmektedir. Normal denklemlerde gerekli düzenleme yapıldığında 𝑏₀ ve 𝑏₁’e ilişkin formüllere ulaşılabilir:

𝑏₁=𝑛𝛴𝑋_𝑖𝑌_𝑖− 𝛴𝑋_𝑖𝛴𝑌_𝑖

𝑛𝛴𝑋_𝑖²− (𝛴𝑋_𝑖)² =𝛴(𝑋_𝑖− X̅)(𝑌_𝑖− Y̅)

𝛴(𝑋_𝑖− X̅)² =𝛴𝑥_𝑖𝑦_𝑖 𝛴𝑥_𝑖² 𝑏₀= Y̅ − 𝑏₁𝑋̅

Küçük harfle yazılan değişken isimleri ilgili değişkenin ortalamadan farklarını ifade etmektedir.

Örnek: 𝑟𝑖= 𝑅_𝑖− 𝑅̅ 𝑣𝑒 𝑥_𝑖 = 𝑋_𝑖− 𝑋̅

Küçük harfle yazılan parametre/katsayı isimleri ilgili yığın parametresinin örnekten elde edilen tahmin değerini ifade etmektedir.

Örnek: “𝑏0: Yığına ait 𝐵0 katsayısının tahmin değeri”

Örnek veri setinden yararlanarak formüllerdeki toplamlara ulaşılabilir ve 𝑌_𝑖 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑋_𝑖+ 𝑢̂_𝑖 denkleminin katsayıları tahmin edilebilir:

𝑋_𝑖 𝑌_𝑖 𝑥_𝑖= 𝑋_𝑖− 𝑋̅ 𝑦_𝑖= 𝑌_𝑖− 𝑌̅ 𝑥_𝑖𝑦_𝑖 𝑥𝑖2

2 11 -2 -6 12 4

3 12 -1 -5 5 1

4 20 0 3 0 0

5 20 1 3 3 1

6 22 2 5 10 4

𝑋̅ = 4 𝑌̅ = 17 𝛴𝑥𝑖𝑦𝑖= 30 𝛴𝑥_𝑖²= 10

Elde edilen değerler ilgili formüllerde yerine koyulursa regresyon denklemi katsayılarına ulaşılır:

𝑏₁=𝛴𝑥_𝑖𝑦_𝑖 𝛴𝑥_𝑖² =30

10= 3 𝑏₀= 𝑌̅ − b₁X̅ = 17 − (3 × 4) = 5

Katsayılara ait tahmin değerleri kullanılarak tahmin denklemi aşağıdaki gibi yazılır:

𝑌̂_𝑖 = 5 + 3𝑋_𝑖

Örnek:

Aşağıdaki veri setinden yararlanarak 𝑌𝑖 = 𝐴₀+ A₁𝑋_𝑖+ 𝑢_𝑖 denkleminin katsayılarını tahmin ediniz; 𝑌̂𝑖 ve 𝑢̂_𝑖 serilerini bulunuz:

𝑌𝑖 𝑋𝑖 𝑥_𝑖= 𝑋_𝑖− X̅ 𝑦_𝑖= 𝑌_𝑖− 𝑌̅ 𝑥_𝑖² 𝑥𝑖𝑦𝑖

4 2 -4 -8 16 32

12 4 -2 0 4 0

10 6 0 -2 0 0

14 8 2 2 4 4

20 10 4 8 16 32

𝑌̅ = 12 𝑋̅ = 6 𝛴𝑥_𝑖²= 40 𝛴𝑥𝑖𝑦𝑖= 68

Tahmin denklemi: 𝑌̂𝑖 = 1,8 + 1,7𝑋_𝑖

Örnekteki gözlem ve tahmin değerleri, artıklar:

𝑌_𝑖 𝑋_𝑖 𝑌̂𝑖 𝑢̂_𝑖

4 2 𝑌̂1=1,8+(1,7)2= 5,2 𝑢̂₁= 4-5,2 = -1,2

12 4 8,6 3,4

10 6 12 -2

14 8 15,4 -1,4

20 10 18,8 1,2

Y’nin belirli X değerlerine karşılık gelen gözlem ve tahmin değerleri grafikte de görülebilir:

0 5 10 15 20 25

0 2 4 6 8 10 12

Y

X

2 En Küçük Kareler Yönteminin Ardındaki Varsayımlar

1. Regresyon modeli katsayılarda doğrusaldır.

2. Açıklayıcı değişkenin değerleri yinelenen örneklemlerde değişmez. Bununla birlikte belirli bir örneklemde açıklayıcı değişken aynı değerleri almamalı, değişkenlik sergilemelidir.

𝑣𝑎𝑟(𝑋_𝑖) ≠ 0

Eğer bu sağlanmazsa: Bir tüketim denklemi tahmin edilirken aynı gelir düzeyine sahip 100 hanehalkının tüketim verileriyle analiz yapılırsa ne olur? (X’lerin ortalamadan farkları toplamı sıfır olacaktır, katsayılar tahmin edilemez, ayrıca X eksenine dik bir doğru çizilebilir(!) )

3. Hata terimlerinin toplamı, ortalaması, beklenen değeri sıfırdır.

𝐸(𝑋_𝑖) = 0

4. Açıklayıcı değişkenin farklı düzeylerinde hata terimi varyansı sabittir. (Değişen varyans) 𝑣𝑎𝑟(𝑋_𝑖) = 𝜎²

5. Ardışık hata terimleri arasında ilişki yoktur. (Otokorelasyon) 𝑐𝑜𝑣(𝑢_𝑡, 𝑢_𝑡−𝑗) = 0

Bu varsayım ardışık gözlemlerin yer aldığı zaman serisi verileriyle yapılan analizlerde önemlidir.

6. Açıklayıcı değişkenler arasında tam çoklu doğrusal bağlantı yoktur. (Çoklu doğrusal bağlantı) Örn: 𝑋 = 2𝑍 + 3𝐺

7. Modelde spesifikasyon hatası bulunmamalıdır.

Spesifikasyon hataları:

- Matematiksel kalıbın yanlış belirlenmesi - Gerekli açıklayıcı değişken(ler)in dışlanması - Gereksiz açıklayıcı değişken kullanılması

- Ölçme hataları (TL-$, reel-cari, uçdeğerler, eksik gözlem, farklı serilerin birleştirilmesi, …) - Gözlem sayısının tahmin edilecek katsayı sayısından az olması

8. Hata terimi ile açıklayıcı değişken bağımsızdır.

𝑐𝑜𝑣(𝑢𝑖, 𝑋𝑖) = 0

3 EKK Tahmin Edicilerinin Özellikleri: Gauss-Markov Teoremi

Doğrusal regresyon modelinin varsayımları geçerliyken EKK tahminleri en uygun özellikleri taşır. Bu özellikler Gauss-Markov Teoremi’nde bir araya gelmiştir. Bu teoreme göre, doğrusal regresyon modeli varsayımlarına uyan EKK tahmincileri doğrusal, sapmasız, minimum varyansa sahip tahmincilerdir. Bu özellik kısaca doğrusal sapmasız en iyi tahmin edici (DESTE) özelliği olarak bilinir.

𝑌̂_𝑡 = 𝑎₀+ 𝑎₁𝑋_𝑡 gibi bir tahmin modelinde 𝑎₁ aşağıdaki koşullar sağlandığında 𝐴₁’in doğrusal en iyi sapmasız tahmin edicisidir:

1. Doğrusallık: Açıklanan değişken Y, X’in doğrusal bir fonksiyonudur.

2. Sapmasızlık: 𝑎1’in ortalaması ya da beklenen değeri E(𝑎1) gerçek 𝐴1 değerine eşittir.

3. Minimum varyans: 𝑎1’in varyansı var(𝑎1), 𝐴1’in diğer doğrusal ve sapmasız tahmin edicileri arasında minimum varyansa sahiptir.

* Minimum varyanslı sapmasız bir tahmin edici etkin bir tahmin edici olarak adlandırılır.