Küp Geometri

www.mustafayagci.com.tr, 2013

Geometri ^Notları

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com

Küp

Bütün yüzleri kare olan bir prizmaya, diğer deyişle tüm ayrıtları eş olan dikdörtgenler prizmasına küp denir. Küp, nihayetinde bir dikdörtgenler prizması olduğundan onun sahip olduğu tüm özellikleri ba- rındırır. Yani dikdörtgenler prizmasında sağlanan her teorem, küpte de sağlanır.

Küpün Alanı

Aşağıda tüm ayrıtları a br olan bir küp çizilmiştir.

A

B C

D

E

F K

L

a

a a

Örneğin, bu küpün alanını, dikdörtgenler prizması- nın alan formülü olan 2ab + 2ac + 2bc ifadesinde tüm b ve c’lere a vererek de, 6 yüzün 6’sının da bir kenarı a br olan birer kare olduğunu görerek onların alanlarını toplayarak da

S = 6a² eşitliğine ulaşabilirsiniz.

Örnek. Bir turnuva- nın finalistleri için 12 birim küpten yukardaki gibi bir şampiyonluk kürsüsü yapılmıştır. Bu kürsü-

nün taban yüzeyleri hariç diğer yüzeyleri kağıt ile kaplanacaktır. Bu iş için kaç br² kağıt gerekir?

A) 24 B) 30 C) 35 D) 36 E) 42

Çözüm: Bize bakan yani ön yüz adedi 12’dir. 12 de arka yüz var, etti 24 yüz.

6 tane üst yüz var, etti 30 yüz. Sağa bakan 3 yüz var, etti 33 yüz. Bir de resimde okla gösterilen, bi- zim göremediğimiz sola bakan 3 yüz var. Etti 36 yüz. Her yüzün alanı 1 br² olduğundan cevap 36 br² olmalıdır.

Doğru Cevap: D.

Örnek. Yandaki şekilde bir küpün bir düzlemle arakesiti boyanmıştır.

P, Q, R, S, T, U noktaları ayrıtların orta noktaları olup boyalı bölgenin alanı

6 3 br² ise küpün yanal alanı kaç br²’dir?

A) 36 B) 32 C) 30 D) 28 E) 24 Çözüm: Boyalı alan düzgün altıgen olup verilen alan değerinden

2 3

6 6

4

b  3

eşitliği yazılarak, bir kenar uzunluğu b = 2 br bulu- nur. Öyleyse küpün bir ayrıt uzunluğu, PBQ, QFR, RKS, SLT, TDU ve UAP üçgenlerinin ikizkenar dik üçgen olduğu görülerek, a = 2 2 br dir. Buradan küpün yanal alanı 4a² yani 32 br² bulunur.

Doğru cevap: B.

A

B C

D

E

F K

L P

Q

R

S T U

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Küp Örnek. 27 tane birim

küpten oluşturulmuş yandaki küpün alt yüzeyi de dahil olmak üzere tüm yüzeyleri boyandıktan sonra 27 küp teker teker ayrıştırılıyor. Son durumda kaç adet boyanmamış yüz bulunur?

A) 92 B) 96 C) 108 D) 112 E) 120 Çözüm: Küplerin bir arada olduğu ilk durumda toplam 6 yüz olup her yüzde 9 tane birim küp yüzü olduğundan toplam 54 yüz boyanır. Büyük küp 27 tane birim küpe ayrılırsa her küpün 6 yüzü oldu- ğundan toplam 276 = 162 yüz olacaktır. Bunların 54’ü boyalı olacağından 108 yüz boyasızdır.

Doğru cevap: C.

Küpün Hacmi

Küpün hacmini de, dikdörtgenler prizmasının hac- mini veren abc formülünde b ve c yerlerine a yaza- rak

V = a³ şeklinde buluruz.

Örnek. Üst köşeleri A, B, C, D olan bir küpün B köşesinden bir ayrıt uzunluğu a olan bir küp şekildeki gibi kesilip atılıyor.

|MF| = 4 br ve kalan cismin hacmi 208 br³ olduğuna göre a kaçtır?

A) 1

2 B) 1 C) 3

2 D) 2 E) 5 2 Çözüm: Küpten bir küp kesilip atılması hacmini küçültecektir. Eski hacim (a + 4)³, kesilen küpün hacmi de a³ olduğundan (a + 4)³ – a³ = 208 eşitliği sağlanması gerekmektedir. Çözelim:

a³ + 12a² + 48a + 64 – a³ = 208 12a² + 48a – 144 = 0

a² + 4a – 12 = 0 (a + 6)(a – 2) = 0

eşitliğinden bir ayrıt uzunluğu pozitif olması gerek- tiğinden a = 2 olarak bulunur.

Doğru cevap: D.

Örnek. Taban ayrıtları 6 ve 4 br olan bir dik- dörtgenler prizması 2 br yüksekliğine kadar suyla doludur. Bu suyun içine bir ayrıtının

A

B C

D

F K

L

uzunluğu 2 br olan

A

B C

D

E

F K

L 4 6

2

2

demirden bir küp

bırakılıyor. Buna göre su yüksekliği kaç br artar?

A) 1

3 B) 1

2 C) 2

3 D) 1 E) 4 3 Çözüm: Suyun yüksekliğinin h br arttığını farz edelim.

A

B C

D

E

F K

L 4 6

h 2

Şu halde suyun yükselen kısmının hacmi demir kü- pün hacmine eşit olmalıdır.

64h = 2³ eşitliğinden h = 1/3 olarak bulunur.

Doğru cevap: A.

Küpün Yüzey Köşegenleri

A

C D

F K

4 L

M a Küpün 6 yüzünün 6’sı da kare olduğundan 12 yü-

zey köşegeni vardır. Elbette bu yüzey köşegenleri- nin uzunlukları, karelerin bir kenar uzunlukları a br olduğundan a 2 olur. Bu 12 yüzey köşegeninden, her biri diğer ikisine değen üç tanesi, üçü de aynı uzunlukta olduğundan bir eşkenar üçgen belirtir.

A

B C

D

E

F K

L

A

B C

D

E

F K

L

A

B C

D

E

F K

L

A

B C

D

E

F K

L

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Küp Örneğin yukarda taranmış üçgen şeklindeki düzlem

parçalarının hepsi birer eşkenar üçgendir. Zira her birinin bir kenarının bir yüzey köşegeni olduğuna dikkat ediniz. Küpün iki boyutlu görünümünde en dıştaki kenarlar bir altıgen belirtir. Altıgenin altı kenarının birer atlayarak orta noktalarının belirttiği üçgenler de eşkenar üçgendir.

A

B C

D

E

F K

L

A

B C

D

E

F K

L P

Q

R

P

Q

R

Hatta orta nokta olmasına da gerek yoktur. Örneğin, üst soldaki şekilde

|AP| : |PB| = |FQ| : |QK| = |LR| : |RD|

olsa bile PQR eşkenar üçgendir.

Örnek. ABCD ve CEFD birer kenarları 6 cm olan birbirlerine dik ve kare şeklinde düzlem parçaları olup ağırlık merkezleri sırasıyla O ve M olsun.

AM  FO = {G}

|GF| = x cm

olduğuna göre x kaçtır?

A) 2 2 B) 2 3 C) 4 D) 2 6 E) 5 Çözüm: O ve M ağırlık merkezleriyse AC ve CF köşegenleri sırasıyla O ve M’den geçecektir.

A B

D

C E

F O G

M

6 x

|AC| = |CF| = |FA| olduğu fark edilirse G’nin ACF eşkenar üçgeninin ağırlık merkezi olduğu görüle- cektir. O halde |GF|, eşkenar üçgenin yüksekliğinin 2/3’üdür. Yükseklik 3 6 cm olduğundan x = 2 6 olur.

Doğru cevap: D.

Örnek.

Yandaki küpte

|FT| = |TK|

m(BTD) = α olduğuna göre cos α değeri kaça eşittir?

A) 5

5 B) 3

5 C) 5

4 D) 3

2 E) 1 2 Çözüm: DAB, BFT, DLK ve DKT üçgenlerinin dik olduğunu biliyoruz. Bilmeyen de öğrensin.

A

B C

D

E F

 L T

 







 

K

Bu arada kübün bir kenarına 2 br dersek |DK| = 2 2 br olacağından |DT| = 3 br olur. |BT| = 5 br ve |BD| = 2 2 br olduğunu çoktan bulmuşsunuz- dur. BTD üçgeninin tüm kenarlarını artık bildiği- mizden kosinüs teoreminden cos α değerini bulabi- liriz.

2 2 2

(2 2) ( 5) 3  2 5 3 cosα  8 14 6 5 cosα 

6 5 cosα = 6

1 5

cos α 5 5

 

Doğru cevap: A.

Örnek. Yandaki küpte P, Q, R noktaları üzerinde bulundukları ayrıtların orta

noktalarıdır.

m(PQR) = 

olduğuna göre  kaçtır?

A) π

6 B) π

5 C) π

4 D) π

3 E) π 2 Çözüm: Küpün bir ayrıtının uzunluğu 2 br olsun.

A

B C

D

E

F K

L

T

A B

D

C E

F O G

M

6 x

A

B C

D

E

F K

L P

Q

 R

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Küp

A

B C

D

F K

L P

Q 1 R 1 1

2

1 1

2 2 2 2

5 6

2

^

AP dik üçgen olduğundan |PR| =

R 2 br olacaktır.

BFQ ve PBQ üçgenleri de dik üçgen olduğundan

|PQ| = 6 br bulunur. Diğer yandan RQKD bir dik- dörtgen olacağından |RQ| = |DK| = 2 2 br olur.

PQR üçgeninin bulunan kenar uzunluklarının Pisagor Teoremi’ni sağladıkları görülür, o halde RP, PQ’ye diktir. Hipotenüsün |PR|’nin 2 katı oldu- ğu görülerek de m(PQR) = 30 olduğu anlaşılır.

Doğru cevap: A.

Örnek. F köşeleri ortak olan yandaki iki küpten birinin hacmi diğerinin 27 katıdır.

Buna göre tan(BJK) değeri kaçtır?

A) −2 − 3 B) − 3 C) −1 D) −3/2 E) −2 özüm: Hacmi 27 katıysa, bir kenar uzunluğu di- Ç

ğerinin 3 katıdır. Küçük kübün bir kenar uzunluğu- na 1 br dersek, büyük kübün bir kenar uzunluğu 3 br olur.

A

B C

D

F K

J L

 P



 

Şimdi BPJ ve KPJ açılarının dik old unu görünüz. uğ

|PJ| = 1 br olduğundan |BJ| = |JK| = 6 br olur.

Diğer yandan, kendileri yüzey köşegeni oldukların- dan |BK| = 3 2 br’dir. BJK ikizkenar üçgeninde uzun kenar kısa kenarların 3 katı çıktığından m(BJK) = 120^o’dir. Bundan do ı

tan(BJK) = tan 120

lay

o =

o = −tan 60 − 3 .

Tabi k ini bilme-

üpün Cisim Köşegenleri

üpün, aynı dikdörtgenler prizmasının olduğu gibi,

i 30^o-30^o-120^o üçgeninin bu özelliğ

yenler yine kosinüs teoremi yardımıyla bulacaklar.

Doğru cevap: B.

K K

birbirine eş 4 tane cisim köşegeni vardır. Bunlardan bir tanesinin uzunluğu, dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin formülü olan a²b²c² ifa- desinde b ve c görülen yerlere a yazarak, a 3 bu- lunur.

A

B C

D

E

F K

L

a

a a

Bunu üst şekildeki FLD dik üçgeninde Pisagor Teo- remi uygulayarak da bulabilirsiniz:

2 2 2 ( 2)2 ² 3 ²

FD  FL  LD  a a  a

olduğundan FD a 3 olur.

Örnek. Yandaki küpte [AK] cisim köşegenidir.

BH  AK FJ  AK olduğuna göre

BH

FJ oranı kaçtır?

A) 1

2 B) 1

3 C) 1

2 D) 2

3 E) 1 özüm: İlk etapta hayali güç olsa da bu dikmelerin Ç

boyları birbirlerine eşittir!

A D

B C

F K

L

H A

B C

D

F K

J L 1

2

2

1 1

1

1 1

Yukardan da görüleceği üzere ABK ile KFA dik üç-

Doğru cevap: E.

genleri eş olduğundan hipotenüse inen yükseklikleri de eş olmak zorundadır, şu durumda sorulan oran 1’e eşittir.

A

B C

D

F K

J L

A

B C

D

F K

L H

J

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Küp

üpün Ağırlık Merkezi

üpte, aynı dikdörtgenler prizmasında olduğu gibi

Küp Yüzeyinde Hareketler K

K

dört cisim köşegeni noktadaştır ve birbirlerini orta- larlar.

A

B C

D

E

F K

O L

isim köşegenlerinin kesiştiği O noktası küpün C

ağırlık merkezi olup tüm yüzeylere eşit uzaklıkta- dır.

A

B C

D

E

F K

L

I

üpün içinde herhangi bir noktanın tüm yüzeylere

üpün Açınımı. Küpün açınımı aşağıdaki gibidir:

K

uzaklıkları toplamı 3a’dır. Zira üst şekilden de gö- rüleceği üzere I’nın sol ve sağ yüzlere, alt ve üst yüzlere, ön ve arka yüzlere olan uzaklıklarının her biri küpün bir ayrıt uzunluğuna eşittir.

K

a a

a

a a a

a

adece yanal alan değeri ise, yan yüzler 4 adet ka- den ibaret olduğundan SY = 4a² olur.

üpün bir noktasından başka bir noktasına küp yü- hareketlinin katettiği irkaç yolu küpün açınımında gösterelim:

S

K

zeyi üzerinde hareket eden bir b

A A

C

re

C

D

F

D

F

B B

E E

|AB| + |BC| ve |DE| + |EF| toplamları en küçük de- ğerlerini küpün açınımında sırasıyla A, B, C doğru- al olduğunda ve D, E, F doğrusal olduğunda alır- s

lar.

A

D

A

D B

C

B

C

A

D

A

D

C B B

C D

|AB| + |BC| + |CD| toplamı en küçük değerini, iki şekilde de açınımda A, B, C, D doğrusal olursa alır.

A

E E

D

A

C B C D

|AB| + |BC| + |CD| + |DE| toplamı en küçük değeri- ni, sağdaki gibi A, B, C, D, E doğrusal olursa alır.

B

KATI CİSİMLER

MY GEO 3 TEST 086

Mustafa YAĞCI Küp EABBCBCC

1.

Aşağıdakilerden hangisi bir ayrıtının uzunluğu tamsayı olan bir küpün hacmi olamaz?

) 1331 B) 1000 C) 729 D) 512 E) 432

2.

Bir küpün yüzey köşegenin boyu bir ayrıtının bo- yunun kaç katıdır?

A)

5.

Hacmiyle alanı sayısal olarak birbirlerine eşit olan bir küpün cisim köşegeni kaç birimdir?

A) 6 B) A

2 B) 3 C) 2 D) 5 E) 3

3.

Bir küpün herhangi bir cisim köşegeninin boyunun bir ayrıtının boyuna oranı aşağıdakilerden hangi- sinin tanjantıdır?

A) 2

 B) 3

 C) 4

 D) 6

 E) 12



4.

Bir ayrıtı 4 birim olan bir küp nin cisim köşegeni üzeri birim olur?

A)

ün yüzey köşegeni- ndeki dik izdüşümü kaç

6 3 5

6 2 C) 6 3 D) 12 E) 12 3

6.

48 cm uzunluğunda bir tel bükülerek bir küp yapı- lırsa, oluşan küpün hacmi kaç cm² olur?

A) 27 B) 64 C) 125 D) 216 E) 343

7.

Farklı ayrıtları 2, 3, 4 br olan dikdörtgenler prizma- sı şeklindeki tuğlalardan en az kaç tanesi bir ara- ya getirilerek bir küp meydana getirilebilir?

A) 12 B) 24 C) 72 D) 288 E) 576

8.

Yandaki küpte BD ve DK kö- şegenlerinin belirttiği BDK açısının ölçüsü kaç derece- dir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

A

B C

D

E

F K

L

B) 8 3

3 C) 9 3

4 D) 10 3

3 E) 12 3 5

BE açısının ölçüsü kaç

) 30 B) 45 C) 60 ) 75 E) 90

.

andaki küpte P, Q, R oktaları üzerinde bulun-

rı karelerin ağırlık sının lçüsü kaç derecedir?

45

) 90 E) 120

.

andaki küpte P ve Q zerinde bulundukları ka-

lerin ağırlık merkezleri- 1.

Yandaki küpte BE ve BD köşegenlerinin belirttiği D

derecedir?

A D

2 Y n dukla

merkezleridir.

Buna göre PQR açı ö

) B) 60 C) 75 A

D

3 Y ü re dir.

Buna göre PQ uzunluğu küpün bir ayrıt uzunlu- ğunun kaç katıdır?

A) 1

2 B) 2

2 C) 1

3 D) 2

3 E) 2

4.

andaki küpün içinde stgele bir P noktası alı- ıyor.

küpün tüm yüzle-

amına eşit- r?

3 ) 4 ) 5 ) 6

= 6 birim

|FP irimdir?

) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

.

aki küpte P noktası

) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

.

andaki küpte P noktası K ayrıtı üzerindedir.

4 birim

Y ra n P’nin

rine olan uzaklıkları toplamı kaç ayrıt uzun- luğunun topl

ti

A) 2 B) C D E

5.

Yandaki küpte P noktası AD ayrıtı üzerindedir.

|BA|

|AP| = 3 birim

lduğuna göre | kaç o

b A

6 Yand

KL ayrıtının üzerindedir.

|FK| = 4 birim

= 2 birim

|KP|

olduğuna göre |AP| kaç irimdir?

b A

7 Y F

|FP| =

|PK| = 2 birim

olduğuna göre |AP| kaç birimdir?

A) 66 B) 77 C) 88 D) 99 E) 10

8.

ir ayrıtı 6 br olan yanda- i küpte AK cisim köşe-

ir.

B k genid

F köşesinden AK doğru- suna indirilen dikme ayağı P ise |FP| kaç br dir?

A) 4 B) 2 6 C) 5 D) 4 2

MY GEO 3

KATI CİSİMLER

Mustafa YAĞCI Küp ^CDBBCBCB

E) 6

A

B C

D A D

F K

L 3 P

E L

F K

A

B C

D

E

F K

L Q

P R

A

B C

D

E

F K

L P

Q

A

B C

D

E

F K

P L

B C

6

E

A D

E

F K

L 4 2

B C

P

A

B C

D

E

F K

L

P 2 4

A

B C

D

F

E

K P L 6

MY GEO 3

KATI CİSİMLER

Mustafa YAĞCI Küp ^CCDBBCCD

1.

Yandaki küpün toplam alanı, taranmış bölge alanının kaç katıdır?

A) 3 B) 2 3 C) 3 2 D) 4 E) 4 3

2.

Yandaki küpte P noktası [BA] ayrıtının orta nokta- sıdır.

Taralı bölgenin alanı 2 br² olduğuna göre küpün alanı kaç br dir? 2

C) 24 D) 36 E) 72

üpte P noktası [AD]

ölge- in alanı kaç br dir?

A) 12 B) 18

3.

Bir ayrıtı 6 br olan yanda- ki k

üzerinde hareketli bir nok- tadır.

Buna göre taralı b n 2

A) 9 B) 9 2 C) 18 D) 18 2 E) 36 2

. 4.

P noktası küpün taban yü- zeyinin ağırlık merkezidir

|DL| = 6 cm olduğuna göre APD üçgensel böl- gesinin alanı kaç cm² dir?

A) 9 B) 9 5 C) 18 D) 18 5 E) 45

A 5.

B C

D

E

F K

L

A

B C

D

E

F K

L P

Q

Bir ayrıtı 6 br olan yan- daki küpte P ve Q nokta-

ve FK edir.

|

lduğuna göre taralı ir?

) 15 B) ları sırasıyla AD ayrıtları üzerind

|FQ| = |QK|

|PD| = 2·|PA o

bölgenin alanı kaç br² d

A 15 2 C) 18 D) 15 3 E) 30 2

A

B C

D

E

F K

L P

6.

Yandaki küpte P noktas

A

B C

D

E

ı erkezidir.

)

kübün ağırlık m

L

Buna göre cos LPF kaç- P

tır?

A –1

2 B) – 2

2 C) –1

3 D) –2

3 E) 3

 2

7.

Bir ayrıtının uzunluğu 8 br pte, olan yandaki kü

CKLD yüzeyinin ağırlık merkezi olan P’nin ABKL

üzlemine uzaklığı kaç

) d

birimdir?

A 2 B) 2 C) 2 2 D) 4 E) 4 2

8.

Yandaki küpte P ve R bu- lundukları ayrıtların orta noktalarıdır.

Küpün hacmi 12 br³ ol- duğuna göre taralı cis-

in h

m acmi kaç br³ tür?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

F K

A

B C

D

E L

P

A

B C

D

E L

P

F 6 K

F K

A

B C

D

E L

6

A

B C

D

E L

R

F K

P

F P K

MY GEO 3

KATI CİSİMLER

Mustafa YAĞCI Küp ^DABDBCCC

1.

Yandaki küpten, bir ayrı tının uzunluğu kendi ay uzunluğunun üçte biri k - rıt a- ar olan bir küp kesilip

r.

in hacmi 26 na göre kalan ismin alanı kaç cm² dir?

) 26 B) 27 C) 48 D) 54 E) 60

Bu

emirden küp atıldığın- ömülmektedir.

u deney sonucunda küpteki suyun yüksekliği h irim artıyorsa h kaç birimdir?

) 0.0625 B) 0.075

miktar su vardır.

emirden küp atıldığın- esi k

üpün tam yarısına kadar yükselmektedir.

una göre küçük küp atılmadan önceki su yük- kliği aşağıdakilerden hangisidir?

) 0.625 B) 0.75 C) 0.8 D) 0.875 E) 0.

n rıtının kaç katı- d

çıkarılmıştı Kalan cism cm³ olduğu c

A

2.

Bir ayrıtının boyu 4 bi- rim olan bir küpün için- de bir miktar su vardır.

küpün içine bir ayrıtı 1 birim uzunlukta olan d

da, küp tamamen suya g

B b

A C) 0.125 D) 0.25 E) 1

3.

Bir ayrıtının boyu 4 bi- rim olan bir küpün için- de bir

Bu küpün içine bir ayrıtı 2 birim uzunlukta olan d

da, su seviy üçük k

B se

A 9

4.

Yandaki küpte P noktası [KL] üzerindedir.

|AP| + |PB| toplamının en küçük değeri küpü bir ay

ır?

d

A) 2 B) 5 C) 6 D) 3 E) 2 3

ın eri küpün

aç katı-

) 2 B)

A 5.

B C

D

E

F K

L

A

B C

D

E

F K

L P

Yandaki küpte P noktası [KC] ayrıtının üzerinde- dir.

|FP| + |PD| toplamın en küçük değ bir ayrıtının k dır?

A 5 C) 6 D) 3 E) 2 3

LD] olarak veriliyor.

+ |QP| + |PA|

plamı en az kaç cm labilir?

A

B C

D

E

6.

Bir ayrıtı 2 cm olan yan- daki küpte Q  [KC] ve P  [

|FQ|

to o

A) 4 2 B) 6 C) 2 10 D) 4 3 E) 7

az kaç a’dır?

7.

Bir ayrıtı a br olan yandaki küpte P  [BC], R  [AD]

ve Q[EL] olarak veriliyor.

|FP| + |PR| + |RQ| + |QK|

oplamı en t

A) 15 B) 4 C) 17 D) 3 2 E) 5

şesine P e Q noktalarına uğraya-

n

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 8.

Bir ayrıtının uzunluğu 15 br olan yandaki küpün A köşesinden C kö

v

rak gitmek zorunda olan bir karıncanın yolunu e kısa yapan P ve Q nok-

taları için |QZ| = x kaç birimdir?

A

B C

D

E

F K

L P

A

B C

D

E

F

L P

Q K

F 4 K

L h

1

A

B C

D

L 2

A

B C

D

E L

P

R

Q

F 4 K

F K

A B

D C

X Y

T Z P

Q

15

x