dört boyutlu küp

(1)

Hiçbir zaman görme flans›m›z›n ol-mad›¤› 4 boyutlu birim fleklin (Tesse-ract, Hypercube, Octaholohedron ya da 8-Cell) bakma flans›m›z›n da olma-d›¤› 4 boyutlu ortamdan görünüflleri-ni oluflturmak size imkans›z gelebilir, ama mümkündür. Öncelikle flunu söy-lemem gerekir ki, 4 boyutlu birim flek-lin görünüfllerini 3 boyutlu ortam için-de elle tutulabilir flekiliçin-de oluflturabil-memiz için onu göroluflturabil-memize gerek yok; dolay›s›yla 4 boyutlu ortamdan bak-mam›za da gerek yok. ‹ki boyutlu ortam içinde, iki boyutlu varl›klar›n yaflad›¤›n› hayal edelim. Burada yapmaya çal›flt›¤›m›z olay› iki boyutlu

varl›klar›n bizim görmüfl oldu¤umuz küpün görünüfllerini oluflturmaya çal›flmalar›na benzetebiliriz. Her fley ayn›, sadece 1 boyut eksik.

4 boyutlu birim fleklin görünüflleri-ni oluflturabilmemiz için afla¤›daki iki kuraldan yararlanaca¤›z. Önce bu iki kural 1, 2 ve 3 boyutlu birim flekillere uygulanacak, daha sonra da 4 boyutlu birim flekle uygulan›p görünüflleri ç›-kart›lacak.

Kural 1: n boyutlu birim fleklin s›n›-r›, tüm alt boyutlar›n›n çok say›daki birim flekillerinden oluflur (köfle nok-tas›, kenar, yüzey....gibi).

Kural 2: Görülmeyen Köﬂe Noktas›

Kural›: n boyutlu birim fleklin s›n›r›n-da, n boyutlu ortamda de¤iflik say›lar-da alt boyutlar›n birim flekillerinin gö-rülebildi¤i, 2n-1

, 2n-2

, .... 2n-n

kadar köfle noktas›n›n görülmedi¤i n tane farkl› görünüflü vard›r. Görülmeyen köfle noktas› ya da noktalara ba¤l› n boyut-lu birim fleklin s›n›r›ndaki alt boyutla-r›n, birim flekilleri de görülmez.

4 Boyutlu Birim ﬁekil

Kural 1: 4 boyutlu birim fleklin s›n›-r› 16 köfle noktas› (0D), 32 kenar (1D), 24 kare fleklindeki yüzeyden (2D) ve 8 küp fleklindeki hacimden (3D) oluflur.

4 ve daha üst boyutlar›n birim fle-killerinin s›n›r›ndaki alt boyutlar›n bi-rim flekil say›lar›n› bulman›n bilinen 2 pratik yolu vard›r, bunlardan birincisi tablo üstünde iflleyen bir kural, di¤eri ise bir formüldür.

Tablo üstünde iﬂleyen kural: Bu kural›n mant›¤›n› A=2B+C gibi düﬂü-nebiliriz, burada bulmak istedi¤imiz

88 Mart 2002 B‹L‹MveTEKN‹K

1 Boyutlu Birim ﬁekil

(Do¤ru Parças›):

Kural 1: 1 boyutlu birim fleklin s›n›r› 2 köfle noktas›ndan (0D) oluflur.

Kural 2: 1 boyutlu birim fleklin s›n›r›nda, 1 boyut-lu ortamda 1 köfle noktas›n›n görülmedi¤i 1 tane gö-rünüflü vard›r. Uzunluk da görülmeyen köfle noktas›-na ba¤l› olaca¤› için görülmez.

Görülen . A

Görülmeyen B noktas›na ba¤l› AB do¤ru parças› da görülmez.

dört

boyutlu

küp

(2)

de¤er A; A’n›n üstündeki de¤er B; A’n›n sol üstündeki de¤er ise C dir. Bu iﬂlem sonsuza kadar devam ettiri-lebilir. Bkz. Tablo-1

Kural 2: 4 boyutlu birim fleklin s›n›-r›nda 4 boyutlu ortamda de¤iflik say›-larda alt boyut birim flekillerinin görü-lebildi¤i 1, 2, 4 ve 8 köfle noktas›n›n

görülmedi¤i 4 tane farkl› görünüflü vard›r. Bu görünüfllerde görülmeyen köfle noktas› ya da noktalar›na ba¤l› kenarlar ve yüzeyler de görülmez. 4

89

Mart 2002 B‹L‹MveTEKN‹K

2 Boyutlu Birim ﬁekil (Kare)

Kural 1: 2 boyutlu birim fleklin s›n›r› 4 kö-fle noktas› (0D) ve 4 kenardan (1D) oluflur.

Kural 2: 2 boyutlu birim fleklin s›n›r›nda 2 boyutlu ortamda de¤iflik say›larda alt boyutla-r›n birim flekillerinin görülebildi¤i 1 ve 2 köfle noktas›n›n görülmedi¤i 2 tane farkl› görünüflü vard›r. Bu görünüfllerde görülmeyen köfle nok-tas› ya da noktalar›na ba¤l› kenarlarda görül-mez. Yüzey de görülmeyen köfle noktas› ya da noktalar›na ba¤l› olaca¤› için görülmez.

3 Boyutlu Birim ﬁekil (Küp):

Kural 1: 3 boyutlu birim fleklin s›n›r› 8 köfle noktas› (0D), 12 kenar (1D) ve 6 kare fleklindeki yü-zeyden (2D) oluflur.

Kural 2: 3 boyutlu birim fleklin (küpün) s›n›r›nda 3 boyutlu ortamda de¤iflik say›larda alt boyutlar›n birim flekillerinin görülebildi¤i 1, 2 ve 4 köfle noktas›n›n görülmedi¤i 3 tane farkl› görünüflü vard›r. Bu görünüfllerde görülmeyen köfle noktas› ya da noktalar›na ba¤l› kenarlar ve yüzeyler de görülmez. Hacim de görülmeyen köfle noktas› ya da noktalar›na ba¤l› olaca¤› için görülmez.

Görülen

D A B Görülmeyen C köﬂe noktas›na ba¤l› olan CB ve CD

kenarlar› ve ABCD yüzeyi de görülmez.

Görülen A B

Görülmeyen C ve D köﬂe noktalar›na ba¤l› olan DA, CB ve CD kenarlar› ve ABCD yüzeyi de

görülmez.

Görülmeyen A, E, D, H köﬂe noktas›na ba¤l› olan EH, DH, HG, AD, DC, AB, AE, EF, kenarlar›, AEHD, DHGC, HEFG, DABC, EABF yüzeyleri ve ABCDEFGH hacmi görülmez.

Görülmeyen 1 Köﬂe Noktas› (H)

Görülmeyen H köﬂe noktas›na ba¤l› olan HE, HD, HG kenarlar›, HDAE, HGCD, HGFE yüzeyleri ve ABCDEFGH hacmi görülmez.

Görülmeyen 2 Köﬂe Noktas› (D, H) Görülen

Görülen Göz Göz Göz Göz Göz

Görülmeyen A, E, D, H köﬂe noktas›na ba¤l› olan EH, DH, HG, AD, DC, AB, AE, EF, kenarlar›, AEHD, DHGC, HEFG, DABC, EABF yüzeyleri ve ABCDEFGH hacmi görülmez.

Görülmeyen 4 Köﬂe Noktas› (A, E, D, H)

Görülen Görülmeyen 1 Köﬂe Noktas› (C)

Görülmeyen 2 Köﬂe Noktas› (C, D)

Tablo 1

Örnek: Küpün kenar say›s›n› bulmak istiyorsak, ka-renin kenar say›s›n› 2 ile çarp›p ç›kan sonuca kare-nin köﬂe nokta say›s›n› eklemeliyiz. 4x2+4=12

Formül-1: Ayn› sonuçlara, 2n-m_n!/m!(n-m)!

formülünü kullanarak da ulaﬂabiliriz.

Örnek: Küpün (3D) kenar (1D) say›s›n› bulmak isti-yorsan›z. n=3, m=1 dir.

23-1_{x3!/1!x(3-1)! = 4x6/1x2 = 24/2 = 12 dir.}

0D 1D 2D 3D 4D

(köﬂe) (kenar) (yüzey) (hacim)

Nokta 1 Do¤ru parças› 2 1 Kare 4 4 1 Küp 8 12 6 1 Tesseract 16 32 24 8 1 Formül-2 2n-m _{n!/m!(n-m)! - n!/m!(n-m)! = (2}n-m _{-1)n!/m!(n-m)!}

Örnek: 4 boyutlu birim fleklin, 4 boyutlu ortamdan 1 köfle noktas›n›n görülmedi¤i durumda görülen, Köfle nokta say›s› (0D) n=4 m=0 (24-0_{–1).4! / 0!.(4-0)! = (16-1).24 / 1x24=15}

Kenar say›s› (1D) n=4 m=1 (24-1_{–1).4! / 1!.(4-1)! = (8-1).24 / 1x6=28} Yüzey say›s› (2D) n=4 m=2 (24-2_{–1).4! / 2!.(4-2)! = (4-1).24 / 2x2=18} Hacim say›s› (3D) n=4 m=3 (24-3_{–1).4! / 3!.(4-3)! = (2-1).24 / 6x1=4}

(3)

boyutlu birim de, görülmeyen köﬂe noktas›na ba¤l› olaca¤› için görülmez.

4 Boyutlu Birim ﬁeklin

Görünüﬂlerinin

Oluﬂturulmas›:

Önce 4 boyutlu birim fleklin, 1 kö-fle noktas›n›n görülmedi¤i bak›fl do¤rultusunda görülen alt boyut bi-rim flekillerin say›s›n› bulaca¤›z. Son-ra da Tablo-1 de anlat›lan (A=2B+C) kural›n› kullanarak di¤er 3 görüflünde görülen alt boyutlar›n birim flekil say›-lar›n› ulaflaca¤›z.

n boyutlu birim ﬂeklin 1 köﬂe

nok-tas›ndan geçen s›n›r›ndaki m boyutlu alt boyutlara ait birim flekil say›s›n› n’in m’li kombinasyon formülünden bulabiliriz. Dolay›s›yla n boyutlu birim fleklin 1 köfle noktas›n›n görülmedi¤i durumda görülen alt boyut birim flekil say›s›n› bulmak için formül 2’yi kulla-nabiliriz.

Tablo-3 de görülen e¤ik oklar do¤-rultusunda, daha önce anlat›lan Tablo-1 üstünde iflleyen kural› (A=2B+C) kulla-narak, 4 boyutlu birim fleklin 4 boyutlu ortamdaki 2, 4 ve 8 köfle noktalar›n›n görülmedi¤i görünüfllerine ulaflabiliriz. Örnek: 4 boyutlu birim fleklin 2 kö-fle noktas›n›n görülmedi¤i görünüflü:

3 boyutlu ortamdan küpün 1 köfle noktas›n›n görülmedi¤i görünüflün-den, 4 boyutlu ortamdan 4 boyutlu bi-rim fleklin 2 köfle noktas›n›n görülme-di¤i görünüflünü ç›kartal›m.

Köﬂe nokta say›s›(0D) 2x7+0=14 Kenar say›s› (1D) 2x9+7=25 Yüzey say›s› (2D) 2x3+9=15 Hacim say›s› (3D) 2x0+3=3

Uyar›: 2 boyutlu varl›k küpün görü-nüﬂlerini kendi 2 boyutlu uzay›n›n

için-de oluflturmay› baflarm›fl olsayd› bile, o görünüflleri yüzey görme flans› olmad›¤› için hiçbir zaman bizim gördü¤ümüz gi-bi görme flans› olmayacakt›. Ayn› flekilde bizlerin de hacim görme flans›m›z olma-d›¤› için, elimizde 4 boyutlu birim fleklin görünüfllerini tuttu¤umuz halde, bu fle-killere bakt›¤›m›zda gördü¤ümüz maale-sef 4 boyutlu birim fleklin 4 boyutlu or-tamdan görünüflleri olmayacakt›r (baz› köfle noktalar›, kenarlar ve yüzeyler fle-killerin arkas›nda ya da içinde ve tüm hacimler fleklin içinde kalacakt›r).

Ayr›ca, 4 boyutlu ortamdan 4 bo-yutlu yuvarlak fleklin görünüflünün bir küre oldu¤unu da eklemem gere-kir. 2 boyutlu yuvarlak flekil olan da-ire, sonsuz büyüklükte de¤il ama s›-n›rs›z bir yüzeye sahip olan 3 boyutlu yuvarlak flekil olan kürenin tek görü-nüflü oldu¤u gibi, 3 boyutlu yuvarlak flekil olan kürede sonsuz büyüklükte de¤il ama s›n›rs›z bir hacme sahip olan 4 boyutlu yuvarlak fleklin, 4 boyutlu ortamdan tek görünüflüdür.

M u s t a f a S a n c a k

90 Mart 2002 B‹L‹MveTEKN‹K