B Bi in no om m A Aç çı ıl lı ım mı ı
BiBirr ikikii tteerriimmlliinniinn n’n’iinnccii kukuvvvveettiinniinn açaçııllıımmıınnddaakkii kkaatt ssaa-- y
yııllaarrıınn PPaassccaall üüççggeennii yyaarrddıımmı ı iillee nnaassııll bbuulluunndduuğğuunnuu bbii-- liliyyoorrssuunnuuzz..
(
(aa bb))00... 11 (a(a bb))11... 11 aa 11 bb (a(a bb))22... 11 aa22 22 aabb 11 bb22 (a(a bb))33... 11 aa33 33 aa22b b 33 aabb22 11 bb33 (a(a bb))44... 11 aa44 44 aa33b b 66 aa22bb22 44 aabb33 11 bb44 ..
.. ..
BuBurraaddaa,, (a(a bb))44 ünün açaçııllıımmıınnddaakkii kakatt sasayyııllaarraa didikkkkaatt ededii--nniizz::
11 aa44 44 aa33b b 66 aa22bb22 44 aabb33 11 bb44
a a bb nininn didiğğeerr kukuvvvveettlleerriinniinn açaçııllıımmlalarrıınnddaakkii kakatt sasayyııllaarrıınn ddaa aayynnıı bbiiççiimmddee yyaazzııllaabbiilleecceeğğiinnii ggöörrüünnüüzz..
O Ohâhâllddee,, PPaassccaall üçüçggeenniinnddeekkii kakatt sasayyııllaarr kokommbbii-- nanassyyoonnllaarrllaa aaşşaağğııddaakkii ggiibbii yyaazzııllaabbiilliirr::
(a(a bb))00...
(a(a bb))11...
(a(a bb))22...
(a(a bb))33...
(a(a bb))44...
BuBunnaa ggöörree,, aa bb nniinn nn’’iinnccii kkuuvvvveettiinniinn aaççııllıımmınınıınn,, a,a, bb CC vvee nn NN oollmmaakk üüzzeerree;;
(
(aabb))nn aann aann11 bb aann22 bb22 ...... aa00bbnn
o
olldduuğğuu kkoollaayyccaa bbuulluunnuurr.. ÖrÖrnneeğğiinn;;
1 5 0
6
6 (2x) ( 1)
1 ) 6 1 ( ) x 2 0 ( ) 6 1 x 2
(
4 2 3 3 (2x)2( 1)4
4 ) 6 1 ( ) x 2 3 ( ) 6 1 ( ) x 2 2(
6
1 5 (2x)0 ( 1)6 6
) 6 1 ( ) x 2 5(
6
2 3 4 5
6
6 64x 192x 240x 160x 60x )
1 x 2
(
12 x 1 ololuurr..
1. Aşağıdaki ifadelerin açılımlarını yazınız.
a. ( x 2)4 b. (2x3)3 c. (3x2y)4 d. (10xy)5 e.
6
x x 1
f.
1 3
8g. (ab1)7 h. ( a bc)5 i. (2mnk)6
2. Aşağıdaki ifadelerin, birinci terimin azalan kuvvet- lerine göre açılımlarının 4. terimlerini, bu açılımları yap- madan bulunuz.
a. (2x3y)5 b. (xy2)6 c. ( a 3b)6 d. ( a 2bc)10 e.
7 3
x x 2
f. ( x y)20
g.
x 2 2y
12 h. 14x x 1
i.
6 3
103. Aşağıdaki ifadelerin açılımlarında, yanlarında veri- len terimlerin kat sayılarını, bu açılımları yapmadan bu- lunuz.
a. ( x 2y)5; x2y3 b.
x 2 y
8; x6y5c.
3 a b2
7; a3b8 d. (2x5y)6; x4y2e. (ab2c)5; a2b2c f.
2 2 6 4 8; a b c d )
d bc 2 ab
(
g. (xy1)10; x5y h.
x2xy2
10; x6y24 0
4 1
4 2
4 3
4 4
4 0
4 4 4
1 4 2
4 3 3
0 3 1
3 2
3 3 2
0 2 1
2 2 1
0 1 1 0 0
n 0
n 1
n 2
n n
4.
18 2
x x 2
ifadesi x’in azalan kuvvetlerine göre
açıldığında;
a. Baştan 6. terim ne olur?
b. Sondan 4. terim ne olur?
c. Sabit terim ne olur?
d. Orta terim ne olur?
e. x3 ün kat sayısı kaç olur?
f. x5 in kat sayısı kaç olur?
5.
x 3 2x2
20 ifadesi x’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında;a. Baştan 7. terim ne olur?
b. Sondan 5. terim ne olur?
c. Orta terim ne olur?
d. x45 in kat sayısı kaç olur?
e. x58 in kat sayısı kaç olur?
f. Kat sayıların toplamı kaç olur?
6.
21 4 3
x x 1
2
ifadesi x’in azalan kuvvetlerine göre
açıldığında;
a. Baştan 5. terim ne olur?
b. Sondan 9. terim ne olur?
c. Tam ortadaki iki terim neler olur?
d. Sabit terin ne olur?
e. x21 in kat sayısı kaç olur?
f. x7 nin kat sayısı kaç olur?
7. n N olmak üzere;
2n
n .... n 2 n 1 n 0
n
olduğunu gösteriniz.
8. Aşağıdaki toplamları hesaplayınız.
a.
6 7 5 7 4 7 3 7
b.
8 9 7 9 6 9 5 9 4 9
9. Aşağıdaki ifadelerin açılımlarındaki kat sayıların toplamlarını bulunuz.
a. (2x4y)8 b.
13 2 3
x x 1
2
c. (x2y3)7 d.
2x23yz
21O
Ol la as sı ıl lı ık k K Ku ur ra am mı ı
1. Yüzleri 1’den 6’ya kadar numaralı bir zar iki kez atılacaktır. Bu atışlarda üst yüze gelebilecek sayılar sıralı ikililerle gösterilecektir.
Örneğin; (2, 5) ikilisi 1. atışta 2, 2. atışta 5 geldiğini be- lirtecektir.
a. Olası ikilerin kümesini yazınız.
b. Bileşenlerinden yalnız bir tek sayı olan ikilerin küme- sini yazınız.
c. Bileşenlerinden en az biri çift sayı olan ikililerin küme- sini yazınız.
d. Bileşenlerinin toplamı 14 olan ikililerin kümesini ya- zınız.
e. Bileşenlerinin toplamı 20’den küçük olan ikililerin kümesini yazınız.
f. Bileşenleri tek sayı olan ikililerin kümesini yazınız.
T Taannıımm
ZZaarr aattmmaa eeyylleemmii ggiibbii,, rraassttggeellee ssoonnuuççllaarrıı oollaabbiilleecceekk bbiirr eyeylleemme e ddeenneeyy;;
ololaassıı ssoonnuuççllaarrıınn heherr bibirriinnee dedenneeyyiinn çıçıkkttııssıı yyaa ddaa öörr-- nenekklleemm nnookkttaa;;
öörrnneekklleemm nnookkttaallaarrıınn kküümmesesiinnee öörrnneekklleemm uuzzaayy;;
öörrnneekklleemm uuzzaayyıınn hheerr hhaannggii bbiirr aalltt kküümmesesiinnee oollaayy;;
kkeessiişşiimmi i bbooşş kküümme e oollaann oollaayyllaarraa aayyrrııkk oollaayyllaarr;;
öörrnneekklleemm uuzzaayyıınn bbooşş kküümme e oollaann aalltt kküümmesesiinnee iimmkâkânn-- s
sıızz oollaayy;;
öörrnneekklleemm uuzzaayyaa kkeessiinn oollaayy ddeenniirr.. Ö
Örrnneekklleemm uuzzaayy EE iillee ggöösstteerriilliirr..
2. Aşağıdaki deneylerde örneklem uzayları yazınız.
a. Bir madeni paranın atılması.
b. İki madeni paranın atılması.
c. Bir zarın atılması.
d. Bir madeni para ile bir zarın atılması.
e. A, B, C, D adlı kişilerden rastgele ikisinin seçilmesi.
f. A, B, C adlı kişilerden rastgele birine bir elma, birine bir armut verilmesi.
3. İki zarın atılması deneyinde, aşağıda belirtilen olayları yazınız.
a. Zarlardan yalnız birinin 2 gelmesi.
b. Zarlardan en çok birinin çift gelmesi.
c. Zarlardan birinin tek, birinin çift gelmesi.
d. Zarlardan ikisinin de aynı gelmesi.
4. İki madeni paranın atılması deneyinde, aşağıda belirtilen olaylardan hangileri ayrık olaylar. Hangisi im- kansız olay, hangisi kesin olaydır?
a. Paralardan yalnız birinin yazı gelmesi.
b. Paralardan ikisinin de yazı gelmesi.
c. Paralardan ikisinin de tura gelmesi.
d. Paralardan her birinin yazı veya tura gelmesi.
e. Paralardan birinin hem yazı, hem tura gelmesi.
5. Aşağıdaki deneylerde örneklem uzayların ele- man sayılarını, bu örneklem uzayları yazmadan bulu- nuz.
a. Üç madeni paranın atılması.
b. İki madeni para ile bir zarın birlikte atılması.
c. Bir işyerindeki 3 farklı işe, 7 adaydan rastgele üçünün alınması.
d. 5 kişinin, numaralı 7 koltuğa oturmaları.
e. 10’u kız olan 24 kişilik bir sınıfta, 2’si kız olan 5 kişi- nin seçilmesi.
f. 6 kişinin 3’er kişilik 2 gruba ayrılması.
Ol O la as sı ıl lı ık k F Fo on nk ks si iy yo on nu u
T Taannıımm
BiBirr E Eörörnneekklleemm uuzzaayyıınnıınn aalltt kükümmeleleerriinniinn kükümmesesii EEAAolol-- susunn.. EEAAkükümmesesiinnddeenn [0[0,, 1]1] araraallıığğıınnaa tatannıımmllıı,, aşaşaağğııddaakkii akakssiiyyoommllaarrıı gegerrççeekklleeyyeenn PP ffoonnkkssiiyyoonnuunnaa ololaassııllııkk fofonnkk-- sisiyyoonnuu;; PP((AA)) ddeeğğeerriinnee ddee AA oollaayyıınnıınn oollaassııllıığğıı ddeenniirr.. II.. AA EEAAiissee 00 PP((AA)) 11 ddiirr..
IIII.. PP((EE)) 11 ddiirr..
IIIIII.. AA,, BB EEAAveve AA BB iissee,, PP((AA BB)) PP((AA)) PP((BB)) ddiirr..
6. E {A, B} VE EA
{
, {a}, {b}, {a, b}}
olmak üzere, P : EA [0, 1] olasılık fonksiyonuna göre;P(a) P(b) k ise, k kaçtır?
[
P({a}) ifadesi, P(a) olarak yazılmıştır.]
7. Üç yüzü sarıya, 2 yüzü kırmızıya, 1 yüzü maviye boyanmış bir zarın atılması deneyinde üst yüze gele- bilecek renkler s, k, m ile gösterilerek, örneklem uzay E {s, k, m} olarak verilmiştir.
P : EA [0, 1] olasılık fonksiyonuna göre, 2P(s) 3P(k) 6P(m) ise,
zar atıldığında kırmızı gelme olasılığı kaçtır?
8. Örneklem uzay, E {a, b, c} ve
P : EA [0, 1] olasılık fonksiyonu olduğuna göre,
2 b 1 , a
P ve
3 c 2 , b
P ise P(a) kaçtır?
T Teeoorreemm E
EAA, , bbiirr EE öörrnneekklleemm uuzzaayyıınnıınn aalltt kküümmeleleerriinniinn kküümmesesii vvee P P :: EEAA [[00,, 11]] oollaassııllııkk ffoonnkkssiiyyoonnuu oolldduuğğuunnaa ggöörree,, II.. PP(()) 00 ddıırr..
IIII.. AA,, BB EEAA vvee AA BB iissee PP((AA)) PP((BB)) ddiirr..
IIIIII.. AA oollaayyıınnıınn EE öörrnneekklleemm uuzzaayyıınnddaakkii ttüümmlleeyyeennii AA oolldduu-- ğuğunnaa ggöörree,, PP((AA) ) 11 PP((AA)) ddıırr..
IVIV.. AA,, BB EEAA iissee PP((AA BB)) PP((AA)) PP((BB)) PP((AA BB)) didirr..
9. Olasılık aksiyomlarını kullanarak yukarıdaki teore- mi ispatlayınız.
10. A, B E olmak üzere, örneklem uzayı E olan bir P olasılık fonksiyonu için
8 ) 5 B A ( P 8, ) 3 B ( P 2, ) 1 A (
P olduğuna göre;
a. P(A B) kaçtır?
b. P(A) kaçtır?
c. P(A B) kaçtır?
d. P(A B) kaçtır?
E
Eş ş O Ol la as sı ıl lı ı Ö Ör rn ne ek kl le em m U Uz za ay y
TaTannıımm
ÖrÖrnneekklleemm uzuzaayyıı,, E E{e{e11,, ee22, ,ee33, ,...,, eenn} }ololaann bbiirr P Pololaa-- sısıllııkk ffoonnkkssiiyyoonnuu iiççiinn,,
P(P(ee11)) P(P(ee22) ) P(P(ee33) ) ... P(P(eenn) )isisee E’E’yyee eşeş ololaassııllıı örörnneekklleemm uuzzaayy ddeenniirr..
2.2. etetkkiinnlliikkttee yayazzddıığğıınnıızz öörrnneekklleemm uzuzaayyllaarrıınn hheerr bbiirrii eşeş o
ollaassııllıı öörrnneekklleemm uuzzaayyddıırr..
11. E {a, b, c, d, e}, eş olasılı örneklem uzay ise;
a. P(a) kaçtır?
b. P({a, b, c}) kaçtır?
T Teeoorreemm
E E eeşş oollaassııllıı öörrnneekklleemm uuzzaayyıınnıınn bbiirr oollaayyıı AA iissee;;
s(E) P(A) s(A) didirr..
[s[s((AA)),, AA kküümmesesiinniinn eelleemmanan ssaayyııssııddıırr..]]
12. Yukarıdaki teoremi, 11. etkinlikteki çözümünüz- den yararlanarak ispatlayınız.
13. Bir torbada 2 sarı, 3 kırmızı, 4 mavi bilye vardır.
Çekilen bir bilyenin;
a. Mavi olması olasılığı kaçtır?
b. Sarı veya mavi olması olasılığı kaçtır?
14. İki madeni para atılıyor.
a. İkisinin de tura gelmesi olasılığı kaçtır?
b. Birinin yazı, birinin tura gelmesi olasılığı kaçtır?
15. İki zar atılıyor.
a. Yalnız birinin 2 gelmesi olasılığı kaçtır?
b. İkisinin de aynı gelmesi olasılığı kaçtır?
c. En az birinin çift sayı gelmesi olasılığı kaçtır?
d. En çok birinin tek sayı gelmesi olasılığı kaçtır?
16. Bir torbada 3 mavi, 4 kırmızı, 5 sarı bilye vardır.
a. Üçünün de kırmızı gelmesi olasılığı kaçtır?
b. Birinin mavi, ikisinin sarı gelmesi olasılığı kaçtır?
c. En az birinin mavi gelmesi olasılığı kaçtır?
d. Yalnız birinin mavi gelmesi olasılığı kaçtır?
e. Üçünün de aynı renk gelmesi olasılığı kaçtır?
f. Üçünün de farklı renk gelmesi olasılığı kaçtır?
g. Yalnız ikisinin aynı renk gelmesi olasılığı kaçtır?
h. En az ikisinin aynı renk gelmesi olasılığı kaçtır
17. 4’ü erkek olan 10 kişilik gruptan rastgele 4 kişi seçilecektir.
Seçilenlerden en az 2’sinin kız olması olasılığı kaçtır?
18. 9 kız ve 12 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kızların 3’ü, erkeklerin 5’i gözlüklüdür.
Sınıftan rastgele seçilen iki öğrencinin;
a. Birinin kız birinin erkek olması olasılığı kaçtır?
b. İkisinin de erkek olması olasılığı kaçtır?
c. Birinin gözlüklü olması koşuluyla ikisinin de kız ol- ması olasılığı kaçtır?
d. En az birinin gözlüklü olması olasılığı kaçtır?
e. İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olması ola- sılığı kaçtır?
f. Birinin gözlüklü erkek veya birinin gözlüksüz kız olma- sı olasılığı kaçtır?
19. Bir sınıftaki öğrencilerin % 32 si matematikten, % 40 ı fizikten, % 8 i hem matematikten hem de fizikten kalmıştır.
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin;
a. Hem matematikten hem de fizikten geçmiş olması olasılığı kaçtır?
b. Matematikten geçmiş, fizikten kalmış olması olasılığı kaçtır?
c. Bu derslerin en az birinden geçmiş olması olasılığı kaçtır?
d. Bu derslerin yalnız birinden kalmış olması olasılığı kaçtır?
20. Aralarında Eren ile Kerem’in de bulunduğu 4 öğ- renci bir lisenin 1. sınıfına kaydolmuştur.
Bu öğrenciler A, B, C sınıflarından birine, ikisine veya üçüne alınacaktır.
a. Eren ile Kerem’in aynı sınıfa alınmaları olasılığı kaç- tır?
b. Eren’in A sınıfına, Kerem’in B sınıfına alınmaları ola- sılığı kaçtır?
c. Her sınıfa en az bir öğrencinin alınması olasılığı kaç- tır?
Ko K oş şu ul ll lu u O Ol la a sı s ıl lı ık k
TaTannıımm
BiBirr EE öörrnneekklleemm uuzzaayyıınnıınn iikkii oollaayyıı AA vvee BB oollssuunn..
B B ololaayyıınnıınn ggeerrççeekklleeşşmmiişş ololmmaassıı kkooşşuulluuyyllaa A A oollaayyıınnıınn ololaassııllıığğıınnaa,, A A ololaayyıınnıınn B B kokoşşuulllluu ololaassııllıığğıı ddeenniirr.. BBuu o
ollaassııllııkk PP((AA // BB)) bbiiççiimmiinnddee ggöösstteerriilliirr.. P
P((AA // BB))
P(B) B) P(A
didirr..
21. Bir zar atılıyor.
Bir tek sayı geldiği bilindiğine göre, bunun bir asal sayı olması olasılığı kaçtır?
22. 24 kişilik bir sınıfta öğrencilerin 8’i matematikten, 10’u fizikten, 3’ü hem matematikten hem de fizikten kal- mıştır.
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten geçtiği bilindiğine göre, matematikten kalmış olması olasılığı kaçtır?
T Teeoorreemm B
Biirr EE eeşş oollaassııllıı öörrnneekklleemm uuzzaayyıınnıınn iikkii oollaayyıı AA vvee BB oollssuunn.. P(P(BB)) >> 00 iissee AA’’nnıınn BB kkooşşuulllluu oollaassııllıığğıı,,
P(P(AA // BB))
s(B) B) s(A
didirr..
23. Yukarıdaki teoremi ispatlayınız
24. Bir torbada 2 mavi, 1 sarı bilye vardır. Çekilen bil- ye torbaya konulmamak üzere, torbadan art arda iki bil- ye çekiliyor.
a. Mavi bilyeleri m1, m2 ve sarı bilyeyi s ile göstererek, deneyin örneklem uzayını yazınız.
b. İlk çekilen bilyenin mavi gelmesi olayını yazınız.
c. İkinci çekilen bilyenin mavi gelmesi olayını yazınız.
d. İlk çekilen bilyenin mavi gelmesi olasılığını bulunuz.
e. “Torbadan iki bilye çekilmesi deneyinde ilk çekilen bil-yenin mavi gelmesi olasılığı” ile “torbadan bir bilye çekil-mesi deneyinde bunun mavi gelmesi olasılığı”nı karşılaştırınız.
f. İlk çekilen bilyenin mavi gelmesi koşuluyla, ikinci çe- kilen bilyenin mavi gelmesi olasılığını bulunuz.
g. İkinci çekilen bilyenin mavi gelmesi koşuluyla, ilk çekilen bilyenin mavi gelmiş olması olasılığını bulunuz.
h. İkinci çekilen bilyenin sarı gelmesi koşuluyla, ilk çe- kilen bilyenin mavi gelmiş olması olasılığını bulunuz.
25. Bir torbada 3 mavi, 4 kırmızı, 5 sarı bilye vardır.
Torbadan 3 bilye çekiliyor.
a. Birinin mavi geldiği bilindiğine göre, diğerlerinin kır- mızı gelmesi olasılığı kaçtır?
b. Üçünün de aynı renkte geldiği bilindiğine göre, bun- ların sarı gelmiş olması olasılığı kaçtır?
c. İkisinin farklı renkte geldiği bilindiğine göre, en az biri-nin mavi gelmesi olasılığı kaçtır?
d. İkisinin aynı renkte geldiği bilindiğine göre, üçünün aynı renkte olmaması olasılığı kaçtır?
TeTeoorreemm
E E öörrnneekklleemm uuzzaayyıınnıınn iikkii oollaayyıı AA vvee BB oollssuunn.. P
P((AA)) >> 00 vvee PP((BB)) >> 00 iissee P(P(AA BB)) PP((AA)) PP((BB // AA)) ddıırr..
26. Yukarıdaki teoremi ispatlayınız.
27. Kalem kutusunda ikisi bozuk olan 4 kalen vardır.
Alınan kalem kutuya konulmamak üzere, kutudan art arda iki kalem alınıyor.
a. Deneyin örneklem uzayını yazınız.
b. İlk alınan kalemin bozuk olması olayını yazınız.
c. İlk alınan kalemin bozuk olması olasılığını bulunuz.
d. “Kutudan iki kalem alınması deneyinde ilk alınan ka- lemin bozuk olması olasılığı” ile “kutudan bir kalem alın- ması deneyinde bunun bozuk olması olasılığı”nı karşı- laştırınız.
e. İlk alınan kalemin bozuk olması koşuluyla, ikinci alı- nan kalemin sağlam olması olasılığını bulunuz.
f. İlk alınan kalemin sağlam olması koşuluyla, ikinci alı- nan kalemin sağlam olması olasılığını bulunuz.
g. İlk kalemin bozuk, ikinci kalemin sağlam olması ola- sılığını bulunuz.
h. Alınan iki kalemin de sağlam olması olasılığını bulu- nuz.
28. İki torbadan birincisinde 2 mavi, 4 sarı top; ikin- cisinde 3 mavi, 4 sarı top vardır.
Birinci torbadan bir top çekilip ikinci torbaya atılıyor;
sonra ikinci torbadan bir top çekiliyor.
a. Birinci torbadan çekilen topun mavi olması koşuluyla, ikinci torbadan çekilen topun mavi olması olasılığını bu- lunuz.
b. Birinci torbadan çekilen topun sarı olması koşuluyla, ikinci torbadan çekilen topun mavi olması olasılığını bulunuz.
c. İkinci torbadan çekilen topun mavi olması olasılığını bulunuz.
d. İkinci torbadan çekilen topun sarı olması olasılığını bulunuz.
e. Birinci torbadan çekilen topun mavi olması ve ikinci torbadan çekilen topun sarı olması olasılığını bulunuz.
f. İki torbadan çekilen topun da mavi olması olasılığını bulunuz.
Ba B ağ ğı ım ms sı ız z O Ol la ay yl la ar r
TaTannıımm
E E öörrnneekklleemm uuzzaayyıınnıınn iikkii oollaayyıı AA iillee BB vvee PP((AA)) >> 00,, P(P(BB)) >> 00 oollssuunn..
A A ololaayyıınnıınn gegerrççeekklleeşşmmesesii yaya ddaa gegerrççeekklleeşşmmememeessii B B o
ollaa--yyıınnıınn oollaassııllıığğıınnıı ddeeğğiişşttiirrmmiiyyoorrssaa,, A A veve B B ololaayyllaarrıı babağğıımm--ssıızz oollaayyllaarrddıırr,, ddeenniirr..
“A“A vvee BB oollaayyllaarrıı bbaağğıımmssıızz oollaayyllaarrddıırr”” ddeemmeekk P
P((AA // BB)) PP((AA)) vveeyyaa PP((BB // AA)) PP((BB)) ddeemmeekkttiirr.. B
Baağğıımmssıızz oollmmaayyaann oollaayyllaarraa bbaağğıımmllıı oollaayyllaarr aaddıı vveerriilliirr..
29. Aşağıda verilen olaylardan hangileri bağımsızdır?
a. Bir madeni paranın iki kez atılması deneyinde;
birinci-de yazı gelmesi olayı ile ikincide tura gelmesi olayı.
b. İki zarın birlikte atılması deneyinde; birinde tek sayı gelmesi olayı ile diğerinde tek sayı gelmesi olayı.
c. Bir zar ile bir madeni paranın birlikte atılması dene- yinde; zarın asal sayı gelmesi olayı ile paranın tura gelmesi olayı.
d. İçinde sarı ve kırmızı toplar bulunan bir torbadan, ge- riye konulmadan art arda birerden iki top çekilmesi de- neyinde; ilk çekilenin sarı olması olayı ile ikinci çekilenin kırmızı olması olayı.
e. Bir A torbasında 2 mavi ve 3 sarı top, bir B torbasın- da 3 mavi ve 4 sarı top varken iki torbadan da birer top çekilmesi deneyinde; A’dan mavi top çekilmesi olayı ile B’den mavi top çekilmesi olayı.
f. Bir A torbasında 2 mavi ve 3 sarı top, bir B torbasında 3 mavi ve 4 sarı top varken, A torbasından bir topun çe- kilip B’ye atılması ve B’den bir top çekilmesi deneyinde;
A’dan çekilen topun mavi olması olayı ile B’den çekilen topun sarı olması olayı.
30. Bir zarın atılması deneyinde,
A {1, 2, 3, 5}, B {2, 5, 6}, C {1, 3, 5} ve D {2, 4, 6} olayları veriliyor.
a. A olayının olasılığını bulunuz.
b. A olayının B koşullu olasılığını bulunuz.
c. A ve B olayları bağımsız mıdır?
d. C ve D olayları bağımsız mıdır?
TeTeoorreemm
A A vvee BB,, bbiirr EE öörrnneekklleemm uuzzaayyıınnıınn bbaağğıımmssıızz iikkii oollaayyıı iissee,, P(P(AA BB)) PP((AA)) PP((BB)) ddiirr..
31. Yukarıdaki teoremi ispatlayınız.
32. Ceplerinizden birinde biri siyah, biri kırmızı 2 ka- lem; diğerinde biri 5 liralık, biri 10 liralık, biri 20 liralık 3 banknot bulunduğunu varsayınız.
a. Kalemlerden birini çekme deneyinin örneklem uzayını yazınız. Çekilen kalemin siyah olması olasılığını bulunuz.
b. Banknotlardan birini çekme deneyinin örneklem uza- yını yazınız.
Çekilen banknotun 20 liralık olması olasılığını bulunuz.
c. Kalemlerden biri ile banknotlardan birini çekme de- neyinin örneklem uzayını yazınız. Çekilen kalemin siyah olması olasılığını bulunuz. Sonucu, a. daki etkinliğinizin sonucu ile karşılaştırınız.
d. Kalemlerden biri ile banknotlardan birini çekme de- neyinde, çekilen banknotun 20 liralık olması olasılığını bulunuz. Sonucu, b. deki etkinliğinizin sonucu ile karşı- laştırınız.
e. Kalemlerden biri ile banknotlardan birini çekme dene- yinde, kalemin siyah ve banknotun 20 liralık olması ola- sılığını bulunuz.
[P(A B) P(A) P(B) bağıntısını kullanırken, c. ve d.
deki etkinliklerinizin sonuçlarından yararlanınız.]
f. Kalemlerden biri ile banknotlardan birini çekme dene- yinde, kalemin siyah veya banknotun 20 liralık olması olasılığını bulunuz.
[P(A B) P(A) P(B) P(A B) bağıntısını kullanır- ken c. ve d. deki etkinliklerinizin sonuçlarından yararla- nınız.]
33. İki torbadan I. sinde 2 sarı, 3 kırmızı; II. sinde 3 sarı, 4 mavi top vardır.
a. I. den çekilenin kırmızı ve II. den çekilenin sarı olması olasılığı kaçtır?
b. I. den çekilenin sarı veya II. den çekilenin mavi ol- ması olasılığı kaçtır?
c. Çekilen topların aynı renkte olmaları olasılığı kaçtır?
d. Çekilen topların farklı renklerde olmaları olasılığı kaç- tır?
34. İki torbadan I. sinde 2 siyah ve 3 beyaz bilye; II.
sinde 2 beyaz ve 5 siyah bilye vardır.
I. torbadan bir bilye çekilip II. ye atılacak, sonra iki tor- badan da birer bilye çekilecektir.
a. İki torbadan da aynı renkte bilyelerin çekilmesi ola- sılığı kaçtır?
b. Çekilen bilyelerin farklı renklerde olmaları olasılığı kaçtır?
c. II. torbadan çekilen bilyenin beyaz olduğu bilindiğine göre, I. torbadan birinci çekilişte bir beyaz bilye çekilmiş olması olasılığı kaçtır?
d. II. torbadan çekilen bilyenin beyaz olduğu bilindiğine göre, I. torbadan ikinci çekilişte bir siyah bilye çekilmesi olasılığı kaçtır?
35. A torbasında 3 mavi ve 5 sarı bilye; B torbasında 1 mavi ve 3 sarı bilye vardır.
Önce bir madeni para atılacak, sonra yazı gelirse A torbasından; tura gelirse B torbasından bir bilye çeki- lecektir.
Deneylerin olası sonuçları aşağıdaki ağaç diyagramın- da dallarla gösterilmiştir.
a. Diyagramdaki her bir dalın gerçekleşmesi olasılığını bulunuz.
b. Çekilen bilyenin mavi olması olasılığı kaçtır?
c. Çekilen bilyenin sarı olması olasılığı kaçtır?
d. Çekilen bilye mavi ise bunun A torbasından çekilmiş olması olasılığı kaçtır?
36. A torbasında 2 sarı ve 3 kırmızı bilye; B torba- sında 1 sarı ve 3 kırmızı bilye; C torbasında 2 sarı 1 kır- mızı bilye vardır.
Önce A torbasından bir bilye çekilecek, sonra bu sarı ise B torbasına konulup B’den; kırmızı ise C torbasına konulup C’den bir bilye çekilecektir.
a. Son çekilen bilyenin sarı olması olasılığı kaçtır?
b. A torbasından çekilen bilye ile ikinci çekilen bilyenin farklı renklerde olmaları olasılığı kaçtır?
c. Son çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, A torbasından bir sarı bilyenin çekilmiş olması olasılığı kaçtır?
37. Bir okulun 1-A sınıfındaki öğrencilerin sayısı 10’
uncu sınıflardaki öğrenci sayısının % 20’sini, 10-B sını- fındaki öğrencilerin sayısı % 15’ini oluşturmaktadır.
10-A sınıfının % 40’ı, 10-B sınıfının % 60’ı kızdır. 10-A ve 10-B sınıfları toplantı salonunda toplanmışlardır.
a. Rastgele seçilen bir öğrencinin 10-A sınıfından ol- ması olasılığı kaçtır?
b. Listeden rastgele seçilen bir öğrencinin kız olması olasılığı kaçtır?
c. Rastgele seçilen bir kız öğrencinin 10-A sınıfından olması olasılığı kaçtır?
d. Rastgele seçilen bir erkek öğrencinin 10-B sınıfından olması olasılığı kaçtır?
38. Bir gömlekçi deposundaki gömleklerin % 35’ini A atölyesinde, % 40’ını B atölyesinde, % 25’ini C atölye- sinde diktirmiştir.
A atölyesinde üretilenlerin % 4’ü, B atölyesinde üretilen- lerin % 2’si, C atölyesinde üretilenlerin % 6’sı özürlüdür.
Depodan rastgele bir gömlek alınıyor.
a. Bu gömleğin özürlü olması olasılığı kaçtır?
b. Alınan gömlek özürsüz ise bunun C atölyesinde üre- tilmiş olması olasılığı kaçtır?
39. Erol’un bir hedefi vurması olasılığı 2
1, Şenol’un
aynı hedefi vurması olasılığı 4 3 tür.
Birlikte bu hedefe ateş ediyorlar.
a. Hedefin vurulması olasılığı kaçtır?
b. Hedefi, yalnız Erol’un vurması olasılığı kaçtır?
c. Hedef vurulduğuna göre, hedefi yalnız Erol’un vur- muş olması olasılığı kaçtır?
40. Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı, 5 mavi top vardır.
Her çekilen yeniden torbaya atılarak art arda birerden 3 top çekiliyor.
a. Üçünün de kırmızı gelmesi olasılığı kaçtır?
b. Yalnız ilk ikisinin kırmızı gelmesi olasılığı kaçtır?
c. En az birinin sarı geldiği bilindiğine göre, ikisinin kır- mızı gelmesi olasılığı kaçtır?
d. Üçünün aynı renkli geldiği bilindiğine göre, bunların sarı olması olasılığı kaçtır?
Para atma
A torbası
B torbası
Mavi
Sarı
Mavi
Sarı Yazı
Tura
41. Ali, Bora ve Can masa tenisinde bir turnuva ya- pacaklardır. Kura ile seçilecek ikisi karşılaşacak, yenile- nin yerine üçüncüsü geçecektir.
Art arda iki maçı kazanan ilk kişi turnuvanın birincisi ola-caktır. Ali’nin Bora’yı yenmesi olasılığı
3
2 , Can’ın
yen-mesi olasılığı 5
2; Bora’nın Can’ı yenmesi olasılığı
3 1 tür.
Turnuvayı Ali’nin yenilmeden kazanması olasılığı kaç- tır?
Dü D üş şü ün nm me e K Ke ey yf fi i
1. Her biri 5 seçenekli, 10 sorudan oluşan bir testte doğru cevaplar seçeneklere eşit sayıda dağıtılmıştır.
Ardışık iki sorunun doğru cevabı aynı seçenekte olma- dığına göre, bu testin cevap anahtarı kaç değişik biçim- de olabilir?
2. 5 evli çift bir yuvarlak masada oturacaklardır.
Eşlerden herhangi ikisi yan yana olmamak koşulu ile, kaç değişik biçimde oturabilirler?
