Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Do˘grusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmı¸stır.
Konular, teorik anlatımdan ziyade, uygulamalı olarak anlatılmı¸s, bol örneklerle ve gerekli yerlerde mühendislik uygulamalarıyla, mühendislik bölümlerine uygun ¸sekilde verilmi¸stir.
Bu kitapta, reel vektör uzayları ile, reel vektör uzaylarındaki vektörel hesaplamalar üze
rinde durulmu¸s, di˘ger yandan soyut vektör uzayı kısaca verilip, bu konuda ayrıntıya giril
memi¸stir.
Kitabın ilk bölümünde, lineer denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri incelenerek ve matris kavramının nasıl ortaya çıktı˘gı verilmi¸stir. Bu bölümde lineer denklem sistem
lerinin elektrik devreleri, yol akı¸sı problemleri, kimyasal denklemlerdeki uygulamaları örneklerle peki¸stirilmi¸stir. ˙Ikinci ve üçüncü bölümde ise matris cebiri ve determinant konusu detaylı olarak incelenmi¸stir. Dördüncü bölümde, vektörler ile vektörlerin bazı uygulamaları verildikten sonra, altıncı bölümde, özde˘ger, özvektör, kö¸segenle¸stirme ile bu konuların uygulamaları ele alınmı¸s, yedinci bölümde ise, özellikle mühendisli˘gin grafik, animasyon, hareket, bilgisayar, robot teknolojisi ve in¸saat uygulamalarında sıkça kul
lanılan dönme, yansıma, simetri, izdü¸süm gibi lineer dönü¸sümler üzerinde durulmu¸stur.
En son bölümde de vektörel fonksiyon ve vektör alanı tanımları verilerek vektörel analize kısa bir giri¸s yapılmı¸stır.
Mühendislik fakültelerinde bölümlere göre ders saatleri de˘gi¸sti˘ginden, kitaptaki bazı konular, mühendislik fakültelerinin bölümlerine uygun olarak atlanabilir veya hızlı ve kısaca verilerek geçilebilir. Kitabın anlatımında, her konudaki en önemli noktalar vurgu
lanmı¸s ve her konu çe¸sitli örneklerle zenginle¸stirilmi¸stir. Ayrıca, örneklere benzer sorular, örneklerden hemen sonra yanıtlarıyla birlikte alı¸stırma olarak verilerek, konunun peki¸s
tirilmesi amaçlanmı¸stır. Her konunun sonuna, konunun tekrar edilmesi amaçlanarak bir test sınavı eklenmi¸stir. Kitabın konu içeri˘ginde, düzeninde ve tashihinde bana yardımcı olan Akdeniz Üniversitesi ö˘gretim üyeleri Prof.Dr. Mustafa Alkan ile Doç.Dr. Mehmet Cenkci’ye te¸sekkür ederim. Kitabın, tüm ö˘grencilerimize faydalı olmasını diliyorum.
Mustafa Özdemir Antalya 2016
"Dünya’da her ¸sey için, medeniyet için, hayat için, muvaffakiyet için en hakiki mür¸sit ilimdir, fendir. ˙Ilim ve fennin haricinde mür¸sit aramak gaflettir, cehalettir, dalâlet
tir."
Mustafa Kemal Atatürk
B˙IR˙INC˙I BÖLÜM 9 Lineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri 9
Lineer Ba˘gımlı ve Ba˘gımsız Denklemler 13
Denklem ve Bilinmeyen Sayılarına Göre Denklem Sisteminin Çözüm Sayıları 14 Gauss Jordan Eliminasyon Yöntemi ile Denklem Çözümleri 14
Matris Tanımına Giri¸s 18
Elemanter Satır Operasyonları 21
Bir Matrisin Basamak Biçimi (E¸selon Form) 22
Bir Matrisin Rankı 23
Lineer Denklem Sisteminin Geni¸sletilmi¸s Matrisinin Rankının Çözümde Etkisi 25
Lineer Homojen Denklem Sistemi 29
Lineer Denklem Sistemlerinin Uygulamaları 32
Kimyasal Denklemlerde Lineer Denklem Sistemlerinin Kullanılması 32 Yol Akı¸sı Problemlerinde Lineer Denklem Sistemlerinin Kullanılması 33 Elektrik Devreleri Problemlerinde Lineer Denklem Sistemlerinin Kullanılması 35 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Lineer Denklem Sistemleri) 39
B˙IR˙INC˙I BÖLÜM 43
Matrisler
Martis Çe¸sitleri 44
Martislerde ˙I¸slemler 45
Matris Çarpımının Özellikleri 48
Bir Matrisin Transpozesi 53
Simetrik ve Ters Simetrik Matrisler 53
Bir Matrisin Tersi 56
Ortogonal Matris 59
Bir Matrisin ˙Izi 61
Bir Matrisin Tersinin Bulunması 62
Katsayılar Matrisinin Tersini Kullanarak Denklem Sisteminin Çözülmesi 68
¸Sifrelemede Matrislerin Kullanılması 69
Bölüm Sonu Tekrar Testi (Matrisler) 71
Determinant
Determinant 76
Determinantın Özellikleri 82
Kofaktör Yardımıyla Determinant Hesabı 90
Ek Matris 105
Lineer Denklem Sistemleri ve Determinant 109
Cramer Kuralı 110
Bölüm Sonu Tekrar Testi (Determinant) 113
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 119
Vektörler
Vektörlerde ˙I¸slemler 119
Vektör Uzayı 122
Altvektör Uzayı 123
Dik Koordinat Sistemi 124
Dik Koordinat Sisteminde ˙Iki Nokta Arasındaki Uzaklık 126 Vektörlerin Dik Koordinat Sisteminde Gösterilmesi 128
Birim Vektör 131
Vektörlerin Bazı Uygulamaları 132
Do˘gru Denklemlerinin Vektörler Yardımıyla Bulunması 134
Lineer Bile¸sim 137
Bir Vektör Kümesinin Bir Uzayı Germesi 139
Lineer Ba˘gımlılık ve Lineer Ba˘gımsızlık 141
Taban 143
Bir Uzayda Bir Vektörün Bir Tabana Göre Koordinatları 146
˙Iç Çarpım 148
Öklid ˙Iç Çarpımının Geometrik Uygulamaları 150
Ortogonal ve Ortonormal Taban 153
Öklid ˙Iç Çarpımı Yardımıyla Alan Hesaplanması 155
Simetri Yansıma 165
Gram Schmidt Ortogonalle¸stirme Yöntemi 168
Do˘grultman Kosinüsleri 171
Vektörel Çarpım ve Geometrik Uygulamaları 172
Karma Çarpım ve Geometrik Uygulamaları 179
Bölüm Sonu Tekrar Testi (Vektörler) 184
Lineer Dönü¸sümlere Giri¸s
Lineer Dönü¸süm 191
Bir Lineer Dönü¸süme Kar¸sılık Gelen Matris 193
Lineer Dönü¸sümün Çekirde˘gi ve Görüntüsü 196
Bölüm Sonu Tekrar Testi (Lineer Dönü¸sümlere Giri¸s) 197
ALTINCI BÖLÜM 199
Özde˘ger, Özvektör ve Uygulamaları
Özde˘gerlerin Bulunması 200
Özvektörlerin Bulunması ve Özuzaylar 206
Benzer Matrisler 212
Cayley Hamilton Teoremi ve Uygulamaları 214
Cayley Hamilton Teoremini Kullanarak Bir Matrisin Tersini Bulmak 215 Cayley Hamilton Teoremini Kullanarak Bir Matrisin Kuvvetini Hesaplamak 216
Bir Matrisin Kö¸segenle¸stirilmesi 217
Özde˘ger ve Özvektörlerin Bazı Uygulamaları 221
Uzayda Dönme Ekseninin Bulunması 221
Lineer Diferansiyel Denklem Sistemi Uygulamaları 223
Bir Matrisin Exponansiyelinin Hesaplanması 225
Bölüm Sonu Tekrar Testi (Özde˘ger Özvektör) 226
YED˙INC˙I BÖLÜM 229
Lineer Dönü¸sümler ve Uygulamaları
Düzlemde Lineer Operatörler ve Standart Matrisleri 229
Dik ˙Izdü¸süm Dönü¸sümü 229
Yansıma Dönü¸sümü 233
Dönme Dönü¸sümü 240
Kırpma (Shear) Dönü¸sümü 245
Küçültme veya Büyütme Dönü¸sümü 247
Öteleme Dönü¸sümü 248
Uzayda Lineer Operatörler ve Standart Matrisleri 250
Uzayda Dik ˙Izdü¸süm Dönü¸sümü 250
Uzayda Yansıma (Simetri) Dönü¸sümü 254
Uzayda Dönme Dönü¸sümü 257
Bir Lineer Dönü¸sümün Birebir ve Örtenli˘gi 262
Taban De˘gi¸simi 266
Bölüm Sonu Tekrar Testi (Lineer Dönü¸sümler) 272
SEK˙IZ˙INC˙I BÖLÜM 275
Vektörel Analize Giri¸s
Vektör Fonksiyon Kavramı 275
Hız, ˙Ivme, Momentum ve Kuvvet Vektörleri 279
Yay Uzunlu˘gu 280
Vektör Fonksiyonlar ve E˘griler 281
Skaler Fonksiyon (Skaler Alan) ve Vektör Alanı Kavramı 283
Bir Skaler Alanın Kısmi Türevi 284
Yüksek Mertebeden Kısmi Türevler 285
Gradiyent Vektör Alanı 286
Yöne Göre Türev 288
Bir Vektör Fonksiyonun Bir Vektör Yönündeki Türevi 294
Bir Vektör Alanının Diverjansı 296
Bir Vektör Alanının Rotasyoneli (Curl) 297
Bir Skaler Fonksiyonun Lablasyeni 299
Bölüm Sonu Tekrar Testi (Vektörel Analize Giri¸s) 301
Lineer denklem sistemleri, matematik, fizik, kimya, mühendislikte kar¸sıla¸sılan bir çok problemde kar¸sımıza çıkarlar. Lineer denklem sisteminin çözüm yöntemlerinin aran
ması sonucunda, matris kavramı ve matris cebiri ortaya çıkmı¸stır. Matrisler, özellikle günümüzde mühendislikte, hareket geometrisinde, animasyon ve bilgisayar teknolojisinde bir çok problemin de çözümünü kolayla¸stırmı¸stır. Bu bölümde, lineer denklem sistem
lerinin çözüm yöntemlerini inceleyerek, matris kavramının nasıl ortaya çıktı˘gını göre
ce˘giz. Daha sonraki bölümlerde de, matris cebirinin ve determinantın kullanılmasıyla birlikte, lineer denklem sistemlerinin farklı çözüm yöntemlerini ele alaca˘gız.
Tanım Bir lineer (do˘grusal) denklem deyince, 1,2 reel sayılar, 1,2
ise de˘gi¸skenler olmak üzere,
11+ 22+ · · · + =
formundaki bir denklem anlayaca˘gız. Bu denklemde, 1 2 ’ye denklemin bilin
meyenleri de denir.
Örne˘gin,
2 + 3 +√ 3 = 5 üç de˘gi¸skenli, yani bilinmeyenli bir lineer denklemdir.
Örnek 1.1 A¸sa˘gıdaki denklemlerin lineer olup olmadıklarını belirtiniz.
a) 2 + 3−√
2 = 3 b) 3− 2√ − 3 = 0 c) + + = 3 d) 2− (√
3 − 2)1+ 3=√ 2 e) + sin + = 1 f) + log − = 3
g) 22− 3 + = 1 h) (ln 3) − (sin 45◦) + =
Çözüm : Bir lineer denklemde, çarpım halindeki de˘gi¸skenler, yüksek dereceden de˘gi¸sken
ler, kök içindeki de˘gi¸skenler, de˘gi¸skenlerin üstel, logaritmik veya trigonometrik fonk
siyonları lineerli˘gi bozan durumlardır. Buna göre, b) seçene˘gindeki √ terimi, c) se
çene˘gindeki terimi, e) seçene˘gindeki sin terimi, f) seçene˘gindeki log terimi, g) seçene˘gindeki 2 terimi lineerli˘gi bozarlar. Lineer olan seçenekler, sadece a), d) ve h) seçenekleridir.
Bir lineer denklemin çözümü demek, bu denklemi sa˘glayan de˘gerler demektir. Çözüm sayısı, de˘gi¸skenlerin istendi˘gi sayı kümesine ve denklemdeki bilinmeyen sayısına göre olmayabilir ya da, tek veya sonsuz olabilir. Örne˘gin,
2 + 3 + 3 = 5
üç de˘gi¸skenli lineer denkleminin sonsuz çözümü vardır. = 1 = 1 ve = 0 veya
= 4 = 0 ve = −1 gibi çözümler bulunabilir. Bu lineer denklemin çözümlerini en genel ¸sekilde parametreler yardımıyla verebiliriz.
Örnek 1.2 x + 2y = 3 lineer denkleminin çözümünü bulunuz.
Çözüm : de˘gi¸skenine bir parametre vererek, di˘ger de˘gi¸skenler de bu parametre cinsin
den bulunabilir. = denilirse,
= 3 − 2
elde edilir. Buna göre, denklemin çözüm kümesini : {(3 − 2 ) : ∈ R}
¸seklinde ifade edebiliriz. Her ∈ R için, denklemin farklı bir çözümü elde edilir. Örne˘gin,
= 1 ⇒ ( )=(1 1) ; = 2 ⇒ ( )=(−1 2) ; = 10 ⇒ ( )=(−17 10) bu denklemin bazı çözümleridir. En ba¸sta de˘gi¸skenine parametre verilerek de denklem çözülebilirdi.
Örnek 1.3 x + 3y + 4z = 6 lineer denkleminin çözümünü bulunuz.
Çözüm : Denklemde üç de˘gi¸sken oldu˘gundan, çözüm için iki parametre kullanmalıyız.
= ve = denilirse,
= 6 − 3 − 4
olacaktır. Buna göre, çözüm kümesini :
{(6 − 3 − 4 ) : ∈ R}
¸seklinde ifade edebiliriz.
Örnek 1.4 x, y, z ∈ Z+olmak üzere, x + 3y + 4z = 9 lineer denkleminin çözü
münü bulunuz.
Çözüm : pozitif tamsayılar oldu˘gundan, de˘geri sadece 1 olabilir. Aksi halde, ve ’nin pozitif tamsayı olabilmesi mümkün de˘gildir. Buna göre,
+ 3 + 4 = 9 ⇒ + 3 = 5
olur. Benzer dü¸sünceyle = 1 olmalıdır. Buradan, = 2 olur. Yani, denklemin tek çözümü = 2 = = 1’dir.
1.1 Alıştırma + 3 = 9 lineer denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Yanıt : {(9 − 3 ) : ∈ R}
1.2 Alıştırma 4 + + 3 = 10 lineer denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Yanıt : {( 10 − 4 − 3 ) : ∈ R}
1.3 Alıştırma ∈ Z+ise, 4+ +3 = 10 lineer denkleminin çözümünü bulunuz.
Yanıt : ( ) = (1 3 1)
Tanım bilinmeyenli, denklemden olu¸san
⎧⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎩
111+ 122+ · · · + 1= 1
211+ 222+ · · · + 2= 2
...
11+ 22+ · · · + =
lineer denklem sistemini göz önüne alalım. Bu denklem sisteminde, katsayıların olu¸stur
du˘gu matris ve sa˘g taraftaki sabit de˘gerlerin olu¸sturdu˘gu matris sırasıyla,
=
⎡
⎢⎢
⎢⎣
11 12 1
21 22 2
... ... ...
1 2
⎤
⎥⎥
⎥⎦ve =
⎡
⎢⎢
⎢⎣
1
2 ...
⎤
⎥⎥
⎥⎦
¸seklinde yazılabilir. Bu iki matrisin yan yana,
[ : ] =
⎡
⎢⎢
⎢⎣
11 12 1
21 22 2
... ... ...
1 2
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯
¯
1
2
...
⎤
⎥⎥
⎥⎦
¸seklinde yazılmasıyla elde edilen matrise, verilen lineer denklem sisteminin geni¸sletilmi¸s katsayılar matrisi (Augmented Matrix) denir. Bundan sonra, bir lineer denklem sistemi
nin çözümünü, geni¸sletilmi¸s katsayılar matrisini kullanarak yapaca˘gız.
Örnek 1.10
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
x + y + z + t = 3 x + 2y + 2z + 3t = 4 x + y + 2z + 2t = 5 y + z + 4t = 7
denklem sistemini çözelim.
Çözüm : Bu sistemin geni¸sletilmi¸s katsayılar matrisi :
[ : ] =
⎡
⎢⎢
⎣
1 1 1 1
1 2 2 3
1 1 2 2
0 1 1 4
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯ 3 4 5 7
⎤
⎥⎥
⎦
biçimindedir. ˙Ilk satırı, ikinci ve üçüncü satırlardan çıkararak 11 elemanının altındaki tüm elemanları 0 yapalım.
⎡
⎢⎢
⎣
1 1 1 1
0 1 1 2
0 0 1 1
0 1 1 4
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯ 3 1 2 7
⎤
⎥⎥
⎦ ⇒
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
+ + + = 3
+ +2 = 1
+ = 2
+ 4 = 7
¸Simdi de, ikinci satırı, dördüncü satırdan çıkararak 22elemanının altındaki tüm eleman
ların sıfır olmasını sa˘glayalım.
Bu durumda,
⎡
⎢⎢
⎣
1 1 1 1
0 1 1 2
0 0 1 1
0 0 0 2
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯ 3 1 2 6
⎤
⎥⎥
⎦ ⇒
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
+ + + = 3
+ +2 = 1
+ = 2 2 = 6 elde edilir ki, buradan = 3 = −1 = −4 ve = 5 elde edilir.
Örnek :
⎧⎨
⎩
x + y + z = 3 3x + 2y + 3z = 4 2x + y + 2z = 5
denklem sistemini çözelim.
Çözüm : Bu sistemin geni¸sletilmi¸s katsayılar matrisi :
[ : ] =
⎡
⎣ 1 1 1
3 2 3
2 1 2
¯¯
¯¯
¯¯ 3 4 5
⎤
⎦
biçimindedir. ˙Ilk satırın, üç katını ikinci satıdan, iki katını da üçüncü satırdan çıkararak
11elemanının altındaki tüm elemanları 0 yapalım.
⎡
⎣ 1 1 1
0 −1 0 0 −1 0
¯¯
¯¯
¯¯ 3
−5
−1
⎤
⎦ ⇒
⎧⎨
⎩
+ + = 3
− = −5
− = −1
¸Simdi de, ikinci satırı, üçüncü satırdan çıkararak 22elemanının altındaki tüm elemanların sıfır olmasını sa˘glayalım. Bu durumda,
⎡
⎣ 1 1 1
0 −1 0
0 0 0
¯¯
¯¯
¯¯ 3
−5 4
⎤
⎦ ⇒
⎧⎨
⎩
+ + = 3
− = −5
0 = 4
elde edilir ki, buradan 0 = 4 tutarsızlı˘gı çıkar. Bu denklemin çözümü olmadı˘gını gösterir.
1.7 Alıştırma
⎧⎨
⎩
+ 2 + 2 = 3
− − = 3
− + = 3
denklem sistemini, geni¸sletilmi¸s matrisini kulla
narak çözünüz.
Yanıt : = 3 = 0 ve = 0
1.8 Alıştırma Geni¸sletilmi¸s matrisi
⎡
⎣ 1 1 1
0 −1 2 1 −1 0
¯¯
¯¯
¯¯ 3 2 3
⎤
⎦ olan denklem sistemini yazınız.
Yanıt :
⎧⎨
⎩
+ + = 3
− + 2 = 2
− = 3 .
Elemanter Satır Operasyonları
Yukarıdaki denklem sistemlerini çözerken, denklemler üzerinde uyguladı˘gımız ve denklemlerin çözüm kümesini de˘gi¸stirmeyen üç çe¸sit i¸slemle kar¸sıla¸stık. ¸Simdi, bu i¸slem
lerin matrisler için genel tanımını ve gösterimini verelim.
Tanım Bir A matrisi verilsin. A matrisinin satırları üzerinde yapılan a¸sa˘gıdaki üç çe¸sit i¸sleme elemanter satır i¸slemleri denir.
I) A matrisinin herhangi iki satırını kendi aralarında yer de˘gi¸stirmek. − satır ile
− satırın yer de˘gi¸stirilmesi i¸slemini ↔ ¸seklinde gösterece˘giz. Örne˘gin,
⎡
⎣ 0 0 1 9
0 2 −4 6
1 2 3 1
⎤
⎦ 1↔ 3
−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 2 3 1
0 2 −4 6
0 0 1 9
⎤
⎦
II) A matrisinin herhangi bir satırını sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. − satırın bir ∈ R ile çarpılmasını, → ¸seklinde gösterece˘giz.
⎡
⎣ 0 0 1 9
0 2 −4 6
1 2 3 1
⎤
⎦ 2→ 22
−−−−−−−−→
⎡
⎣ 0 0 1 9
0 4 −8 12
1 2 3 1
⎤
⎦
III) A matrisinin herhangi bir satırını sıfırdan farklı bir sayı ile çarpıp ba¸ska bir satırına eklemek. − satırın bir katının, − satıra eklenmesini, → +¸seklinde gösterece˘giz.
⎡
⎣ 0 0 1 9
0 2 −4 6
1 2 3 1
⎤
⎦ 2→ 2+ 23
−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 0 0 1 9
2 6 2 8
1 2 3 1
⎤
⎦
Tanım A ve B matrisleri aynı türden iki matris olsun. B matrisi, A matrisi üzerinde yapılacak elemanter satır i¸slemleri sonucu elde edilebiliyor ise A ile B matrisine denk matrisler denir. Bu durum ∼ ¸seklinde gösterilir.
Örnek 1.11
∙ 1 2
1 1
¸
matrisinin birim matrise denk bir matris oldu˘gunu gösteriniz.
Çözüm : Elemanter operasyonları uygulayarak görelim.
∙ 1 2 1 1
¸
2→ 21
−−−−−−−−−→
∙ 1 2 0 −1
¸
1→ 1+22
−−−−−−−−−−−→
∙ 1 0 0 −1
¸
2→2
−−−−−−−→
∙ 1 0 0 1
¸
Denk matrislere kar¸sılık gelen denklem sistemlerinin çözüm kümesi de denktir. Bu nedenle, bir denklem sisteminin katsayılar matrisine elemanter satır operasyonları uygula
narak denklem sistemi çözülebilir. Yani, GaussJordan eliminasyon yönteminde matris kullanılarak çözüme ula¸sılır. Bunu a¸sa˘gıdaki teoremle ifade edebiliriz.
1.1
Teorem
Herbiri bilinmeyenli, denklemden olu¸san = ve = denklem sistemlerini göz önüne alalım. Eger [ : ] ve [ : ] geni¸sletilmi¸s katsayılar matrisleri birbirine denk ise, bu lineer denklem sistemleri de birbirine denktir ve çözüm kümeleri aynıdır.1.1.1 Bir Matrisin Basamak Biçimi (E¸selon Form)
Tanım Bir matrisin tamamı sıfır olmayan herhangi bir satırındaki en solda bulunan sıfırların sayısı, bu satırdan bir önceki satırın en solundaki sıfırların sayısından en az bir fazla ise bu matrise e¸selon formdadır denir. Bu tanıma göre, e¸selon formdaki bir matrisin bir satırı tamamen sıfır ise, bu satırın altındaki tüm satırlar da tamamen sıfır olmalıdır.
E¸selon formdaki bir matriste, her satırdaki soldan sıfırdan farklı ilk elemana pivot denir.
E¸selon formdaki bir matriste, matrisin sol tarafında bulunan sıfırlar merdiven ¸seklinde basamaklar olu¸sturdukları için, matrisin basamak biçimi tanımı da kullanılır. A¸sa˘gıdaki matrislerin her biri e¸selon formdadır.
⎡
⎣ 1 5 0 9
0 0 2 6
0 0 0 1
⎤
⎦
⎡
⎢⎢
⎣
2 5 0
0 1 −4
0 0 3
0 0 0
⎤
⎥⎥
⎦
⎡
⎢⎢
⎣
1 5 0 9
0 2 −4 6
0 0 0 0
0 0 0 0
⎤
⎥⎥
⎦
⎡
⎣ 0 1 5 0
0 0 2 2
0 0 0 3
⎤
⎦
A¸sa˘gıdaki matrisler ise, e¸selon formda de˘gildir. Çünkü, birinci matriste, 4’üncü satırda en soldaki sıfır sayısı 1’dir ve bir önceki üçüncü satırdaki en soldaki sıfır sayısından 1 fazla de˘gildir. Yine ikinci matriste ise, üçüncü satırdaki soldaki sıfır sayısı, bir önceki satırın soldaki sıfır sayısından en az 1 fazla de˘gildir. Son matriste de, üçüncü satırın tamamı sıfır oldu˘gundan, bu satırın altındaki satırların da tamamen sıfır olması gerekirdi.
⎡
⎢⎢
⎣
3 5 6 3
0 2 −5 4
0 0 5 1
0 1 0 0
⎤
⎥⎥
⎦
⎡
⎣ 0 1 5 0 0 7 0 0 3
⎤
⎦ ve
⎡
⎢⎢
⎣
1 1 5
0 1 7
0 0 0
0 0 3
⎤
⎥⎥
⎦
Tanım Bunun yanında, e¸selon formdaki bir matriste her satırdaki soldan sıfırdan farklı ilk eleman 1 ise ve bu ilk 1’in oldu˘gu sütundaki geri kalan tüm elemanlar 0 ise bu matrise indirgenmi¸s e¸selon formdadır denir.
Örne˘gin a¸sa˘gıdaki matris indirgenmi¸s e¸selon formdadır.
⎡
⎣ 1 0 2 0 2
0 1 0 0 1
0 0 0 1 4
⎤
⎦
Tanım Herhangi bir A matrisine elemanter satır i¸slemleri uygulanarak, A matrisine denk olan e¸selon matris elde edilebilir. Bu ¸sekilde elde edilen matrise A matrisinin e¸selon forma dönü¸stürülmü¸s matrisi denir.
Örnek 1.12 A =
⎡
⎣ 1 1 2 2
1 2 3 2
1 2 4 1
⎤
⎦ matrisini elemanter satır operasyonlarıyla e¸selon forma getiriniz.
Çözüm :
⎡
⎣ 1 1 2 2
1 2 3 2
1 2 4 1
⎤
⎦ 2→ 21
3→ 31
−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 1 2 2
0 1 1 0
0 1 2 −1
⎤
⎦
3→ 32
−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 1 2 2
0 1 1 0
0 0 1 −1
⎤
⎦
1.9 Alıştırma
⎡
⎣ 1 2 3 2
2 3 1 4
1 2 2 1
⎤
⎦ matrisini e¸selon forma ve indirgenmi¸s e¸selon forma getiriniz.
Yanıt :
⎡
⎣ 1 2 3 2
0 −1 −5 0
0 0 −1 −1
⎤
⎦ ve
⎡
⎣ 1 0 0 9
0 1 0 −5
0 0 1 1
⎤
⎦
1.1.2 Bir Matrisin Rankı
Tanım Bir matrisi verilsin. matrisini elemanter satır operasyonları yaparak e¸selon forma getirebiliriz. matrisinin e¸selon formunda, en az bir elemanı sıfırdan farklı olan satır sayısına matrisinin rankı denir ve Rank() ile gösterilir. Özel olarak, herhangi bir sıfır matrisinin rankı 0 kabul edilir.
Örne˘gin,
⎡
⎢⎢
⎣
1 0 3
0 0 2
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥⎥
⎦ ve
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 1
0 2 3
0 2 3
0 −2 −3
⎤
⎥⎥
⎦
matrislerini göz önüne alalım. ˙Ilk matris e¸selon formdadır ve rankını do˘grudan söyleye
biliriz. En az bir elemanı sıfırdan farklı olan 2 satır (ilk iki satır) oldu˘gundan, rankı 2’dir.
Di˘ger yandan, ikinci matris e¸selon formda olmadı˘gı için, önce e¸selon forma getirilmelidir.
Bu haliyle, en az bir elemanı sıfırdan farklı 4 satır var gibi görünse de, 3 → 3− 2ve
4→ 4+ 2elemanter satır operasyonlarıyla e¸selon forma getirildi˘ginde, son iki satırın tamamen sıfır oldu˘gu, ve dolayısıyla rankın 2 oldu˘gu görülür. O halde, rankı bulmak için, yapılacak ilk i¸s matrisi e¸selon forma getirmek olmalıdır.
Örnek 1.13 A =
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 1
2 1 1
1 −1 0
3 3 2
⎤
⎥⎥
⎦ matrisinin rankını bulunuz.
Çözüm : Önce, matrisine elemanter satır operasyonları uygulayarak e¸selon forma ge
tirelim.
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 1
2 1 1
1 −1 0
3 3 2
⎤
⎥⎥
⎦ 2→ 221
3→ 31
4→ 431
−−−−−−−−−−→
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 1
0 −3 −1
0 −3 −1
0 −3 −1
⎤
⎥⎥
⎦ 3→ 32
4→ 42
−−−−−−−−−→
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 1
0 −3 −1
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥⎥
⎦
matrisinde, tüm elemanları sıfır olmayan satır sayısı 2 oldu˘gundan, Rank = 2’dir.
Örnek 1.14 A =
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 −1
2 −1 3
1 −3 4
1 7 −6
⎤
⎥⎥
⎦ matrisinin rankını bulunuz.
Çözüm : Önce, matrisini, elemanter satır operasyonları uygulayarak e¸selon forma getirelim.
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 −1
2 −1 3
1 −3 4
1 7 −6
⎤
⎥⎥
⎦ 2→ 221
3→ 31
4→ 41
−−−−−−−−−−→
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 −1
0 −5 5
0 −5 5
0 5 −5
⎤
⎥⎥
⎦ 3→ 32
4→ 4+2
−−−−−−−−−−→
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 −1
0 −5 5
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥⎥
⎦
matrisinde, tüm elemanları sıfır olmayan satır sayısı 2 oldu˘gundan, Rank = 2’dir.
1.10 Alıştırma =
⎡
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 2 2 2 3 3 0 1 1
⎤
⎥⎥
⎦ matrisinin rankını bulunuz.
Yanıt : 2.
1.11 Alıştırma =
⎡
⎢⎢
⎣
1 1 1 1
1 2 2 1
2 3 3 1
0 1 1 1
⎤
⎥⎥
⎦ matrisinin rankını bulunuz.
Yanıt : 3.
Lineer Homojen Denklem Sistemi
Tanım ˙Ikinci yanı sıfır olan,⎧⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎩
111+ 122+ · · · + 1 = 0
211+ 222+ · · · + 2 = 0 ...
11+ 22+ · · · + = 0
biçimindeki lineer denklem sistemine lineer homojen denklem sistemi denir. Homojen denklem sistemini = 0 olarak yazabiliriz. Bu tür homojen denklem sistemleri için,
1 = 2 = · · · = = 0 de˘gerlerinin bir çözüm oldu˘gu a¸sikardır. Bu çözüme a¸sikar çözüm denir.
1.3
Teorem
× türünde bir matris olmak üzere, = 0 biçimindeki bilinmeyenli homojen lineer denklem sistemi için, () = olmak üzere,i) = ise, sistemin tek çözümü a¸sikar çözümdür. Yani, tüm bilinmeyenler 0’dır.
ii) ise denklemin − parametreye ba˘glı sonsuz çözümü vardır.
1.4
Teorem
Herbiri bilinmeyenli, denklemden olu¸san = 0 ve = 0 homojen denklem sistemlerini göz önüne alalım. Eger ve matrisleri birbirine denk ise, bu homojen lineer denklem sistemleri de birbirine denktir ve çözüm kümeleri aynıdır.Örnek 1.18
⎧⎨
⎩
x− y + z = 0 3x− y + z = 0 x + y− z = 0
denklem sisteminin çözümünü bulunuz.
Çözüm : Bilinmeyen sayısı = 3’tür. Rank()’yı bulalım.
[ | ] =
⎡
⎣ 1 −1 1
3 −1 1
1 1 −1
⎤
⎦ 2→ 2− 31
3→ 3− 1
−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 1
0 2 −2
0 2 −2
⎤
⎦
3→ 3− 2
−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 1
0 2 −2
0 0 0
⎤
⎦
oldu˘gundan, Rank() = 2’dir. O halde, bu denklemin − = 3 − 2 = 1 parametreye ba˘glı sonsuz çözümü vardır. = diyelim. Son matrise göre, 2 − 2 = 0 ⇒ = ve
− + = 0 ⇒ = 0 elde edilir. Buna göre,
Ç.K. = {(0 ) : ∈ R}
elde edilir.
Lineer Denklem Sistemlerinin Uygulamaları
1. Kimyasal Denklemlerde Lineer Denklemlerin Kullanılması
Örnek 1.22 a (CO) +10 (H2) +b (CO2) → c (CH4) +d (H2O) kimyasal denk
lemine göre, kullanılan (CO) karbonmonoksit molekülü sayısına göre, kullanılması gereken (CO2) karbondioksit molekülü sayısını ve ortaya çıkan su (H2O) ve metan (CH4) gazı molekül sayılarını belirleyiniz. Bu denkleme uygun, katsayıları do˘gal sayı olan bir kimyasal denklem bulunuz.
Çözüm : Kimyasal denklemdeki giren ve çıkan atomların sayılarının e¸sitli˘gini kullanaca˘gız.
atomunun e¸sitli˘gine göre, + =
atomunun e¸sitli˘gine göre, + 2 =
atomunun e¸sitli˘gine göre, 20 = 4 + 2
elde edilir. Buna göre, = denilirse,
⎧⎨
⎩
− = −
2 − = −
2 + = 10
denklem sistemi elde edilir. Buradan, bilinmeyenlerine göre,
⎡
⎣ 1 −1 0
2 0 −1
0 2 1
¯¯
¯¯
¯¯
−
−
10
⎤
⎦ 2→ 2− 21
−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 0
0 2 −1
0 2 1
¯¯
¯¯
¯¯
−
10
⎤
⎦
3→ 3− 2
−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 0
0 2 −1
0 0 2
¯¯
¯¯
¯¯
−
10 −
⎤
⎦
elde edilir. Yani,
=10 − 2 = 1
2
µ10 − 2 +
¶
= 4+5
2ve = − + 4+5
2= 5 2−3
4 bulunur. Örnek olarak,
= = 2 ⇒ = 4 = 3 ve = 1 elde edilir. Yani,
2 () + (2) + (2) → 3 (4) + 4 (2) kimyasal denklemi bulunur.
1.25 Alıştırma () + 11 (2) + (2) → 3 (4) + (2) kimyasal denk
lemine göre, ’yi bulunuz.
Yanıt : = 1 = 2 ve = 3
P R
T S
x
70
z
t 20
u y
1.28 Alıştırma Yandaki, yolları ve yönleri gösteren 40
yol haritasında, 1 saat içinde yoldan geçen araba sayıları, yolların yönlerini belirten okların yanında belirtilmi¸stir.
Buna göre, yollardan geçen arabaların sayılarını veren genel çözümü bulunuz.
Yanıt : = 10’dur. = ise, = 40 − = 50 − ve = 70 − olur.
3. Elektrik Devreleri Problemlerinde Lineer Denklem Sistemlerinin Kullanılması
¸Simdi de, lineer denklem sistemlerinin, elektrik devrelerinde kullanılan bazı uygula
malarını verelim. Ama önce, elektrik devreleriyle ilgili olarak kullanaca˘gımız bazı temel kanunları hatırlayalım.
Ohm Kanunu : Bir elektrik devresinde, iki nokta arasındaki iletkenden geçen akım, bu iki nokta arasındaki gerilim miktarıyla (potansiyel fark) ile do˘gru, bu iki nokta arasındaki dirençle ters orantılıdır. Yani,
Akım = Gerilim Direnç
e¸sitli˘gi vardır. Bu formülü kısaca, akımı harfi, gerilimi harfi ve direnci de harfiyle gösterirsek
=
¸seklinde yazarız. Birimleri de dikkate alınırsa, =
e¸sitli˘gi vardır.
Kirchhoff Akım Kanunu (KCL) : Bir dü˘güme giren akımların toplamı, çıkan akımların toplamına e¸sittir.
I3 A I1
I2
I4
I1−I2+I3−I4= 0
Kirchhoff Voltaj(Gerilim) Kanunu (KVL) : Enerjinin korunumu ilkesine dayanan bir kanundur. Kapalı bir elektrik devresinde, harcanan tüm gerilimlerin toplamı, üretilen ya da sa˘glanan tüm gerilimlerin toplamına e¸sittir. Yani, kapalı bir elektrik devresindeki pil, üreteç gibi enerji kaynaklarından elde edilen gerilimleri toplamı, bu devredeki direnç, mo
tor gibi araçlar üzerinde olu¸san gerilim harcamaları ve dü¸smeleri toplamına e¸sittir. Bunu, kapalı bir devre boyunca, potansiyel farklarının cebirsel toplamı sıfırdır ¸seklinde de ifade edebiliriz.
Üreteçler ters ba˘glı olursa yani, kabul edilen akım yönüne ters yönde akım üretirse gerilim de˘gerinin negatif (−) olaca˘gı unutulmamalıdır. Çünkü böyle bir durumda üretici de˘gil tüketici gibi davranır. A¸sa˘gıdaki elektrik devrelerini inceleyiniz.
+
I
+
A
B
V
1C D
V
3V
4V
2V
5R
1R
2R
31+ 2+ 3= 4+ 5
I1+I2+I3= 4+ 5
+
I
+
A
B
V
1C D
V
3V
4V
2V
5R
1R
2R
31+ 2+ 3+ 5= 4
I1+I2+I3+ 5= 4
+
+ A
B
I1 I2
I3
18V 37V
5 9
4 6
Örnek 1.24. ¸Sekilde akım yönleriyle birlikte bir elektrik devresi verilmi¸stir.
Buna göre 1 2ve 3akımlarının kaç amper olduklarını belirleyiniz.
Çözüm : noktasındaki akım geçi¸sine göre,
1= 2+ 3
e¸sitli˘gi vardır. noktasındaki akım geçi¸sine göre, yine
1= 2+ 3
e¸sitli˘gi vardır. Ohm kanununa göre, Potansiyel Farkı = Akım × Direnç, yani, =
e¸sitli˘gi oldu˘gunu hatırlayalım. Buna göre, Elektrik devresinin sol döngüsüne göre, 51+ 43= 37
e¸sitli˘gi vardır. ¸Simdi de, sa˘g döngüye göre bir denklem bulalım.
92+ 62− 43= 18 oldu˘gu hemen görülebilir. Böylece,
⎧⎨
⎩
1− 2− 3= 0 51+ 43= 37 152− 43= 18 lineer denklem sistemi elde edilir.
Buradan,
⎡
⎣ 1 −1 −1
5 0 4
0 15 −4
¯¯
¯¯
¯¯ 0 37 18
⎤
⎦ 2→ 2− 51
−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 −1
0 5 9
0 15 −4
¯¯
¯¯
¯¯ 0 37 18
⎤
⎦
3→ 3− 32
−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 −1
0 5 9
0 0 −31
¯¯
¯¯
¯¯ 0 37
−93
⎤
⎦
yazılırsa, 3= 3 2= 2 ve 1= 5 oldu˘gu görülür.
+
+ A
B I
1I
2I
3 32 2
8
44V 4
Örnek 1.25. ¸Sekilde akım yön
leriyle birlikte bir elektrik devresi verilmi¸stir. Buna göre 1 2 ve 3
akımlarının kaç amper olduklarını belirleyiniz.
Çözüm : noktasındaki akım geçi¸sine göre,
2= 1+ 3
e¸sitli˘gi vardır. Aynı ¸sekilde noktasındaki akım geçi¸sine göre de, 1+ 3 = 2 olur.
Yani, 3Ω’luk dirençten geçen akımın 1olaca˘gı görülür. Ohm kanunu göz önüne alınarak, elektrik devresinin sol ve sa˘g döngüsüne göre,
21− 43+ 31= 11 ⇒ 51− 43= 11 22+ 82+ 43= 44 ⇒ 52+ 24= 22 denklemleri yazılabilir. Böylece,
⎧⎨
⎩
1− 2+ 3= 0 51− 43= 11 52+ 23= 22 lineer denklem sistemi elde edilir. Buradan,
⎡
⎣ 1 −1 1
5 0 −4
0 5 2
¯¯
¯¯
¯¯ 0 11 22
⎤
⎦ 2→ 2− 51
−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 1
0 5 −9
0 5 2
¯¯
¯¯
¯¯ 0 11 22
⎤
⎦
3→ 3− 2
−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 1
0 5 −9
0 0 11
¯¯
¯¯
¯¯ 0 11 11
⎤
⎦
yazılırsa, 3= 1 2= 4 ve 1= 3 oldu˘gu görülür.
+
A
B I1
I2 I3
68V
C D
1
1
2
3 4
2
Örnek 1.26. ¸Sekilde akım yönleriyle birlikte bir elektrik devresi verilmi¸stir.
Buna göre 1 2ve 3 akımlarının kaç amper olduklarını belirleyiniz.
Çözüm : Kirchhoff Voltaj (Gerilim) Kanununa göre,
⎧⎨
⎩
1+ 3 (1− 2) + 2 (1− 3) = 68
2+ 4 (2− 3) + 3 (2− 1) = 0 23+ 2 (3− 1) + 4 (3− 2) = 0
yani,
⎧⎨
⎩
3 61− 32− 23= 68
2 −31+ 82− 43= 0
1 −1− 22+ 43= 0 denklem sistemi elde edilir. Buradan,
⎡
⎣ −1 −2 4
−3 8 −4
6 −3 −2
¯¯
¯¯
¯¯ 0 0 68
⎤
⎦ 2→ 2− 31
3→ 3+ 61
−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 1
0 14 −16
0 −15 22
¯¯
¯¯
¯¯ 0 0 68
⎤
⎦
2→ 2+ 3
−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 1
0 −1 6
0 −15 22
¯¯
¯¯
¯¯ 0 68 68
⎤
⎦
3→ 3− 152
−−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣ 1 −1 1
0 −1 6
0 0 −68
¯¯
¯¯
¯¯ 0 68
−14 · 68
⎤
⎦
olur. Böylece, 3 = 14 −2+ 63 = 68 ⇒ 2 = 16 ve 1− 2+ 3 = 0 ⇒ 1 = 24 bulunur.
1.29 Alıştırma ¸Sekilde akım yönleriyle birlikte bir elektrik devresi verilmi¸stir. Buna göre 1 2ve 3akımlarının kaç amper olduklarını belirleyiniz.
+
A
B I1
I2 I3
80V
C D
1 2
2
1 1 1
3
Yanıt : 1= 29 2= 8 3= 19
Bölüm Sonu Tekrar Testi (Lineer Denklem Sistemleri)
1.
⎧⎨
⎩
+ 2 = 3
−2 + + = 3
+ + 2 = 1
denklem sisteminin kaç çözümü vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) Çözüm Yok E) Sonsuz Çözüm
2.
⎧⎨
⎩
+ 2 + = 2
−2 + + = 3
− 8 − 5 = 1
denklem sisteminin kaç çözümü vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) Çözüm Yok E) Sonsuz Çözüm
3.
½ + = 3
+ = denklem sistemiyle ilgili a¸sa˘gıdakilerden kaç tanesi do˘grudur?
I. Bu sistemin daima sonsuz çözümü vardır.
II. Bu sistemin sadece = 3 durumunda sonsuz çözümü vardır.
III. = 3 için sistemin çözümü yoktur.
IV. = 3 için sistemin çözümünün olabilmesi için, = 9 olmalıdır.
V. = 2 ve = 2 için sistemin bir tek çözümü vardır.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4.
½ + = 3
+ + = 4 denklem sisteminin çözüm kümesi hangisidir?
A) {(1 2 1)} B) {( ) = (1 3 − ) ∈ R} C) Çözüm Yok D) {( ) = ( 3 − 1) ∈ R} E) {( ) = ( 3 0) ∈ R}
5.
⎧⎨
⎩
+ 2 + = 3
+ 3 + 4 = 4
+ 4 + 7 = 5
denklem sistemi a¸sa˘gıdakilerden hangisine denktir?
A)
⎧⎨
⎩
+ 2 + = 3
+ + 3 = 1
+ 4 + 7 = 3 B)
⎧⎨
⎩
+ 2 + = 3
+ 3 = 1
= 0 C)
½ + 2 + = 3
+ 3 = 1
D)
⎧⎨
⎩
+ 2 + = 3
+ 3 = 1
+ 2 + 6 = 3
E)
⎧⎨
⎩
+ 2 + = 3
+ 3 = 1
= 1
6.
⎧⎨
⎩
+ 2 = 3
−2 + + = 3 2 + + 3 = 3
denklem sisteminin kaç çözümü vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) Çözüm Yok E) Sonsuz Çözüm
7.
⎧⎨
⎩
+ 2 + = 2
+ + = 3
− + =
denkleminin sonsuz çözümünün olması için + =?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8.
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
+ 2 + = 1
+ − = 5
− 3 − 3 = 2 − + =
sisteminin sonsuz çözümü varsa + + + =?
A) 10 B) 12 C) 8 D) 9 E) 7
9.
⎧⎨
⎩
3 + 2 + 2 = 0
− + 3 = 0
+ 2 = 0
homojen denkleminin sonsuz çözümü olması için kaç olmalıdır.
A) 12 B) 13 C) 14 D) −13 E) −12
10. = formundaki bir lineer denklem sisteminde, [ : ] genelle¸stirilmi¸s katsayılar matrisi
⎡
⎣ 1 2 3
0
0 0 2+
¯¯
¯¯
¯¯ 0
2−
+ 1
⎤
⎦
matrisine denktir. Bu sistemin 1 parametreye ba˘glı sonsuz çözümü oldu˘guna göre, kaçtır?
A) 0 B) 1 C) −1 D) 2 E) Hiçbiri
11. bilinmeyenlerine göre sırasıyla = formunda yazılan bir lineer denklem sisteminde, [ : ] genelle¸stirilmi¸s katsayılar matrisi
⎡
⎣ 1 2 3
0 1
0 0 2− 3
¯¯
¯¯
¯¯ 0
2+ 1
+ 1
⎤
⎦ matrisine denk oldu˘guna göre, = 2 için =?
A) Çözüm yok B) 1 C) −1 D) 0 E) 2
12. = formundaki bir lineer denklem sisteminde, [ : ] matrisi elemanter satır operasyonlarıyla e¸selon forma getiriliyor ve
⎡
⎣ 1 2 3
0
0 0 2−
¯¯
¯¯
¯¯ 0
2−
⎤
⎦
matrisi elde ediliyor. Buna göre a¸sa˘gıdakilerden kaç tanesi do˘grudur?
I) = 0 için, sistemin 1 parametreye ba˘glı sonsuz çözümü vardır.
II) = 1 için, sistemin 1 parametreye ba˘glı sonsuz çözümü vardır.
III) = 1 için çözüm yoktur.
IV) = 0 ve = 1 için sonsuz çözüm vardır.
V) 6= 0 için sistemin bir tek çözümü vardır.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
13.
⎧⎨
⎩
+ + = + 1
+ + = 0
+ + = 1
denklem sistemi için a¸sa˘gıdakilerden hangisi do˘grudur?
A) = 0 için, sistemin 1 parametreye ba˘glı sonsuz çözümü vardır.
B) = −2 için, sistemin çözümü yoktur?
C) = 1 için çözüm yoktur.
D) = −2 ve = 1 için sistemin çözümü yoktur.
E) 6= 1 için sistemin bir tek çözümü vardır.
14.
⎧⎨
⎩
+ = 1
+ =
+ =
denklem sistemi için a¸sa˘gıdakilerden hangisi yanlı¸stır?
A) = = 1 ise sonsuz çözüm vardır.
B) = 1 ve 6= 1 ise sistemin daima bir tek çözümü vardır.
C) = 0 ise çözüm yoktur.
D) = 0 ise çözüm yoktur.
E) Hiçbiri
15. A¸sa˘gıdaki elektrik devresine göre 1akımı kaç amperdir?
.
+
A
B I1
I2 I3
67V
C D
1
2
1
2 1
3
A) 24 B) 13 C) 17 D) 12 E) 16
yandan, determinant tanımına göre, elde edilen son matriste, son satırdan sadece 44 üçüncü satırdan 33 ikinci satırdan 22 ve birinci satırdan da 11 alınabilir. O halde, permütasyonumuz, = 1234 olur ve det = 11223344= 1 · 3 · 4 · 3 = 36 elde edilir.
Not
Alt üçgensel veya üst üçgensel bir kare matrisin determinantı kö¸segenlerin çarpımına e¸sittir.
Örnek 3.17 A =
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 5 5 5
1 2 5 11 11
1 2 5 11 15
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦matrisinin determinantı kaçtır?
Çözüm : Önce, ilk satırı di˘ger tüm satırlardan çıkaralım. Bu determinantı de˘gi¸stirmez.
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 5 5 5
1 2 5 11 11
1 2 5 11 15
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦
2→ 2− 1
3→ 3− 1
4→ 4− 1
5→ 5− 1
−−−−−−−−−−−→
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 1 4 4 4
0 1 4 10 10
0 1 4 10 14
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦
¸Simdi ise, ikinci satırı, 3’üncü, 4’üncü ve 5’inci satırlardan çıkaralım.
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 1 4 4 4
0 1 4 10 10
0 1 4 10 14
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦
3→ 3− 2
4→ 4− 2
5→ 5− 2
−−−−−−−−−−−→
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 3 3 3
0 0 3 9 9
0 0 3 9 13
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦ Benzer dü¸sünceyle, üçüncü satırı 4’üncü ve 5’inci satırlardan çıkaralım.
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 3 3 3
0 0 3 9 9
0 0 3 9 13
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦ 4→ 4− 3
5→ 5− 3
−−−−−−−−−−−→
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 3 3 3
0 0 0 6 6
0 0 0 6 10
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦
Bundan sonra geriye, 4’üncü satırı 5’inci satırdan çıkarmak kalır. Böylelikle matrisi e¸selon forma getirmi¸s oluruz.
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 3 3 3
0 0 0 6 6
0 0 0 6 10
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦ 5→ 5− 4
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 3 3 3
0 0 0 6 6
0 0 0 0 4
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦
Bu üst üçgensel matrisin determinantı ise asal kö¸segen üzerindeki elemanların çarpımına e¸sittir. Buna göre, det = 3 · 6 · 4 = 72 elde edilir.
3.16 Alıştırma
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
2 2 2 2 2
2 4 4 4 4
2 4 6 6 6
2 4 6 10 10
2 4 6 10 13
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦matrisinin determinantı kaçtır?
Yanıt : 96.
Örnek 3.18
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 3 4 5
2 1 2 3 4
3 2 1 2 3
4 3 2 1 2
5 4 3 2 1
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦matrisinin determinantını bulunuz.
Çözüm : En alt satırdan ba¸slayarak, her satırdan bir üstündeki satırı çıkarırsak,
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 3 4 5
1 −1 −1 −1 −1
1 1 −1 −1 −1
1 1 1 −1 −1
1 1 1 1 −1
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦ elde edilir. ¸Simdi, be¸sinci kolonu di˘ger tüm kolanlara ilave edersek.
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
6 7 8 9 5
0 −2 −2 −2 −1
0 0 −2 −2 −1
0 0 0 −2 −1
0 0 0 0 −1
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦
bulunur. Buradan, matrisin determinantı 6 · (−2) · (−2) · (−2) · (−1) = 48 elde edilir.
3.17 Alıştırma
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
0 2 4 6 8
2 0 2 4 6
4 2 0 2 4
6 4 2 0 2
8 6 4 2 0
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦matrisinin determinantı kaçtır?
Yanıt : 1024.
Determinantın Kofaktörler Yardımıyla Hesaplanması (Laplace Açılımları)
Tanım = []
× matrisinin elemanının bulundu˘gu satır ve sütunun silin
mesiyle elde edilen ( − 1) × ( − 1) türünden matrisin determinantına elemanının minörü denir ve ile gösterilir.
= (−1)+
ile tanımlanan ifadesine de, elemanının kofaktörü denir.
Örnek 3.19 A =
⎡
⎣ 1 2 6
−2 4 3
0 5 4
⎤
⎦ matrisinin A23 A31 A33 kofaktörlerini bu
lunuz.
Çözüm : ˙Istenen kofaktörler,
23 = (−1)2+3det
∙ 1 2 0 5
¸
= −5
31 = (−1)3+1det
∙ 2 6 4 3
¸
= −18
33 = (−1)3+3det
∙ 1 2
−2 4
¸
= 8 elde edilir.
3.18 Alıştırma A =
⎡
⎣ 2 2 0
0 3 0
0 0 −1
⎤
⎦ matrisinin kofaktörlerini bulunuz.
Yanıt : 11=−3 12=13=0 21=2 22=−2 23=31=32=0 33=6.
3.8
Teorem
, = []× kare matrisinin elemanının kofaktörü olsun.
Buna göre,
det = X
=1
= 11+ 22+ + (rinci satır açılımı) veya
det = X
=1
= 11+ 22+ + (sinci sütun açılımı)
¸seklindedir.
Örnek 3.20 A =
⎡
⎢⎢
⎣
1 2 3 4
2 3 4 5
0 3 0 0
1 0 0 5
⎤
⎥⎥
⎦ matrisinin determinantını bulunuz.
Çözüm : En çok sıfır olan üçüncü satıra göre kofaktör açılımıyla determinantı hesaplaya
biliriz.
det =3 · (−1)3+2
⎡
⎣ 1 3 4
2 4 5
1 0 5
⎤
⎦ = − 3 [(20 + 15) − (16 + 30)] = − 3 (−11) =33
3.19 Alıştırma =
⎡
⎢⎢
⎣
2 3 0 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 2 0
⎤
⎥⎥
⎦ matrisinin determinantını bulunuz.
Yanıt : 8.
Örnek 3.21 A =
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 0 0 3
0 0 3 0 1
0 0 −3 0 4
1 0 0 1 0
1 0 3 x 2
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦matrisinin determinantı 30 ise x =?
Çözüm : ˙Ikinci sütuna göre kofaktör açılımı yapalım.
det = 2 · (−1)1+2
⎡
⎢⎢
⎣
0 3 0 1
0 −3 0 4
1 0 1 0
1 3 2
⎤
⎥⎥
⎦
¸Simdi
1→ 1+2
4→ 4+2
i¸slemi yapalım
= (−2)
⎡
⎢⎢
⎣
0 0 0 5
0 −3 0 4
1 0 1 0
1 0 6
⎤
⎥⎥
⎦ ˙Ilk satıra göre açalım.
= (−2) (5) (−1)1+4
⎡
⎣ 0 −3 0
1 0 1
1 0
⎤
⎦ ˙Ilk satıra göre açalım.
= 10 (−3) (−1)1+2
∙ 1 1 1
¸
= 30 ( − 1) oldu˘gundan, = 2 elde edilir.
4.21 Alıştırma −→u = (1 1 1) ve −→v = (1 2 3) vektörleri tarafından gerilen uzayı bulunuz.
Yanıt : V = {( ) : − 2 + = 0 ∈ R}
4.22 Alıştırma −→w = (1 14 −1) vektörünün, −→u = (1 5 2) ve −→v = (1 2 3) vektörleri tarafından gerilen düzlemde oldu˘gunu gösteriniz.
Yanıt : 1. Yol. det¡−→w −→u −→v¢
= 0 oldu˘gu görülebilir.
2. Yol : −→w = 4−→u− 3−→v oldu˘gu görülebilir.
3. Yol : Sp©−→u −→vª
= {( ) : 11 − − 3 = 0} oldu˘gu bulunur ve −→w vektörünün bu düzlem denklemini sa˘gladı˘gı görülebilir.
Lineer Ba˘gımsızlık ve Lineer Ba˘gımlılık
Tanım R uzayında, −→u1 −→u2 · · · −→u vektörleri ve 1 2 · · · ∈ R için,
1−→u1+ 2−→u2+ · · · + −→u = 0 olması, ancak ve ancak
1= 2= · · · = = 0
olmasıyla mümkün ise, −→u1 −→u2 · · · −→u vektörlerine Rde lineer ba˘gımsız vektörler denir. Di˘ger yandan,
1−→u1+ 2−→u2+ · · · + −→u= ~0
olacak ¸sekilde 1 2 · · · ∈ R sayılarından en az biri sıfırdan farklı olarak buluna
biliyorsa, −→u1 −→u2 · · · −→u vektörlerine Rde lineer ba˘gımlı vektörler denir.
Örne˘gin :
R2 de −→x = (1 3) ve −→y = (3 9) vektörleri lineer ba˘gımlıdırlar. −→y = 3−→x dir.
−
→y − 3−→x = ~0 e¸sitli˘ginde, hem 1= 1 hem de 2= −3 sıfırdan farklıdır.
R2 de −→x = (1 1) ve −→y = (1 0) vektörleri için, 1−→x + 2−→y = 0 e¸sitli˘ginin sa˘glanması, ancak ve ancak 1 = 2 = 0 durumunda mümkündür. O halde, −→x ve −→y lineer ba˘gımsızdır.
R3de −→x = (2 3 4) −→y = (3 4 2) ve −→z = (1 2 6) vektörleri lineer ba˘gımlıdırlar.
Çünkü,
−
→z = 2−→x − −→y yani, 2−→x − −→y − −→z = 0 oldu˘gundan, herhangi bir vektör di˘gerlerine ba˘glı olarak yazılabilir.
R3de −→x = (1 1 1) −→y = (1 0 1) ve −→z = (1 1 0) vektörleri lineer ba˘gımsızdırlar.
Çünkü, bu vektörlerin herhangi birini, di˘ger ikisinden elde etmek hiç bir ¸sekilde mümkün de˘gildir. −→x −→y −→z arasındaki, 1−→x+ 2−→y +3−→z = 0 e¸sitli˘ginin sa˘glanması için, ancak ve ancak 1= 2= 3= 0 olması gerekir.
