⎣ 1 2 2
2 2 3
3 2 4
⎤
⎦ 2→ 2−21
3→ 3−31
⎡
⎣ 1 2 2
0 −2 −1
0 −4 −2
⎤
⎦
3→ 3−22
⎡
⎣ 1 2 2
0 −2 −1
0 0 0
⎤
⎦ E¸selon formda, son satırın tamamen sıfır olması, bu vektörün di˘ger vektörler cinsinden yazılabilece˘gini, dolayısıyla, −→x −→y −→z vektörlerinin lineer ba˘gımlı olduklarını gösterir.
Örnek 4.28 R3 de −→x =(1, k, 3), −→y =(2, 2, 3) ve −→z =(2, 1, 1) vektörleri lineer ba˘gımlı ise k kaçtır?
Çözüm : −→x −→y −→z lineer ba˘gımlı ise, det¡−→x −→y −→z¢
= 0 olmalıdır. Buna göre,
¯¯
¯¯
¯¯
1 3
2 2 3
2 1 1
¯¯
¯¯
¯¯= 4 − 7 = 0 olması gerekti˘ginden, = 74 olur.
4.25 Alıştırma R3de −→x = (1 4 3), −→y = (0 3) ve −→z = (2 1 1) vektörleri lineer ba˘gımlı ise kaçtır?
Yanıt : 215
4.26 Alıştırma R4de −→x =(2 0 3 0), −→y =(1 2 3), −→z =(2 1 0 1) ve −→w=(0 1 0 1) vektörleri lineer ba˘gımlı ise kaçtır?
Yanıt : det¡−→x −→y −→z −→w¢
= 0 e¸sitli˘ginden = 3 olur.
Taban (Baz)
Tanım V bir vektör kümesi olsun. Bu kümede verilen©−→u1 −→u2 −→uªvektörleri hem lineer ba˘gımsız ise, hem de V deki her vektör, bu vektörler cinsinden yazılabiliyorsa, yani V uzayını geriyorlarsa,©−→u1 −→u2 −→uª
vektörlerine V uzayının bir tabanı denir.
Örne˘gin,~i~j ~k vektörleri R3uzayının bir tabanıdır. Bu üç vektör hem lineer ba˘gımsızdır
lar, hem de R3uzayını gererler Bu tabana, R3uzayının standart tabanı denir. R3uzayı için sonsuz sayıda taban bulunabilir. Örne˘gin, −→x = (1 1 0) −→y = (0 1 1) ve −→z = (1 0 1) vektörleri R3de lineer ba˘gımsız olan ve R3’ü geren üç vektördür. Bu vektörler de, R3için bir tabandır. Ruzayındaki lineer ba˘gımsız vektör, daima Ruzayını gerece˘ginden, R uzayında alınan vektörden olu¸san her lineer ba˘gımsız vektör kümesi, R uzayı için bir tabandır.
4.27 Alıştırma R2uzayının farklı iki tabanını yazınız.
4.28 Alıştırma R3uzayının farklı iki tabanını yazınız.
Örnek 4.29 Bir vektör uzayında verilen vektörlerin lineer ba˘gımsız olması, taban ol
ması için yeterli midir? Bir tane örnek vererek açıklayınız.
Çözüm : Yeterli de˘gildir. Örne˘gin, R3uzayında
−
→x = (1 0 0) ve −→y = (0 1 0)
vektörleri lineer ba˘gımsızdır. Fakat, R3 uzayını germezler. Bu nedenle©−→x −→yªtaban olamaz.
Örnek 4.30 Bir vektör uzayında verilen vektörlerin, o uzayı germesi, taban olması için yeterli midir? Bir tane örnek vererek açıklayınız.
Çözüm : Yeterli de˘gildir. Örne˘gin, R2uzayında
−
→x = (1 0), −→y = (0 1) ve −→z = (1 1)
vektörleri R2uzayını gererler. Fakat, bu üç vektör lineer ba˘gımsız olmadıklarından (−→z = −→x + −→y), R2uzayının tabanı de˘gillerdir.
4.29 Alıştırma −→x = (1 0 0), −→y = (0 1 0) −→z = (1 1 1) ve −→w = (1 2 3) vektörleri R3uzayının tabanı olabilir mi?
Yanıt : R3de, 4 vektör lineer ba˘gımsız olamayaca˘gından, taban olamazlar.
4.30 Alıştırma −→x = (1 0 0 0), −→y = (0 1 0 0) −→z = (1 1 1 0) vektörleri R4 uzayının neden tabanı de˘gildir?
Yanıt : R4uzayını, 3 vektörle germek mümkün olmadı˘gından taban olamazlar.
Not
−→u1 −→u2 · · · −→uvektörleri tarafından gerilen, Sp©−→u1 −→u2 · · · −→uª= V
uzayından, seçilecek maksimum sayıdaki lineer ba˘gımsız vektör, V uzayının bir tabanı olur. R uzayından seçilen herhangi tane lineer ba˘gımsız vektör, R uzayının ta
banıdır.
Tanım V bir vektör uzayı olsun. V uzayının tabanındaki vektör sayısına V uzayının boyutu denir ve (V) ile gösterilir. (R) = oldu˘gu açıktır. boyutlu bir uzaydan seçilen vektör, bu uzayın bir tabanıdır.
Öklid ˙Iç Çarpımını Kullanarak ˙Iki Vektörün Arasındaki Açının Bulunması
4.7
Teorem
−→x ve −→y ,Ruzayında iki vektör olsun. −→x ve −→y arasındaki açı ise, cos =−→x −→y®
°°−→x°°°°−→y°°
’dir.
Kanıt : R uzayında, aralarındaki açı olan −→x ve −→y vek
törlerini alalım. −→x −→y ve −→x − −→y vektörleri ¸sekildeki gibi bir üçgen olu¸stururlar ve bu üçgenin kenarları °°−→x°° °°−→y°° ve°°−→x − −→y°° uzunlu˘guna sahiptir. ¸Simdi, Kosinüs teoremini uygulayaca˘gız.
°°−→x − −→y°°2=°°−→x°°2+°°−→y°°2− 2°°−→x°°°°−→y°° cos e¸sitli˘ginde, sol taraftaki°°−→x − −→y°°2normunu,
°°−→x − −→y°°2 = −→x − −→y −→x − −→y®
= −→x −→x®
−−→x −→y®
−−→y −→x®
+−→y −→y®
= °°−→x°°2− 2−→x −→y®
+°°−→y°°2
¸seklinde yazarsak,
°°−→x°°2− 2−→x −→y®
+°°−→y°°2=°°−→x°°2+°°−→y°°2− 2°°−→x°°°°−→y°° cos e¸sitli˘ginde, sadele¸stirmeler yapılarak,−→x −→y®
=°°−→x°°°°−→y°° cos elde edilir. Böylece, cos =
−→x −→y®
°°−→x°°°°−→y°° bulunur. ♣
Örnek 4.40 Sıfırdan farklı iki vektörün dik olmasıyla, iç çarpımları arasında nasıl bir ba˘gıntı vardır?
Çözüm : Aralarındaki açı 90◦olan −→x ve −→y vektörlerini alalım. cos 90◦= 0 oldu˘gundan, cos =
−→x −→y®
°°−→x°°°°−→y°° = 0 e¸sitli˘ginden,−→x −→y®
= 0 elde edilir. Sonuç olarak, iki vektörün iç çarpımı 0 ise, bu iki vektör birbirine dik olacaktır.
(−→x ve −→y birbirine diktir) −→x ⊥ −→y ⇔−→x −→y®
= 0
Not
Bir V vektör uzayının, tabanındaki tüm vektörler birbirine dik ise, bu tabana V uzayının ortogonal tabanı denir. Bu vektörlerin herbiri ayrıca birim vektör ise bu tabana ortonormal taban denir.Örne˘gin, R2uzayında,
©−→u1= (3 4) −→u2= (4 −3)ª
bir ortogonal tabandır. Bu vektörlerin herbirinin normuna bölünerek birim yapılırsa, elde
edilen ½µ
3 54
5
¶
µ4
5−3 5
¶¾
tabanı, bir ortonormal tabandır. R3uzayında da,
©−→u1= (1 2 2) −→u2= (2 1 −2) −→u3= (2 −2 1)ª tabanı bir ortogonal taban,
½−→u1= 1
3(1 2 2) −→u2=1
3(2 1 −2) −→u3=1
3(2 −2 1)
¾
tabanı ise bir ortonormal tabandır.
Örnek 4.43 R2uzayının −→u = (5, 12) vektörünü içeren bir ortogonal tabanını bu
lunuz ve bu tabandan da bir ortonormal taban elde ediniz.
Çözüm : −→v = (−12 5) alınırsa,−→u −→v®
= 0 olaca˘gından,
©−→u = (5 12) ; −→v = (−12 5)ª bir ortogonal taban olur. Her bir vektör normuna bölersek,
½µ 5 1312
13
¶
; − µ−12
13 5 13
¶¾
ortonormal tabanını elde ederiz.
Not
Ortogonal bir matriste :i) Tüm satır ve tüm sütun vektörleri birbirine diktir.
ii) Tüm satır ve sütun vektörlerinin uzunlu˘gu 1’dir.
Örnek 4.44 A = 1 2
⎡
⎢⎢
⎣
−1 −1 1 1
−1 1 −1 c
−1 b 1 −1
−1 −1 a −1
⎤
⎥⎥
⎦ matrisi bir ortogonal matris ise, a =?
b =? c =?
Çözüm : h1 2i = 0 e¸sitli˘ginden, = 1 h1 3i = 0 e¸sitli˘ginden, = 1 ve son olarak, h1 4i = 0 e¸sitli˘ginden, = −1 elde edilir. Bu de˘gerleri için = oldu˘gunu görebilirsiniz.
Öklid ˙Iç Çarpımını Kullanarak Alan Hesaplamalarının Yapılabilmesi
4.8
Teorem
−→x ve −→y ,Ruzayında iki vektör olsun. −→x ve −→y arasındaki açı olmak üzere, −→x ve −→y ile olu¸sturulan paralelkenarın alanı¡−→x −→y¢
=q−→x −→x® −→y −→y®
−−→x −→y®2
’dir.
Kanıt : Aralarındaki açı olan, −→x ve −→y vektörleriyle olu¸sturulan paralelkenarın alanını
¡−→x −→y¢
=°°−→x°°°°−→y°° sin ile bulabiliriz. sin =√
1 − cos2yazalım. Di˘ger yan
dan, cos = −→x −→y®
°°−→x°°°°−→y°° oldu˘gunu da kullanırsak,
¡−→x −→y¢
= °°−→x°°°°−→y°° vu
ut1 − −→x −→y®2
°°−→x°°2°°−→y°°2
= q°
°−→x°°2°°−→y°°2−−→x −→y®2
= q−→x −→x® −→y −→y®
−−→x −→y®2
elde edilir. Üçgenin alanı için bu de˘ger 2’ye bölünür. ♣
Örnek 4.47 −→x =(1, 3, 2) ve −→y =(2, 3, 1) vektörleriyle olu¸sturulan paralelkenarın alanını bulunuz.
Çözüm : ¡−→x −→y¢
=q−→x −→x® −→y −→y®
−−→x −→y®2
e¸sitli˘ginden,
¡−→x −→y¢
=√
14 · 14 − 132= 3√ 3 elde edilir.
Örnek 4.48 Kö¸selerinin koordinatları A (1, 1, 1) B (4, 1, 3) ve C (1, 3, 4) olan üçgenin alanını bulunuz.
Çözüm : Önce noktadan vektöre geçelim.
−
→x =−−→
= − = (3 0 2) ve −→y =−→
= − = (0 2 3) denilirse, üçgenin alanı :
() = 1 2
q−→x −→x® −→y −→y®
−−→x −→y®2
=1 2
√13 · 13 − 62= 1 2
√133 bulunur.
Örnek 4.49. ¸Sekildeki dikdörtgenler prizması ¸seklin
deki odanın bir kö¸sesinde bulunan üçgen duvarın odaya bakan yüzü boyanacaktır. T [MC]’nin orta noktası, S ise [ML]’nin orta noktası oldu˘guna göre, bu yüzün alanını bulunuz.
Çözüm : N(6 0 0) S(0 4 0) ve T(0 0 5) oldu˘gundan,
−
→x =−→NT =T−N= (−6 0 5)
−
→y =−→NS =S−N= (−6 4 0) oldu˘gu göz önüne alınırsa,
() = 1 2
q−→x −→x® −→y −→y®
−−→x −→y®2
= 1 2
p61 · 52 − 362=√ 469 elde edilir.
4.48 Alıştırma Kö¸selerinin koordinatları (1,1,0) (2,3,3) ve (2,1,1) olan üçgenin alanını bulunuz.
Yanıt :√ 3.
4.49 Alıştırma −→x = (1 2) ve −→y = (2 1) vektörleriyle olu¸sturulan paralelkenarın alanını bulunuz.
Yanıt : 3.
Örnek 4.50 Kö¸selerinin koordinatları A (1, 1, 1) B (2, 2, 1) ve C (1, 3, 3) olan üç
genin çevrel çemberinin alanını hesaplayınız.
Çözüm : sin
= 1
2 ( :Çevrel çemberin yarıçapı) oldu˘gunu hatırlayınız. Buna göre,
−
→x =−−→ = (1 1 0) ve −→y =−→ = 0 oldu˘gundan, cos =
−→x −→y®
°°−→x°°°°−→y°° = 2
√2√ 8 =1
2 ⇒ sin =
√3 2 bulunur. Buradan, = || =q
(−1)2+ 12+ 22=√
6 oldu˘gundan,
=
2 sin =
√6
√3 =√ 2 bulunur ki, çevrel çemberin alanı : = 2= 2 elde edilir.
4.50 Alıştırma R4uzayında kö¸selerinin koordinatları (1 0 1 2) (1 2 3 4) ve
(4 2 3 1) olan üçgenin çevrel çemberinin alanını hesaplayınız.
Yanıt : 27 5
Öklid ˙Iç Çarpımını Kullanarak Dik ˙Izdü¸süm Vektörünün Bulunması
4.9
Teorem
−→x −→y ∈ Rsıfırdan farklı vektörleri verilsin. −→x vektörünün, −→y vektörü üzerindeki dik izdü¸süm vektörü ile bu vektörün uzunlu˘gu−
→x−→y = ˙Izd−→y ¡−→x¢
=
−→x −→y®
−→y −→y®−→y ve °°−→x−→y
°° = −→x −→y®
°°−→y°° ile bulunur.
Kanıt : ~e −→y do˘grultusundaki birim vektör olsun. Buna göre,
~ e= −→y
°°−→y°° = −→x
°°−→x
°°
yazılabilir. Bu e¸sitlikten, −→x =
°°−→x
°°
°°−→y°° −→y elde edilir.
Di˘ger yandan,
°°−→x
°° =°°−→x°° cos =°°−→x°° −→x −→y®
°°−→x°°°°−→y°° =
−→x −→y®
°°−→y°° oldu˘gu kullanılırsa,
−
→x= ˙Izd−→y ¡−→x¢
=
−→x −→y®
°°−→y°°2 −→y =
−→x −→y®
−→y −→y®−→y bulunur. ♣
Örnek 4.51 −→x =(1, 1, 3) vektörünün −→y =(2, 3, 1) vektörü üzerindeki dik izdü¸süm vektörünü bulunuz.
Çözüm : Formül uygulanarak
˙Izd→−y ¡−→x¢
=
−→x −→y®
−→y −→y®−→y = 8 14−→y =4
7(2 3 1)
elde edilir. Siz, formül uygulamak yerine, kanıtta kullandı˘gımız yöntemle bulmaya çalı¸sınız.
4.51 Alıştırma −→x = (0 1 1 0 1) vektörünün −→y = (0 1 1 1 1) vektörü üzerindeki dik izdü¸süm vektörünün uzunlu˘gunu bulunuz.
Yanıt :°°−→x−→y
°° = −→x −→y®
°°−→y°° =3 2.
4.52 Alıştırma −→x = (2 1 1) vektörünün −→y = (1 1 3) vektörü üzerindeki dik izdü¸süm vektörünü bulunuz.
Yanıt : −→x= 6
11(1 1 3)