DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1

ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

1.1. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük ya amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la rz.

Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, 2 kg armut ve 1 kg portakal için 8 YTL, di er bir mü teri de 1 kg armut ve 3 kg portakal için 9 YTL ödemi tir. Armut ve portakaln sat fiyatn belirleyiniz.

Çözüm için, bir kg armutun x YTL den, bir kg portakaln da y YTL den satld  varsaylrsa,

9 3

8 2

y x

y x

oldu u görülür.

Problemimiz, yukardaki iki denklemi sa layan x ve y saylarn bulmaktr.

Bu tür problemler için çözüm yöntemlerini vermeden önce konu ile ilgili baz matematiksel terimler tanmlayaca z.

Tanm 1. a , b , h R olmak üzere ax + by = h denklemine bir do rusal denklem denir.

Bu ifadede x ve y sembollerine de i kenler, a ve b saylarna katsaylar, h saysna da sa taraf sabiti denir.

Tanm 2. Verilen x₀ , y₀ reel saylar için ax + by = h do rusal denkleminde x yerine x₀ ve y yerine y0 yazlnca denklem sa lanyorsa, ba ka bir deyimle, ax0 + by0 = h oluyorsa, bu takdirde (x₀ , y₀) reel say ikilisine bu denklemin bir çözümü denir.

E er a ve b saylarndan en az biri sfrdan farkl ise, ax + by = h do rusal denkleminin sonsuz çoklukta çözümü vardr.

Örnek 1. 2x + y = 6 do rusal denkleminin baz çözümleri, (1,4), (2, 2), (-1,8), (0,6), (3,0) dr. (4,2) bu denklemin bir çözümü müdür? Neden? Her t R için bu denklemde x yerine t yazlarak y hesaplanrsa, y = - 2t + 6 elde edilir. Dolaysyla, her t R için (t , -2t + 6) bu denklemin bir çözümüdür. Di er yandan, bu denklemin bir çözümünün birinci bile eni t ise, ikinci bile eni de -2t + 6 olaca ndan bu denklemin çözüm kümesi, Ç={(t,-2t + 6) : t R}

olarak ifade edilebilir.

Uyar. Her iki katsays da sfr, sa taraf sabiti sfrdan farkl olan bir do rusal denklemin hiç çözümü yoktur. Örne in, 0x + 0y = 3 do rusal denkleminin hiç çözümü yoktur. E er hem katsaylar hem de sa taraf sabiti sfr, yani 0x + 0y = 0 ise, her reel say ikilisi, bu denklemin bir çözümüdür.

Geometrik olarak, katsaylarndan en az biri sfrdan farkl olan her do rusal denklemin grafi inin düzlemde bir do ru oldu unu anmsaynz. Do rusal denklemin çözümleri, grafik üzerindeki noktalara kar lk gelen reel say ikilileridir. Yukardaki örnekte, 2x + y = 6 denkleminin çözümleri, a a daki do runun noktalarna kar lk gelen reel say ikilileridir.

Tanm 3. a , b , c, d , h , k R olmak üzere

k dy cx

h by ax

do rusal denklemler toplulu una bir do rusal denklem sistemi denir. Böyle bir do rusal denklem sisteminin bir çözümü denince her iki denklemin de çözümü olan bir (x₀ , y₀ ) reel say ikilisi anla lr.

Ba langçta ele ald mz problemin çözümünün

9 3

8 2

y x

y x

do rusal denklem sisteminin çözüm kümesinin belirlenmesine denk oldu unu görmü tük.

Bir do rusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için çe itli yöntemler vardr. Biz a a da üç yöntem üzerinde duraca z: Grafik Yöntemi , Yerine Koyma Yöntemi, Yoketme Yöntemi.

(3,0) (0,6)

x y

1.2. Grafik Yöntemi. Her do rusal denklemin grafi inin bir do ru oldu unu anmsaynz.

Düzlemde iki do runun birbirine göre konumu üç biçimde olabilir:

Bir do rusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için o denklem sistemindeki do rusal denklemlerin grafikleri ayn düzlem üzerinde(örne in, ayn grafik kâ d üzerinde) çizilir ve elde edilen do rularn ortak noktalarna yani kesi im noktalarna baklr.

k dy cx

h by

ax denklem sistemine kar lk gelen do rular

paralel do rular ise, denklem sisteminin hiç çözümü yoktur.

kesi en do rular ise, sistemin bir tane (tek) çözümü vardr.

çak k do rular ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardr.

Örnek 1.

9 3

8 2

y x

y

x denklem sistemini grafik yöntemi ile çözelim.

Kesi en do rular Paralel do rular Çak k do rular

x y

(9,0 (0,8)

(4,0) 2x + y =8

(0,3)

(3,2)

x + 3 y =9

Görüldü ü üzere, bu denklem sistemine kar lk gelen do rular bir noktada kesi mektedir.

Dolaysyla, sistemin tek bir çözümü vardr ve çözüm kümesi, Ç = {(3 , 2)} dir.

Örnek 2.

8 4 2

2 2

y x

y

x do rusal denklem sisteminin grafik yöntemi ile çözümü.

Bu örne imizde, sisteme kar lk gelen do rular paraleldir. Dolaysyla, sistemin hiç çözümü yoktur; çözüm kümesi, bo küme, Ç = dir.

Örnek 3.

8 4 2

4 2

y x

y

x do rusal denklem sisteminin grafik yöntemi ile çözümü.

x y

(4,0) (0,2)

x +2y = 4 2 +4y =8

(4,0) (0,2)

(-2,0)

(0,-1) 2x +4y =8

x +2y = -2

x y

Bu örne imizde, sisteme kar lk gelen do rular çak ktr. Ba ka bir deyimle sistemdeki denklemlerin çözüm kümeleri ayndr. Denklemlerden biri kullanlarak çözüm kümesi,

Ç={(t , 2 – (1/2)t) : t R}

olarak ifade edilebilir.

1.3. Yerine Koyma Yöntemi. Denklemlerden birinden de i kenlerden biri di eri cinsinden ifade edilir ve di er denklemde yerine konur; elde edilen bir de i kenli denklem çözülerek sonuca gidilir.

Örnek 1.

9 3

8 2

y x

y x

Bu örnekte, ilk denklem 2x y 8 den y de i keni x cinsinden y 8 2x olarak ifade edilerek bu ifade ik,inci denklem olan x 3y 9 da yerine konulup birkaç aritmetik i lem sonunda 24 5x 9 denklemi elde edilmi ve buradan x 3 oldu u görülmü tür. y de i keninin x cinsinden ifadesinde x yerine 3 yerle tirilerek y 2 oldu u ve böylece, çözüm kümesinin Ç = {(3 , 2)} oldu u görülmü tür.

A a daki örneklerde de ayn yolun izlendi ini gözlemleyiniz.

Örnek 2.

Sonuç olarak, çözüm kümesi, Ç = {(1 , -1)} dir.

5 3 2

4 5

y x

y

x y = 4 – 5x

2x - 3(4 – 5x) = 5 2x -12 + 15x = 5 -12 + 17x = 5

17x = 17

x = 1 y = 4 - 5 y = -1

y = 8 – 2x

x + 3(8 – 2x) = 9 x + 24 – 6x = 9

24 – 5x = 9 5x = 15

x = 3 y = 8 - 6 y = 2

Örnek 3.

Ula lan bu ifade, denklem sisteminin hiç çözümü bulunmad n, yani, Ç = oldu unu gösterir.

Örnek 4.

Son e itlikten, sistemin, her x de eri için bir çözümü bulundu u; çözüm kümesinin sonsuz oldu u sonucu çkar. imdi, x = t alp yukarda y için ikinci denklemden buldu umuz ifadeden y = 2t -2 elde ederiz. Dolaysyla, bu örne imizdeki denklem sisteminin çözüm kümesi, Ç = {(t , 2t - 2) : t R} dir. Bu ifadede görülen t simgesi parametre olarak adlandrlr. Parametreye atanacak her de er sistemin bir özel çözümünü verir. Örne in, t = 1 için (1,0); t = 2 için (2,2) çözümü elde edilir. Bu ba lamda, çözüm kümesinin herhangi bir elemann göstern (t , 2t - 2) ikilisine, sistemin genel çözümü denir.

1.4. Yoketme Yöntemi. Bu yöntemde, verilen bir denklem sistemi, çözümü daha kolay ancak verilen sistemle ayn çözüm kümesine sahip bir sisteme dönü türülerek adm adm çözüme ula lr.

Tanm 1. Çözüm kümeleri ayn olan iki denklem sistemine denk sistemler denir.

5 2

4 2 4

y x

y x

y = 2x - 5 4x - 2(2x – 5) = 4 4x – 4x + 10 = 4 10 = 4 ! ! ! . . .

2 2

4 2 4

y x

y x

y = 2x - 2 4x - 2(2x – 2) = 4 4x – 4x + 4 = 4 4 = 4 ! ! ! . . .

Örnek 1.

9 3

8 2

y x

y

x ve

15 5

1 2 x

y

x sistemleri denktir, çünkü her iki sistemin de çözüm kümesi Ç = {(3 , 2)} dir.

YoketmeYöntemi a a daki teoremin uygulanmasyla gerçekle tirilir.

Teorem. A a daki i lemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir denklem sistemine dönü türür:

A. ki denklemin yerini de i tirmek.

B. Bir denklemi sfrdan farkl bir say ile çarpmak.

C. Bir denklemin bir sabitle çarpmn ba ka bir denkleme (taraf – tarafa) toplamak.

Örnek 2.

9 3

8 2

y x

y

x

En sondaki denklem sisteminin çözüm kümesinin ne oldu u açkça görülmeketedir. Bu sistem, ba langçtaki sisteme denk oldu undan, ba langçtaki denklem sisteminin çözüm kümesi, Ç = {(3 , 2)} dir.

Örnek 3.

8 4 2

4 2

y x

y x

Bu i lem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, ikinci denklemin yerine, daima do ru olan 0 = 0 e itli i gelmi tir. O halde, bu örne imizdeki do rusal denklem sisteminin çözüm kümesi, x + 2 y = 4 do rusal denkleminin çözüm kümesi ile ayndr. Bu denklemde y yi x

(-3) (birinci) + (ikinci)

15 5

8 2

x y x

(-1/5) (ikinci)

3 8 2

x y x

(-2) (ikinci) + (birinci)

3 2 x

y

2 3 y (ikinci) (birinci) x

(-2) (birinci) + (ikinci)

0 0

4 2 y x

Birinci denklem (-3) ile çarplp ikinci denkleme toplanm tr.

kinci denklem

5 1 ile çarplm tr.

kinci denklem (-2) ile çarplpbirinci

denkleme toplanm tr.

ki denklemin yerleri de i tirilmi tir.

cinsinden 2 2

1x

y olarak ifade edip çözüm kümesini, Ç = {(t,-(1/2)t+2) : t R} olarak elde ederiz.

Örnek 4.

1 3

3 6 2

y x

y x

Bu i lem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, birinci denklemin yerine, asla do ru olmayan 0 = -5 e itli i gelmi tir. Bu nedenle, bu örne imizdeki denklem sisteminin hiç çözümü yotur;

çözüm kümesi Ç = dir.

Örnek 5.

1 5 2

8 2 3

y x

y

x

Son denklem sisteminden, çözüm kümesinin Ç = {(2 , -1)} oldu u görülür.

(-2) (ikinci) + (birinci)

1 3

5 0 y x

5 (birinci) , 2 (ikinci)

2 10 4

40 10 15

y x

y x

(birinci) +(ikinci)

38 19

40 10 15

x y x

(1/19) (ikinci)

(ikinci) (birinci)

2 40 10 15

x y x

-15 (ikinci) + (birinci)

2 10 10 x

y

(-1/10) (birinci)

2 1 x

y

1 2 y x