GEOMETRİ NOTLARI DOKUZ NOKTA (EULER)ÇEMBERİ. ATİLLA

(1)

1

BİLGİ: Bir üçgende yüksekliklerin ayakları, kenarların orta noktaları, diklik merkezi ile köşeleri birleştiren doğru parçalarının orta noktaları aynı çember üzerindedir. Bu çembere Dokuz Nokta Çemberi ya da Euler çemberi denir.

İSPAT:

Yukarıdaki üçgende ABC üçgeninin yükseklikleri

 

BE ,

 

^AF ve

 

^CD ’nı çizelim.

 

^ˆ

m DCB  Olsun. FHEC dörtgeni kirişler dörtgeni olduğundan ^{m BEF}

 

^ˆ ^^ olur. BDEC dörtgeni de kirişler dörtgeni olduğundan

 

^ˆ

m DEB  olur. (Ortik üçgen özelliği de kullanılabilir.)

 

^BC ’nın orta noktası I olsun.

DI IC Olur. (muhteşem üçlü) Bu durumda

 

^ˆ

m IDC ve ^{m DIB}

 

^ˆ ^²^^olur.

   

^ˆ ^ˆ ²

m DIB m DEF   Olduğundan; DEF üçgeninin çevrel çemberi I’dan da geçer. Aynı işlemler

 

^{AC ve}

 

AB ’nın orta noktaları için de yapılırsa dikme ayakları ve kenarların orta noktalarının çembersel olduğu ispatlanmış olur ve aşağıdaki şekil elde edilir.

Şimdi de G,K ve M noktalarının

 

^BH ^,

 

^{CH ve}

 

^AH

’nın orta noktaları olduğunu ispatlayalım.

 

^FK Çizilirse; aynı yayı gördükleri için

   

^ˆ ^ˆ ²

m DEF m DKF   olur. ^{m KFC}

 

^ˆ ^^

Olacağından FK FC ve muhteşem üçlüden

(2)

2 HK  HC elde edilir. Aynı işlem M ve G noktaları için de yapılır ve ispat tamamlanmış olur.

BİLGİ: Bir üçgende çevrel çemberin yarıçapı R ise bu üçgene ait dokuz nokta çemberinin yarıçapı

2 R’dir.

İSPAT- 1:

Dokuz nokta çemberi aynı zamanda GKM üçgeninin de çevrel çemberidir. M,G ve K orta noktalar olduğundan ABH üçgeninde

   

^AB ^{/ /} ^{GM Ve}

2

AB GM ’dir. Benzer şekilde;

   

^AC ^{/ /} ^{KM Ve}

2

AC KM

   

^BC ^{/ /} ^{GK Ve}

2

BC  GK eşitlikleri bulunur.

ABC MGK

   

   

    Vardır ve benzerlik oranı 1 2’dir.

Çevrel çemberleri arasında da bu benzerlik vardır.

Yarıçapları oranı da 1 2’dir.

İSPAT- 2:

ABC üçgeninin dokuz nokta çemberi aynı zamanda ortay üçgenin de çevrel çemberidir.

ABC üçgeninin alanı JLI üçgenin alanının 4 katıdır. ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R, JLI üçgeninin çevrel çemberinin (dokuz nokta çemberi) yarıçapı R’

olsun;

4 A ABC

A J LI



 

 

  

 

 

 

Olduğundan;

. .

4 4

2 2 2. . 4 ' a b c

R a b c

R

 _eşitliği

düzenlenirse; ' 1 2 R

R  bulunur.

BİLGİ: Bir üçgende diklik merkezi H ve çevrel çemberin merkezi O ise bu üçgene ait dokuz nokta çemberinin merkezi

 

OH ’nın orta noktasıdır.

(3)

3 İSPAT:

Yukarıdaki şekilde ABC üçgeninin diklik merkezi H, çevrel çemberin merkezi O ve

 

OH ’nın orta noktası N olsun. HOC üçgeninde OC R’dir. N ve K ilgili

kenarların orta noktaları olduğundan

   

^NK ^{/ /} ^{OC ve}

2

NK R’dir. (Orta taban) Bu durumda dokuz nokta

çemberinin yarıçapı da 2

R olduğundan, NK yarıçap uzunluğuna eşittir. Aynı işlemler HOA üçgeninde

 

NM ve HOB üçgeninde

 

GN için de yapılırsa;

2

NK  NM NG R olur. Bu durumda N noktası dokuz nokta çemberinin merkezidir.

BİLGİ: Bir ABC üçgeninde diklik merkezi’nin (H) bir köşeye uzaklığının, çevrel çemberin merkezinin (O) ilgili köşenin karşısındaki kenara olan uzaklığına oranı 2’dir. Yani aşağıdaki şekle göre HA 2

OI  ’dir.

İSPAT:

ABC üçgeninin çevrel çemberinin

 

PC çapını

 

^{PB ve}

 

PA kirişlerini çizelim. ^{m CBP}

   

^ˆ ^^{m PAC}^ˆ ^⁹⁰ ^Olur.

(4)

4 O çevrel çemberin merkezi ve I noktası BC kenarının orta noktasıdır.

OI x İse PB2x olur. (Orta Taban)

   

^PA ^{/ /} ^{BE ve}

   

^PB ^{/ /} AH olduğundan APBH dörtgeni

paralelkenardır. Bu durumda PB HA2x bulunur.

BİLGİ: Bir üçgende diklik merkezi H, üçgensel bölgenin ağırlık merkezi G ve çevrel çemberin merkezi O doğrusaldır. (Aynı zamanda dokuz nokta çemberinin merkezinin de bu doğru üzerinde olduğu önceki sayfada ispatlandı)

İSPAT:

Şekildeki AI kenarortayı çizilirse

   

HA / / OI olduğundan AH G ^  IOG^ 

   

   ’dir. Bu benzerlikte benzerlik oranı 2’dir. Bu durumda HG 2

GO  ve AG 2

GI  ’dir. G noktası

 

AI ’nı 2:1 oranında

bölmektedir. Bu da ancak G noktasının ağırlık merkezi olmasıyla mümkün olur.

ABC üçgeninde H (Diklik merkezi), O (Çevrel Çemberin Merkezi), G (üçgensel Bölgenin Ağırlık Merkezi) ve N (Dokuz Nokta Çemberinin Merkezi) ‘nin doğrusal

olduğu ispatlanmış oldu. Bu doğruya EULER doğrusu denir.

Kenarortay üzerindeki meşhur 3-1-2 kuralı H,N,G ve O noktaları arasında da vardır. Yani bu noktalar EULER doğrusu üzerine;

Şeklinde yerleşirler.

UYGULAMALAR:

1) (2009-ALES Sonbahar / Sayısal-2)

Aşağıda ABC üçgeni ve üçgenin dokuz nokta çemberi gösterilmiştir.

Tanım:

Bir ABC üçgeninde, kenarların orta noktalarından



A B C , yüksekliklerin ayaklarından (D,E,F) ve ₁, ,₁ ₁



yüksekliklerin kesiştiği nokta H olmak üzere

 

HA ,

 

HB ve

 

HC ’nın orta noktalarından



A B C₂, ,₂ ₂



bir çember geçer ve bu dokuz özel noktadan geçen çembere “ABC üçgeninin dokuz nokta çemberi” denir.

(5)

5 Dikkat:

ABC üçgeninin kenar ve açı özelliklerine göre bu özel noktaların bazıları çakışır ve böylece birbirinden farklı özel nokta sayısı dokuzdan az olur.

Soru 1) Bir eşkenar üçgende dokuz nokta çemberi kaç farklı özel noktadan geçer?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

ÇÖZÜM:

Eşkenar üçgende A noktası D noktası ile, ₁ B noktası E ₁ ile ve C noktası F ile çakışacağından 9 özel nokta sayısı ₁ 6’ya düşer. Cevap: D’dir.

Soru 2)

Yukarıdaki ABC ikizkenar dik üçgeninde B noktası hangi özel noktalarla çakışır?

A) A F C ₁, , B) A F B ₁, , ₂ C) B D B ₁, , ₂ D) D E A , , ₂ E) D F B , , ₂

Çözüm:

Dik üçgenlerde diklik merkezi dik açının bulunduğu köşede olduğundan F ve D noktaları B noktası ile çakışır. H ve B noktaları çakışacağından yine orta noktaları olan B noktası da B noktası ile çakışır. ₂ Cevap: E’dir.

2)

Dar açılı bir ABC üçgenine ait Ortik üçgenin kenar uzunluklarını ABC üçgeninin kenar uzunlukları ve açıları cinsinden yazınız.

ÇÖZÜM:

Ortik üçgenin çevrel çemberi ABC üçgeninin dokuz nokta çemberidir. Dokuz nokta çemberinin yarıçapı da ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapının yarısı kadardır.

Ortik üçgenin açıları yazıldığında;     90 olur.

ABC ve DEF üçgenlerinde Sinüs teoremi yazalım;



^a



²^R

Sin   ^ Ve

 

²

DE R

Sin  ^ ’dir. (çemberlerin yarıçapları oranı 1

2 ’dir.)   90  Olduğundan ( ) 2

a R

Cos ^ elde edilir. Eşitlikleri taraf tarafa bölelim;

(6)

6

 

2 2 a Cos

DE Sin





 

   

2

2. .

a Cos

DE Sin Cos



 



 

.

DE a Sin  Elde edilir.   90  Olduğundan;

 

.

DE a Cos   Yani DE a CosA. bağıntısı bulunur. Diğer kenarlar için de aynı işlemler yapılırsa;

.

FE c CosC Ve FDb CosB. bağıntıları elde edilir.

3)

Aşağıdaki şekilde ABC üçgeninin dokuz nokta çemberi aynı zamanda ABH, ACH ve BCH üçgenlerinin de dokuz nokta çemberidir. Gösteriniz.

Çözüm:

ABH üçgeni için ispatlayalım. Şekildeki çemberin ABH üçgeninin de dokuz nokta çemberi olması için

yükseklik ayaklarından, kenarların orta noktalarından

ve diklik merkezini köşeler birleştiren doğru parçalarının orta noktalarından geçmesi gerekir.

ABH üçgeninin dikme ayakları D,E ve F noktalarıdır.

ABC üçgeninin dokuz nokta çemberi bu noktalardan geçer. Birinci koşul sağlanmış oldu. ABH üçgeninin kenarlarının orta noktaları P,M ve J noktalarıdır.

Çember bu noktalardan da geçer. İkinci koşul da sağlanmış oldu. Şimdi de diklik merkezi ile köşeyi birleştiren doğru parçasının orta noktalarından geçtiğini gösterelim. ABH üçgeninin diklik merkezi C noktasıdır.

 

^CA ’nın orta noktası L,

 

^CB ^{’nın orta}

noktası I ve

 

CH ’nın orta noktası da K noktasıdır.

Çember bu üç noktadan da geçtiğine göre şekildeki çember aynı zamanda ABH üçgenin de dokuz nokta çemberidir. Aynı işlemler diğer üçgenler için de yapıldığında ispat tamamlanır.

Ek Bilgi: Yukarıdaki şekilde ABC, ABH, ACH ve BCH üçgenlerinin EULER doğruları aynı noktada kesişirler.

EULER doğrusunun üçgenin dokuz nokta çemberini merkezinden(N) de geçtiği daha önceden

ispatlanmıştı. Söz konusu üçgenlerin dokuz nokta çemberi aynı çember olduklarından bu üçgenleri EULER doğruları N’de kesişirler.

(7)

7 4) Bir ABC üçgeninde dış teğet çemberlerin merkezleri

Ia, I_b ve I_c ise I I I_{a b c} üçgeninin dokuz nokta çemberi ABC üçgeninin çevrel çemberidir.

Gösteriniz.

Çözüm:

ABC üçgeni, I I I_{a b c} üçgeninin Ortik üçgeni ise kanıt tamamlanır. Bunu gösterelim.

Yukarıdaki şekilde I_a, I_b ve I_c dış merkezlerdir.

 

AIa

ABC üçgeninin A köşesine ait iç açıortayı olur.

 

AIb

Dış açıortay olduğundan

 

 90 bulunur.

 

AIa ,

a b c

I I I üçgeninin I_a köşesine ait yüksekliğidir. Aynı işlemler B ve C noktaları için de yapılırsa bu noktaların

a b c

I I I üçgeninin dikme ayakları olduğu anlaşılır. Dikme ayaklarından yalnız bir çember geçer ki bu da I I I_{a b c} üçgeninin dokuz nokta çemberi, ABC üçgeninin ise çevrel çemberidir.

KAYNAKLAR:

 Mehmet Şahin, Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık Geometri-1, Palme Yayıncılık, Ankara, 2013

 Mustafa YAĞCI, Matematik Dünyası Dergisi, 2005 kış Sayısı.

 Lokman Gökçe, Olimpiyatlar İçin Düzlem Geometri, Altın Nokta Yayınevi, İzmir, 2012

 Ahmet Erdem, Trigonometri ve Çözümlü Problemler, Kutulmuş Matbaası, İstanbul, 1968