ÇOK DEĞİŞKENLİ ZAMANSERİLERİ VE KOİNTEGRASYONANALİZİNE GİRİŞ

ÇOK DEĞİŞKENLİ ZAMAN SERİLERİ VE KOİNTEGRASYON

ANALİZİNE GİRİŞ

Bu bölümde, çok değişkenli zaman serilerinin özellikleri incelenecek, durağan olmayan çok değişkenli zaman serileri ile kointegrasyon (eş- bütünleşme) konusuna yer verilecektir.

Tek değişkenli zaman serisi genellikle, kendi geçmiş değerlerinin bir fonksiyonudur. Oysa, bir zaman serisi kendi geçmiş değerleri ile beraber başka bir zaman serisinden de etkilenebilir. Yani, aynı anda tek bir zaman serisi yerine birden çok zaman serisi gözlenebilir. Örneğin, bir araştırmacı faiz oranlarının enflasyona etkisini incelemek isteyebilir. Hem faiz oranları hem de enflasyon ayrı ayrı göz önüne alındığında, her ikisi de tek değişkenli zaman serileridir. İki seri için ayrı ayrı istatistiki sonuç çıkarımlar yapılabilir.

Enflasyon ile ilgili bir model ileri sürülebilir, enflasyon ile ilgili öngörülerde de bulunulabilir. Faiz oranları ayrı bir zaman serisi olarak ele alınarak, faiz oranlarının enflasyona etkisi araştırılmak istenirse, değişkenlerden birinin diğeri üzerine (genellikle enflasyonun faiz oranları üzerine) regresyonu anlamlı görülebilir. Böyle bir yaklaşım, temel regresyon varsayımlarını sağlamaz. Regresyonda, açıklayıcı değişken rolündeki değişken bilinen (rasgele olmayan) bir değişkendir. Oysa buradaki, açıklayıcı değişken rolündeki faiz oranları da bir zaman serisi olup temel varsayımlar sağlanmaz.

Çok değişkenli zaman serilerinde, serinin bileşenleri arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmak önemli amaçlardan biridir. Tek değişkenli zaman serilerinde olduğu gibi, çok değişkenli zaman serilerinde de istatistiki sonuç çıkarımlar durağanlık varsayımına bağlıdır. Ayrıca, çok değişkenli bir zaman serisi durağan olmamasına rağmen, bileşenlerinin herhangi bir lineer birleşimi durağan olabilir. Böyle serilere kointegrasyonlu (eşbütünleşik) seriler denir.

BÖLÜM 6

Lineer birleşimin belirlenmesi yanında, bu lineer birleşim hakkında istatistiki bilgilerin elde edilmesi de önemlidir. Durağan olmayan çok değişkenli bir zaman serisi ile ilgili herhangi bir istatistiki sonuç çıkarım anlamlı olmaz.

Bunun yerine, durağan bir lineer birleşim üzerinde çalışılır. Böyle bir lineer birleşimin nasıl elde edileceği, bu lineer birleşimin anlamlı olup olmadığı hakkında istatistiki sonuç çıkarımların nasıl yapılacağı bu bölümün amaçlarını oluşturmaktadır.

6.1. Temel Kavramlar

Çok değişkenli zaman serileri ile ilgili bir çok kavram birinci bölümde açıklanmıştı. Onlardan bazılarını tekrar hatırlayalım. Çok değişkenli zaman serilerinde durağanlık kavramı tek değişkenli zaman serilerinde olduğu gibidir. X (X X₁, ₂,...,X _k) rasgele vektörünün beklenen değer vektörü  ile varyans kovaryans matrisi  ,

1 2

( ) ( ( ), ( ),..., ( _k) )

E E X E X E X

 X  



1 1 2 1

2 1 2 2

1 2

( )

( ) ( , ) . . ( , )

( , ) ( ) . . ( , )

. . . . .

. . . . .

( , ) ( , ) . . ( )

k k

k k k

Var

Var X Cov X X Cov X X Cov X X Var X Cov X X

Cov X X Cov X X Var X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 X

şeklindedir. Buna göre, X_t (X_1,t,X_2,t,...,X_{k t,} ) çok değişkenli zaman serisinin (k boyutlu) beklenen değer vektörü _,

1, 2, ,

( _t) ( ( _t) , ( _t),..., ( _{k t})) E X   E X E X E X  varyans kovaryans matrisi ( ) de

1, 1, 2, 1, ,

2, 1, 2, 2, ,

, 1, , 2, ,

(

( ) ( , ) . . ( , )

( , ) ( ) . . ( , )

. . . . .

)

. . . . .

( , ) ( , ) . . ( )

t t t t k t

t t t t k t

t

k t t k t t k t

Var

Var X Cov X X Cov X X

Cov X X Var X Cov X X

Cov X X Cov X X Var X



 

 

 

 

 

 

 

 

X

şeklindedir. Çok değişkenli zaman serisinin kovaryans matrisi de,

( )h Cov( _t, _{t h} )

 = X X

şeklindedir. Burada,

1, 1, 1, 2, 1, ,

2, 1, 2, 2, 2, ,

, 1, , 2, , ,

( )

( , ) ( , ) . . ( , )

( , ) ( , ) . . ( , )

. . . . .

. . . . .

( , ) ( , ) . . ( , )

t t h t t h t k t h

t t h t t h t k t h

k t t h k t t h k t k t h

h

Cov X X Cov X X Cov X X

Cov X X Cov X X Cov X X

Cov X X Cov X X Cov X X

  

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dir. Çok değişkenli zaman serilerinde durağanlık tanımı daha önce verilmişti (Tanım 1.5.1). k boyutlu bir vektör zaman serisi {X_t :t T },

1) E(X_t) , zamandan bağımsız

2)Cov(X X_t, _{t h} ) matrisinin elemanları sadece h nin bir fonksiyonudur

koşullarını sağlıyorsa {X_t :t T } durağandır.

( )h Cov( _t, _{t h} )

 = X X zaman serisinin otokovaryans matrisidir. Tek değişkenli durağan bir zaman serisinin otokovaryans fonksiyonu, simetrik (

) ( )

( h  h

   ) ve negatif olmayan tanımlıdır. Çok değişkenli zaman serilerinde bu özellik, ^{   ( h)}  ^{( )h} ^ şeklindedir.

Örnek 6.1.1 İki değişkenli bir zaman serisinin bileşenleri X_1,t ve X_2,t olsun. Bu zaman serisinin bileşenleri de e_t ~WN(0,²) olmak üzere,

1,

,

1_t e_t e_t

X X_2,t e_t

şeklinde verilmiş olsun. X_t (X_1,t,X_2,t) zaman serisinin beklenen değeri ile otokovaryans matrisini hesaplayalım. Önce, E(X_t) 0 olduğu açıktır.

Buradan, varyans kovaryans matrisi de

1, 1, 2, 2

2, 1, 2,

(0) ( ) ( , ) 2 1

( , ) ( ) 1 1

t t t

t t t

Var X Cov X X

Cov X X Var X ^

    

   

 

 

 

dir. e_t ~WN(0,²) olduğundan ^|h|1 için  h( )0 dır. Ş,mdi,

(1) ve  ( 1) matrislerini hesaplayalım. Önce, (1) matrisi,

       

       

1, 1, 1 1, 2, 1 2, 1, 1 2, 2, 1

1 1 1 1 2

1 1

( ) ( )

(1) ( ) ( )

1 0 1 0

t t t t

t t t t

t t t t t t t

t t t t t

E X X E X X

E X X E X X

E e e e e E e e e

E e e e E e e 

 

 

   

 

 

   

 

 

         

        

olup  ( 1) matrisinin de basit aritmetik işlemlerden sonra

1, 1, 1 1, 2, 1

2, 1, 1 2, 2, 1

1 1 2 1 1 2

1 2 1

( ) ( )

( 1) ( ) ( )

[( )( )] [( )( )] 1 1

[( )( )] [( )( )] 0 0

t t t t

t t t t

t t t t t t t

t t t t t

E X X E X X

E X X E X X

E e e e e E e e e

E e e e E e e 

 

 

    

  

  

  

 



 

 

 

 

   

   

 

olduğu görülür. ^{   ( h)}  ^{( )h } olduğu açıktır 

Tek değişkenli hareketli ortalama modelleri her zaman durağandır. Tek değişkenli AR modellerinin durağanlığı ise modelin karekteristik denkleminin köklerine bağlıdır. AR bileşeni içeren (ARMA, SAR gibi) modellerin durağanlığı da AR kısmının karekteristik denkleminin köklerine bağlıdır.

Çok değişkenli MA serileri yine durağandır. e_t ~WN( , )0  olmak üzere vektör MA(q) modeli,

1 1 2 2 ...

t   t t  t   q t q

X  e B e B e B e

şeklinde verilir. Burada, E ⁽Xt⁾ olup varyans kovaryans matrisi,

' 0

(0)

q

j j

j

 ^{B B} dir. Otokovaryans matrisi ise

' 0

' 0

( , )

, 0

( ) , 0

, | |

q h

j j+h

j q+h

j-h j+h

j t t h Cov

h q

h -q h

h q





 

   





     

 







X X

B B

B B

0

şeklindedir. Beklenen değer vektörü ile otokovaryans matrisi zamana bağlı olmadığından vektör MA modelleri her zaman durağandır.

Örnek 6.1.2 Bileşenleri e_1,t ve e_2,t olan beyaz gürültü serisi e_t ~ ( , )

WN 0  ve iki değişkenli vektör hareketli ortalama (VMA(1)) modeli,

1

t  t t

X e B e olarak verilmiş olsun.

1 1

1 2

  

    ^ve

1 2 2 3

 

  

 

B

olarak alındığında serinin bileşenleri X_1,t ve X_2,t,

1 , 2 1 , 1 , 1 ,

1 _t e _t e _t 2e _t

X ve

1 , 2 1 , 1 ,

2 ,

2 _t e _t 2e _t 3e _t X

şeklinde yazılabilir. Buradan E(X_t) 0 olup X_t nin varyansı,

 ₁  ₁

( _t) ( _{t t}) _{t t t t}

Var X E X X E e B e_ e B e_  şeklindedir. Böylece varyans,

 1 1 

1 1 1 1

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

t t t t

t t t t t t t t

E

E E E E

 

   

 

      

       

e Be e Be

e e e e B B e e B e e B B B

olarak bulunur. Daha açık olarak, (0) matrisi

2 6 6 2 1 1

(0) ( ) 6

6 12 1 2

Var t      

      

   

X

olup (1) ve (1) matrisleri aşağıdadır. E(X_t) 0 olduğundan )

1

( matrisi için

 

1 1 1 1

(1) Cov( _t, _t_ ) E( _{t t}_ ) E ( _{t t} )( _{t t})

  X X  X X  e B e e B e

eşitliği yazılabilir. Bu beklenen değer ise

 1 1 

1 1 1 1

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

t t t t

t t t t t t t t

t t

E

E E E E

E

 

   

  

     

   

    e B e e B e

e e e e B B e e B e e B

= e e B = B

olup, matrisler yerine yazıldığında (1) matrisi

2 1 1 1 2 2 1 1

(1)    1 2 2 3    3 4

  B          şeklinde bulunur. Benzer şekilde, (1) matrisi de,

 1 1 2 

1 2 1 1 1 2

1 1

(-1) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

t t t t

t t t t t t t t

t t

= E

E E E E

E

  

     

 



  

     

   

 

e B e e B e

e e e e B B e e B e e B

= B e e = B

dir. Matrislerin yerine yazılması ile (-1) matrisi

2 1 2 1 1 2 1 3

( 1) B  2 3  1 2  1 4

           

olarak bulunur. Yine ^{   ( 1)}  ^{(1) } olduğu açıktır. Ayrıca, ^|h|1 için 0

)

( 

 h olup X_t birinci dereceden vektör hareketli ortalama (VMA(1)) şeklinde modellendiğinde otokovaryans matrisi,

, 0

, 1

( ) , 1

, | | 1 B B

B B

    

   

  

  

 

 0

h h h

h h

şeklinde yazılabilir. Beklenen değer ve otokovaryans matrisinin elemanları zamana bağlı olmadığından verilen VMA(1) modeli durağandır 