Soru 1 : Şekildeki hazne boru sisteminde sıkışmaz ve ideal akışkanın (su) permanan bir akımı mevcuttur. Su yatay eksenli ABC borusu ile atmosfere boşalmaktadır. Mutlak atmosfer basıncını 9.81 N/cm

Soru 1 : Şekildeki hazne boru sisteminde sıkışmaz ve ideal akışkanın (su) permanan bir akımı mevcuttur. Su yatay eksenli ABC borusu ile atmosfere boşalmaktadır. Mutlak atmosfer basıncını 9.81 N/cm

ve suyun mutlak buharlaşma basıncını 0.23 N/cm

alarak,

a- Sistemin debisini hesap ediniz.

b- Sistemin debisini değiştirmeden ve suyun buharlaşmasına sebep olmadan, B kesitinde boru çapının alabileceği minimum değeri bulunuz.

c- Sistemin mutlak ve rölatif enerji ile piyezometre çizgilerini çiziniz.

d- (I-I) ve (II-II) kesitleri arasını kontrol hacmi seçerek, akımın önce daralıp, sonra genişleyen boru parçasına uyguladığı kuvveti bulunuz.

Sonuç: Q=0.1392 m

/s; d

=0.11 m Çözüm 1:

O ile C arasında BERNOULLİ Denklemi yazılırsa,

Z

+ p

γ + v

2 g =Z

+ p

γ + v

2 g 1+0+0=0+0+ v

2 g → v

=2 g → v

= √ ^{19.62→ v}

= 4.42m/ s Q=v

x A

→ Q=4.42 x (0.2)

π

4 →Q=0.14 m

/ s

B ile C arasında BERNOULLİ Denklemi yazılırsa,

Z

+ ( ^p

)

γ + v

2 g = Z

+ p

γ + v

2 g 0+0.23+ v

2 g =0+10+ (4.42)

19.62 → v

=→ v

= √ ^{211.30→ v}

=14.54 m/s Q=v

x A

→ 0.14=14.54 x ( ^d

)

^π

4 →d

=0.14 m

Soru 2 : Yarıçapı 10 cm olan boru enkesitindeki hız dağılışı metrik birimlerle U=400 ( R

−r

) bağıntısıyla verildiğine göre, eksendeki maksimum hızı, borudan geçen debiyi ve borudaki ortalama hız değerini hesaplayınız.

Sonuç: U

=4 m/s ;Q=0,0628 m

/ s ;V

=2 m/s

Çözüm 2:

R=10 cm

U=400 ( R

−r

)

U

=? ;Q=? ;V =?

U

için r=0 olmalı

U

=400 ( ( 0.1 )

−0

) =4 m/ s Q= ∫

A

❑

udA ; A=π r

;dA=2 πrdr

Q= ∫

0 R

u 2 πrdr →Q=2 π ∫

0 0.1

400 ( (0.1)

−0

) rdr

Q=2 π ∫

0 0.1

400 r (0.1)

dr−2 π ∫

0 0.1

400 r

dr → Q=0.0628m

/ s

V = 0.0628

π ( 0.1)

→V =2m/ s

Soru 3 : Geniş bir kanalın orta kısmında bir pitot tüpü ile bir düşey boyunca yapılmış hız ölçümleri şekilde gösterilmiştir. Kanalın birim

genişliğinden geçen debiyi ve ortalama debiyi bulunuz.

Sonuç: V

=2.87 m/s Çözüm 3:

q

=v

A

→ q

=1.60 x (1 x 0.5) →q

= 1.6

2 m

/ s .m q

=v

A

→ q

=2.50 x (1 x 0.5) → q

= 2.50

2 m

/ s . m q= 1

2 (1.60+2.50+3.10+3.40+3.50+3.10 )→ q=8.6 m

/s .m V

= q

A

→V

= 8.6

1 x 3 →V

=2.87 m/s

Soru 4 : Yatay düzlemde bulunan şekildeki dirsekten geçen su jeti atmosfere dökülmektedir. (1) kesitinde ortalama akım hızı v

=2 m/s ve rölatif basınç p

=19.62 N/cm

dir. Akışkanı gerçek, sıkışmaz ve mutlak atmosfer basıncını 9.81 N/cm

kabul ederek,

a- Dirsekte meydana gelen enerji kaybını bulunuz.

b- Akımın dirseğe uyguladığı kuvvetin x ve y bileşenlerini hesap ediniz.

Sonuç: a- h

=6.98 m ^b- R

=8.35 kN ; R

=0

Çözüm 4:

v

=2m/s ; p

=19.62 N /cm

; p

=9.81 N /cm

a-

Q=2 π (0.3)

4 → Q=0.1414 m

/ s v

= 0.1414

π (0.15)

→ v

=8 m/s v

2 g + p

γ + z

= v

2 g + p

γ + z

+h

2

19.62 +20= 8

19.62 + h

→ h

=16.94 m

b-

p

A

=196.2 π (0.3 )

4 =13.87 kN ρQ v

= 9.81 x 1000

9.81 x 0.1414 x 2=0.28 kN ρQ v

= 9.81 x 1000

9.81 x 0.1414 x 8=1.13 kN

∑ ^F

^{= p}

^A

^{+ ρQ v}

^{+ ρQ v}

^−R

⁼⁰

R

=13.87+0.28+1.13 → R

=15.28 kN R

=−15.28 kN

Soru 5 : İdeal ve sıkışmaz bir akışkanın iki boyutlu akımda hız bileşenleri,

u=−2 ax ^, v =2 ay şeklinde verilmiştir ( a=sabit ).

a- Böyle bir akım fiziksel olarak mümkün müdür?

b- Hareket hız potansiyelli midir? Hız potansiyelli ise hız potansiyel fonksiyonunu bulunuz.

c- Bu akıma ait akım fonksiyonunu belirleyiniz.

d- a=1 için M(1,1) noktasında, akımın hız ve ivme bileşenleri ile bileşke hızını ve bileşke ivmesini belirleyiniz.

Çözüm 5:

u=−2 ax ^; v =2 ay

a-

∂ u

∂ x + ∂ v

∂ y =0 → olmalı

∂ u

∂ x =−2 a

∂ v

∂ y =2 a

∂ u

∂ x + ∂ v

∂ y =0 →−2 a+2 a=0 → Akım fiziksel olarak mümkündür.

b-

w

= 1

2 ( ^{∂ w} ∂ y − ∂ v

∂ x ) ^;w

^{= 1} 2 ( ^{∂ u} ∂ z − ∂ w

∂ x ) ^{; w}

^{= 1} 2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y )

w

= 1

2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y ) ^{= 0→ ∂ v} ∂ x = ∂ u

∂ y

∂ v

∂ x =0 ; ∂u

∂ y = 0→ 0=0 Hız potansiyellidir . Potansiyel akım çevrintisiz akım .Ohalde u= ∂ ∅

∂ x , v= ∂ ∅

∂ y

∂ ∅

=u ∂ x → ∫ ^∂ ∅

= ∫ −2 ax ∂ x → ∅

=− a x

+ c

∂ ∅

= v ∂ y → ∫ ^{∂ ∅}

⁼ ∫ ^{−2ay ∂ y → ∅}

^{= a y}

^{+ c}

∅=∅

+ ∅

→ ∅=a ( y

− x

) + c

c-

u= ∂ ψ

∂ y , v = − ∂ψ

∂ x

∫ ^{∂ ψ}

⁼ ∫ ^{u ∂ y →} ∫ ^{∂ ψ}

⁼ ∫ −2 ax ∂ y →ψ

=−2 axy+c

∫ ^{∂ ψ}

⁼ ∫ ^{−v ∂ x →} ∫ ^{∂ ψ}

⁼ ∫ −2 ay ∂ x →ψ

=−2 axy +c

ψ=ψ

+ψ

→ ψ=−2 axy +c

d- a=1 için M(1,1)

u=−2m/ s;v=2m/ s →V = √ ⁽⁻²⁾

^{+ (2)}

V =2 √ ^{2 m/ s}

a

= du dt = ∂ u

∂ t + u ∂ u

∂ x + v ∂u

∂ y → a

=−2(−2 a )+2(0 )+0→ a

=4 m/s

a

= dv

dt = ∂ v

∂t +u ∂ v

∂ x + v ∂ v

∂ y → a

=−2 (0)+2 (2 y )+0 → a

=4 m/ s

a= √ ^{( a}

⁾

^{+ ( a}

⁾

^{→ a= √ (4 )}

^{+ (4 )}

^{→ a=4 √ 2 m/s}

Soru 6 : (x-y) düzleminde oluşan, sıkışmaz bir akışkan 2 boyutlu akımda hız bileşenleri u=− x , v = y şeklinde verilmiştir.

a- Bu akımın akım fonksiyonunu belirleyiniz.

b- Bu akım hız potansiyelli midir? Hız potansiyelli ise potansiyel fonksiyonunu belirleyiniz.

c- Bu akım ortamında A(-1,1) ve B(-2,3) noktalarını birleştiren bir doğru veya eğriden geçen debiyi birim genişlik için bulunuz.

Çözüm 6:

u=− x , v = y

a-

u= ∂ ψ

∂ y , v = − ∂ψ

∂ x

∂ ψ=−x ∂ y → ∫ ^{∂ψ =} ∫ ^{−x ∂ y →ψ}

^=−xy+c

∂ ψ=− y ∂ y → ∫ ^{∂ ψ=} ∫ ^{− y ∂ y → ψ}

^{=−xy +c}

ψ=ψ

+ψ

=−xy +c →ψ =−xy +c=sabit

b-

Çevrintisizlik koşulunu sağlayalım ∅=∅(x , y ,t ) w

= 1

2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y ) ⁼ 0 çevrintisizlik şartı

∂ v

∂ x =0 ; ∂u

∂u =0 → ∂ v

∂ x − ∂ u

∂ u =0 → 0−0=0 hız potansiyelli u= ∂ ∅

∂ x , v= ∂ ∅

∂ y

∫ ^∂ ∅= ∫ ^{− x ∂ x →} ∅

= −x

2 +c

∫ ^∂ ∅= ∫ ^{y ∂ y →} ∅

= − y

2 + c

∅=∅

+ ∅

→ ∅= 1

2 ( y

− x

) +c

c-

A (−1,1)→ ψ

=−1(−1 )(1)=1 B (−2,3 )→ ψ

=−1(−2 )(3)=6

q= ∫

A B

dψ →q=ψ

−ψ

→ q=(6−1 )1 →q=5 m

/ s .m

Soru 7 : İdeal ve sıkışmayan bir akışkanın 2 boyutlu akımı için akım fonksiyonu ψ=−2 axy olarak veriliyor.

a- Bu akım fiziksel olarak mümkün müdür?

b- Bu akım hız potansiyelli midir? Hız potansiyelli ise potansiyel fonksiyonunu belirleyiniz.

c- a=1 için N(1,1) noktasında, akımın hız ve ivme bileşenleri ile bileşke hızını ve bileşke ivmesini belirleyiniz.

d- Akım ağını çiziniz.

Çözüm 7:

a-

u= ∂ ψ

∂ y =−2 ax v = − ∂ψ

∂ x =2 ay

∂ u

∂ x + ∂ v

∂ y =o mı?

−2 a+2 a=0 süreklilik denklemini sağlıyor ve fizikselolarak mümkündür .

b-

w

= 1

2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y ) ^{= 0→ w}

^{= 1} 2 (0−0 )=0 hız potansiyelli (çevrintisiz ) u= ∂ ∅

∂ x → ∂ ∅=−2ax ∂ x→ ∫ ^{∂ ∅=} ∫ −2 ax ∂ x → ∅

=−a x

+ c

v = ∂ ∅

∂ y → ∂ ∅=2ay ∂ y→ ∫ ^{∂ ∅=} ∫ ^{2 ay ∂ y → ∅}

^{= a y}

^{+ c}

∅=∅

+ ∅

→ ∅=a ( y

− x

) + c

c-

a=1=sabit ve N (1,1)→ u=−2 ve v=2 →V = √ ^{( u}

^{) + ( v}

^{) → V =} √ ^{( −2}

^{) + ( 2}

^{) →V =2 √ 2 m/s}

a

=u ∂ u

∂ x + v ∂ v

∂ y → a

=(−2) (−2)+(2) (0) → a

= 4 m/s

a

=u ∂ v

∂ x + v ∂ v

∂ y → a

=(−2) (0)+(2) (2 )→ a

=4 m/ s

a= √ ^{( a}

⁾

^{+ ( a}

⁾

^{→ a= √ (4 )}

^{+ (4 )}

^{→ a=4 √ 2 m/s}

d-

ψ=−4 a olsun

−2 axy=−4 a xy=2 → y = 2 x

−2 axy=−8 a xy=4

y= 4

x

Soru 8 : 2 boyutlu bir akım u=4 y , v=4 x bileşenleri ile verilmiştir.

a- Bu akıma ait akım çizgilerini çiziniz.

b- x=1, y=1 noktasındaki ivme bileşenlerini hesaplayınız.

c- Bu akımın akım fonksiyonu, varsa potansiyel fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm 8:

a-

b-

x=1 ve y=1 noktasındaki ivme bileşenleri

a

=u ∂ u

∂ x + v ∂ v

∂ y + ∂u

∂ t → ∂ u

∂ x = 0; ∂ u

∂ y =4 ; ∂ v

∂ x =4 ; ∂ v

∂ y =0 ; ∂u

∂ t =0 ; ∂ v

∂ t = 0 a

=(4 ) (0)+(4 ) (4 )+0 → a

=16 m/ s

a

=u ∂ v

∂ x + v ∂ v

∂ y + ∂ v

∂t

a

= ( 4 ) ( 4 ) + ( 4 )( 0 ) + 0→ a

=16 m/s

Bileşke ivme a= √ ^{( a}

⁾

^{+ ( a}

⁾

^{→ a= √ (16)}

⁺⁽¹⁶⁾

^{→ a=16 √ 2 m/s}

c-

u= ∂ ψ

∂ y → ∫ ^{∂ψ =} ∫ ^{u ∂ y →} ∫ ^{∂ψ =} ∫ ^{4 y ∂ y →ψ}

^{=2 y}

^{+ c}

v = − ∂ψ

∂ x → ∫ ^{∂ ψ=} ∫ ^{− v ∂ x →} ∫ ^{∂ ψ=} ∫ −4 x ∂ x →ψ

=−2 x

+ c

ψ=ψ

+ψ

→ ψ=2 y

+ c

+ ( −2 x

) +c

ψ=2 ( y

− x

) +c akım fonksiyonu w

= 1

2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y ) ^{= 0→ w}

^{= 1} 2 (4−4 )=0 Akım potansiyellidir . u= ∂ ∅

∂ x → ∫ ^∂ ∅= ∫ ^{u ∂ x →} ∫ ^∂ ∅= ∫ ^{x ∂ x →} ∅

=4 xy +c

v = ∂ ∅

∂ y → ∫ ^∂ ∅= ∫ ^{v ∂ y →} ∫ ^∂ ∅= ∫ ^{4 x ∂ y →} ∅

= 4 xy +c

∅=∅

+ ∅

→ ∅=4 xy+c

+ 4 xy +c

∅=4 xy+c potansiyel fonksiyonu.

Soru 9 : Sıkışmayan bir sıvının akımında hız bileşenleri şu şekildedir.

u=kx ( y +z ) , v=ky ( x +z ) , w=−kz (x + y )−z

a- Bu hız alanının akışkanlara ait bir akım alanına karşı gelmesi için “k” ne olmalıdır.

b- Akım permanan mıdır? Neden?

c- Akım üniform mudur? Neden?

d- Akım çevrintilimidir? Neden?

e- (1, -1, 1) noktasında çevrinti vektörünün bileşenlerini hesaplayınız.

Çözüm 9:

a-

Bu hız alanının akışkanlara ait bir akım alanına karşı gelmesi için k ne olmadır. Süreklilik denklemini sağlaması gerekir.

∂ u

∂ x + ∂ v

∂ y + ∂ w

∂ z =0 olmalı k ( y +z ) + k ( x+z ) −k ( x+ y ) =0 k ( y +z+ x+z−z− y )−2 z=0 2 zk−2 z=0 → 2 zk =2 z k =1 olmalıdır .

b-

Akım zamana bağlı değilse PERMANAN AKIM söz konusudur.

∂u

∂ t = 0 ; ∂ v

∂t = 0; ∂ w

∂ t =0 akımınhız bileşenleri ,t ( zaman)dan bağımsız olduğundan akım permanandır .

c-

Akım karekteristiklerinin akım boyunca hep aynı kaldığı akım ∂ v

∂ x =0, ∂ p

∂ x =0 ise üniform akımdır.

∂ u

∂ x =k ( y +z) ;değişken

∂ v

∂ y = k ( x +z) ;değişken

∂ w

∂ z =−k ( x + y )−2 z; değişken

Akım üniform değildir.

w

= 1

2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y ) ^{= 0}

w

= 1

2 ( ^{∂ u} ∂ z − ∂ w

∂ x ) =0 ise çevrintisiz akım w

= 1

2 ( ^{∂ w} ∂ y − ∂ v

∂ z ) ^{= 0}

d-

w

= 1

2 ( y −x )≠ 0 w

= 1

2 ( x+ z ) ≠ 0 AKIM ÇEVRİNTİLİDİR . w

= 1

2 (−z − y )≠ 0

e-

w

= 1

2 (−1−1)=−1 w

= 1

2 (1+1)=1 w

= 1

2 (−1+1 )=0

Soru 10 : Yatay bir plakaya çarpan 2 boyutlu düşey bir jetin, düşey hız bileşenin, plakaya olan uzaklıkla orantılı olduğu görüldüğüne göre, akım alanını tanımlayan akım fonksiyonunu belirleyiniz.

Çözüm 10:

Yukarıdaki gözleme göre: v =−ky ^veya ∂ v

∂ y =−k yazılabilir.

Diğer taraftan süreklilik denklemine göre:

∂ u

∂ x + ∂ v

∂ y =0 olduğundan ,

∂ u= −∂ v

∂ y dx → ∫ ^{∂ u=−} ∫ (−k ) dx → u=kx+ c

Sınır koşulu olarak, simetri nedeniyle x=0 için u=0 alınırsa c=0 olacağı görülür.

Akım çizgisinin tam diferansiyeli

dψ= ∂ ψ

∂ x dx + ∂ ψ

∂ y dy → dψ =−vdx +udy olduğundan u ve v değerleri yerine yazılırsa , dψ=kydx+kxdy →dψ =k ( ydx +xdy ) her iki tarafın entegrasyonu alını rsa,

∫ ^{dψ =} ∫ ^kydx+ ∫ xdy → ψ=kxy+c olur .

Akım çizgilerinin görünüşü:

Bir akım çizgisi boyunca ψ=sabit olduğuna göre, son ifadeden,

y= sabit

x elde edilir. Buna göre akım çizgileri birer hiperboldür. Ayrıca x ve y eksenleri boyunca olan akım çizgisi için, x=0, y=0 olur.

Soru 11 : Sıkışmayan bir akışkanın düzlemsel akımda hız alanı,

u=3 x

−3 y

ve v=−6 xy

a- Akımın çevrintisiz olduğunu gösteriniz.

b- M(x ,y) noktasındaki ivme bileşenlerini ve bileşke ivmeyi yazınız. A(1,1) noktasındaki bileşke ivmeyi bulunuz.

Çözüm 11:

a-

w

= 1

2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y ) ^{= 0 olmalı}

w

= 1

2 ( −6 y−(−6 y ) ) =0 AKIM ÇEVRİNTİLİDİR . a

=u ∂ u

∂ x + v ∂ u

∂ y + ∂u

∂ t → a

= ( 3 x

−3 y

) (6 x )+ (−6 xy )(−6 y )→ a

=18 x ( x

+ y

)

a

=u ∂ v

∂ x + v ∂ v

∂ y + ∂ v

∂t →a

= ( 3 x

−3 y

) (6 y )+ (−6 xy )(−6 x ) → a

=18 y ( x

+ y

)

b-

a

=18 ( 1 ) ( ( 1 )

+ ( 1 )

) → a

=36 m/s

a

=18 (1 ) ( (1)

+(1)

) → a

=36 m/ s

a= √ ^{(36 )}

⁺⁽³⁶⁾

^{→ a=36} √ ^{2m/ s}

Soru 12 : İki boyutlu bir akımda hız alanı

u= ( 2 xy +t

) , v= ( x

− y

+ 10 t )

verilmiştir.

a- Bu akım fiziksel olarak mümkün müdür?

b- Bu akım permanan mıdır?

c- Bu akım hız potansiyelli midir? Hız potansiyelli ise potansiyel fonksiyonunu b ulunuz.

d- Bu akımın akım fonksiyonunu belirleyiniz.

e- Bu akım alanında A(1,1) noktasında ve t=1 anındaki hız ve ivme bileşenleri ile bileşke hızı ve ivmeyi hesaplayınız.

Çözüm 12:

a-

∂ u

∂ x + ∂ v

∂ y =0 olmalı

2 y−2 y=0 fiziksel olarak mümkün .

b-

Bu akımın hız bileşenlerinde (t) zaman bağlı terim olduğundan akım permanan değildir.

∂u

∂ t = 2t ≠ 0 , ∂u

∂ t =10≠ 0 olduğundan permanan değildir .

c-

w

= 1

2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y ) ^{→ w}

=(2 x−2 y )=0 akım hız potansiyellidir . u= ∂ ∅

∂ x → ∫ ^∂ ∅= ∫ ^{u ∂ x →} ∫ ^∂ ∅= ∫ ^{( 2 xy+t}

^{) ∂ x →} ∅

= x

y+t

y+c

v = ∂ ∅

∂ y → ∫ ^∂ ∅= ∫ ^{v ∂ y →} ∫ ^∂ ∅= ∫ ^{( x}

^{+ y}

^{+10 t ) ∂ y →} ∅

= x

y − 1

3 y

+ 10ty +c

∅=∅

+ ∅

→ ∅=x

y − 1

3 y

+ t (tx+10 y )+c

d-

u= ∂ ψ

∂ y → ∫ ^{∂ψ =} ∫ ^{u ∂ y →} ∫ ^{∂ψ =} ∫ ^{( 2 xy+t}

^{) ∂ y → ψ}

^{= x y}

^+t

^{y +c}

v = − ∂ψ

∂ x → ∫ ^{∂ ψ=} ∫ ^{− v ∂ x →} ∫ ^{∂ ψ=} ∫ ^{− ( x}

^{− y}

^{+10 t ) ∂ x →ψ}

^{= −x} ₃

^{+ x y}

^{−10 tx+c}

ψ=ψ

+ψ

→ ψ=x y

+t

y+c

− x

3 + x y

−10 tx+c

ψ= − x

3 + x y

+ t (ty−10 x )+c

e-

∂u

∂ t = 2t → t=1 → ∂ u

∂ t =2lokal ivme

∂ v

∂ t =10→ lokal ivme

∂ u

∂ x =2 x → x=1→ ∂ u

∂ x =2

∂u

∂ y =2 y → y=1→ ∂ u

∂ y =2 konvektif ivme

∂ v

∂ x =2 x → x=1→ ∂ v

∂ x =2

∂ v

∂ y =−2 y → y =1→ ∂ v

∂ y =−2 a

= du

dt = ∂ u

∂ t + u ∂ u

∂ x + v ∂u

∂ y → a

=2+(3 )(2)+(10 )(2) → a

= 28m/ s

a

= dv

dt = ∂ v

∂t +u ∂ v

∂ x + v ∂ v

∂ y → a

=10+(3) (2)+(10) (−2)→ a

=−4 m/s

a= √ ⁽²⁸⁾

^{+ (−4 )}

→ a=28.28 m/s

Soru 13 : İdeal bir akışkanın iki boyutlu akımda hız bileşenleri,

u=16 y −12 x , v=12 y−9 x

olarak verilmiştir. Bu akımın;

a- Permanan olup olmadığını gösteriniz.

b- Fiziksel olarak gerçekleşmesinin mümkün olup olmadığını belirleyiniz.

c- Hız potansiyelli olup olmadığını inceleyiniz.

d- Akım çizgilerinin denklemini belirleyiniz. Koordinatları x=1, y=2 olan noktadan geçen akım çizgisinin denklemini bulunuz.

e- Eş-potansiyel eğrilerinin denklemi belirlenebilir mi? Nedenlerini açıklayınız.

f- Bu akımda Bernoulli bağıntısının nerelerde geçerli olduğunu nedenleriyle açıklayınız.

Çözüm 13:

a-

Akım permanan ise ∂u

∂ t = 0, ∂ v

∂ t =0 ^olmalı

u ve v hız bileşenleri zamandan bağımsız olduğundan ∂u

∂ t = 0 ve ∂ v

∂ t =0 bu nedenle akım permanandır.

b-

fiziksel olarak gerçekleşebilmesi için ∂ u

∂ x + ∂ v

∂ y =0 ^olmalı

∂ u

∂ x =−12

∂ v

∂ y =12

∂ u

∂ x + ∂ v

∂ y →−12+12=0

Bu akım fiziksel olarak gerçekleşir.

c-

w

= 1

2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y ) ⁼ 0→ akım hız potansiyellidir .

∂ v

∂ x =−9

∂u

∂ y =16 w

= 1

2 ( ^{∂ v} ∂ x − ∂ u

∂ y ) ^{= 0→ w}

^{= 1} 2 (−9−16 )≠ 0 AKIM HIZ POTANSİYELLİ DEĞİLDİR .

d-

Akım çizgisi denklemi

u= ∂ ψ

∂ y → ∫ ^{∂ψ =} ∫ ^{u ∂ y →} ∫ ^{∂ψ =} ∫ (16 y−12 x )∂ y →ψ

=8 y

−12 xy +c

v = − ∂ψ

∂ x → ∫ ^{∂ ψ=} ∫ ^{− v ∂ x →} ∫ ^{∂ ψ=} ∫ −(12 y−9 x ) ∂ x →ψ

=12 xy− 9 x

2 + c

ψ=ψ

+ψ

→ ψ=8 y

−12 xy +c

+ 12 xy − 9 x

2 + c

ψ=8 y

− 9

2 x

+ c

e- Belirlenemez. Çünkü hareket hız potansiyelli değildir.

f- Akım hız potansiyelli olmadığından BERNOULLI denklemi yalnız bir akım çizgisi üzerinde geçerlidir.