Analitik Geometri 3 / Dönüşüm Geometrisi

(1)

1 Analitik Geometri 3 / Dönüşüm Geometrisi

x y

simetri x eks. göre simetri

y eks. göre

x y

sola öteleme

aşağı öteleme sağa öteleme yukarı öteleme

x y

∝

poz. yönde ∝^o döndürme

β

neg. yönde 𝛃^o döndürme matematikchi.net Videolu

Anlatım

Daha fazla test ve konu anlatımı için matematikchi.net x

y

O x

y

O

x y

O

3 br 2 br

3 br x y

O

2 br

x y

O

40^o

x y

O ⁵⁰^o

1 Simetri Kavramı −

2 Öteleme Kavramı −

3 Döndürme Kavramı −

Aşağıdaki hangi geometrik dönüşümün yapıldığını saptayınız. (Simetri, Öteleme, Dönme)

Örnek :

A)

B)

C)

o o

Sağa ÖTELEME x eksenine göre SİMETRİ veya 6 br aşağı ÖTELEM

90 negatif yönde veya 270 pozitif yönde DÖNME

A) B)

C)

DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİNE GİRİŞ:

(2)

2

Daha fazla test ve konu anlatımı için matematikchi.net A(x,y) A^ı(x^ı,y^ı)

d

B Nokta

Doğru

1 - SİMETRİ

( ) ( )

−

− − x,y x eksenine göre x, y x,y y eksenine göre x,y x,y Orjine göre x, y







İşaretler değişir.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

− − − − − −

− −

3, 5 3,5 3, 5 5,3 5, 3 5,5 3, 9 1,7

1) a) b) c) 2) a) b)

3) a) b) c)

I) Eksenlere ve Orjine göre simetri :

( )

→

A 3,5 noktasının simetrilerini bulun.

x eksenine göre Ö

y eksenine göre O

) )

rjine gör

c e

b a

e n k :1

)

r

II) Açıortay Doğrularına göre simetrisi :

(

y x ve y⁼ ^{= −}x

)

( ) ( )

=

= − − −

x,y y x doğ. göre y , x x,y y x doğ. göre y, x



 Yerler de değişir.

( )

= →

= − →

y x doğrusuna göre Ö

y x k

doğ e

ru a

su )

na b

r

gö n 2 :

re )

( )

= =

III) x a , y b doğrularına ve A a,b noktasına göre simetrisi :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

= −

− −

x, y x a doğ. göre 2a x , y x, y y b doğ. göre x , 2b y x, y A a,b nokt. göre 2a x , 2b y







İki Katından Çıkarılır.

( )

= →

= − →

→

x 4 doğrusuna göre y 2

Ö

doğrusuna göre

) n

A 1,6 a

no k

kt

) ası

:

n

c a

b)

g 3

ö e

re r

IV) Bir noktanın herhangi bir doğruya göre simetrisi :

I) II

d ve AA' doğrularını ortak çöz ve B noktasını bul.

A noktasının B noktasına göre simetri

)

ğini al.

(

⁻

)

→

= →

= − →

A 2, 1 noktasının simetrilerini bulunuz.

x eksenine göre y eksenine göre Orjine göre göre y x doğrusuna göre y x doğrusuna göre x 3 doğrusuna göre 5.

a) b) c) d) e) f) g)

( )

= →

→

+ − = →

y 2 doğrusuna göre A 0,5 noktasına g re ö y x 7 0 doğr

) usuna

ı g

)

ö h

re

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − − −

4

5

) 5) a) b) c) d)

e)

1,7 2,1 2, 1 2,1 1,2 1, 2 f) 8, 1 g) 2 5 , h) 2 1,1 ı) 8,

Karışık Örnekler :

( )

^{= +}

A 3,5 noktasının y x 4 doğrusuna göre simetriği olan noktayı bulun.

Örnek 4 :

A - Noktanın Simetrisi

(3)

3 Analitik Geometri 3 / Dönüşüm Geometrisi

Daha fazla test ve konu anlatımı için matematikchi.net

matematikchi.net

(

⁻

)

A 2,3 noktasının x eksenine göre simetriği B y eksenine göre simetriği C ise B ve C noktaları arası mesafe kaç birimdir?

6.

( )

⁼

=

A 1,4 noktasının y x doğrusuna göre simetriği C noktası ve C noktasının x 3 doğrusuna göre simetriği D noktası ise D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

7.

= − + 2 13 3 y 7x 37

6) 7) 8)

( )

− − = −

M 2, 5 noktasının y x doğrusuna göre si- metriği N noktası, K 1,2 noktasında göre sime- triği T noktası ise N ve T noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

8.

( )

⁻ ₅

9) 1,2 10) 4 11) 12

(

⁻

)

^{− + =}

A 4, 1 noktasının y x 2 0 doğrusuna göre simetriği olan B noktasının koordinatları nedir?

9.

( )

= +

A 2,3 noktasının y ax b doğrusuna göre simetriği B 6,1 ise a+b toplamı kaça eşittir?

10.

(

⁻

)

⁻ ^{+ =}

A 3,1 noktasının 3x 4y 1 0 doğrusuna göre simetriği B noktası ise AB kaç birimdir?

11.

(4)

4 B - Fonksiyonların Simetrisi

Noktanın simetrisi için geçerli olan tüm kurallar fonksiyondaki x ve y değişkenleri için uygulanır.

( )

=

= −

=

= −

−

x eksenine göre

y eksenine göre

Orjine eksenine göre

y x doğrusuna göre

y x doğrusuna göre

x 2 doğrusuna göre

y 1 doğrusuna göre

5,7 n a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) aktasına göre

+ − =

4x 3y 5 0 doğrusunun aşağıdaki durumlara göre simetrilerini bulun.

1.

Örnekler :

− − = − + − = − − − =

4x 3y 5 0 4x 3y 5 0 4x 3y 5 0

1) a) b) c)

+ − = − − − =

4y 3x 5 0 4y 3x 5 0

d) e)

−4x 3y 11 0 + + = 4x 3y 11 0 − − = −4x 3y 3 0− − =

f) g) h)

= − =

− = −

y 3x 1 doğrusunun y x doğrusuna göre simet- risi ile y= 2x+3 doğrusunun y x doğrusuna göre simetrisinin kesişim noktasının ordinatı kaçtır?

3.

= ²− − =

y x 3x 4 parabolünün x 2 doğrusuna göre simetrisinin x eksenini kestiği noktaların apsisleri kaçtır?

4.

( )

= + −

−

f(x) x 2 fonksiyonunun A 3, 2 noktasına göre x 1

simetiğinin denklemini bulun.

5.

= + = −

= + = − −

+ =

3 3

2 2

2 Aşağıdakilerden hangileri d

)

oğrudur.

y 3x 1 x eks.göresmt y 3x 1 y x 1 y eks.göresmt y x 1 x y 4

I

Orjinegö e .

)

t II

II )I r sm x²+y² =4

− +

− =

−

2 5x 28

III 0 ve 5 f(x)

5 x 5

2) 3) 4) 5)

(5)

5 Analitik Geometri 3 / Dönüşüm Geometrisi

x y

A(4,2)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4

-1 -2

B(8,2) D(4,4)

E(4,-1) C(1,2)

x y

O

A B

D C

-4 -1

2 4 y

A

B

4 2

5

x O

1 C

A y

B 2

-2 x

C -2

2 - ÖTELEME :

A) Bir noktayı veya şekli öteleme

( )

+

−

a A x,y noktasını

x ekseni doğtultusunda birim öteleme B x , y

x ekseni doğtultusunda birim öteleme

a

C x , y y ekseni doğtul

a a

tusund

l

b a

a

ğ

bi a

rim a

a s

o

yuk s

( )

+

−

öteleme D x , y

y ekseni doğtultus

b

unda birim öteleme

r

b

ı

ğ E

aşa x , y

ı

b

Örnekler :

2 br yukarı

4 br sağa 3 br

aşağı 3 br sola





sağ sol

x ekseni

boyunca hareket 



yukarı aşağı

y ekseni boyunca hareket

(

⁻

)

A 3, 2 noktasının aşağıdaki şıklarda istenildiği şekilde öteleyin.

1.

→

→ x ekseni doğrultusunda 5 birim sağa y ekseni doğrultusunda 4 birim aşağı

Önce x ekseni doğrultusunda 2 birim sola sonra y ekseni doğrultusunda 1 birim yukarı

a) b) c)

( )

(

⁻

)

A 1,4 noktasının a birim aşağı, b birim sağa ötelenmişi B 4, 2 ise a+b toplamı kaçtır?

2.

2

ABCD dikdörtgenini x ekseni doğrultusunda 3 br sağa y ekseni doğrultusunda 3 br aşağı ötelediğimizde 1. bölgede kalan alan kaç br olur?

4.

ABC dik üçgenini x ekseni doğrultusunda 4 br sola, y ekseni doğrultusunda 3 br aşağı ötelediğimizde oluşan yeni şekli çizin.

3.

(

⁻

) (

⁻

) ( )

⁻¹

1) a ) 8, 2 b) 3, 6 c) 1, 2) 9 23) 4)

(6)

6

Daha fazla test ve konu anlatımı için matematikchi.net y

x O d

-2 -3

y

O x

A B

-1

2

y = x²- 4x + 5

-2 1 İkinci parabol

B) Bir fonksiyonu öteleme

( )

+

=

→

−

→

y f x şeklindeki bir fonksiyonu

x ekseni doğrultusunda birim öteleme x x

y ekseni doğrultusund

a sağa

a

a sola

a

− +

→

→ b

a birim öteleme y y

y ekseni doğrultusunda birim öteleme

b b

ı

ş

u

r

a a

y

b k

a ı y

y

ğ

Örnekler :

− + =

2x 3y 7 0 doğrusunun x ekseni boyunca 2 br sağa, y ekseni boyunca 4 br aşağı ötelendiğinde oluşan doğru denklemini bulun.

1.

+ − + − =

2 2

x y 2x 4y 4 0 çemberini x ekseni doğ- rultusunda 1 br sola, y ekseni doğrultusunda 2 br yukarı ötelersek oluşacak çemberin denklemini bulun.

2.

= +

− + =

y 4x 7 doğrusu x ekseni doğrultusunda a br 3

sola, y ekseni doğrultusunda a br yukarı ötelendi- 4x 3y 21 0 doğrusunu elde ediyoruz. Buna göre a kaça eşittir?

3.

4. Yanda ki şekilde d doğrusunu

y ekseni doğrultusunda 2 br yu- karı, x ekseni doğrultusunda 3 br sağa ötelediğimizde olu- şan doğru y eksenini hangi nok- tada keser?

5.

= ²− +

Yukarıdaki şekilde y x 4x 5 parabolünün öte- lenmiş parabolü olan ikinci bir parabol çizilmiştir.

Bu ikinci parabol x eksenini hangi noktalarda keser?

− − = ²+ ²=

2x 3y 9 0 x y 9

1) 2) 3) 2 2 4) 5)

(

⁻3,0 ve 1,0

) (

⁻

)

(7)

7 Analitik Geometri 3 / Dönüşüm Geometrisi

y

∝

A(x,y) A₁

poz. yönde dönüş

O x

neg. yönde dönüş 𝛃

A₂

3 - DÖNME :

( )

^o

A x, y noktasını orjin etrafında pozitif yönde döndürürsek

Genel Formül :

(

^{ −} ^ ^{ +} ^

)

A x cos

ı

y sin , x sin y cos noktasını elde ederiz.



−  = 

− =

o

o o o

o

o o o

Negatif yönde döndürmek, pozitif yönde 360 döndürmektir.

Mesela negatif yönde 120 döndürmek, pozitif yönde 360 120 240 döndürmektir.

Pozitif yön = Saatin dönme yönü Notlar :

1)

2) nün tersi

Negatif yön = Saatin dönme yönü

Bir nokta etrafında dönerken o noktaya uzaklık değişmez.

Orjin dışındaki bir K noktasının etrafında dönme istenirse, K noktasını orjin gibi düşü

3)

4)

nerek dönme hareketi yap.

( )

→ −

→ − −

→ −

o o o o

o

1 o

2 o

3 o

A x, y noktasını

Pozitif yönde 90 döndürme A y,x Pozitif yönde 180 döndürme A x, y Pozitif yönde 270 döndürme A y, x Pozitif yönde 360

90 ,180 , 270 ,360 lik dönüşler için kısa yol :

1) 2) 3)

4) döndürme

^→

A x, y

4

( )

Örnekler :

( )

o

A 2,3 noktasını orjin etrafında

poz. yönde 90 döndürürsek koordinatları ne olur?

1.

a)

b)

c)

o

neg. yönde 90 döndürürsek koordinatları ne olur?

neg. yönde 180 döndürürsek koordinatları ne olur?

d)

e)

f)

(

⁻

) (

⁻

) (

^{− −}

) ( ) (

⁻

) (

^{− −}

)

3,2 3, 2 2, 3 2,3 3, 2 2, 3

1) a) b) c) d) e) f)

(8)

8

Daha fazla test ve konu anlatımı için matematikchi.net y

A

B

4 2

5

x O

1 C

y

C’

B’

5 1

-4

-2 A’ x

( )

o

A 4,2 noktasını orjin etrafında

Poz. yönde 30 döndürürsek koordinatları ne olur?

Poz. yö 2.

a)

nde 225 döndürürsek koordinatları ne olur?

Neg. yönde 240 döndürürsek koordina c

b

tları

) ne ol

)

ur?

Neg. yönde 30 döndürürsek koordinatları ne olur?o

d)

( )

^

 

− + 

 

 

o

I

A 1,2 noktasını orjin etrafında döndürünce

1 3

A 3 , 1 noktasını elde ediyorsak

2 2

kaç derecedir?

3.

(

⁻ ⁺

) (

⁻ ⁻

)

2 3 1,2 3 2 , 3 2

2) a) b)

( ) ( )

⁻ ^o

A 5,4 noktasını B 1,3 noktası etrafında 90 döndürdüğümüzde hangi noktayı elde ederiz?

4.

o

ABC dik üçgenini orjin etrafında pozitif yönde 270 döndürürsek hangi şekli elde ederiz?

5.

(

^{− −}² 3 ,2 3 1 ⁻

) (

2 3 1, 2^{+ − +} 3

)

c) d)

3)60o ⁴⁾

(

⁻^2,9

)

5) ⁶⁾^{3y 2x 6 0}⁺ ^{− =}

− + =

o

3x 2y 6 0 doğrusunu orjin etrafında pozitif yönde 90 döndürürsek hangi doğru denklemini elde ederiz?

6.