MAT 110 ANAL˙IZ II Belirsiz ˙Integraller

MAT 110 ANAL˙IZ II

Belirsiz ˙Integraller

Ankara ¨Universitesi

3. Hafta

(I)

Z _dx

√

ax2_+bx+c

tipindeki integrallerin hesaplanmasıa, b ve c katsayılarının

durumuna g¨ore de˘gi¸sir.

p ax2_+bx+c= v u u ta "  x+ b 2a 2 +4ac−b 2 4a2 # (5.6)

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(i) b2−4ac>0 ve a<0 ise(5.6)e¸sitli˘gindeki k¨okl¨u ifadenin i¸ci

k2−u2¸seklinde bir ifadeye d¨on¨u¸s¨ur. Dolayısıyla

Z _du √ k2_−u2 =arcsin u k  +C yardımıyla verilen integral hesaplanır.

(ii)b2−4ac>0 ve a>0 ise (5.6) e¸sitli˘gindeki k¨okl¨u ifadenin i¸ci

u2−k2¸seklinde bir ifadeye d¨on¨u¸s¨ur. Dolayısıyla

Z _du

√

u2_−k2 =ln



u+pu2_−k2_+C

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(iii) b2−4ac<0 ve a>0 ise (5.6)e¸sitli˘gindeki k¨okl¨u ifadenin i¸ci

u2_+k2_{¸seklinde bir ifadeye d¨on¨u¸s¨ur. Dolayısıyla}

Z _du

√

u2_+k2 =ln



u+pu2_+k2_+C

yardımıyla verilen integral hesaplanır.

(iv) b2_{−4ac=0 ve a>0 ise ax}2_{+bx+c bir tam kare olup bu}

ifade k¨ok dı¸sına ¸cıkar. Dolayısıyla basit bir de˘gi¸sken de˘gi¸stirmeyle

integral hesaplanır.

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(II)

Z _Ax+B

√

ax2_+bx+cdx

tipindeki integralin hesaplanması i¸cin

Z _Ax+B √ ax2_+bx+cdx = A 2a Z _2ax+b √ ax2_+bx+c +  B−Ab 2a Z ₁ √ ax2_+bx+cdx = A a p ax2_+bx+c +  B−Ab 2a Z 1 √ ax2_+bx+cdx

olarak yazılabilir. Yukardaki e¸sitli˘gin sa˘gındaki integral (I)tipinde

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(III)

Z _dx

(Ax+B)√ax2_+bx+c

tipindeki integrali hesaplamak i¸cin

1

Ax+B =t

de˘gi¸sken de˘gi¸stirmesi yapılırsa verilen integral(II) tipindeki

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(IV)n -inci dereceden polinom Pn(x)olmak ¨uzere Z _P n(x) √ ax2_+bx+cdx (5.7) tipindeki integral Z Pn(x) √ ax2_+bx+cdx=Qn−1(x) p ax2_+bx+c+λ Z 1 √ ax2_+bx+cdx (5.8)

¸seklinde yazılabilir, buradaQn−1(x)polinomun−1 -inci dereceden

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(5.7)tipinde belirtilen integrali hesaplamak i¸cin ilk olarak (5.8)

ifadesinin her iki tarafınınx de˘gi¸skenine g¨ore t¨urevi alınır, ifadenin

sa˘g tarafı ortak paydaya getirilir ve aynı dereceli terimlerin

katsayıları e¸sitlenirseQn−1(x)polinomunun katsayıları ve λ reel

sayısı bulunur. Dolayısıyla(5.8) ifadesinin sol tarafındaki integral

(I)tipindeki integrale indirgenir.

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(V)n∈_{N olmak ¨uzere}

Z

dx

(x−p)n√ax2_+bx+c

tipindeki integrali hesaplamak i¸cin

1

x−p =t

de˘gi¸sken de˘gi¸stirmesi yapılırsa verilen integral(IV)tipindeki

integrale indirgenir.

¨

Ornek 5.2.27.

Z _dx

(x+1)3√x2_+2x

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

a, b∈R ve p, q, r∈Q olmak ¨uzere

xr(a+bxp)qdx ¸seklindeki ifadeye binom diferensiyeli

Z

xr(a+bxp)qdx (5.9)

bi¸cimindeki integrale de binom integrali denir.

(i) q tam sayı,

(ii) r+_p1 tam sayı,

(iii) r+_p1+q tam sayı,

durumlarından birinin sa˘glanması halinde (5.9)tipindeki integral

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(i) q∈Z ise r ile p sayılarının paydalarının en k¨u¸c¨uk ortak katı k

olmak ¨uzere(5.9)ifadesinde

x=tk

de˘gi¸sken de˘gi¸stirmesi yapılır.

(ii) r+_p1 ∈_{Z ise q sayısının paydası n olmak ¨uzere}(5.9)ifadesinde

a+bxp =tn

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(iii) r+_p1+q∈Z ise q sayısının paydası n olmak ¨uzere (5.9)

ifadesinde

ax−p+b=tn

de˘gi¸sken de˘gi¸stirmesi yapılır.

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(I)˙Iki farklı a¸cının sin¨us ve kosin¨us de˘gerlerinin ¸carpımını i¸ceren

integraller bir¸cok uygulama alanında kar¸sımıza ¸cıkabilir. Bu tip

integrallerde a¸sa˘gıdaki toplam ¸carpım form¨ulleri kullanılır:

¨

Ornek 5.2.29.

Z

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(II)m, n∈N olmak ¨uzere

Z

sinmx cosnx dx

tipindeki integrallerm ve n sayılarının durumuna g¨ore farklı

de˘gi¸sken de˘gi¸stirmeleri yapılarak hesaplanır.

cos x=t

de˘gi¸sken de˘gi¸stirmesi yapılır.

(ii)n sayısı tek ise

sin x=t

de˘gi¸sken de˘gi¸stirmesi yapılır.

(iii) m ve n sayılarının her ikisi de ¸cift sayı ise

cos2x= 1

2(1+cos 2x) ve sin

2_x= 1

2(1−cos 2x)

¨

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

Tanım 5.2.31.

a00, a10, a01, ..., a0n reel sayılar olmak ¨uzere

Pn(x, y) =a00+a10x+a01y+a20x2+a11xy+a02y2+...+a0nyn

¸seklindeki fonksiyonax ve y de˘gi¸skenlerinin kuvvetlerine g¨oren

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

Tanım 5.2.32.

x ve y de˘gi¸skenlerine g¨ore n -inci dereceden polinom Pn(x, y), m

-inci dereceden polinomQm(x, y)olmak ¨uzere

R(x, y) = Pn(x, y)

Qm(x, y)

kesirinex ve y de˘gi¸skenlerine g¨ore iki de˘gi¸skenli rasyonel fonksiyon

adı verilir. R(f(x), g(x))ifadesine def ve g fonksiyonlarının

rasyonel fonksiyonu adı verilir. ¨Orne˘gin;

R(sin x, cos x) = sin

3_{x+2 cos x}

cos2_{x sin x+1}

fonksiyonusin x ve cos x fonksiyonlarının rasyonel fonksiyonudur.

(III)

Z

R(sin x, cos x)dx

tipindeki integral hesaplanırken

(i) E˘ger

R(−sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)

ise bu durumda

t=cos x

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(ii)E˘ger

R(sin x,−cos x) = −R(sin x, cos x)

ise bu durumda

t=sin x

de˘gi¸sken de˘gi¸stirmesi yapılır.

(iii) E˘ger

R(−sin x,−cos x) =R(sin x, cos x)

ise bu durumda

t=tan x

de˘gi¸sken de˘gi¸stirmesi yapılır.

¨

Ornek 5.2.33.

Z _{sin x}

cos2_{x(sin x+cos x)}dx

5.2. Belirsiz ˙Integral Alma Y¨

ontemleri

(IV)n∈N olmak ¨uzere

In(x) =

Z

tannx dx

tipindeki integralleri dikkate alalım.