MAT 109 ANAL˙IZ I Limit

(1)

(2)

2.2.1. Temel Tanımlar ve ¨Onermeler Tanım 2.2.1.

∅6=X⊂R, f : X→R fonksiyon ve a∈X0 olsun. Keyfi e>0 sayısı i¸cin en az bir δ=δ(e) >0 sayısı var ¨oyle ki

0<|x−a| <δ

ko¸sulunu sa˘glayan herx∈X i¸cin

|f(x) −L| <e

sa˘glanıyorsaf fonksiyonunun a noktasındaki limiti L sayısıdır denir ve lim

x→af(x) =L

veya

(3)

Not 2.2.2.

Yukardaki tanımı simgesel mantık dilinde a¸sa˘gıdaki gibi yazabiliriz: lim

x→af(x) =L⇐⇒ ∀e>0∃δ=δ(e) >0 3 ∀x∈X (0<|x−a| <δ=⇒|f(x) −L| <e) lim

(4)

Di˘ger taraftan;

0<|x−a| <δ ⇐⇒ x∈ U˚δ(a)

|f(x) −L| <e ⇐⇒ f(x) ∈Ue(L)

|f(x) −L| ≥e ⇐⇒ f(x)∈/Ue(L)

(5)

Tanım 2.2.3.

∅6=X⊂R, f : X→R fonksiyon ve a∈X0 olsun. L sayısının her Ue(L)

kom¸sulu˘gu i¸cina sayısının en az bir ˚ Uδ(a)

kom¸sulu˘gu var ¨oyle ki her

x∈U˚_δ(a) ∩X i¸cin

f(x) ∈Ue(L) sa˘glanıyorsa veya

f ˚U_δ(a) ∩X⊂Ue(L)

(6)

Not 2.2.4.

Yukardaki tanımı simgesel mantık dilinde a¸sa˘gıdaki gibi yazabiliriz:

(7)

¨ Ornek 2.2.5. lim x→0x sin 1 x =0

oldu˘gunu g¨osteriniz.

¨

Ornek 2.2.6.

Limit tanımını kullanarak

(8)

¨

Ornek 2.2.7.

Limitin(e−δ)tanımını kullanarak lim x→1

√

10−x=3

(9)

Tanım 2.2.8.

∅6=X⊂R, f : X→R fonksiyon ve a∈X0 olsun. Hern∈N i¸cin

xn∈X\ {a}

ve

lim

n→∞xn=a

ko¸sullarını sa˘glayan her(xn)dizisi i¸cin

lim

n→∞f(xn) =L

isef fonksiyonunun a noktasındaki limiti L dir denir ve lim

x→af(x) =L

veya

(10)

Not 2.2.9.

Yukardaki tanımı simgesel mantık dilinde a¸sa˘gıdaki gibi yazabiliriz:

lim x→af(x) =L⇐⇒ ∀ (xn) xn∈X\ {a} lim n→∞xn=a=⇒n→∞limf(xn) =L lim

x→af(x) 6=L⇐⇒ ∃ (xn) 3 xn∈X\ {a} n→lim∞xn=a limn→∞f(xn) 6=L

Teorem 2.2.10.

(11)

¨ Ornek 2.2.11. x∈ _R\ {0}olmak ¨uzere f(x) =sin 1 x

(12)

Tanım 2.2.12.

a<x<a+δ

|f(x) −L1| <e

sa˘glanıyorsaf fonksiyonunun a noktasındaki sa˘g limitiL1sayısıdır denir ve

(13)

Tanım 2.2.13.

a−δ<x<a

|f(x) −L2| <e

sa˘glanıyorsaf fonksiyonunun a noktasındaki sol limiti L2 sayısıdır denir ve

(14)

(15)

Tanım 2.2.14.

∅6=X⊂R, f : X→R fonksiyon, a∈X0ve(a,+∞) ∩X6=∅ olsun. Her n∈N i¸cin

xn∈X\ {a} , xn>a

ve

lim

n→∞xn=a

lim

n→∞f(xn) =L1

isef fonksiyonunun a noktasındaki sa˘g limitiL1dir denir ve

lim

x→a+f(x) =L1 veya

f a+

=L1

(16)

Tanım 2.2.15.

∅6=X⊂R, f : X→R fonksiyon, a∈X0ve(−∞, a) ∩X6=∅ olsun. Her n∈N i¸cin

xn∈X\ {a} , xn<a

ve

lim

n→∞xn=a

lim

n→∞f(xn) =L2

isef fonksiyonunun a noktasındaki sol limiti L2 dir denir ve

lim

x→a−f(x) =L2 veya

f a−

=L2

(17)

Teorem 2.2.16.

∅6=X⊂R, f : X→R fonksiyon, a∈X0,

(a,+∞) ∩X6=∅ ve (−∞, a) ∩X6=∅

olsun. f fonksiyonunun a noktasında limitinin mevcut olması i¸cin gerek ve yeter ¸sartf fonksiyonunun f(a+)vef(a−)limitlerinin mevcut ve

f a+

(18)

¨ Ornek 2.2.17. lim x→1 x2₋₁ x−1 ifadesini hesaplayınız. ¨ Ornek 2.2.18. f :[−2, 2] →R olmak ¨uzere f(x) =    2−x ; −2≤x<1 3 ; x=1 x−1 ; 1<x≤2

(19)

Tanım 2.2.19. c∈R olmak ¨uzere

f :(c,+∞) →R

fonksiyon veL1∈R olsun. Keyfi e>0 sayısı i¸cin en az bir

δ=δ(e) >0 sayısı var ¨oyle ki her x>δ i¸cin

|f(x) −L1| <e

sa˘glanıyorsaf fonksiyonunun+∞ -da limiti L₁ sayısıdır denir ve lim

(20)

Tanım 2.2.20. c∈R olmak ¨uzere

f :(−∞, c) →R

fonksiyon veL2∈R olsun. Keyfi e>0 sayısı i¸cin en az bir

δ=δ(e) >0 sayısı var ¨oyle ki her x< −δ i¸cin

|f(x) −L2| <e

sa˘glanıyorsaf fonksiyonunun−_{∞ -da limiti L}₂ sayısıdır denir ve lim

(21)

(22)

¨ Ornek 2.2.22. f(x) = x−_√JxK x ¸seklinde tanımlanan f :(0,+∞) →R fonksiyonu i¸cin lim x→+∞f(x) =0 oldu˘gunu g¨osteriniz.

(23)

Tanım 2.2.23.

(i)c∈R olmak ¨uzere

f :(c,+∞) →R

fonksiyon veL1∈R olsun. Her n∈N i¸cin

xn>c

ve

lim

n→∞xn= +∞

lim

n→∞f(xn) =L1

isef fonksiyonunun+∞ -da limiti L₁sayısıdır denir ve lim

x→+∞f(x) =L1

(24)

(ii)c∈R olmak ¨uzere

f :(−∞, c) →R

fonksiyon veL2∈R olsun. Her n∈N i¸cin

xn<c

ve

lim

n→∞xn= −∞

lim

n→∞f(xn) =L2

isef fonksiyonunun−∞ -da limiti L2sayısıdır denir ve

lim

x→−∞f(x) =L2

(25)

¨

Ornek 2.2.24.

f(x) =sin x

(26)

Tanım 2.2.25.

A¸sa˘gıdaki ¨onermeler do˘grudur: (i) lim x→af(x) =L1 ve limx→af(x) =L2 iseL1=L2 dir. (ii) lim x→af(x) =L ise en az bir δ>0 sayısı vardır ¨oyle ki

˚

Uδ(a) ∩X

(27)

(iii)

lim

x→af(x) =L1 ve x→alimg(x) =L2

limitleri mevcut ise bu durumdaf +g, f−g, fg fonksiyonlarının da x→a i¸cin limitleri mevcuttur ve

lim x→a[f(x) +g(x)] = L1+L2 lim x→a[f(x) −g(x)] = L1−L2 lim x→a[f(x)g(x)] = L1L2

ger¸ceklenir. Ayrıca e˘ger herx∈X i¸cin g(x) 6=0 ve L26=0 ise f_g

(28)

(iv)

lim

x→af(x) =L1 , limx→ag(x) =L2 limitleri mevcut ve herx∈X i¸cin

f(x) ≤g(x) ise

(29)

(30)

(31)

¨ Ornek 2.2.26. lim x→0 sin x x =1

(32)

Teorem 2.2.27. (Bile¸ske Fonksiyonun Limiti)

X, Y⊂R, a∈X0, b∈Y0, f : X→R, g : Y→R,

lim

x→af(x) =b ve limy→bg(y) =A

olsun. E˘ger herx∈X\ {a}i¸cin

f(x) 6=b ve f(x) ∈Y ise bu durumda

F(x) = (g◦f) (x) =g(f(x))

bile¸ske fonksiyonununa noktasındaki limiti mevcuttur ve lim

x→aF(x) =A

(33)

¨ Ornek 2.2.28. lim x→+∞ 1+1 x x =e

(34)

X⊂R olmak ¨uzere

i=inf X ve s=sup X

olsun.

Teorem 2.2.29.

X⊂R ve f : X→R fonksiyonu X k¨umesi ¨uzerinde monoton artan fonksiyon olsun. Bu durumda

(35)

Teorem 2.2.30.

X⊂_{R ve f : X}→_{R fonksiyonu X k¨umesi ¨uzerinde monoton} azalan fonksiyon olsun. Bu durumda

(36)

Tanım 2.2.31.

X⊂_{R k¨umesi, f : X}→_{R fonksiyonu ve a}∈X0,L∈_{R noktaları} verilmi¸s olsun. E˘ger her n∈N i¸cin

xn∈X\ {a} ve

lim

n→∞xn=a ko¸sullarını sa˘glayan bir (xn)dizisi i¸cin

lim

n→∞f(xn) =L

(37)

Not 2.2.32.

S¨oz konusuL sayısı genelde farklı (xn)dizileri i¸cin farklıdır. Dolayısıyla a¸sa˘gıdaki k¨ume

Lf (a) ={L : f fonksiyonunun x→a i¸cin ¨ozel limiti L} olarak tanımlansın. ¨ Ornek 2.2.33. f :R\ {0} →R olmak ¨uzere f(x) =sin 1 x

(38)

Tanım 2.2.34.

X⊂R k¨umesi, f : X→R fonksiyonu ve a∈X0 noktası verilmi¸s olsun.

Lf(a)

k¨umesinin maksimumunaf fonksiyonunun x→a i¸cin ¨ust limiti, Lf(a)

k¨umesinin minimumunaf fonksiyonunun x→a i¸cin alt limiti denir ve sırasıyla

lim

(39)

Not 2.2.35.

(40)

Not 2.2.36.

f(x) =sin 1 x

(41)

Teorem 2.2.37.

X⊂R k¨umesi, f : X→R fonksiyonu ve a∈X0 noktası verilmi¸s olsun. Bu durumda

lim

(42)

2.2.2. Belirsiz ˙Ifadeler

X⊂_{R k¨umesi, a}∈X0 (a∈_{R veya a}= ∓∞ olabilir) noktası ve f , g : X→R fonksiyonları verilmi¸s olsun.

I. DURUM

lim

x→af(x) =L1 ve limx→ag(x) =L2 sonlu limitleri mevcut ise

(43)

(i) L1=L2 =0 olması durumunda f g

fonksiyonununx→a i¸cin limitinin varlı˘gı ¨uzerine kesin bir¸sey s¨oylenemez. O halde x→a i¸cin

f g fonksiyonu

(44)

¨ Orne˘gin;

(45)

(46)

(47)

(ii)L1 =L2= +∞ (veyaL1 =L2= −∞) olması durumunda f

g

f g fonksiyonu

(48)

II. DURUM lim

x→af(x) =0 ve limx→ag(x) =∞ ise

f .g

f .g fonksiyonu

(49)

III. DURUM lim

x→af(x) = +∞ ve limx→ag(x) = +∞ ise

f−g

f−g fonksiyonu

∞−∞

(50)

(51)

(iii)

lim

x→af(x) =0 ve x→alimg(x) =c<0 (veya c= −∞)

ise lim x→a[f(x)] g(x) = +∞ dur. (iv) lim

x→af(x) =limx→ag(x) =0

isex→a i¸cin

[f(x)]g(x)

fonksiyonu

(52)

(53)

(54)

(55)

2.2.3. Temel Elemanter Fonksiyonların Limitleri I. Sabit Fonksiyonun Limiti

c∈R sabit reel sayı olmak ¨uzere f(x) =c bi¸ciminde tanımlı

f :R→R fonksiyonu i¸cin

(56)

(57)

(58)

(ii)a>1 i¸cin lim

x→0+logax= −∞ ve _x_→+lim∞logax= +∞ ve

0<a<1 i¸cin lim

(59)

IV. Kuvvet Fonksiyonunun Limiti α∈R olmak ¨uzere

f(x) =xα

bi¸ciminde tanımlı

f :R+→R kuvvet fonksiyonu i¸cin

(60)

(61)

(62)

(63)

VI. Ters Trigonometrik Fonksiyonların Limiti (i) Keyfix0 ∈ [−1, 1]i¸cin

(64)

(65)

VII. Polinom Fonksiyonların Limiti

an6=0 olmak ¨uzere a0, a1, ..., anherhangi reel sayıları i¸cin pn(x) =anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 polinom olsun. Bu durumda keyfix0∈ R i¸cin

lim x→x0

pn(x) =pn(x0)