1
BÖLÜM IV: STURM-LIOUVILLE PROBLEMI
4.1 Diferansiyel İşlemci ve Hermitik Eşleniği
n. mertebeden diferansiyel işlemci ( )
( ) ( )
ile verilir. Hem bu işlemcilerin etki ettiği fonksiyonlar, hem de ( ) katsayıları ( ) aralığında düzgün olmalıdır. Diferansiyel işlemciler; çizgisellik, toplanabilirlik, bir sayıyla çarpılabilme ve birleşme özelliğine sahiptir.
n. mertebeden diferansiyel işlemcinin Hermitik eşleniği (adjointi)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
şeklindedir. da n. mertebeden diferansiyel bir işlemcidir ve kere türevlenebilir fonksiyonlar üzerine etki eder.
4.2 Hermitik Diferansiyel İşlemciler
Bir diferansiyel işlemcisi Hermitiktir, eğer ise. Bir diferansiyel işlemcisi Hermitik ise her için aşağıdaki eşitliği sağlar:
〈 〉 〈 〉
Burada , ’nin bir çizgisel alt uzayıdır ve işlemcisinin Hermitiklik bölgesi olarak tanımlanır. Genellikle işlemci Hermitiklik bölgesi ile verilir: ( ).
2
〈 〉 〈 〉 〈 〉 ∫ Bu integrale kısmi integrasyon uygulandıktan sonra
〈 〉 ( )| 〈 〉
ifadesi elde edilir. Bu eşitlikten işlemcisi için Hermitiklik bölgesinin ne olması gerektiği görülür: ( )| . Böylece, ’ler üzerine bu terimi yok edecek koşullar konularak Hermitiklik bölgesi tanımlanır. Örneğin; Dirichlet koşulu: ( ) ( ) , ( ).
4.3 Sturm-Liouville Problemi
Sturm-Liouville (S-L) denklemi
{
( ) ( )} ( ) ( ) ( )
karışık sınır koşulları ile birlikte Sturm-Liouville problemi olarak tanımlanır. S-L problemi bir özdeğer problemidir
( ) ( ) ( ) Burada , S-L işlemcisidir:
( ) ( )
ve bu problemin çözümü ( ( )) ile verilir. S-L işlemcisi Hermitik bir işlemcidir.
Teorem: ( ( )) çözümüne sahip düzgün S-L problemi aşağıdaki özellikleri
sağlar:
3
ii) olmak üzere ( ) ve ( ) özfonksiyonları diktir: 〈 ( ) ( )〉| .
iii) Herhangi bir ( ) , ( ) özfonksiyonlarının çizgisel birleşimi olarak ifade edilebilir.
iv) Özdeğerler olarak sınırlanır ve ise ’dur.
Problem: Hermitik bir işlemcinin özdeğerlerinin reel, farklı özdeğerlere karşı
