Örnek...1 : A ( 2, 8) B (2, 5) C (7, 7) D ( 1, 1) noktalarını köşe kabul eden ABCD dörtgenini

(1)

DÖRTGEN TANIMI DÖRTGEN TANIMI

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın birleştirilme–

siyle elde edilen kapalı şekle dörtgen denir.

Temel elem anlar : 4 AÇI, 4 KÖŞE, 4 KENAR d ır.

Bu aç ılar, köşeler ve k enarlar kom şu ya da karşıl ık lıd ır.

KÖŞEGEN, ORTA TABAN VE AĞIRLIK KÖŞEGEN, ORTA TABAN VE AĞIRLIK MERKEZİ

MERKEZİ

Karş ılık l ı iki k öşe yi birleştiren doğru parças ına köşegen denir.

[AC] ve [BD]

k öşegendir.

Karş ılık l ı iki k enarın orta nok taların ı birleştiren doğru parças ına orta taban denir.

P, L, M, N kenar orta

noktalar ı olm ak üzer e, [PM] ve [NL] orta taband ır.

Köşegenlerin k esişmesi yle oluşan üçgenlerin ağ ırlık

m erke zlerini köşe k abul eden paralelk enarın k öşegenlerinin k esim nok tasına dörtgenin ağırlık merkezi denir.

G_{1 ,}G_{2 ,}G_{3 ,}G₄

üçgenlerin ağırl ık merke zidir.

[G₁G₃] ∩ [G₂G₄] ={G} dir.

G: Dörtgenin ağırl ık merk e zi, O: Orta tabanlar ın kesim nok tas ı, K: Köşegenlerin kesim nok tas ıdır.

Örnek...1 : Örnek...1 :

A (–2, 8) B (2, 5) C (7, –7) D (–1, –1)

noktalar ın ı köşe kabul eden ABCD dörtgenini a) Analitik düzlem de çizi niz.

b) Kenar uzunluk larını bulunu z.

c) [BD] k öşegen uzunl uğunu bulunu z.

d) [CD] k enar ın ı taşıyan doğrunun eğim ini bulunu z.

e) O rta tabanlar ın ı çizim üzerinde gösterini z.

w w w . m a t b a z . c o m

D

C B A

P

L

M N

A

B

C

D

y

x

P

L

M N

A

B

C

D G₄

G₃ G₂ G₁

O K G

(2)

DIŞBÜKEY İÇBÜKEY DÖRTGEN DIŞBÜKEY İÇBÜKEY DÖRTGEN

D ışbük e y Dörtgen İçbük e y Dörtgen

x, y, z, w < 180ô β >180ôô

☺

: Aksi belirtilm edik çe dörtgen denildi–

ğinde dış bük e y dörtgen anlaş ılacak tır.

DÖRTGENİN AÇI ÖZELLİKLERİ : DÖRTGENİN AÇI ÖZELLİKLERİ :

1 ) Dörtgenin iç açıları toplamı 360^o dir. NEDEN?

2 ) Dörtgenin dış açıları toplamı 360^o dir. NEDEN?

Örnek...2 : Örnek...2 :

ABCD dörtgen ve A, B, E doğrusal olduğuna göre, ̂CBE açıs ı kaç derecedir?

Örnek...3 : Örnek...3 :

Bir dörtgenin d ış aç ılar ı sıras ıyla 3, 4, 5, 6 sa yılar ı ile orant ılı olduğuna göre, en bü yük iç açıs ı kaç derecedir?

3) Dörtgenin k omşu iki iç açıs ın ın aç ı orta yları arasında k alan aç ın ın ölçüsü diğer iki iç aç ının aritm etik otasıdır.

m(̂AED)=x=m(̂B)+m(̂C) 2

Örnek...4 : Örnek...4 :

ABCD dörtgeninde D, C, E doğrusal olm ak ü zere, m(̂AKD)=α aç ısının ölçüsü kaç derecedir?

Örnek...5 : Örnek...5 :

ABCD dörtgeninde, m(̂BAD)=100⁰

m(̂CEB)=85⁰ olduğuna göre, m(̂ADC)= x aç ısının ölçüsü kaç derecedir?

Örnek...6 : Örnek...6 :

ABCD dörtgeninde verilenlere göre,

α + β t o p l am ı k aç derecedir?

B

D C A

E

2x+25^o

x+35ô 4x+20ô 3x+10ô

B

C D

A

x E

B

C D

A

α K 88^o E 100^o

B

C D

A

x

85^o E 100^o

B

D C A

E F α

β B

C D

A

x y

z

w B

C

D A

β

w w w . m a t b a z . c o m

(3)

4 ) Dörtgende

k arş ılık l ı iki iç aç ın ın aç ı orta ylar ın ın k esişmesi yle oluşan dar aç ın ın ölçüsü, diğer ik i iç açın ın ölçüleri fark ın ın m utlak değerinin ya rısıdır.

m(̂CEF)= y=

∣

m(̂B)−m(̂D)

∣

2

Örnek...7 : Örnek...7 :

ABCD dörtgeninde B, E, F ve D, C, K doğrusaldır.

Verilenlere göre, m(̂FED)= x açıs ı kaç derecedir?

Örnek...8 : Örnek...8 :

ABCD dörtgeninde B, E, F doğrudaş

m(̂A)=m(̂C)+64 olduğuna göre, m(̂BED)=y kaç derecedir?

Örnek...9 : Örnek...9 :

ABCD dörtgeninde A, D, E doğrudaş [DK] ve [BK]

açıort a yd ır.

Verilenlere göre, m(̂BKD)=θ kaç derecedir?

KÖŞEGENLERİ DİK KESİŞEN DÖRTGEN : KÖŞEGENLERİ DİK KESİŞEN DÖRTGEN :

ABCD dörtgeninde [AC] ⊥ [BD] ise a²+c²= b²+d²

eşitliği sağlan ır.

Örnek...10 : Örnek...10 :

ABCD dörtgeninde, [AC ]⊥[BD] ,

|AB |= 8 cm

|BC |= 5 cm ve

|CD |= 6 cm ise

|AD |= x kaç cm dir?

Örnek...11 : Örnek...11 :

ABCD dörtgeninde, [AH ]⊥[BD] ,

|AB |= 8 cm

|CD |= 6 cm

|AD |= 3.|BC| ise

|AD | k aç cm dir?

Örnek...12 : Örnek...12 :

ABCD dörtgeninde, [AC ]⊥[BD] ,

|AB |= 5 cm ,

|BC |= 7 cm ,

|CD |= 6 cm ve

∣AE∣=2

√

2 cm ise

|ED |= x kaç cm dir?

y B

C D

A

E F

x A

D C

B

E F 98^o

102^o K

B

C D

A E

F y

A

D

C

B d

c b

a

A

B D

C

H a

b c

d

A

B

C

D 8

5 6

x

A

B D

C

H 8

6

A

B

C 5 D

7

6 E x

w w w . m a t b a z . c o m

K E

123^o

47^o B

C D

A

θ

(4)

DÖRTGENİN ÇEVRESİ VE ALANI DÖRTGENİN ÇEVRESİ VE ALANI

ABCD dörtgeninde,

Çevre(ABCD)= a+ b+ c+ d birimdir.

Alan(ABCD)₁= 1

2.∣AC∣.∣BD∣.sinθ br²

2.u= a+ b+ c+ d olmak ü zere;

Alan(ABCD)₂ =

√

(u−a ).(u−b).(u−c).(u−d)

Köşe k oordinatları; A(x₁, y₁) , B(x₂, y₂) , C(x₃, y₃) ve D(x₄, y₄) olan dörtgenin alan ı;

Alan(ABCD)₃ =

= ¹

2.∣+x₁. y₂+x₂. y₃+x₃. y₄+x₄. y₁−x₂. y₁−x₃. y₂−x₄. y₃−x₄. y₁∣

⃗AC=⃗p ve ⃗BD=⃗q olm ak üzere;

Alan(ABCD)₄ = 1

2.

√

^∥^⃗^p^∥²^.^∥^⃗^q^∥²^−〈⃗^{p, ⃗q〉}²^dir.

⃗AC=(a ,b) ve ⃗BD=(c ,d) köşegen vektörleri olm ak üzere;

1

∣

^{a b}

∣

¹

Örnek...13 : Örnek...13 :

Köşegen uzunl uk lar ı 14 ve 12 cm olan bir dörtgenin alanı 42

√

^{2 cm}² olduğuna göre, k öşegenler arasındak i aç ı k aç derecedir?

Örnek...14 : Örnek...14 :

Kenar uzunluk ları 4, 6 ve 9 birim olan bir dörtgenin çevresinin en bü yük tam sa yı değeri k aç birim dir?

Örnek...15 : Örnek...15 :

Birim k arelerden oluşan şek ilde O noktas ı dik k oordinat sisteminin orijinidir.

ABCD dörtgeninin çevresi ve alan ın ı hesapla yın ız.

w w w . m a t b a z . c o m

A

B

D

C a

b

c d

θ

B

C

D A

O

(5)

Örnek...16 : Örnek...16 :

Köşegen vektörleri ⃗AC=(4,2) ve ⃗BD=(−3,5) olan ABCD dörtgeninin alanı kaç birim karedir?

ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD]

k öşegenlerinin çi zilm esi yle oluşan üçgenlerin alanları S₁, S₂, S₃ve S₄ olm ak ü zere,

S₁. S₃= S₂. S₄ tür.

Örnek...17 : Örnek...17 :

ABCD dörtgeninin köşegenleri ile dört üçgen alan ı şekildek i gibi oluşturulu yo r.

S ve T tam sa yı olduğuna göre, Alan(ABCD) en küçük kaç cm² olur?

Örnek...18 : Örnek...18 :

Köşelerinin k oordinatlar ı A(–3,5) B(–4,–2) C(7,–1) ve D(6,8) olan ABCD dörtgeninin alanını iç çarp ım l ı f ormülden yararla narak hesapla yın ız. Bu alan ı başk a nasıl

hesapla ya biliriz?

ABCD dörtgeninde K, L, M, N

bulunduk lar ı k enarların orta nok talar ıdır.

∣AC∣=e birim ve ∣BD∣=f birim olmak üzer e,

1) KLMN dörtgeni paralelk enardır.

2) Çevre(KLMN) = e+f 2 dir.

3) Alan(KLMN) = Alan(ABCD) 2 dir.

4) S₁+ S₃= S₂+ S₄ tür.

Örnek...19 : Örnek...19 :

ABCD dörtgeninde [AC] ⊥ [BD], K ve L bulunduk ları

k enarlar ın orta noktalar ıd ır.

│AC│= 12 br

│BD│= 8 br olduğuna göre, │KL│ u zunluğu k aç birim dir?

Örnek...20 : Örnek...20 :

Alan ı 68 cm² olan bir dörtgenin üç kenarının orta nok taları birleştirilerek elde edilen üçgensel bölgenin alan ı k aç cm² dir?

B

C

D A

L

K A

B

D

C S₁

S₃ S₂ S₄

w w w . m a t b a z . c o m

A

B

D

C 16

T S

5

A

B

D

C S₁

S₄

S₃ S₂

K

L

M N

(6)

Örnek...21 : Örnek...21 :

ABCD dörtgeninde K, L, M kenarlar ın orta nok talar ıdır.

│KM│= 10 br,

│KL│= 12 br,

│LM│= 14 br olduğuna göre, Alan(ABCD) kaçtır?

Örnek...22 : Örnek...22 :

ABC D dörtgeninde K, L, M kenarlar ın orta nok talarıdır.

∣KM∣=∣LM∣=6

√

^{5 br ,}

│KL│= 12 br ise Alan(ABCD) kaçt ır?

Örnek...23 : Örnek...23 :

A (6, 0) B (0, –9) C (–3, 0) D (0, 6)

noktalar ın ı köşe kabul eden ABCD dörtgenini analitik düzlem de çizi p, ağ ırlık m erke zini bulunu z.

B C

D

A

L M

K 14 10

12

w w w . m a t b a z . c o m

y

x

A M

D L

C

B K

(7)

DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME − − 1 1

1) ABCD dörtgendir.

Verilen açı ölçülerine göre bu dörtgenin en bü yük dış açıs ı kaç derecedir?

2) ABCD dörtgen, E ,[CD]'nin orta noktas ı ve

∣KE∣=3br ,

∣BC∣=5br

∣AB∣=

√

61br ise

∣AD∣=x kaç birimdir?

3) Köşe k oordinatları A(1,2), B(–4,3), C(–2,–2) ve D(2,–5) olan ABCD dörtgenin a) Köşegen uzu nluk lar ını.

b) Alan ın ı bulunuz.

4) ABCD dörtgen ve [AK] ile [DK]

açıort a yl ardır.

m(̂AKD)=x+5, m(̂ABC)=2x−20, m(̂BCD)=x−30 ise m(̂AKD) k aç derecedir?

5) ABCD dörtgeninde A, D, M noktaları doğrusaldır.

m(̂BCD)=117^o m(̂NBC)=75^o olmak üzere, m(̂FEK)= β kaç derecedir?

6) ABCD dörtgen, K köşegenlerin kesim nok tas ı

∣BD∣=8br

∣AC∣=12 br

A (ABCD)=12

√

2br² ise tan(̂CKD) kaçtır ?

7) ABCD dörtgen, E ve K üzerinde bulunduk lar ı köşegenlerin orta nok talarıdır.

∣BC∣=12br

∣AD∣=8br ise

∣EK∣=x kaç fark lı tam sa yı değeri alabilir?

B

x+20 A

C D

x–35 x–10 2x

A

B

C

D E

x

K

A

B

D

C K

B A

D

C K

E

w w w . m a t b a z . c o m

B

D A

C E

M K

N F

117^o β

(8)

DEĞERLENDİRME − 2 DEĞERLENDİRME − 2

1) ABCD dörtge-

ninde K, L, M k enarlar ın orta noktalar ıd ır.

∣AC∣=∣BD∣=6

√

^{5 br}

│KL│= 12 br olduğuna göre, Alan(ABCD) k aç br² dir?

2) ABCD dörtgen [AC], [BD]

k öşegenlerdir.

Şekilde daire içinde birim kare cinsinden alanlar verilmiştir. Buna göre ∣AD∣

∣BC∣ oran ı k açt ır ?

3) Analitik dü zlem de verilen ABCD dörtgeninde

⃗CD=(3

√

2 ,−4)

⃗DA=(2

√

2,2) ,

⃗BA=(

√

2,−6) verilmiştir.

Buna göre A(ABCD) k aç birim k aredir ?

4) ABCD dörtgen m(̂A)=m(̂C)=90^o

∣BC∣=∣CD∣ ve

A (ABCD)=72 br² ise C noktas ın ın [AD]

doğru parçasın a en k ısa m esaf esi kaç birimdir?

5) ABCD dörtgen m(̂D)=90^o , m(̂ECB)=45^o

∣BC∣=3

√

^2br

∣DC∣=4br,

∣AD∣=5br ise

∣AB∣ kaç birimdir?

6) ABCD dörtgeninde K, L, M, N

bulunduk lar ı kenarların orta nok talarıdır. Daire içinde verilenler birimk are

cinsinden, içinde bulunduk lar ı üçgenlerin alanları ise

KLMN dörtgenin alan ı AKN üçgenin alanının k aç k at ıdır?

7) ABCD dörtgeninde, [AC ]⊥[BD] ,

|EL|= 4 cm,

|EM|= 5 cm,

|EK|= 3 cm

K, L, M bulunduk lar ı kenarların orta nok taları olduğuna göre, |AD|= x k aç cm dir?

A

B

D

C 16

9 A A

D

C

A

B

D

C 9

7 8 K

L

M N

A

D C

B

w w w . m a t b a z . c o m

A

B

C K D

L

M x E 4

5 B

B C

D A

L M

K