ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ MADEN MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Yrd.Doç.Dr. Ercan EMİR 2014

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ MADEN MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Yrd.Doç.Dr. Ercan EMİR 

2014

İÇİNDEKİLER

Sayfa

I. GİRİŞ ... 1

1.1. Temel Kavramlar ve Tanımlar ... 1

1.2. Yardımcı Bilgiler ... 2

II. VEKTÖREL İŞLEMLER ... 4

2.1. Vektörler ... 4

2.1.1. Vektörlerin sınıflandırılması ... 4

2.1.2. Vektörlerin özellikleri ... 4

2.2. Vektörlerin Toplanması ... 5

2.3. Vektörlerin Çıkarılması ... 7

2.4. Vektörlerin Bileşenlerine Ayrılması ... 7

2.5. Bir Vektörün Bir Skaler ile Çarpımı ... 9

2.6. Birim Vektör ... 9

2.7. İki Vektörün Birim Vektör Cinsinden Toplamı ... 10

2.8. İki Vektörün Birbiriyle Skaler Çarpımı ... 10

2.9. İki Vektörün Birbiriyle Vektörel Çarpımı ... 11

III. KUVVET VE MOMENT ... 14

3.1. Kuvvetin Tanımı ve Bileşke Kuvvet ... 14

3.2. Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti ... 15

3.3. Varignon Teoremi ... 17

IV. DENGE ... 18

4.1. Bir Maddesel Noktanın Denge Durumu ... 18

4.2. Rijit Cismin Denge Durumu ... 18

V. SÜRTÜNME ... 19

5.1. Sürtünme Kuvveti ... 19

5.2. Kuru Sürtünme ... 20

5.3. Sürtünme Açıları ... 22

5.4. Kamalar ... 24

5.5. Kayış (Halat) Sürtünmesi ... 26

İÇİNDEKİLER (devamı)

Sayfa

VI. AĞIRLIK MERKEZİ ... 29

VII. DÜZLEMSEL TAŞIYICI SİSTEMLER ... 34

7.1. Tanım ... 34

7.2. Mesnet veya Bağlardaki Tepkiler ... 34

7.3. Kuvvetlerin Sınıflandırılması ... 37

7.4. Mesnet Tepkilerinin Hesabı ... 39

7.5. En Çok Kullanılan Bazı Taşıyıcı Sistemler ... 41

VIII. ÇOK PARÇALI TAŞIYICI SİSTEMLER ... 42

8.1. Düzlem Kafes Sistemleri ... 42

8.1.1. Tanım ve Sınıflandırılması ... 42

8.1.2. Çeşitli Yapılarda Kullanılan Kafes Sistem Türleri ... 43

8.1.3. Tam Bağlı Kafes Sistemler ... 45

8.1.4. Hesap Metodları ... 46

8.2. Üç Mafsallı Çerçeve ve Kemerler ... 49

8.3. Gerber Kirişleri ... 50

8.4. Çerçeveler ... 51

IX. ATALET MOMENTLERİ ... 53

9.1. Tanımlar ... 53

9.2. Paralel Eksen (Steiner) Teoremi ... 54

9.3 Basit Şekillerin Atalet Momentleri ... 55

9.4 Bileşik Şekillerin Atalet Momentleri ... 59

9.5 Kütlelerin Atalet Momentleri ... 59

9.6 İnce Levhaların Atalet Momentleri ... 59

9.7 Asal Eksenler ve Asal Atalet Momentleri ... 60

9.8. Mohr Dairesi ... 63

X. VİRTÜEL İŞ METODU ... 65

10.1. Bir Kuvvetin İşi ... 65

10.2. Virtüel (Sanal) İş İlkesi ... 65

10.3. Virtüel İş Prensibi ... 66

I. GİRİŞ

MEKANİK

Tanım: Kuvvetlerin etkisi altında bulunan cisimlerin denge ve hareket şartlarını anlatan ve inceleyen bilim dalıdır. Mekanikte kullanılan büyüklükler skalerler, vektörler ve tansörler olmak üzere üç grupta toplanır.

Temel kavramlar: Uzay, zaman, kütle ve kuvvet.

1.1. Temel Kavramlar ve Tanımlar

uzay : Olayların içinde meydana geldiği geometrik bir bölgedir. Herhangi bir noktanın veya cismin yeri ile ilgilidir.

Referans eksen takımı : Bir cismin veya noktanın uzaydaki veya düzlemdeki konumu referans sistemine göre belirlenir. Herhangi bir P noktasının yeri, bir karşılaştırma noktası veya başlangıçtan itibaren verilen üç doğrultuda (0xyz eksen takımına göre) ölçülen üç uzunlukla tanımlanır. Bu uzunluklara P’nin koordinatları denir.

2) Şekil değiştiren cisimler

mekaniği 3) Akışkanlar mekaniği • Sıkıştırılamayan

akışkanlar

• Sıkışabilen akışkanlar

y

x z

P(x,y,z) O

1) Rijit cisimler mekaniği

• Statik • Dinamik

“Dengede bulunan cisimleri inceler.”

“Hareket halindeki cisimleri inceler.”

zaman : Olayların sıralanması ile ilgili bir ölçüdür. MKS birim sistemine göre birimi saniyedir (sn.).

kuvvet : Bir cismin diğer bir cisme etkisidir. Bir kuvvet etkidiği cismi kendi doğrultusunda harekete zorlar. Kuvvet vektörel bir büyüklük olup MKS sitemine göre birimi kilogramdır.

madde : Uzayda yer kaplayan herşeydir. Bir cisim kapalı bir yüzeyde çevrelenmiş maddedir.

atalet : Maddenin hareketteki değişikliğe karşı direnç gösterme özelliğidir.

kütle : Ataletin sayısal bir ölçüsüdür. Cisimleri belirli temel mekanik deneyler yönünden karakterize etmek ve karşılaştırılmakta kullanılır.

maddesel nokta (tanecik, parçacık, zerre, partikül) : Boyutları ihmal edilebilir cisimdir.

Maddesel nokta ile cismin kütlesinin bir noktada toplandığı kabul edilir. Statik dersinde öncelikle maddesel nokta mekaniği ele alınacaktır.

rijit cisim (katı cisim) : Herhangi bir cismin herhangi iki noktası arasındaki uzaklık kuvvetlerin etkisine rağmen değişmezse bu cisme rijit cisim denir. Birbirine göre sabit yerler işgal eden çok sayıda maddesel noktanın bileşimidir.

skaler : Yanlız büyüklüğü olan niceliklere skaler denir. Cebirsel işlemlerde kullanılırlar.

Hacim, alan, yoğunluk, enerji, kütle, v.b. büyüklükler skaler büyüklüklerdir.

vektör : Büyüklüğünün yanısıra uzayda bir de yönü olan niceliklere vektör adı verilir.

Kuvvet, ivme, hız, v.b. nicelikler vektörel büyüklüklerdir.

1.2. Yardımcı Bilgiler

Vektörel işlemlerde çözüme ulaşmada gerekli olan trigonometrik bağıntılar aşağıda verilmiştir:

Pisagor teoremi : Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

b² = a² + c²

•

A

C B

c b

a

Kosinüs teoremi : Bir 

ABC üçgeninin açıları ve kenarları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır:

a² = b² + c² – 2bc.CosA b² = a² + c² – 2ac.CosB c² = b² + a² – 2ba.CosC

 

ACH b² = ha2 + k²

 

ABH c² = ha2 + l² a = l + k  k = a – l

 

ABH CosB cl

 l = c.CosB

Benzer şekilde, hb ve hc’ye göre de diğer bağıntılar elde edilir.

Sinüs teoremi : Bir 

ABC üçgeninin açıları ve kenarları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır:

SinC c SinB

b SinA

a  

 

ABH

c

SinB h^a ha = c.SinB

 

ACH

b

SinC h^a ha = b.SinC

Benzer şekilde hb veya hc’ye göre bağıntılar yazıldığında

SinC c SinB

b SinA

a   olduğu

bulunur.

Sin-Cos değerleri : Belirli açı değerleri için Sin-Cos değerlerinin basitçe elde edilmesi:

X 0 /6 /4 /3 /2

Sin X 2

0

2 1

2 2

2 3

2 4

Cos X 2

4

2 3

2 2

2 1

2 0

•

A

C B

c b

a ha

H

c.SinB = b.SinC

SinB b SinC

c 

b² = c² + a²–2al = c² + a² – 2ac.CosB b² = c² – l² + k²

k

l

•

A

C B

c b

a ha

l k

H

II. VEKTÖREL İŞLEMLER

2.1. Vektörler

Vektörler şiddeti, doğrultusu ve yönü bulunan matematiksel ifadelerdir. Bir vektör, bir ucu sınırlanmış, diğer ucu yönlendirilmiş bir doğru parçası ile gösterilir. Aşağıdaki şekilde bir a vektörü görülmektedir. OA’yı birleştiren doğru vektörün doğrultusunu, O noktası vektörün başlangıç noktasını, okun ucu (A) vektörün yönünü ve OA doğru parçasının uzunluğu vektörün büyüklüğünü gösterir.

2.1.1. Vektörlerin sınıflandırılması

serbest vektör : Şiddeti, doğrultusu ve yönü ile belirli olan fakat tatbik noktası önemli olmayan vektörlerdir (örneğin kuvvet çiftleri).

bağlı vektör : Verilen bir maddesel noktaya etkiyen bir kuvveti gösteren bir vektörün uygulanma noktası belirlidir ve maddesel noktanın kendisidir. Böyle vektörlere bağlı vektör denir.

kayan vektör : Tatbik noktaları kendi doğrultuları üzerinde hareket edebilen vektörlerdir.

2.1.2. Vektörlerin özellikleri

eşit vektör : Uygulama noktaları aynı olsun veya olmasın, şiddet ve doğrultuları aynı olan iki vektöre eşit vektörler denir.

negatif vektör : Verilen bir F^ vektörü ile aynı şiddet ve doğrultuda olan ancak yönü F’in zıt yönünde olan vektördür. – F^ ile gösterilir.

-∞

+∞

0 ^a

0 ^a

0 ^a

F^ F^

F^ - F^ O

A

a

Eş değer vektörler : Eğer iki vektör belirli bir amaç için aynı etkiyi yapıyorlarsa, bu vektörlere bu anlamda eş değerlidir denir. Eş değer vektörler her zaman eşit değildirler. Üç hal sözkonusudur:

1. Eşit vektörler eş değerlidir.

2

1 F

F  kuvvetleri O noktası üzerine eşit dönme tesiri yapıyorlar.

2. Eşit vektörler eş değerli değildir.

2

1 F

F  kuvvetlerinin yaptıkları iş eşit değildir. O noktası üzerine farklı dönme tesiri yapıyorlar.

3. Eş değer vektörler eşit değildir.

2

1 2F

F   kuvvetlerinin yaptıkları iş eşittir. O noktası etrafında yaptıkları tesir aynıdır.

2.2. Vektörlerin Toplanması (Bileşkesi)

Vektörlerin toplanması skaler çokluklardan farklıdır. Vektörel çokluklarda toplama demek, aynı düzlem içinde bulunan vektörlere eş değer olan tek vektörü bulmak demektir. Bu vektöre bileşke vektör denir ve ya ölçekli bir çizimle veya trigonometrik yolla hesaplanır.

Grafiksel çözüm yöntemleri :

1. Poligon yöntemi (uçuca ekleme yöntemi) : Önce, bir A başlangıç noktasına a vektörü götürülüp, a vektörünün ucuna b

vektörü eklenir. Başlangıç noktasından itibaren çizilen bir vektörle iki kenarı a ve b

vektörleri olan bir üçgen oluşturulur. Üçgeni oluştururken çizilen bu vektör a ve b

vektörlerinin toplamı yani bileşkesidir.

O A x F1

F2

disk

O A x

F2

F1

B O A x

F2

F1

B

a b

a

b b a  

A B

C

2. Paralelkenar yöntemi : a ve b

gibi iki vektörün toplamı, iki vektörü bir A başlangıç noktasına götürüp a ve b

kenar olmak üzere bir paralelkenar çizilerek elde edilir. A’dan geçen köşegen a ve b

vektörlerinin toplamını gösterir ve bu toplam a+b

ile gösterilir.

Her iki yöntem için geçerli olmak üzere, a+b

vektörünün şiddeti, a ve b

vektörlerinin çiziminde kullanılan ölçekten yararlanılarak, bu bileşke kuvvetinin uzunluğu ölçülerek bulunur.

a ve b

vektörleri ile kurulan üçgen veya paralelkenar a ve b

için seçilen sıraya bağlı olmadığı için vektörlerde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

b

a  =b a



Trigonometrik çözüm : Vektör toplamlarını trigonometrik olarak hesaplayabiliriz.

ACD dik üçgeninden c hesaplandığında: 

c² 



ab.Cos

 

²  b.Sin



²

c² a² 2ab.Cos b².Cos² b².Sin² ^{c2 a2 2ab.Cos b2}



^{Cos2 Sin2}



c² a² b² 2ab.Cos (bknz. Kosinüs teoremi)

olarak bulunur. Buna göre, bileşke kuvvetin şiddetinin hesaplanabilmesi için a ve b vektörlerinin şiddetinin ve bu vektörler arasındaki açının bilinmesi gerekmektedir.

 = 90⁰ olduğunda, yani a ve b

vektörleri birbirine dik ise, Cos 90⁰ = 0 olduğundan yukarıdaki bağıntı aşağıdaki şekilde olacaktır:

c² a² b²

a b

a

b

b a   A

a

b

b a c  

A 

a b

c

A   ^●

b

 Cos b.

 Sin b.

B D

E C

Bir başka ifadeyle, yukarıdaki şekilde 

ADB dik üçgen olacağından çözüm bağıntısı yine yukarıdaki gibi olacaktır (Pisagor teoremi).

 = 0⁰ olduğunda ise, a ve b

vektörleri birbirine paralel olacağından c = a + b olacaktır.

İkiden fazla vektörün bileşkesi söz konusu olduğunda, önce iki vektörün bileşkesi bulunup, bu bileşke vektörle üçüncü vektörün bileşkesi alınacaktır. Bileşkesi bulunacak vektör sayısına göre bu işlem sürdürülecektir.

2.3. Vektörlerin Çıkarılması b

vektörünü a vektöründen çıkarmak için b

vektörü ters yönde alınıp (-b

) a vektörü ile toplanır.

c = a-b

= a+(-b )

Kosinüs teoremine göre a-b

vektörünün şiddeti:

c² =



ab



² a² b² 2ab.Cos veya

c² =



ab



² a² b² 2ab.Cos(180) olarak bulunur.

2.4. Vektörlerin Bileşenlerine Ayrılması

Bu işlem toplama işleminin tersidir. Verilen bir V

vektörünü, yine verilen 1 ve 2 doğrultuları boyunca uzanan iki vektörün toplamı olarak göstermek demektir.

1

2

O ^V



1

2

 1

2

O ^V



1

2

 a

b -b

a

b A

 c = a-b



Paralelkenar yöntemi a

A b



c = a-b



Poligon yöntemi

Eğer bir vektörün bileşenlerine ayırdığımız 1 ve 2 doğrultuları birbirine dik ise, bu bileşenlere o vektörün dik bileşenleri denir. Bu durumda, birbirine dik olan yatay ve düşey doğrultular x ve y eksenleri olarak adlandırıldığından, V

vektörünün dik bileşenleri V_x ve V_y

şeklinde gösterilecektir.

Benzer işlemler uzay için yapıldığında, V

vektörünün dik bileşenleri V_x , V_y

ve V_z olacaktır.

Bir vektörün x, y ve z eksenleri ile yaptığı açıların kosinüslerine doğrultman kosinüsler denir. Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi V

vektörünün x, y ve z eksenleri ile yaptığı açılar ,  ve  olsun. Buna göre, V

vektörünün şiddeti:

2 z 2 y 2

x V V

V

V  

ve bileşenleri:

Vx = V. Cos

Vy = V. Cos

Vz = V. Cos

ile hesaplanır.

V

O 

y

x V

V

V  





x y

V θ V tan  V

O Vy

Vx x

y







 z

y

x

O Vz

Vy

Vx

V

2.5. Bir Vektörün Bir Skaler ile Çarpımı

a+a toplamını 2a ile, a+a+a toplamını 3a ile ve daha genel olarak n tane eşit a

vektörünün toplamını na çarpımı ile göstermek daha pratik olacaktır. Bu nedenle, bir n sayısı ile bir a vektörünün çarpımı, a ile aynı doğrultuda ve şiddeti na olan tek bir vektör olarak gösterilecektir. Yönü ise, n > 0 için a vektörüyle aynı yönde, n < 0 için a

vektörünün tersi yönde olacaktır.

2.6. Birim Vektör

Şiddeti bir birim olan vektördür. Bir vektörün Oxyz eksen takımındaki dik bileşenlerinin birim vektörleri i, j ve k ile gösterilir.

Her vektörün kendisine ait bir birim vektörü vardır. Birim vektör e ile gösterilir. Herhangi bir a vektörünün birim vektörü (e ) : _a

_a a a.e_a a

e a  

   

Buradan;

V V_x V_y V_z

i j k

k j i

. V . V . V V .

V V

. V V

. V V

z y x

z z

y y

x x







 











 







Eşitliğin her iki tarafı V’ye bölündüğünde:

i j k V V V V V V V

V  x  y  _z

e_v Cos.i + Cos.j + Cos.k elde edilir.

x

z

y Vz

Vy

Vx ^{O i j}

k

V

i j k

2.7. İki Vektörün Birim Vektör Cinsinden Toplamı a a_x a_y a_z a_x.ia_y.ja_z.k b b_x b_y b_z b_x.ib_y.jb_z.k

k j

i (a b ). (a b ).

).

b a ( c c c b a

c _x _y _z  _x  _x  _y  _y  _z  _z



Yeni vektörün bileşenleri:

cx = ax + bx

cy = ay + by

cz = az + bz olmaktadır.

2.8. İki Vektörün Birbiriyle Skaler Çarpımı a ve b

gibi iki vektörün skaler çarpımı öyle bir sayıdır ki, bu sayı iki vektörün uzunluğu ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir. Skaler çarpım “•” işareti ile gösterilir.

Burada  açısının durumu önemlidir:

1.  = 0⁰ ise;

cab a.b.Cos0⁰ a.b

 

^a//b

2.  = 90⁰ ise;

ca^b a.b.Cos90⁰ 0



^{a  b}



Buna göre; eğer iki vektör birbirine dik ise skaler çarpım sıfırdır veya skaler çarpımı sıfır olan iki vektör birbirine diktir.

Birim vektörler için duruma bakıldığında; i  j, i  k ve j  k olduğundan, i . j = i . k = j . k = 0

ve

i . i = j . j = k . k = 1 olur.

Bu durumda iki vektörün skaler çarpımı aşağıdaki gibi olacaktır:

aa_x a_y a_z a_x.ia_y.ja_z.k b b_x b_y b_z b_x.ib_y.jb_z.k

) . b . b . b ).(

. a . a . a ( b . a

c  _x i _y j _zk _x i _y j _z k

z z y

y x

x.b 0 0 0 a .b 0 0 0 a .b

a b . a

c         

z z y y x

x.b a .b a .b a

b . a

c   





ab a.b.Cos c  

 a

b O

b

a   olduğunda;

a.b a² a²_x a²_y a²_z

a  a²_x a²_y a²_z olacaktır.

2.9. İki Vektörün Birbiriyle Vektörel Çarpımı

Vektörel çarpım “” veya “x” işaretleri ile gösterilir. c a x b ile ifade edilen bir vektörel çarpım sonucu elde edilen c vektörünün;

a) Şiddeti a.b.Sin şeklindedir.

b) Doğrultusu x-y düzlemine veya çarpılacak vektörlerin bulunduğu düzleme diktir.

c) Yönü sağ el kaidesi ile bulunur.

d) a x b b x a (değişme özelliği yok)

Vektörel çarpım özelliklerinden aşağıdaki ilişkiler bulunabilir:

1. a x b b x a 2.  = 0⁰ ise

 

^{a//b :}

c = a . b . Sin0⁰ = 0 3.  = 90⁰ ise



^{a  : b}



c = a . b . Sin90⁰ = a . b

Buna göre, iki vektör birbirine paralel ise vektörel çarpım sıfırdır veya iki vektörün vektörel çarpımı sıfırsa bu vektörler birbirine paraleldir.

Birim vektörler için duruma bakıldığında;



^a  i x j = k j x k = i k x i = j ^b



ve

j x i = - k k x j = - i i x k = -j olur.

i

j

(-) k (+)

y

x

z

 a

b

c

Bu durumda iki vektörün vektörel çarpımı aşağıdaki gibi olacaktır:

a a_x a_y a_z a_x.ia_y.ja_z.k b b_x b_y b_z b_x.ib_y.jb_z.k

) . b . b . b ( x ) . a . a . a ( b x a

c   _xi _y j _z k _x i _y j _zk



0 ) .(

b . a . b . a . b . a 0 ) .(

b . a ) .(

b . a b a 0 b x a

c    _{x y}.k _{x z} j  _{y x} k   _{y z}i _{z x} j _{z y} i 





^{a .b a .b}



^.i



^{a .b a .b}



^.j



^{a b a .b}



^.k

b x a

c   _{y z} _{z y}  _{z x}  _{x z}  _{x y}  _{y x}



İki vektörün vektörel çarpımı bir determinantın açılımı şeklinde de gösterilebilir:

z y x

z y x

b b b

a a a b x a c

k j i



 



^c ^a^xb 



^ay^.bz^az^.by



^.i



^az^.bx ^ax^.bz



^.j



^ax^by ^ay^.bx



^.k Bu vektörler tanımda belirtildiği gibi x-y düzleminde bulunursa:

^c^a^xb 



^ax^by ^ay^.bx



^.k olur.

x z y

x z y

b b b

a a a

i k j

z X

y x

z y x

b b b

a a a

k j i

X z x y

y x z

b b b

a a a

j i k

X



ay.bz az.by

 

az.bx ax.bz

 

a_xb_y a_y.b_x



(1) (2) (3)

III. KUVVET VE MOMENT

3.1. Kuvvetin Tanımı ve Bileşke Kuvvet

Kuvvet; bir cismi harekete geçiren, onu yavaşlatan veya hızlandıran, şeklini değiştiren etkene denir. Böyle bir etki şiddet, doğrultu ve yöne bağlı olduğu için kuvvet vektörel bir büyüklüktür. Vektörel işlemler bir önceki bölümde anlatılmıştır. Burada, bu işlemler kuvvet için özetlenmiştir.

k j

i _{y z}

x z y

x F F F F F

F

F       

Burada, Fx, Fy ve Fz kuvvetin dik bileşenleridir. Kuvvetin şiddeti:

2 z 2 y 2

x F F

F

F  

doğrultusu ise:

F Cos F F ,

Cos F F ,

Cos  F^x  ^y   ^z olmaktadır.

Bir cismin aynı anda çeşitli büyüklük ve doğrultuda kuvvetlerin etkisi altında bulunduğunu düşünelim. Kuvvetler aynı düzlemin içinde bulunuyor ve doğrultuları kesişiyorsa, bu kuvvetlerin yapabileceği etkiyi tek başına yapabilecek bir kuvvet bulunabilir. Bu kuvvete verilen kuvvetlerin bileşkesi denilir. Bulunan bileşke kuvvet kuvvetlerin toplamıdır. Daha önce anlatıldığı gibi paralelkenar yöntemi, trigonometrik yöntem veya bileşenlerine ayırma yöntemi ile toplama işlemi yapılabilir. Aşağıda F₁

ve F₂

vektörlerinin toplama işlemi bileşenlerine ayırma yöntemine göre gerçekleştirilmiştir:

F1

= F1x.i + F1y.j + F1z.k F2

= F2x.i + F2y.j + F2z.k F₁

+F₂

= (F1x+ F2x).i + (F1y+ F2y).j + (F1z+ F2z).k F F_xiF_yjF_zk



















z 2 z 1 z

y 2 y 1 y

x 2 x 1 x

F F F

F F F

F F F

yeni vektörün bileşenleri

Daha genel bir anlatımla bileşke kuvvet:













^

 x y z

1

n Fn R R R

R    

Rx.i + Ry.j + Rz.k













 



z z

y y

x x

F R

F R

F R

bileşke vektörün bileşenleri

vektörün şiddeti:

^{R Rx2 Ry2 Rz2  (}



^{Fx)2 (}



^{Fy)2 (}



^Fz)2

doğrultusu:

R Cos R R ,

Cos R R ,

Cos R^x  ^y   ^z olacaktır.

Düzlemde bileşke kuvvet (z = 0 olduğundan):

vektörün şiddeti:

^{R  Rx2 Ry2  (}



^{Fx)2 (}



^Fy)2

doğrultusu:

R Cos R R ,

Cos R^x  ^y olacaktır.

3.2. Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti

Statik konusuna girilirken cisimlerin boyutlarının ihmal edilmesine dayanan maddesel nokta tanımı yapılmış, bu şekilde temel statik işlemlerinin daha kolay anlaşılması amaçlanmıştır. Rijit bir cisme etkiyen bir F

kuvveti dikkate alındığında, bu kuvvetin rijit cisme etkisinde şiddeti, doğrultusu ve yönü kadar A uygulama noktasının yeri de önemli olmaktadır. A’nın yeri, koordinat merkezi olan O’yu A ile birleştiren r vektörü yardımıyla kolayca tanımlanabilir; bu vektöre A’nın yer vektörü denir.

o O

F 

r

A

h ^ j i R . . R R R

R  _x  _y  _x  _y



^



 _{x y y}

x F , R F

R

x y

R tan R R

O Ry

Rx x

y





k j i y. z. .

x OA

r  ^   



Moment, bir kuvvetin döndürme etkisidir. Bir F

kuvvetinin O noktasına göre momenti, bu kuvvetin yer vektörü ile çarpımına eşittir ve M0 ile gösterilir.

F x r F x OA

M ₀   



 ^

İki vektörün vektörel çarpımı sonucu elde edilen vektörün yönü sağ el kuralı ile belirlenmektedir. Buna göre M0’ın yönü, r yer vektörünü F

kuvvetinin üstüne götürecek dönmenin yönü ile tanımlanır; bu dönme ise F

’in cisme yaptırmak istediği dönmedir.

Bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin şiddeti, o noktada kuvvete inilen dikmenin boyu (h) ile kuvvetin şiddetinin çarpımına eşittir.

M0 = r.F.Sin =h.F

Bu durumda, kuvvet eğer O noktasından geçiyorsa, bu noktaya göre moment sıfır (h = 0) olacaktır. Diğer bir ifadeyle, bir kuvvetin kendi tesir çizgisi üzerindeki bir noktaya göre momenti sıfırdır.

Yer vektörü A noktası dışında F

kuvvet vektörünün tesir çizgisi üzerinde bir B noktası gibi başka bir nokta alındığında, bu B noktasına göre moment aşağıdaki gibi olacaktır:

M ₀ rxF M ₀^ı r_BxF M ₀^ı (r AB^ )xF





 



 



0 F x AB M

F x r M

0 ı 0

 

 _^F//AB^ _^

M ₀^ı M ₀





Buna göre, yer vektörü için alınacak noktanın, F kuvvet vektörünün tesir çizgisi üzerinde herhangibir nokta olması O noktasına göre moment değerini değiştirmemektedir.

B

x y

z

F r B

A r

F

h r

x y

z

A (x,y,z)

●

Moment iki vektörün vektörel çarpımı olduğundan aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

M ₀ M _0x M _0y M _0z M ₀ M_0x.iM_0y.jM_0z.k

F x r M ₀  



) . F . F . F ( )x . z . y . x (

M ₀  i j k _x i _y j _z k

z y x 0

F F F

z y x M

k j i

  



y.F_z z.F_y



.ⁱ



z.F_x x.F_z



.^j



xF_y y.F_x



.^k momentin bileşenleri ise:

M0x = yFz - zFy

M0y = zFx – xFz

M0z = xFy – yFx olmaktadır.

F

kuvveti ver yer vektörü aynı düzlem içinde ise:

M0 = xFy – yFx olacaktır.

3.3. Varignon Teoremi

Bir noktada birleşen çok sayıda kuvvetin bileşkesinin bir 0 noktasına göre momenti, bu kuvvetlerin 0 noktasına göre momentlerinin toplamına eşittir. Buna göre, bir kuvvetin bir noktaya göre momenti de, bu kuvvetin bileşenlerinin aynı noktaya göre momentlerinin cebirsel toplamına eşit olmaktadır.

Örneğin, gözönüne alınan nokta 0, bileşen kuvvetler F1, F2, …., Fn, bileşke kuvvet R, kuvvetlerin 0 noktasına uzaklıkları sırası ile h1, h2, …., hn ise:

h.R = h1.F1 + h2.F2 + ………. + hn.Fn

veya

M = M1 + M2 + ……… + Mn olur.

z

y

x

O

z

M 0

M oy

M 0x

M o

IV. DENGE

Bir rijit cisme etki eden dış kuvvetler sıfıra eşdeğer bir kuvvet sistemi oluşturuyorsa, yani dış kuvvetler sıfır kuvvet ve sıfır kuvvet çiftine indirgenebiliyorsa, o cisme dengededir denir.Bir cismin dengesi için gerek ve yeter şartlar:



F^ 0 ^{yani R 0}



^{M 0 }



^{(rxF)0}

Kuvvetler ve momentler dik bileşenlerine ayrılarak rijit cismin dengesi için gerek ve yeter şartlar altı skaler denklemle de ifade edilebilir:



^{Fx 0}



^{Fy 0}



^{Fz 0}



^{Mx  0}



^{My  0}



^{Mz  0}

4.1. Bir Maddesel Noktanın Denge Durumu

Bir maddesel noktaya etki eden bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise maddesel nokta dengededir.

İki kuvvetin etkisi altında bulunan bir maddesel noktanın dengede olması, bu iki kuvvetin aynı şiddette, aynı tesir çizgisi üzerinde ve zıt yönde olması şartıyla mümkündür.

Aynı düzlem içinde ikiden fazla kuvvet etkisi altındaki bir rijit cismin dengede olabilmesi için



^{Fx  0 ve}



^{Fy  0} olmalıdır.

4.2. Rijit Cismin Denge Durumu

İki kuvvet etkisindeki bir cisim dengede ise o iki kuvvetin şiddet ve tesir çizgileri aynı, yönleri zıt olmalıdır.

Üç kuvvet etkisinde ve dengede olan bir cisimde ise bu üç kuvvetin tesir çizgileri ya bir noktada kesişir veya birbirine paralel olur. Tesir çizgileri aynı noktada keşisiyorsa çözüm yine kuvvet üçgenine göre gerçekleştirilebilir.

V. SÜRTÜNME

“Tahtaya tebeşirle yazı yazarken tebeşiri tahtaya doğru bastırır ve hareket ettiririz.Tebeşir ile tahta arasındaki sürtünme, tebeşirden parçacıklar kopmasına neden olur. Kopan bu parçacıklar tahtaya yapışırlar.Sürtünme gerekli olandan az ise tebeşir kayar ve tahtaya art arda birçok kez değer. O gıcırtı sesinin ortaya çıkmasının nedeni de budur. Tebeşir ile tahta arasındaki sürtünme kuvveti, tahta ile tebeşir arasındaki açıyla ve iki nesnenin değme alanlarının büyüklüğü ile bağlantılıdır. Sinir bozucu ses ile sürtünme az olduğunda karşılaşırız.”

5.1. Sürtünme Kuvveti

Bazı problemlerde cisimlerin birbirlerine temas eden yüzeylerinin pürüzsüz (cilalı) olduğu kabul edilir. Gerçekte ise bütün yüzeyler az yada çok pürüzlüdür.

Denge durumunda iki cismin birbirine uyguladığı etki ve tepki kuvvetlerinin doğrultusu, dayanma yüzeyine ait normal doğrultu olarak kabul edilir. Pürüzsüz veya cilalı dayanma diye isimlendirilen bu ideal durumun dışında etki veya tepki kuvvetleri sadece normal doğrultuda değil, teğetsel doğrultuda da bir bileşene sahiptir. Sürtünme sonucu ortaya çıkan bu teğetsel kuvvete sürtünme kuvveti adı verilir.

Sürtünme kuvveti daima hareket eden cismin hareketini engelleyici yönde etki edecektir, yani yönü cismin hareket yönünün tersi yönde olacaktır.

Birbirine değen iki cisim arasında sürtünmeden dolayı oluşacak kuvvetler aşağıda gösterilmiştir:

s1

1 t 1 n 1

1 R R N F

R        R₂ R_2n R_2t N ₂ F_s2

Pürüzlü yüzeylerdeki tepki kuvvetleri normal doğrultu ile mutlaka bir açı yapar.

Normal üzerindeki bileşenler normal tepki, teğet üzerindeki bileşenler sürtünme kuvvetleridir. Yani tepki kuvvetlerinin teğet ve normal doğrultu üzerindeki bileşenleri sürtünme kuvvetler ile normal tepki olarak gösterilir.

R1

R2

 N1

N2 s1

F

s2

F

n n

t t

I

II

t: teğet n: normal

Sürtünme kuvveti ile normal kuvvetin oranına sürtünme katsayısı denir. Sürtünme katsayısı normal kuvvetten bağımsızdır; ancak sürtünme kuvveti normal kuvvetle doğru orantılıdır.

N

= F tan

μ_s   ^s

İki tür sürtünme vardır. Bunlar:

a) Kuru sürtünme (Coulomb sürtünmesi) b) Sıvı sürtünme

5.2. Kuru Sürtünme

Bir cismin diğer bir cisim üzerinde kaymaya başladığı ana kadarki sürtünmeye statik sürtünme, haraket halinde iken söz konusu olan sürtünmeye de kinetik sürtünme denir.

N

W Fs

P

Fs

P Fs1

Fk = Fs2

Fsmax

P1 P2 P3

Denge Hareket

Fk=k.N N

W Fs

Yatay düzlemde sola hareket eden bir blok üzerine etki eden tepki kuvvetleri

P 

n

t

W N

Fs

R



Eğik düzlemde sola hareket eden bir blok üzerine etki eden tepki kuvvetleri

P

W ağırlıklı bir blok yatay bir düzlemdeyken üzerine etki eden kuvvetler N ve W’dir. Bloğa yatay bir kuvvet uygulanırsa, karşılığında P’yi etkileyen Fs oluşur. P yatay kuvveti arttırılırsa Fs’de artar. Bu artış belli bir Fsmax değerine ulaşıncaya kadar devam eder. P’nin değeri daha fazla arttırılırsa Fs kuvveti artık P kuvvetini dengeleyemez ve blok kaymaya başlar. Bu anda, Fsmax değeri daha küçük Fk = k.N değerine düşer. Bunun nedeni, temas yüzeyleri birbirine göre hareket edince yüzeylerin pürüzlülükleri arasında daha az bir girişim olmasıdır. Bu andan sonra blok harekete devam eder ve Fk sabit bir değerde kalır.

Deneyler sonucunda statik sürtünme kuvvetinin yüzey tepkisinin normal bileşeni (N) ile orantılı olduğu görülmüştür.

Ayrıca s > k ve Fs > Fk şeklinde yorumlanır.

Bir blok yatay bir yüzeyle temasta ise dört farklı durum ortaya çıkar:

1. Bloğa etkiyen kuvvet onu temas yüzeyi boyunca harekete zorlamaz. Bu durumda sürtünme kuvveti yoktur.

2. Bloğa etkiyen kuvvet cismi temas yüzeyi boyunca harekete zorlar, fakat hareket ettirecek kadar büyük değildir.

2 1

Fs = s.N (Denge hali)

s : Statik sürtünme katsayısı N : Normal tepki

2 1

Fk = k.N (Hareket hali)

k : Kinetik sürtünme katsayısı N : Normal tepki

N R 



W P y

x



^{F0 }



^{Fx 0Fs 0}



^{    }



 F_y 0 N P W 0

N = P + W

s =  ,



^{F 0}



^{   }

^ F_x 0 P_x F_s 0 Px = Fs



^{    }



 F_y 0 N P_y W 0

N = Py + W N

W Fs

P y

x

Px

Py

y

x P

P P   

3. Hareket başlamak üzeredir ve sürtünme kuvveti en yüksek değerine ulaşmıştır.

Yani Fs = s.N’dir ve çözüm denge denklemlerine göre gerçekleştirilir.

4. Blok kuvvetlerin tesiri altında hareket etmektedir ve artık denge denklemleri uygulanamayacaktır. Sürtünme kuvveti Fk = k.N şeklindedir. Hareket denkemi:

5.3. Sürtünme Açıları

Dayalı iki cismin birbirine yaptığı etki ve tepkinin doğrultusu ile dayanma noktasındaki normal doğrultu arasındaki açı sürtünme açısı adını alır. Sürtünme açısı; cilalı yada pürüzsüz dayanma halinde sıfır, sürtünmeli durumda ve kayma başlangıcında ise en büyük değerini alır. Bu açının tanjantı sürtünme katsayısına eşittir.

 : Sürtünme açısı tan  = 

N

W

N . F_k _k P

y x

Px

Py



^{F  am.}





^



^{Fx 0 Px > Fk}



^{    }



 F_y 0 N P_y W 0

N = Py + W N

W

max s

s F

F 

 P

y x

Px

Py

s = 0 ,



^{F 0}



^{   }

^ F_x 0 P_x F_smax 0 Px = Fsmax = s.N



^{    }



 F_y 0 N P_y W 0

N = Py + W

Bazı problemlerde denklemleri yazarken N normal tepki kuvveti ile Fs sürtünme kuvveti yerine bileşkeleri olan R’yi kullanmak daha uygundur. Yatay durumdaki W ağırlıklı bloğun üçüncü ve dördüncü hali incelendiğinde;

III. durum:

Hareket başlangıcı sırasında statik sürtünme açısı statik sürtünme katsayısına eşittir.

IV. durum:

Fs > Fk , s >k , tan s > tan k koşulları daima geçerli olacaktır. Bu bilgilerden sürtünme katsayısı verilmemiş olan problemlerde yararlanılabilir.

Bir kısım malzemeye ait statik sürtünme katsayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Kinetik sürtünme katsayıları yaklaşık olarak bu değerlerden % 25 daha azdır.

Malzeme s Malzeme s

metal-metal 0.20-0.80 ahşap-kayaç 0.40 ahşap-ahşap 0.25-0.70 toprak-toprak 0.20-1.00 metal-ahşap 0.20-0.60 lastik-beton 0.60-0.80 kayaç-kayaç 0.40-0.70 lastik-buz 0.05-0.20

metal-kayaç 0.30-0.70 çelik-buz 0.03

N θ F

tan

μ_s  _s  ^smax W

max

Fs

P3

y x

x

P3

y

P3

R N

s

k : Kinetik sürtünme açısı N

θ F tan

μ_k  _k  ^k

W

Fk

P4

y x

x

P4

y

P4

R N

k

5.4. Kamalar

Büyük blokları ve ağır yükleri kaldırmakta ve dengeye getirmekte, konumlarında küçük düzeltmeler yapmakta yaygınca kullanılan basit makinalardır.

Uygun şekil verilmiş kamalar temas yüzeylerindeki sürtünmeler nedeniyle yük altında sıkıştırılınca yerlerinde kalırlar.

Kamalar büyük blokları ve ağır yükleri kaldırmakta kullanıldığından, problem çözümlerinde kamanın kütlesi verilmediğinde ihmal edilecektir.

Kamanın eğik yüzeyi belli bir açıya sahiptir ve bu açı  ≤ 5⁰ ~ 10⁰ değerini alır.

Teorik örnek: Aşağıda görülen şekildeki gibi, bir A bloğunun hareket ettirilip B yüzeyine yaslatılabilmesi için D kamasına uygulanması gereken P kuvvetinin belirlenmesi istenmiş olsun.



^{F  0}



^{   }

^ F_x 0 F_s1 N₂ 0

Fs1 = N2 ………. (1)



^{    }



 F_y 0 N₁ F_s2 W_A 0

N1 = Fs2 + WA ……… (2) y

x

Fs1 = s.N1

Fs2 = s.N2

N1

1

Fs

2

Fs

N2

WA

A

P A B

D C

Çözüm için öncelikle serbest cisim diyagramları çizilip denge denklemleri yazılır:

A bloğu için:

RB

RD

D kaması için:



^{F  0}



^{      }

^ F_x 0 P F_s1 F_s3Cos N₃Sin 0 ………… (3)



^{    }



 F_y 0 N₃Cos F_s3Sin N₁ 0 ……….. (4)

Denge denklemlerinden yararlanılarak çözüme geçilir. Amaç bilinenler cinsinden P’yi ifade etmektir. Bilinenler A bloğunun ağırlığı (WA), sürtünme katsayısı (s) ve kamanın eğim açısı () olduğuna göre çözüm:

s 2 1 2 1 s 1 s 1 s

2 1 s

μ N N N N . μ N . μ F

N F ) 1

(   











s A 1 2 A 2 s 1 2

s 2 s

A 2 s 1

μ W N N

W N . μ N N

. μ F

W F N ) 2

( 







 











(1) ve (2)’den ₂

s A 1

A 1 1 2 2 s

s A 1

1 1 μ

N W W

N N . μ μ

W N N

 







 







 















 

















Sin Cos

μ N N μ Sin N Cos N μ N μ P N

μ N

Sin N Cos F F P ) 3 (

s 3 1 s 3

3 s 1 s 3

s 3

3 3

s 1 s





 



















 Cos μ Sin

N N N Sin N μ Cos N N Sin F Cos N ) 4 (

s 1 3

1 3

s 3

1 3

s

3

  

^{ }







 











 μ Cos Sin

Sin μ Cos N N

μ Sin Cos

μ N N μ P ) 3

( _s

s 1 1

s s

3 1 s

Fs3 = s.N3

N3 F^s3

 N1

1

Fs

P

D 



 

 

^_^















 





 















 



 μ Cos μ Sin

Sin Cos

1 μ N Sin μ

μ Cos

Sin Cos

μ μ N P

s s

s 1

s s

s s 1

 

 

^_^















 

 

 μ Cos μ Sin

Sin Cos

1 μ μ 1

μ P W

s s

s 2

s s

A

5.5. Kayış (Halat) Sürtünmesi

Kayış ve halat gibi bükülebilen elemanların makaralar, kasnaklar, tamburlar üzerinde kaymaya başlama sınırı, her tip kayış, kasnak tertibatı, bantlı frenler ve çıkrıkların yapımında önemlidir.

Şekildeki kasnak, T1 ve T2 kayış kuvvetleri, dönmeye engel olmak için gerekli M momenti ve R yatay tepkisinin etkisi altındadır.

Momentin dönüş yönüne göre daima T2 > T1’dir. Kasnak ile halat birbirlerine ters yönde dönmek isteyecektir.

 

d

 

M R

O

T1

T2

 : Sarım açısı (radyan)

n defa sarılmış bir kasnak için:

 = n.2

n

t T

d

T+dT

d/2 d/2

dN

dFs

O

dN: Kayış ve tambur arasındaki tepki kuvveti

dFs = s.dN Halat hareket yönü

Yukarıdaki şekilde elementer bir kayış parçasının serbest cisim diyagramı görülmektedir.

Bu diyagramadan yararlanılarak yazılan denge denklemleri aşağıda verilmiştir:



^{F  0}

2 0 Cos d ) dT T ( 2 dF

Cos d . T 0

F_{t s} 



 



  







 



  



^



^{………… (1)}

2 0 Sin d ) dT T 2 ( Sin d . T dN 0

F_n 



 



  





 



  











………….. (2)

(1) yatay denkleminden: 0

2 Cos d . 2 dT TCos d 2 dF

Cos d .

T _s 



 



  



 



  





 



 





 



  



 2

Cos d . dT dN . μ

dF_{s s} elde edilir.

d elemanı oldukça küçük seçildiği için d açısı çok küçük bir değer taşımaktadır. Bu açının yarısı daha da küçük bir değer alacaktır. Bu durumda; 1

2 Cos d 



 



  olarak alınabilir. Buna göre yukarıdaki bağıntı aşağıdaki gibi yazılabilir:

s

s μ

dN dT dT dN .

μ    ………... (3)

(2) düşey denkleminden: 0

2 Sin d . 2 dT Sin d . 2 T Sin d . T

dN 



 



  



 



  



 



  

_



 



  



 



  

 2

Sin d . 2 dT Sin d . T 2 dN

d açısının çok küçük bir değer taşıdığı belirtilmişti, buna göre _



 



 





 



 

2 0 d 2

Sin d olarak

yazılabilir. Bu durumda, yukarıdaki bağıntı aşağıdaki şekli alacaktır:

  



 



   dN Td

2 . d T 2

dN ……… (4)

(3) ve (4) bağıntılarından:

Tdθ μ

dT

s

 olarak bulunur.

d ve dT gibi parçaların toplamı belirli integral ile bulunur:

μ .dθ T

dT

s



^



^β

0 s T

T

dθ T μ

dT

2

1

lnT^T_T² μ_s.θ^β₀

1 

lnT2-lnT1 = s.

μ .β T

ln T _s

1 2 

 





 e

^s

T

T

1 2

T

₂

 T

₁

. e

^s

( T

₂

 T

₁

)

şeklinde genel bağıntı elde edilmiş olur. Burada, T2 kayış yada halatın çekilen kısmındaki kuvveti, T1 ise karşı koyan kısmındaki kuvveti gösterir (T2 > T1). Daima radyan cinsinden ifade edilmesi gereken  açısı 2’den daha büyük olabilir. Örneğin, halat n defa sarılmışsa:

 = n.2

olur.