PP  1(1)10.887,det()0.051(1)(2)0.8870.7358 X = e + βe

Örnek 2.3.1 a) e_t ~WN(0,²) olmak üzere, X_t=e_t+β e_t−1 şeklinde verilen MA(1) zaman serisi modeli için, kısmi otokorelasyonlar

1 2

2( 1)

( 1) (1 )

( ) 1

h h

h  h 

 





 

 

formülü ile hesaplanır (Wei, 2006, s.50, Brockwell ve Davis 1987, s.100). Daha yüksek dereceli MA modelleri için kısmi otokorelasyon fonksiyonunun analitik ifadesi kolay değildir. MA(1) modeli için parametre değeri β=0.8 olarak seçilerek otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlardan birkaç tanesi hesaplanmış ve fonksiyonun grafiği (ilk 8 değeri) aşağıda verilmiştir.

h ^{1 2 3 4 5 6 7 8}

( )h

 0.48 -0.32 0.22 -0.16 0.13 -0.09 0.08 -0.06

Otokorelasyon Fonksiyonu Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu

Grafiklere bakıldığında, otokorelasyonlar birinci gecikmeden sonra sıfır olmasına rağmen, kısmi otokorelasyonların mutlak değerce azaldığı gözlenmektedir. Herhangi bir MA(2) modeli için de otokorelasyonlar ikinci gecikmeden sonra sıfır olup, kısmi otokorelasyonlar mutlak değerce azalalarak sıfıra yaklaşır.

b) e_t ~WN(0,²) olmak üzere X_t 1.1X_t¹0.24X_t¹e olarak verilen AR(2) zaman serisi_t modelinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlarını hesaplayalım. Bu serinin otokorelasyonlarından ilk 8 tanesi Yule-Walker denklemlerinden hesaplanarak aşağıda verilmiştir.

h 1 2 3 4 5 6 7 8

ρ(h) ^0.88

7

0.735 8

0.596 5

0.479 6

0.384 4

0.307 7

0.223 4

0.171 9

Birinci kısmi otokorelasyon, birinci otokorelasyon değerine eşittir. Yani, P₁=[1 ] _ve P₁^¿=

[

]

2 2

1 (1) 1 0.887

, det( ) 0.2132

(1) 1 0.887 1

P  P



   

    

   

* *

2 2

1 (1) 1 0.887

, det( ) 0.051 (1) (2) 0.887 0.7358

P  P

 

   

     

   

şeklindedir. Buna göre, ikinci kısmı otokorelasyon

2* 2

(2) det(P ) / det( )P (0.051) /(0.2132) 0.24

     

olup h>2 için kısmi otokorelasyonlar ( ) det(h  P_h^*) / det( ) 0P_h  dir. Gerçekten, üçüncü kısmi otokorelasyon için ilgili matris ve determinantlar,

3 3

1 (1) (2) 1 0.887 0.7358

(1) 1 (1) 0.887 1 0.887 det( ) 0.0428696

(2) (1) 1 0.7358 0.887 1

P P

 

 

 

   

   

   

   

   

   

* *

3 3

1 (1) (1) 1 0.887 0.887

(1) 1 (2) 0.887 1 0.7358 det( ) 0

(2) (1) (3) 0.7358 0.887 0.5965

P P

 

 

  

   

   

   

   

   

   

şeklinde olup, üçüncü kısmı otokorelasyon (3) det( P^3*) / det( ) 0P³  dır.

Böylece, AR(2) modeli için kısmi otokorelasyonlar ikinci gecikmeden sonra sıfırdır. AR(2) modeline ait otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibidir.

Otokorelasyon Fonksiyonu Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu

c) Aşağıdaki verileri göz önüne alalım:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X_t ^{10 12 8 14 12 17 13 16 20 18}

Bu verilere ait otokorelasyonlardan bazıları (ilk üç tanesi) (1) 0.35714

  , (2) 0.36508 ve (3) 0.03175

olarak de hesaplanmıştı (Kısım 1.4). Birinci kısmi otokorelasyon değerinin (1)(1) 0.35714 olduğu açıktır. İkinci kısmı otokorelasyon için ilgili matris ve determinantlar

2 1 (1) 1 0.35714 det( ) 0.8722

(1) 1 0.35714 1

P  P

    

   

   

* *

2 1 (1) 1 0.35714 det( ) 0.23752

(1) (2) 0.35714 0.36508

P  P

 

    

   

   

olup, ikinci kısmi otokorelasyon (2) (0.2375) /(0.872) 0.2723   olarak bulunmuştur. Üçüncü kısmi otokorelasyon için matrisler ve determinantlar,

3 3

1 (1) (2) 1 0.357 0.365

(1) 1 (1) 0.357 1 0.357 det( ) 0.7049

(2) (1) 1 0.365 0.357 1

P P

 

 

 

   

   

   

   

   

   

* *

3 3

1 (1) (1) 1 0.357 0.357

(1) 1 (2) 0.357 1 0.365 det( ) 0.195

(2) (1) (3) 0.365 0.357 0.032

P P

 

 

  

    



   

   

   

   

   

olup, üçüncü kısmi otokorelasyon (3) ( 0.195) / (0.7049)   0.277 dir. Bu değerler SAS da aşağıdaki kodlar kullanılarak da bulunabilir.

data a; input x@@; cards;

10 12 8 14 12 17 13 16 20 18

;

proc arima; i var=x nlag=3; run;

Zaman Serisi Otokorelasyonlar Kısmi Otokorelasyonlar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8101214161820

Lag

ACF

0 2 4 6 8 10

-0.50.00.51.0

Series : x231

Lag

Partial ACF

0 2 4 6 8 10

-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6

Series : x231

Bu zaman serisine ait otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlar Splus paket programında hesaplanarak grafikleri yukarıda verilmiştir.

d) Türkiye’nin 1923-1996 dönemi yıllık ihracat miktarlarına ( x=log( ihracat/1000) ) ait grafikler aşağıdadır. Otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının değerleri Splus paket programında, acf(x) ve acf(x,type=”patial”) kodları ile hesaplanmış, grafikleri de Splus paket programında çizilmiştir.

Zaman Serisi Otokorelasyonlar Kısmi Otokorelasyonlar

0 10 20 30 40 50 60 70

11121314151617

Lag

ACF

0 5 10 15

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : ihracat

Lag

Partial ACF

0 5 10 1 5

-0.20.00.20.40.60.81.0 Series : ihracat

Zaman serisine ait otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlardan bazıları (ilk 10 tanesi) aşağıdadır.

h ^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

( )h

 ¹ 0.954 0.912 0.874 0.835 0.793 0.7527 0.7093 0.665 0.6163 0.5636 ( )h

 0.954 0.018 0.014 -0.017 -0.051 -0.015 -0.056 -0.03 -0.085 -0.078

Otokorelasyonlar azalmasına (yavaş) rağmen kısmi otokorelasyonlardan birincisi hariç diğerleri sıfırdır (güven sınırları içinde). Otokorelasyonlar yavaş azaldığından serinin durağanlığından şüphelenilir. Ancak bu yargıya varabilmek için istatistiki sonuç çıkarımların yapılması gerekir. Bu veriler ileride tekrar ele alınacaktır ⊗

Örnek 2.3.2 a) e_t~ WN (0, σ²) olmak üzere AR(1) modeli X_t=α X_t−1+e_t verildiğinde otokorelasyon fonksiyonunun ρ(h)=α^h şeklinde olduğunu biliyoruz. Şmdi, bu modelin kısmi otokorelasyonlarını hesaplayalım. Önce, (1)(1) olup, model AR(1) olduğundan diğer kısmi otokorelasyonlar sıfırdır. Bunlardan iki tanesini hesaplayalım. Önce, ikinci kısmi otokorelasyon için, P² _ve P₂^* matrisleri

P₂=

[

]

[

]

şeklindedir. Buradan, det( ) 1P²  ² _ve det( ) 0P₂^*  olup, ikinci kısmi otokorelasyon

2* 2

(2) det(P ) / det( ) 0P

   dir. Benzer şekilde (3) _için P_{3 ve} P₃^* matrisleri ile determinantları

2

* 2 *

3 3 3 3

2 2 3

1 1

1 , 1 , det( ) 0 ve det( ) 0

1

P P P P

   

   

    

   

   

   

   

   

   

şeklinde olup üçüncü kısmi otokorelasyon (3) det( P^3*) / det( ) 0P³  dır. Diğer taraftan,

|α |<1 için det( ) 0P^h  ve det(P_h^*) 0 olacağından, bütün h=2,3,4,... _için ^{( ) 0h }

dır.

b) e_t~ WN (0,σ²) olmak üzere AR(4) modeli X_t=α X_t−4+e_t olarak verilmiş olsun. Bu modelin otokorelesyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarını hesaplayalım. Otokovaryans fonksiyonu h>0 _için

( )h Cov X X( _t, _{t h}) Cov X X( _t, _{t h}) Cov( X_t 4 e X_t, _{t h}) (h 4)

  _  _   _  _   

eşitliğinden ( )h (h4) eşitliğini sağlar. Yule-Walker denklemleri değişik h değerleri için,

2

(1) (3) , (2) (2) , (3) (1) (1) (2) (3) 0

(4) (0) , (5) (1) 0,..., (8) (0)

           

       

      

   

olarak yazıldığında otokorelasyon fonksiyonu, , 4 , 0,1, 2,3,...

( ) 0 , . .

h h j j

h d d

 _{ }^ ^{ }



şeklinde yazılabilir. İlk üç kısmi otokorelasyon, (1)(2)(3) 0 olup dördüncü kısmi otokorelasyon için P⁴ _ve P₄^* matrisleri sırası ile

P₄=

[

]

[

]

şeklindedır. det( ) 1P⁴  ve det(P^4*) olduğundan dördüncü kısmi otokorelasyon değeri

4* 4

(4) det(P ) / det( )P

   olur. Diğer kısmi otokorelasyonlar da benzer şekilde hesaplanır. Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun tanımından h4 _için ^{( ) 0h}  _dır.

Otokorelasyon Fonksiyonu Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu

AR(4) modeline ait otokorelasyonlar periyodik şekilde olarak azalır, kısmi otokorelasyonlar ise dördüncü gecikmede ^α değerini alıp diğer bütün gecikmelerde sıfırdır. Bu tür seriler mevsimsel seriler olup özellikleri daha sonra ayrıntılı incelenecektir ⊗

Aşağıda değişik modeller için rasgele üretilen (100 birimlik) verilere ilişkin zaman serisi grafiği ile Splus paket programında hesaplanan otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonların grafikleri bulunmaktadır.

X_t=e_t+0 . 7 e_t−1 ρ(h) ^{( )h}

0 20 40 60 80 10 0

-2-1012

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : x

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.4

Series : x

X_t=0.8 X_t−1+e_t ρ(h) φ( h)

0 20 40 60 80 100

-4-2024

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : x

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.8

Series : x

X_t=1.7 X_t−1−0.72 X_t−2+e_t ρ(h) ^{( )h}

0 20 40 60 80 100

-202468

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : x

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.8

Series : x

X_t=0.8 X_t−1+e_t+0.7 e_t−1 ρ(h) ^{( )h}

0 20 40 60 80 100

-8-6-4-2024

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : x

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.4-0.20.00.20.40.60.8

Series : x

Örnek 2.3.3 a) e_t~ WN (0,σ²) olmak üzere AR(2) modeli X_t= X_t−1−0. 25 X_t−2+e_t

olarak verilsin. Modelin arekteristik denklemi m²−m+0. 25=0 olup, köklerin her ikiside aynı ve mutlak değerce 1 den küçüktür. O halde, seri MA(∞) olarak ifade edilebilir. Yani, w_j

katsayıları öyle belirlenebilir ki, X^t zaman serisi

X_t=

∑

i=0

∞

w_i e_t−i

şeklinde yazılabilir. Kökler tekrar ettiğinden homojen fark denkleminin genel çözümü

w_i=(c₁+i c₂) (0.5)ⁱ şeklindedir. w₀=1, w₁=α₁=1 başlangıç koşulları ile katsayılar

c₁=c₂=1 olarak bulunmuş, genel çözüm de w_i=(1+i ) (0.5)ⁱ olarak yazılmıştır. Buradan,

X_t zaman serisinin otokovaryans fonksiyonu,

γ (h) =σ²

∑

i=0

∞

w_iw_i+h

şeklinde hesaplanabilir. Otokovaryans fonksiyonunu açık olarak,

2 2

0 0

( ) _{i i h} (1 )(0.5) (1ⁱ )(0.5)^{i h}

i i

h w w i i h

  ^ _  ^{ }

 







2 2

2 2 2

0 0

(1 ) (1 )(0.5) (1 ) (1 ) (0.5)

2 2

i i

h h

i i

i i h i h i

 ^  ^

 

 

          

 

2 2 2

2 2 2

0 0

2

80 16

(1 ) (0.5) (1 ) (0.5)

27 9

2 2 2

80 48 2 27

i i

h h h

i i

h

i h i h

h

  



 

 

 

 

         

  

  

 

dir. Buradan,

otokorelasyon fonksiyonu da

ρ(h)=γ(h)/γ (0) =(1+0.6 h) 2^−h

olur. Otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlar dan bazıları aşağıdadır.

h ^{0 1 2 3 4 5}

ρ(h) ^{1 0.8 0.55 0.35 0.2125 0.125}

( )h

 0.8 -0.25 0 0 0

Kısmi otokorelasyonlardan üç tanesi aşağıda açık olarak hesaplanmıştır. Önce, (1)(1) 0.8 olduğu açıktır. (2) _{için P ve 2} P matrisleri ve bu matrislerin determinantları,₂^*

P₂=

[

]

^[

^]

P₂^¿=

[

]

^[

]

olup, ikinci kısmi otokorelasyon değeri (2) det( P^2*) / det( )P²  0.25 dir. İkinci kısmi otokorelasyonun α₂ olduğu, modelin AR(2) olmasından doğrudan yazılabilirdi. Diğer kısmi otokorelasyonlar sıfırdır. Bunlardan (3) _{için P ve 3} P matrisleri ve bu matrislerin₃^* determinantları

P₃^¿=

[

]

^[

]

şeklinde hesaplanmıştır. Buradan üçüncü kısmi otokorelasyonun (3) 0 olduğu görülür. Bu fonksiyonların grafikleri aşağıdadır.

Otokorelasyon Fonksiyonu Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu 1215

. 0 ) det(

1 8 . 0 55 . 0

8 . 0 1 8 . 0

55 . 0 8 . 0 1

1 ) 1 ( ) 2 (

) 1 ( 1 ) 1 (

) 2 ( ) 1 ( 1

3

3  



































 P

P













AR(2) modeli X_t ¹X_t¹²X_t² e_t şeklinde verilmiş olsun. Modelin karekteristik denklemi m²¹m² 0 olup denklemin kökleri reel ve birbirine eşit ise otokorelasyon fonksiyonu





( )h 1 (1 m /(1 m h m^h

     

şeklindedir (Fuller, 1996,s.56). Otokorelasyonları buradan da hesaplanabilir.

b) X^t ¹X^t_¹²X^t_² e^t şeklindeki AR(2) modelinin karekteristik denkleminin kökleri kompleks ise otokorelasyon fonksiyonu

sin( ) ( ) sin( )

h h

h r  

 

 

şeklindedir (Fuller, 1996, s.56). Burada,

1/ 2 1/ 2

2 ( 1 2)

r  m m _, cos( ) ^{1/ 2}₂^{1 1}_{1 2} ^{21/ 2}

2 2( )

m m m m

 



 

 

ve

2 2

tan( ) 1 tan( ) 1

  



 

 dır.

1 0.5 2

t t t t

X X _  X _ e zaman serisi modelinin karekteristik denklemi m² m 0.5 0 _olup kökler m¹0.5 0.5 i _ve m₂ 0.5 0.5 i dir. Buna göre,

1/ 2 1/ 2

2 ( 1 2) 0.5 1/ 2 r  m m  

 

1 1 2

1/ 2 1/ 2

2 1 2

1 1

cos( )

2 2( ) 2 1/ 2 2 4

m m

m m

 

 



 

     

2 2

1 1 (0.5) 2

tan( ) tan( ) tan( / 4) 3

1 (1 (0.5) 5

 

   



 

    

 

değerleri hesaplanmıştır. Buradan serinin otokorelasyon fonksiyonu, sin( ( / 4) 2 / 5)

( ) sin(2 / 5)

h h

h r  

 

 

şeklinde olup ilk 10 otokorelasyonun grafiği (Maple VIII) aşağıdadır.

Kısmi otokorelasyonların hesabı matris determinantlardan zor olabilir. Otokorelasyonlarda olduğu gibi, kısmi otokorelasyonlar da ardışık olarak hesaplanabilir. Modelin otokorelasyonları ( )k _ve kısmi otokorelasyonları da ( , )k k ile gösterelim. (1,1)(1) olup diğer kısmi otokorelasyonlar

1

1

( 1) ( , ) ( 1 )

( 1, 1)

1 ( , ) ( )

k

j k j

k k j k j

k k

k j j

  



 





   

  







formülü ile ardışık olarak hesaplanabilir. Burada, j1, 2,3,...,k için (k 1, )j ( , )k j (k 1,k 1) ( ,k k 1 j)

        

dir. Formül örneklem kısmi otokorelasyonları için de geçerlidir. ˆ( )k _ve ˆ( , )k k sırası ile örneklem otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonu olsun. Örneklem kısmi otokorelasyonları da j1, 2,3,...,k için

ˆ(k 1, )j ˆ( , )k j ˆ(k 1,k 1) ( ,ˆ k k 1 j)

        

olmak üzere,

1

1

ˆ( 1) ˆ( , ) (ˆ 1 ) ˆ( 1, 1)

ˆ ˆ

1 ( , ) ( )

k

j k j

k k j k j

k k

k j j

  



 





   

  







şeklinde ardışık olarak hesaplanabilir. Beyaz gürültü serisinin örneklem kısmi otokorelasyonları, ( ( , )) 1/ˆ

Var  k k  n şeklindedir. Buradan, beyaz gürültü serisinin örneklem kısmi otokorelasyonlarının 2 / n bandının içinde kalması beklenir.

Bu formülleri kullanarak X_t  X_t¹0.5X_t²e_t şeklinde verilen zaman serisi modelinin kısmi otokorelasyonlarını hesaplayalım. Yukarıdaki formülden otokorelasyon değerleri (yuvarlatmalardan sonra, ilk 6 tanesi)

k 0 1 2 3 4 5 6

( )k

 1 0.662 0.162 0.168 0.25 0.166 0.0046 olarak hessaplanmıştır. Kısmi otokorelasyon değerlerinden bazıları,

(1,1) (1) 0.662

  

2 2

2 2

(2) (1) 0.162 (0.662)

(2, 2) 0.4917 0.50

1 (1) 1 (0.662)

 

 

 

     

 

(2,1) (1,1) (2, 2) (1,1) 0.662 (0.662)( 0.50) 0.993

       

(3) (2,1) (2) (2, 2) (1) 0.002134

(3,3) 0.00503

1 (2,1) (1) (2, 2) (2) 0.42364

    

    

 

  

 

şeklindedir (üçüncü kısmi otokorelasyon sıfırdır, fark yuvarlatma hatasından kaynaklanmaktadır).

Benzer şekilde ikinci kısmi otokorelasyonun 0.5 olması gerekir. Bu değer de yuvarlatmalardan kaynaklanan küçük sapma ile gerçek değere yakındır ⊗

MA serilerinde otokorelasyonlar belli bir yerden sonra sıfır olup kısmi otokorelasyonlar mutlak değerce azalır. AR serilerinde durum tam tersidir. Yani, otokorelasyonlar mutlak değerce azalır, kısmi otokorelasyonlar belli bir yerden sonra sıfırdır. Bu fonksiyonlar AR ve MA serilerinin model

derecelerinin belirlenmesinde kullanılabilir. Bazen hem otokorelasyonlar hem de kısmi otokorelasyonlar yukarıdaki özelliklere uymayabilir.