VEKTÖR OTOREGRESİF MODELLERİN ETKİ TEPKİ FONKSİYONLARININ GÜVEN ARALIKLARININ GÜVENİRLİLİĞİ
Yrd.Doç Dr. Bülent Güloğlu1
Abstract : In this study, we firstly focus on the construction of confidence interval for impulse response functions by using different bootstrap methods. Then we compare bootstrap based confidence intervals with asymptotic ones. In doing so we utilise real economic data and allow for very large VAR models with more than four lags and more than three variables.
Keywords : Impulse Responses, Structural VAR, Bias Corrected Bootstrap, Percentile and Percentile t Confidence Interval, Asymptotic Standard Errors
Özet : Bu çalışmada ilk olarak, değişik bootstrap metotları kullanılarak, etki tepki fonsksiyonlarının güven aralıklarının oluşturulmasıyla ilgilenilmektedir. Daha sonra, bootstrap yöntemine dayanan güven aralıkları, asimtotik güven aralıklarıyla karşılaştırılmaktadır. Bunu yaparken, gerçek veriler kullanılmakta ve dörtten fazla gecikmeli ve üç taneden fazla değişkenli VAR modelleri kullanılmaktadır.
Anahtar Kelimeler : Etki Tepkiler, Yapısal VAR, Sapması düzeltilmiş bootstrap,Yüzdelik ve Yüzdelik t Güven Aralıkları, Asimtotik Standard Hatalar.
I.Giriş
Vektör otoregresif (VAR) modeller, ekonomik değişkenler arasındaki ilişkileri inceleyen standard araçlar haline gelmişlerdir. VAR modellerinden elde edilen etki tepki fonksiyonları, sıklıkla, sistemdeki değişkenlerden birisine gelen şokun, sistemdeki diğer değişkenler üzerindeki etkilerini incelemek için kullanılırlar. Başka bir ifadeyle etki tepki fonksiyonları VAR modelindeki her bir değişkenin, yapısal şoklar ortaya çıktığında, bu şoklara karşı dinamik tepkisini gösterirler.
Etki tepki katsayıları VAR modelinin katsayılarından hareketle hesaplanmaktadır. Ancak VAR modelinin katsayılarının asimptotik dağılımı normal olasa da, özellikle küçük örneklemlerde sapmalı ve dağılımlarının çarpık olduğu kabul edilmektedir(Kilian,1998).
Dahası etki tepkiler VAR katsayılarının doğrusal bir fonksiyonu olmadıklarından, onların gerçek değerleri bilinemez. Bu yüzden etki tepki katsayılarının istatistiksel özelliklerinin bilinmesi araştırmacılar için önem arzeder.
Etki tepki katsayılarının istatistiksel belirsizliğini azaltmak için, güven aralıklarının kullanılması oldukça yaygın bir uygulamadır. Böylelikle belirli bir olasılıkla etki tepki katsayılarının anakütle değerleri belirli bir aralık içinde bulunacaktır.
Etki tepki katsayılarının elde edilmesiyle ve güven aralıklarının hesaplanmasıyla ilgili değişik yöntemler mevcuttur. Örneğin Runkle(1987) bootstrap yöntemiyle etki tepki katsayılarının ampirik dağılımının elde edilerek, çarpıklık sorununun üstesinden gelinebileceğini işaret
1 Pamukkale Üniversitesi İ.İ.B.F Kınıklı Kampüsü, KINIKLI/ DENİZLİ
etmiştir. Kilian ise, hem çarpıklık sorununu ortadan kaldıran, hem de sapmayı düzelten bir bootstrap tekniği geliştirmiştir.
Bu çalışmanın amacı analitik ve bootstrap yöntemleriyle elde edilen etki tepki katsayılarını karşılaştırmak ve bu katsayılar için hesaplanan güven aralıklarının ne kadar güvenilir olduğunu göstermektedir. Genelikle tek bir gecikmeli VAR modelleriyle yapılan diğer çalışmaların aksine, bu çalışmada yüksek dereceden VAR modelleriyle çalışılmış ve kü.ük örneklem ve büyük örneklem için sonuçlar karşılaştırılmıştır.
II. Etki Tepki fonksiyonlarının Hesaplanması II.a Geleneksel Yöntemler
Etki tepki fonksiyonlarının hesaplanmasını ve yorumlanmasını göstermek için n değişkenli p.gecikmeye sahip durağan yapısal VAR modelinin şu şekilde olduğunu varsayalım:
A0yt = c+A1yt-1 + A2 y t-2 +....Ap y t-p + ut (1)
Yukarıdaki denklemin her iki tarafı A0 matrisinin tersiyle çarpılırsa, indirgenmiş formda VAR(p) modeli elde edilir:
yt = d+φ1yt-1 + φ2 y t-2 +....φp y t-p + εt (2)
Yapısal VAR modeliyle indirgenmiş formda VAR modeli arasındaki ilişkiler ise şu şekildedir:
d = A0-1 c
φk = A0-1 Ak k=1,2...p εt = A0-1ut
Eğer yapısal VAR modelindeki ut vektörü beyaz gürültü özelliklerini taşıyorsa, εt vektörü de beyaz gürültü vektörü olacaktır(Hamilton,1994).
Bunun ötesinde, eğer y süreci durağan bir süreçse, 2. denklem Wold hareketli ortalama ya da VAR hareketli ortalama süreci (VMA) olarak şu şekilde ifade edilebilir(Lutkepohl,2001):
yt = ϕ0εt + ϕ1 εt -1 +ϕ2 εt -2 +... (3) Burada ϕ0 =In ve ϕs=
∑
= s 1
i ϕs-1φi s=1,2...
Yukarıdaki denklemdeki ϕs katsayıları etki tepki katsayılarını göstermektedir. Buna göre örneğin ϕs matrisinin 1.satır 2. sutunundaki elemanı, yt‘nin tüm geçmiş değerleri sabit tutulduğunda, y2t deki bir birimlik değişmeye, y1t+s nin tepkisini göstermektedir. Y’nin geçmiş
değerleri sabitken, y1t deki değişme ε1t’deki değişmeyle ölçüldüğünden, ϕs matrisinin elemanları, yt’nin, εt’daki değişmelerle ilgili bileşenlerinin etki tepkilerini göstermektedir.
Ayrıca εt’ler bir aşamalı öngörü hataları olduğundan, bu etki tepkilere aynı zamanda öngürü hatası etki tepki katsayıları(forecast error impulse response) da denmektedir. Ancak belirtmek gerekir ki, εt’ler arasındaki eşdönemli korelasyondan dolayı, 3. denklemden elde edilen ϕs
katsayıları, bir değişkenin belirli bir şoka karşı tepkisini değilde, ilgili bütün şoklar karşı tepkisini gösterirler.Bu sorunun üstesinden gelmek için, VAR modelindeki εt’ler ilişkisiz hale getirilir.(Dikeyleştirilir.) Bu dikeyleştirme işlemi, genellikle denklem 2’den elde edilen varyans kovaryans matrisinin(Σε), Cholesky ayrıştırmasına tabii tutulmasıyla yapılır. C’ye düşük üçgen matrisi dersek, Σε =CC’olur. Bu durumda dikeyleştirilmiş hatalar εt = A0-1ut
ilişkisinden elde edilebilir. Bundan dolayı VAR modeli durağansa, 3. denklemden şu ilişki elde edilecektir:
yt = γ0ut + γ1 ut -1 +γ2 ut -2 +... (4) Burada γ0 = C
γj =ϕi C j=0,1,2....
Bu durumda birinci değişkendeki bir yapısal şok bütün değişkenler üzerinde eşdönemli bir etkiye sahip olurken, ikinci değişkende ortaya çıkan bir şok, y1t üzerinde eşdönemli etkiye sahip olmazken, diğer değişkenler üzerinde etkilidir.
Choleski ayrıştırması, uygulamada yaygın olmasına karşın, y vektöründeki değişkenlerin sıralaması değiştiğinde, etki tepki katsayılarının da değişmesine yol açacağından dikkatle kullanılmalıdır. Yani, değişkenlerin sıralaması değiştiğinde etki tepki fonksiyonlarının önemli derece de değişip değişmediğine bakılmalıdır.
Sims(1981), denklem 1’deki A0 matrisini, ekonomik teorinin öngürdüğü hipotezlerle kısıtlayarak yapısal VAR modelinin elde edilmesini tavsiye etmiştir. Bu çalışmada Choleski ayrıştırmasından yararlanıldığından yapısal VAR modeline değinilmeyecektir.
II.b Bootstrap Yöntemleri
Efron(1979) tarafından öne sürülen bootstrap yöntemi, parametre tahminlerinde, istatistiklerin ampirik dağılımlarının bulunmasında ve güven aralıklarının hesaplanmasında son yıllarda sıklıkla kullanılmaktadır. Bu yöntem verilerin iadeli örnekleme yöntemiyle oluşturulmasına, bu şekilde oluşturulan her bir örneklem için ilgili istatistiklerin tahmin edilmesine dayanan ve birkaç defa tekrar eden bir süreçtir.
VAR modelleri çerçevesinde bootstrap yöntemleri etki tepki fonksiyonlarının güven aralıklarının oluşturulması amacıyla kullanılmaktadır. Etki tepki katsayılarının güven aralıklarını oluşturmak için, VAR modelinin katsayıları değişik iadeli örnekleme tekniklerinden birisi kullanarak, birkaç defa EKK ile tahmin edilir. Daha sonra VAR modeli VMA şekline dönüştürülerek etki tepki fonksiyonları yukarıda gösterildiği gibi bulunur. Son aşamada etki tepki katsayılarının ampirik dağılımları bulunarak, güven aralıklarının alt ve üst sınırları oluşturulur. Güven aralıklarının oluşturulmasında, standard yüzdelik(standard percentile) metodu ile, Hall(1992)’in yüzdelik ve yüzdelik t yöntemleri kullanılabilir.
Etki tepki fonksyonlarının hesaplanmasında Diebold ve diğerleri (1998) tarafından geliştirilen Cholesky faktör bootstrap ile Runkle ve Kilian’ın bootstrap yöntemleri kullanılmaktadır.
II.b.1 Cholesky Faktör Bootstrap
Diebold ve diğerleri tarafından geliştirlen Cholesky Faktör Bootstrap yöntemi şu şekilde uygulanmaktadır: Y, T döneminde gözlenen n tane değişkenden oluşan bir vektör şu şekilde iade edilmiş olsun:
Y=Cε (5)
Burada C matrisi, nT,nT boyutunda, ε ise nT,1 boyutunda bir vektördür.Cholesky faktör bootstrap yöntemi aşağıdaki aşamaları içermektedir:
1) Y’nin varyans covaryans matrisi(Σ) tahmin edilir 2) Σ matrisinin Cholesky ayrıştırması elde edilir: CC’=Σ 3) ε*∼N(0,I) olacak şekilde rassal sayılar elde edilir 4) y*=Cε* kullanılarak yapay y* değerleri elde edilir.
5) Etki tepki katsayıları hesaplanır
6) 3 ile 5 arası aşamalar birçok defa tekrar edilerek etki tepki katsayılarının ampirik dağılımları bulunur ve güven aralıkları oluşturulur.
II.b.2 Runkle metodolojisi
Runkle bootstrap yöntemi başlangıçta VAR modelinden elde edilen hata terimlerini kullanan bir yöntemdir.Şu aşamaları içerir:
1) Model 2 EKK yöntemiyle tahmin edilerek, hata terimleri(ε) ve otoregressif katsayılar(φ) elde edilir.
2) Tahmin edilen hata terimleri anakütle olarak kabul edilerek, iadeli tesadüfi örnekleme yöntemiyle t büyüklüğünde örneklem çekilir.Bu şekilde elde edilen hata terimleri ε*
olsun.
3) Tahmin edilen φ katsayıları ve ε* kullanılarak y*değerleri elde edilir.
4) y* değerleri kullanılarak yeni otoregresif katsayılar(φ*) elde edilir.
5) 2 ile 4 arası aşamalar tekrar edilerek etki tepki katsayıları ve onlar için güven aralıkları hesaplanır.
Bu yöntemin en önemli avantajı, hata terimleri için herhangi bir dağılım empoze etmeden, φ* katsayılarının küçük örneklem dağılımının tahmini vermesidir.Ancak hata terimlerinin iadeli örnekleme tabii tutulması ve buna dayanarak elde edilen yeni y* değerlerinin, yapısal katsayılarının elde edilmesi sırasındaki yakınsama sürecine zarar verebilmesi, bu yöntemin en önemli eksikliğidir.
II.b.3 Sapması düzeltilmiş bootstrap yöntemi
Kilian tarafından öne sürülen bu yöntemin en önemli avantajı, otoregresif katsayıların sapmalı tahminini düzeltmesi ve daha sonra VMA katsayılarını tahmin etmesidir. Bu yöntem şu şekilde uygulanabilir:
1)Y= d+φ1yt-1 + φ2 y t-2 +....φp y t-p + εt modeli EKK ile tahmin edilir.
2) Parametrik olmayan bootstrap tekniklerden birisi kullanılarak yapay y* değerleri elde edilir.
3) y* değerleri kullanılarak bootstrap katsayıları (φ*) hesaplanır.
4) Bu süreç 1000 kez tekrarlanarak 1000 tane bootstrap katsayısı (φ*) hesaplanır.
5) (φ*) katsayıların ortalaması alınarak φ değeri bulunur
6) EKK ile elde edilen VAR modelinin companion matrisi elde edilir.
7) Companion matrisinin en büyük köklerinin modulus değerleri (m(φ)) bulunur.
8) Eğer m( φ)≥1 ise, sapması düzeltilmiş katsayı değeri φc=φ kabul edilir.
9) Eğer m(φ)<1 ise, φc=φ -ψˆ . Burada ψˆ =φ -φ dir.
10) Eğer m( φc)≥1 ise, ψˆ1=ψˆ ve δ1=1 kabul edilerek, ψˆi+j=δiψˆi ve δi+1=δi-0.01 değerleri tanımlanır.
11) i=1,2,... için, yinelemeli olarak φci=φ-ψˆi değerleri, m(φci )<1 oluncaya kadar bulunur.
12) m(φci )<1 olduğunda, φc=φci olarak alınır.
13) İndirgenmiş VAR modelindeki φ katsayıları yerine düzeltilmiş katsayılar(φc) bulunur.
2000 tekrarla yeni φ* değerleri hsaplanır ve 4-13 arası basamaklar tekrar edilerek yeni φc değerleri bulunur.
14) Bulunan φc değerleri kullanılarak etki tepki katsayıları ve bunların güven aralıkları bulunur.
III.Bootstrap Güven Aralıkları
Etki tepki katsayıları,bootstrap yöntemlerinden birisi kullanılarak hesaplandıktan sonra, güven aralıklarının oluşturulması gerekir. Bootstrap güven aralıkları birkaç değişik yöntemle oluşturulabilir. Bunlardan en yaygın kullanılanları, standard yüzdelik güven aralığı ile, Hall(1992)’in yüzdelik ve yüzdelik t yöntemleridir.
III.a. Standard yüzdelik güven aralığı
Etki tepki katsayıları için en yaygın kullanılan güven aralığı olup, hesaplanması oldukça kolaydır.
CIs= [Q* α/2 ,Q*(1-α/2) ]
Burada Q*α/2 ve Q*(1-α)/2 sırasıyla ℓ(ϕ*y-p+1,....y0,...yT) dağılımının α/2ve (1-α)/2bootstrap yüzdelikleridir.
III.b. Hall yüzdelik güven aralığı
Etki tepki katsayıları için Hall bootstrap yüzdelik güven aralıkları, bootstrap yöntemiyle ve standard yöntemlerle elde edilen etki tepki katsayılarının farkının(ϕ*-ϕ) dağılımına dayanmaktadır. Bootstrap yöntemiyle elde edilen etki tepki katsayılarına ϕ* ve standard yöntemlerle elde edilenlere ϕ dersek, o zaman Hall yüzdelik güven aralığı şu şekilde oluşturulabilir:
CIH= [ϕ –s* (1-α/2) ,ϕ -s*α/2 ]
Burada s*(1-α/2) ve s*α/2, ℓ(ϕ*-ϕ y-p+1,....y0,...yT) dağılımının (1-α)/2 ve α/2 bootstrapyüzdelikleridir.
III.c. Hall yüzdelik t güven aralığı
Hall yüzdelik t güven aralığı şu şekilde hesaplanır:
CIt= [ϕ –t* (1-α/2) s(ϕ), ϕ -t*α/2 s(ϕ)]
Burada s(ϕ), etki tepki katsayılarının asimtotik standard hatalarını,t*(1-α/2) ve t*α/2 ise, ( ϕ*- ϕ)/s(ϕ*)) dağılımının yüzdeliklerini göstermektedir.
IV. Ampirik Karşılaştırma
Standard yöntemler kullanılarak elde edilen etki tepki katsayılarının güven aralıklarıyla, bootstrap yüzdelik güven aralıkları Lutkepohl’un veri seti kullanılarak karşılaştırılmış. Veriler 1960:Q1-1982:Q4 döneminde doğal logaritması alınmış yatırım(y1) gelirin(y2) ve tüketimi(y3) kapsamaktadır. Standard yöntemlerle hesaplanmış etki tepki katsayılarının %95 güven aralıkları ile Runkle parametrik olmayan bootstrap yöntemiyle hesaplanmış etki tepki katsayılarının Hall yüzdelik güven aralıkları sırasıyla şekil1 ve şekil2 de verilmiştir.
Şekil1 ve şekil2 karşılaştırıldığında asimtotik standard hatalara dayanan % 95 güven aralığı ve Runkle bootstrap yöntemine dayanarak hesaplanan Hall yüzdelik güven aralığı arasında önemli bir fark görülmemektedir. Ancak her iki güven aralığıyla elde edilmiş sonuçlar yanıltıcı olabilir. Bu yüzden sonuçların sapması düzeltilmiş bootstrap yöntemiyle de tekrarlanması gerekebilir.
V.Sonuç
Bu çalışmada VAR modellerinden elde edilen etki tepki katsayılarının güven aralıklarının güvenirliği incelenmiştir. Değişik yöntemler arasından asimtotik standard hatalara dayanan % 95 güven aralığı ile Runkle bootstrap algoritmasına dayanarak hesaplanan etki tepki katsayılarının Hall yüzdelik güven aralıkları karşılaştırılmıştır. Örneklem büyüklüğü (76 gözlem) göz önüne alındığında bu iki yöntem arasında büyük örneklemler için fark olmadığı görülebilir.
Kaynakça
Efron B.(1979) Bootstrap Methods: Another Look at the Jacknife, Annals of Statistics, 9, 1218-1228
Hamilton J.(1994) Time Series Analysis, Princeton University Press
Hall P.(1992) The Bootstrap and Edgeworth Expansion, Springer, New York
Runkle D. (1987) Vector Autoregression and Reality, Journal of Business and Economics Statistics, 5, 437-442
Kilian L.(1998) Small Sample Confidence Intervals for Impulse Response Functions Review of Economics and Statistics, 80, 213-230
Lutkepohl H.(2001) Vector Autoregressive and Vector Error Correction Models, mimeo
