BÖLÜM 5 NEWTON UN İKİNCİ KANUNU, ÇEKİM

BÖLÜM 5

NEWTON‟UN İKİNCİ KANUNU , ÇEKİM 5.1 Giriş

Bundan önceki bölümde kuvvet ve ivme kavramlarını ayrı ayrı inceledik. Denge problemlerinde bir cisme etkileyen bileşke kuvvet sıfır olduğu zaman ivmenin de sıfır olduğunu ifade eden Newton un birinci kanununu kullandık. Bundan sonraki adım, bir cisme etkiyen bileşke kuvvet sıfır olmadığı zaman cismin hareketinin ne olacağını incelemektir. Bu da Newton un ikinci hareket kanunudur. Bu kanun etkiyen bileşke kuvvet sıfır olmadığı zaman cismin ivmeli hareket yapacağını ve verilen kuvvet için cismin kütlesine bağlı olduğunu ifade eder.

Hareket ve hareketi meydana getiren kuvveti birlikte inceleyen mekanik bölümüne dinamik denir. Statik ivmenin sıfır olduğu halleri, kinematik ise sadece hareketle ilgilenir.

5.2. Newton‟un İkinci Kanunu , Kütle

Sükûnetteki bulunan bir cismin kendi kendine harekete geçmeyeceğini deneylerden bilmekteyiz. Cismin harekete geçmesi için başka bir cisim tarafından çekilmesi veya itilmesi gerekir. Hareketteki bir cismin durdurulması veya yavaşlatılması için bir kuvvetin gerektiği de bildiğimiz gerçeklerdendir. Aynı şekilde doğrusal hareket yapan bir cismin yörüngesinden çıkarılması için yanlamasına bir kuvvet gerekir. Bütün bu yukarıdaki olaylar(hızlanma, yavaşlama veya hareketin doğrultu değiştirmesi) cismin hızının doğrultu ve şiddet değişmesini içine alır. Başka bir değişle yukarıdaki hallerin hepsinde cisim ivmeli hareket yapar ve ivmenin olabilmesi içinde cisme bir dış kuvvetin etkimesi gerekir.

Aşağıdaki örneği göz önüne alalım. Şekil 5.1(a) da görüldüğü gibi sürtünmesiz bir düzlem üzerinde bulunan serbest bir cisme F kuvveti etkimektedir. Cismin dönmediğini ve kuvvetin doğrultusunun ağırlık merkezinden geçtiğini kabul edelim. Bu halde cisim dönmez , sadece öteleme hareketi yapar. Etkiyen kuvvet dinamometre ile a ivmesi kronometre ile ölçülür. Önce aynı cisim ; fakat değişik şiddet ve doğrultularda kuvvetler , sonrada farklı cisimler kullanılarak bir çok ölçmeler yapılır. Bu ölçüler bizi aşağıdaki sonuçlara götürür.

Şekil 5.1 (a) a ivmesi F bileşke kuvvetin doğrultusundadır. (b) bileşen kuvvetlerin her biri, kendine ait ivme bileşenini verir.

1. Bütün hallerde ivmenin doğrultusu kuvvetin doğrultusuyla aynıdır. Bu sonuç cisim başlangıçta hareketsiz de olsa belli bir hıza sahipte olsa doğrudur.

2. Belli bir cisim için kuvvetin şiddetinin ivmenin şiddetine oranı sahiptir.

𝑎 = sabit (belli bir cisim için)

Yukarıdaki oran genel olarak cisimden cisime değişir. Kuvvetin ivmeye oranı olan bu sabit sayı cismin bir özelliğini gösterir. Bu da cismin kütlesidir. Kütle m ile gösterilir.

𝐹 𝑎

= m

veya

F = m . a yazılabilir.

Bir cismi hızlandırmak, hızını küçültmek veya yörüngesinden saptırmak için büyük kuvvetler gerekiyorsa bu cismin kütlesi de büyüktür. Bu halde cismin eylemsizliği de büyüktür diyebiliriz. F = m . a denklemi vektörel bir eşitliktir. F vektörü , a vektörünün m katı kadardır. Ve doğrultusu ile yönü a anınki ile aynıdır. m skaler bir büyüklüktür. Eğer iki vektör eşitse bunların dik bileşenleri de eşit olur.

F_x = m . a_x F_y = m . a_y a

F F

a

F_x Fy

ay

a_x

(a) (b)

Bir cismi aynı anda bir çok kuvvet etkirse kuvvetler x y bileşenlerine ayrılabilir. Ve

∑Fx , ∑F_y cebirsel toplamlar hesaplanabilir. Bundan sonra da ivme bileşenleri ∑Fx = m . ax ∑Fy = m . ay

Eşitliklerinden bulunabilir.

Bu denklem çifti :

∑F = m . a

vektörel denklemine eşdeğerdir. Burada ∑F , cisme etkiyen bütün dış kuvvetlerin vektörel toplamı veya bileşkesidir.

∑F = m . a denklemi Newton un ikinci hareket kanununun matematik ifadesidir.

Newton , bu kanunu aşağıdaki gibi ifade etmiştir . “Hareketteki değişim uygulanan kuvvetle orantılıdır ve kuvvetin etkidiği doğrultuda meydana gelir . “ ayrıca ivme kuvvetle orantılıdır ve kuvvetin doğrultusundadır diyebiliriz.

∑F = m . a dan hareketin sabit ivmeli olması için , gerekli fiziksel şartları görebiliriz. a ivmesi sabitse ∑F kuvveti de sabit olmalıdır. Başka bir deyimle , sabit ivmeli hareket , sabit kuvvetin etkisinde meydana gelir. Kuvvet değiştiği zaman , m kütlesi sabit olduğundan ivme de kuvvetle orantılı olarak değişir.

∑F = m . a da bir cisme etkiyen bileşke kuvvet sıfırsa , cismin ivmesinin sıfır ve dolayısıyla hızının sabit olacağı açıkça görülmektedir. Yani cisim hareket halinde ise hızının doğrultusu ve şiddeti değişmeden yoluna devam eder. Eğer cisim hareketsiz bulunuyorsa , gene hareketsiz kalır (hızı sabit ve sıfıra eşit). Fakat bunlar Newton ‘ un birinci kanununun uygulanabileceği şartlardır , buna göre kuvvetle ivmenin sıfır olması halinde birinci kanunun , ikinci kanunun özel bir hali olduğunu görmüş oluyoruz. Böylece , ancak iki bağımsız kanun , ikinci ve üçüncü kanunların varlığı düşünülebilir.

Newton , birinci kanunun ,ikinci kanunun özel bir hali olduğunu belirtmeliydi. Acaba niçin birinci kanunu da vermişti. Bu sorunun cevabı şüphesiz , birinci kanunun Galileo tarafından bulunmuş olması ve Newton ‘ a daha genel olan ikinci kanunu bulmasına imkan vermesiydi.

5.3. Birim Sistemleri

Bir cismin kütlesi , bu cisme etkiyen bileşke kuvvetin ivmeye oranıdır. Önce İngiliz mühendislik birim sistemini göz önüne alalım. Bu birim sisteminde kuvvet pound , ivme ft/sn² ile ölçülür. Kütle birimi ise , slug denir.

∑F (Ib) = m (slug) × a (ft/sn²) olacaktır.

Metre - kilogram – saniye (mks) birim sisteminde kilogram kütle birimi olarak

alınmıştır. Bu sistemde kuvvet birimi kilograma bir m/sn² lik kuvvettir. Bu kuvvete 1 Newton denir. Mks birim sisteminde ;

∑F (Newton) = m (kg) . a (m/sn²)

Santimetre – gram – saniye (cgs) birim sisteminde kütle birimi 1 gramdır. Bu sistemde bir gramlık kütleye 1 cm/sn² lik ivme veren kuvvet 1 dyn dir. Cgs birim sisteminde ;

∑F (dyn) = m (gr) . a (cm/sn²)

1 kg = 10³ gr ve 1 m/sn² = 10² cm/sn² olduğunda 1 newton = 10⁵ dyn olur.

5.4 Kütle ve Ağırlık

Bir cisme yerin uyguladığı çekim kuvvetine, o cismin ağırlığı denir. Bir cisim serbest düşmeye bırakılınca sadece w ağırlığının etkisinde kalır ve g çekim ivmesiyle hareket eder.

Buna göre cismin kütlesi,

m = ^∑𝐹 𝑎 = 𝑤

𝑔

Bir cismin ağırlığı kuvvettir. Kuvvet birimleriyle ölçülmelidir. İngiliz birim sisteminde ağırlık birimi pound , mks birim sisteminde Newton , cgs birim sisteminde dyn ile ölçülür. Bir maddenin değişmeyen miktarına kütle denir. İngiliz birim sisteminde kütle birimi slug , mks birim sisteminde kilogramdır.

Yukarıdaki birim sisteminden başka, mühendislik sistemine benzer şekilde, kütle gibi kuvvetinde keyfi seçildiği iki birim sistemi daha vardır. Bu sistemler, kuvvet birimi olarak, standart kilogram ve gramın ağırlıklarını alır. Birincisine ‘ Kilogram kuvvet’ , ikincisine

‘gram kuvvet’ denir. ‘gram kuvvet’ okuyucunun da rastlamış olabileceği gibi, basit fizik kitaplarında çok kullanılır. ‘Kilogram kuvvet’ özellikle metrik sistemlerin kullanıldığı

mühendislikte kuvvet birimi olarak alınır. Bu kitapta son iki birim kullanılmayacak ve gram ile kilogram kütle birimi olarak alınacaktır.

5.5 Newton‟un Genel Çekim Kanunu

Bütün mekanik konularında, üzerindeki cisimlerle Dünya arasındaki çekim kuvvetleri ile karşılaşılır. Bu kuvvetlere cisimlerin ağırlığı denir. Şimdi bu çekim olayını ayrıntılarıyla inceleyeceğiz.

Genel çekim kanunu, Sir Isaac Newton tarafından bulunmuştur. 1686 yılında ilk olarak verilen ifadesi aşağıdaki şekildedir:

Evrendeki bütün madde parçacıkları, birbirlerini kütlelerinin çarpımı ile doğru aradaki uzaklıkla ters orantılı bir kuvvetle çekerler.

𝐹 ∝𝑚𝑚^′ 𝑟²

Yukarıdaki orantılılık ifadesi, çekim sabiti denilen bir G sayısı yardımıyla aşağıdaki şekilde bir eşitliğe çevrilebilir.

𝐹 = 𝐺𝑚𝑚^′ 𝑟²

Newton’un bu kanunu buluşunda, bir elmanın düşüşünden ilham aldığı söylenir. Bununla beraber, yukarıdaki bağıntının doğruluğunu göstermek için yaptığı ilk neşriyatın hesapları ayın etrafındaki hareketi ile ilgilidir.

G sabitinin sayısal değeri, kuvvet, kütle ve uzaklığın, ifade edildiği birim sistemine bağlıdır.

Bu katsayı, m,m^’ kütleleri ve birbirinden uzaklıkları bilinen iki cisim arasındaki çekim kuvveti ölçülerek deney yolu ile bulunabilir. Normal büyüklükte cisimler için bu kuvvet son derece küçüktür, bununla beraber Rev. John Michell tarafından hazırlanan ve bu iş için ilk defa Sir Henry Cavendish’ in 1798 de kullandığı bir aletle ölçülebilir. Buna benzer bir aleti Coulumb elektriksel ve manyetik çekme-itme kuvvetlerinin incelenmesinde kullanmıştı.

Cavendish terazisi (Şekil 5-2) ortasından çok ince bir ipliğe, örneğin kuartz bir tele yatay olarak asılmış hafif bir çubuğun uçlarına m kütlesinde iki küçük küre tespit edilerek hazırlanmıştır. Askı teline yapıştırılmış küçük bir ayna ince bir ışık demetini bölmeli bir cetvele yansıtır. Ölçme yapılırken kütlesi m^’ olan iki büyük küre şekildeki gibi yerleştirilir.

Büyük ve küçük küreler arasındaki çekim kuvvetlerinin meydana getirdiği kuvvet çifti askı telini küçük bir açı kadar burar ve bu burulma askı teline bağlı aynada yansıyan ışık demeti yardımıyla cetvelde görülebilir.

Çok ince bir askı teli kullanılarak ışık sapması yeteri kadar büyültülebilir ve çekim kuvveti ölçülebilir. Bu şekilde çekim sabiti için,

𝐺 = 6,670. 10⁻⁸ 𝑑𝑦𝑛 𝑐𝑚² 𝑔𝑟² 𝐺 = 6,670. 10⁻¹¹ 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑚² 𝑘𝑔² bulunmuştur.

Şekil 5.2 Gavendich terazi 5.6. Yerin Kütlesi

G sabitinin sayısal değeri laboratuarlarda yapılan ölçmelerde bulunabildiğinden, yerin kütlesi hesaplanabilir. Serbest düşen bir cismin hareketinden, bir gramlık bir cisim yerin uyguladığı çekim kuvvetinin 980 dyn olduğunu biliyoruz. Kütleler arasındaki uzaklık yerin yarıçapı kadar yani 6380 km veya 6.38 10⁸ cm dir. Buna göre,

980 𝑑𝑦𝑛 = (6.67 . 10⁻⁸ 𝑑𝑦𝑛 𝑐𝑚² 𝑔𝑟²) . 1 𝑔𝑟 . 𝑚_𝑒 (6.38 . 10⁻⁸ 𝑐𝑚)²

Eşitlikte me dünyanın kütlesini göstermektedir. Yukarıdaki eşitlikten, me = 5.98 . 10²⁷ gr

bulunur. Yerin hacmi ise,

m

m m^’ m^’

F

V = ⁴

3 𝜋 . 𝑟³ = 1.09 . 10²⁷ 𝑐𝑚³ tür.

Kütlenin hacme oranı özkütleyi verdiğinden yerin özkütlesi,

𝑚𝑒

𝑉 = ^{5.98 . 1027 𝑔𝑟}

1.09 . 10²⁷ 𝑐𝑚³ = 5,5 ^𝑔𝑟

𝑐𝑚³ bulunur.

5.7. “g” nin Değişimi

g çekim ivmesi cisimlerin kendi ağırlıkları ile kazandıkları ivmedir. Bu cismin ağırlığı ise,

𝑤 = 𝐺

𝑟²

Şeklinde yazılabilir. Burada m cismin, m_e yer küresinin kütleleri, r ise yer merkezinin cisimden uzaklığıdır. Diğer taraftan w = m . g olduğundan

𝑚. 𝑔 = 𝐺

𝑟²

𝑔 =

𝑟²

G ve me sabit olduğundan, r büyüdükçe g küçülecektir. Buna göre, bir cismin düşmesi

sırasında sabit ivme ile hareket ettiği ancak yaklaşık olarak doğru sayılabilir. Hava direnci bir tarafa bırakılırsa, cisimler yere yaklaştıkça ivme sürekli olarak artar. Bununla beraber birçok hallerde bu artış ihmal edilebilir. Yer çekim ivmesi, dünya üzerinde noktadan noktaya çok az değişir. Bunun sebebi, yer küresinin yarıçapının yerden yere değişmesi, maden filizleri, petrol ve diğer maddelerin öz kütlesinin yerin ortalama öz kütlesinden farklı oluşudur. Bununla beraber, en büyük değişme sebebi Bölüm 6 da açıklanacağı gibi yerin dönmesidir.

g nin değerindeki değişimlerin incelenmesi, yerin tabakalarındaki maden filizi ve petrolun varlığı hakkında fikir verir. Buna göre, g nin incelikli ölçülmesi jeofizik yoldan maden araştırmasında bir metot olmaktadır.

5.8. Newton „ un İkinci Kanununun Uygulanması

Örnek 1 : 10 kg kütlesinde bir cisim, yatay bir düzlem üzerinde hareketsiz duruyor.

Cisimle düzlem arasında sürtünme kuvveti, sabit ve 5 newton olduğuna göre, bu cismin 2 saniyede 4 m/sn lik bir hız kazanması için uygulanması gereken yatay T kuvveti ne olmalıdır?

Bütün kuvvetlerin cismin merkezine etkidiğini kabul ediniz.

Cismin kütlesi bilinmektedir. y doğrultusundaki ivme bileşeni sıfırdır. Belli sürede kazanılması gereken hızdan faydalanarak x ekseni doğrultusundaki ivme bileşeni bulunabilir.

Kuvvet sabit olduğuna göre ivmenin x ekseni doğrultusundaki bileşeni de sabittir ve ivme bağıntısından ,

𝑎_𝑥 =^𝑣−𝑣0

𝑡 =^{4 𝑚 𝑠𝑛− 0}

2 𝑠𝑛 = 2 𝑚 𝑠𝑛² bulunur.

Newton ‘ un ikinci kanununun bileşenlere ait bağıntılarını kullanarak,

∑F_y = m . a_y N – w = 0 ,

N = w = m. g = 10 kg . 9,8 m/sn² = 98 newton ,

∑Fx = m . a_x T – 5 sn = 10 kg . 2 m/sn² T = 25 sn olmalıdır.

Örnek 2: Bir asansörün yükü ile birlikte ağırlığı 1600 nt gelmektedir. Bu asansör 20 m/ sn lik hızla inerken sabit bir ivme ile 50 m sonra durduğuna göre hareket süresince askı

halatındaki gerilmeyi bulunuz. (Şekilde görüldüğü gibi) Asansörün kütlesi,

m = ^𝑤

𝑔= ^{1600 𝑛}

9.8 𝑚 𝑠𝑛² = 163 𝑘𝑔 sabit ivmeli hareket denkleminde,

𝑣² = 𝑣₀²+ 2 𝑎 𝑦

𝑎 =

2 𝑦

İlk hız -20 m/sn, v hızı sıfırdır. gidilen yol 50 metredir. Bu verilere göre, N

F=5 nt. T

W=m g

T

w

𝑎 =

– 2 . 50

= 4 𝑚 𝑠𝑛

bulunur. İvme pozitif olduğuna göre yukarı yönlenmiştir.

∑F = T – w = T – 1600 n

∑F = m a

T – 1600 = 163 . 4 = 652 n T = 2252 n bulunur.

Örnek.3 Yatayla θ açısı yapan sürtünmesiz bir eğik düzlem üzerinde bulunan bir kutunun hareketinin ivmesini bulunuz. Cisme etkiyen kuvvetler, sadece kutunun w ağırlığı ve cisme düzlemin uyguladığı N normal kuvvettir.(şekil 5. 5)

∑𝐹_𝑦 = 𝑁 − 𝑚. 𝑔 cos 𝜃

∑𝐹_𝑥 = 𝑚. 𝑔 sin 𝜃

bulunur. Diğer taraftan, 𝑎_𝑦 = 0 olduğu bilindiğinden ∑𝐹_𝑦 = 𝑚. 𝑎_𝑦 denkleminden 𝑁 = 𝑚. 𝑔 cos 𝜃 bulunur. ∑𝐹_𝑥 = 𝑚. 𝑎_𝑥 eşitliğinden ise,

𝑚. 𝑔 sin 𝜃 = 𝑚. 𝑎_𝑥 𝑎_𝑥 = 𝑔. sin 𝜃 bulunur.

Örnek.4 Şekilde yatay sürtünmesiz bir düzlem üzerinde bulunan 𝑤₁ = 16 𝑛 ağırlığında bir kutu, sürtünmesiz küçük bir makaradan geçen ince bir iplikle 𝑤₂ = 8 𝑛 luk diğer bir cisme bağlıdır. Sistemin ivmesi ve cisimleri birbirine bağlayan sicimin gerilimi ne kadardır?

N

mg.sinθ mg.cosθ

w=mg θ

θ

Diyagramda cisimlerin her birine etkiyen kuvvetler görülmektedir. Sicimin cisimlere uyguladığı kuvvetler, etki tepki çifti olarak düşünülebildiğinden, bunlar aynı T harfi ile gösterilmiştir. Yatay düzlem üzerindeki kutu için,

𝑔 = 10 𝑚 𝑠𝑛 alındığında,

∑𝐹_𝑥 = 𝑇 = 1,6 𝑘𝑔. 𝑎 ,

∑𝐹_𝑦 = 𝑁 − 𝑤_𝑦 = 𝑁 − 16 𝑛 = 0 yazılabilir.

Aslında cisim için,

∑𝐹_𝑦 = 𝑤₂− 𝑇 = 8 𝑛 − 𝑇 = 0,8 kg . a

olabilir. Cisimlerin her ikisi için de a nın değeri aynı olduğundan, birinci ve üçüncü denklemler çözülünce,

𝑎 = 3,4 ^𝑚

𝑠𝑛² 𝑇 = 5,44 𝑛 bulunur.

Örnek.5 buraya kadar, Newton ‘ un ikinci kanunu, etkidiği cisme sabit bir ivme sağlayan, şiddeti değişmeyen, bileşke kuvvetler haline uygulandı. Bu haller çok önemlidir ve az matematik ister. Bileşke kuvvetin şiddeti değişirse, ivme de sabit kalmaz ve sabit ivmeli hareketlere uygulanan denklemlerden faydalanılamaz. Bu kısımda değişen kuvvet etkisinde, üç hareket örneği inceleyeceğiz.

50 kg kütlesinde bir otomobil, 30 m/sn lik hızla ilerlemektedir. Sürücü arabayı 𝑣 = 𝑣₀− 𝑘. 𝑡²

N

I

w1

T

w2

bağıntısına uyacak şekilde frenliyor ve durduruyor. Eşitlikteki 𝑣₀ = 30 𝑚 𝑠𝑛, 𝑘 = 0,30 𝑚 𝑠𝑛³, t frenin uygulamasından sonra geçen ve saniye olarak ölçülen süredir.

Frenlemenin başlamasından 5 saniye sonra, hareketi yavaşlatıcı bileşke kuvveti bulunuz.

Otomobilin kütlesi bilinmektedir. Newton ‘ un ikinci kanunundan faydalanarak bileşke kuvvetin bulanabilmesi için önce ivmenin hesabı gerekir.

Hız bağıntısından faydalanarak, 𝑎 = ^𝑑𝑣

𝑑𝑡 = ^𝑑

𝑑𝑡 𝑣₀− 𝑘. 𝑡² = −2 𝑘. 𝑡 bulunur.

𝑡 = 5 𝑠𝑛 𝑖ç𝑖𝑛,

𝑎 = −2 .0,30 ^𝑚

𝑠𝑛³. 5 𝑠𝑛 = −3 ^𝑚

𝑠𝑛²

Olacaktır. Bu andaki kuvvetin şiddeti,

∑𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 50 𝑘𝑔. −3 ^𝑚

𝑠𝑛² = −150 𝑛 dır.

Örnek.6 500 kg kütlesinde bir otomobil sukünetten harekete geçiyor. İlk 10 sn içinde

otomobile etkiyen bileşke kuvvet ∑𝐹 = 𝐹₀− 𝑘. 𝑡 ‘ dir. Burada 𝐹₀ = 2000 𝑛 , 𝑘 = 100 𝑛 𝑠𝑛 ve t hareketin başlamasından sonra saniye olarak geçen süredir. 10 uncu saniye sonundaki hızı ve bu süre içinde gidilen yolu bulunuz.

Bu problemde otomobilin kütlesi ve etkiyen bileşke kuvvet verilmiştir. Bu verilerden, Newton’un ikinci kanunundan faydalanarak ivme hesaplanabilir ve hız ile konum kinetik prensipleri yardımıyla bulunabilir. İkinci kanundan,

𝑎 = ^𝑑𝑣

𝑑𝑡 = ^∑𝐹

𝑚 = ^𝐹0

𝑚− ^𝑘

𝑚𝑡 𝑑_𝑣 = ^𝐹0

𝑚𝑑𝑡 − ^𝑘

𝑚𝑡 𝑑𝑡

∫ 𝑑_𝑣 = ^𝐹0

𝑚∫ 𝑑𝑡 − ^𝑘

𝑚∫ 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 = ^𝐹0

𝑚𝑡 − ^𝑘

2𝑚𝑡²+ 𝐶₁

Sonucuna varılır. Eşitlikteki C1 bir integrasyon sabitidir. 𝑡 = 0 için 𝑣 = 0 olduğunan C1 de sıfır olacaktır. 𝑡 = 0 𝑠𝑛 için,

𝑣 = ^{2000 𝑛}

500 𝑘𝑔 .10 𝑠𝑛 − ^{100 𝑛 𝑠𝑛}

1000 𝑘𝑔 . (10 𝑠𝑛)² = 40 _𝑠𝑛^𝑚 − 10 ^𝑚

𝑠𝑛 = 30 ^𝑚

𝑠𝑛

Konumu bulmak için Denk (5-7) yi kullanabiliriz.

𝑣 = ^𝑑𝑥

𝑑𝑡 = ^𝐹0

𝑚𝑡 − ^𝑘

2𝑚𝑡²

∫ 𝑑_𝑥 = ^𝐹0

𝑚∫ 𝑡 𝑑𝑡 − ^𝑘

2𝑚∫ 𝑡²𝑑𝑡 + 𝐶₂ 𝑥 = ^𝐹0

2𝑚 𝑡²− ^𝑘

6𝑚𝑡² + 𝐶₂

Hareket noktası başlangıç olarak alınırsa, 𝑡 = 0 𝑖ç𝑖𝑛 𝑥 = 0 olacağından 𝐶₂ = 0 bulunur.

𝑡 = 10 𝑠𝑛 𝑖ç𝑖𝑛,

𝑥 = ^{2000 𝑛}

1000 𝑘𝑔. (10𝑠𝑛)²− ^{100 𝑛 𝑠𝑛}

3000 𝑘𝑔 . (10𝑠𝑛)² = 200 𝑚 − 33 𝑚 = 167 𝑚 bulunur.

Çözümlü Problemler

5.1 50 gramlık bir cisim sürtünmesiz bir düzlem üzerinde x=0 konumunda sükunette

bulunuyor. t=0 anında bu cisme x eksenine paralel 10 dyn lik bir kuvvet etkiyor ve 5 sn sonra bu etki kalkıyor.

a) t = 5 sn sonunda cismin konumu ve hızı ne olur?

b) t = 15 sn sonunda aynı kuvvet tekrar uygulandığına göre, t = 20 sn sonunda cismin hızı ve konumu ne olur?

Çözüm:

a) 𝑡 = 5 𝑠𝑛 𝑣 = ? 𝑥 = ? 𝑥 = ¹₂𝑎. 𝑡² 𝑣 = 𝑎. 𝑡 ∑𝐹 = 𝑚. 𝑎 𝑥 =1

2.1

5. 25 =5

2= 2,5 𝑐𝑚 10 = 50. 𝑎 𝑣 =¹

5. 5 = 1 𝑐𝑚 𝑠𝑛 𝑎 = ¹

5𝑐𝑚 𝑠𝑛²

b) 𝑡 = 15 𝑠𝑛 𝑡 = 15 − 5 = 10 𝑠𝑛 𝑐𝑖𝑠𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 𝑕ı𝑧𝑙𝑎 𝑔𝑖𝑑𝑖𝑦𝑜𝑟.

𝑎𝑙ı𝑛𝑎𝑛 𝑦𝑜𝑙 𝑥 = 𝑣. 𝑡 𝑥 = 1.10 = 10 𝑐𝑚 𝑔𝑖𝑑𝑒𝑟.

𝐹 = 10 𝑑𝑦𝑛 𝑎 = ¹

5𝑐𝑚 𝑠𝑛² 𝑥 = 𝑣₀. 𝑡 +¹

2𝑎. 𝑡² F=10 dyn N

W

𝑡 = 5 𝑠𝑛 𝑥 = 1.5 +¹₂.¹

5. 25 = 5 + 2,5 = 7,5 𝑐𝑚 𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑦𝑜𝑙 ∑𝑥 = 2,5 + 10 + 7,5 = 20 𝑐𝑚

𝐻ı𝑧 𝑣 = 𝑣₀+ 𝑎. 𝑡 = 1 + ¹

5. 5 = 2 𝑐𝑚 𝑠𝑛

5.2 10 newton luk bir kuvvet düzgün yatay bir düzlem üzerinde duran bir cisme yatay olarak etkiyor. Cisim sükunetten harekete geçiyor ve 5 saniyede 250 m yol gidiyor.

a) Cismin kütlesi ne kadardır?

b) Kuvvetin etkisi 5 saniye sonunda kalkarsa, bundan sonraki 5 saniye içinde gideceği yol ne olur?

Çözüm :

a) 𝐹 = 10 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑣0= 0 𝑡 = 5 𝑠𝑛 𝑥 = 250 𝑚 𝑥 =¹

2. 𝑎. 𝑡² 250 =¹

2. 𝑎. 25 500 = 25. 𝑎 𝑎 = 20 𝑚 𝑠𝑛² ∑𝐹 = 𝑚. 𝑎 10 = 𝑚. 20 𝑚 = ¹₂ 𝑘𝑔

b) 𝑡 = 5 𝑠𝑛 𝑃 = 10 𝑛𝑡 𝑚 =¹

2𝑘𝑔 𝑣 = 𝑎. 𝑡 𝑣 = 20.5 = 100 𝑚 𝑠𝑛

𝑥 = 𝑣. 𝑡 𝑥 = 100.5 = 500 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑦𝑜𝑙 𝑎𝑙ı𝑟.

P=10 nt.

N

W

5.3 Bir tüfek makinesinin hızı 36000 cm / sn dir. Bu mermi yumuşak bir kütüğe çarpıyor ve kütükte 10 cm ileriliyor. Merminin kütlesi 1,8 gr dır. Mermiyi frenliyen kuvveti sabit kabul ediniz.

a) Merminin kütük içinde durması için ne kadar süre gerekir ? b) Frenleme kuvvetinin dyn ve nt olarak şiddeti nedir ? Çözüm

a) 𝑣₀ = 36000 𝑐𝑚 𝑠𝑛 𝑣 = 0 𝑥 = 10𝑐𝑚 𝑚 = 1,8 𝑔𝑟 𝑡 = ? 𝑣² = 𝑣₀²− 2. 𝑎. 𝑥 𝑎 = ^𝑣02

2.𝑥

𝑣 = 𝑣₀− 𝑎. 𝑡 𝑡 = ^𝑣0

𝑎 =^2.𝑥

𝑣₀ 𝑡 = ^2.10

36000 = ¹

1800𝑠𝑛 b) 𝑣 = 𝑣₀ − 𝑎. 𝑡 𝑎 = ^𝑣0

𝑡 = ³⁶⁰⁰⁰1 1800

= 648 . 10⁵𝑐𝑚 𝑠𝑛² ∑𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 1,8 . 648 . 10⁵ = 1166,4 . 10⁵ 𝑑𝑦𝑛 = 1166,4 𝑁𝑡

5.4 16 nt luk bir cisim yatay bir düzlem bir düzlem üzerinde duruyor. Cisimle düzlem arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,20 statik sürtünme katsayısı 0,30 dur.

a) Cisme yatay 8 nt luk bir kuvvet uygulanınca etkiyen bileşke kuvvet ne olur.

b) 8 nt luk kuvvet cisme 4 sn uygulandıktan sonra etki kaldırılırsa, cisim duruncaya kadar ne kadar yol gider ?

Çözüm :

a) ∑𝐹 = 𝑃 − 𝑓_𝑘 = 𝑃 − µ_𝑘. 𝑚. 𝑔 = 8 − 0,2 . 16 = 4,8 𝑛𝑡

b) 𝑡 = 4 𝑠𝑛 𝑃 = 8 𝑛𝑡 𝑃 − 𝑓 = 𝑚. 𝑎₁ 4,8 = ¹⁶

9,8. 𝑎₁ 𝑎₁ = 2,94 𝑚 𝑠𝑛² 𝑡 = 4 𝑠𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑟𝑎𝑘𝑖 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛 𝑕ı𝑧 𝑣𝑒 𝑘𝑜𝑛𝑢𝑚𝑢

P=8nt.

N

W f

𝑥₁ = ¹

2. 𝑎₁. 𝑡₁² 𝑥₁= ¹

2. 2,94 .16 𝑥₁ = 23,52 𝑚 𝑣₁ = 𝑎₁. 𝑡₁ = 2,94 .4 = 11,76 𝑚 𝑠𝑛

𝑃 = 8 𝑛𝑡 𝑙𝑢𝑘 𝑒𝑡𝑘𝑖 𝑘𝑎𝑙𝑘𝑎𝑟𝑠𝑎 𝑣₀ = 11,76 𝑚 𝑠𝑛 𝑣 = 0

∑𝐹 = 𝑚. 𝑎₂ µ_𝑘.. 𝑚. 𝑔 = 𝑚. 𝑎₂ 𝑎₂ = 0,2 . 9,8 = 1,96 𝑚 𝑠𝑛² 𝑣² = 𝑣₀² − 2. 𝑎₂. 𝑥₂ 𝑥₂ = 𝑣₀²

2𝑎₂ =(11,76)²

2.1,96 = 35,28 𝑚

𝑔𝑖𝑑𝑖𝑙𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑦𝑜𝑙 = 𝑥 = 𝑥₁+ 𝑥₂ = 23,52 + 35,28 = 58,8 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒

5.4 Bir cisim, asansörün tavanına bağlı bir dinamometreye asılmıştır.

a) Asansör 4 m/ sn lik bir ivme ile yükselirken dinamometre 45 nt gösteriyor. Cismin gerçek ağırlığı nedir ?

b) hangi şartlarda dinamometre 35 nt gösterir ?

c) asansörün askı halatı koparsa dinamometre ne gösterir ? ÇÖZÜM.

a) Asansörde dinamometreye aşağı doğru ağırlığı, yukarı doğru 45 nt etkir.

Harekete sebep olan kuvvet 𝐹 = 𝑇 − 𝑊 = 𝑚. 𝑎

𝑚. 𝑎 = 𝑇 − 𝑚. 𝑔

𝑚 𝑎 + 𝑔 = 𝑇 𝑚 = 𝑇

𝑎 + 𝑔 𝑊 = 𝑚. 𝑔 = 𝑇

𝑎 + 𝑔. 𝑔 𝑊 = 45

4 + 9,8. 9,8 = 31,96 b) 𝐹 = 𝑇 − 𝑊 𝑚. 𝑎 = 𝑇 − 𝑊 𝑎 =^𝑇−𝑊_𝑚 𝑎 =^35−31,96

3,26 = 0,93 𝑚 𝑠𝑛² 𝑎 = 0,93 𝑚 𝑠𝑛² 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑇 = 35 𝑛𝑡 𝑜𝑙𝑢𝑟.

𝑚 =𝑤

𝑔 =31,96

9,8 = 3,26

T=45 nt

w

a

c) 𝐹 = 𝑚. 𝑔 𝑇 = 0 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑠ı𝑓ı𝑟ı 𝑔ö𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑟.

𝐹 = 𝑇 + 𝑊 𝑚. 𝑔 = 𝑇 + 𝑚. 𝑔 𝑇 = 0

5.5 2,5 gr lık bir cisim yatay bir düzlem üzerinde durmaktadır. Cisimle düzlem arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,30 kinetik sürtünme katsayısı 0,25 dır. Cisme değişken ve yatay bir P kuvveti etkimektedir. Bu kuvvet başlangıçta sıfırdır ve sn de 2 nt artmaktadır.

a) cisim ne zaman harekete geçer?

b)hareketin 8 saniyesinde ivme ne olur?

Çözüm

a) 𝐶𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛 𝑕𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡𝑒 𝑔𝑒ç𝑚𝑒𝑠𝑖 𝑖ç𝑖𝑛, 𝑃 = 𝑓_𝑠 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑙ı𝑑ı𝑟.

𝑓_𝑠 = µ_𝑠. 𝑁 = µ_𝑠. 𝑚. 𝑔 = 0,3 .9,8 .2,5 = 7,35 𝑛𝑡

1 𝑠𝑛 𝑑𝑒 2 𝑛𝑡 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑟𝑠𝑎 7,35 𝑛𝑡 𝑘𝑎ç 𝑠𝑎𝑛𝑖𝑦𝑒𝑦𝑒 𝑘𝑎𝑟şı𝑙ı𝑘 𝑔𝑒𝑙𝑖𝑟. 𝑡 =7,35

2 = 3,675 𝑠𝑛 𝑐𝑖𝑠𝑖𝑚 3,675 𝑠𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑟𝑎 𝑕𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑒𝑡𝑚𝑒𝑦𝑒 𝑏𝑎ş𝑙𝑎𝑟.

b) t = 8 sn a = ?

P = 7,35 + 2 . 8 = 23,35 nt

fk = µk . m . g = 0,25 . 2,5 . 9,8 = 6,125 nt

∑F = m . a P – fk = m . a 23,35 – 6,125 = 2,5 . a a = 7 m/sn²

5.6 Bir cisim yatayla θ açısı yapan bir düzlem üzerinde hareketsiz durmaktadır. Kinetik sürtünme katsayısı 0,50 ve statik sürtünme katsayısı 0,75 tir.

a) θ büyütülüyor. Cismin kaymaya başlayacağı θ açısını bulunuz.

b) Kayma başladığı zaman ivme değeri ne olur?

c) Cismin düzlem üzerinde 20 m kayması için geçecek zamanı hesaplayınız.

Çözüm

P N

W f

P N

W f_k

N

W W

y

W

x

F_s

θ

θ

a) µ_𝑘 = 0,50 µ_𝑠 = 0,75 𝑤_𝑥 = 𝑤. sin 𝜃 𝑓_𝑠 = 𝑚_𝑠. 𝑤. cos 𝜃 𝑤_𝑥 − 𝑓_𝑠 = 0 𝑤_𝑥 = 𝑓_𝑠 𝑤. sin 𝜃 = µ_𝑠. 𝑤. cos 𝜃 sin 𝜃

cos 𝜃 = µ_𝑠 = 0,75 b) 𝑤_𝑥 − 𝑓_𝑘 = 𝑚 . 𝑎 𝑤 . sin 𝜃 − µ_𝑘 . 𝑤 . cos 𝜃 = ^𝑤

𝑔. 𝑎 sin 37 − 0,50 . cos 37 = ^𝑎

9,8 0,6 − 0,5 .0,8 = ^𝑎

9,8 𝑎 = 0,2 .9,8 = 1,96 𝑚 𝑠𝑛² c) 𝑥 = 20 𝑚 𝑥 =¹

2. 𝑎 . 𝑡² 20 = ¹

2. 1,96 . 𝑡² 𝑡 = 4,52 𝑠𝑛

5.7 2 kg kütlede bir cisim 30^o eğimli uzun bir düzlem üzerinde 22 m/sn lik bir hızla yukarı doğru fırlatılıyor. Düzlemle cisim arasındaki sürtünme katsayısı 0,3 tür.

a) Cisim düzlem üzerinde ilerlerken etkiyen sürtünme kuvvetini bulunuz.

b) Cisim düzlem üzerinde ne kadar süre hareket eder?

c) Cisim düzlem üzerinde ne kadar ilerle

d) Cisim ( c ) deki konumundan ilk hareket noktasına ne kadar sürede gelir?

e) Bu noktaya hangi hızla gelir?

f) Cismin kütlesi 2 kg yerine 5 kg olsa idi yukarıdaki soruların cevapları değişir mi idi ? Çözüm:

a) 𝑚 = 2 𝑘𝑔 𝑣₀ = 22 𝑚 𝑠𝑛 µ = 0,3 𝑁 − 𝑤_𝑦 = 0 𝑁 = 𝑤_𝑦 = 𝑤. cos 30 𝑓 = µ . 𝑁 = 0,3 .2 .9,8 . cos 30 = 0,3 . 19,6 − 0,86 = 5,06 𝑛𝑡

b) ∑𝐹 = 𝑚 . 𝑎 𝑤_𝑥 = 𝑤 . sin 30 𝑤_𝑥 = 2 .9,8 .0,5 = 9,8 𝑛𝑡 𝑓 = 5,06 𝑛𝑡.

𝑉² = 𝑉₀− 𝑎. 𝑡 𝑡 =^𝑉𝑜

𝑎 = ²²

7,43 = 2,96 𝑠𝑛

𝑊_𝑥+ 𝑓 = 𝑚. 𝑎 9,8 + 5,06 = 2. 𝑎 𝑎 = 7,43 𝑚 𝑠 ² c) 𝑡 = 2,96 𝑠𝑛 𝑥 = 𝑉_𝑜. 𝑡 −¹

2𝑎𝑡²

N

W W

y

W

x

30

30

𝑥 = 22.2,96 −1

27,43(2,96)² = 32,57 𝑚 d)

𝐹_𝑘 = 𝑚. 𝑎 𝑊_𝑥− 𝑓_𝑘 = 𝑚. 𝑎 9,8 − 5,06 = 2. 𝑎 𝑎 = 2,37 𝑚 𝑠 ² 𝑥 = 32,57 𝑚 𝑥 =1

2𝑎𝑡² 32,57 =1

22,37. 𝑡² 𝑡 = 5,24 𝑠𝑛

N

W W

y

W

x

30

30 f_k

e) 𝑣 = 𝑎. 𝑡 = 2,37.5,24 = 12,42 𝑚/𝑠𝑛

f) a da değişir. b c d e’ de değişmez. 𝑎 = 𝑔. (sin 30 + 𝜇. cos 30) ivme kütleye bağlı değildir.

5.8 200 gr lık bir cisim 800 gramlık bir cismin üzerinde bulunuyor. Bu sistem şekilde görüldüğü gibi 200 gr lık bir cisim yardımıyla yatay bir düzlem üzerinde sabit bir hızla çekiliyor.

a) İlk 200 gr lık cisim şekil (a) da görüldüğü gibi 800 gramlık cismin üzerinden alınıp, askıdaki 200 gramlığa bağlanınca sistemin ivmesi ne olur?

b) Şeklin (b) kısmında 800 gr lık cisme bağlı sicimdeki gerilim nedir?

Çözüm: a)

Sistem sabit hızla hareket ettiği için Dengenin 1.ci şartı : A cismi için; 𝑇 − 𝑓 = 0 𝑇 = 𝑓

B cismi için; 𝑊_𝐵 − 𝑇 = 0 𝑊_𝐵 = 𝑇 = 200.980 = 196000 𝑑𝑦𝑛

𝑇 = 𝑓 = 𝜇. 𝑁 = 𝜇. 1000.980 196000 = 𝜇. 980000 𝜇 =196

980= 0,2 𝑜𝑙𝑢𝑟.

A cismi için; 𝑇 − 𝑓 = 800. 𝑎 B cismi için; 𝑊_𝐵− 𝑇 = 400. 𝑎

200 gr 800 gr

200 gr Şekil a

800 gr

200 gr

200 gr Şekil

b

200 gr 800 gr

200 gr Şekil a

800 gr

200 gr

200 gr Şekil

b w

N

T f

A A

B

N

wA

f

Wb

T T

W_b T

𝑊_𝐵 − 𝑓 = 1200. 𝑎 𝑎 =392000 − 156800

1200 = 196 𝑐𝑚 𝑠 ² b) 𝑊_𝐵 = 400.980 = 392000 𝑑𝑦𝑛

𝑓 = 𝜇_𝑠. 𝑁 = 0,2.800.980 = 156800 𝑑𝑦𝑛 𝑇 = 800.196 + 156800 = 313600 𝑑𝑦𝑛

5.9 Şekildeki A cisminin ağırlığı 3 n, B cisminin ağırlığı 30 n dur. B cismi ile yatay düzlem arasındaki sürtünme katsayısı 0,1 dir.

a) B nın ivmesi sağa doğru ve 6 m/sn² olduğuna göre O cisminin ağırlığı nedir?

b) B nın ivmesi yukarıdaki değerde iken sicimlerin her birindeki gerilim ne kadardır?

Çözüm: a)

A cismi için 𝑇₁− 𝑊_𝐴 = 𝑚_𝐴. 𝑎 … (1) B cismi için 𝑇₂− 𝑇₁− 𝑓_𝐵 = 𝑚_𝐵. 𝑎 … (2) C cismi için 𝑊_𝑐 − 𝑇₂ = 𝑚_𝑐. 𝑎 … (3) 𝜇 = 0,1

1 den 𝑇₁− 3 = ³

9,8. 𝑎 𝑇₁ = 0,3. 𝑎 + 3 = 4,8 2 den 𝑇₂− 3 − 0,3𝑎 − 0,1.30 = ³⁰

9,8𝑎 𝑇₂− 6 = 3,06. 𝑎 + 0,3. 𝑎 𝑇₂ = 6 + 3,36.6 = 26,16 𝑊_𝑐− 6 − 3,36. 𝑎 = 𝑊_𝑐

9,8. 𝑎 𝑊_𝑐 − 6 − 21,96 = 6

9,8. 𝑊_𝑐 𝑊_𝑐 = 67,58 𝑛𝑡.

b) 𝑇 = 3 + 0,3.6 = 4,8 𝑛𝑡 𝑇₂ = 26,16 𝑛𝑡

A

B

C

A

B

C T

1

WA=3 n

WC=?

T

2

T

2

N

W_B=3 0 fB

T

1

5.10 Şekilde görüldüğü gibi hafif sürtünmesiz bir makaradan geçen sicimin uçlarına 100 er gramlık ağırlıklar asılmıştır. 40 gramlık başka bir ağırlık cisim üzerine konulmuş ve 2 saniye sonra kaldırılmıştır.

a) 40 gramlık cisim kaldırılınca ilk saniye içinde cisimler ne kadar yol gider?

b) 40 gramlık cisim kaldırılmadan evvel sicimdeki gerilim ne kadardır? Bu ağırlık kaldırılınca ne olur?

c) 40 gramlık ağırlık kaldırılmadan makaranın asıldığı sicimdeki gerilim ne kadardır?

Makaranın ağırlığını ihmal ediniz.

Çözüm:

𝑊_𝐴𝑥 = 𝑊_𝐴. sin 30 = 100.0,5 = 50 𝑛𝑡 𝑊_𝐵𝑥 = 𝑊_𝐵. sin 53 = 50.0,8 = 40 𝑛𝑡 𝑊_𝐴𝑥 > 𝑊_𝐵𝑥 𝑜𝑙𝑑. 𝑕𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑎 𝑑𝑜ğ𝑟𝑢𝑑𝑢𝑟.

A cismi için; 𝑊_𝐴𝑥 − 𝑇 = 𝑚_𝐴. 𝑎 B cismi için; 𝑇 − 𝑊_𝐵𝑥 = 𝑚_𝐵. 𝑎

𝑊_𝐴𝑥 − 𝑊_𝐵𝑥 = 𝑎 𝑚_𝐴+ 𝑚_𝐵 50 − 40 = 𝑎 10,2 + 5,1 𝑎 = 10

15,3= 0,65 𝑚 𝑠𝑛² 𝑇 = 𝑊_𝐴𝑥 − 𝑚_𝐴. 𝑎 = 50 − 10,2 .0,65 = 43,37 𝑛

5.11 10 n luk iki ağırlık şekilde görüldüğü gibi bir sicimin uçlarına bağlanmıştır. Cisimlerden birisinin 2 saniyede 4 m yol alması için üzerine ne kadar bir ağırlık eklenmelidir?

100

N 50 N

30 53

100

N 50 N

30 53

N

WA x

T T

WA y

W_A WB

x

WB y

W_B

N

10 nt 10 nt

Çözüm : WA=WB =10 nt t = 2 sn x = 4 m 𝑥 =¹

2𝑎. 𝑡² 4 =¹

2𝑎. 4 = 2. 𝑎 a = 2 m / sn² A cismi için ; T- WA = mA . a

B cismi için ; ( WB +W^’ ) – T = ( mB+m^’ ).a WB +W^’ – WA = (mA + mB +m^’ ) .a

W^’ = a.[( 1,02+1,02+ (W^’ / 9,8)]

W^’ = a. [(2,04 + ( W^’ / 9,8)] W^’ = 5,13 nt

5.12 Aşağıdaki ifadenin doğru veya yanlışlığını açıklayınız. Bir elmanın yere düşeceği yerde dünyanın elmaya doğru yaklaşmama sebebi, dünyanın elmaya nazaran çok büyük olması ve elmaya daha büyük çekim kuvveti uygulamasıdır.

Çözüm: Evrendeki bütün kütleler birbirlerini 𝐹 = 𝐺^𝑚1_𝑟^𝑚₂² aynı kuvvetle çekerler. Yalnız burada kütlesi büyük olanın ivmesi küçük kütlesi küçük olanın ivmesi büyük olur.

Dolaysıyla elmanın ivmesi büyük olur ve elma dünyaya doğru hareket eder. O halde ifade yanlış olur.

5.13 G yi ölçmekte kullanılan bir Cavendish terazisinde 800 gramlık bir kürenin 4 gramlık diğer bir küreyi, merkezleri arasındaki uzaklık 4 cm iken 13 . 10^-6 dyn lik bir kuvvetle çektiği görülmüştür. Dünya yüzeyinde yer çekim ivmesi 980 cm/sn² ve dünyanın yarıçapı 6400 km dir. Bu verilere göre, dünyanın kütlesini bulunuz.

Çözüm: 𝐹 = 𝐺.^𝑚1_𝑟^𝑚₂ ² 𝐺 =_𝑚^𝐹.𝑟2

1𝑚₂ =^13.10−6.16

800.4 = 6,5. 10⁻⁸ 𝑑𝑦𝑛. 𝑐𝑚²/𝑔𝑟 𝑔 = 𝐺𝑀_𝑒

𝑟² 𝑀_𝑒 =𝑔. 𝑟²

𝐺 =980. (6400. 10³. 10²)²

6,5. 10⁻⁸ = 40559. 10²³𝑔𝑟

5.14 Her biri 6400 gram olan iki küre A ve B noktalarına tesbit edilmiştir. Yalnız A ve B noktalarındaki kürelerin çekim etkisinde bulunan, P noktasındaki 10 gramlık kütlenin doğrultusunu bulunuz.

Çözüm:

𝐹_𝐴 = 𝐺.^{𝑚𝐴𝑚𝐵}

𝑟² = 6,67. 10⁻⁸.^{6400 .10}

100

𝐹_𝐴 = 4,27. 10⁻⁵ 𝑑𝑦𝑛 𝐹_𝐵 = 4,27. 10⁻⁵ 𝑑𝑦𝑛

10 nt 10 nt

W_A WB

T T

W^’ A

B

10 gr

6400 gr

6400 gr

FA FB

A B

10 cm 10 cm

6 cm

8 cm 8 cm

α α

𝐹 = 𝐹_𝐴. cos 𝛼 + 𝐹_𝐵. cos 𝛼 = 2. 𝐹_𝐴. cos 𝛼 = 2 .4,27. 10⁻⁵. 0,6 = 5,12. 10⁻⁵ 𝑑𝑦𝑛

5.15 Ayın kütlesi yer kütlesinin seksen birde biri ve yarıçapı yerindekinin dörtte biridir. Ay üzerindeki çekim ivmesi ne kadardır?

Çözüm:

𝑀_𝐴 = 𝑀_𝑒

80 ç𝑒𝑘𝑖𝑚 𝑘𝑢𝑣𝑣𝑒𝑡𝑖 𝑔_𝐴 = 𝐺.𝑀_𝐴 𝑅_𝐴² 𝑅_𝐴 =𝑅_𝑒

4 , 𝑅_𝑒

𝑅_𝐴 = 4 , 𝑔_𝑒 = 𝐺.𝑀_𝑒 𝑅_𝑒²

𝑔_𝐴 𝑔_𝑒 =

𝐺.𝑀_𝐴 𝑅_𝐴² 𝐺.𝑀_𝑒 𝑅_𝑒²

=𝑀_𝐴 𝑅_𝐴².𝑅_𝑒²

𝑀_𝑒 = 1

80. 16 =16

80 𝑔_𝐴 =16

80. 9,8 = 1,96 𝑚

𝑠𝑛² 𝑜𝑙𝑢𝑟.

5.16 Şekilde görüldüğü gibi yatayla 30⁰ açı yapan ve uzunluğu 4 m olan bir eğik düzlemin üzerinde kütlesi m olan bir cisim en üst noktadan harekete başlıyor.

a)Bütün yüzeylerde sürtünme katsayısı 0,2 ise cismin B noktasında sahip olduğu hızı ?

b)Cisim yatayda duruncaya kadar aldığı yolu bulunuz. (g = 10 m / sn² )

Çözüm :

Sin30 = h / 4 h = 2 m AB = 4 m

a) AB arası için Newton’un 2.kanunu: ∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎₁ 𝑊_𝑋 − 𝑓₁ = 𝑚. 𝑎₁ A

B C

30^O h

AB=4 m N

N W

W WX

WY

f1

A

B C

30O h

AB=4 m N N W

W WX WY f1

f2 VA=0

VC=0 30

f2

A

B C

30O h

AB=4 m N N W

W WX WY f1

f2 VA=0

VC=0 30

VA= 0

V_C= 0

30

C A

h

B 30^O

AB=4 m

𝑊. 𝑠𝑖𝑛30 − µ_𝑘. 𝑊. 𝑐𝑜𝑠30 =^𝑊

𝑔.a1

10 (0,5-0,2.0,86) = a1 , a1 = 3,28 m / sn² 𝑣_𝐵² = 𝑣_𝐴²+ 2. 𝑎_1.𝐴𝐵

𝑉_𝐵² = 2.3,28.4 = 26,24 𝑉_𝐵 = 5,12 𝑚/𝑠𝑛 b) BC arası için Newton’un 2.kanunu: ∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎₂

𝑓₂ = 𝑚. 𝑎₂ 𝜇. 𝑚. 𝑔 = 𝑚. 𝑎₂ 𝑎₂ = 0,2.10 = 2 𝑚/𝑠𝑛²

𝑉_𝑐² = 𝑉_𝐵²− 2. 𝑎₂. 𝐵𝐶 𝑉_𝐵² = 2.2. 𝐵𝐶 26,24 = 4. 𝐵𝐶 𝐵𝐶 = 6,56 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒

5.17 Şekilde görüldüğü gibi yolun KL arası sürtünmeli olup eğik düzlem sürtünmesizdir.Kütlesi 2 kg olan cisim v hızıyla K noktasından harekete başlıyor.KL boyunca cisme f = 5 nt lük bir sürtünme kuvveti etki etmektedir. Cisim KL yolunu geçtikten sonra eğik düzlemin N noktasına kadar çıkabildiğine göe cismin v hızını bulunuz. g=10 m/sn²

Çö𝑧ü𝑚 ∶ 𝑓 = 5 𝑛𝑡 𝑓 = µ . 𝑚 . 𝑔

vK

K L

N

4 m N

N

f

w

θ w

w_x

wy

vK

K L

N

4 m

θ KL

=4m

KL arası için hareket denklemi :

∑𝐹 = 𝑚 . 𝑎₁ 𝑓 = 𝑚 . 𝑎₁ µ . 𝑚 . 𝑔 = 𝑚 . 𝑎 5 = 2 . 𝑎₁ 𝑎₁ = ⁵

2= 2,5 𝑚 𝑠𝑛² 𝑣_𝐿² = 𝑣_𝐾² − 2 . 𝑎₁. 𝐾𝐿 𝑣_𝐿² = 𝑣_𝐾² − 2 .5

2. 4 𝑣_𝐿² = 𝑣_𝐾² − 20 1 sin 𝜃 = 4

𝐿𝑁 Eğik düzlemde hareket denklemi :

∑𝐹 = 𝑚 . 𝑎 𝑤_𝑥 = 𝑚. 𝑎₂ 𝑚. 𝑔. sin 𝜃 = 𝑚. 𝑎₂ 10. 4

𝐿𝑁= 𝑎₂ 𝑎₂ = 40 𝐿𝑁 𝑣_𝑁² = 𝑣_𝐿²− 2. 𝑎₂. 𝐿𝑁 𝑣_𝐿² = 2 .40

𝐿𝑁. 𝐿𝑁 = 80 𝑣_𝐿² = 80 1 𝑑𝑒 𝑦𝑒𝑟𝑖𝑛𝑒 𝑘𝑜𝑦 80 = 𝑣_𝐾² − 20 𝑣_𝐾² = 100 𝑣_𝐾 = 10 𝑚 𝑠𝑛

5.18 Şekilde görüldüğü gibi bir cisim A noktasından serbest bırakılıyor. Eğik düzlemi indikten sonra yatayda ne kadar yol alır. g =10 m/sn² , cos37 = 0,8 , sin37 = 0,6

Çözüm : vA = 0

AB arası için hareket denklemi : ∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 𝑤_𝑥 − 𝑓 ₁ = 𝑚. 𝑎 m.g.sin37 - µ1.m.gcos37 = m.a 10.0,6- 0,1.10.0,8 = a

a = 6-0,8 = 5,2 m / sn² 𝑣_𝐵² = 𝑣_𝐴²+ 2. 𝑎. 𝐴𝐵

𝑣_𝐵² = 2.5,2.25 = 260 𝑠𝑖𝑛37 =_𝐴𝐵¹⁵ 𝐴𝐵 =_0,6¹⁵=25 m

A

C B

15 m

37⁰

µ1 =0,1 µ2 =0,1

15 m A

C B

37⁰

µ1 =0,1

µ₂ =0,1

w1

w1x w_1y

w2

N2

N₁ f₁

f2

𝑣_𝐵²= 260 𝑣_𝐵 = 16,2 𝑚/𝑠𝑛

BC arası için hareket denklemi : ∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎 , µ.m.g = m.a a = 0,2. 10 = 2 m / sn² 𝑣_𝐶 ² = 𝑣_𝐵² − 2. 𝑎. 𝐵𝐶 260 = 2.2. 𝐵𝐶 𝐵𝐶 =²⁶⁰₄ = 65 𝑚

5.19 Şekildeki m1 kütlesi 4 kg ve m2 kütlesi 2 kg dır. m2 ile yatay düzlem

arasındaki sürtünme katsayısı 0,5 ve eğik düzlem sürtünmesizdir.

a) ipteki gerilim kuvvetini

b) blokların ivmesini bulunuz. sin30 = cos60 = 0,5 , sin60= cos30 = 0,86 , g = 10 m / sn² Çözüm:

Üstteki cisim için Nt. 2.Kanunu

𝑇 − 𝑓 = 𝑚₁. 𝑎 𝑓 = 𝜇. 𝑁₂ = 0,5.20 = 10 𝑛𝑡 𝑇 − 10 = 2. 𝑎

𝑁₂− 𝑊₂ = 0 𝑁₂ = 𝑊₂ = 2.10 = 20 𝑛𝑡.

Eğik düzlemdeki cisim için;

𝑊_1𝑥 − 𝑇 = 𝑚₁. 𝑎 𝑊_1𝑥 = 4.10. sin 30 = 40.0,5 = 20 𝑛𝑡.

𝑁₁− 𝑊_𝑦 = 0 20 − 𝑇 = 4. 𝑎 𝑇 − 10 = 2. 𝑎

20 − 𝑇 = 4. 𝑎

10 = 6. 𝑎 𝑎 =10

6 = 1,66 𝑚 𝑠𝑛² 𝑇 = 2.1,666 + 10 = 13,33 𝑛𝑡.

30⁰

m1

m2

µ=0,5

30⁰

µ=0,5 N₁

W_1x

W1y

W₂ N2

f T T

W1

5.20 Birbirine iple bağlanmış wA =35,6 nt , wB =71,2 nt ağırlığındaki iki blok 30⁰ lik bir eğik düzlemden aşağı doğru kayıyorlar. 35,6 nt luk blok ile düzlem arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,1 ve 71,2 nt luk blok ile düzlem arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,2 dir.

a) Blokların ivmesini bulunuz.

b) 35,6 nt luk bloğun önde gittiğinde ipteki gerilimi bulunuz.

c) Blokların yeri değiştirilirse ipteki gerilim ne olur. g = 10 m / sn² Çözüm: a)

A cismi için H.D. ;

𝑊_𝐴. sin 30 − 𝑇 − 𝜇_𝑥. 𝑊_𝐴. cos 30 = 𝑚_𝐴. 𝑎 B cismi için H.D. ;

𝑊_𝐵. sin 30 + 𝑇 − 𝜇_𝐵. 𝑊_𝐵. cos 30 = 𝑚_𝐵. 𝑎

35,6.0,5 − 𝑇 − 0,1.35,6.0,86 =35,6 10 𝑎 71,2.0,5 + 𝑇 − 71,2.0,2.0,86 =71,2

10 𝑎 14,74 − 𝑇 = 3,56. 𝑎

23,35 + 𝑇 = 7,12. 𝑎

38,09 = 10,68. 𝑎 𝑎 = 38,09

10,68= 3,56 𝑚 𝑠𝑛²

b) 𝑇 = 7,12.3,56 + 12,25 − 35,6 = 25,34 + 12,25 − 35,6 = 1,99 𝑛𝑡

c) Bu durumda T=0 olur.Bloklar birbirlerinden bağımsız hareket ederler. Belli bir zaman sonra birinci blok ikinciye çarpar.

A

B

30⁰

30⁰

WBx

WAy

W_A NA

fA

A

T

T WB W_By

N_B

fB

B

WAx

5.21 Şekildeki sistem yukarı doğru 2 sn hareket ettikten sonra ip kopuyor.

m1 kütleli cisim ile eğik düzlem arasındaki sürtünme kuvveti 25 nt dur. İp koptuktan sonra m1 kütleli cisim kaç sn daha eğik düzlem üzerinde yukarı doğru hareket eder. g = 10 m / sn²

Çözüm:

𝑚₁= 𝑚₂= 10 𝑘𝑔 𝑓 = 25 𝑛𝑡 𝑔 = 10 𝑚 𝑠𝑛²

𝑚₁ 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖 𝑖ç𝑖𝑛 𝑕𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖 ;

∑𝐹 = 𝑚₁ . 𝑎 − 𝑤_𝑥 − 𝑓 + 𝑇 = 𝑚₁ . 𝑎 𝑚₂ 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖 𝑖ç𝑖𝑛 𝑕𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖

∑𝐹 = 𝑚₂. 𝑎 𝑤₂− 𝑇 = 𝑚₂ . 𝑎 𝑇 − 𝑤_𝑥 − 𝑓 = 𝑚₁ . 𝑎

𝑤₂− 𝑇 = 𝑚₂ . 𝑎 𝑇 − 50 − 25 = 10 . 𝑎

100 − 75 = 20 . 𝑎

𝑎 = 25

20= 1,25 𝑚 𝑠𝑛²

𝑤_𝑥 = 𝑤₁ . sin 30 = 10 .10 .0,5 = 50 𝑛𝑡 𝑐𝑖𝑠𝑖𝑚 𝑏𝑢 𝑖𝑣𝑚𝑒 𝑖𝑙𝑒 𝑡 = 2 𝑠𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑢𝑑𝑎 𝑕ı𝑧

𝑣₂= 𝑣₁+ 𝑎 . 𝑡 𝑣₁= 0 𝑣₂ = 1,25 . 2 = 2,5 𝑚 𝑠𝑛 𝑜𝑙𝑢𝑟.

İp kopunca;

∑𝐹 = 𝑚 . 𝑎 𝑤𝑥 + 𝑓 = 𝑚 . 𝑎 50 + 25 = 10 . 𝑎 10 . 𝑎 = 75 𝑚 𝑠𝑛² 𝑣 = 𝑣₀− 𝑎 . 𝑡 𝑣 = 0 𝑣₀ = 2,5 𝑚 𝑠𝑛

𝑡 = 𝑣₀ 𝑎 =2,5

7,5= 1

3 𝑠𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑟.

m1

m₂ 30⁰

a m₁ =m₂=10

kg

30⁰

N

WX

W_y W1

W2

f

T T

30⁰

N

W_X

Wy

W1

f

5.22 20^o eğimli bir rampa üzerinde Vo ilk hızı ile yukarı doğru atılan paket B noktasında durduktan sonra tekrar A noktasına geliyor.

Paket B noktasına 2,4 sn’de. B’den A’ya ise 4,5 sn’de eriştiğine göre

a) Paket ile rampa arasındaki sürtünme katsayısını

b) A ile B arasındaki uzaklığı

c) Paketin A noktasındaki ilk ve son hızını bulunuz. Problem Newton’un 2.inci kanununa göre çözülecek. ( Sin 20^o = 0,34 cos 20^o = 0,94 )

Çözüm:

𝑕ı𝑧 𝑣 = 𝑣₀− 𝑎₁. 𝑡₁ 𝑣₀ = 𝑎₁. 𝑡₁

𝑦𝑜𝑙 𝑑 = 𝑣₀. 𝑡₁− 1

2. 𝑎₁. 𝑡₁² 𝑑 = 1

2. 𝑎₁. 𝑡₁² (1) 𝑤_𝑥 + 𝑓 = 𝑚 . 𝑎₁

𝑚 . 𝑔 . sin 𝛼 + µ . 𝑚 . 𝑔 . sin 𝛼 = 𝑚 . 𝑎₁ 𝑎₁= 𝑔 (sin 𝛼 + µ . cos 𝛼)

1 𝑣𝑒 2 𝑑𝑒𝑛 1

2. 𝑎₁. 𝑡₁² =1 2. 𝑎₂. 𝑡₂² 𝑎₁

𝑎₂=𝑡₂²

𝑡₁² 𝑔 sin 𝛼 + µ. cos 𝛼

𝑔 sin 𝛼 − µ . cos 𝛼 = 4,5 ² 2,4 ² µ = 0,203 çı𝑘𝑎𝑟.

𝑕ı𝑧 𝑣_𝐴 = 𝑣₀+ 𝑎₂. 𝑡₂ 𝑣_𝐴 = 𝑎₂. 𝑡₂

𝑦𝑜𝑙 𝑑 = 1

2. 𝑎₂. 𝑡₂² (2) 𝑤_𝑥 − 𝑓 = 𝑚. 𝑎₂

𝑚 . 𝑔 . sin 𝛼 − µ . 𝑚 . 𝑔 . cos 𝛼 = 𝑚 . 𝑎₂ 𝑎₂= 𝑔 ( sin 𝛼 − µ . cos 𝛼) 𝑏) 𝑎₁= 10 (0,34 + 0,2 .0,94)

𝑎₁= 5,28

𝑑 = 1

2 . 5,28 . (2,4)²= 1

2. 5,28 .5,76 𝑑 = 15,2 𝑚

20^o A B

V₀

20^o A B

V0

N

f Wx

Wy

W

20^o A B

V N

f Wx

Wy

W