MATEMATİK ÖĞRETİMİ II
Sınıf Eğitimde Matematik Eğitimi ve Temel Kavramlar
MATEMATİK NEDİR?
CALCULUS
MATEMATİĞİN GELİŞİMİ-1
• Yapılandırılmış bir öğretim alanı olarak matematik yaklaşık 5000 yıl önce Sümerler ve daha sonra Mısırlılar tarafından geliştirilmiştir.
Ancak insan yaşamında matematiğin var oluşu incelendiğinde avcı ve toplayıcı ilk insanın günlük tüketim gereksiniminden daha fazla yiyeceğe sahip olduğunda bunları saklama çabalarına, yani 5000 yıldan çok daha öncelere kadar gidilmektedir.
MATEMATİĞİN GELİŞİMİ-2
• Bu saklama gereksinimi ve saklananların bir şekilde kayıtlarının tutulması zorunluluğu tarımın keşfiyle daha da önem kazanmıştır.
Önceleri sadece bir (1), iki (2) ve çok kavramları varken daha yüksek sayıların kullanılmaya başlanması bile çok daha sonraki yıllara denk gelmektedir (Struik, 1987).
MATEMATİĞİN GELİŞİMİ-3
• İnsanoğlunun, matematiğe ilk ihtiyaç duymasının, sahip olduğu hayvan ya da nesnelerin sayısını bilme konusu ile ilgili olması büyük bir olasılıktır.
• Bu ihtiyaç doğrultusunda, ilk insanlar sayıları kullanmadan önce, ağaç parçaları ya da kemikler üzerine çentikler atıyorlardı.
• Bu yönteme ait ilk arkeolojik kanıtlar, Aurignac döneme (M.Ö. 35000 - M.Ö. 20000) aittir.
MATEMATİĞİN GELİŞİMİ-4
• 1937 yılında arkeologlar, Çekoslovakya’da, yaklaşık otuz bin yıllık, bir kurda ait, üzerinde çentikler bulunan bir ön kol bulmuşlardır.
• Kol üzerine atılmış çentiklerin beşli gruplar halinde olması dikkati çekmiş, buna dayanarak, o çağ insanının sayılarda beşlik sistem kullandıkları tarzında bir yorum ortaya çıkmıştır.
MATEMATİĞİN GELİŞİMİ-5
• İnsan eliyle yapılmış en eski matematiksel nesnelerden bir diğeri, İsviçre’nin Lebombo dağlarında bulunmuş Lebombo Kemiği’dir.
Üzerinde 29 adet çentik bulunan ve bir maymun türü olan babuna ait bu kemik yaklaşık 37.000 yıl öncesine aittir.
MATEMATİĞİN GELİŞİMİ-6
• Daha karmaşık bir sayma sistemini yansıtan İshango Kemiği de Afrika’da bulunmuş ve yaklaşık 20.000 yaşındadır. Yine bir babunun fibula kemiği (kaval kemiği) kullanılarak yapılan bu sayma işleminin, ayın evrelerini temsil ettiği düşünülmektedir.
MATEMATİĞİN GELİŞİMİ-7
Kitap
• Matematiğin tarihi hakkında:
• Struik, D.J. (1996). Kısa matematik tarihi.
(Çeviren: Yıldız Silier). İstanbul: Sarmal.
MATEMATİK NEDİR? 1
• Sıkça sorulan “Matematik nedir?” sorusuna verilen yanıtlar pek çok farklı algılayışı yansıtabilir. Matematikçi olarak bilinen bilim insanları bile birbirinden çok farklı tanımlarla çalıştıkları alanı açıklamaya çalışmışlardır. Türk Dil Kurumu da matematiği “aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline dayanarak niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adı” olarak tanımlamıştır.
MATEMATİK EĞİTİMİ-1
• Neden matematik öğretmemiz gerekir?
MATEMATİK EĞİTİMİ-2
• İlkokulda sunulacak nitelikli bir eğitim, sonrasındaki eğitim hayatında genel başarı düzeyini yükseltecektir.
• Çocuklar doğal bir keşfetme arzusuyla doğarlar. Son yıllardaki beyin ile ilgili araştırmalar, çocukların doğar doğmaz öğrenmeye hazır olduklarını belirlemiştir (Begley, 1997; Simmons ve Sheehan, 1997).
Örnek
MATEMATİK EĞİTİMİ-3
• Matematik özünde soyut bir olgudur.
• Aynı zamanda hiyerarşik bir yapıya da sahiptir.
• Matematiksel bir kavramı öğrenebilmek için onun öncülü olan kavramı bilmek gerekir.
MATEMATİK EĞİTİMİ-4
• Örneğin, “üç” bir soyutlamadır ve değişik nesnelerin üçlü gruplarını (üç tane elma, üç tane kalem, üç tane saat vb.) tanıyarak ve onlarla deneyimler yaşayarak bu kavramı anlayabilir çocuklar.
MATEMATİK EĞİTİMİ-5
• Bu kavramın üstünde de daha soyut bir kavram olan “sayı” vardır. Çocuğun sayı kavramını anlayabilmesi için önce “bir”, “iki”,
“üç” gibi kavramları anlamış olması gerekir.
Ancak bundan sonra daha da soyut olan
“sayıların toplanması” ya da “sayıların çıkarılması” gibi kavramları öğrenebilir (Liebeck, 1984).
Kavramsal Bilgi-1
• Çocuklar bir eğitim kurumuna gelmeden önce matematikle ilgili doğal yollardan edindikleri yapılandırılmamış (informal) bilgilere sahiptirler. Bu tür bilgilere kavramsal bilgi adı verilir.
Kavramsal Bilgi-2
• Kavramsal bilgi, bir matematiksel işlemin neden boyutuyla ilgilenir ve işlemin ardında yatan mantığı açıklamaya çalışır. Bu tür bilgiler çocuk tarafından çeşitli duyular aracılığıyla evde ya da oyun ortamlarında sezgisel olarak ve keşfederek kazanılır ve karşılaşılan problemleri çözmeye yarar.
İşlemsel Bilgi-1
• İkinci bir bilgi türü de işlemsel bilgi olarak adlandırılmıştır. Kavramsal bilginin aksine, işlemsel bilgi matematiksel işlemlerin nasıl boyutuyla ilgilidir.
İşlemsel Bilgi-1
• Genellikle okulda öğretim yoluyla edinilir ve semboller kullanmayı gerektiren problemleri çözebilmek için gerekli kurallar ve işlem basamaklarından oluşur. Bu iki tür bilgiyi ilişkilendirmek her zaman kolay olamamaktadır.
Örnek
• Brezilyalı sokak çocuklarının topladıkları meyveleri sokakta satarken matematiği kullanabildikleri fakat okul ortamında sunulan benzer bir matematiksel problemi çözemedikleri bulunmuştur.
Örnek
• Sınıfta yeni matematik kavramları tanıtmak işlemsel bilgi olarak tanımlanabilir. Bu işlemsel bilgiyle çocukların geçmişten getirdikleri kavramsal bilgiler arasında doğal bağlantılar kurmaları sağlanmalıdır.
Erken Çocukluk Dönemi
Kavram Gelişimi
Kavram Gelişimi-1
• Dokunarak, gözleyerek, koklayarak, duyarak, tadarak, hissederek çevreyi anlamak...
• Çocukta duyusal deneyimlerle geliştirilen kavram öğrenimi; bilişsel gelişimi desteklerken, fiziksel, duygusal ve estetik gelişimi de olumlu yönde etkilemektedir.
Dale Yaşantı Konisi
Hikaye-1
• Genç bir balık karadaki hayatı öyle merak ediyordu ki. Ancak su dışında nefes alamadığı için oraya gitme, inceleme ve öğrenme şansı yoktu. Yalnız kendisi gibi suda büyüyen bir kurbağa yavrusu (iribaş) arkadaşıydı ve bir gün karaya çıkma fırsatı olacaktı. O gün çabucak geldi ve dışarı çıkan kurbağa karada birkaç hafta geçirdikten sonra suya geri döndü ve genç balığa heyecanla gördüklerini şöyle aktardı:
Hikaye-2
• “Bir oraya gittim bir buraya, gezdim durdum anlayacağın. Ve olağanüstü şeyler gördüm.”
dedi kurbağa. “Ne gibi?” diye merakla sordu balık. “Kuşlar,” dedi esrarengiz bir sesle kurbağa. “Kuşlar!” ve balığa, kuşların kanatlarından, iki ayaklı olduklarından ve çok değişik renkleri olduğundan bahsetti. Kurbağa konuştukça genç balığın kafasında kuş tüyleriyle bezenmiş bir balık uçmaya başladı.
Hikaye-3
• Kurbağa gördüklerini anlattıkça balık onları da hayal etmeye devam etti: Siyah beyaz benekli, boynuzları olan inek görünümlü bir balık;
ayakları üzerinde yürüyen ve giyimli olan insan benzeri balıklar ve rengârenk kanatları olan uçan balıklar...
• Balığın zihninde canlanan resim nasıl olur?
Hikaye-4
Dale Yaşantı Konisi
Korunum
• Üç-beş yaş grubundaki çocukların çoğu, kutuların birer birer karşılıklı dizilmiş olmalarından dolayı aynı sayıda olduklarını bilir. Ardından, çocuklar izlerken, sıralardan birindeki kutuları birbirlerinin karşısına gelmeyecek şekilde daha geniş bir alana yayılırsa…
• Beş yaşın altındaki pek çok çocuk bu diziliş karşısında sıralardan birine hiçbir kutu eklemeden sadece daha geniş bir alana yaydığını görmüş olsa da, daha uzun olan sırada daha fazla kutu olduğunu belirtmiştir.
Korunum
• Piaget, bu deneyin sonuçlarına dayanarak, sayı kavramının okulöncesi dönem çocuklarının kapasitelerini aştığına inanmıştır. Buna göre, çocuklar yaklaşık 7-11 yaşlarını kapsayan Somut İşlemler Dönemine gelmeden sayı kavramını anlayıp öğrenemezler.
• Nesnenin farklı fiziksel konumlarını zihinde tutabilme ve hatırlayabilmeye becerisine korunum ismi verilir
Güncel
• Ancak, son 25 yılda gerçekleştirilen deneysel çalışmalar (Xu, 2003), , henüz altı aylık bebeklerin bile sayıları ayırt edebildiklerini ispatlamıştır. Ayrıca aylık bebekler üzerinde yapılan bir dizi çalışmada bebeklerin iki boyutlu ve üç boyutlu nesnelerdeki sayısal farkları ayırt ettikleri gözlenmiştir.
Güncel
• Örneğin bebekler kendilerine gösterilen ve üzerinde 8 nokta bulunan çizimin, üzerinde 16 nokta bulunan çizimden farklı olduğunu algılamıştır. Üç-dört yaş grubu çocuklar da henüz anaokuluna başlamadan 5’e kadar sayma gibi çeşitli sayısal becerilere sahiptir.
Ancak bu sayma işlemi ezbere mi yapılıyor yoksa gerçekten 5 sayısının anlamı bilinerek mi yapılıyor bunun belirlenmesi gerekir.
MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM
PROGRAMININ GENEL AMAÇLARI
Matematik Öğrenme Sürecinde
Temel Beceriler
Karşılaştırma
• İki nesnenin boyut, renk, şekil gibi özelliklere göre aynı ya da farklı olup olmadığını belirleme işlemidir. Örneğin, verilen bir oyuncak yemek setinin içinden çocuğun sadece çatalları seçmesini istemek bir karşılaştırma yapmasını gerektirir. Çocuğun nelerin çatal olduğunu bilmesi gerektiği gibi, nelerin çatal olmadığını bilmesi de gerekir.
Karşılaştırma
• Bu tür etkinliklerde kullanılabilecek bazı kelimeler ‘uzun’, ‘kısa’, ‘aynı uzunlukta’, ‘daha az’, ‘düz’, ‘yuvarlak’, ‘altında’, ‘üstünde’ olarak sıralanabilir. İlk karşılaştırma etkinliklerinde çocukların o anda zaten bildikleri kavramlar ve tanıdıkları nesneleri kullanmak, karşılaştırma eyleminde ortak ya da farklı özellikleri aramaları gerektiğini anlamaları için yararlı olacaktır.
Sınıflandırma
• Çocukların toplama ve çıkarmayı öğrenmeden önce grupları belli bir özelliğe göre birleştirmeyi ve ayırmayı öğrenmiş olmaları gerekir. Bu işleme sınıflandırma denir.
Sınıflandırma
• Örneğin bir çocuk, içinde çeşitli oyuncakların ve blokların olduğu bir kutudan önce blokları ayırarak kendi içinde gruplar. Daha sonra da bu blokları şekillerine göre ayırarak üçgen bloklar, kare bloklar ve dikdörtgen bloklar olarak üç gruba ayırır. Eğer isterse bu grupları da tekrar renklerine göre ayırabilir.
Birebir Eşleme
• Sayma kavramını algılayabilmek için gerekli temel beceridir. Bir grubun diğer grupla aynı sayıda nesneye sahip olduğunu görmektir.
Örneğin, hikâye okuma etkinliği sırasında sınıftaki her çocuk için yere bir minder konularak herkesin bir mindere oturmasını sağlamak birebir eşleme etkinliğidir.
Birebir Eşleme
• Dışarıda fazla minder kalmamıştır çocuklarla minderler aynı sayıdadır. Dramatik oyun alanındaki bir çocuğun masada oturan dört arkadaşına birer tane bardak vermesi de birebir eşleme örneğidir.
Sıralama
• Sıralama karşılaştırmanın bir üst düzeyidir.
Sıralama, ikiden fazla nesne ya da nesne grubunu karşılaştırmayı gerektirir.
Karşılaştırılan nesneler birinciden sonuncuya doğru sıralanırlar. Örneğin bir oyuncak kutusunun içinden karşılaştırma yapılarak seçilen çubukların, boylarına göre kısadan uzuna ya da uzundan kısaya doğru dizilmesi bir sıralama işlemidir.
Sıralama
• Aşağıda resimlendirilen bu örnekte, eğer çocuğun önünde A ve C çubukları varken B çubuğu verilip de nereye yerleştirilmesi gerektiği sorusu sorulursa, çocuğun B’nin A çubuğundan kısa fakat C çubuğundan ise uzun olduğunu ayıt etmesi ve B çubuğunu ikisinin arasına koyması gerekir. Bu etkinlikte kullanılması gereken kısa, uzun ve arasına gibi kelimeler başka etkinliklerde de kullanılarak çocuğun matematiksel dili etkinleştirilebilir.
Sıralama
Sayı Kavramı ve Sayma
• Sayı kavramı ve sayıyı anlama, sayı algısı olarak ifade edilir. Sayı algısı, miktarlarla (nicelik) sayma işlemi arasında ilişki kurularak sağlanır. Sayı algısı, daha fazla ve daha az kavramlarının, değişik miktarların, uzay ve miktar ilişkisinin (sayının korunumu) ve parça-bütün ilişkilerinin anlaşılmasını gerektirir. Sayma işlemi aslında karmaşık bir süreçtir. Örneğin 5’e kadar sayma işlemini gerçekleştirmek için neler yaptığımızı düşünelim:
Sayı Kavramı ve Sayma
• Sayılması gereken nesneleri sayılmayacak olanlardan ve o ana kadar saydıklarımızdan ayırırız. Her bir nesneyi bir sözel ifadeyle (sayı isimleri) eşleştiririz. Bunu yapmak için her bir nesneyi sayma anında bir kelime söyleriz. Sayma sonunda ulaşılan sayının o nesne grubunda nesnelerden kaç tane olduğunu belirttiğini algılarız. Sayma işlemi, nesneyi işaret etmeyi ve ona bir sembol atamayı gerektiren simgesel bir sistemi anlamayı gerektirir.
Sayı Kavramı ve Sayma
Çocukların sayma eyleminin, matematiksel olarak anlamlı olabilmesi için beş ilkeyi zihinlerinde uyguluyor olabilmeliler:
1. Birebir ilişki: Sayı kelimeleriyle nesneler arasında birebir ilişki olmalıdır.
2. Sabit sıra: Sayı kelimeleri tutarlı ve tekrarlanabilir bir düzende sıralanmalıdır.
3. Kardinal: Kullanılan son sayı kelimesi, bir nesne grubunda o nesnelerden kaç tane olduğunu belirtir, en son sayılan nesnenin bir özelliği değildir.
4. Soyutlama: Sayma için herhangi bir türden nesneler bir araya getirilebilir.
5. Dizilişin önemsizliği: Nesneler herhangi bir dizilişte sayılabilir; dizilişin değişmesi sonucu etkilemez.
İşlem Kavramı
• İşlem yapabilme yeteneği çocukta sayı kavramının ve sayma becerisinin tamamen öğrenilmesinden sonra kazanılabilir. Dört, beş ve altı yaş grubundaki çocuklar günlük yaşamlarında uygun bağlam içinde toplama ve çıkarma işlemini yapabilirler. Örneğin “Elimde dört tane misket var, senin verdiğin iki tane misketi de ekleyince altı misketim oldu” gibi bir cümle kurabilirler. Fakat doğal ortamda kolaylıkla yaptıkları bu işlem…
İşlem Kavramı
• …kendilerine “Dört artı iki kaç eder” şeklinde sunulursa bunu gerçekleştiremezler. Aynı işlemi “4 + 2 = 6” şeklinde simgelerle gerçekleştirmek daha üst düzey bir beceridir ve öğrenciye sunulmadan önce her bir çocuğun gelişim düzeyi çok iyi analiz edilmelidir. Böylesi bir matematiksel ifadenin erken tanıtılması, çocukların gelecekte matematiğe karşı olumsuz tutumlara sahip olmalarına neden olabilir.
Uzaysal Algı
• Geometriyi yorumlama, anlama ve sevmenin temeli uzaysal ilişkileri anlamakta yatar.
Uzaysal algı için de şekillerin kavranması gerekir. Uzay kavramının yanı sıra nesnelerin birbirleriyle konum, yön ve uzaklık ilişkileri bu alanda incelenir.
Uzaysal Algı
• Nerede, ne tarafta gibi sorulara verilecek altında, üstünde, arkasında, yukarısında, içinde gibi yanıtlar bu becerilere örnek verilebilir. Şekillerle ilgili olarak da kare şeklinde bir çizim ya da nesne tanıtıldıktan sonra çocuklardan sınıfta ya da yakın çevrelerinde kare olan nesneleri belirlemelerini istemek örnek olabilir.
Ölçme
• Ölçme, nesnelere ortak özelliklerine göre birbirleriyle karşılaştırma olanağı verecek şekilde bir sayı atama işlemidir. Nesnelerin miktar, hacim, ağırlık, uzunluk, ısı gibi özellikleri sayılarla ifade edilebilir. Örneğin sınıflama ve sıralama becerilerini kavramış çocuklara uzun ve kısa gibi kavramları kullanabildikleri için sayıları kullanarak uzunluk ölçme becerisi tanıtılabilir.
Ölçme
• Ölçme işlemi santimetre, kilogram, litre gibi standart ölçü birimleri kullanılarak gerçekleştirilebileceği gibi adım, karış, kol gibi standart olmayan birimler kullanılarak da yapılabilir. Ayrıca ip, bloklar ya da kitap gibi nesneler kullanılarak “Arabam iki blok uzunluğunda” ya da “Bardak dört kitap yüksekliğinde” gibi ölçüm sonuçları da elde edilebilir.
Grafikler
• Grafik iki ya da daha fazla sayısal ifadenin arasındaki ilişkiyi resimlendirmek amacıyla kullanılan matematiksel bir araçtır. Ölçme ve sayma işlemleri sonunda ulaşılan veriler grafikte kullanılır. Beş yaşından itibaren çocuklar blok grafik olarak tanımlanan aşağıdaki gibi basit bir grafiği kullanarak iki nesnenin miktarlarını karşılaştırabilir.
Grafikler
• İlk başlarda sadece iki nitelik ölçerek grafik oluşturulabilir ve çocuklar yetkinleştikçe bu sayı artırılabilir. Şekil 3.5’teki örnekte sınıftaki çocukların sahip olduğu kedi ve köpeklerin sayıları belirlenerek buna ilişkin grafik hazırlanmıştır.
Programın Yapısı-1
• Program üniteler ve her bir ünitede de öğrenme alanları bazında hangi kazanımların işleneceği belirlenmiştir. Kazanımların yapısı aşağıda şematik olarak gösterilmiştir.
Programın Yapısı-2
Programın Yapısı-2
SON
• Teşekkürler…
