Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu KPSS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI KİTAP ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu

KPSS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI KİTAP ISBN 978-605-318-091-3 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

© Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”

27.Baskı: Temmuz 2015, Ankara

Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu

Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti

İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A

Yenimahalle/ANKARA

Yayıncı Sertifika No: 14749

Matbaa Sertifika No: 13987

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA

Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60

Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net

E-ileti: pegem@pegem.net

Değerli Adaylar;

Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde

önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır.

Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;

GEOMETRİ

- Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar, - Çokgenler ve Dörtgenler,

- Çember ve Daire, - Analitik Geometri ve - Katı Cisimler

bölümlerinden oluşmaktadır.

Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.

Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular ve - cevaplı testlere;

yer verilmiştir.

Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi sınav komisyonuna teşekkürü bir borç biliriz.

Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız.

Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.

Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu

SUNU

1. BÖLÜM GEOMETRİK KAVRAMLAR VE

DOĞRUDA AÇILAR ...1

Geometrik Kavramlar ...2

Tanımsız Kavramlar ...2

Açılar...2

Açının Ölçüsü ...2

Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler ...2

Açı Ölçü Birimleri ...2

Derecenin Alt Birimleri ...3

Açı Çeşitleri ...3

Dar Açı ...3

Dik Açı ...3

Geniş Açı ...3

Doğru Açı ...3

Tam Açı ...3

Komşu Açılar ...3

Açıortay ...3

Tümler Açılar ...4

Bütünler Açılar ...4

Ters Açılar ...5

Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar ...5

Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen İle Meydana Getirdiği Açılar ...5

Kenarları Paralel Açılar ...7

Kenarları Dik Açılar ...7

Üçgenler ...10

Üçgen Çeşitleri ...10

Açılarına Göre Üçgenler...10

Kenarlarına Göre Üçgenler ...10

Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar ...11

Yükseklik ...11

Açıortay ...11

Kenarortay...11

Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler ...12

Dik Üçgen ...16

Pisagor Teoremi ...16

Öklid Bağıntıları ...17

Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ...18

Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler ...19

Üçgende Açıortay Teoremleri ...21

İç Açıortay Teoremi...22

Dış Açıortay Teoremi ...23

Üçgende Kenarortay Teoremleri ...25

Ağırlık Merkezi ...25

Kenarortay Bağıntıları ...27

Özel Üçgenler...29

İkizkenar Üçgen ...29

Eşkenar Üçgen...31

Üçgende Alan ...35

Üçgende Benzerlik ...40

Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ...40

Tales Teoremi ...42

Temel Orantı Teoremi ...42

Çapraz Tales Teoremi ...43

Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı ...44

Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı ...45

Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları ...48

Üçgen Eşitsizliği ...48

Çıkmış Sorular ...53

Cevaplı Test - 1 ...56

Cevaplı Test - 2 ...58

Cevaplı Test - 3 ...60

Cevaplı Test - 4 ...62

Cevaplı Test - 5 ...64

Cevaplı Test - 6 ...66

Cevaplı Test - 7 ...68

Cevaplı Test - 8 ...70

Cevaplı Test - 9 ...72

Cevaplı Test - 10 ...74

Cevaplı Test - 11 ...76

Cevaplı Test - 12 ...78

Cevaplı Test - 13 ...80

2. BÖLÜM ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER ...83

Çokgenler ...84

Dışbükey ve İçbükey Çokgenler...84

Düzgün Çokgen ...85

Dörtgenler ...90

Dörtgenlerde Alan ...91

Paralelkenar ...93

Paralelkenarda Alan ...94

Paralelkenarın Alan Özellikleri ...94

Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler ...96

Eşkenar Dörtgen ...97

Dikdörtgen ...98

İÇİNDEKİLER

Kare...100

Yamuk – Deltoid ...102

İkizkenar Yamuk ...105

Dik Yamuk ...107

Deltoid ...107

Çıkmış Sorular ...108

Cevaplı Test - 1 ...110

Cevaplı Test - 2 ...112

Cevaplı Test - 3 ...114

Cevaplı Test - 4 ...116

Cevaplı Test - 5 ...118

3. BÖLÜM ÇEMBER VE DAİRE ...121

Çemberde Açı ...122

Çemberde Yardımcı Elemanlar ...122

Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ...123

Merkez Açı ...123

Çevre Açı ...124

Teğet Kiriş Açı ...125

İç Açı ...125

Dış Açı ...125

Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ...127

Kirişler Dörtgeni ...127

Çemberde Uzunluk ...128

Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ...128

Kuvvet Ekseni ...130

İki Çemberin Ortak Teğetleri ...131

İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ...133

Üçgenin Çemberleri...133

Üçgenin İç Teğet Çemberi ...133

Üçgenin Dış Teğet Çemberi ...134

Teğetler Dörtgeni ...134

Dairede Alan ...135

Dairenin Alanı ve Çevresi ...135

Daire Diliminin Alanı ...135

Çember Yayının Uzunluğu ...135

Daire Kesmesinin Alanı ...135

Daire Halkasının Alanı ...136

Çemberde Benzerlik ...137

Çıkmış Sorular ...139

Cevaplı Test - 1 ...140

Cevaplı Test - 2 ...142

Cevaplı Test - 3 ...144

4. BÖLÜM ANALİTİK GEOMETRİ ...147

Noktanın Analitik İncelenmesi ...148

Analitik Düzlem ...148

İki Nokta Arasındaki Uzaklık ...149

Doğrusal Noktalar...150

Doğrusal Olmayan Noktalar ...152

Doğrunun Analitik İncelenmesi ...155

Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ...155

Doğrunun Grafiğinin Çizimi ...157

Doğrunun Denklemleri ...158

Özel Doğrular ...160

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ...160

Doğru Demeti ...162

Simetriler ...165

Noktanın Simetriği ...165

Doğrunun Simetriği ...168

Eşitsizlikler ...170

Çıkmış Sorular ...172

Cevaplı Test ...173

5. BÖLÜM KATI CİSİMLER ...175

Prizma ...176

Dikdörtgenler Prizması ...177

Küp ...179

Silindir ...179

Dönel Silindir ...180

Piramit ...182

Düzgün Piramit ...182

Kesik Piramit ...183

Koni ...183

Küre ...185

Çıkmış Sorular ...186

Cevaplı Testler - 1 ...187

Cevaplı Testler - 2 ...189

1

2015

PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR

1. 56: :

25 24

65

c − m işleminin sonucu kaçtır?

A) –12 B) –6 C) 6 D) 12 E) 24 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 169 / 5. soru

2. 1

3 2

31 2

|

+ -

d n

işleminin sonucu kaçtır?

A) −5 B) −1 C) 1 D) 3 E) 5

Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 12 / Soru 1

3. 2

2 2

94 93- 92

işleminin sonucu kaçtır?

A) 2

1 B)

3

1 C)

4

1 D)

5

1 E)

6 1

Modüler Soru Bankası Sayfa 174 / Soru 17

4. !! !!

10 5 9 12 24 10

$

$ + -

işleminin sonucu kaçtır?

A) 84 B) 72 C) 70 D) 64 E) 60 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19 32. soru

5. ! !

! !

8 7

10 9 +

-

işleminin sonucu kaçtır?

A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 72 Modüler Soru Bankası Sayfa 117 / Soru 4

6. a b

x––––––––8 c 2 6 8 • • • +––––––––

5 6 2 8

Yanda verilen çarpma işleminde ab ile 8c iki basamaklı doğal sayılardır.

Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 Modüler Soru Bankası Sayfa 64 / Soru 16

7. x y z

1 1 5 8 K L L K M x

+ • • • • 2 3 Yanda verilen çarpma işlemine göre, K + L + M toplamı kaçtır?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 6 / Soru 5

2

2015

PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR

8. x < 0 < y olmak üzere, x y- + x - y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) −2x B) −y C) y D) 2y E) 2x Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 15 / Soru 1

9. y 0 x 2< < < olmak üzere,

− + − + + − −

y 1 x 5 y 2x 3 işleminin sonucu aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) x y 1+ - B) ^{x 3+} C) ^{y 3-} D) ^{x y 1+ +} E) x y 3- + Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 193 / 3. soru

10. −x2 2y 0 olduğuna göre,

x x y y x

− + − − +

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) − x B) 2y − x C) 2y + x

D) y E) 3y − 2x

Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 14 33. soru

11. x < y olmak üzere, I. x z+ 1y z+ II. x²1y² III.

x y

121

ifadelerinden hangileri daima doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III

Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 14 / Soru 2

12. 3 2

2

x 3 x

2 1 3 4

=

+ +

e o e o

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 2

-3 B) – 1 C) 2

-1 D) 5

1 E) 1

Modüler Soru Bankası Sayfa 177 / Soru 6

13. 1 ^x 4⁵ 32

  =

 

 

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) – 3 E) – 2 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 179 / Soru 8

14. Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu x x2

f 2x 15

3 9

  = + +

  

Buna göre, f(a) = 6 ise a kaçtır?

A) −4 B) −3 C) −2 D) 2 E) 3

5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 213 / Soru 1

3

2015

PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR

15. A 1020m B

A dan dakikadaki hızı 10 metre olan hareketli, B den dakikadaki hızı 20 metre olan bir kuş aynı anda karşılıklı olarak harekete başlıyor. Kuş hareketliyle karşılaşıp, tekrar B ye dönüyor ve hiç durmadan tekrar A dan hareket eden hareketliye doğru uçuyor ve karşılaşınca durmadan tekrar B ye dönüyor.

Kuş bu hareketine A dan hareket eden hareketli B ye varıncaya kadar devam ettiğine göre, bu süre içinde kuş toplam kaç metre yol almıştır?

A) 4020 B) 3960 C) 2840 D) 2420 E) 2040 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 388 / 20. soru

16. Bir sınıftaki 20 öğrencinin 1. sınav sonuçlarının ortalaması 4,5 dir. 2. sınavda 4 öğrenci notunu 2 puan, 8 öğrenci 1 puan yükseltirken diğerleri 1,5 puan düşürmektedir.

Buna göre, son sınavın ortalaması kaçtır?

A) 5 B) 4,9 C) 4,8 D) 4,7 E) 4,6 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 306 / 14. soru

17. A torbasında 5 beyaz ve 7 kırmızı, B torbasında 10 beyaz ve 5 kırmızı top vardır.

A ve B torbalarından sırasıyla birer top çekildiğin- de iki topun renginin aynı olma olasılığı kaçtır?

A) 4 9 ^B)

17

36 ^C) 1 2 ^D)

5 9 ^E)

7 12 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 222 / Soru 18

18. - 20. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbi- rinden bağımsız olarak cevaplayınız.

Pamuk 74◦

Diğer

Mısır 60◦

Buğday

Naranciye100◦ 100◦

Greyfurt70◦ 40◦

Limon Naranciye150◦

Bir bölgedeki tarım arazisinin ne kadarının hangi ürün için kullanıldığını gösteren daire grafik aşağıdadır.

Narenciye ürünlerinin çeşitlerini göstermek için ayrıca başka bir daire grafik çizilmiştir.

18. Bu bölgedeki pamuk, narenciye, buğday ve mısır dışında kalan diğer ürünler için kullanılan arazi tüm ürünler için kullanılan arazinin yüzde kaçıdır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

19. Bu bölgede mandalina için kulanılan arazi 200 dö- nümse mısır için kullanılan arazi kaç dönümdür?

A) 900 B) 840 C) 800 D) 720 E) 648

20. Bu bölgede greyfurt için kullanılan arazi limon için kullanılan araziden 150 dönüm fazlaysa buğ- day için kullanılan arazi kaç dönümdür?

A) 1000 B) 1080 C) 1100

D) 1120 E) 1150 Modüler Soru Bankası Sayfa 410 / Soru 7-9

4

2015

PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 2015 KPSS - BENZER SORULAR

21. - 23. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbi- rinden bağımsız olarak cevaplayınız.

D E

A

A₁ A₂

A₃ A₄ A₅ B

C 35°80°

I. Grafik II. Grafik

120°

50° 75°

60°

45°

75° 80°

I. grafik beş farklı otomobil firmasının yıl içerisindeki satış sayısının sayısal dağılımını göstermektedir.

D E

A

A₁ A₂

A₃ A₄ A₅ B

C 35°80°

I. Grafik II. Grafik

120°

50° 75°

60°

45°

75° 80°

II. grafik ise A markalı otomobil firmasının beş farklı modeline ait satış sayılarının dağılımı göstermektedir.

21. Yıl içinde A₁ modelinden 450 adet satıldığına göre, C marka otomobilden kaç adet satılmıştır?

A) 560 B) 600 C) 610 D) 630 E) 700

22. A₅ modeli A₂ modelinden 80 adet fazla satıldığına göre, B marka otomobilden kaç adet satılmıştır?

A) 840 B) 900 C) 960 D) 1080 E) 1120

23. C markasının satış sayısının 53 'i, D markasının satış sayısının 31 'ü yerine, B markası satılmış olsaydı B markalı otomobilin bu beş marka içindeki satış yüzdesi kaç olurdu?

A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 35 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19 Soru 23-25

24. A(2, 1) noktasının 3x – 4y + 3 = 0 doğrusuna göre simetriği B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 2 2

D) 2 5 E) 3 5

5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 286 / Soru 9

25. ABCD dikdörtgen, AC +DE = F 6 @ 6 @ " ,^,

AD =20 cm, DC =15 cm ve EC = cm'dir.5 Yukarıdaki verilenlere göre, A ADF^ ^T h kaç cm² dir?

A) 120 B) 100 C) 90 D) 80 E) 60 Geometri Yaprak Test 13 / Soru 8

A D

C E

B

20

15 F

5

G ^{eometr İ k} K avramlar ve

D ^oğruda A ^çılar

� GEOMETRİK KAVRAMLAR

� DOĞRUDA AÇILAR

� ÜÇGENLER

� ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ

� ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR

� ÜÇGENDE AÇILAR

� DİK ÜÇGENLER

� ÜÇGENDE AÇIORTAY TEOREMLERİ

� ÜÇGENDE KENARORTAY TEOREMLERİ

� ÜÇGENDE ALAN

� ÜÇGENDE BENZERLİK

� ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI

“... Evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır;

harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.”

Galıleo

Yıllara Göre Çıkmış Soru Analizleri

2012 1

2011 1

2010 1

2009 1

2008 2

2007 2

2006 -

2005 2

2013 1

2014 1

2015 -

2

PEGEM AKADEMİ

GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR

GEOMETRİK KAVRAMLAR

Tanımsız Kavramlar

Nokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavram- lardır.

Nokta

Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir.

Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta büyük harfle gösterilir.

Örneğin;

A _{A noktası} B _{B noktası}

Doğru

İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.

A B d

Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğrusu veya AB diye sembolize edilebilir.

Doğru Parçası

iki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birle- şim kümesine doğru parçası denir.

A B

doğru parçası AB6 @ sembolü ile gösterilir.

CD "CD

6 @ doğru parçası

CD "CD doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.

Işın

Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.

A B d

AB "

6 AB ışını diye okunur.

Yarı Doğru

6AB ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çı- kartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı doğrusu denir.

A B d

AB AB"

@ ışını diye okunur.

Düzlem

Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluştur- duğu kümeye düzlem denir.

AÇILAR

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının bir- leşimine “Açı” denir.

Yani; 6AB ve AC6 ışınlarının birleşimi ile oluşan açı BAC ya da CAB açısıdır.

BAC açısı BAC%

ya da CAB%

açısı ile gösterilir.

Açının Ölçüsü AB ve AC

6 6 ışınları arasında kalan bölgeye At’nın ölçüsü de- nir. Her At’na 0 ile 180 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. Bu reel sayıya BAC açısının (ya da CAB açısının) ölçüsü denir.

Yani BAC açısının ölçüsü α dır.

ve (mBAC%)=m( )At =α veya (BAC) ( )A

s % =s t =α

ile gösterilir.

Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

Yani; ( )m At =m B( )t &A ileB açýlarý eş açılardır.

Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. Bu böl- geler

I. Açının kendisi II. Açının iç bölgesi III. Açının dış bölgesi

Açı Ölçü Birimleri

Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. 20 40^o, ^o,... şeklinde gösterilir.

Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle verebiliriz,

D: Derece G: Grad

R: Radyan olmak üzere

D G R

180 200 π = = bağıntısı vardır.

A

B

C

[

AB∪

[

AC A=^

A

B

C α

A

B

C α II.

I.

III.

3

Not

Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur dön- dürülmesi ile oluşan açı 360^o, 400 Grad ve 2π Radyandır.

Derecenin Alt Birimleri '

. '

''

' '' '' dýr Bir derece

Bir dakika Bir saniye 1 60

1 1

11 60 1 3600

o o

o

"

"

"

=

=

= _

` a bb b

AÇI ÇEŞİTLERİ

Dar Açı

Ölçüsü 0^o ile 90^o arasında olan açılara dar açı denir.

Yani;

< < 90 dar açýdýr.

0^o a ^o+α

Dik Açı

Ölçüsü 90^o olan açıya dik açı de- nir.

Yani; α=90^o+αdik açýdýr.

Geniş Açı

Ölçüsü 90^o ile 180^o arasında olan açılara geniş açı denir.

Yani;

< < 180 geniþ açýdýr.

90^o a ^o+α

Doğru Açı

Ölçüsü 180^o olan açıya doğ- ru açı denir.

Yani;

doðru açýdýr.

180^o+

α= α

Tam Açı

Ölçüsü 360^o olan açıya tam açı denir.

Yani;

tam açýdýr.

360^o+

α= α

A

B

C α

A B

C α

A B

C α

180 α = °

C A B

360 α = °

A B

Örnek

A, O, B noktaları doğrusal, (DOB) ,

m % =2α

(m COD%)=7α

ve (m AOC%)=3α

Yukarıdaki verilenlere göre α kaç derecedir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 Çözüm:

A, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı gereği 180^o lik açı meydana getirirler.

Yani; 3α+7α+2α=180^o dir.

. bulunur 12 180

15

o o

&

&

α α

=

=

Komşu Açılar

Köşeleri ve birer kenarı ortak olan iç bölgelerinin kesişimleri boş küme olan açılara komşu açılar denir.

Yani; COB%

ile BOA%

komşu iki açıdır.

AÇIORTAY

Açıyı iki eşit açıya ayıran ışına açı- ortay denir.

Yani; (m COB%)=m(BOA%) dır.

6OB ye COA%

nın açıortayı denir.

6OC ^{ile OA}6 ye açıortayın kolları (ke- narları) denir.

Örnek

A, O, B noktaları doğru- sal OC6 ile OF6 açıortay

(DOE) m % =80^o

Yukarıdaki verilenlere göre (m COF% kaç derecedir?) A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

C D

A O B

3α 7α 2α

A C B

O

A B C

O

A O B

C 80°

D E

F

4

Çözüm:

A, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana gelen açıların ölçüleri toplamı 180^o

dir.

(AOC) (COD) ,

m % =m % =α

(EOF) (FOB)

m % =m % =β

dersek

180 2 2 100 50

2α+2β+80^o= ^o& a+ b= ^o&a+ =b ^o

m( ) 130

(COF) COF

m % = + +α β 80^o& % = ^o

bulunur.

Örnek

Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54^o dir.

Buna göre bu iki açının ölçüleri toplamı kaç derece- dir?

A) 100 B) 104 C) 106 D) 108 E) 110 Çözüm:

BOC% ile COA%

komşu iki açıdır. OD6 ile OE6 açıortaydır.

(DOE) m % =54^o

verilmiş (m BOD%)=m(DOC%)=α ,

(COE) (EOA)

m % =m % =β

dersek m(DOE%)= + =α β 54^o dir.

Buradan (m BOC%)+m(COA%)=2α+2β

( )

2 108^o

54^o

& α β+ =

S bulunur.

Not

Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.

6OD açıortay, OB6 ^{ile OA}6 açıortayın kolları ol- mak üzere

, ,

CK = OB DL = OB

6 @ 6 6 @ 6

ve

CE= OA DF = OA

6 6 6 @ 6

çizilirse

. ,

,

CK CE DL DF ve

KO EO LO FO dur

= =

= =

O C

D B

E F A L

K

A O B

C 80°

D E

α F

α β

β

TÜMLER AÇILAR

Ölçüleri toplamı 90^o olan iki açıya tümler iki açı denir.

Yani α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

90^o+ a

α β+ = ile β tümler iki açı- dır.

α nın tümleri 90’ ^o- a nın tümleri 90^o- b dır.

BÜTÜNLER AÇILAR

Ölçüleri toplamı 180^o olan iki açıya bütünler açılar denir.

Yani; α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

180^o+

α β+ = α ile β bü- tünler iki açıdır.

α nın bütünleri 180’ ^o- a β nın bütünleri 180’ ^o- b dır.

Örnek

Bir açının 4 katının 5^o fazlası aynı açının tümlerine eşit olduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir?

A) 157 B) 159 C) 161 D) 163 E) 165 Çözüm:

Açı Tümleri

α 09 ^o- a dır.

Denklem kurulursa;

90 dýr.

. bulunur

4 5

5 85 17

o o

o& o

= -

α α

α α

+

= =

O halde açının bütünleri

180 17 163

180^o-α = ^o- ^o= ^o bulunur.

Örnek

Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10^o dir.

Buna göre küçük açı kaç derecedir?

A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40 A B

α β C

O

A O B

β α C

5

Çözüm:

Bütünler iki açı α ile β olsun

O halde α β+ =180^o dir.

Verilen denklem yazılacak olursa α

− 10°

β

4 ⇒ α = β +4 10 dir.°

Buradan α=4β+10^o denklemi 180^o

α β+ = denkleminde yerine yazılacak olursa

180 5 170

dýr.

4 10

34 146

o o o

o o

&

&

&

+ =b b=

β

β α +

=

=

O halde küçük açı β =34° bulunur.

TERS AÇILAR

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan birbirine komşu olmayan açılara ters açılar denir.

Yani; Kesişen d₁ ve d₂ doğrula- rında at ile ct, bt ile dt açıları ters açılardır.

Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a c= ve b d= dir.

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESENLE YAPTIĞI AÇILAR

// ,

d d_{1 2} a, b, c, d, x, y, z, t bulun- dukları açıların ölçüleridir.

(i) Yöndeş açılar //

d d_{1 2} ise

at ile xt, bt ile yt, dt ile tt, ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; a x b y c z d t= , = , = , = dir.

d1

d2

b a c d

d1

d2

b a c d y x z t

(ii) İç ters açılar //

d d_{1 2} ise

ct ile xt ve dt ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; c x= ve d y= dir.

(iii) Dış ters açılar //

d d_{1 2} ise

at ile zt ve bt ile tt dış ters açılardır.

Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; a z= ve b t= dir.

(iv) Karşı durumlu açılar //

d d_{1 2} ise

ct ile yt ve dt ile xt karşı durumlu iki açıdır. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı 180^o dir.

Yani; c y 180+ = ^o ve d x 180+ = ^o dir.

Not

Karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.

Yani; //d d_{1 2} AC6 ^{ile BC}6 açıortay &6AC=6BC ^dir.

d2 d1 d3

B C A

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ AÇILAR

(i) // ;d d d_{1 2 3}+d₄= " ,B ,

α ,δ β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere α δ β+ = dır.

(ii) // ;d d_{1 2} ,

α ,β δ bulundukları açı- ların ölçüleri olmak üzere

360^o α β δ+ + = dir.

Not

Paralel doğrular n doğruyla kesilirse meydana ge- len aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n 180: ^o dir.

d2

d1

A

β α

δ d3

B

C d4

d2

d1

A

B

C α β

δ

6

(iii) //d d_{1 2} ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açılardır.

Aynı yöndeki ardışık açıların ölçüleri toplamı ile bu açılara göre ters yönde olan ardışık aynı yönlü açıların ölçülerinin toplamları birbirine eşittir.

Yani; , , ,α β δ x, y bulundukları açıların ölçüleri olduğuna göre α β δ+ + = + dir.x y

Örnek

// , AB CD

6 6 6^EC@⁼6^CD, (AEC)

m % =140^o

Yukarıdaki verilenlere göre (BAE)

m % =α

kaç derecedir?

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

Çözüm:

Şekilde 6AB CD//6 olduğuna göre sağ tarafa bakan açı- ların ölçüleri toplamı sol tarafa bakan açıların ölçüleri toplamına eşit olacağından α +90^o=140^o&a=50^o bulunur.

Örnek

// , AB CD

6 6 a, b, c, d, e bulun- dukları açıların ölçüleridir.

Yukarıdaki verilenlere göre a b c d e+ + + + kaç derece- dir?

A) 360 B) 450 C) 540 D) 630 E) 720

Çözüm:

//

AB CD

6 6 dir. Paralel doğrular 6AE EF FG@,6 @,6 @, GC6 @ ile kesildiğine göre doğru parçası sayısı 4 dür.

O halde a b c d e 4 180+ + + + = : ^o=720^o bulunur.

d2

d1

α β δ

x y

A α B

C D

140° E

b a cd

e

A B

C D

E F

G

Örnek

// ,

d d AF_{1 2} 6 @=6CF@ (BAF) (FCD) , m % =m % =3α

(ABE) , m % =5β

(EDC) m % =3β

ve (BED) m % =80^o

Yukarıdaki verilenlere göre α β+ kaç derecedir?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

Çözüm:

Paralel doğrular arasında oluşan aynı yöne bakan açıla- rın ölçüleri toplamı, zıt yönlü açıların ölçüleri toplamına eşit olduğundan

6 90 15

. dir

3 3 90

5 3 8 80 10

o o o

o o

& &

&

= =

a a

α α

β β β β

+ =

+ = = =

O halde α β+ =15^o+10^o=25^o bulunur.

Örnek

//

CD AB

6 6

, (EAB) m % =65^o

(AEC) m % =55^o

Yukarıdaki verilenlere göre (ECD)

m % =α

kaç derecedir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

Çözüm:

A B

C D

E

120 α = ° 55°

65°

F K

65°

E noktasından KF CD AB//6 //6 olacak biçimde KF çizilir- se (m KEA%)=m(EAB%)=65^o

(iç ters açıların eşitliği) ve (KEC) (ECD)

m % =m % =120^o

dir. (iç ters açıların eşitliği) O halde α =120^o bulunur.

d2

d1

3α 5β

3α 3β

A B

C D

F E 80°

A B

C D

E α 55°

65°

7

KENARLARI PARALEL AÇILAR

(i) Kenarları aynı yönde para- lel açılar:

//

AB DE

6 6 ^ve 6^{DF AC//}6 ^{ise yön-} deş açıların eşitliğinden

(BAC) (EDF)

m % =m % =α

dır.

(ii) Kenarları ters yönden paralel açılar:

//

AB CD

6 6 ^ve 6^{CB AD//}6 ^ise yöndeş ve iç ters açıların eşit- liklerinden dolayı;

(BCD) (BAD)

m % =m % =α

dır.

(iii) Kenarlarından biri aynı diğeri ters yönde paralel açılar:

//

AB EF

6 6 ^ve 6^{ED AC//}6 ^ise yöndeş ve karşı durumlu açı tanımlarından

(DEF) (BAC)

m % +m % = + =α β 180^o dir.

KENARLARI DİK AÇILAR

(i) DE6 =6AC ^{ve DK}6 ⁼6^{AB ise} (EDK) ,

m % =α

(BAC) m % =β

olmak üzere α β= dır.

(ii) AB DF6 =6 ve AC6 =6DE ise m(BAC%)=α ,

(FDE) m % =β olmak üzere α β+ =180^o dir.

Örnek

// , // ,

AK EC AB CD

6 @ 6 @ 6 6

FH = AK

6 @ 6 @ ^{ve (mECD%)=35o} Yukarıdaki verilenlere göre

(AFH) m % =α

kaç derecedir?

A) 25 B) 35 C) 45 D) 55 E) 65 α

α α

A

B E

F C D

A

α α

α B

C D

α E

B α F

A C

β D

α

A β

B

C D

E

L K

A α β

B

C D

E F K

L

35°

α

A B

D C E

F

H K

Çözüm:

//

AB CD

6 6 ^ve 6^{AK EC}@^//6 @ olduğundan BAK%

ile ECD% ke- narlarından biri aynı diğer kenarı ters yönde paralel açı- lardır.

O halde

(BAK) (ECD) m % =m % =35^o

dir.

FAH üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı yazılırsa

90 180 55

35^o+ +α ^o= ^o&a= ^o bulunur.

Örnek

// , ,

AB CD KE = AB

6 6 6 @ 6

KF= AC

6 6 ^{ve (m FKE%)=50o} Yukarıdaki verilenlere göre

(ACD) m % =α

kaç derecedir?

A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70

Çözüm:

CAB% ile FKE%

kenarları dik iki açıdır.

O halde (m CAB%)+m(FKE%)=180^o dir.

180 m( ) 130

(CAB) CAB

m % +50^o= ^o& % = ^o

bulunur.

CAB% ile ACD%

karşı durumlu iki açı olduğundan (CAB) (ACD)

m % +m % =180^o

180 50

130^o+α = ^o&a= ^o bulunur.

Örnek

Bütünleri tümlerinin 2 katından 50^o fazla olan açı kaç derecedir?

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

Çözüm:

Açı Tümleri Bütünleri α 90^o−α 180^o−α

Bütünleri tümlerinin 2 katından 50^o fazla ise

) 2(90 ) 50

180 2 50

° 50 bulunur.

(180 180

2 50

o o o

o o o

& o

- = - +

- = - +

= a

a a

a a a

α

− =

50°

α

A B

C D

E

F

K

8

Örnek

// , ,

AB CD AF = CF

6 6 6 @ 6 @

(BAE) (FCE),

m % =m %

(EAB) (ECD)

m % =m %

Yukarıdaki verilenlere göre (AEC)

m % =α

kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 50 D) 60 E) 75

Çözüm:

Paralel doğrular arasında- ki aynı yöne bakan açıla- rın ölçüleri toplamı zıt yöne bakan açıların ölçüleri top- lamına eşit olduğundan

(BAE) (ECD) (AEC)

m % +m % =m %

ve (mBAF%)+m(FCD%)=m(AFC%) dir.

(BAE) (FCE) , (EAB) (ECD)

m % =m % =a m % =m % =b

dersek a b α + = ve a2 +2b=90^o bulunur.

a b 45^o

& + = = a bulunur.

Örnek

// , // ,

AB DE AC DF

6 6 6 6

6 @AK ^{ile DK}6 @ ^açıortay

Yukarıdaki verilenlere göre (AKD)

m % =α

kaç derecedir?

A) 60 B) 75 C) 90 D) 120 E) 135

Çözüm:

CAB% ile EDF%

bir kenarları aynı, diğer kenarları zıt yönlü paralel açılar olduğundan ölçüleri toplamı 180^o dir.

Yani; (m CAB%)+m(EDF%)=180^o dir.

α

A B

C D

F E

α

A B

C D

F E

a

b b a

C

K

F E

B D

A

α

( ) ( )

( ) ( )

CAK KAB

EDK KDF

m m a

m m b dersek

= =

= =

% %

% %

(a b)

2 + =180^odir.

O halde a b 90+ = ^o dir.

// , AC DF

6 6

//

AB DE

6 6 olduğundan (CAK) (FDK) (AKD)

m % +m % =m %

dir. O halde a b α + = dır.

90^o

α = bulunur.

Örnek

// , AB CD

6 6 ^FP6 @ ^{ile KP}6 @ açıortay, m(BAE%)=160^o, (AEF)

m % =150^o ve (FPK)

m % =50^o dir.

Yukarıdaki verilenlere göre (m KCD%)=α

kaç derece- dir?

A) 150 B) 145 C) 140 D) 135 E) 130

Çözüm:

//

AB CD

6 6 olduğundan aynı yöne bakan BAE%,

, AEF%

, EFK%

, FKC%

KCD%

açılarının öl- çüleri toplamı 072 ^o dir.

FPK∆

de iç açıların öl- çüleri toplamı yazıla-

cak olursa (m PFK%)+m(FKP%)+m(FPK%)=180^o 180

(PFK) (FKP)

m % +m % +50^o= ^o dir.

(PFK) (FKP) m % +m % =130^o

Buradan 160^o+150^o+2(m(PFK%) m(+ FKP%))+ =a 720^o

150 260 720 150

160^o+ + ^o+α = ^o&a= ^o bulunur.

C

K

F E

B D

A

α aa

bb

A B

C D

E F

K

150°160°

50° P

α

A B

C D

E F

K

150°160°

50° P

α

9

Örnek

// //

( )

( )

( ) ( )

BAK FEK

EKC AKC

ve AB CD EF m

m

m m

120 150

o o

=

=

=

6 6 6

%

%

% %

Yukarıdaki verilenlere göre (m DCK%)=α

kaç derece- dir?

A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135

Çözüm:

// // //

AB CD EF d

6 6 6 çizilirse FEK%

ile EKL%, BAK%

ile AKL%,

DCK% ile CKL%

karşı durumlu açılar olduğundan ölçüleri toplamı 180^o dir.

Buradan

150 m( ) 180

120 m( ) 180

30 2m( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

FEK EKL EKL

EKL

BAK AKL AKL

AKL

AKL EKL CKE CKE

CKE CKE

m m

m

m m

m

m m m

m m 180

30 180

60

2 60

30 2 15

o o o

o

o o o

o

o o

o

o

&

&

&

&

&

&

&

+ =

+ =

= +

+ =

=

+ =

=

= +

=

=

%

%

% % %

%

% % %

%

% % % %

O halde (m CKL%)=m(CKE%)+m(EKL%) m(CKL%)=15^o+30^o=45^o Buradan

180

bulunur.

( ) ( )

( )

( )

DCK CKL

DCK DCK

m m

m m

180 45

135

o

o o

o

&

&

=

+ =

+

=

% %

%

%

Örnek

, // (FEK) AB CD m =120^o

6 6 ^%

, (FAB) m % = +α 5^o

(DCK)

m % =2α +10^o

Yukarıdaki verilenlere göre (FAB)

m % kaç derecedir?

A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55 α

150°

120°

A C E

K B

D F

15°15°

30°

B A

150^o K C

120^o α=135^o

D F d L

B

D ^{2α +10}° 5 α + °

120°

A

K E

C F

Çözüm:

6AB ile CD6 doğrusal uzatı- lırsa ters açıların eşitliğinden

° (FAB) (TAE) m % =m % = +α 5

(ECH) (DCK)

m % =m % =2α +10^o bulunur.

//

BT DH olduğundan (TAE) (ECH) (FEK)

m % +m % =m %

. .

(FAB) .

dir

Ohalde dir

m bulunur

5 2 10 120 3 15 120 3 105

35 5 40

o o o o o

o

o o

&α α & α & α

α α

+ + + = + = =

=

= + =

%

Örnek

// , ,

AB CD EF = CF

6 6 6 @ 6 @

(EAB) m % =110^o

ve (FCD)

m % =55^o

Yukarıdaki verilenlere göre (m AEF%)=α

kaç de- recedir?

A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80

Çözüm:

// //

KL CD AB6 6 ^çizilirse KEA%

ile EAB%

karşı du- rumlu iki açı olduğundan ölçüleri toplamı 180^odir.

180 dir.

( ) ( )

( )

( )

KEA EAB

KEA KEA

m m

m m

180 110

70

o

o o

& o

+ =

+ =

=

% %

%

%

//

KL CD6 olduğundan

90

( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

LEF FCD EFC LEF

LEF

m m m m

m dir

55 35

o o

o

&

&

+ = + =

=

% % % %

% K, E, L noktaları doğrusal olduğundan

( ) ( ) ( )

.

KEA AEF LEF

m m m

bulunur 180

70 35 180 75

o o α o o&α o

+ + =

+ + = =

% % %

B

D ^{2α +10°}

5 α + °

120°

A

K E

C F

2α +10° 5 α + °

T

H

B A C D

110° 55°

α E

F

B A C D

110° 55°

α E

F K L

70° 35°

10

PEGEM AKADEMİ

ÜÇGENDE AÇILAR

ÜÇGENLER

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçaları- nın birleşimi ile oluşan geometrik şekle üçgen denir.

AB ,BC , AC ABC= ∆ 6 @ 6 @ 6 @ ABC "∆

ABC üçgeni diye okunur.

A, B, C noktaları ABC∆

nin köşeleri ve 6 @AB ,6 @^{BC, AC}6 @ üçgenin ke- narlarıdır.

ABC üçgeninde , ,α β δ üç- genin iç açıları, , ,α β δ

l l l

^üçge-

nin dış açılarıdır.

, ,

BC =a AC =b AB = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir.

Not

Üçgenin iç bölgesinde kalan açılara iç açılar, üçge- nin dış bölgesinde kalan ve iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.

, , ,

180^o 180^o 180^o

α α+

l

= β β+

l

= δ δ+

l

=

ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ

Açılarına Göre Üçgenler (i) Dar açılı üçgen

İç açılarından her birinin ölçüsü 90^oden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgenler denir. Yani

90 90 90

<

<

<

o o o

α β δ ABC∆

dar açılı üçgendir.

(ii) Dik açılı üçgen

Herhangi bir açısının ölçüsü 90^o olan üçgenlere dik açılı üçgen denir.

Yani; ( )m Bt =90^o ise ABC∆

dik üçgen- dir. 6 @AC na' hipotenüs denir.

A

B C

A

B C

α

β δ

β′

δ′ α′

a c b

A

B C

α

β δ

B C

A

(iii) Geniş açılı üçgen Herhangi bir iç açısının öl- çüsü 90^o dan büyük olan üçgenlere geniş açılı üçgen denir.

Yani; ( )m Bt =α >90^o ise ABC∆

geniş açılı üçgendir.

Kenarlarına Göre Üçgenler (i) Çeşitkenar üçgen

Bir üçgeninin bütün kenar uzun- lukları birbirinden farklı ise ABC çeşitkenar üçgendir.

Yani; ABC üçgeninde ,

,

BC a

AC b

AB c

=

=

= olmak üzere

( )

AB ! BC ! AC a b c! ! ise ABC çeşitkenar üçgendir.

(ii) İkizkenar üçgen

Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları birbirine eşit ise üçgene ikizkenar üçgen denir.

Yani; AB = AC ise ABC üçgeni ikizkenar üçgendir.

' BC na

6 @ “taban”, eşit kenarların taban ile yaptıkları açılara “taban açıları” ve köşesi A noktası olan açıya “tepe açısı” denir.

İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Bu ifadenin terside doğru- dur.

O halde (m ABC%)=m(ACB%)+ AB = AC dir.

(iii) Eşkenar üçgen

Bütün kenar uzunlukları birbi- rine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.

Eşkenar üçgenin iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 60^o dir.

Yani; AB = BC = CA ise

( ) ( ) ( )

m At =m Bt =m Ct =60^o dir.

Buradan ABC üçgeni eşkenar üçgendir.

B C

A

α

A

B C

c b

a

A

B C

A

B ^60° C

60°

60°