FİZ 501 TEORİK MEKANİK-I. Ders Notları. Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Fizik Yüksek Lisans

(1)

FİZ 501

TEORİK MEKANİK-I

Ders Notları

Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Fizik Yüksek Lisans

Ders Hocası: Prof.Dr. İsrafil HÜSEYİN (I.I. GUSEINOV) 1998-99 Öğretim Yılı Bahar Yarıyılı

Not: Ayrıca aynı hocanın bkz: FİZ 405 Klasik Mekanik Ders

Notları

(2)

1

İÇİNDEKİLER

Teorik mekanikte kullanılan modeller ... 1

Klasik mekanik ... 1

Newton mekaniği ... 1

Teorik mekaniğin amacı ... 2

Lagrange yöntemi ... 2

Hamilton yöntemi ... 2

Hanıilton-Jacobi yöntemi ... 2

Lagrange fonksiyonu ... 3

Kartezyen koordinatlarda Lagrange fonksiyonu ... 3

Silindirik koordinatlarda Lagrange fonksiyonu ... 4

Küresel koordinatlarda Lagrange fonksiyonu ... 4

ÖRNEK: Sarkaç problemi ... 5

ÖRNEK: Sarkaçın Lagrange Fonksiyonu ... 6

En küçük etki ilkesi (Hanıilton ilkesi) . . . 7

Lagrange denklemlerinden Newton denk. bulunması ... 11

Lagrange fonksiyonunun özellikleri . . . 11

Çift sarkacın Lagrange fonksiyonu ve Lagrange denkleminin bulunması . . 14

Galile'nin görelilik ilkesi ... 16

Mekaniksel sistemin simetri özellikleri ve korunum terimleri . . . 18

ÖRNEK (Korunum kanunlarıyla ilgili) ... 20

Zamana göre homojenlik ve enerjinin korunumu ... 21

SORULAR (Korunum kanunlarıyla ilgili) ... 25

Lineer momentumun korunumu ... 26

Açısal momentumun korunumu ... 29

Açısal momentumun genelleşmiş koordinatlarda korunması ... 33

Virial teoremi . . . 3 5 ÖRNEK (Harmonik osilatör) ... 38

ÖRNEK (Virial teoremi ile ilgili) ... 39

Rölativite mekaniğinde ve elektrodinamikde Lagrange yöntemi ... .40

,,

(3)

Konservatif kuwetin alanında hareket ... .40

Potansiyelin hıza bağlı alanda hareketi ... .42

Hareket denklemlerinin integrallenmesi ( çözülmesi) ... .45

SORULAR. ... 47.1 İki cisim problemi ... 49

Merkezi alanda hareket ... 52

Hareketin periyodu ... 61

Kepler'in il. Kanunu ... 61

Kepler'in 111. Kanunu ... 61

Coulomb alam için Runge-Lenz Korunum Kanunu ... 63

Uzay harmonik titreşici potansiyel alanında hareket ... 65

8

Moleküllerde titreşim hareketi ... 69

Moleküllerin küçük titreşimleri ... 69

N ormaltitreşim koordinatları ... 80

Lineer olmayan molekül ... 80

Lineer molekül ... 81

Simetrik iki atomlu molekülün normal titreşimleri ... 86

Simetrik üç atomlu molekülün titreşimi ... 90

Vize soruları . . . 102

•

(4)

DİZİN

7 tane korunum kanunları ... 34

Açısal momentumun additivitelik özelliği ... 31

Açısal momentumun genelleşmiş koordinatlarda korunması ... 33

Açısal momentumun korunması kanunu ... 54

Açısal

momentumun korunumu ... : :,·_ · ... : ... : :

.•·:'.<": .. ''. · .. · . .' ·. •_.:.i~f'

· Additivitelik özelliği (açısal momentum için) ... 31

! Alan integrali kanunu ... 54

Amaç (teorik mekaniğin amacı) ... 2

ı Asimetrik topaç . . . 1 O 5 Asri (karakteristik) denklem . . . 73

, Asri denklemin kökleri ... 93

Baş eylemsiz eksenler ... 104

Birim matris ... 78

Clausius . . . 3 5 Cosinüsler kanunu ... 60

Coulomb alanı ... 62

Coulomb alanı için Runge-Lenz Koıunum Kanunu ... 63

Çekirdeğin yerdeğişme vektör. kartezyen koor. bileşen. normal koor. ifadesi ... 89

- Çekirdekler arası mesafeler ... 98

l Çift fonksiyon . . . 48

Çift sarkacın Lagrange fonksiyonu ve Lagrange denkleminin bulunması ... 14

. C.:lıttıt.l lU-..4..t.ı.,

M•-'-'~""'

~~..c""'"' ....•. .2,,

· Dejenere ... 98

Determinantın sıfır olması ... 87

Diferansiyel ... 8

Dönme hareketi için N ewton denklemi ... 30

Dönnıe noktaları ... .4 7 Ekstrumum noktaları ... 47

Elips ... 62 devamı Elips denklemi ... 68

1

(5)

Elipsin alanı . . . ... 61

Elipsin büyük yanın ekseni ... 61

Elipsin denklemi ... 5 8 Elipsin eksantrisi . . . .. 5

8

Elipsin parametresi . . . 5 8 En kü~ük etki ilkesi (Hamilton ilkesi) ... 7

~'";""' "'°""""'"'"""""· ... --.... ²¹

Etki ıntegrali . . . .. 8

Etki-Tepki yasası ... 31

Euler açıları . . . 99

Euler denklemleri ... 106

Euler dönüşümünün çıkarılışı ... 100 .1 • Euler'in homojen fonksiyon teoremi ... 24

Eylemsiz momentler ... 104

Eylemsiz sistem ... 16

Eylemsiz tensör . . . 102

Galile ilkesi . . . 18

Galile işlemleri ... 18

Galile'nin görelilik ilkesi ... 16

Genelleşmiş koordinatlar ... 1, 2 Genelleşmiş kuvvet ... 28

Genelleşmiş momentum ... -... 28, 53 • Gizli simetri . . . 63

Hacım elemanı ... 39

. . .:.~ t C I •• j, .' t ) l,"'"¼-V . ., . , . , , , .,-.,., ,- ,.._,.,,,, .... ., ~ · ~ • ~1-•'\ - ,;.,..ı..,•ft •,, ,' -•e.o;.::•, Hamilton ilkesi (En küçük etki ilkesi) ... " ... 7

Hamilton yöntemi ... 2

Hamilton-Jacobi yöntemi ... ,2

Hareket denklemi ... 2

Hareket denklemlerinin integrallenmesi ( çözülmesi) ... .45

Hareket integrali . . . 18

Hareketin periyodu ... 61 Haımonik osilatör ... 3~47

(6)

Hannonik osilatör yaklaşımı ... 70

H annonı tıtreşımın "k. . . k oor d. matı ... 7 5 Hiperbol ... 62 devamı Homojen ... 16, 26 Homojen fonksiyon . . . . ... 24, 35 Homojenlik ... 19

Homojenlik mertebesi ... 24

İç kuvvetler ... 32

İki cisim problemi ... 49

İnvaryant ... 18

. İnt\~'1\~~,~

k.~.\-\

^{t_ - -} ^- ^- ^{- - - - -} ^- - - · - - - - - - - - - - - --S0 Izotrop . . . 16, 29 İzotropluk ... 20

Kapalı elips ... 67

Karakteristik ( asri) denklem . . . 73

Karışık çarpım ... 64

Kartezyen koordinatlar . . . 1

Kartezyen koordinatlarda Lagrange fonksiyonu ... 3

Katsayılardan oluşan determinant ... 72

Kepler'in I. Kanunu ... 62

Kepler'in II. Kanunu ... 54, 61 Kepler'in III. Kanunu ... - ~

,2.

Kısmi integralleme ... 9

Kinetik enerjinin ortalama değeri ... 38

Klasik mekanik ... 1

Konservatif kuvvetin alanında hareket ... .40

Konservatif sistemi ... 22

Korunum kanunları (7 tane) ... 34

Korunum terimleri (Mekaniksel sis. simetri özel. ve konmum terimleri) ... 18

Köşegen ... 75

Köşegen matris ... 77

Kuvvet katsayıları ... 71

(7)

Kuvvet momenti ... 30

Küçük titreşimlerde çekirdeklerin yerdeğiştirme vektör. sağladıkları eşitlikler .. 83

Küçük ve büyük yarıeksenler ... 60

Küresel koordinatlarda Lagrange fonksiyonu ... 4

Küresel topaç ... 105

Kütle merkezi ... 27

Lagrange denklemlerinden N ewton denk. bulunması ... 11

Lagrange fonksiyonu ... 3

Lagrange fonksiyonun köşegenleşmesi ... 76

Lagrange fonksiyonunun küresel koordinatlarda ifadesi ... 52

Lagrange fonksiyonunun özellikleri . . . 11

e

Lagrange yöntemi ... 2

Lagrange yöntemi (rölativite mekaniğinde ve elektrodinamikde) ... .40 .

Lineer bağımsız ... 9

Lineer kombinasyon ... , ... 7 4 Lineer molekül ... 81

Lineer molekülün potansiyeli ... 81

Lineer momentumun korunumu ... 26

Lineer olmayan molekül ... 80

Lineer olmayan molekülün potansiyeli ... 81

Mekaniksel sistemin simetri özellikleri ve korunum terimleri ... 18

Merkezi alanda hareket ... 5 2

-

Merkezkaç enerjisi ... 56

Molekül hareketleri için koşullar ... 82

Moleküllerde titreşim hareketi ... 69

Moleküllerin küçük titreşimleri ... 69

Moment (kuvvet momenti) ... 30

Newton denklemi ... 22

Newton denklemi (dönme hareketi için) ... 30

Newton denklemleri ... 5

Newton mekaniği ... 1

(8)

Normal koordinat ... 7 5

Normal koordinatların kartezyen koordinatlarla ifadesi . . . 89

Normal titreşim koordinatları ... 80

Normal titreşimler . . . 7 5 Oı1alama değer . . . 3 7 Oı1alama değer (kinetik enerjinin) ... 38

Oıtonormallik şartlarının matrislerle ifadesi ... 77

ÖRNEK (Harmonik osilatör) ... 38

ÖRNEK (Konmum kanunlarıyla ilgili) ... 20

ÖRNEK (Korunum yasalarıyla ilgili) ... 31

ÖRNEK (Virial teoremi ile ilgili) ... .39

ÖRNEK: Sarkaç problemi ... 5

ÖRNEK: Sarkaçın Lagrange Fonksiyonu ... 6

Parabol ... 62 devamı Potansiyel enerjinin simetri özelliği ... 19

Potansiyelin hıza bağlı alanda hareketi . . . .4 2 Potansiyelin homojen olması ... 20

Potansiyelin iki çeşit simetrisi ... 19

Potansiyelin zamandan bağımsız olması . . . 19

Rotator ... 106

Rölativite mekaniğinde ve elektrodinamikde Lagrange yöntemi ... .40

Runge-Lenz Korunum Kanunu (Coulomb alam için) ... 63

Sabit katsayılı kısmı diferansiyel denklem ... 72

Sabitin varyasyonu ... 13

Sarkacın Lagrange fonksiyonu ... 5

Sarkaç problemi (ÖRNEK) ... 5

Sektöryel hız . . . 54

Serbestlik derecesi . . . 5, 81 Silindirik koordinatlarda Lagrange fonksiyonu ... .4

Simetri ... 5

Simetri (Gizli simetri) ... 63

s

(9)

Simetri (Mekaniksel sistemin simetri özellikleri ve korunum terimleri) ... 18

Simetri özel. dik. alınarak düzlem. ve lin. mol. tit koo. iki çeşit tit.ilg. sayısı .. 84

Simetrik iki atomlu molekülün normal titreşimleri ... 86

Simetrik topaç . . . 1 O 5 Simetrik üç atomlu molekülün titreşimi ... 90

Skaler ... 104

SORU (Kütle merkeziyle ilgili) ... 27

SORULAR ... 47.1 SORULAR (Korunum kanunlanyla ilgili) ... 25

Tek değerli ve bağımsız koordinatlar ... 2

Tensör ... ·. 100 -

Teorik mekaniğin amacı ... 2

Teorik mekanikte kullanılan modeller ... 1

Ters matris ... 78

Uzay harmonik titreşici potansiyel alanında hareket ... 65

Valans açıları ... 98

Varyasyon ... 8

Vektörler ... 103

Virial teoremi . . . 3 5 Vize soruları ... 102

Yedi tane korunum kanunları ... 34

Y erdeğişme hızı ... 70

Y erdeğişme vektörünün bileşenleri ... 70

Yörüngenin elips olduğunun ispatı ... 66

Zamana göre homojenlik ve enerjinin korunumu ... 21

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

(123)

(124)

(125)

(126)

(127)

(128)

(129)

(130)

(131)

(132)