FİZ 405 KLASİK MEKANİK. Ders Notları. Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Fizik Bölümü. Ders Hocası: Prof.Dr. İsrafil HÜSEYİN

(1)

FİZ 405

KLASİK MEKANİK

Ders Notları

Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Fizik Bölümü

Ders Hocası: Prof.Dr. İsrafil HÜSEYİN 1999-2000 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı

Ders İçin Tavsiye Kitaplar:

1-) Mekanik, L.D.Landau ve E.M.Lifshitz 2-) Klasik Mekanik, Herbert Goldstein

Not: Ayrıca aynı hocanın bkz: FİZ 501 Teorik Mekanik Ders

Notları

(2)

İÇİNDEKİLER

I.,agrange hareket denkleınleri ... 1

Genelleşmiş koordinatlar ... 1

Kartezyen koordinatlar ... 1

Küresel koordinatlar ... l Bağııtısız ve tek değerli mekaııik dunun ... 1

Basit sark.aç ... 1

Genelleşnıiş hız ... 2

Genelleşmiş ivme ... 2

Sisteıniıı hareket denkleıııi ... 2

İntegraJ sabitleri ... 2

I.,agrange denkleıni ... 2

Silindirik koordiııatlar ... 3

Küresel koord.inatlar ... 3

Mc\4desel~ktal sisteminin Lagrange fonksiyonu ... .4

E+t,"' ;,,,. i - - - - - - - _ _ _ - - - _ - - - -S En küçQk e i ilkesi (Hamilton prensibi) ... 5

Varyasyon ... 5

Diferansiyel ... 5

ugrange denk.leıni ... 6

Serbestlik derecesi ... 6

ugrange fonksiyonunun özellikleri ... 8

Uygulama. (Sarkacın Lagrange Fonksiyonu ve hareket denklemi) ... 1 O Uygulama (Kürese] sarkac (Fuko sarkacı)) ... 12

Uygulama (Atwood aletinin Lagrange Fonksiyonu ve lıareket denk.lemi) ... 13

Galileo~nwı rölativite ilkesi ... 14, 15 Eylemsizlik kaımıru ... 14

0-alileo'nun dönüşfun fonnlan ... 15

Değişınez (İııvaryant) ... ~ ... 15

I.,orentz dönüşüınleri ... 15

1

(3)

· Einstein rölativite ilkesi ... 15

Konınuın kanunları ... 16

1 Sin1etrik ... ., ... 16

' Sinıetri özellikleri ... 17

Lineer nıomeııhım ... 17

Açısal nıonıentum. . ... 17

ı EnerJ ınm korunınası ... ., . ,. ... 1 7 ~ 19 i • Baş k:uantunı sayısı ... 17

İzotrop luk özelliği ... 18

Homojen ... 18

-

¹ Hon1ojen fonksiyon ... 20

Euler'e göre homojen fonksiyonlar ... 20

Konservatif sistem ... 21

1 Uygulama (Atwood aletinde Lagrange Denkleınleri) ... 22

Uygulama (Masa üzerinde hareketli cisim ... için Lag. Denk.) ... 23

' Bağ koşulu ... ,, ... 23

1

1 Lineer momentumuıı korunumu ... 25

Kütle merkezi ... 26

Açısal momentumun korunumu ... 27

Simetrik ... 27

Kuvvet n1omenti ... 27

Açısal momenhımtm geııeUeşmiş koordiantlarda korunumu ... 29

()rbital kuantuın sayısı ... 30

! !vlagnetik kuruıtıını sayısı ... 30

i Virial terim ... 30

ıf~~ ~ .. ... .~~~~ .. ~ .. ~ .. ~ ... ~ .. : .... : ... ~ .. ~ .. ~ .. ~ .. ~.~.~Jt

~ -t.f\~ıiSi - - - · - - - · 31

B~it sarkatm hareket denkleminin çözümü ... .33

Rölativistik ve elektrodinamikte Lagrange denklemleri ... 34

i Hıza bağlı potansiyel alanda lıarekt..1 ... .35

Vektörel potansiyel ... 36

Elektrik alan vektörii ... 36

2

(4)

r)

l\ı!agnetik alan vektörü ... 36

Uygulama ... 39

Hareket denklemlerinin integrali ... .43

Bir boyutl11 harek.et ... 43

Hannonik osilatör ... 44

İki atomlu moJeküJler için hamıonik osilatörüıı iııce1eıımesi ... : .... 44

iki

cisinı probleıııi ... 46

Merkezcil alaııda. Jıareket ... 47

Kepler'in il. Kaııunu ... 49

Uygulama (Çok parçacıklı sistemin kütle merkeziyle iJgili) ... .51

öınek (Enerjinin koruııwııundan yararlanarak zamana bağlı oJmayan dış alanda hareket eden maddesel nokta için zamana göre toplanabilirlik özelliği) ... 53

Çekirdek Coulomb alaıuııda hareket ... 56

Elips denkleıni ... 57

Hiperbol ... 57, 63 Elipsin büyük ve küçük yarım eksenleri ... .58

Kepler'in III. Kaııunu ... 59

Uygulama (Küresel sarkacın hareket denkleminin integre edilmesi) ... 60

Parabol ... 63

Rwıge-1.eıız vektörfı ... 64

Dejeııere merte'besi ... 65

Merkezi dejeııere ... 65

Uzay hannonik ti.treşicinin potansiyeli ... 65

Damla modeli ... 65

Merkezcil potaıısiyel ... 65

h-folekülJerin titreşiınleri ... 66

Titreşiırueriıı genel teorisi ... ·.69

Kararlı denge ... 69

Kararsız denge ... 69

(5)

Denkleınler sisteıni ... 71

Karakteristik denkleın ... 72

Moleküllerin nonnal titreşimleri ... 7 4 Serbestlik derecesi ... 7 5 i : Moleküllerin dönmeleri ... 80

Euler açıları ... 81, 88 Eylenısiz1ik tensörü ... 82

Uygu]ama (bir parçacığın merkezi alanda izlediği yol) ... 83

Skaler ... 88

ı Tens.ör ... 88

/ Baş ey1eınsiz momentunı eksenleri ... 90

· Eyleınsiz ınonıeııtler ... 90

1 1 Asiınetrik topaç ... 90

S inıetrik topaç ... 90

J>:resesyon hareketi ... 90

Haınilton yöntemi ... 91

1 • denk . 1 Hamılton lenılerı ... 92

Hamilton'un Kanoııik denklemleri ... 92

Hanıilton fonksiyonu ... 92

· Genelleşmiş koordinatlar ve hızlar ... 93

i Genelleşmiş koordinatlar ve lineer momentumlar ... 93

1 . Genelleşıniş nıon1entum ... 94

1 ' Uygulama ( Potasiyel enerjisi verilen H benzeri atomlar için Lagrange ve 1 Hamil.ton hareket denklemlerinin kürese) koordinatlarda bul.) ... 95

i Klasik mekanikte ve elektroma.gnetikte Hamilton yöntenıleri ... 97

1 Mau_pertuis ilk.esi ... l 00 Parçacıkların ikili özelliği ... 100

F ermat ilkesi ... l 00 Dalga optiği ... 100

Geonıetrik optik ... l 00 1 Dalga nıek.aniği ... 100

4

(6)

Kuantwn ınekaniği ... 100

Adyabatik invaryantlar ... 103

Hanıi)ton-Jatı--obi '\'.'" öııteıni ... 1 O 5 Dalga optiği ile klasik mekaniğin benzerliği ... l 06 Geoıne1ri.k optik denklemi ... 107 ~ 108 Düzlenısel dalga ... l 08 E yk.onal ... 108

De Broglie ... 109

Kırınım sabiti ... 109

Schrödinger Denklemi ... 1 1 O örnek (küresel sak.aç problemenin hamilton fonk. yöntemiyle çözülmesi ) ... 112

örnek ( q ytiklü, m kütleli bir parçacık ... için La.g. ve Hamiltoıı ... ) ... 113

Geometrik optik ile klasik mekaniğin benzerliği ... 115

Hidrojen atomunun yan klasik Bohr-Sommerfeld Teorisi ... 116

Bohr postulatları ... l 16 Soınmerfeld ... 117

RadyaJ kuantuın sayısı ... l 17 ?vlagnetik kuruttum sayısı ... 117

İndirgeımıiş kütle ... l 18 Ritzold sabiti ... 1 20 Uygulama ( Bir yay ve bir çubuktan oluşan ve salınım yapan sistem için Lagrange ve Hamilton fonksiyonları, hareket denklemleri) ... 124

(7)

r

DİZİN

Açısal momentun1 ... l 7

ı Açısal momentwnun genelleşmiş koordiantlarda korunumu ... 29

Açısal monıentumun korunumu ... 27

Adyabatik in varyantlar ... l 03 Asimetrik topaç ... 90

Şağkoşulu ... ,. ... 23

84 ~t.\,," iS İ - _ - : - - - • - - - - · - - ~ • - - - - - - .3,J Bagımsız ~ tek degerlı ınekamk durum ... 1

Basit sarkacın hareket denkleminin \'Özümü ... 33

Basit sark.aç ... 1

/ Baş eylemsiz rnomentı.mı eksenleri ... 90

: Baş kuantunı sayısı ... 17

, Bir boyı.ıtlu harek:et ... 43

Bohr po~tulatları ... l 1 6 Boyle-:rı...1ariotte denklemi ... 30

Çekirdek Coulomb alanında hareket ... 56

Dalga mekaniği ... 100

Dalga optiği ... l 00 Dalga optiği ile klasik mekaniğin benzerliği ... 106

Damla modeli ... 65

De Broglie ... 109

Değişınez (İn varyant) ... 1 5 Dejenere mertebesi ... 65

Denklemler sistenıi ... ·11

Diferansiyel ... ... 5

Düzlemsel dalga ... 108

Einstein rölativite ilkesi ... 15

, Elek"trik. alan vek:törti ... 36

Eli~ detıkleıni ... 57

E\ıiıl-•l

;"'+tJMil

^{~ ~}

- - - - - - - - - - - - - - - - - · - ,~

Elipsin büyül:. ve küçük yarım eksenleri ... .58

(8)

' E ~ ,i\\..t.~, - - - -- - - ---- -- ^·-·S

i En küçük etki ilkesi (Hamilton prensibi) ... .5

, E ... k 17 19 ı nelJının orunnıası. .. .... . .. ... ... .. ... ... .... . .. .. . . .. .... . .. . ... ... ... .. ... . . ... .. . . .... . , Euler açılan ... 81~ 88 i Euler'e göre homojen fonksiyonlar ... 20

Eyk.onal ... 108

: Eylemsiz nıomentler ... 90

~ Eylemsizlik kanunu ... '.···14

: Eylemsizlik tensörü ... ~ ... 82

~~~~ · .. i~i--~~\ci~i·~·~··~··: ... ~·--~··::·~·--:--:··:---:···:.···:.···~· .. ~··:·.

¹

Yf

Gali1eo'nun dönüşüm formları ... 15

Galileo'nun rölativite ilkesi ... 14, 15 : Genelleşmiş hız ... 2

1 : Ge:neHeşıniş ivnıe ... 2

Genelleşıniş koordinatlar ... l ' Genelleşmiş koordinatlar ve ^hızlar... 93

1 Genelleşmiş koordinatlar ve lineer monıentumlar ... 93

Geııelleşmiş morneııtunı ... 94

i Geoınetrik optik ... 100

~ Geoınetrik optik deııkleıni ... 107~ 108 : Geometrik optik ile klasik mekaniğin benzerliği ... 115

HamiJton denkleınleri ... ,. ... 92

Hamilton fonksiyonu ... 92

Hamilton yöntemi ... 91

: Hamilton'un Kanonik denklemleri ... 92

1 1 Hamilton-J~"'Obi Y önteıni ... 105

Hareket denklemlerinin integrali ... .43

, Harmonik osilatör ... 44

. Hıza bağlı potansiyel alanda hareket ... .3 5 Hidrojen atomunun yarı klasik Bohr-Sommerfeld Teorisi ... 116

1 Hiperbol ... 57, 63 Hoınojen ... 18

2

(9)

l

Honıojen fonksiyon ... 20

İki atomlu moleküller için hannoııik osilatörün inceleıırnesi ... 44

İki cisim problemi ... 46

İndirgenmiş kütle ... 118

_ İntegral sabitleri ... 2

1 : İzotropluk özelliği ... 18

1 ' Karakteristik deııkleın ... 72

Kararlı deng~ ... 69

, Kararsız deııge ... 69

j Kartezyen koordinatlar ... 1

, Kepler'in II. Kanımu ... 49

Kepler'in III. Kanunu ... 59

, Kırınım sabiti ... 109

1-K:lasik. mekanikte ve e l ~ i k . t @ Hae.:ıilt9R yeRleffıleri ... 97

1

~:S" .. 1I~~t~··k~~~~ı~J·:···:·~··~··~···~···:··:··:··~··~···::.--~···~···~··-.:·:J}

Korunum kanunları ... l 6 Kııantımı mekaniği ... 100

Kuvvet momenti ... 27

, Küresel koordinatlar ... 1

Küresel koordinatlar ... 3

k\'.ı~d

.s,~~~ fo~ta4.\. __ - - - _ ·- ____ - - - _ - - - - -

^---'ı-l K0tle merke--.ti ... 26

I..agrange denk.lemi ... 2

I.,agrange denklenıi ... 6

I..agrange fonksiyonunun özellikleri ... 8

Lagrange hareket denkleınleri ... 1

, Lineer monıentunı ... 17

-Lineer moment-umun konınumu ... . 25

I.,orentz dönüşümleri ... 15

: Maddesel noktalar sisteminin Lagrange fonksiyonu ... .4

' 1..r~ ik 1 kt·· .. ·16

! ıv.uıgııet a an ve . om ... ~ J\.1agııetik kııantunı sayısı ... 30

(10)

Magnetik kuaııtuın sayısı ... l l 7

: Maupertuis ilkesi ... 100

Merkezcil al'\l)da hareket ... 47

tv\~k.-t.~\

~-f~-'~cft\., -

^{~ - - -} ^- ^{- - - -} ^- ^- ^- ^- ^{- - ----}~ ~ ·ı;,4"f ~1erkezcıl potansıyef .:.: ... 6_ Merkezi dejeııere ... 65

Moleküllerin dönıneleri ... 80

Moleküllerin normal titreşimleri ... 74

~~~!?~ei~~~~\t,~··:~··_-·_-·~·:·~·~·-·~·:1-"i~···;:i·:ı:~~~~·~·~·~~·~·~·:·:ıı

1 ()rbıtal kuantum sayısı ... 30

örnek ( q yüklü, m kütleli bir parçacık ... için Lag. ve Hamilton ... ) ... 113

Örnek (Enerjinin koruımmundan yararlanarak zamana bağlı ... ) ... 53

örnek (küresel sA.aç problemenin hamihon fonk. yöntemiyle çözülmesi ) ... l 12 Parabol ... 63

Parçacıkların ikili özelliği ... l 00 1 Presesyon hareketi ... 90

Radyal kuantum sayısı ... l 17 Ritzold sabiti ... 120

Rölativistik ve lilek-ypdinamikte Lagrange denklemleri ... T ... .34

l'ôlct{, "'i'ı~\:.

~tka",-q-~

v-t.

El~•~.~l--e- ~HoV\

Yr~'\twJ ~, - - - - · .. s=,. Runge-1,enz vektörü ... 64

, Schrödiııger Denk.lemi. ... 1 1 O Serbestlik derecesi ... 6

Serbestlik derecesi ... 7 5 Silindirik koordinatlar ... 3

Siınetri özellikleri ... 17

Simetrik ... 16

Siınetrik ... 27

Sinıetrik topaç ... 90

1 Sistenıin hareket denklemi ... 2

i ' Skaler ... 88

Sonımerfeld ... 117

4

(11)

1 i

l

1

l

!

1 t 1

Tensör ... 88

T ·tr . ı eşın eruı ^ı1 . gene 1 t ^eorısı. . ... . 69

n\.~ıı-.\~(tlo.__,,J +~ı\,,.Jtc,J- ~

- - _______ - - - - -?.1

Uygulama. ... 39

Uygulama ( Bir yay ve bir çubuktan oluşan ve salınım yapan ... ) ... 124

Uygulama ( Potansiyel enerjisi verilen H benzeri atomlar için ... ) ... 95

Uygulama (Atwood aletinde Lagrange Denklemleri) ... 22

Uygulama (Atwood aletinin Lagraııge Fonksiyonu ve hareket denklemi) ... 13

Uygulama (bir parçacığın merkezi alanda izlediği yol) ... 83

Uygulama (Çok parçacıklı sistemin kütle merkeziyle ilgili) ... .51

Uygulama (Küresel sarkac (Frik.o sarkacı)) ... 1.2 Uygulama (Küresel sarkacın hareket deııkleminin integre edilmesi) ... 60

Uygulama (Masa üzerinde hareketli cisim ... için Lag. Denk.) ... 23

Uygulama (Sarkacın Lagrange Fonksiyonu ve hareket deııklemi) ... 1 O U zay ^ııarmo nik . titreşıcınııı potansıye ı . . . . ^ı· ... . 65

Varyasyon ... 5

Vektöre} potansiyel ... 36

ViriaJ terim ... ... 30

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

(123)

(124)

(125)

(126)

(127)

(128)

(129)

(130)

(131)

(132)

(133)

(134)

(135)

(136)

(137)

(138)

(139)

(140)

(141)

(142)

(143)

(144)

(145)

(146)

(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

(153)

(154)

(155)

(156)