KARMAŞIK SAYILAR (Özet)

KARMAŞIK SAYILAR (Özet)

Sanal Sayılar

Birim sanal sayı:

Sanal sayılar j∙b biçimindeki sayılardır (b gerçel).

Sanal Sayıların Gerçel Sayı Doğrusuna Göre Konumu Sanal sayıların gerçel sayı doğrusuna göre nerede

gösterilmesi gerektiğini bulmak için, geometrik yerini açıkça görebildiğimiz öyle bir büyüklük formülü

üretelim ki bu formüldeki parametreleri ayarlayarak bu büyüklüğü istersek gerçel, istersek sanal yapabilelim.

Böylece formüldeki parametreleri ayarlayarak sanal yapacağımız büyüklüğün uzayda gerçel sayı doğrusuna göre konumunu da görebiliriz. Bu amaca uygun bir formül, elipsin odak koordinatları formülüdür.

Bilindiği gibi, düzlemde “merkez” adı verilen bir noktadan (M) sabit uzaklıktaki noktalar kümesinin oluşturduğu şekle “çember” denilir.

Çember: Her P noktasında r sabit.

Benzer olarak, düzlemde “odak” adı verilen iki noktadan (F₁ ve F₂) uzaklıkları toplamı sabit olan noktalar kümesi de “elips” olarak adlandırılır.

Elips: Her P noktasında r₁ + r₂ sabit.

Şimdi, odakları gerçel sayı doğrusu üzerinde orijine göre simetrik F₁ ve F₂ koordinatlarında bulunan ve bu odaklar ile koordinat farklarının kareleri toplamının karekökleri toplamı (r₁ + r₂) sabit olan noktalar kümesinden oluşan düzlemsel şekli düşünelim.

(Elips benzeri ama tam olarak elips değil; çünkü uzunluk negatif olmayan anlamda kullanıldığı için uzunluk yerine koordinat farklarının kareleri

toplamının karekökleri toplamı dedik.)

 1



j

Şeklin yatay ve düşey olarak orijinden en büyük uzaklıkları sırasıyla a ve b (negatif olmayan gerçel) olsun.

İki özel P noktası kullanarak odak koordinatlarının formülünü bulalım:

Biri en sağdaki nokta, diğeri en üstteki nokta olsun.

r₁₁ = a + F , r₂₁ = a – F

Baştan da amaçladığımız gibi, a ve b değerleri uygun bir biçimde seçilirse bu

koordinatlar sanal sayı olabilmektedir.

2 2 22

12 r F b

r   

2 2 12 1

2

11 r r r

r   

2

2 2

2 ) (

)

(a  F  a  F  a  F b

2

2 b

a

F   

2 2

2 2

2

1

a b , F a b

F      

a > b için bu biçimde olan şekil, a = b için elipsin özel bir hali olan çember biçimini alır ve odakları üst üste çakışarak çemberin merkezi haline gelirler.

a < b olduğunda ise odak

koordinatları sanal sayı olur. Bu durumda şeklin biçimi, soldaki şeklin 90° döndürülmüşü gibi olmaktadır. O halde yeni şeklin odakları da 90° döndürülmüş olacaktır.

Bu kurgu problemden

görüldüğü gibi sanal sayılar, gerçel sayı doğrusuna dik ve orijinden geçen bir doğru üzerinde yer almaktadır.

Gerçel ve sanal sayı doğruları tarafından

belirlenen düzleme “karmaşık düzlem” denir.

2 2

2 2

2

1

a b , F a b

F      

1 3

2

3 1 2

j 2 j

 j 2

 j 0

Sanal sayı doğrusu

Gerçel sayı doğrusu

Karmaşık Sayılar

a ve b gerçel olmak üzere, �=�+ ��  biçiminde yazılabilen her c sayısı karmaşık sayıdır.

Bu gösterime, “karmaşık sayının Kartezyen gösterimi” denir.

Karmaşık sayılar, karmaşık düzlem üzerinde yatay koordinatı sayının gerçel kısmı, düşey koordinatı da sanal kısmı olan birer noktayla gösterilirler.

Karmaşık sayılar ayrıca, orijinden bu noktaya giden birer vektörle de gösterilebilirler.

Bu noktanın orijine olan mesafesi r , gerçel eksenin artı kısmıyla şekilde gösterilen yönde yaptığı açı da θ ile gösterilerek

“karmaşık sayının kutupsal gösterimi” şöyle tanımlanır:

Burada r ’ye “karmaşık sayının modülü”, θ ’ya ise “karmaşık sayının açısı” denir.

Kutupsal gösterimden Kartezyen gösterime geçiş:

�=� cos θ  �=� sin θ 

Kartezyen gösterimden kutupsal gösterime geçiş:

� =

 

√ ^�

²

^{+ �}

² Fakat açıyı bulurken dikkatli olmalıdır: ^θ=

{

^{tantan− 1−1(π /2� / �(�/ �)∓ π) ¿}�=0 ve �> 0 ise^{¿¿�>0 ise�<0 ise}

− π / 2 ¿�=0 ve �< 0 ise belirsiz ( ö nemsiz ) ¿�=�=0ise  

a c }  {

Re Im { c }  b





 r

c

Örnekler:



^{Arctan(-1) 180}



^{2 135}

2

1     

 j

Limit önemliyse:

Limit önemli değilse:



Arctan(1)



2 45 2 ( 4) 2

1 j     ^   

0

1 1 











1 1 180^ 1



Arctan(-1)



2 ( 45 ) 2

1 j      ^



^{Arctan(1) 180}



^{2 225}

2

1     

 j



 0 90

30 0

) (

0 0 0

0   j   belirsiz     60

0 3 Arctan 0

3

lim0     

 x j x

x

) 2 ( 1 90

1   

 ^

j

90

4 4   j

) 2 (

1 90

1    



 j ^

90

5 5 

 j

Euler Formülü

Her ne kadar Euler’in adıyla meşhur olsa da aslında Euler daha 7 yaşındayken Roger Cotes 1714’te bulup yayınlamıştır.

Mutlak değeri 1, açısı (θ) değişken olan bir karmaşık sayıyı

biçiminde bir fonksiyon olarak düşünelim.

olduğunu düşünerek yeniden ’yı çözmeye çalışalım.

 

Her iki tarafın belirsiz integralini alırsak k integral sabiti ve olmak üzere

 

bulunur. Kutupsaldan kartezyene dönüşümden faydalanarak

bulunur.

Bunu da kutupsaldan kartezyene dönüşümle birlikte kullanırsak:

Özel durum 1) için:

 

Bu eşitlik, veya

Buradaki zerafet,

Günümüzde bile matematikçilerin çoğu tarafından, matematik tarihinin gelmiş geçmiş en

zarif

denklemi kabul edilmektedir.

Özel durum 2) için:

(k tamsayı)  

biçimiyle bulunduğu 18. asırda matematikçiler tarafından

“asrın denklemi” kabul edilmiştir.

matematikteki en önemli sayılardan dördünü veya beşini, çok önemli ve sade bir eşitlikte bir araya getirmesidir.















) 1 cos sin

( j

y

) ( cos

) sin

(       



 j jy

d dy



 

 jd y

dy ) (

) (

k j y()  

ln  y() e^j e^k  Ke^j

K Ke

y(0)  cos0 1 ^j0 







  cos j sin e ^j

 1



 e

^ j

0 1 



 e

j

2^k

 1

e

j

Karmaşık sayıların üstel gösterimi

gibi bir karmaşık sayı yazılabilir ki buna karmaşık sayının “üstel gösterimi” denir.

Buna göre c karmaşık sayısı, biçimlerinde yazılabilir.

Kutupsal gösterimdeki r ve θ, üstel gösterimdeki r ve θ ile tamamen aynıdır. Bu yüzden karmaşık sayıların üstel gösterimle yapılan işlemlerinde, kutupsal gösterim kullanılmasındakiyle aynı yollar izlenir.

Karmaşık sayılarla işlemler Toplama ve Çıkartma

Kartezyen gösterimle kolay yapılır.

Yandaki gibi vektörel toplama şeklinde de düşünülebilir.

Dikkat!   )

Çarpma

Kutupsal veya üstel gösterimle daha kolaydır:

Eşlenik

gibi bir karmaşık sayının eşleniği diye tanımlanır.

Karmaşık sayının gerçel sayı doğrusuna göre simetriğidir.





 r

c c  re^j

) sin ( ) cos

(  

 r  r j r

re^j    

) b j(b )

a (a

) jb (a

) jb (a

c c

2 1 2

1

2 2

1 1

2 1

















 (a a bb ) j(a b a b )

) jb (a

) jb (a

c c

1 2 2 1 2

1 2 1

2 2

1 1

2 1



















  

 

^{ 1 2}

2 1

2 1 2

1 2

1

2 1

2 2

1 1

2 1

) (

) (

) (

) (









































j j j

e r r r

r

e r e

r r

r c

c

 re

^j

r jb a

c     

 re

^j

r jb a

c

^*

    (  ) 

^

Mutlak Değer

gibi bir karmaşık bir sayının mutlak değeri:

Karmaşık sayının modülü ile mutlak değeri arasında küçük bir fark vardır.

Mutlak değer hiç eksi değer alamazken, modül eksi de olabilir. Zira Bölme

Kartezyen gösterimle işlem biraz karışıktır. Payı ve paydayı, paydanın eşleniğiyle çarparak yapılan işlem basitleştirilebilir:

Bölmede de kutupsal veya üstel gösterim daha kullanışlıdır:

Kuvvet Alma

Kuvvet (üs) alma işlemi için de kutupsal veya üstel gösterim kullanışlıdır.

Genel olarak gibi bir karmaşık sayının p. kuvveti, p’nin tamsayı olduğu durumlarda bu tek cevaptır.

Ama sıfır olmayan n gibi bir tamsayı için ise bu, gibi bir denklemin çözümü olduğu için n adet cevap vardır. r ’nin mutlak değer alınması tercihiyle bulalım.

 

 re^j

r jb a

c      ^{c  r  a2  b2  cc*}

) (

)

(     





 r

r

2 2 2 2

2 2

1 1

2 2

* 2 1

* 2 2

* 2 1 2

1 ( )( )

b a

jb a

jb a

c c c c

c c c c c





 



 2

2 2 2

2 1 1 2 2

2 2 2

2 1 2 1 2

1

b a

b a b j a b

a

b b a a c

c



 



 

) ( _{1 2}

2 1 2

2 1 1 2

1  



   

 







 

r r r

r c

c

 

^{ 1 2}

2 1

2 1 2

1 2

1  











_j^j

r r e

^j

e

r e r c

c

 re^j

r

c    c^p  r ^pe^jp  r^p(p )

; k tamsayı.

  Yani açıyı 2π’nin katları kadar farklı almak karmaşık sayıyı değiştirmez.

k numaralı cevap: �_�=

(

�^1/�

)

_�= �

⏟

^{1 /�}

+ger ç el de ğ er

�^�

(

^{� +2 � ��}

)

= �

⏟

^1/�

+ger ç el de ğ er

∠

(

^{�+2 � �}�

)

  ; �=1 , …, � Farklı bir k tamsayısı yine

bu değerlerden birini verir.

Örnek:

Çözüm:

Örnek:

Örnek:

2 ?

1 

 j x

) 2 2

2 ( 





 e

^j

e

^{j k}

j

 

¹² k ^{j(4 k) jk j 4}

^{( 1 )}

^{k j 4}

k

j e e e e

x  

^

   



j



e

x   ^j   1 2

4 1

1

 ^{x  ej }



^{1 j}



2

4 1

2



? )

8

( ¹³ 

 y

) 360 180

(

180 8

8

8  ^  ^{  }

 e ^j e ^{j k}

) 120 60

( 3

) 360 180

( 3 1 3

1

8 2

) 8

(  

^{  }



^{  }



^{j k j k}

k

e e

y

2 2 ¹⁸⁰

1  e^{j }   y

3 1

2

2

^{300 60}

2

e e j

y 

^{j }



^{j }

 

3 1

2 2

^{420 60}

3

e e j

y 

^{j }



^{j }

 

? 1

^{1 3}



 x







^{0 360}

1 e

^j

e

^jk

2 3 2

120

1

1

e j

x 

^{j }

  

2 3 2

240

1

2

e j

x 

^{j }

   x

₃

 e

^j360

 e

^j0

 1

Trigonometrik ve Hiperbolik Fonksiyon İlişkileri Euler formülünü +θ ve –θ için ayrı ayrı yazalım:

Bunların toplamı olduğundan:

 

cos �= �

^{� �}

+ �

^{− � �}

2 =cosh ( _{� �} )

 

Üsttekinden alttakini çıkarınca olduğundan:

 

sin �= �

^{� �}

− �

^{−� �}

�2 =− �sinh ( _{� �} )

 

Moivre Formülü

olduğu için Euler denkleminin sağ tarafının p. kuvvetini, Euler denkleminde açı yerine yazarak bulacağımız ifadeye eşitleyebiliriz:

 

Moivre formülü yardımıyla, özellikle p bir tamsayı olmak üzere ve değerleri, ve cinsinden kolayca ifade edilebilir.

 

Mesela için:

 

→ 







cos j sin

e

^j

 





cos  j sin

e

^{ j}

 

  ^e

^{j p}

^{ e}

^j(p)

 ^{cos   j sin } 

^p

^{ cos( p  )  j sin( p  )}





























cos sin

2 )

sin (cos

) sin (cos

2 sin 2

cos

2 2

2

j j

j ^{cos2  cos2  sin2 }







 2sin cos 2

sin