NÜMER· IK ANAL· IZ
Bilimsel Hesaplama Matemati¼ gi
Nuri ÖZALP
Ba¼ glay¬c¬Fonksiyonlar ve En Küçük Kareler
2. En Küçük Kareler Lineer En Küçük Kareler
En Küçük Kareler Yöntemi
En · Iyi Do¼ gru
m tane ( x i , y i ) verisinden olu¸san
x x 0 x 1 x 2 x m
y y 0 y 1 y 2 y m
tablosu verilmi¸s olsun. Bu verilerin bir lineere yak¬n davran¬¸s gösterdi¼ gini varsayarsak; verilere en yak¬n geçen bir y = ax + b do¼ grusunu nas¬l buluruz?
Bunun anlam¬
∑ m k = 1
j ax k + b y k j
toplam hatas¬minimum olacak ¸sekilde a ve b de¼ gerlerini bulmal¬y¬z ki bu problem bir ` 1 -yakla¸ s¬m¬olarak adland¬r¬l¬r.
Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER·IK ANAL·IZ — BÖLÜM 77 ! Ba¼glay¬c¬Fonksiyonlar ve En Küçük Kareler 2 / 15
Pratikte, istatistiksel bak¬¸s aç¬s¬ndan daha uygun olan
φ ( a, b ) =
∑ m k = 1
( ax k + b y k ) 2
fonksiyonunu minimumla¸st¬rmak daha yayg¬nd¬r, çünkü e¼ ger hatalar bir normal olas¬l¬k da¼g¬l¬m¬na sahipseler, bu durumda φ nin
minimumla¸st¬r¬lmas¬a ve b için bir en iyi tahmin üretir. Bu bir
` 2 -yakla¸ s¬m¬olarak adland¬r¬l¬r.
φ ( a, b ) yi minimum yapan a ve b de¼ gerlerini ∂φ ( a,b )
∂a = 0 ve ∂φ ( a,b )
∂b = 0 e¸sitliklerinden bulabiliriz.
φ a = 2 ∑ m k = 1 ( ax k + b y k ) x k = 0
φ b = 2 ∑ m k = 1 ( ax k + b y k ) = 0
2. En Küçük Kareler Lineer En Küçük Kareler
Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER·IK ANAL·IZ — BÖLÜM 77 ! Ba¼glay¬c¬Fonksiyonlar ve En Küçük Kareler 4 / 15
Sistem düzenlenirse 8 >
> >
> <
> >
> >
:
∑ m k = 1
x k 2 a + ∑ m
k = 1
x k b = ∑ m
k = 1
y k x k
∑ m k = 1
x k a + mb = ∑ m
k = 1
y k
normal denklemleri elde edilir ki; d = m ∑ m k = 1 x k 2 ( ∑ m k = 1 x k ) 2 olmak üzere, buradan
a = 1
d m
∑ m k = 1
x k y k
∑ m k = 1
x k
∑ m k = 1
y k
!
b = 1
d
∑ m k = 1
x k 2
∑ m k = 1
y k
∑ m k = 1
x k
∑ m k = 1
x k y k
!
bulunur.
2. En Küçük Kareler Lineer En Küçük Kareler
Örnek
x 1 2 2.5 3
y 3.7 4.1 4.3 5 tablosunu en iyi temsil eden do¼ gruyu bulunuz.
Çözüm
Normal denklemler
20.25a + 8.5b = 37.65 8.5a + 4b = 17.10
olup çözümü: a = 0.6 ve b = 3.0, φ = 0.1 ( = 0 ise noktalar do¼gru üzerinde olurdu.)
y = 0.6x + 3
Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER·IK ANAL·IZ — BÖLÜM 77 ! Ba¼glay¬c¬Fonksiyonlar ve En Küçük Kareler 6 / 15
2. En Küçük Kareler En ·Iyi Polinom
En Küçük Kareler Yöntemi
En · Iyi Polinom
Verilere en yak¬n geçen bir y = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + + c n x n polinomu bulmak istersek
φ ( c 0 , c 1 , ..., c n ) =
∑ m k = 1
∑ n j = 0
c j x k j y k
! 2
fonksiyonunu minimum yapan c i de¼ gerleri için
φ c
i
=
∑ m k = 1
2
∑ n j = 0
c j x k j y k
!
x k i = 0 ( i = 0, 1, ..., n )
den
∑ n j = 0
∑ m k = 1
x k j + i
! c j =
∑ m k = 1
y k x k i ( i = 0, 1, ..., n )
normal denklemleri elde edilir.
Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER·IK ANAL·IZ — BÖLÜM 77 ! Ba¼glay¬c¬Fonksiyonlar ve En Küçük Kareler 8 / 15
Aç¬k formda 8 >
> >
> >
<
> >
> >
> :
mc 0 + ( ∑ m k = 1 x k ) c 1 + + ( ∑ k m = 1 x k n ) c n = ∑ m k = 1 y k ( ∑ m k = 1 x k ) c 0 + ∑ m k = 1 x k 2 c 1 + + ∑ m k = 1 x k n + 1 c n = ∑ m k = 1 y k x k
∑ m k = 1 x k 2 c 0 + ∑ m k = 1 x k 3 c 1 + + ∑ m k = 1 x k n + 2 c n = ∑ m k = 1 y k x k 2 .. .
( ∑ m k = 1 x k n ) c 0 + ∑ m k = 1 x k n + 1 c 1 + + ∑ m k = 1 x k 2n c n = ∑ m k = 1 y k x k n
d¬r. Bu sistemin çözümünden c j katsay¬lar¬elde edilir.
2. En Küçük Kareler En ·Iyi Polinom
Örnek
x 1 2 2.5 3
y 3.7 4.1 4.3 5 tablosunu en iyi temsil eden kuadratik polinomu bulunuz.
Çözüm
Normal denklemlerden 8 <
:
4c 0 + ∑ 4 k = 1 x k c 1 + ∑ k 4 = 1 x k 2 c 2 = ∑ 4 k = 1 y k
∑ 4 k = 1 x k c 0 + ∑ 4 k = 1 x k 2 c 1 + ∑ 4 k = 1 x k 3 c 2 = ∑ 4 k = 1 y k x k
∑ 4 k = 1 x k 2 c 0 + ∑ 4 k = 1 x k 3 c 1 + ∑ 4 k = 1 x k 4 c 2 = ∑ 4 k = 1 y k x k 2 8 <
:
4c 0 + 8.5c 1 + 20.25c 2 = 17.1 8.5c 0 + 20.25c 1 + 51.63c 2 = 37.65 20.25c 0 + 51.63c 1 + 137.06c 2 = 91.98 olup çözümü: c 0 = 4.046, c 1 = 0.65 ve c 2 = 0.318
y = 4.046 0.65x + 0.318x 2
Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER·IK ANAL·IZ — BÖLÜM 77 ! Ba¼glay¬c¬Fonksiyonlar ve En Küçük Kareler 10 / 15
2. En Küçük Kareler En ·Iyi Fonksiyon
En Küçük Kareler Yöntemi
Polinom olmayan durum
f g i ( x )g bir baz fonksiyonlar kümesi olmak üzere; verilere en yak¬n geçen bir y = c 1 g 1 ( x ) + c 2 g 2 ( x ) + + c n g n ( x ) tipinde fonksiyon bulmak istersek
φ ( c 1 , c 2 , ..., c n ) =
∑ m k = 1
∑ n j = 1
c j g j ( x k ) y k
! 2
fonksiyonunu minimum yapan c i de¼ gerleri için
φ c
i=
∑ m k = 1
2
∑ n j = 1
c j g j ( x k ) y k
!
g i ( x k ) = 0 ( i = 1, ..., n )
den
∑ n j = 1
∑ m k = 1
g i ( x k ) g j ( x k )
! c j =
∑ m k = 1
y k g i ( x k ) ( i = 1, ..., n )
normal denklemleri elde edilir.
Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER·IK ANAL·IZ — BÖLÜM 77 ! Ba¼glay¬c¬Fonksiyonlar ve En Küçük Kareler 12 / 15
Aç¬k formda 8 >
> >
<
> >
> :
[ ∑ m k = 1 g 1 ( x k ) g 1 ( x k )] c 1 + + [ ∑ m k = 1 g n ( x k ) g 1 ( x k )] c n = ∑ m k = 1 y k g 1 ( x k ) [ ∑ m k = 1 g 1 ( x k ) g 2 ( x k )] c 1 + + [ ∑ m k = 1 g n ( x k ) g 2 ( x k )] c n = ∑ m k = 1 y k g 2 ( x k )
.. .
[ ∑ m k = 1 g 1 ( x k ) g n ( x k )] c 1 + + [ ∑ m k = 1 g n ( x k ) g n ( x k )] c n = ∑ m k = 1 y k g n ( x k )
den c j ler bulunur.
2. En Küçük Kareler En ·Iyi Fonksiyon
Örnek
x 0.24 0.65 0.95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99 y 0.23 -0.26 -1.10 -0.45 0.27 0.10 -0.29 0.24 0.56 1 tablosunu en iyi temsil eden y = c 1 ln x + c 2 cos x + c 3 e x formunda fonksiyonu bulunuz.
Çözüm 8 <
:
∑ 10 k = 1 ln 2 x k c 1 + ∑ 10 k = 1 cos x k ln x k c 2 + ∑ 10 k = 1 e x
kln x k c 3 = ∑ 10 k = 1 y k ln x k
∑ 10 k = 1 ln x k cos x k c 1 + ∑ 10 k = 1 cos 2 x k c 2 + ∑ 10 k = 1 e x
kcos x k c 3 = ∑ 10 k = 1 y k cos x k
∑ 10 k = 1 ln x k e x
kc 1 + ∑ 10 k = 1 cos x k e x
kc 2 + ∑ 10 k = 1 e 2x
kc 3 = ∑ 10 k = 1 y k e x
k8 <
:
6.79410c 1 5.34749c 2 + 63.25889c 3 = 1.61627 5.34749c 1 + 5.10842c 2 49.00859c 3 = 2.38271 63.25889c 1 + 49.00859c 2 + 1002.50650c 3 = 26.77277 olup çözümü: c 1 = 1.04103, c 2 = 1.26132 ve c 3 = 0.03073
Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER·IK ANAL·IZ — BÖLÜM 77 ! Ba¼glay¬c¬Fonksiyonlar ve En Küçük Kareler 14 / 15
