Ankara Üniversitesi
Nallıhan Meslek Yüksekokulu
BAĞINTI
NB P101 MAT E MAT İ K
ÖĞR . GÖR . SÜL E YMAN E MR E E YİMAYA
BAĞINTI
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine, A dan B ye bağıntı denir. β ile gösterilir.
β A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) A x B} dir.⊂ ∈
s(A) = m ve s(B) = n ise, A dan B ye bağıntı sayısı : ile bulunur.
BAĞINTI-YANSIMA ÖZELLİĞİ
∀ x A için (x,x) β ise β yansıyandır.∈ ∈
*Örnek:A={a,b,c} kümesi için AxA’da tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangileri yansıyandır.
β1 :{(a,a),(b,b),(a,b),(c,a)}
β2 :{(a,b),(b,a),(a,c),(c,c)}
β3 :{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b)}
β4 :{(a,a),(b,b),(b,c),(c,c)}
Çözüm: Bağıntının yansıyan olması için ; x A için (x,x) β şartının sağlanması ∀ ∈ ∈
gerekmektedir. (a,a),(b,b),(c,c) elemanlarının bağıntıda olması gerekir. β3 ve β4 bağıntıları bu elemanları içerdiği için yansıyandır denir.
BAĞINTI-SİMETRİ ÖZELLİĞİ
β ,A da tanımlı bir bağıntı olsun. (x,y) β için (y,x) β ise β simetriktir. ∀ ∈ ∈
NOT: Ortak özellik yöntemiyle verilen bir bağıntının simetrik olması için x ve y nin yerleri değiştirildiğinde ifadenin doğru olması gerekir.
*Örnek:A={x,y,z,t} kümesi için AxA’da tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangileri simetriktir?
β1 :{(x,x)(y,y)(x,y),(y,z)(y,x)}
β2 :{(y,y),(x,z),(z,y),(z,x),(y,z)}
β3 :{(x,x),(y,y),(z,z),(t,t)}
β4 :{(x,y),(t,y),(y,t),(y,x)}
Çözüm: (x,y) β için (y,x) β şartını bağıntılar için inceledğimizde β1 bağıntısı hariç diğer bağıntıların ∀ ∈ ∈ simetrik olduğu görülür. β1 bağıntısı ; (y,z) β1 iken (z,y) β1 olduğu için simetrik değildir. ∈ ∉
BAĞINTI- TERS SİMETRİ ÖZELLİĞİ
β ,A da tanımlı bir bağıntı olsun. x≠y olmak kaydıyla (x,y) β için (y,x) β ise β ters simetriktir.∀ ∈ ∉
NOT:Bir bağıntının simetrik olmaması onun ters simetrik olduğunu göstermez. Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olamaz. Bir bağıntı hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir.
*Örnek: A={1,2,3,4} kümesi için AxA’da tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangileri ters simetriktir.?
β1 :{(1,1),(1,2),(2,3),(3,4)}
β2 :{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
β3 :{(1,3),(2,4),(3,4),(4,3)}
β4 :{(2,2),(2,3),(4,3),(4,1)}
Çözüm: x≠y olmak kaydıyla (x,y) β için (y,x) β şartını sağlayan bağıntılar ; β1 ,β2 ,β4 tür. β3 bağıntısı ise ∀ ∈ ∉ hem (3,4) elemanını hem de bunun simetriği olan (4,3) elemanını içerdiğinden ters simetrik değildir.
BAĞINTI- GEÇİŞME ÖZELLİĞİ
β ,A da tanımlı bir bağıntı olsun. (x,y) β ve (y,z) β iken (x,z) β oluyorsa β bağıntısı geçişkendir denir. ∈ ∈ ∈
*Örnek:A={a,b,c,d} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların hangileri geçişkendir.?
β1 : {(a,a),(a,b),(b,a),(c,c)}
β2 : {(a,a),(a,b),(b,a),(b,c)}
β3 :{(b,b),(a,c),(c,b),(a,b)}
β4 :{(c,c),(a,c),(b,c),(c,a)}
Çözüm:β1 bağıntısı geçişken değil ; (b,a) β1 ve (a,b) β1 iken (b,b) β1 dır. ∈ ∈ ∉ β2 bağıntısı geçişken değil; (a,b) β1 ve (b,c) β1 iken (a,c) β1 dır.∈ ∈ ∉
β3 bağıntısı geçişkendir ; (a,c) β3 ve (c,b) β3 iken (a,b) β3 dır.∈ ∈ ∈ β4 bağıntısı geçişken değil; (a,c) β1 ve (c,a) β1 iken (a,a) β1 dır. ∈ ∈ ∉ Sadece β3 geçişkendir.
