FIBONACCI DİZİLERİ VE HESSENBERG MATRİSLERİ ÜZERİNE. Huriye AZMAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

(1)

FIBONACCI DİZİLERİ VE HESSENBERG MATRİSLERİ ÜZERİNE

Huriye AZMAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

HAZİRAN 2009 ANKARA

(2)

Huriye AZMAN tarafından hazırlanan FIBONACCI DİZİLERİ VE HESSENBERG MATRİSLERİ ÜZERİNE adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.

Prof. Dr. Dursun TAŞÇI ……….

Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı

Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Dursun TAŞÇI

Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi ………

Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU

Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi ………

Yrd. Doç. Dr. Naim Tuğlu

Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi ………

Tarih: 17.06.09

Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onamıştır.

Prof. Dr. Nail ÜNSAL ………

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

(3)

TEZ BİLDİRİMİ

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada orijinal olmayan her türlü kaynağa eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Huriye AZMAN

(4)

FIBONACCI DİZİLERİ VE HESSENBERG MATRİSLERİ ÜZERİNE (Yüksek Lisans Tezi)

Huriye AZMAN

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Haziran 2009

ÖZET

Bu çalışmada Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, Jacobsthal ve Jacobsthal- Lucas dizilerinin karekteristik özellikleri incelenerek; bu dizilerin, bilinen rekürans bağıntıları yardımıyla Binet formülleri verildi. Ayrıca Fibonacci dizisinin matris üreteçlerinden bahsedildi. Fibonacci ve Lucas sayılarıyla ilgili bazı özdeşlikler ispatlandı. Daha sonra, determinantları Fibonacci sayılarını veren bazı n×n matrisler verildi. Fibonacci-Hessenberg matrislerinin beş yeni sınıfı tanıtılıp, iki-boyutlu Fibonacci dizisinin tanımı verildi. Son olarak da çözümleri Fibonacci kesirleri olan lineer denklem sistemlerinden söz edildi.

Bilim Kodu : 204.1.025

Anahtar Kelimeler : Fibonacci dizileri, Hessenberg matrisleri Sayfa Adedi : 71

Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Dursun TAŞÇI

(5)

ON THE FIBONACCI SEQUENCE AND HESSENBERG MATRICES (M. Sc. Thesis)

Huriye AZMAN

GAZI UNIVERSITY

INSTUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY June 2009

ABSTRACT

In this study, by describing properties characteristic of Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas sequences; Binet formulas of these sequences are examined with the help of reccurence relations. Additionally, generating matrices of Fibonacci sequence are mentioned. Some identities about of Fibonacci and Lucas numbers are obtained. Some n n× matrices are given whose determinats obtain Fibonacci numbers. Five new classes of Fibonacci- Hessenberg matrices are introduced and the definition of two-dimensional Fibonacci arrays are given. Finally, linear equations are given whose solutions are Fibonacci fractions.

Science Code : 204.1.025

Key Words : Fiboacci sequences, Hessenberg matrices Page Number : 71

Adviser : Prof. Dr. Dursun TAŞÇI

(6)

TEŞEKKÜR

Çalışmamın her aşamasında yakın ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren saygıdeğer Hocam Prof. Dr. Dursun TAŞÇI’ ya; yine tecrübelerinden faydalandığım, bu süreçte her türlü yardımını esirgemeyen ve bana destek olan sevgili hocam Araş. Gör.

Mustafa AŞÇI’ ya; hayat boyu her türlü sıkıntımda yanımda olan ve bu süreçte bana anlayış gösteren sevgili aile fertlerime en içten saygı ve teşekkürlerimi sunmayı bir borç bilirim.

(7)

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ... iv

ABSTRACT... v

TEŞEKKÜR... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

ÇİZELGELERİN LİSTESİ... viii

SİMGELER VE KISALTMALAR... ix

1. GİRİŞ ... 1

2. BAZI FIBONACCI VE LUCAS ÖZDEŞLİKLERİ ... 13

3. DETERMİNANTLARI FIBONACCI SAYILARINI VEREN BAZI n×n MATRİSLER... 21

4. FIBONACCI DİZİLERİ VE HESSENBERG MATRİSLERİ, İKİ- BOYUTLU FIBONACCI DİZİLERİ VE ÇÖZÜMÜ FIBONACCI KESİRLERİNİ VEREN BAZI LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ... 29

KAYNAKLAR ... 69

ÖZGEÇMİŞ ... 71

(8)

ÇİZELGELERİN LİSTESİ

Çizelge Sayfa

Çizelge 4.1. t=-1, 0, 1, 2, 3 ve 1≤ n ≤ 5 için detR değerleri ... 32 _{n t}_, Çizelge 4.2. 1≤ n, i ≤ 6 için detR_{n t}_,^{( )}ⁱ değerleri... 68 Çizelge 4.3. 1≤ n, i ≤ 6 için detR_n_,1^{( )}ⁱ değerleri... 68

(9)

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklama

F n n -inci Fibonacci sayısı

Ln n-inci Lucas sayısı

Pn n-inci Pell sayısı

Qn n-inci Pell-Lucas sayısı

Jn n-inci Jasobsthal sayısı jn n-inci Jasobsthal-Lucas sayısı

( )

A

det A matrisinin determinantı detR _{n t}, R matrisinin determinantı _{n t}_, detC _{n t}, C matrisinin determinantı _{n t}_, detB _{n t}, B matrisinin determinantı _{n t}_, detK _{n t}, K matrisinin determinantı _{n t}_, detL _{n t}, L matrisinin determinantı _{n t}_, detK _{n t}, K matrisinin determinantı _{n t}_, detL _{n t}, L matrisinin determinantı _{n t}_, detε_{n t}, ε_{n t}_, matrisinin determinantı detH _{n t}, H matrisinin determinantı _{n t}_,

( )

detR_{n t}, ⁱ R_{n t}_,^{( )}ⁱ matrisinin determinantı

( )

detC_{n t}, ⁱ C_{n t}_,^{( )}ⁱ matrisinin determinantı

( )

detε_{n t}, ⁱ ε_{n t}_,^{( )}ⁱ matrisinin determinantı

(10)

1. GİRİŞ

Bu bölümde Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas dizilerine ait bazı ön bilgiler verilecektir. Sonra Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas dizilerinin bilinen indirgeme bağıntıları göz önüne alınarak bu dizilerin Binet formülleri incelenecektir. Daha sonra da Fibonacci dizisinin matris üreteçlerinden bahsedilecektir.

∀n tamsayısı için,

1 2

n n n

U =AU ₋ +BU ₋

rekürans bağıntısı ile tanımlanan{U dizisinin aşağıdaki özel durumlarını göz önüne _n} alacağız. Burada A,B keyfi tamsayılar olmak üzere,

1. A=1,B=1 ve U₀ =0, U₁ =1 için; {F_n} ile gösterilen Fibonacci dizisi, 2. A=1,B=1 ve U₀ =2, U₁=1 için; {L_n} ile gösterilen Lucas dizisi, 3. A=2,B=1 ve U₀ =0, U₁ =1 için; {P_n} ile gösterilen Pell dizisi, 4. A=2,B=1 ve U₀ =2, U₁=2 için; {Q ile gösterilen Pell-Lucas dizisi, _n} 5. A=1,B=2 ve U₀ =0, U₁=1 için; }{J ile gösterilen Jacobsthal dizisi, _n 6. A=1,B=2 ve U₀ =2, U₁=1 için; {j ile gösterilen Jacobsthal-Lucas dizisi _n}

elde edilir. Bu diziler [9, 17] de çalışılmıştır.

1.1. Tanım 1

= F 0,

=

F₀ ₁ olmak üzere, 2

n , F + F

=

F_n _n_-₁ _n_-₂ ≥ (1.1)

(11)

şeklinde tanımlanan rekürans bağıntısından elde edilen sayılara Fibonacci sayıları denir. Bu rekürans bağıntısının ürettiği tamsayılar dizisine Fibonacci dizisi denir.

BuradaF , _n n-inci Fibonacci sayısını gösterir.

1.2. Tanım 1

= L 2,

=

L₀ ₁ olmak üzere,

2 n , L + L

=

L _n _n_-₁ _n_-₂ ≥ (1.2)

şeklinde tanımlanan rekürans bağıntısından elde edilen sayılara Lucas sayıları denir.

Bu rekürans bağıntısının ürettiği tamsayılar dizisine Lucas dizisi denir. Burada L , _n n-inci Lucas sayısını gösterir.

1.3. Tanım 1

= P 0,

=

P ₀ ₁ olmak üzere,

2 n , P + 2P

=

P_n _n_-₁ _n_-₂ ≥ (1.3)

şeklinde tanımlanan rekürans bağıntısından elde edilen sayılara Pell sayıları denir.

Bu rekürans bağıntısının ürettiği tamsayılar dizisine Pell dizisi denir. Burada P , _n n- inci Pell sayısını gösterir.

1.4. Tanım 2

= Q 2,

=

Q₀ ₁ olmak üzere,

2 n , Q + 2Q

=

Q_n _n_-₁ _n_-₂ ≥ (1.4)

şeklinde tanımlanan rekürans bağıntısından elde edilen sayılara Pell-Lucas sayıları denir. Bu rekürans bağıntısının ürettiği tamsayılar dizisine Pell-Lucas dizisi denir.

Burada Q , _n n-inci Pell-Lucas sayısını gösterir.

(12)

1.5. Tanım 1

= J 0,

=

J ₀ ₁ olmak üzere,

2 n , 2J + J

=

J_n _n_-₁ _n_-₂ ≥ (1.5)

şeklinde tanımlanan rekürans bağıntısından elde edilen sayılara Jacobsthal sayıları denir. Bu rekürans bağıntısının ürettiği tamsayılar dizisine Jacobsthal dizisi denir.

BuradaJ , _n n-inci Jacobsthal sayısını gösterir.

1.6. Tanım 1

= j 2,

=

j₀ ₁ olmak üzere, 2 , 2

j_n₊₂ = j_n₊₁ + j_n n≥ (1.6) şeklinde tanımlanan rekürans bağıntısından elde edilen sayılara Jacobsthal-Lucas sayıları denir. Bu rekürans bağıntısının ürettiği tamsayılar dizisine Jacobsthal-Lucas dizisi denir. Burada j , _n n-inci Jacobsthal-Lucas sayısını gösterir.

1

= F 0,

=

F₀ ₁ olmak üzere F_n =F_n_-₁ +F_n_-₂ ,n ≥2 şeklinde tanımlanan Fibonacci rekürans bağıntısını ele alalım. Bu rekürans bağıtısı için F_n = xⁿ olduğunu kabul edelim. Bu durumda,

2 2

2 2 2

1 − − − −

− + ⇒ = +

= ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ

n x x x x x x x

x

⇒ xⁿ⁻²x² = xⁿ⁻²(x+1) ⇒ x² =x+1

⇒ x² −x−1=0

karakteristik denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri

(13)

2 5 1+

α = ve

2 5 1− β =

dir.

1.1. Teorem

Fn, n -inci Fibonacci sayısı ve

2 5 1+ α = ,

2 5 1−

β = olmak üzere,

β α

−

= ⁿ − ⁿ

Fn (1.7 )

dır. Bu formüle Fibonacci sayıları için Binet formülü denir.

İspat

n üzerinden tümevarımla ispat yapalım.

=1

n için;

1

1 ⇒1=

−

= − β α

β F α

yazılır.

=2

n için;

2 1 5 1 2

5 1 1

) (

) )(

2 (

2

2 = + ⇒ = + + − =

− +

= −

−

= − α β

β α

β α β α β α

β F α

sağlanır.

(14)

İfade n için doğru, yani

β α

−

= ⁿ − ⁿ

Fn olsun. O halde n+1 için doğru olduğunu göstermeliyiz.

1

1 −

+ = _n + _n

n F F

F

1 1

n n n n

α β α β

− −

= +

− −

β α

β α β β α α

−

− +

= ⁿ⁻¹ − ⁿ⁻¹ ⁿ⁻¹ ⁿ⁻¹

β α

β β α

α

−

+

−

= ⁿ⁻¹( +1) ⁿ⁻¹( 1)

β α

β β α α

−

= ⁿ⁻¹ ² − ²

β α

−

= ⁿ⁺¹ − ⁿ⁺¹

eşitliği sağlanmış olur. Burada α ve β, 0x² − x−1= karakteristik denkleminin kökleri olduğundan, 1α² =α + ve β² =β+1 eşitliklerinden yararlanılmıştır.

1 , 2 ₁

0 = L =

L olmak üzere L_n = L_n₋₁+L_n₋₂,n≥2 şeklinde tanımlanan Lucas rekürans bağıntısının karakteristik denklemi de x² − x−1=0 olup

2 5 1+

α = ve

2 5 1−

β = köklerine sahiptir.

1.2. Teorem

Ln, n-inci Lucas sayısı ve

2 5 1+

α = ve

2 5 1−

β = olmak üzere,

n n

Ln =α +β (1.8 )

(15)

dır. Bu formüle Lucas sayıları için Binet formülü denir.

İspat

n üzerinden tümevarımla ispat yapalım.

=1

n için;

1

1 =α +β ⇒1=

L

sağlanır.

=2

n için;

2 3 5 1 2

5 3 1

2 2

2 ⎟⎟ =

⎠

⎞

⎜⎜⎝ +⎛ −

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛ +

⇒ +

=α β

L

olduğu görülür.

İfadenin n için doğru olduğunu, yani L_n =αⁿ +βⁿ olduğunu kabul edip n+1 için doğru olduğunu göstermeliyiz.

1

1 −

+ = _n + _n

n L L

L

=αⁿ +βⁿ +αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹ =αⁿ⁻¹α +βⁿ⁻¹β +αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹ =αⁿ⁻¹(α+1)+βⁿ⁻¹(β +1) =αⁿ⁻¹α² +βⁿ⁻¹β²

=αⁿ⁺¹+βⁿ⁺¹

(16)

eşitliği sağlanmış olur. Burada α ve β, 0x² − x−1= karakteristik denkleminin kökleri olduğundan, 1α² =α + ve β² =β+1 eşitlikleri kullanılmıştır.

Benzer şekilde; P_n, n-inci Pell sayısı; Q_n, n-inci Pell-Lucas sayısı ve α =1+ 2, 2

1−

β = , x²−2x− = karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere, 1 0

β α

−

= ⁿ − ⁿ

Pn ve Q_n =αⁿ +βⁿ (1.9 )

dır. Bu formüllere de sırasıyla Pell ve Pell-Lucas sayıları için Binet formülü denir.

Ayrıca; J_n, n-inci Jacobsthal sayısı; j_n, n-inci Jacobsthal-Lucas sayısı ve α =2,

−1

β = x²− − = karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere, x 2 0

3

n n

Jn α −β

= ve j_n =αⁿ +βⁿ (1.10 )

dır. Bu formüllere de sırasıyla Jacobsthal ve Jacobsthal -Lucas sayıları için Binet

formülü denir.

Eş. 1.1 kullanılarak ,

2 1

n n n

F₋ =F −F₋ (1.11 )

eşitliği elde edilir. Bu son ifadede n≤1 alınmasıyla elde edilen { }F_n dizisine negatif indisli Fibonacci dizisi denir. Böylece,

1 1 0 1, 2 0 1 1,...

F₋ =F −F = F₋ =F −F₋ = −

(17)

şeklinde devam edilerek negatif indisli Fibonacci sayıları elde edilir. Bunu genelleştirerek aşağıdaki sonucu elde ederiz.

1.1 Sonuç

Her n pozitif tamsayısı için,

n n

n F

F₋ =(−1) ⁺¹ (1.12 )

dir.

İspat

Bu eşitliğin ispatı için Fibonacci sayılarının Binet formülünü göz önüne alalım. O halde;

β α

αβ α β β α

β α β

α β α

−

− =

−

− =

= ⁻ − ⁻

−

n n n n n n

n

F n ( )

1 1

yazarız. 1αβ =− olduğundan,

n n n

n n

n F

F ( 1) ( 1) ₊¹ ( 1) ₊¹

− ⎟⎟= −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− −

− =

−

= α β

β α β

α α β

bulunur.

Benzer şekilde, Eş. 1.2 kullanılarak ,

1

2 −

− = _n + _n

n L L

L (1.13 )

(18)

eşitliği elde edilir. Bu son ifadede n≤1 alınmasıyla elde edilen {L dizisine negatif _n} indisli Lucas dizisi denir. Böylece,

,...

3 ,

1 ₂ ₀ ₁

0 1

1 = − =− ₋ = − ₋ =

− L L L L L

L

şeklinde devam edilerek negatif indisli Lucas sayıları elde edilir. Bunu genelleştirerek aşağıdaki sonucu elde ederiz.

1.2 Sonuç

Her n pozitif tamsayısı için

n n

n L

L₋ =(−1) ⁺¹ (1.14 )

dir.

İspat

Bu eşitliğin ispatı için Lucas sayılarının Binet formülünü göz önüne alalım. O halde;

n n n n

n n n n n n

L n

) (

) ( 1 1

αβ β α αβ

α β β β α

α − = − = − = ⁻ ⁻

= ⁻ ⁻

−

yazarız. αβ =−1 olduğundan,

L₋_n= _n ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ _n

n n

n L

L ( 1) ¹( ) ( 1) ¹

) 1 (

)

( ₊ ₊

− = − − = −

−

= − α β α β

bulunur.

Eş. 1.3, Eş. 1.4, Eş. 1.5 ve Eş. 1.6 kullanılarak ,

(19)

1 2

1

2 ₋, ₋ ₋ , ₋ ₋ , ₋ ₋

− = _n − _n _n = _n − _n _n = _n − _n _n = _n − _n

n P P Q Q Q J J J j j j

P (1.15 )

eşitlikleri elde edilir. Bu son ifadede n≤1 alınmasıyla elde edilen }

{ }, { }, { },

{P_n Q_n J_n j_n dizilerine sırasıyla negatif indisli Pell, Pell-Lucas, Jasobsthal ve Jasobsthal-Lucas dizileri denir. Böylece,

,...

2 ,

1 ₂ ₀ ₁

0 1

1 = − = ₋ = − ₋ =−

− P P P P P

P

,...

6 ,

2 ₂ ₀ ₁

0 1

1 = − =− ₋ = − ₋ =

− Q Q Q Q Q

Q

,...

1 ,

1 ₂ ₀ ₁

0 1

1 = − = ₋ = − ₋ =

− J J J J J

J

,...

3 ,

1 ₂ ₀ ₁

0 1

1 = − =− ₋ = − ₋ =

− j j j j j

j

şeklinde devam edilerek negatif indisli Pell, Pell-Lucas, Jasobsthal ve Jasobsthal- Lucas sayıları elde edilir.

Bunları genelleştirerek benzer şekilde, her n pozitif tamsayısı için

n n n

n n

n P Q Q J J j j

P₋ =(−1) ⁺¹ , ₋ =(−1) ⁺¹ , ₋ =(−1) ⁺¹ , ₋ =(−1) ⁺¹ (1.16 )

eşitliklerini yazarız.

Buradan, n tamsayısına değerler vererek aşağıdaki sayıları bulabiliriz.

n: … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 … F : … -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 … n

L : … 18 -11 7 -4 3 -1 2 1 3 4 7 11 18 … n

P : …-70 29 -12 5 -2 1 0 1 2 5 12 29 70… n

Q : …198 -82 34 -14 6 -2 2 2 6 14 34 82 198… n

J :…n 21

−64 11 32

5

−16 3 8 1

− 4 1

2 0 1 1 3 5 11 21…

(20)

j : …n 65 64

31

−32 17 16 7

− 8 5 4 1

− 2 1 5 7 17 31 65… 2

Şimdi Fibonacci dizisinin matris üreteçleri ile ilgili aşağıdaki teoremi verelim.

1.3. Teorem

F , n n-inci Fibonacci sayısı ve ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 0 1

1

A 1 olmak üzere,

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

− +

1 1

n n

n n n

F F

F

A F (1.17 )

dir.

İspat

İspatımızı n üzerinden tümevarımla yapalım.

=1

n için;

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

0 1

1 2

0 1

1 1

F F

F A F

bulunur.

=2

n için;

2

3 2

2

2 1

1 1 1 1 1 1 2 1

1 0 1 0 1 0 1 1

F F

A F F

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= ⎥= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(21)

olduğundan iddia doğrudur. Şimdi iddianın n için doğru olduğunu, yani

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

− +

1 1

0 1

1 1

n n

F F

F

A F olduğunu kabul ederek n+1 için doğru olduğunu

gösterelim.

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

= +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥ ⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

− + +

+

n n

n

n n n n

n n n

n n

n

F F

F

F F F F

F F A F

1 1 1

1

0 1

1 1 0

1 1 1 0 1

1 1 0

1 1 1

= _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + +

n n

F F

1 1 2

elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

(22)

2. BAZI FIBONACCI VE LUCAS ÖZDEŞLİKLERİ

Bu bölümde Fibonacci ve Lucas dizileri ile ilgili bazı özdeşlikleri kapsayan aşağıdaki teoremleri veriyoruz.

2.1. Teorem

F , n n-inci Fibonacci sayısı olmak üzere,

2 1

1

−

= ₊

∑

=ⁿ ⁿ i

i F

F (2.1 )

dir.

İspat

Fibonacci sayıları için rekürans bağıntısı kullanılırsa,

1 2

2

1 − − −

− + ⇒ = −

= _n _n _n _n _n

n F F F F F

F

olup,

2 3

1 F F

F = −

3 4

2 F F

F = −

4 5

3 F F

F = −

M

1 1

n n n

F₋ =F₊ −F

2 1

n n n

F =F₊ −F₊

bulunur. Bu ifadeleri taraf tarafa toplarsak,

(23)

2 1

2 2 1

−

=

−

= ₊ ₊

∑

=ⁿ ⁿ ⁿ i

i F F F

F

elde edilir.

2.2. Teorem

∑

=ⁿ − =

i

n

i F

F

1

2 1

2 (2.2 )

dir.

İspat

Fibonacci sayıları için rekürans bağıntısı kullanılırsa,

1 2 1 2

n n n n n n

F =F₋ +F₋ ⇒F₋ =F −F₋

olup,

1 2 0

F =F − F

3 4 2

F =F − F

4 6

5 F F

F = −

M

2n 3 2n 2 2n 4

F ₋ =F ₋ −F ₋

2n 1 2n 2n 2

F ₋ =F −F ₋

bulunur. Bu ifadeleri taraf tarafa toplarsak,

(24)

n n

i

n

i F F F

F ₀ ₂

1

2 1

2 = − =

∑

= −

elde edilir.

2.3. Teorem

1

1 2

2 = −

∑

= + n

i

n

i F

F (2.3 )

dir.

İspat

∑

= −

=

−

= ⁿ

i i

n

i i

n

i Fi F F

1 2 1

2

1

1 2

=(F₂_n₊₂ −1)−(F₂_n) =(F₂_n₊₂ −F₂_n)−1 = F₂_n₊₁ −1

olduğu görülür.

2.4. Teorem (Cassini Formülü)

1 , ) 1

2 (

1

1 ₊ − = − ≥

−F F n

F_n _n _n ⁿ (2.4 )

(25)

dir.

İspat

=1

n için;

1 1 1 1 1 . 0 ) 1

( ¹ ²

2 1 2

0F − F = − ⇒ − =− ⇒− =−

F

dir.

=2

n için;

1 1 1 1 2 1 1 2 . 1 ) 1

( ² ²

2 2 3

1F − F = − ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

F

bulunur.

İfadenin n için doğru olduğunu, yani; F F_n₋₁ _n₊₁−F_n² = −( 1)ⁿ olduğunu kabul ederek 1

n+ için iddianın doğru olduğunu göstermeliyiz.

2 2

2 1 ( 1 1)( 1) 1

n n n n n n n n

F F₊ −F₊ = F₊ −F₋ F +F₊ −F₊

=F F_n₊₁ _n+F_n₊₁²−F F_n₋₁ _n−F F_n₋₁. _n₊₁−F_n₊₁² =F_n₊₁F_n −F_n₋₁F_n −F_n² −(−1)ⁿ =F_n₊₁F_n −F_n(F_n₋₁+F_n)+(−1)ⁿ⁺¹ = F_n₊₁F_n −F_nF_n₊₁ +(−1)ⁿ⁺¹ = −( 1)ⁿ⁺¹

(26)

2.5. Teorem

1 1

2

= +

∑

ⁿ = ⁿ ⁿ

i Fi F F (2.5 ) dir.

İspat

=1

n için;

1 1 1 . 1 1²

2 1 2

1 = FF ⇒ = ⇒ =

F

bulunur.

=2

n için;

2 2 2 . 1 1 1² ²

3 2 2 2 2

1 +F =F F ⇒ + = ⇒ =

F

yazılır.

İfade n için doğru, yani; ₁

1 2

= +

∑

ⁿ = ⁿ ⁿ

i

i F F

F olsun. Buna göre n+1 için iddianın doğru olduğunu göstermeliyiz.

2 1 1

1 2 1

2

+

= +

=

+

=

∑

ⁿ ⁿ

i i n

i

i F F

F

(27)

= F_nF_n₊₁+F_n₊₁² = F_n₊₁(F_n +F_n₊₁) = F_n₊₁F_n₊₂

elde edilir ve ispat tamamlanmış olur.

2.6. Teorem

L , n n-inci Lucas sayısı olmak üzere,

1 2

1

2 = ₊ −

∑

=ⁿ ⁿ i

n

i L L

L (2.6 )

dir.

İspat

=1

n için;

1 1 2 3 . 1 1

2 ²

2 1 2

1 = LL − ⇒ = − ⇒ =

L

bulunur.

=2

n için;

10 10 2 12 9 1 2 4 . 3 3 1

2 ² ²

3 2 2 2 2

1 +L =L L − ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ =

L

yazılır.

(28)

İfade n için doğru, yani; ₁ 2

1

2 = ₊ −

∑

=ⁿ ⁿ i

n

i L L

L olsun. Buna göre n+1 için iddianın doğruluğunu göstermeliyiz.

2 1 1

1 1

2 2

+ +

= =

+

∑

ⁿ =

∑

ⁿ

i

n

i i

i L L

L

= L_nL_n₊₁ −2+L_n₊₁² = L_n₊₁(L_n +L_n₊₁)−2 = L_n₊₁L_n₊₂ −2

2.7. Teorem

Her n≥1 tamsayısı için ardışık iki Fibonacci sayısı aralarında asaldır. Yani 1

) ,

(F_n F_n₋₁ = ’dir.

İspat

Kabul edelim ki (F_n,F_n₋₁)=d ve d >1 olsun. En büyük ortak bölen tanımından dolayı, d F ve _n d F_n₋₁ dir. Bölünebilmenin özelliği gereği,

d F ve n d F_n₋₁ ⇒d F( _n−F_n₋₁) ⇒d F_n₋₂

1

d Fn₋ v e d F_n₋₂ ⇒d F( _n₋₁−F_n₋₂) ⇒d F_n₋₃

(29)

Benzer şekilde devam edilirse,

d F ve 3 d F₂ ⇒d F( ₃−F₂) ⇒d F₁ ⇒d 1 ⇒ d =1

elde edilir. Fakat bu d >1 olması kabulüyle çelişir. O halde kabul yanlıştır. Yani;

1 ) ,

(F_n F_n₋₁ = ’dir.

(30)

3. DETERMİNANTLARI FIBONACCI SAYILARINI VEREN BAZI n×n MATRİSLER

Bu bölümde { } {1,1, 2,...}F_n = Fibonacci dizisinin, şaşırtıcı bir şekilde ortaya çıktığı bir örneği sunacağız.

T , esas köşegeni üzerindeki elemanları 1, üst köşegen ve alt köşegen üzerindeki n

elemanları i= −1 olan n×n tipinde bir matris, yani;

1 0 0 0

1 0 0

0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

n

i

i i

T i

i i

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

K L O M O M M M O O

L

olsun. Bu durumda detT_n =F_n₊₁ ’dir. [2]

Bir alt Hessenberg matris k > + iken j 1 a_j_,_k =0 ve bazı j ’ler için a_j_,_j₊₁ ≠0 olan, n

n× tipinde bir matristir. Bu matris, üst köşegenin üstündeki tüm elemanları 0 olan, fakat alt üçgensel olmayan bir matristir.

Bu bölümün genelinde, aşağıdaki alt Hessenberg matrise atıfta bulunacağız.

1,1 1,2

2,1 2,2 2,3

3,1 3,2 3,3

1,

,1 ,2 , 1 ,

0 0

0

n

n n

n n n n n n

m m

m m m

M

m

m m m m

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

L O

O M

M M O O

L

(3.1 )

(31)

} 1 ,

{detM_n n≥ dizisini göz önüne alacağız. Esas sonucumuz, aşağıdaki teoremde ifade edilmektedir.

3.1. Teorem

M , her n n≥1 için, Eşitlik 3.1’ deki gibi verilsin ve detM₀ =1 olsun.

} 0 ,

{detM_n n≥ , aşağıdakileri sağlar.

1 , 1 1 0 1,det

detM = M =m ve

1 1

, 1 , , 1 1

1

det _n _{n n}det _n ⁿ [( 1)^{n r} _{n r} ⁿ _{j j} det _r ], 2

r j r

M m M ₋ ⁻ ⁻ m ⁻ m ₊ M ₋ n

= =

= +

∑

−

∏

≥ ^.

dir.

İspat

=2

n için;

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

2 , 2 1 , 2

2 , 1 1 , 1

2 m m

m

M m olduğundan detM₂ =m m_1,1 _2,2−m m_2,1 _1,2,

1

1 2

2 2,2 1 2, , 1 1

1 1

det det [( 1) ^r _r _{j j} det _r ]

r j

M m M ⁻ m m ₊ M ₋

= =

= +

∑

−

∏

=m_2,2detM₁+ −( 1)^{2 1}⁻ m m_2,1 _1,2detM₀ =m m_2,2 _1,1+ −( 1)m m_2,1 _1,2(1)

=m m_2,2 _1,1−m m_2,1 _1,2

bulunur.

=3

n için;

(32)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

3 , 3 2 , 3 1 , 3

3 , 2 2 , 2 1 , 2

2 , 1 1 , 1 3

0 m m m

m m m

m m

M olduğundan,

3 1,1 2,2 3,3 2,3 3,2 1,2 2,1 3,3 3,1 2,3

detM =m m m[ −m m ]−m m m[ −m m ] =m m m_1,1 _2,2 _3,3−m m m_1,1 _2,3 _3,2−m m m_1,2 _2,1 _3,3−m m m_1,2 _3,1 _2,3,

2 2 3

3 3,3 2 3, , 1 1

1

det det [( 1) ^r _r _{j j} det _r ]

r j r

M m M ⁻ m m ₊ M ₋

= =

= +

∑

−

∏

_3,3 _1,1 _2,2 _2,1 _1,2 ² _3,1 ² _, ₁ ₀

1

[ ] ( 1) _{j j} det

j

m m m m m m m ₊ M

=

= − + −

∏

+ ¹ _3,2 ² _, ₁ ₁

2

( 1) _{j j} det

j

m m ₊ M

=

−

∏

=m m m_1,1 _2,2 _3,3−m m m_1,1 _2,3 _3,2−m m m_1,2 _2,1 _3,3−m m m_1,2 _3,1 _2,3

elde edilir.

k n= için;

1 1

, 1 , , 1 1

1

det _k _{k k}det _k ^k [( 1)^{k r} _{k r} ^k _{j j} det _r ]

r j r

M m M ₋ ⁻ ⁻ m ⁻ m ₊ M ₋

= =

= +

∑

−

∏

olsun.

1

n k= + için eşitliğin doğruluğunu göstermeliyiz.

1

, 1 1, 1 1, , 1

1

det _{k k} _k _k det _k ^k [( 1)^{k r} _k _r ^k _{j j} det _k]

r j r

M ₊ m₊ ₊ M ^{− +} m ₊ m ₊ M

= =

= +

∑

−

∏

mı?

1 1

. 1 1, 1 , 1 1, 1 1, , 1 1

1

det _{k k} _k _k det _k _{k k} [ _k _kdet _k ^k [( 1)^{k r} _k _r ^k _{j j} det _r ]]

r j r

M ₊ m ₊ ₊ M m ₊ m₊ M ₋ ⁻ ⁻ m ₊ ⁻ m ₊ M ₋

= =

= − +

∑

−