ekstrapolasyon denir. Böyle bir işlem için bilinmeyen bir fonksiyon, x değerleri ve kullanılan enterpolasyon fonksiyonu

3. PREDİKSİYON, KESTİRİM (ENTERPOLASYON-EKSTRAPOLASYON)

Verilen (x1,y1), (x2,y2),…., (x_n,yn) değerlerinden yararlanarak herhangi bir x_i değeri için olması gereken yi değerinin hesaplanması işlemine prediksiyon denir. x_i değeri verilen x değerleri arasında ise işleme enterpolasyon, dışında ise ekstrapolasyon denir. Böyle bir işlem için bilinmeyen bir fonksiyon, x değerleri ve kullanılan enterpolasyon fonksiyonu yardımıyla basit bir şekilde tanımlanmaya çalışılır. Enterpolasyon işlemi enterpolasyon için seçilen fonksiyona göre doğrusal, polinomsal, üçgen v.b. enterpolasyon olarak ayrılabilir.

 Doğrusal Enterpolasyon : Verilen x,y değerleri arasında doğrusal bir ilişki varsa enterpolasyon işlemi,



p i



i j

i j i p i j

i j i p

i

p x x

x x

y y y

y y y

x x y y

x

x  













 



 

 



 eşitliğiyle yapılır.

2 14,000 8,000

3 8,000 6,364

 

 

_{3 1}



1 2

1 2 1

3 x x

x x

y y y

y 



 



Örnek : f_(x)=e^x fonksiyonunun x=0.2 için y=1.221 x=0.3 için y=1.350 ise x=0.26 için değeri nedir?

 

 

_{3 1}



1 2

1 2 1

3 x x

x x

y y y

y 



 



1 0,200 1,221

2 0,300 1,350

3 0,260 1,298

 Polinomsal Enterpolasyon : Verilen x,y değerleri arasında polinomsal bir ilişki olduğunun düşünülmesi durumunda polinomun derecesine göre verilerle çözüm yapılır.

Örnek :

i x y

1 3,000 5,000

2 4,000 2,000

3 1,000 3,000

4 2,000

2.derece polinom ax²+bx+c=y şeklindedir. Veriler bu formülde uygulanırsa,

2 c

6.333 b

1.333 a

c b a 3

c 4b 16a 2

c 3b 9a 5



































x 2için y 5.334 2 6.333x 1.333x

y ²













2 2,000 2,000

3 3,000 14,000

4 4,000

2 c

8 - b

4 a

c b 3 a 9 4 1

c 2b 4a 2

c b a 2 -































34 y için 4 x

2 8x x 4

y ²











 Langrange Enterpolasyonu : Verilen x,y değerleri ile yazılacak Langrange enterpolasyon formül aşağıdaki şekildedir.

       



_{i 1}



¹ _{i 2}²

 

_i ⁱ_i¹₁



_i ^{i 1}_{i 1}

 

_i ⁿ _n



i(x) n

1 i

i

i(x) x x x x ...x x x x ...x x x x ...

x x x x ...

x x x L x

.y L

y     









 















Örnek :

i x y

1 3,000 5,000

2 4,000 2,000

3 1,000 3,000

4 2,000 5,334

  

    

  

    

  

    

 

5.334 y

için 2 x

2 6.333x 1.333x

L y y

2 1 7x 6 x

1 4 1 3 1

4 x 3 L x

3 4x 3 x

1 1 4 3 4

1 x 3 L x

4 5x 2 x

1 1 3 4 3

1 x 4 L x

2 n

1 i

x i i

2 3

2 2

2 1



































 





 





 





 







 





 





i x y

1 5,000 3,000

2 8,000 1,000

3 9,000 5,000

4 4,000 18,335

  

    

  

    

  

    

335 . 8 1 y için 4 x 89.015 24.338x

x 667 . 1 y

0 4 x 3 1 4 x

1 8 9 5 9

8 x 5 L x

5 4 4x 1 3 x 1 9 8 5 8

9 x 5 L x

2 7 x 7 1 12 x

1 9 5 8 5

9 x 8 L x

2

2 3

2 2

2 1































 





 







 





 





 





 

 Üçgen Enterpolasyon : Bu enterpolasyon iki yada daha fazla değişken grubu içerir. Verilen x,y,z değerlerine göre bir diğer noktanın x,y değerine karşılık gelen z değerini bulmak için üç noktadan geçen düzlem denklemi yazılır. Bu denklem z = ax+by+c şeklindedir.

i x y z

1 x₁ y₁ z₁

2 x₂ y₂ z₂

3 x₃ y₃ z₃

P xp yp zp=?





























































































































 ^

3 2 1 1

3 3

2 2

1 1

3 3

2 2

1 1

3 2 1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

z z z

1 y x

1 y x

1 y x

c b a

c b a

1 y x

1 y x

1 y x

z z z c by ax z

c by ax z

c by ax z

     

     

     

^

















































 ^

1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2

1 2 3

1 2

3

2 1 1

3 3

2 1

3 3

2 2

1 1

y x y x y x y x y x y x

x x x

x x

x

y y y

y y

y A det

1 1

y x

1 y x

1 y x



2 3



2



1 3



3



1 2



1 y y x y y x y y

x A

det      

     

 

     

 

     



2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3



3 1 2 2 3 1 1 2 3

3 2 1 2 1 3 1 3 2

z y x y x z y x y x z y x y A x det c 1

z x x z x x z x A x

det b 1

z y y z y y z y A y

det a 1





































c by ax

z_p  _p  _p  eşitliğiyle çözüm yapılır.

i x y z

1 3,000 5,000 6,000

2 2,000 1,000 0,000

3 5,000 2,000 1,000

4 4,000 3,000 2,725

det A= 3*(1-2)-2*(5-2)+5*(5-1)=11

     

 

     

 

     



^{4 56 25 60 3 101}



^1.182

11 c 1

1.545 1

3 2 0 5 3 6 3 11 5 b 1

0.182 1

4 5 0 5 2 6 2 11 1 a 1















































z = -0.182x+1.545y-1.182 ise x = 4 ve y = 3 için z = 2.725

 Dörtgen (bilineer) Enterpolasyon : Bir P noktasının yakınındaki dört noktanın xşyşz değerleri biliniyorsa P noktasının x,y değerine karşılık gelen z değerini bulmak için dört noktadan geçen bilineer yüzey denklemi yazılır. Bu denklem z=ax+by+cxy+d şeklindedir.

i x y z

1 x1 y1 z1

2 x2 y2 z2

3 x₃ y₃ z₃

4 x₄ y₄ z₄

P xp yp zp=?















































































































































 ^

4 3 2 1 1

4 4 4 4

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

4 4 4 4

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

4 3 2 1

4 4 3 3 4

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

z z z z

1 y x y x

1 y x y x

1 y x y x

1 y x y x

d c b a

d c b a

1 y x y x

1 y x y x

1 y x y x

1 y x y x

z z z z

d y cx by ax z

d y cx by ax z

d y cx by ax z

d y cx by ax z

a, b, c, d bulunur. z_p ax_p by_p cx_py_p deşitliğiyle çözüm yapılır.

i x y z

1 1,000 1,000 1,000

2 2,000 5,000 2,000

3 3,000 6,000 2,000

4 4,000 1,000 1,000

P 2,000 3,000 1,500

a+b+c+d = 1 2a+5b+10c+d = 2 3a+6b+18c+d = 2 4a+b+4c+d =1

a = 0.05 b = 0.35 c = 0.05 d = 0.65

z = 0.05x+0.35y—0.05xy+0.65 ise x = 2 ve y = 3 için z = 1.5

4. SONLU FARKLAR YÖNTEMİ VE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ENTERPOLASYON

Belli noktalarda belirlenmiş olan bir fonksiyonun bilinmeyen noktalarındaki değerinin hesabı için sonlu farklar yöntemi kullanılabilir. Belli bir aralıkta verilen f_(x) fonksiyonunun h basamaklı ileri, geri ve merkezi sonlu farklar yöntemine göre çözümleri oluşturulan bir katsayılar tablosu yardımıyla yapılabilmektedir.

1. İleri Yön Sonlu Farklar Yöntemi ve Enterpolasyon:

Δy2

Δy1

y₃ y₄

y₀ y₂ y₁

y=f_(x)

x₀ x1 x2 x₃ x₄

h h h h

Δy0

     

   

 

0

1 n 1 1 n 0 1 n 0

n

0 1 2 3 0 1 2 0

2 0

3

0 1 2 0 1 1 2 0 1 0

1 0

0 2

m 1 m m

1 2 1

0 1 0

Δ Y Δ Y

Δ Y Δ Δ Y

. .

Y 3Y 3Y Y Y 2Y Δ Y

Δ Y Δ Δ Y

Y 2Y Y Y Y Y ΔY Y

ΔY Y

ΔY ΔY Δ Δ Y

Y ΔY Y

. .

Y ΔY Y

Y ΔY Y





    



































































2 2 2 2

Δx 0 h

h Δ y dx

y d

h Δy h lim Δy dx

dy





  

Örnek : y_{ x} 5x³2x²4x6 fonksiyonunun h=1 ve 0≤x≤5 aralığı için ileri yön sonlu farklar tablosunu hesaplayınız.

X Y ΔY Δ²Y Δ³Y Δ⁴Y

0 -6 7 26 30 0

1 1 33 56 30 0

2 34 89 86 30

3 123 175 116

4 298 291

5 589

Sabit terimler çıktı. Denklemin derecesi 3’dür.

 İleri Yön Sonlu Farklar Yöntemi İle Enterpolasyon (Gregory-Newton Enterpolasyon Bağıntıları)

 

   

   

  _m  ^m1 ₀

m m 1 m

0 3 2

2 2 3

0 2 1

1 1 2

0 0

0 1

m 1 m m

2 3 2

1 2 1

0 1 0

Y 1

Y ΔY 1

Y Y

Y 1

Y ΔY 1

Y Y

Y 1

Y ΔY 1

Y Y

Y ΔY 1

Y Y

Y ΔY Y

.

Y ΔY Y

Y ΔY Y

Y ΔY Y



       









































































 

    

...

Δ Y 3!

2 - p 1 - p Y p 2! Δ

1 - p ΔY p 1!

Y p Y

1 p 0 Δ Y

1 Y

0 3 0

2 0

0 p

0 p p



















Örnek : y_{ x} 5x³2x²4x6 fonksiyonunun h=1 ve 0≤x≤5 aralığı için ileri yön sonlu farklar tablosundan x=0.3 ise y’yi hesaplayınız.

X Y ΔY Δ²Y Δ³Y Δ⁴Y

0 -6 7 26 30 0

1 1 33 56 30 0

2 34 89 86 30

3 123 175 116 4 298 291

5 589

=Y₀ =ΔY0 =Δ²Y₀ =Δ³Y₀ =Δ⁴Y₀

        

845 . 4 Y

0

* ) 7 . 2 (

* ) 7 . 1 (

* ) 7 . 0 ( 24*

3 . 30 0

* ) 7 . 1 (

* ) 7 . 0 ( 6 *

3 . 26 0

* ) 7 . 0 ( 2 *

3 . 7 0

* 3 . 0 6 Y

Δ Y 4!

3 - p 2 - p 1 - p Y p 3! Δ

2 - p 1 - p Y p 2! Δ

1 - p ΔY p 1!

Y p Y

p p

0 4 0

3 0

2 0

0 p







































Örnek : y_{ x} 5x³2x²4x6 fonksiyonunun h=1 ve 0≤x≤5 aralığı için ileri yön sonlu farklar tablosundan x=0.8 ise y’yi hesaplayınız.

X Y ΔY Δ²Y Δ³Y Δ⁴Y

0 -6 7 26 30 0

1 1 33 56 30 0

2 34 89 86 30

3 123 175 116 4 298 291

5 589

2 . h 0

1 8 .

p 0  



=Y0 =ΔY0 =Δ²Y0 =Δ³Y0 =Δ⁴Y0

        

     

52 . 1 Y

0

* ) 2 . 3 (

* ) 2 . 2 (

* ) 2 . 1 ( 24 *

2 . 30 0

* ) 2 . 2 (

* ) 2 . 1 ( 6 *

2 . 56 0

* ) 2 . 1 ( 2 *

2 . 33 0

* ) 2 . 0 ( 1 Y

Δ Y 4!

3 - p 2 - p 1 - p Y p 3! Δ

2 - p 1 - p Y p 2! Δ

1 - p ΔY p 1!

Y p Y

p p

0 4 0

3 0

2 0

0 p









 





 



 



















Örnek : y_{ x} x³6 fonksiyonunun h=1 ve 0≤x≤6 aralığı için ileri yön sonlu farklar tablosundan x=0.3 ve x=1.8 ise y’yi hesaplayınız.

X Y ΔY Δ²Y Δ³Y Δ⁴Y

0 -6 1 6 6 0

1 -5 7 12 6 0

2 2 19 18 6 0

3 21 37 24 6

4 58 61 30

5 119 91 6 210

3 . h 0

0 3 . p 0  

973 . 5 Y_p 

2 . h 0

2 8 .

p1  

168 . 0 Y_p 

     

 

 

 

0

1 n 1 1 n 0 1 n 0

n

0 1 2 3 0 1 2 0

2 0

3

0 1 2 0 1 1 2 0 1 0

1 0

0 2

m 1 m m

1 2 1

0 1 0

Y Y

Y Y

. .

Y 3Y 3Y Y Y 2Y Y Y

Y

Y 2Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Y Y

Y

Y Y Y . .

Y Y Y

Y Y Y





     





























































































Δy1

Δy2

y₁ y₀

y₄ y₂ y₃

y=f(x)

x₄ x3 x2 x₁ x₀

h h h h

Δy3

Δy0

Örnek : y_{ x} 5x³2x²4x6 fonksiyonunun h=1 ve 0≤x≤5 aralığı için geri yön sonlu farklar tablosunu hesaplayınız.

X Y ▼Y ▼²Y ▼³Y ▼⁴Y

0 -6

1 1 7

2 34 33 26

3 123 89 56 30

4 298 175 86 30 0

5 589 291 116 30 0

 Geri Yön Sonlu Farklar Yöntemi İle Enterpolasyon (Gregory-Newton Enterpolasyon Bağıntıları)

 

    

...

3! Y 2 p 1 p Y p 2!

1 p Y p 1!

Y p Y

1 p 0 Y 1

Y

0 3 0

2 0

0 p

0 -p p



 

 

 



















X Y ▼Y ▼²Y ▼³Y ▼⁴Y

0 -6

1 1 7

2 34 33 26

3 123 89 56 30

4 298 175 86 30 0

5 589 291 116 30 0

3 . h 0

4 3 . p 4  

        

755 . 371 Y

0 24 *

3 . 3

* 3 . 2

* 3 . 1

* 3 . 30 0 6 *

3 . 2

* 3 . 1

* 3 . 86 0 2 *

3 . 1

* 3 . 175 0

* ) 3 . 0 ( 298 Y

Δ Y 4!

3 p 2 p 1 p Y p 3! Δ

2 p 1 p Y p 2!

1 p Y p 1!

Y p Y

p p

0 4 0

3 0

2 0

0 p

















 



 

 









Örnek : y_{ x} x³6 fonksiyonunun h=1 ve 0≤x≤6 aralığı için geri yön sonlu farklar tablosundan x=5.4 ve x=4.5 ise y’yi hesaplayınız.

X Y ΔY Δ²Y Δ³Y Δ⁴Y 0 -6

1 -5 1

2 2 7 6

3 21 19 12 6

4 58 37 18 6 0

5 119 61 24 6 0

6 210 91 30 6 0

4 . h 0

5 4 . p5  

464 . 151 Y_p 

5 . h 0

5 5 .

p 4  

125 . 85 Y_p 

     

 

 

 

0

1 n 1 1 n 0 1 n 0 n

0 1 2 3 0 1 2 0

2 0 3

0 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 0

0 2

m 1 m m

1 2 1

0 1 0

δ Y δ Y

δ Y δ δ Y . .

Y 3Y 3Y Y Y 2Y δ Y

δ Y Y δ δ

Y 2Y Y Y Y Y δY Y

Y δY δ Y

δY Y δ

δ

Y δY Y

. .

Y δY Y

Y δY Y





    



































































x1+1/2

x1/2

y=f(x)

x0 x1 x₂ x3 x4 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2

y0

y₁ y₂ y3

y4

y1/2

y1+1/2

y2+1/2

y_3+1/2

x2+1/2 x3+1/2

Örnek : y_{ x} 5x³2x²4x6 fonksiyonunun h=1 ve 0≤x≤5 aralığı için ileri yön sonlu farklar tablosunu hesaplayınız.

X Y ΔY Δ²Y Δ³Y Δ⁴Y

0 0

26 30

30 30 291

56 86 116 7

33 89 298 175

589 0

1 2 3 4 5

-6 1 34 123

 Merkezi Sonlu Farklar Yöntemi İle Enterpolasyon (Bessel Bağıntısı)

      

...

....

δ Y 3!

1 p 0.5 p p 2

δ Y δ Y

2!

1 p δY p

1!

0.5 - p 2

Y

Y Y ^{1 3} _1/2

2 0 2 1/2

1 0

p    









 

 





 



 



Örnek : y_{ x} 5x³2x²4x6 fonksiyonunun h=1 ve 0≤x≤5 aralığı için geri yön sonlu farklar tablosundan x=2.3 ise y’yi hesaplayınız.