OLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar

OLASILIK

OLASILIK

• İstatistiğin temel araçlarından biri olasılıktır

• 17. yy’da şans oyunları ile başlamıştır

• Her bir denemenin çıktısı belirsizdir

• Fakat uzun dönemde çıktı kestirimlenebilir

Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki

düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar

Olasılık Nedir?

• Herhangi bir deneyin sonucunda

gözlenebilecek farklı durumlarla hangi sıklıkta karşılaşılabileceğinin

incelenmesidir

Örnekler

• Bir doğumda kız ya da erkek doğacağı bilinmez

– Fakat uzun dönemde olasılık yaklaşık olarak

%50’dir

• Sigorta şirketleri Türkiye’de kimlerin 50 yaşında öleceğini kestiremez

– Fakat kaç kişinin bu yaşta öleceği yaklaşık olarak kestirilebilir

Olasılığın Gelişim Aşamaları

• Klasik (A Priori) Olasılık

• Frekans (A Posteriori) Olasılık

• Aksiyom Olasılığı

– Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır

Temel Tanımlar

• Tekrarlanabilir Deney; sonucu kesin olarak kestirimlenemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan bir eylem, gözlem ya da süreçtir

• Basit Olay; eğer bir deneyin çıktısı daha basit bir çıktı olarak ayrıştırılamıyorsa basit olaydır

• Olay; bir ya da daha fazla basit olayın bir araya gelmesi ile oluşur

• Örnek Uzayı; bir deneyin tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır

• Ayrık olay; Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık (birbirini engelleyen) olaylar denir

• Eşit Olasılıklı Olaylar; bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise eşit olasılıklı olay denir

Olasılığın İki Temel Kuralı

• Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır

• Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların olasılıklarının toplamı 1’e eşittir

DİKKAT

Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük olamaz

Klasik Olasılık

• Eğer bir örnek uzayı N(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örenek uzayındaki basit

olaylardan N(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı:

N(A)/N(S)

kesiri ile elde edilir.

Klasik Olasılık Niçin Yetersizdir?

• Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğunda

• Eşit olasılıklı olay varsayımı

yapılamadığında

Ne Yapılabilir?

• Araştırılan anakütle üzerinde tekrarlı

deneyler gerçekleştirilerek sonuçlar analiz edilmek üzere kayıt edilmelidir.

Frekans Olasılığı

• Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı):

P(A)=n(A)/n olarak bulunur.

Örnek

• Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir?

• Önce örnek uzayı oluşturulur:

S={sağlam,hatalı}

• Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir.

• Yapılması gereken örneklem alarak p= n(H)/n

olasılığını hesaplamaktır.

Frekans Olasılığının Kararlılık Özelliği

• Gerçekleştirilen deney sayısı arttıkça P(A) olasılık değerindeki değişkenlik azalacak ve giderek bir sabit değere yaklaşacaktır buna kararlılık özelliği adı verilir ve bir olayın olasılığı deneyin tekrarlama sayısı sonsuza yaklaşırken o olayın göreli frekansının alacağı limit değer olarak tanımlanır:

p=P(A)=lim n(A)/n

n→∞

Frekans Olasılığı Niçin Yetersizdir?

• Olasılığın kararlılık değerine ulaştığı deneme sayısı kaçtır?

• Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir

• Aynı deney iki defa aynı tekrar sayısı ile gerçekleştirildiğinde elde edilen

olasılıklardan hangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir?

Aksiyom Olasılığı Nedir?

• Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar

• Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller

yaşadığımız dünyanın problemlerini

çözmede kullanılır

Aksiyomlar

• Aksiyom 1:

– P(A) örnek uzayı S’deki her A olayı için P(A)≥0 olan bir gerçel sayıdır

• Aksiyom 2:

– P(S)=1

• Aksiyom 3:

– Eğer S₁,S₂, ...Olaylarının her biri S’deki ayrık

olaylar ise,diğer bir deyişle S_i∩S_j=∅ tüm i≠j için ise, P(S₁∪S₂ ∪...)=P(S₁)+P(S₂)+...

Aksiyom Olasılığı ile İlk İki Yaklaşım Arasındaki Fark

• Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortak nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda (teorik olarak aynı koşullarda) uygulanan deneylere gereksinim duymasıdır.

• Bununla birlikte benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlarda olasılıkların

hesaplanmasında AKSİYOM OLASILIĞI yardımcı olur.

Sadece Aksiyomlar Yeterli mi?

HAYIR

• Bu aksiyomların ve onlara bağlı teoremlerin faydalı bir model geliştirilmesinde bize yardımcı olabilmesi için, S örnek

uzayındaki her bir A olayı için olasılığın hesaplanmasında kullanılacak bir

FONKSİYONA ya da bir KURALA gereksinim vardır

Örnek Uzayı İçin Örnekler

(Venn diyagramları)

Olasılık Fonksiyonu Nedir?

• Bir olasılık fonksiyonu p[a]=f(x) tanım kümesi A, görüntü kümesi[0,1] ve aşağıdaki

aksiyomları sağlayan bir küme fonksiyonudur:

1) p[a]≥0 2) p[s]=1

• Bir olasılık fonksiyonu bir şans değişkeninin hangi değeri ne olasılıkla alabileceğini

gösteren fonksiyondur

• Kesikli olasılık fonksiyonu için bkz. ?

• Sürekli olasılık fonksiyonu için bkz.?

Şans değişkenleri için söz konusu olan örnek uzayları üç türde olabilir, Bunlar:

1) Sayılabilir sonlu örnek uzayı (Klasik Olasılık Modeli) Zarın üst yüzüne gelen sayı

2) Sayılabilir sonsuz örnek uzayı (Kesikli Şans değişkeni Modelleri)

Altı gelinceye kadar yapılan deneme sayısı Bir günde doğan çocuk sayısı

3) Sayılamayan sonsuz örnek uzayı(Sürekli Şans değişkeni Modelleri)

İki uçağın inişi arasında geçen süre

Sonlu Örnek Uzayları İçin Olasılık Modeli

• S

,S

,...,S

bir s kesikli örnek uzayındaki n adet örnek noktası olsun. Aşağıdaki şartlar sağlandığı durumda P fonksiyonu eşit olasılıklı olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır:

1)p(s

)=p(s

)=....=P(s

)=1/n

2)s

örnek noktalarının her hangi n

tanesini içeren bir A olayı için;

P(a)=n

/n

• İlk şart; n adet noktanın her birinin eşit olasılıklı ve bu nedenle her birinin olasılığının 1/n

olduğunu belirtir.

• İkinci şart; n adet örnek noktasından n

tanesini içeren bir olayın olasılığının n

/n olduğunu belirtir.

• ÖRNEK: Zarın çift gelmesi olayının olasılığı.

S={1,2,3,4,5,6} n=6 A={2,4,6} n

=3

P(A)=3/6

Örnek Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen Sayma Yöntemleri

• Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda:

– Örnek uzayının eleman sayısı – İlgilenilen olayın eleman sayısının

belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip;

1) Toplama yöntemi 2) Çarpma yöntemi

Toplama Yöntemi

• Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklı şekilde oluşabilen ayrık olaylar ise;

A veya B olayı n+m farklı şekilde oluşabilir. ÖRNEK: A olayı iskambil destesindeki Kupa

kartlarını, B olayı ise Maça kartlarını

tanımlamış ise çekilen bir kartın Maça ya da Kupa olma olay sayısı:

13+13=26

Çarpma Yöntemi

•Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n farklı şekilde oluşabilen ve aynı anda oluşmaları mümkün olaylar ise;

A ve B olayı n*m farklı şekilde oluşabilir.

ÖRNEK: bir desteden çekilen iki kartın birinin kupa diğerinin maça olması kaç farklı şekilde gerçekleşebilir?

13*13=169.

Örnek Uzayı Ve Olay Sayısının Büyük Olduğu Durumlar

Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri;

–Permutasyon

–Kombinasyon

İadeli Örnekleme: Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir sonraki seçimde tekrar populasyona dahil ediliyorsa yani örneğe girme şansı yine varsa bu tip örneklemeye iadeli örnekleme denir.

İadesiz Örnekleme: Bir popülasyondan örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir sonraki seçimde tekrar populasyona dahil edilmiyorsa yani bir sonraki örnekte gözlenme şansı yoksa bu tip örneklemeye iadesiz örnekleme denir.

Permütasyon

• Sıraya konulacak x adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılsın kaç değişik dizilim yapılabilir?

...

X nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:

X(x-1)(x-2)...(2)(1)=x!

X X-1 X-2 2 1

• PERMÜTASYON TANIM:

• Kullanıldığı durumlar – İadesiz örnekleme

– Örneğe çıkış sırası önemli

x

n

P

( ^{n n ! x} ) ^!

P

n

= −

ÖRNEK: İçinde M tane topun bulunduğu kutudan geri atılmadan değişik sırayla çekilen n hacimli örneklerin sayısı P(M,n) tanedir.

M=4, n=3 ise, örnek sayısı=P(4,3)=24 (1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)

(1,3,2),(1,4,2),(1,4,3),(2,4,3) (2,1,3),(2,1,4),(3,1,4),(3,2,4) (2,3,1),(2,4,1),(3,4,1),(3,4,2) (3,2,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,3,2) (3,1,2),(4,2,1),(4,3,1),(4,2,3)

Eğer örnekleme iadeli olarak yapılsaydı seçilebilecek toplam örnek sayısı Mⁿolacaktı

4³=64

Kombinasyon

• Tanım:

C

( ) ^!

!

! x n x C

n

n

= −

• Kullanıldığı durumlar

–İadesiz örnekleme

–Örneğe çıkış sırası önemsiz

ÖRNEK:

M topun bulunduğu kutudan geri atılarak çekilen n hacimli örnek sayısı C(M,n)

M=4 , n=3 ise, örnek sayısı= C(4,3)=4 (1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)

(1,3,2),(1,4,2),(1,4,3),(2,4,3) (2,1,3),(2,1,4),(3,1,4),(3,2,4) (2,3,1),(2,4,1),(3,4,1),(3,4,2) (3,2,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,3,2) (3,1,2),(4,2,1),(4,3,1),(4,2,3)

ilgilenilmiyor

Şartlı Olasılık

A ve B gibi iki olaydan B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının şartlı olasılığı denir .

P(A/B) ile gösterilir.

) (

) ) (

/

( P B

B A B P

A

P = ∩

) (

) ) (

/

( P A

A B A P

B

P = ∩

) ( ).

/ ( )

( ).

/

( A B P B P B A P A

P =

Örnek:Hamburgerci zincirinin müşterilerinden %75 hardal %80 i ketçap %65 i ise her ikisini birden kullanıyorsa, bir ketçap kullanıcısının hardal kullanma olasılığı nedir?

A olayı: Müşteri hardal kullanıyor

B olayı: Müşteri ketçap kullanıyor olsun P(A) =0.75, P(B) =0.80 P(A B)=0.65

Bir ketçap kullanıcısının hardal kullanma olasılığı :

∩

8125 . 80 0 . 0

65 . 0 )

( ) ) (

/

( = ∩ = =

B P

B A B P

A

P

Şartlı olasılıkların Bilindiği

durumlarda tek bir olayın olasılığının bulunması

Birbirini engelleyen olayların bileşiminin olasılığı toplama kuralına göre

) (

....

) (

) (

)

( A P A B

P A B

P A B

P = ∩ + ∩ + ∩

) ( ).

/ ( )

( A B A B P B P ∩

=

) / ( ...

) ( ) / ( ) ( ) / ( )

(

P

= + +

Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir1.

Fabrikanın üretimi 2. Ve 3. Fabrikanın üretiminin 2 katıdır.Ayrıca 1. Ve 2. Fabrikalar% 2, 3. Fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığında bu depodan rast gele

seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir.

A= Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı B₁= “ 1. Fabrikada üretilmesi B₂= “ 2. “

B₃= “ 3. “

) / ( ...

) ( ) / ( ) ( ) / ( )

(

P

= + +

P(A)=(0.02)(0.5)+(0.02)(0.25)+(0.04)(0.25)= 0.025

B

B

B

B

B5

A

) / ( ...

) ( ) / ( ) ( ) / ( )

(

P

= + +

P(A)=(0.02)(0.5)+(0.02)(0.25)+(0.04)(0.25)= 0.025

Bayes Teoremi

Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir.

Yukarıdaki birinci örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında Bayes Teoremine ihtiyaç vardır.

∑

∩ =

= _k

i

i i

i i

i i

B P B A P

B P B A P A

P

A B A P

B P

1

) ( ) / (

) ( ) / ( )

( ) ) (

/ (

) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / (

) ( ) / /A) (

P(B

3 3

2 2

1 1

1 1 1

B P B A P B P B A P B P B A P

B P B A P

+

= +

) 25 . 0 )(

04 . 0 ( ) 25 . 0 )(

02 . 0 ( ) 5 . 0 )(

02 . 0 (

) 5 . 0 )(

02 . 0 ) (

/ ( ₁

+

= + A B

P =0.40

Bağımsız Olaylar

Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesi olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama

olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir.

Olur. Ancak B olayının meydana gelme olasılığı A olayının meydana gelme olasılığına bağlı değil ve iki olay aynı anda meydana gelebiliyor ise

olur

) / ( ).

( )

( A B P A P B A P ∩ =

) ( ).

( )

/ ( ).

( )

( A B P A P B A P A P B

P ∩ = =

• Bütün lisans diplomalarının %48 inin kadınlar tarafından alındığı , bütün lisans diplomalarının % 17.5 i işletme dalında ve %4.7 si işletme işletme dalında kadınlara verilmektedir. “Lisans diploması alan kadındır” ve “Lisans diploması işletme

dalındadır” olayları istatistiksel olarak bağımsız mıdır inceleyiniz

P(A)=0.48 P(B)=0.175 P(A)P(B)=(0.48)(0.175)=0.084

Olduğundan iki olay bağımsız değildir.

P(A/B) =0.047/0.175=0.269

047 . 0 ) ( A ∩ B = P

) ( A B P ∩

≠

A B

1

4 2

3

Yukarıdaki elektrik devresinde her anahtarın herhangi bir anda kapalı olması olasılığı p ile gösterilmiştir.

Buna göre A ve B noktalarına gerilim uygulandığında akım geçme olasılığı nedir

A : Akım geçmesi olayı

S₁ : Birinci anahtarın kapalı olması olasılığı

S₂ :İkinci “ “ “ “

S₃ :Üçüncü “ “ “ “

S₄ :Dördüncü” “ “ “

Çözüm:

P(A)= p²+p²-p⁴

) (

) (

) (

)

( A P S

S

P S

S

P S

S

S

S

P = ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩

ŞANS DEĞİŞKENİ

Şans Değişkeni, belirli bir tanım aralığında

hangi değeri alacağı önceden bilinmeyen ve

bu değeri belli olasılıklarla alabilen değişken

olarak tanımlanır

Kesikli Şans Değişkenleri

Sayılabilir sayı değerleri ile ifade edilen şans değişkenleridir.Tanımlı oldukları aralıkta sadece tamsayı değerleri alabilirler.

Örnek: Bir satış elemanının bir haftada yaptığı otomobil satış miktarı (Poisson)

Bir kutu ampuldeki defolu ampul sayısı (Binom) Bir sekreterin bir sayfa yazıda yaptığı hata sayısı (Poisson)

Bir ailenin doğan 5. Kız çocuğunun 3. kız çocuğu olması ( Negatif Binom)

Kesikli Şans Değişkeninde Olasılık

X, tesadüfi değişken ve x₁,x₂,..,x_n bu tesadüfi değişkenin alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin herhangi birx değerini alma olasılığı

Pr{X=x}

şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir fonksiyonun kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için

1. P(x) 0 , tüm x değerleri için 2.

Olması gerekir

∑

Tümx

x P( ) 1

≥

Kesikli Şans Değişkeninin Beklenen Değeri

Buradaki gösterim toplama işleminin x in alabileceği bütün değerleri kapsadığı anlamına gelir. Bir şans değişkeninin beklenen değeri aynı zamanda

ortalamasıdır.Ayrıca, .

olup. Genel olarak;

∑

=

Tümx

x

P x

x

E ( ) ( )

∑

=

Tümx

i i

P x x x

E (

)

( )

∑

=

Tümx n i

n

x

P x

x

E ( ) ( )

Kesikli Şans Değişkeninin Varyansı

Populasyon varyansı; x şans değişkeninin populasyon ortalaması ‘den ortalama karesel uzaklığı olarak ifade edilir.X bir şans değişkeni olduğundan karesel uzaklık da bir şans değişkenidir.X şans değişkeninin ortalamasında kullanılan mantıktan yola çıkarak ifadesinin beklenen değerini;

ile her bir x değerine karşı gelen olasılığın P(x) çarpımı ile bulabiliriz.

μ

(^x − ^μ )²

(^x − ^μ )² (^x − ^μ )²

( )

[ ⁻ ] ⁼ _∑ ^{( − )}

x Tüm

x p x

x

E μ

μ

( )

Bu ifade ortalamadan karesel uzaklığın beklenen değeri

2

2

) [ ( )]

( )

( x E x E x

Var = −

∑

∑ ⁻

= ( ) ( )

)

( x x

P x xP x Var

X şans değişkeninin standart sapması varyansının karekökü olarak ifade edilir.

( )

[ ⁻ ] ⁼ _∑ ^{( − )}

=

x Tüm

x p x

x

E

( )

2

μ μ

σ

Bir madeni para iki kez havaya atılmasıyla gözlenen tura sayısı kesikli değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi gösterilebilir

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

=

2 25

. 0

1 50

. 0

0 25

. 0 ) (

x x x x

P

Bu olasılık fonksiyonu iki farklı histogramla gösterilebilir. Beklenen değer ;

E(X)=(1/4)*0 +(2/4)*1+(1/4)2=1 olur.

0.5

C2

0.25

0.5

0.25

C2

Bir zarın bir kez atılmasında gözlenen değer kesikli şans değişkeninin olasılık fonksiyonu

X = 1 2 3 4 5 6

P(X) = 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Bu fonksiyonun beklenen değeri 3.5 tir. Beklenen değer ortalama anlamına gelir ve merkezi eğilimin bir ölçüsüdür bu nedenle x şans değişkeninin olası değerlerine eşit olmak zorunda değildir( yani tamsayı olmak zorunda değildir).

Beklenen değer matematiksel bir terimdir ve verilerin ağırlık merkezini ifade eder.

Bir otomobil bayii gelecek ay satacağı araba sayılarının olasılıklarının aşağıdaki gibi olacağına inanmaktadır.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(x) 0.02 0.08 0.15 0.19 0.24 0.17 0.10 0.04 0.01 Bu dağılışa göre bayinin;

a) 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz b) Satışların beklenen değerini bulunuz

c) Satışların varyansını bulunuz a) P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0.15

b) E(X)= = (0.02)(0)+(0.08)(1)+(0.15)(2)...=3.72 c)Var(X)=E(X²)-[E(X)]²=2.84

∑

Sürekli Şans Değişkenleri

Tanımlı olduğu aralıktaki tüm değerleri alabilen şans değişkenidir.

Örnek: Televizyon tüpünün ömrü ( Üstel )

Elektrik ampüllerinin bozulmaya kadar geçen ki hayat süresi ( Üstel )

Ring hattında yolcunun durağa gelinen andan itibaren otobüsü bekleme süresi. ( Üniform )

Sürekli Şans Değişkenlerinin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuna sürekli olasılık fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu, veya sadece yoğunluk fonksiyonu denir.

Bir Sürekli değişkenin nokta olasılığı hesaplanabilir mi?

Yanıt: HAYIR

Sürekli bir değişkenin değer aralığında sonsuz sayıda değer vardır.

Değişkenin bunlar içinden belirli bir değeri alma olasılığı olur.

Bu yüzden, sürekli değişkenlere ait olasılık fonksiyonları, kesikli değişkenlerin aksine bu değişkenin belirli bir

değeri alma olasılıklarının hesaplanmasına imkan vermez..

Bu fonksiyonlarda değişkenin belirli bir değer yerine belirli bir aralıkta değer alma olasılığının hesaplanması yoluna gidilir.

1 =0

∞

Sürekli Şans Değişkenlerinin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Olma Şartları

1- f(x) her noktada tanımlı 2- Her x değeri için f(x) 0

3- olmalıdır

f(x)bu şartları sağlar ise bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

≥

∫

∞

−

=1 ) ( dxx f

∫ ⁻ ∫

= x

f ( x ) dx ( xf ( x ) dx )

(

) ^[

^{( )}

^]

E −

( )

⁼ ∫

( )

E ^{2 2}

∫ ^{xf ( x ) dx}

E(x) =

Var(x) =

Sürekli Şans Değişkeninin Beklenen Değeri ve Varyansı

(

)

∫

a

dx x f b

x

a ( )

Pr

Sonuç olarak bir şans değişkeninin a ve b gibi iki sabit sayı arasında kalan aralıkta bir değer alma olasılığı, bu

değişkenin bu değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonun bu aralıktaki integralinin alınmasıyla oluşur.

f(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanıyor olsun

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤ ≤

=

icin ler x diger

x x x

f

' ,

0

2 1

7 , 3 ) (

2

a)f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu mudur?

ise f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

olduğundan f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

( )

∫

dx x f

7 1 1 7 8 7

7

3 ²

1 2 3

1

2 = = − =

∫

b) Pr{1.2<x<1.6} olasılığını hesaplayınız.

( ) ( ) _{0 . 34}

7 2 . 1 6

. 1

7 7

) 3 (

3 3

6 . 1

2 . 1 6 3

. 1

2 . 1

2 6

. 1

2 . 1

− =

=

=

= ∫

∫ ^{f x dx x dx x}

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

Binom Dağılışı

Binom Modelinin Özellikleri

•Deneylerin aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliği vardır.

• Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu vardır.

• Başarı olasılığıp, deneyden deneye değişmez.

Başarısızlığın olasılığıq=1-p olarak gösterilir

•Denemeler birbirinden bağımsızdır

•Binom Şans Değişkeni x, n denemede gözlenen başarı sayısıdır. Parametreleri n ve p ’dir.

P(X= x | n,p) : X=x olması olasılığı n : deneme sayısı

p : bir denemedeki ’başarı’ olasılığı x : n denemedeki ‘başarı’ sayısı

(x = 0, 1, 2, ..., n)

Binom Dağılımının Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

x n x

q x p

x n

p ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

)

(

Binom Olasılık Fonksiyonunun Elde Edilmesi

Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu

idi.

Bernoulli deneyi n defa tekrarlanır ise bu durumda toplam k adet başarı olmasının olasılığı k adet başarı olasılığı(p) ile n-k adet başarısızlık olasılığının (q) çarpımıdır.

0,1

1 =

= p .q ⁻ x

P(x) ^{x x}

Bu durumda ;

( x , x ,...., x ) f(x ). f(x )... f(x )

f

=

n

n x

x x

x x

x q p q p q

p ^{− − −}

= ¹. ^{1 1}. ². ^{1 2}... . ¹

(

)

f =

∑

= p∑ ^xi.q^{n− xi xi =0,1}

elde edilir. Burada olup başarı sayısıdır. Böylece

∑

(

)

f _{1 2 n} elde edilir.

Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani sıralama önemsiz ise faklı şekilde ortaya çıktığı için ;

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ k n

( )

k x n

f ⎟⎟⎠ ⁻

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

olarak elde edilir.

Binom Olasılık Dağılımı Örneği

Olay: Bir parayı ardarda 4 kez atalım. Yazıların sayısıyla ilgilenelim. 3 yazı gelme olasılığı

nedir?

P X x n p n

x n x p p

P X

x n x

( | , ) !

!( )! ( )

( | ,. ) !

!( )! . ( . )

= =

− −

= =

− −

=

−

−

1

3 4 5 4

3 4 3 5 1 5

.25

Binom Dağılımının Karakteristikleri

n = 5 p = 0.1

n = 5 p = 0.5 Aritmetik Ortalama

Standart Sapma

μ

σ

E X np

np p

= =

= −

( )

( 1 )

.0 .2 .4 .6

0 1 2 3 4 5

X P(X)

.0 .2 .4 .6

0 1 2 3 4 5

X P(X)

• Örnek: Bir alıcı partiler halinde batarya

almaktadır. Bir parti 500 bataryadan oluşmaktadır ve her bir partiden 10’ar batarya rastgele alınarak test edilmektedir. Eğer test edilen bataryalardan en az 3’ü bozuk çıkarsa parti iade edilmektedir. a) Partideki bataryaların %5’inin bozuk olması

durumunda partinin kabul edilmesi olasılığı nedir?

b) Partideki bataryaların %25’inin bozuk olması durumunda partinin kabul edilmesi olasılığı nedir?

• Cevap: a) P(kabul) = 0,9885’tir. b) P(kabul) = 0,5256’dır.

Hipergeometrik Dağılım

1) n deneme benzer koşullarda tekrarlanabilir 2) Her denemenin 2 mümkün sonucu vardır 3) Sonlu populasyondan iadesiz örnekleme yapılır

4)Örnekleme iadesiz olduğundan başarı olasılığı deneyden deneye değişir

NOT:

.

Hipergeometrik Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

P(X) : X = x olma olasılığı n : örnek hacmi N : anakütle hacmi

B : anakütledeki başarı sayısı

x : örnekteki başarı sayısı (x = 0, 1, 2, ..., n)

P X ) ⁽ ₌ ( )( ) ^{B x} ( )

N - B

n - x

N

n

Hipergeometrik Dağılımın Karakteristikleri

Ortalama

Standart Sapma

μ

σ

E X np p = B/N için

np p

= =

= −

( )

( 1 )

N

−

− 1

Örnek

10 öğrenciden oluşan bir anaokulu sınıfında 3 öğrenci grip olmuştur. Bu sınıftan rasgele seçilen 4 öğrenciden 2’sini grip olması olasılığı nedir?

= 0.30 X )

3 ( = 2

10 - 3 4 - 2 10

4

( )( ) ( )

P

• Örnek: Bir firma 10’luk partiler halinde elektrik motorları satın almaktadır. Firma bu ürünlerin giriş kalite kontrolu aşamasında 4 tanesini rastgele seçmekte ve fonksiyonellik testine tabi tutmaktadır. Eğer bu

motorlardan 3 tanesi bozuk ise, alınan örnek içerisinde 2 tanesinin bozuk çıkması

olasılığı nedir?

= 0.30 X )

3 ( = 2

10 - 3 4 - 2 10

4

( )( ) ( )

P

Poisson Dağılımı

1.Süreç Olarak Poisson

Belirli bir zaman aralığında ilgilenilen olayın ortaya çıkış sayısıyla ilgilenir.

Birim başına olay: Zaman, uzunluk, alan,vb.

20 dakikada dükkana gelen müşteri sayısı Bir metrekare kumaştaki hata sayısı

2.Binom Deneyinin Yaklaşımı Olarak

n >20 ve p <0.05

Poisson Olasılık Dağılım Fonksiyonu

P(X= x | λ) : X = x olma olasılığı λ = Beklenen başarı sayısı e = 2.71828

x = Birim başına başarı sayısı

P X x

x

x

( | )

= λ = e

! λ

Poisson Dağılımının Karakteristikleri

λ = 0.5

λ = 6 Aritmetik Ortalama

Standart Sapma

μ λ

σ λ

i i

N

i

E X

X P X

= =

=

=

∑

( )

( )

1

.0 .2 .4 .6

0 1 2 3 4 5

X P(X)

.0 .2 .4 .6

0 2 4 6 8 10

X P(X)

Poisson Dağılımı Örneği

• Bir dükkana saatte 72 müşteri gelmektedir. 3 dakika içinde 4

müşteri gelme olasılığı nedir?

Saatte 72 müşteri

= dakikada 1.2 müşteri

= 3 dakikada 3.6 müş.

P X x

x

P X

x

( | )

!

( | . ) .

!

= =

= =

λ e ^λ λ e

= 0.1912

-

-3.6

4 3 6 3 6

4

4