TEMEL OLASILIK KAVRAMLARI
1.1. Kümeler
İstatistik, adına veri (data) denilen sayısal değerlerin derlenmesi, analizlerinin yapılması ve analiz sonuçlarının yorumlanmasında gerekli bilgileri sağlayan bir bilim dalıdır. Aslında istatistik, doğadaki bu üç problemin çözümüne yardımcı olmaktadır. Verilerin derlenmesi, analizlerin ve analiz sonuçlarının yorumlanması ise belli kurallara bağlıdır.
Bir paranın atılması deneyinde sonuç, yazı ya da turadır. Ancak hangisinin geleceği hakkında kesin bir şey söylenemez. Yani, deneyin sonucu tamamen rastlantıya bağlıdır. Bu bağlamda istatistik, rasgelelik içeren olaylar, süreçler ve sistemler hakkında modeller kurmada, bu modellerden sonuçlar çıkarmada gerekli bilgileri sağlayan bir bilim dalıdır (Öztürk, 1993). Aşağıda ayrıntılarına girmeden temel olasılık kavramları ile ilgili kısa bilgiler verilecektir.
Bir deney yapıldığında, gerçekleşebilecek bütün sonuçların kümesine örnek uzay denir.
Örnek uzay, ya da S ile gösterilir. Bir paranın atılması deneyinde örnek uzay, sadece iki elemandan oluşan bir kümedir. Bunu { , } Y T şeklinde gösterebiliriz. Bir zarın atılması deneyi için örnek uzay, { , w w 1 2 ,..., w 6 } şeklindedir. Burada w i , üzerinde i tane nokta bulunan zarı ifade etmektedir.
Örnek uzay bir kümedir. Kümenin net bir tanımı olmasa da, hakkında düşündüğümüz ne ise buna küme diyeceğiz. Kümeler büyük harfler ile gösterilecektir. Aşağıda, kümeler ile ilgili bazı temel kavramlar özetlenmiştir.
Boş Küme: Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ile gösterilir.
Alt Küme: A ve B iki küme olmak üzere, A nın her elemanı aynı zamanda B nin
de bir elemanı ise, A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir ve A ile gösterilir. B
Matematiksel olarak, A B x A için x B şeklinde ifade edilir.
{ , , , , , , } a b c d e f g
ve nın iki alt kümesi A { , } a b , B { , , , , } a b c d e olsun.
Buna göre, A nın her elemanı aynı zamanda B nin de bir elemanı olup A dir. B A bağıntısı şematik olarak Şekil (1.1.1) de verilmiştir. B
Şekil 1.1.1 Altküme bağıntısı
A ve B kümeleri için A B ve B A kapsama bağıntıları sağlanıyorsa, A ve B kümeleri eşittir denir ve A B yazılır. Yani, A ve B eşit kümelerdir.
Arakesit (kesişim) Kümesi: Her iki kümeye de ait elemanların oluşturduğu kümedir.
Arakesit kümesi matemetiksel olarak A B { x : x A ve x B } şeklinde ifade edilir.
Yani arakesit kümesi, ortak elemanların oluşturduğu kümedir.
Birleşim Kümesi: A ve B gibi iki kümeden en az birine ait elemanların oluşturduğu kümedir. Birleşim kümesi de A B { x : x A veya x B } şeklinde ifade edilir.
Tümleme: Evrensel kümede olup da A kümesinde olmayan elemanların kümesi, A nın tümleyen kümesidir ve A ile gösterilir. c A kümesi c A c { x : x A } ile ifade edilir.
Ayrıca, ( A B ) c A c B c ve ( A B ) c A c B c dir.
Fark Kümesi: Kümelerden birinde olup da diğerinde olmayan elemanların oluşturduğu
kümedir ve \ A B ile gösterilir. Fark kümesi bazen A B c şeklinde de ifade edilir. Burada,
\
A B A B c { x : x A ve x B } dir.
Simetrik Fark Kümesi:: İki fark kümesinin birleşim kümesidir ve A B ile gösterilir.
Simetrik fark kümesi A B ( \ ) A B ( \ ) B A veya A B ( A B c ) ( B A c ) şeklinde
de ifade edilebilir.
{ , , , , , } a b c d e f
olmak üzere nın A { , , } a b c ve B { , , } c d e alt kümelerini seçelim. Bu alt kümeler kullanılarak yukarıdaki işlemler Şekil (1.1.2) de gösterilmiştir. Bu kümeler,
{ , , }
A c d e f , A B { } c , A B { , , , , } a b c d e ,
\ { , }
A B a b , A B ( \ ) ( \ ) { , , , } A B B A a b d e şeklindedir.
Şekil 1.1.2 Kümeler ve küme işlemleri (tararı alan ilgili kümeyi göstermektedir) Kümeler üzerindeki bütün işlemler arakesit ve birleşim işlemlerine bağlıdır. Sayılabilir sayıdaki kümelerin bir dizisi n 1 için A olsun. n A lerin sayılabilir birleşim kümesi n
1
: en az bir için
n i
n
A x i x A
,
sayılabilir arakesit kümesi ise
1
: her için
n i
n
A x i x A
şeklinde ifade edilir. Diğer taraftan, kümelerin sayılabilir birleşimlerinin (ve arakesitlerinin) tümleyeni,
1 1
c
n n c
n n
A A
ve
1 1
c
n n c
n n
A A
şeklinde olup dağılma kuralları
birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği: A ( B C ) ( A B ) ( A C ) kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği: A ( B C ) ( A B ) ( A C ) şeklindedir.
Tanım 1.1.1 Örnek uzayın bazı alt kümelerinin oluşturduğu bir kolleksiyona sınıf denir Sınıflar için U , F , C veya A gibi semboller kullanılacaktır. Bir paranın atılması deneyinde örnek uzay { , } Y T olup, U 1 { , ,{ }} Y ve U 2 { ,{ }} T birer sınıftır.
Örnek uzay { , , , } a b c d ise U { , ,{ , },{ , , },{ , }} a b a c d b c de bir sınıftır.
Tanım 1.1.2 Bir kümenin bütün alt kümelerinin oluşturduğu sınıfa o kümenin kuvvet kümesi denir
Kuvvet kümesi ( ) ile gösterilecektir. Bir kümenin n tane elemanı varsa kuvvet kümesindeki alt kümelerin sayısı 2 n dir. A kümesinin elemanlarının sayısı ( ) n A ile gösterilecektir.
Örnek 1.1.1 { , , , } a b c d ise kuvvet kümesinde 16 tane alt küme vardır. Bunlar;
( ) { , , { }, { }, { }, { }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , , }, { , , },{ , , },{ , , } }
a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d
dir. Örnek uzayın elemanlarının sayısı sonlu sayıda olabilir. Ayrıca, örnek uzayın elemanları sayılabilir sonsuz çoklukta olabileceği gibi, sayılamayan çoklukta da olabilir.
Böyle durumlarda, örnek uzayın kuvvet kümesi yukarıda olduğu gibi yazılamaz
Tanım 1.1.3 boş olmayan bir küme, U da nın bazı alt kümelerinden oluşan bir sınıf olsun. U sınıfı,
a) U
b) her A U için A c U c) her A B , U için A B U
özelliklerini sağlıyorsa, U sınıfına bir cebir denir. U sınıfı (c) yerine
c*) n olmak üzere A n U için
n 1 A n
U
özelliğini sağlıyorsa U sınıfına bir cebir (sigma cebir) denir. U nun her elemanına bir
olay, ( , ) U ikilisine de ölçülebilir bir uzay denir
Tanımdan da anlaşılacağı gibi her cebir aynı zamanda bir cebir olmasına rağmen tersi doğru değildir. Ancak, örnek uzay sonlu elemanlı ise cebir aynı zamanda
cebirdir.
Örnek 1.1.2 a) Kuvvet kümesi tanımdaki üç koşulu sağladığından bir cebirdir.
( )
U denirse, olduğundan U dır. Diğer taraftan, A U ise A olup, A c olduğundan A c U dur. Son olarak, n 1 için A n U ise her n için
A n ve evrensel küme olduğundan
1 n n
A
dır. Yani,
1 n n
A
U olup kuvvet
kümesi bir sigma cebirdir.
b) { , , , } a b c d olsun. U a { , , { }, { , , }} a b c d sınıfı bir cebirdir. Bu cebir aynı zamanda cebirdir. Ayrıca, U b { , , { }, { , , }} b a c d sınıfı da bir sigma cebirdir.
c) sonsuz elemanlı herhangi bir küme olmak üzere U 1 sınıfı 1 { A : veya sonlu elemanlıdır} A A c
U
olarak tanımlansın. Bu sınıf bir cebir olmasına rağmen cebir değildir. Önce U 1
sınıfının bir cebir olduğunu gösterelim. olup, nin eleman sayısı sonludur. O c halde, U 1 dir. Ayrıca, A U 1 ise A ya da A c sonlu elemanlıdır. A sonlu elemanlı ise, ( A
c)
c A olup A c U dir. 1 A c sonlu elemanlı ise, sonlu elemanlı kümeler U 1
sınıfında olacağından A c U dir. Son olarak, 1 U 1 deki herhangi iki küme A ve B olsun.
Burada üç farklı durum olabilir: i) kümelerin ikisi de sonlu elemanlı ii) kümelerin her ikisinin de tümleyeni sonlu elemanlı iii) kümelerden birinin kendisi sonlu elemanlı diğerinin tümleyeni sonlu elemanlı olabilir. Her üç durumda da A B veya ( A B )
csonlu elemanlı olduğunun gösterilmesi gerekir. Şimdi bunları ayrı ayrı inceleyelim.
i) A ve B nin her ikiside sonlu elemanlı ise A B de sonlu elemanlıdır. Kendisi
sonlu elemanlı kümeler U 1 de olduğundan A B U 1 dir.
ii) A ve B nin her ikisinin de tümleyeli sonlu elemanlı ise A c B c de sonlu elemanlıdır ( ( A B ) c A c B c olup sonlu elemanlı kümelerin arakesiti de sonlu elemanlıdır). Yani, A B nin tümleyeni sonlu elemanlıdır. Tümleyeni sonlu elemanlı kümeler U 1 de olduğundan A B U 1 dir.
iii) Son olarak A sonlu elemanlı, B nin de tümleyeni sonlu elemanlı olsun. Buna göre, A c B c de sonlu elemanlıdır ( ( A B ) c A c B c B c olup sonlu elemanlı bir kümenin alt kümesi de sonlu elemanlıdır). Yani, A B nin tümleyeni sonlu elemanlıdır. O halde, A B U 1 dir.
Burada tanımlanan U 1 sınıfı cebir olma koşullarını sağladığı için bir cebirdir. Bu sınıf bir cebir olmasına rağmen cebir değildir. Bunu göstermek için tersine bir örnek vermek yeterlidir. Örnek uzay doğal sayılar kümesi ( ) olsun. Her n için, A n {2 } n denirse, tek elemanlı kümeler U 1 sınıfındadır (kendileri sonlu elemanlı). Bu sınıfın bir
cebir olabilmesi için bu kümelerin sayılabilir birleşimlerinin de bu sınıfta olması gerekir. Oysa sayılabilir birleşim kümesi ve tümleyeni
1 2,4,6, 8, .. .n An
ve
1,3,5,7, ...
1
c
n
Anşeklinde olduğundan, her iki küme de sonlu elemanlı değildir. O halde, 1 1
n n
A
U olup
U 1 sınıfı bir cebir değildir.
d) sayılamayan sonsuzlukta elemanı olan bir küme olsun. nın bazı alt kümelerinden oluşan bir sınıf da
2 { A : veya sayılabilir elemanlı} A A c U
şeklinde tanımlansın. Bu sınıf cebirin tanımındaki koşulları sağlar. Önce, c olup nin eleman sayısı sıfırdır. O halde U 2 dir. Şimdi A U olsun. Buna göre, 2
A ya da A c sayılabilir elemanlı kümelerdir. A sayılabilir ise, ( A
c)
c A olduğundan
c 2
A U (tümleyeni sayılabilir) dir. A c sayılabilir ise kendisi sayılabilir olan kümeler U 2
sınıfına aittir ( A c U ) dir. Son olarak, bütün 2 n 1 için A n U 2 olsun. Seçilen A n ler üç farklı durumda olabilir. Bütün n ler için A n ler sayılabilir olabilir. Bu durumda,
sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimleri de sayılabilir olduğundan 2
1 n n
A
U dir.
Diğer taraftan, bütün n ler için A n lerin tümleyenleri sayılabilir ise
1 n c n
A
de
sayılabilirdir. Buna göre,
1 1
c
n n c
n n
A A
eşitliğinden 2
1 n n
A
U dir. Son olarak, seçilen alt kümelerin bazılarının kendileri,
diğerlerinin de tümleyeni sayılabilir olabilir. Kendileri sayılabilen olanları B n , tümleyenleri sayılabilenleri de C n ile gösterelim. Buna göre,
1 n 1 k 1 j
n k j
A B C
olup
1 c j j
C
kümesi sayılabilirdir. Ayrıca,
1 1 1 1
c
c c c
n k j j
n k j j
A B C C
olduğundan sayılabilir bir kümenin her alt kümesi de sayılabilirdir. Buradan,
n
1Ankümesinin tümleyeni sayılabilir olup 2 1 n n
A
U dır. Yani, U sınıfı 2 cebir tanımındaki bütün koşullarını sağladığından bir cebirdir
Teorem 1.1.1 boş olmayan bir küme, U da üzerinde bir sigma cebir olsun.
Buna göre,
a) U
b) her n için A n U ise
1 n n
A
U c) A B , U ise \ A B A B c U dir.
İspat: a) U bir sigma cebir olduğundan U ve U daki her elemanın tümleyeni de U da olacağından U c dur.
b) U bir sigma cebir olduğundan her elemanının tümleyeni de U dadır. Yani, bütün 1
n için A n U ise A n c U dir. Yine U bir sigma cebir olduğundan bunların sayılabilir
birleşimleri de U dadır. Yani,
1 n c n
A
U dir. Yine, sigma cebirin tanımından bu elemanın tümleyeni de U nun bir elemanıdır. Buradan da
1 1
c
n n c
n n
A A
U
elde edilir.
c) A B , U için A B , c U olup (b) den \ A B A B c U dur
Teorem 1.1.2 kümesi üzerindeki iki sigma cebir U 1 ve U 2 olsun. Bu durumda
1 2
U U U de bir sigma cebirdir.
İspat: Sigma cebirlerin arakesitlerinden oluşan U sınıfının bir sigma cebir olabilmesi için tanımdaki üç koşulu sağlaması gerekir. U 1 ve U 2 birer sigma cebir olduğundan
U 1 ve U 2 olup U 1 U 2 dir. Ayrıca, A U ise A U 1 ve A U 2 dir. U 1 ve U 2 birer sigma cebir olduğundan A c U ve 1 A c U dir. Yani, 2 A c U 1 U olup, 2 A c U dur. Son olarak, n 1 için A n U ise arakesitin özelliğinden her n için A n U 1
ve A n U 2 olup, U 1 ve U 2 sigma cebir olduğundan 1
1 n n
A
U ve 2
1 n n
A
U dir.
Buradan da
1 n n
A
U elde edilir. U sınıfı tanımdaki bütün koşulları sağladığından bir sigma cebirdir
Teoremin genel hali aşağıda ispatsız olarak verilmiştir. İspat için herhangi bir olasılık teorisi kitabına bakılabilir (Öztürk, 1993).
Teorem 1.1.3 I bir indis kümesi ve I için U lar aynı örnek uzay üzerinde tanımlı sigma cebirler olsun. Buna göre, I U da bir sigma cebirdir
Tanım 1.1.4 kümesi üzerinde tanımlı iki sigma cebir U 1 ve U 2 olsun. U 1 deki her olay aynı zamanda U 2 de bir olay ise U 1 sigma cebiri U 2 sigma cebirinden daha küçüktür denir
Teorem 1.1.4 nın bazı alt kümelerinden oluşan bir sınıf F olsun (sigma cebir olmak zorunda değildir). Bu F sınıfını kapsayan en küçük bir sigma cebir vardır.
İspat: Önce, bu sınıfı kapsayan en az bir sigma cebir vardır. Kuvvet kümesi nın bütün alt kümelerinden oluşan sigma cebir olduğundan bu sınıfı kapsar. Bu sınıfı kapsayan başka sigma cebirler de olabilir. Bunlara, I bir indis kümesi olmak üzere için I U
diyelim. Bu sigma cebirlerin herbiri F sınıfını kapsadığından U ların arakesiti de F sınıfını kapsar. Diğer taraftan, bu arakesit sigma cebiri F sınıfını kapsayan diğer U
sınıflarından küçüktür. O halde, F sınıfını kapsayan en küçük sigma cebir vardır
Herhangi bir F sınıfını kapsayan en küçük bir sigma cebir ( ) F ile gösterilecektir.
Bu F sınıfını kapsayan en küçük sigma cebire F nin ürettiği sigma cebir denir.
Örnek uzay reel sayılar kümesi ( ) olsun. Reel sayılar doğrusu üzerindeki bir açık aralık, a b , ve a b olmak üzere, ( , ) a b şeklinde ifade edilir. Buna göre aşağıdaki sınıfları tanımlayalım:
1 ( , ): , a b a b ve a b
F , açık aralıkları sınıfı
2 [ , ]: , a b a b ve a b
F , kapalı aralıklar sınıfı
3 ( , ]: , a b a b ve a b
F , yarı açık aralıklar sınıfı.
Bu sınıfların hiçbiri sigma cebir değildir. olduğundan ( , ) olup
bir reel sayı değildir. Dolayısı ile, F , 1 F ve 2 F dır. Bu sınıflar birer sigma 3 cebir olmamasına rağmen, Teorem (1.1.4) gereğince, bu sınıfları kapsayan en az bir sigma cebir vardır.
Tanım 1.1.5 deki açık aralıkların ürettiği sigma cebire Borel cebiri denir
Borel cebiri B ( ) ile gösterilecektir. Bu tanıma göre, deki bütün açık aralıklar Borel cebirindedir. deki diğer alt kümeler de Borel cebirindedir. Yani, { } a , { , , } a b c türündeki tek nokta kümeleri, [ a , b ] gibi kapalı aralıklar, ( a , b ] gibi yarı-açık aralıklar ve ( , b ] gibi aralıklar da Borel cebirindedir. Yani, Borel cebiri deki açık aralıklar tarafından üretilen sigma cebiri olmasına rağmen, deki diğer alt kümeleri de içerir. Şimdi bunu gösterelim. Önce a olmak üzere, A n ( a (1/ ) , n a (1/ )) n açık aralıklar dizisini ele alalım. A n ler açık aralıklar olduğundan her n için A n B ( ) dir. Ayrıca, Borel cebiri aynı zamanda bir sigma cebir olduğundan Teorem (1.1.1b) gereğince sayılabilir arakesitleri de Borel cebirindedir. Yani,
1
{ } n ( )
n
a A
B
olup { } a şeklindeki tek nokta kümeleri Borel cebirindedir. A n { } n alınırsa, B ( ) bir sigma cebir olduğundan nin de (doğal sayılar kümesi) Borel cebirinde olduğu görülür.
Benzer şekilde, rasyonel sayılar kümesi Q , sayılabilir bir küme olduğundan Q B ( ) dir.
İirrasyonel sayılar kümesi I , rasyonel sayılar kümesinin tümleyeni olduğundan I B ( ) dir.
Diğer taraftan, a b , ve a b olmak üzere, [ , ] { } ( , ) { } a b a a b b B ( ) dir.
Bununla birlikte, A n [ a n a , ] olarak seçildiğinde,
1
( , ] n ( )
n
a A
B
olur. Buradan, deki bütün alt kümelerin Borel cebirinde olduğu izlenimi oluşmaktadır.
Oysa, de olup da Borel cebirinde olmayan alt kümeler olabilir.
Bir kümenin herhangi bir fonksiyona göre görüntüsü ile ters görüntüsü bir sonraki bölümde inceleyeceğimiz rasgele değişkenler açısından önemlidir. Burada, altkümelerin görüntüleri ile ters görüntülerini kısaca hatırlayalım. ve boş olmayan iki küme ve
:
f olsun. Herhangi bir A için ( ) f A dir. Ayrıca, B B için, B nin f fonksiyonuna göre ters görüntüsü f 1 ( ) { B w : ( ) f w B } dir. Burada,
1 ( )
f B olup, f 1 ( ) B alt kümesi, görüntüleri B de olan nın elemanlarının oluşturduğu altkümedir.
Şekil 1.1.3 Görüntü ve Ters Görüntü Kümeleri
Altkümelerin görüntüleri ile ters görüntülerine ilişkin özellikler aşağıdaki teoremde özetlenmiştir. Yukarıda da bahsedildiği gibi, herhangi iki küme birbirinin alt kümeleri ise, bu iki küme eşittir (yani, A ve B B özellikleri sağlanıyorsa A B A dir).
Teorem 1.1.5 ve boş olmayan iki küme ve : f olsun. Her i için ve B i olmak üzere,
a) 1 1
1 1
i ( ) i
i i
f B f B
b) 1 1
1 1
i ( ) i
i i
f B f B
c) f 1 ( \ ) ( A B f 1 ( )) \ ( A f 1 ( )) , B A B , dir.
İspat: a) Her x A için x B ise A B ve her x B için x A ise B dır. Bu A iki altküme bağıntısı da geçerli ise A B dir. Buradan,
0 0
1 1 1
1 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
i i n n i
i i i
x f B f x B n f x B x f B x f B
olduğundan 1 1
1 1
i ( ) i
i i
f B f B
elde edilir. Benzer şekilde,
0 0
1 1 1
1 0 1 1
( ) i ( n ) ( ) n ( ) i i
i i i
x f B n x f B f x B f x B x f B
olup 1 1
1 1
( ) i i
i i
f B f B
dir. Bu iki alt küme bağıntısından da,
1 1
1 1
i ( ) i
i i
f B f B
eşitliği elde edilmiş olur. Bu da ispatın (a) kısmını tamamlar.
b) Benzer şekilde,
1 1 1
1 1 1
( ) ( ) , ( ), ( )
i i i i i
i i i
x f B f x B f x B i x f B i x f B
olduğundan 1 1
1 1
i ( ) i
i i
f B f B
alt küme bağıntısı elde edilir. Diğer taraftan,
1 1 1
1 1 1
( ) i ( ) , i ( ) i , ( ) i i
i i i
x f B x f B i f x B i f x B x f B
eşitliğinden 1 1
1 1
( ) i i
i i
f B f B
alt küme bağıntısı elde edilir. Bu iki alt küme
bağıntısından 1 1
1 1
( ) i i
i i
f B f B
eşitliği elde edilmiş olur.
c) Önce, f 1 ( B c ) [ f 1 ( )] B c olduğunu gösterelim. Bu eşitlik de,
1 1 1
[ ( )] c ( ) ( ) ( ) c ( c )
x f B x f B f x B f x B x f B önermesinden açıktır. Buradan da,
1 ( \ ) 1 ( c ) 1 ( ) 1 ( c ) 1 ( ) [ 1 ( )] c 1 ( ) \ 1 ( ) f A B f A B f A f B f A f B f A f B bulunur
Teorem 1.1.6 ve boş olmayan iki küme ve : f olsun. Her i için
A i olmak üzere,
a)
1 1
i ( ) i
i i
f A f A
b)
1 1
i ( ) i
i i
f A f A
, burada eşitlik yoktur c) f f ( 1 ( )) B B f ( ), B
dir.
İspat: Bu teoremin ispatı da bir önceki gibi iki kümenin birbirlerinin altkümeleri olduğu gösterilerek yapılabilir.
a)
1 i ( )
i
y f A y f x
olacak şekilde bir
1 i i
x A
vardır. Buradan,
0 0
1 0 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
i n n i
i i
i i
i i
x A n x A f x f A y f x f A
f A f A
dir. Diğer taraftan,
0 0
1 0 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) olacak şekilde
( ) ( )
i n n i
i i
i i i
i i i
y f A n y f A y f x x A x A
f x f A f A f A
dir. Bu iki alt küme bağıntısından
1 1
i ( ) i
i i
f A f A
eşitliği elde edilir. Böylece, ispatın (a) kısmı tamamlanmıştır.
b) Kolayca görüleceği gibi
1 1
1
( ) olacak şekilde bir vardır
, ( ) ( ), ( ) ( )
i i
i i
i i i
i
y f A y f x x A
x A i y f x f A i f x f A
1 1
i ( ) i
i i
f A f A
dir.
Eşitliğin sağlanmadığını göstermek için tersine bir örnek vermek yeterlidir. Bunun için :
f fonksiyonu f x ( ) x 2 şeklinde verilmiş olsun. A 1 { 1,0} ve A 2 {0,1}
diyelim. A 1 A 2 {0} olup f A ( 1 A 2 ) {0} dır. Oysa, f A ( ) {0,1} 1 ve ( 2 ) {0,1}
f A dir. Yani, f A ( ) 1 f A ( 2 ) {0,1} olup f A ( 1 A 2 ) f A ( ) 1 f A ( 2 ) dir.
Bu sonuç da, eşitliğin sağlanmadığını göstermek için yeterlidir. Sonuç olarak
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
f A A f A f A dir.
c) B olsun. Bu durumda,
1 1
( ( )) ( ) olacak şekilde bir ( ), vardır.
ve ( ) ( ) ( ) ve ( ) dir.
y f f B y f x x f B x
x f x B y f x f y f x B
( ) ( 1 ( )) ( )
y B f f f B B f
dır. Diğer taraftan,
1
1 1
( ) ve ( ) ( ) ve ( ) , ( )
( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
y B f y B y f x y f x f x B x f B
y f x f f B B f f f B
olup, bu iki altküme bağıntısından f f ( 1 ( )) B eşitliği elde edilir B f ( ) 1.2. Olasılık Ölçüsü ve Olasılık Uzayları
Bu kısımda, olasılık ölçüsü ve bazı temel özellikleri incelenecektir.
Tanım 1.2.1 boş olmayan bir küme, U da üzerinde bir sigma cebir olsun. U üzerinde tanımlı,
: 0,1
( ) P
A P A
U
P küme fonksiyonu,
a) U A için P A ( ) 0 b) P ( ) 1
c) A n n , ler U daki ayrık ( A k A j , k j ) olayların bir dizisi olmak üzere,
1 1
( )
n n
n n
P A P A
özelliklerini sağlıyorsa, P ye bir olasılık ölçüsü, P A ( ) sayısına A olayının olasılığı, ( , , ) U P üçlüsüne de bir olasılık uzayı denir
Aşağıda, olasılık ölçüsü ile ilgili özelliklerden bazıları bir teorem altında toplanmıştır.
İspatlar, ifadelerden hemen sonra verilmiştir.
Teorem 1.2.1 ( , , ) U P bir olasılık uzayı olsun.
a) U A için, P A ( c ) 1 P A ( ) dır.
İspat: A A c ve A ile A ayrık olaylar ( c A A c ) olduğundan, ( ) ( c ) ( c ) ( ) 1
P A P A P A A P olup P A ( c ) 1 P A ( ) dir.
b) P ( ) 0 dır.
İspat: olup (a) daki sonuca göre c P ( ) P ( c ) 1 P ( ) 0 elde edilir.
c) A A 1 , 2 , A n ayrık olaylar ise,
1 1
( )
n n
i i
i i
P A P A
dir.
İspat: k 1, 2,3,... için A n k alındığında sonuç olasılık ölçüsü tanımından açıktır.
Buradan A B , U , A ve B ayrık ise, P A ( B ) P A ( ) P B ( ) dir.
d) A B , U ve A ise B P A ( ) P B ( ) dir.
İspat: B A ( B A c ) olup, A ile B A c ayrık olaylar ve P bir olasılık ölçüsü olduğundan P A ( B
c) 0 dır. Buradan aranan sonuç
( ) ( ( c )) ( ) ( c ) ( )
P B P A B A P A P B A P A
şeklinde elde edilir. Buradan da, A ise, B P B A ( \ ) P B ( ) P A ( ) elde edilir. Ayrıca, A U için A altküme bağıntısından, P ( ) P A ( ) P ( ) olup, 0 P A ( ) 1 dir.
e) A B , U ise, P A ( B ) P A ( ) P B ( ) P A ( B ) dir. Bu ifadenin daha genel
hali, A n U , n için,
1 1 1 1
1 1 2
( ) ( ) ( )
... ( 1) ( ... )
n n
i i i j i j k
i i j n i j k n
i
n n
P A P A P A A P A A A
P A A A
şeklindedir.
İspat: n 2 alalım (genel hali için matematiksel tümevarım kullanılır). A B kümesi ( \ )
A B A B A şeklinde yazılabilir. Buradan da, A ile \ B A kümeleri ayrık olduğundan P A B ( ) P A ( ) P B A ( \ ) dir. Diğer taraftan, A B ile \ B A ayrık olaylar olup B kümesi de B ( A B ) ( \ ) B A olarak yazıldığında B olayının olasılığı
( ) ( ) ( \ )
P B P A B P B A olarak yazılabilir. Buradan da \ B A olayının olasılığı ( \ ) ( ) ( )
P B A P B P A B dir. ( \ ) P B A nin değeri P A ( B ) eşitliğinde yerine yazıldığında aranan sonuç elde edilir. Yani,
( ) ( ) ( \ ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B A P A P B P A B dir.
f) n için A n U ise,
1 1
( )
n n
n n
P A P A
dir.
İspat: n için A n U olaylarının dizisi ayrık değildir. A kümelerini kullanılarak n
1 1
B A ve 1
1
\ n
n n i
i
B A A
ayrık olayların dizisini tanımlayalım. Önce,
1 n 1 n
n n
A B
ve
1 n 1 n
n n
B A
alt küme
bağıntılarının geçerli ise
1 n 1 n
n n
A B
dir. Şimdi, eşitliğin geçerli olduğunu gösterelim.
Bunun için önce, her n için B n A n olduğundan,
1 n 1 n
n n
B A
(*)
dir. Diğer taraftan,
1 n n
x A
için, n 0 öyleki x A n
0dır. Bu n 0 doğal sayısı
0 0
1 , 2 , ..., n 1 , n x A x A x A x A
olacak şekilde seçilebilir ( x A 1 ve x A 2 için n 0 2 olup, x A 2 \ A 1 B 2 dir).
Buradan,
0
0 0 0 0
1
1 2 1
1
1 1 1
, , ..., , \
n
n n n i n
i
n n n
n n n
x A x A x A x A x A A B
x B A B
(**)
olur. (*) ve (**) daki ifadeler birleştirildiğinde,
1 n 1 n
n n
A B
eşitliği elde edilir. Şimdi bu
sonucu kullanarak ispatı yapabiliriz. B ler ayrık ve n A B ise P A ( ) P B ( ) , özellikleri kullanıldığında aranan sonuç,
1 1
1 1
( ) ( )
n n n n
n n
n n
P A P B P B P A
şeklinde elde edilir
Şimdi, reel sayılardaki limit kavramını hatırlayalım ve sonra da küme dizilerinde limit tanımını yazalım. Elemanları reel sayılar olan bir dizi a olsun. Her n için 0 n 0 öyleki her n n 0 için | a n a | oluyorsa, a dizisinin limiti vardır ve n lim n
n a a
dır.
Bir a dizisi için bir çok alt ve üst sınır yazılabilir. Bu alt sınırların en büyüğüne n
dizinin limit infimumu denir ve lim inf n
n a
veya lim n
x
a
ile gösterilir. a dizisinin limit n infumunu için,
0
lim inf n lim n lim inf k sup inf k sup inf k : : 0
n n n k n n k n
a a a a a k n n
şeklindeki gösterimlerden herhangi biri kullanılabilir. Benzer şekilde, üst sınırlarının en küçüğüne de dizinin limit supremumu denir ve lim sup n
n a
veya lim n
n a
ile gösterilir. a n
dizisinin supremumu için de
lim sup n lim n lim sup k inf sup 0 k inf sup k : : 0
n n n k n n k n
a a a a a k n n
gösterimlerinden biri kullanılabilir. Elemanları reel sayılar olan a dizisinin limit n supremumu ve limit infimumu her zaman vardır. Eğer a dizisinin limiti varsa n
lim inf n lim sup n
n a n a
dir. Genel olarak, lim inf n lim sup n
n a n a
dir.
Reel sayı dizilerindeki kavramlardan biraz farklı olarak küme dizilerinin limiti tanımlanır. Küme dizilerinde büyüklük ve küçüklük gibi kavramlar tanımlı olmadığı için alt küme kavramı kullanılır. A n küme dizisini kapsayan bir çok alt küme bulunabilir. O zaman, A n dizisini kapsayan alt kümelerden her biri A n dizisi için bir üst sınır olarak alınabilir. Benzer şekilde A n küme dizisi için alt sınırlar da yazılabilir.
nın alt kümelerinden oluşan bir dizi A n olsun. Açıkça görüleceği gibi bütün n
ler için k n
k n
A A
dir. Buna göre k
k n
A
kümeleri her n için A n dizisinin bir alt sınırı olarak alınabilir. Bu alt sınırların en büyüğü olarak bu kümelerin birleşimi alınabilir. Benzer
şekilde, n için n k k n
A A
olduğundan k
k n
A
kümeleri A dizisi için bir üst n sınırdır. Bu üst sınırların en küçüğü de bu kümelerin arakesiti olur. Buradan, A küme n
dizisinin limit infimumu ile limit supremumu,
1 1
lim inf n lim n k , lim sup n lim n k
n n n k n n n n k n
A A A A A A
olarak tanımlanır. Buradaki en büyük alt sınır ve en küçük üst sınır için,
0
00
1
lim inf n k : için n ,
n n k n
A A w n w A n n
ve
1
lim sup n k : sonsuz çoklukta n için n
n n k n
A A w w A
ifadeleri de kullanılabilir. lim sup n
n A
için bazen lim sup n { : n , . }
n A w w A i o
ifadesi de kullanılır (“ i o . . infinitely often”).
Tanım 1.2.2 Bir A n küme dizisinin limit infimumu ile limit supremumu eşit ise, A n
dizisinin limiti vardır denir
Bu tanıma göre, lim inf n lim sup n
n A n A A
ise, lim n
n A A
dır. Diğer taraftan,
0
0 0 0
