BÖLÜM ~ 3
3.1. Aritmetik Ortalama(A.O.) A.O.(a , b)= a b
2
A.O.(a, b, c)= a b c 3
A.O.(a, b, c, d)= a b c d 4
A.O.( n tane sayı için)= a1 a2 a3 .... an n
olur.
[☺] Not
n tane sayının aritmetik ortalaması A iken,
her bir terim k kadar arttırıldığında, yeni aritmetik ortalama da A + k
her bir terim k kadar azaltıldığında ise, yeni aritmetik ortalama da A – k olur.
☺rnek:
Bir öğrencinin matematik dersinden aldığı sınav sonuçları on üzerinden 5, 6 ve 8 dir.
Buna göre, bu öğrencinin matematik dersinin ortalamasını bulunuz.
ç☺züm:
Aritmetik 0rtalama =5 6 8 3
=19
3 = 6,3 bulunur.
☺rnek:
20 kişilik bir sınıfın yaş ortalaması 15 olduğuna göre, bu sınıftaki öğrencilerin yaşları toplamını bulunuz.
ç☺züm:
20 kişinin yaşları toplamı=x olsun.
x = 15
20 x=20.15=300 bulunur.
☺rnek:
Aritmetik ortalamaları 15 olan 12 tane sayıya hangi sayı eklenirse aritmetik ortalamalarının 19 olabileceğini bulunuz.
ç☺züm:
T=x1x2... x 12 ve eklenecek sayı: A olsun.
T = 15
12 T = 15.12 = 180
T A
13 = 19
180 + A = 247 A = 67 bulunur.
☺rnek:
Aritmetik ortalaması 14 olan 10 sayıya, toplamları 28 olan 4 sayı daha eklenince, oluşan sayıların aritmetik ortalamasını bulunuz.
ç☺züm:
T=x1x2... x 10 olsun.
T = 14
10 T=140
Aritmetik ortalama=140 28 168
= = 12
10 4 14
bulunur.
☺rnek:
Bir futbol takımındaki 12 sporcunun yaş ortalaması 21 dir. Bu futbol takımından bir sporcu ayrılıyor ve yerine 18 yaşında genç bir futbolcu transfer ediliyor.
Takımın yeni yaş ortalaması 20 olduğunda göre, ayrılan futbolcunun kaç yaşında olduğunu bulunuz.
ç☺züm:
y = 21
12 y = 12.21 = 252 252 x 18
12 = 20
270 – x = 12.20
270 – x = 240 x = 30 bulunur.
☺rnek:
Ardışık 5 doğal sayının aritmetik ortalaması 10 olduğuna göre, en küçük doğal sayıyı bulunuz.
ç☺züm:
a (a 1) (a 2) (a 3) (a 4) 5
=10 5a + 10=50 5a=40 a=8 bulunur.
☺rnek:
12 tane sayının aritmetik ortalaması 10 olup, bu sayılara 3 sayı daha ilave edilirse, bu 15 sayının toplamı 147 oluyor. Buna göre, sonradan eklenen üç sayının aritmetik ortalamasını bulunuz.9
ç☺züm:
T12
12 =10 T12=120
12 3
T T =147 120 + T =147 3 T =27 olur. 3 T3 27
= = 9
3 3 bulunur.
☺rnek:
5 kişilik bir sporcu kafilesinin yaş ortalaması 15’tir. Bu sporcu kafilesinden bir futbolcu ayrılıyor, bunun yerine 18 yaşında bir futbolcu transfer ediliyor. Yeni sporcu kafilesinin yaş ortalaması 16 olduğuna göre, ayrılan futbolcunun yaşını bulunuz.13
ç☺züm:
T5
5 =15 T =75 olur. Ayrılan futbolcunun yaşı: x olsun. 5 T5 x 18
5
=16 T – x + 18=80 75 – x + 18=80 93 – x=80 x=13 bulunur. 5
☺rnek:
Ali 5 sınava girmiştir. İlk dört sınavın ortalaması 80, beş sınavın ortalaması da 78 dir.
Buna göre, Ali’nin son sınavda aldığı notu bulunuz.
ç☺züm:
T4
4 =80 T =320 ve 4 T5
5 =78 T =390 olur. 5 Ali’nin 5. sınavdan aldığı not: 390 – 320=70 bulunur.
3.2. Geometrik Ortalama(G.O.) G.O.(a , b)= a b
G.O.(a, b, c)= 3a b c G.O.(a, b, c, d)= 4a b c d
G.O.( n tane sayı için)= na a1 2a3.... a n olur.
☺rnek:
2 ve 8 sayısının geometrik ortalamasını(orta orantısını) bulunuz.
ç☺züm:
G.O.= 2.8 = 16 =4 bulunur.
☺rnek:
(2 – 3 ) ve (2 + 3 ) sayılarının geometrik ortalamasını bulunuz.
ç☺züm:
G.O. = (2 – 3 ) (2 3 )
= 2 – ( 3 ) = 4 32 2 = 1 =1 bulunur.
☺rnek:
x sayısı ile 2 sayısının geometrik ortalaması y, y ile 9’un geometrik ortalaması 6 olduğuna göre, x ile y nin geometrik ortalamasını bulunuz.
ç☺züm:
x.2y 2x=y2
y.96 9y=62 9y=36 y=4 2x=y2 2x=42 2x=16 x=8 olur.
x.y 8.44 2 bulunur.
☺rnek:
4x sayısı 1 5x ve 4
4 sayılarının geometrik ortalaması olduğuna göre, x in değerini bulunuz.
ç☺züm:
x 1 5x
4 . 4
4 x 1 5x
4 . 2
2 2x 1 5x
4 .2
4 24x25x 2
4x = 5x 2 x = 2 bulunur.
☺rnek:
İki doğal sayının geometrik ortalaması 4, aritmetik ortalaması 5 tir. Buna göre, büyük sayının küçük sayıdan kaç fazla olduğunu bulunuz.
ç☺züm:
B.K=4 B.K=16 B K
2
=5 B + K=10 olduğundan B=8 ve K=2 olur.
Büyük sayı küçük sayıdan B – K=8 – 2=6 bulunur.
☺rnek:
32 ve 34 sayılarının aritmetik ortalamasının, 34 ve 36 sayılarının geometrik ortasına oranını bulunuz.
ç☺züm:
2 4
4 6
3 3
2
3 3
= 10
9 81 2 3
= 5
90 2 3 = 45
243= 27
5 bulunur.
☺rnek:
3 ve 12 sayılarıyla orantılı olan iki sayının geometrik ortalaması 12 dir. Buna göre iki sayının toplamını bulunuz.
ç☺züm:
a b
3=12=k a=3k ve b=12k
3k 12k =12 36 k 2=12 6k=12 k=2 olur.
a + b=3k + 12k=15k=15.2=30 bulunur.
3.3. Harmonik Ortalama(H.O.) H.O.(a , b)= 2
1 1
ab H.O.(a, b, c)= 3
1 1 1
abc H.O.(a, b, c, d)= 4
1 1 1 1
abcd
H.O.( n tane sayı için)=
1 2 3 n
n
1 1 1 1
a a a a olur.
[☺] Not
n tane sayının aritmetik ortalaması, geometrik ortalaması ve harmonik ortalamasından herhangi ikisi veya üçü eşit ise, bu n tane sayı da birbirine eşit olur.
☺rnek:
Aritmetik ortalaması 5, geometrik ortalaması 4 olan iki sayının harmonik ortalamasını bulunuz.
ç☺züm:
a ve b iki sayı olsun.
a b= 5 2
a + b = 10
a.b = 4 a.b = 16 Harmonik ortalama =
(b) (a)
2
1 1
a b
= 2
b a ba
= 2ab a b
=2.16 10 = 32
10 = 3,2 bulunur.
