BÖLÜM 1

BÖLÜM 12

2) Kitle varyansı



2 bilinmediğinde kitle ortalaması için hipotez testi ve aralık tahmini 2 1

,

2

,...,

n

( ,

)

X X

X

N

 

( 1)

/

n

X

t

t

S

n









2 2 2 1

1

n i i

x

nx

S

n











örneklem varyansını ve

S



S

2 örneklem standart sapmasını göstermektedir.

/2; 1 /2; 1 /2; 1 /2; 1 /2; 1 /2; 1

(

) 1

(

) 1

/

(

) 1

n n n n n n

P t

t

t

X

P t

t

S

n

S

S

P X

t

X

t

n

n

     





_





     



 

 









 



  

 

/2;n 1

S

x

t

n

 

Not:

n 

30

olduğunda t dağılımı yerine Z dağılımı kullanılır.

Örnek: Erkeklerde 1 3

mm kandaki alyuvar sayısının 5.34 milyon olduğu biliniyor. Bir araştırmacı ortalama alyuvar sayısının daha az olduğunu iddia ediyor. Bu iddianın geçerli olup olmadığını %95 güven düzeyinde test ediniz.

3) Karar



t

_;n1

 

t

_{0.05;30 1}

 

1.699

;

0.299 1.699

t

t    t    olduğundan

H

0 hipotezi red edilemez.

Yorum: Erkeklerde kandaki ortalama alyuvar sayısının 5.34 milyon/

mm

3 olduğu %95 güven düzeyinde söylenebilir. Güven aralığı

1

0.95

0.05

0.025

2







 

 





2;n 1 0.025;29

2.045

t

 



t





t dağılımı tablo değeri

: 1 2n

S

x

t

n

 _



1 /2: 1 2 /2: 1

0.367

ˆ :

5.32 2.045

5.183

30

0.367

ˆ :

5.32 2.045

5.457

30

n n

S

x

t

n

S

x

t

n

 





 

















%95 düzeyinde güven aralığı; (5.183;5.457)

İki Kitle Ortalaması Arasındaki Fark İçin Güven Aralığı ve Hipotez Testi

1 2 2 11 12 13 1 1 2 21 22 23 2 2

,

,

,...,

(

,

)

,

,

,...,

(

,

)

n n

X

X

X

X

N

X

X

X

X

N

 

 

Rastgele değişkenleri bağımsız ve aynı dağılıma sahip olsun.

2) Test İstatistiği;



1 2





1 2



2 2 1 2 1 2 t

X

X

Z

n

n

 















3) Karar aşaması 0 1 2 1 1 2

:

:

H

H

 

 





0 1 2 1 1 2

:

:

H

H

 

 





0 1 2 1 1 2

:

:

H

H

 

 





Güven Aralığı;





12 22





12 22 1 2 /2 1 2 1 2 /2 1 2 1 2

1

P

x

x

z

x

x

z

n

n

n

n







 































 

















12 22 1 2 /2 1 2

x

x

z

n

n













Örnek: İki farklı cins alüminyum direğin basınca dayanıklılığı test edilmek isteniyor.

a) Üretimde kullanılan iki farklı cins alüminyum türünün basınca dayanıklılığı arasında fark olup olmadığını %90 güven düzeyinde test ediniz.

b) %90 güven düzeyinde iki cins alüminyum direğin basınca dayanıklılığını, kitle ortalaması arasındaki fark için güven aralığını bulunuz.

Alüminyum Direk Örneklem Hacmi Dayanıklılık Hacmi Kitle-Varyans

1

0.90

0.10

0.05

2







 

 

 

1) Hipotez kurulur 0 1 2 1 1 2

:

:

H

H

 

 





2) Test istatistiği



1 2

 

1 2



2 2 1 2 1 2

200 190 0

10

4.575

2.186

50

40

18

20

t

x

x

Z

n

n

 



























3) Karar 2 0.05

1.645

z

_



z



0.05

4.575

1.645

t

Z





z



olduğundan

H

₀ hipotezi red edilir.

Yorum: iki farklı tür alüminyum direğin basınca dayanıklıkları arasında fark olduğu %95 güven

düzeyinde söylenebilir. b) Güven aralığı

1

0.90

0.10

0.05

2







 

 

 





12 22 1 2 /2 1 2

x

x

z

n

n













2 2 1 2 1 1 2 /2 1 2

50

40

ˆ :

(200 190) 1.645

6.4057

18

20

x

x

z

n

n









 













2 2 1 2 2 1 2 /2 1 2

50

40

ˆ :

(200 190) 1.645

13.5943

18

20

x

x

z

n

n









 













KAYNAKLAR

1. Uygulamalı İstatistik (1994)

Ayşen APAYDIN , Alaettin KUTSAL, Cemal ATAKAN 2. Olasılık ve İstatistik Problemler ve Çözümleri ile (2008) Prof. Dr. Semra ERBAŞ

3. Olasılık ve İstatistik (2006) Prof. Dr. Fikri Akdeniz

4. Olasılık ve İstatistiğe Giriş I-II (2011) Prof. Dr. Fikri Öztürk

5. Fikri Öztürk web sitesi