IARS Temmuz Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik ( ITAP )

˙ISTAT˙IST˙IK MEKAN˙IK VE KARMAS¸IKLIK SER˙IS˙I

˙ILER˙I ˙ISTAT˙IST˙IK MEKAN˙IK VE

KARMAS ¸IKLIK

C ¸ ALIS ¸TAYI DERS NOTLARI 02-20 Temmuz 2007

Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik Ara¸stırma Enstit¨us¨u

( ITAP )

Turun¸c- MARMAR˙IS

i

ONS ¨¨ OZ . . . i

˙IC¸ ˙INDEK˙ILER . . . ii

B ¨OL ¨UM B˙IR - KLAS˙IK ˙ISTAT˙IST˙IK MEKAN˙IK . . . 3

1.1 G˙IR˙IS¸ - ˙ISTAT˙IST˙IKSEL F˙IZ˙IK . . . 3

1.2 TERMOD˙INAM˙IK . . . 5

1.2.1 Termodinamiˇgin Kanunları . . . 5

1.2.2 Problemler . . . 23

1.3 KLAS˙IK ˙ISTAT˙IST˙IKSEL MEKAN˙IK . . . 25

1.3.1 Mikrokanonik Topluluk . . . 25

1.3.2 Kanonik Topluluk . . . 38

1.3.3 Problemler . . . 47

1.3.4 Grand Kanonik Topluluk . . . 51

1.3.5 Problemler . . . 57

1.3.6 Etkile¸sen Par¸cacıklar . . . 58

1.3.7 Problemler . . . 67

1.3.8 Faz Ge¸ci¸sleri . . . 68

1.3.9 Landau-Ginzburg Teorisi . . . 73

1.3.10 ¨Ol¸cekleme Hipotezi . . . 80

1.3.11 Ising Modeli . . . 85

1.3.12 Problemler ˙I¸cin ˙Ipu¸cları . . . 109

B ¨OL ¨UM ˙IK˙I- ˙ISTAT˙IST˙IK F˙IZ˙IKTE SAYISAL Y ¨ONTEMLER 112 2.1 Bilgisayar Sim¨ulasyonları . . . 112

2.1.1 Bilgisayar Kullanım ¸sekillleri . . . 112

2.1.2 Model Sistemler ve Etkile¸sim Potansiyelleri . . . 113

2.1.3 ˙Indirgenmi¸s Birimler . . . 116

2.1.4 Periyodik Sınır Ko¸sulları . . . 119

2.1.5 U¸c Boyutta Sim¨ulasyon . . . 121¨

2.2 N¨umerik ˙Integrasyon . . . 122 ii

2.3 Verlet Algoritması . . . 124

2.3.1 Verlet Algoritmasının ¨Ozellikleri . . . 125

2.4 Molek¨uler Dinamiˇgin ˙Incelikleri . . . 125

2.4.1 H¨ucre Sistemi . . . 125

2.5 Sabit Basın¸c Algoritması . . . 128

2.6 Kaos . . . 129

2.6.1 Kaosun ¨Ozellikleri . . . 129

2.6.2 Kaos Sistemlerinin Analizi . . . 129

2.6.3 Lojistik Map . . . 130

2.6.4 Lorenz C¸ ekicisi . . . 135

2.6.5 Duffing Osilat¨or¨u . . . 136

2.6.6 S¨on¨uml¨u S¨ur¨ulm¨u¸s Harmonik Salınıcı . . . 137

2.6.7 ˙Iki Boyutlu Kare ¨Org¨ude ˙Ising Modeli . . . 138

B ¨OL ¨UM ¨UC¸ - KAOS GEC¸ ˙IS¸ ES¸ ˙I ˇG˙INDEK˙I D˙INAM˙IK S˙ISTEMLER 147 3.1 Kaotik Sistemler . . . 147

3.1.1 Giri¸s . . . 147

3.1.2 Doˇgrusal ve Doˇgrusal Olmayan Sistemler . . . 149

3.1.3 Doˇgrusal Olmamanın ¨Onemi . . . 150

3.1.4 Doˇgrusal Olmama ve Kaos . . . 151

3.1.5 Onemli Sorular . . . 152¨

3.1.6 Biyolojik Pop¨ulasyon B¨uy¨umesi Modeli . . . 153

3.1.7 Sabit Noktaların ¨Onemi . . . 157

3.1.8 Daha Karma¸sık Davranı¸s . . . 159

3.1.9 Lyapunov ¨Ustelleri . . . 165

3.1.10 Determinizm, Kestirilemezlik ve Y¨or¨ungelerin Iraksaması . 168 3.2 Kaosun Evrenselliˇgi . . . 170

3.2.1 Giri¸s . . . 170

3.2.2 Feigenbaum Sayıları . . . 171

3.2.3 Kestirimde δ’nın Kullanımı . . . 174

3.2.4 Feigenbaum B¨uy¨ukl¨uk ¨Ol¸ceklenmesi . . . 176

3.2.5 Kendine Benzerlik . . . 178 iii

3.3 D¨u¸s¨uk Boyutlu Dinamik Sistemler . . . 180

3.3.1 z-Lojistik Harita Ailesi . . . 180

3.3.2 Diˇger C¸ evrimler . . . 187

3.3.3 ˙Ilk Ko¸sullara Kuvvetli Baˇglılık . . . 188

3.3.4 Entropi Artı¸s Hızı . . . 191

3.3.5 Durulma Dinamiˇgi . . . 197

3.3.6 Merkezsel Limit Kuramı . . . 198

3.3.7 ˙Ilk Ko¸sullara Zayıf Baˇglılık . . . 202

3.4 Kaos Ge¸ci¸s E¸siˇgindeki D¨u¸s¨uk Boyutlu Dinamik Sistemler . . . 205

3.4.1 Entropi Artı¸s Hızı . . . 205

3.4.2 Durulma Dinamiˇgi . . . 208

3.4.3 Merkezsel Limit Kuramı . . . 211

iv

Alkan KABAKC ¸ IO ˇ GLU

KOC¸ ¨UN˙IVERS˙ITES˙I

DERS AS˙ISTANLARI :

Ne¸se ARAL (Ko¸c ¨Universitesi)

Murat TU ˇGRUL (Ko¸c ¨Universitesi )

DERS NOTU AS˙ISTANLARI :

Yusuf Y ¨UKSEL (Dokuz Eyl¨ul ¨Universitesi)

Sevil SARIKURT (Dokuz Eyl¨ul ¨Universitesi)

1

verilmi¸s olan ˙Ileri ˙Istatistiksel Fizik dersine aittir; ticari ama¸cla kullanılamazlar;

kopyalanmaları ve daˇgıtılmaları serbesttir. Dersi alan ¨ogrencilerin notları arasından okul organizasyon komitesi tarafından se¸cilerek g¨ozden ge¸cirilen bu notlar (der- sin i¸ceriˇgi gibi) MIT OpenCourseWare kaynak alınarak hazırlanmı¸stır, ancak bu kaynagın birebir terc¨umesi deˇgildir.

Kaynak:

Prof. Mehran Kardar, 8.333, Statistical Mechanics I: Statistical Mechanics of Particles, Fall 2005 (MIT OpenCourseWare: Massachusetts Institute of Technol- ogy),

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-333Fall-2005/CourseHome/index.htm

License: Creative commons BY-NC-SA

Telif hakları ve kullanım ko¸sulları i¸cin bakınız:

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/web/help/faq3/index.htm

2

KLAS˙IK ˙ISTAT˙IST˙IK MEKAN˙IK

1.1 G˙IR˙IS¸ - ˙ISTAT˙IST˙IKSEL F˙IZ˙IK

C¸ ok sayıda ¨ozde¸s par¸ca¸cık ya da alt sistem i¸ceren makroskobik sistemlerin fiziksel ¨ozelliklerini inceler. Bir tane elektronun ¨ozellikleriyle deˇgil, bunlardan pek ¸coˇgu bir araya geldiˇgi zaman bu sistem nasıl davranır onunla ilgileniyoruz.

Burada ¸cok sayıdan kasıt Avogadro sayısı kadar yani yakla¸sık 10²³ par¸cacık ya da alt sistemdir. ˙Istatistiksel fizikte, incelenen fiziksel ¨ozellikler makroskobik

¨ozelliklerdir ve bunlar genelde ortalamalardır.

˙Istatistiksel fizikte makroskobik ve mikroskobik perspektif olmak ¨uzere iki du- rum s¨oz konusudur. Makroskobik perspektif, sistemin ortalama ¨ozelliklerini in- celer ve ¨onemlidir. Mikroskobik ¨ozellikler ise genellikle ¨onem arz etmez.

Makroskobik sistem; yakla¸sık 10²³ tane par¸cacık i¸ceren sistemlerdir.

Bunun kar¸sıtı olarak bir de mikroskobik tanımdan bahsederiz. 10²³tane par¸cacık i¸ceren bu makroskobik sistemin mikroskobik bir tanımını verebiliriz.

Makroskobik sistemlere baktıˇgımız zaman pek ¸cok ¨ozellik aslında mikroskobik detaylardan baˇgımsızdır. ¨Orneˇgin; bir odanın i¸cerisindeki gaza baktıˇgımız zaman bunun belli bir hacim kapladıˇgını, duvarlara belli bir basın¸c uyguladıˇgını biliy- oruz. Bu ¨ozellikler hangi par¸cacıˇgın nerede olduˇguyla ¸cok fazla ilgili deˇgil. Aslında g¨ozlemlediˇgimiz bunların ortalamasıdır. Bu ortalamalar, mikroskobik detaylar- dan baˇgımsız olarak, ortalama deˇgerleri sabit deˇgerlerdir. Aslında istatistik fizik yaptıˇgımız zaman bu makroskobik ¨ozelliklere dair bir¸seyler s¨oylemeye ¸calı¸sıyoruz ve bunların arasındaki ili¸skileri belirlemeye ¸calı¸sacaˇgız.

3

Mikroskobik sistem; 10²³tane par¸cacıˇgın her birinin konumlarını ({~r_i}) ve mo- mentumlarını ({~p_i}) verir. Dolayısıyla fazla detaylı ve gereksizdir. Bu momentum ve konumlara ihtiya¸c yoktur. Fakat ¨onemli olan bunların ortalamalarıdır. Bu de- taylar ¨uzerinden ortalamalar alınarak sadece makroskobik d¨uzeyde bazı deˇgi¸skenler (¨orneˇgin: basın¸c, hacim, sıcaklık) cinsinden bu sistem tanımlanabilir.

Temel nokta aslında; mikroskobik seviyede sistemi bilmeden makroskobik davranı¸sı hakkında hala bir¸seyler s¨oyleyebilmemiz.

˙Istatistiksel fiziˇge iki farklı bakı¸s a¸cısı s¨oz konusudur:

• Termodinamik : Buhar makinasının icadıyla ba¸slamı¸stır. O zamanlar daha belki ¸cok detaylı olarak atomik seviyede maddenin davranı¸sına dair fikrimiz yoktu. Termodinamik; mikroskobik detaylara hi¸c bakmadan, sadece deney- sel g¨ozlemlere dayalı olarak bazı makroskobik deˇgi¸skenler arasındaki ili¸sileri tutarlı bir matematiksel yapıya oturtan bir teoridir. S¸u anda ¨uzerinde her- hangi bir ara¸stırma yoktur. Tamamen deneysel g¨ozlemlere dayalıdır.

• ˙Istatistiksel mekanik : Mikro d¨uzeyden makro d¨uzeye ta¸sıyan bir terimdir.

Mikroskobik g¨ozlenebilirler ile makroskobik g¨ozlenebilirler arasındaki ili¸skiyi kurma imkanı verir. Makroskobik ¨ozelliklerin (sistemin mıknatıslanması, gazların makroskobik ¨ozellikleri, basın¸c, sıcaklık arasındaki ili¸skileri, ... vb.) mikroskobik ¨ozelliklerden nasıl ortaya ¸cıktıˇgını sorgular. Dolayısıyla, ¸cok daha temel bir bakı¸s a¸cısıdır. ˙Istatistiksel mekaniˇgin, mikroskobik ¨ozelliklerden ba¸slayarak termodinamiˇgin tamamen deneysel g¨ozlemlere dayalı olarak bulduˇgu matematiksel yapıyı ¨uretebilmesi gerekiyor.

1.2 TERMOD˙INAM˙IK

Termodinamikte yaptıˇgımız ¸sey; deneysel g¨ozlemlere dayalı olarak makrosko- bik deˇgi¸skenler arasındaki ili¸skileri bulmaya ¸calı¸smak ve deneylerle bulduˇgumuz bu ili¸skileri daha sonra matematiksel bir formda ifade etmeye ¸calı¸smaktır. Bunu yaparken kuramsal olarak termodinamik deˇgi¸skenler (koordinatlar) tanımlamalı, onlar ¨uzerinden i¸slem yapılmalıdır.

˙Ilgilenilen sistemlere g¨ore termodinamik koordinatlara ¨ornek:

• Gaz i¸cin : Basın¸c (P ) ve Hacim (V )

• ˙Ince bir film i¸cin : Y¨uzey Gerilimi (σ) ve Alan (A)

• Sicim, elastik ip i¸cin : Gerginlik (T ) ve Uzunluk (L)

• Manyetik sistem i¸cin : Manyetik Alan (B) ve Mıknatıslanma (M) :

Bunları birbirine baˇglayan denklem ”Durum Denklemi” dir:

T = f (P, V, N ) T : sıcaklık

Durum denklemi, termodinamik koordinatlar arasında bir e¸sitliktir.

Bu tanımları verdikten sonra, deneysel g¨ozlemler sonucunda termodinamiˇgin dayandıˇgı, ¨ozetlendiˇgi temel kanunlara bakalım.

1.2.1 Termodinamiˇgin Kanunları

Esasen b¨ut¨un termodinamiˇgi 4 temel kanundan t¨uretebiliriz.

0. Kanun :

˙Iki sistem bir ¨u¸c¨unc¨u ile dengede ise kendi aralarında da dengede olurlar. Yani;

A, B, C sistemlerinden A ile B dengede, A ile C dengede ise B ile C dengededir.

Bu kanun durum denkleminin varlıˇgını s¨oyler ve sıcaklıˇgı tanımlar.

T_A = T_B , T_A= T_C ⇒ T_B = T_C

A sistemi ile B sisteminin dengede olma durumunu niteleyen e¸sitliˇgi yazalım:

f_AB({A_i}, {B_i}) = 0 (1.2.1)

({Ai}, {Bi} sırasıyla A sisteminin ve B sisteminin termodinamik koordinatlarıdır.

Sistemlerin makroskobik durumları bu koordinatlar cinsinden veriliyor.)

Aynı ¸sekilde A sistemi ile C sistemi i¸cin;

f_AC({A_i}, {C_i}) = 0 (1.2.2)

Sıfırıncı Kanuna g¨ore B ile C nin dengede olması gerekir:

f_BC({B_i}, {C_i}) = 0

1.2.1 ve 1.2.2 denklemlerinde 1 nolu termodinamik koordinatı se¸celim;

A1 = FAB({Ai}\A1, {Bi}) (1.2.3)

A₁ = F_AB({A_i}\A₁, {C_i}) (1.2.4)

Dolayısıyla 1.2.3 ve 1.2.4 denklemlerinin birbirine e¸sit olması gerekir . Bu iki denklemden A koordinarları elenebilirse;

θB({Bi}) = θC({Ci})

denge ko¸sulu elde edilir. (θ : termodinamik nicelik, θ = θ_B({B_i}) durum den- klemi.)

Yani, denge durumunda saˇglanması gereken e¸sitlik;

θ_B({B_i}) = θ_C({C_i}) = θ_A({A_i}) (1.2.5)

I. Kanun :

Enerji korunumu ile ilgilidir. 0. kanunda sistemi bir denge konumundan diˇger bir denge konumuna ta¸sıdık. Farklı denge konumları arasındaki d¨on¨u¸s¨umlere bakalım. Bu esnada sisteme iki farklı ¸sekilde enerji aktarılabilir:

1. W (i¸s olarak) : makroskobik serbestlik dereceleriyle oynayarak 2. Q (ısı olarak) : mikroskobik serbestlik dereceleriyle oynayarak.

Eˇger sistem adyabatik olarak izole edilmi¸s ise yani dı¸s ¸cevreyle ısı alı¸sveri¸si yoksa yapılan i¸s ile aktarılan enerji yoldan baˇgımsızdır (korunumlu). Adyabatik sistemlerde; ∆W = ∆E olduˇgundan yapılan i¸sin tamamı sistemde ind¨uklenen enerji olacaktır.

∆W = ∆E = E(X_s) − E(X_i)

Enerji de bir durum fonksiyonudur. Sistemin o anki makroskobik durumuna bakılarak bulunabilir.

Adyabatik olmayan d¨on¨u¸s¨umler i¸cin sistemin enerjisi hem ısı hem de i¸s olarak ind¨uklenecektir.

∆Q = ∆E − ∆W (1.2.6)

Sonsuz k¨u¸c¨uk deˇgi¸simler i¸cin;

dQ = dE − dW (1.2.7)

(Q ve W yola baˇglı, E yoldan baˇgımsız.)

Sistem ¨uzerinde yaptıˇgımız i¸se bakalım. Eˇger sistem ¨uzerinde yaptıˇgımız d¨on¨u¸s¨um quasi-statik¹ ise ;

dW =X

i

J_i· dx_i (1.2.8)

J_i : genel kuvvet (¨orneˇgin; basın¸c, manyetik alan)

dx_i : genel kuvvete yanıt veren yerdeˇgi¸simi (¨orneˇgin; hacim)

J_ive dx_idengede tanımlı nicelikler olduˇgu i¸cin sistemin quasi-statik olması gerekir.

Genelle¸stirilmi¸s Kuvvetler

Genelle¸stirilmi¸s Yerdeˇgi¸stirmeler

Sicim T (Gerilme) L (Uzunluk)

˙Ince film σ (Y¨uzey gerilimi) A (Alan)

Akı¸skan −P (Basın¸c) V (Hacim)

Mıknatıs H (Dı¸s manyetik alan) M (Mıknatıslanma)

−P ; gerilme gibi denge durumuna ¸caˇgırıcı nitelikte olmadıˇgı i¸cin (-) dir. Sis- tem tarafından deˇgil sistem ¨uzerine yapılan i¸se bakıyoruz. Sistem ¨uzerine yapılan

1sistemi ¸cok yava¸s bir ¸sekilde ba¸slangı¸c noktasından biti¸s noktasına g¨ot¨ur¨uyoruz, her noktada dengede kabul ediyoruz.

i¸s (−∆W ), sistem tarafından yapılan i¸s (+∆W ).

Bir sistemin ¨ozelliklerini, davranı¸sını incelemek istiyorsak o sistemi uyarırız ve sistemin verdiˇgi cevaba bakarız. Bu a¸samada kar¸sımıza ”cevap fonksiyonları”

¸cıkar.

Cevap Fonksiyonları:

Isı Sıˇgaları: Sisteme bir ısı transferi yapılırsa sistemin sıcaklıˇgının ne kadar deˇgi¸seceˇginin yanıtını verir.

C_V = dQ dT

¯¯

¯¯

V

= dE − dW dT

¯¯

¯¯

V

= dE dT

¯¯

¯¯

V

+ P dV dT

¯¯

¯¯

V

= dE dT

¯¯

¯¯

V

(1.2.9)

CP = dQ dT

¯¯

¯¯

P

= dE − dW dT

¯¯

¯¯

P

= dE dT

¯¯

¯¯

P

+ PdV dT

¯¯

¯¯

P

(1.2.10)

Kuvvet Sabitleri : Sisteme bir basın¸c uygularsak hacimdeki deˇgi¸sim yanıt olarak incelenir.

Mekanik sistemlerde;

κ_T = 1 V

½

−∂V

∂P

¯¯

¯¯

T

¾

(e¸s sıcaklık sıkı¸sabilirliˇgi) (1.2.11)

Manyetik alan uygularsak mıknatıslanmadaki deˇgi¸sim incelenir.

Manyetik sistemlerde;

χ_T = 1 V

½∂M

∂B

¯¯

¯¯

T

¾

(manyetik alınganlık) (1.2.12)

Termal Cevap :

αP = 1 V

½∂V

∂T

¯¯

¯¯

P

¾

(genle¸sebilirlik) (1.2.13)

ORNEK : ˙Ideal gaz i¸cin genle¸sebilirliˇgi kullanarak C¨ _V ve C_P arasındaki ili¸skiye bakalım. Bunun i¸cin ideal gazda enerjinin sadece sıcaklık ile ili¸skili ol- masından yararlanıyoruz (E = E(T )).

P V ∝ T

∂E

∂T

¯¯

¯¯

P

= ∂E

∂T

¯¯

¯¯

V

olmalı. C¸ ¨unk¨u E, P ile V ye baˇglı deˇgil. O halde;

C_P − C_V =

½∂E

∂T

¯¯

¯¯

P

+ P ∂V

∂T

¯¯

¯¯

P

¾

−

½∂E

∂T

¯¯

¯¯

V

¾

= P ∂V

∂T

¯¯

¯¯

P

(1.2.14)

Denklem 1.2.13 ile verilen genle¸sebilirliˇgin tanımından;

C_P − C_V = P V α_P (1.2.15)

P V ∝ T ⇒ P V = c · T (1.2.16)

⇒ V = c · T

P ⇒ ∂V

∂T

¯¯

¯¯

P

= c P

⇒ α_P = c P V = 1

T (1.2.17)

1.2.17 e¸sitliˇgi 1.2.15 denkleminde yerine yazılırsa;

C_P − C_V = P V 1

T (1.2.18)

1.2.18 e¸sitliˇgi aynı zamanda ¸su ¸sekilde de yazılabilir:

C_P − C_V = P V 1

T = k_BN ⇒ P V = Nk_BT (1.2.19) 1.2.19 e¸sitliˇgi ideal gaz i¸cin durum denklemidir. (k_B = 1.4 × 10⁻²³ J/K)

II. Kanun :

Bu yasada ısı akı¸sı incelenir.

Isı makinesi; i¸s ¨uretir. Sıcak rezarvuardan bir miktar ısı alır, aldıˇgı ısının bir kısmını i¸se ¸cevirir bir kısmını da soˇguk rezervuara iletir. ˙Ideal bir ısı makinesi aldıˇgı t¨um ısıyı i¸se ¸cevirir.

S¸ekil 1.1: Isı makinesi

Bir ısı makinesinin ne kadar iyi bir makine olduˇgu verimlilikten hesaplanabilir.

Verimlilik;

η = W

Q_H (1.2.20)

Buzdolabının yaptıˇgı i¸s; soˇguktan alıp sıcak rezervuara iletmektir.

S¸ekil 1.2: Buzdolabı

ω = Q_c

W (1.2.21)

KELVIN : Hi¸c bir makine aldıˇgı ısının tamamını i¸se ¸ceviremez.

CLAUSIUS : Isı ba¸ska hi¸cbir ¸seyin yardımı olmadan tek ba¸sına soˇguk sistem- den sıcak sisteme ge¸cemez.

Ger¸cekte Kelvin ve Clausius ifadeleri aynı ¸seylerdir.

KELVIN = CLAUSIUS

Kelvin ifadesine uyan bir makine varsa Clausius ifadesine uyan bir makina elde edilebilir. Kelvin ifadesinden Clausius ifadesine ge¸celim.

˙ISPAT 1 : Isının t¨um¨un¨u enerjiye ¸cevirebilen bir makine olduˇgunu, Kelvin ifadesinin yanlı¸s olduˇgunu kabul edelim. Bu durumda; %100 verimle ¸calı¸san bir makineden elde edilen i¸si Clausius prensibine g¨ore ¸calı¸san bir buzdolabına ak- taralım.

S¸ekil 1.3:

Bu durumda; Kelvin’ in yanlı¸s olduˇgunu ¸cıkartan bir makine Clausius’ u da yanlı¸s ¸cıkartır.

˙ISPAT 2 : Clausius ifadesinin yanlı¸s olduˇgunu ve bir buzdolabının enerji al- madan ısıyı sıcaktan soˇguk sisteme ta¸sıdıˇgını d¨u¸s¨unelim.

Bu durumda Carnot makinesi ortaya ¸cıkar.

Carnot Makinesi : Tersinebilir (s¨urt¨unmesiz) bir d¨ong¨u i¸cinde ¸calı¸san ve sadece T_H ve T_C sıcaklıklarında ısı alı¸sveri¸si yapan makinedir.

Teorem : Hi¸cbir ısı makinesi Carnot ısı makinesinden daha verimli deˇgildir.

Bu teoremin ispatı; Carnot makinesi olmayan bir makineyi, diˇger bir ısı maki- nesine ters baˇglayarak yapılabilir.

1 − η_CE = T_C

T_H (1.2.22)

S¸ekil 1.4: Carnot makinesi

η_CE ; Carnot makinesinin verimi.

Entropi :

S¸ekil 1.5:

Makroskobik sistem uygun koordinatlarda bu d¨ong¨u boyunca hareket etsin.

Sistemde hem ısı alı¸sveri¸si var hem de sistem ¨uzerine i¸s yapılıyor.

T₀sıcaklıˇgında bir rezervuar olsun. Carnot makinesi, bu rezervuardan gerektiˇgi kadar ısı alsın, dı¸sarıya i¸s versin ve bir miktar ısıyıda sisteme geri versin.

S¸ekil 1.6: Sistem

Sistem bir d¨ong¨uy¨u tamamladıˇgında aynı enerjiye sahip olur. Yol boyunca sisteme ısı ¸seklinde giren enerji ile i¸s ¸seklinde giren enerjinin toplamı sıfırdır.

X

i

dQ_i+X

i

dW_i = 0

dQ^Res_i = dQi+ dW_i^CE (dQ_i ; toplam rezervuardan ¸cekilen enerji.)

Q^Res_i = −X

i

dQ_i+X

i

dW_i^CE = W

(W ; dı¸sarıya verilen toplam i¸s)

Carnot makinesinin verimliliˇgi;

1 − η_CE = T_C

T_H = Q_C

Q_H = 1 − W Q_H dQ^Res

dQ_i = T0

T_i

Q^Res_i = −X

i

dW_i+X

i

dW_i^CE

⇒ Q^Res_i = W bulduk.

Ancak, Kelvin ifadesine g¨ore W ≤ 0 olmalı.

Verimlilik ifadesi kullanılırsa;

Q^Res =X

i

dQ^Res_i = T₀X

i

dQ_i T_i ≤ 0 X

i

dQ_i T_i ≤ 0 Bu adımlar ¸cok k¨u¸c¨uk olduˇgu i¸cin;

I dQ T ≤ 0

Sistemde s¨urt¨unme, enerji kaybı yoksa d¨ong¨u tersten de gidilebilir. Tersinebilir (s¨urt¨unmesiz) bir d¨ong¨u i¸cin; I

dQ T = 0 olmalıdır.

S¸ekil 1.7:

Z _B

A(1)

dQ T +

Z _A

B(2)

dQ T = 0 Z _B

A₍₁₎

dQ T −

Z _B

A₍₂₎

dQ T = 0 Z _B

A(1)

dQ T =

Z _B

A(2)

dQ

T = S(B) − S(A) (1.2.23)

S ≡ entropi : durum fonksiyonu. O durumun nicelikleri cinsinden hesaplanan ve o durumu niteleyen fonksiyon.

Tersinebilir s¨ure¸cler i¸cin;

dQ = T · dS dE = dQ + dW = T dS +X

i

Jidxi = (T dS − P dV| {z }

ideal gaz i¸cin

)

1

T = ∂S

∂E

¯¯

¯¯

V

− P = ∂E

∂V

¯¯

¯¯

S

Eˇger sistemde enerji deˇgi¸simi yoksa;

T

P = −∂V

∂S

¯¯

¯¯

E

Kapalı bir sistem d¨u¸s¨unelim. Bu sistem bir¸cok alt durumdan olu¸ssun. Alt sistemler kendi aralarında ısı alı¸sveri¸si yapsınlar. Bu nedenle dQ = 0 olmalı.

Fakat toplam entropi deˇgi¸simi sıfırdan farklı olmalı.

dQ = 0 Z dQ

T ≤ dS ⇒ 0 ≤ dS

S¸ekil 1.8:

Tersinmez bir yoldan A’ dan B’ ye gidip, B-A tersinir yolundan geri d¨onelim.

S¸ekil 1.9:

Z _B

A(1)

dQ T +

Z _A

B(2)

dQ T ≤ 0 1.2.23 denklemindeki e¸sitlikten

Z _A

B(2)

dQ

T = S(B) − S(A) yazılabileceˇginden;

Z _B

A

dQ

T ≤ S(B) − S(A) = ∆S

Eˇger sistem dı¸sarıdan adyabatik olarak izole edilmi¸s ise entropi deˇgi¸simi sıfır olur.

Termodinamik Potansiyeller :

Sistemin, belli ko¸sullar altında minimize etmeye ¸calı¸stıˇgı parametrelere ter- modinamik potansiyel denir.

> Adyabatik izolasyon ve sabit kuvvet ¸sartları altında sistem dengeye geliy- orsa dengeye gelme ko¸sulu entropinin maksimum deˇgere ula¸smasıdır.

Kuvvet sabitse sistem ¨uzerinde yapılan i¸s;

dW ≤ Jdx (s¨urt¨unmeden dolayı kayıp var.)

dQ = 0

dE = dW + dQ ≤ Jdx veya d(E − Jx| {z }

H

) ≤ 0

H; entalpi, termodinamik potansiyel.

dH = d(E − Jx) = T dS + Jdx − (Jdx + xdJ)

dH = T dS − xdJ (1.2.24)

˙Ideal gaz i¸cin; dH = T dS + V dP

> ˙Izotermal ve sıfır i¸s (T sabit, dW = 0) ¸sartları altında;

dQ ≤ T dS

dE = dQ + dW ⇒ dE = dQ ⇒ dE ≤ T dS

d(E − T S| {z }

A

) ≤ 0

A = E − T S : Helmholtz serbest enerjisi. Dengede minimum olur.

dA = dE − d(T S) = −SdT + Jdx (1.2.25)

> ˙Izotermal ve sabit kuvvet

dQ ≤ T dS dW ≤ Jdx



dE = dQ + dW ≤ T dS + Jdx d(E − T S − Jx| {z }

G

) ≤ 0

G; Gibbs serbest enerjisi. Dengede minimum.

dG = −SdT − xdJ (1.2.26)

> Kimyasal ˙I¸s:

dW = µdN µ : Kimyasal potansiyel

(Kimyasal potansiyel; sisteme o cins par¸cacıklardan bir tane daha eklemek i¸cin yapılması gereken i¸s)

N_i : i cinsinden par¸cacıkların sayısı

Sistem ¨uzerine yapılan i¸s sıfırsa ve sistem sabit sıcaklıkta ise;

dE ≤ T dS + µdN ⇒ d(E − T S − µN| {z }

Grand potansiyel

) ≤ 0

Grand potansiyel, sistem dengeye gelirken minimuma yakla¸sır.

dΦ = −SdT − Ndµ (1.2.27)

> Helmholtz Serbest Enerji

dA = −SdT − P dV (ideal gaz)

−S = ∂A

∂T

¯¯

¯¯

V

− P = ∂A

∂V

¯¯

¯¯

T

∂S

∂V

¯¯

¯¯

T

= − ∂²A

∂V ∂T = − ∂²A

∂T ∂V = ∂

∂T µ

−∂A

∂V

¶

T

= ∂P

∂T

¯¯

¯¯

V

Dolayısıyla buradan;

∂S

∂V

¯¯

¯¯

T

= ∂P

∂T

¯¯

¯¯

V

(1.2.28) 1.2.28 daki denklem Maxwell baˇgıntılarından birisidir.

Ornek : C¨ P − CV =?

Entropinin, sıcaklıˇgın ve hacmin fonksiyonu olduˇgunu kabul edelim.

S = S(T, V )

dS = µ∂S

∂T

¶

V

dT µ∂S

∂V

¶

T

dV ⇒ dS

dT

¯¯

¯¯

P

= µ∂S

∂T

¶

V

+ µ∂S

∂V

¶

T

µ∂V

∂T

¶

P

C_P = dQ dT

¯¯

¯¯

P

= TdS dT

¯¯

¯¯

P

= T∂S

∂T

¯¯

¯¯

| {z }V CV

+ T∂S

∂V

¯¯

¯¯

T

∂V

∂T

¯¯

¯¯

P

Denklem 1.2.28 ile verilen Maxwell baˇgıntısı kullanılırsa;

C_P − C_V = T ∂P

∂T

¯¯

¯¯

V

∂V

∂T

¯¯

¯¯

P

Zincir kuralı;

∂P

∂T

¯¯

¯¯

V

∂T

∂V

¯¯

¯¯

P

∂V

∂P

¯¯

¯¯

T

= −1

Bu zincir kuralını kullanırsak (C_P − C_V) ifadesini cevap fonksiyonları cinsinden yazmak m¨umk¨un olacaktır:

C_P − C_V = −T µ∂P

∂V

¶

T

µ∂V

∂T

¶₂

P

= −T 1 VV²V

µ∂P

∂V

¶

| {z T}

1/κP

µ∂V

∂T

¶₂

P

1 V²

| {z }

α²_P

C_P − C_V = T V

κ_P α_P² (1.2.29)

III. Kanun :

T = 0’ da bir sistemin entropisi sıfırdır (S(T = 0) = 0). Isı sıˇgası biliniyorsa sistemin entropisi hesaplanabilir.

dQ = T dS ⇒ S(T ) = Z dQ

T⁰

= Z _T

0

C(T⁰)

T⁰ dT⁰+ S(T = 0)

| {z }

=0

S(T ) = Z _T

0

C(T⁰)

T⁰ dT⁰ (1.2.30)

Entropiyi kesin olarak denklem 1.2.30’ den bulmak m¨umk¨und¨ur.

1.2.2 Problemler

1) Foton Gazı: Karacisim ı¸sımasının enerjisinin sıcaklıˇgın d¨ord¨unc¨u kuvvetiyle orantılı olduˇgunu g¨osteriniz (E(T, V ) ∝ V T⁴). Carnot ¸cevrimi kullanarak bulunuz.

a) Carnot ¸cevriminde yapılan bu i¸si dP ve dV nin fonksiyonu olarak bulunuz.

W = W (dP, dV ) =?

b) Bir izoterm eˇgrisi boyunca sistemin aldıˇgı ısıyı(Q) P dV ve E(T, V ) nin t¨urevi cinsinden bulunuz.

c) Carnot ¸cevriminin veriminden yaralanarak W, Q ve T, dT arasında bir baˇgıntı bulunuz.

d) Foton gazının basıncını (P = AT⁴) kullanarak foton gazının enerjisini bulunuz.

e) Adyabatik eˇgriler nedir?

2) a) Bir s¨uperiletkenin, manyetik alan olmadıˇgı ko¸sulda termodinamiˇgin III.

yasasını kullanarak, s¨uperiletken ve normal fazının entropisini bu- lunuz.

b) ˙Iki faz arasındaki ge¸ci¸s sıcaklıˇgını α, β ve γ nın fonksiyonu olarak bulunuz (α, β, γ : sabit).

c) T = 0 da Copper baˇglarının olu¸sması sebebiyle i¸c enerjide V ∆ kadar bir d¨u¸sme g¨ozlenir. Buradan yararlanarak s¨uperiletken faz ve normal faz i¸cin i¸c enerjiyi hesaplayınız (∆ : Birim hacim i¸cin enerji azalması).

d) Her iki fazdaki Gibbs enerjilerini kar¸sıla¸stırarak ∆ i¸cin α, β, γ cinsin- den bir baˇgıntı bulunuz.

e) Bir B manyetik alanının varlıˇgında s¨uperiletken faz bir diyamanyetik gibi davranır ve Ms= −V B

4π ¸seklinde bir mıknatıslanma ¨uretir. Bc(T ) = B₀

µ

1 −T² T_c²

¶

den daha b¨uy¨uk manyetik alanda s¨uperiletken fazın nor- mal faza d¨ond¨uˇg¨un¨u g¨osteriniz.

3) Sıcaklık Skalaları :

˙Ideal gaz i¸cin Carnot ¸cevrimini kullanarak ideal gaz sıcaklık skalası θ ile termodinamik skala T ’nin birbirine e¸sit olduˇgunu kanıtlayınız. ˙Ideal gaz, P V = Nk_Bθ e¸sitliˇgine uyar ve i¸c enerjisi E, sadece θ sıcaklıˇgının bir fonksiy- onudur. Bununla beraber, E ∝ θ kabul¨un¨u yapmak yerine ¸su yolu da izleye- bilirsiniz:

a) Q_C ve Q_H ısılarını θ_H, θ_C ve hacim terimlerinin fonksiyonu olarak hesaplayınız.

b) Adyabatik s¨ure¸cteki hacimce geni¸sleme katsayısını θ’nın fonksiyonu olarak hesaplayınız.

c) Q_H Q_C = θ_H

θ_C olduˇgunu g¨osteriniz.

4) Durum Denklemleri :

a) dE = T dS − P dV e¸sitliˇginden ba¸slayarak durum denkleminin P V = Nk_BT olduˇgunu ve E’nin sadece T sıcaklıˇgına baˇglı olabileceˇgini g¨osteriniz.

b) Sadece sıcaklıˇga baˇglı bir i¸c enerji ile uyumlu olan bir durum den- kleminin en genel formu nasıl yazılabilir?

c) Van der Waals gazı i¸cin ısı kapasitesi C_V’nin sadece sıcaklıˇgın bir fonksiyonu olduˇgunu g¨osteriniz.

1.3 KLAS˙IK ˙ISTAT˙IST˙IKSEL MEKAN˙IK

µ : Bir sistemin belli bir andaki mikroskobik durumu.

Orneˇgin; sistemin b¨ut¨un par¸cacıklarının momentumları (~p¨ _i) ve konumları (~r_i)

M : Makroskobik durum. Sadece makroskobik g¨ozlenebilirler cinsinden verilir.

Orneˇgin; (E, T, V, P ).¨

Topluluk (ensemble) : Belli bir makroskobik durumla tutarlı mikroskobik du- rumların t¨um¨u. Her topluluk i¸cin mikroskobik durumların daˇgılımlarıolmasıgerek.

Topluluk i¸cindeki olasılık daˇgılımıP_M(µ_i) olmak ¨uzere;

X

i

P_M(µ_i) = 1

1.3.1 Mikrokanonik Topluluk

Adyabatik ve mekanik² olarak izole edilmi¸s (yalıtılmı¸s) bir sistem d¨u¸s¨unelim.

Bu sistemin enerjisi E olsun.

Bu sistemin makrodurumunu M(E, ~x) ile g¨osterelim. Bu M makrodurumu ile tutarlı olan bir¸cok µ_i mikrodurumu s¨oz konusu.

H(µ_i) = E

2Mekanik olarak izole edilmi¸s : Hacim sabit, i¸s yapılmıyor.

olmalı (H:Hamiltoniyen). Yani her mikrodurumda aynı enerjiyi vermesi gerekir.

˙Istatistiksel mekaniˇgin temel varsayımı; t¨um mikrodurumlar aynı d¨uzeyde e¸sit enerjiye sahip. Konfig¨urasyonlar aynı olasılıkta bulunur.

Dengede E enerjili her mikrodurum e¸sit olasılıˇga sahiptir. Bu makrodurumla tutarlı olan b¨ut¨un mikrodurumların sayısı;

P_M(µ_i) = 1 Γ(E, ~x) =









1 H(µ_i) = E

0 H(µ_i) 6= E Γ(E, ~x) : {µ} uzayında H(µ_i) = E olduˇgu y¨uzeyin alanı.

H =X

i

~p²_i

2m + U({~x_i})

E enerjisi yerine E −∆ ile E +∆ aralıˇgındaki durumlar s¨oz konusu olabilir. Bu durumda 6 − N boyutlu momentum uzayında bir kabuˇgun hacminden bahsede- biliriz. Kabuk ¸cok ince ise bir alan olur.

Γ yı kullanarak entropiyi tanımlarsak;

S = kBln Γ(E, ~x) (1.3.1)

Entropiyi mikroskobik durumlara baˇglamı¸s olduk.

Bir boyutta hareket eden tek bir par¸cacıˇgın enerjisinin sabit olduˇgu durumlara bakalım. Par¸cacık L boyunda bir kutunun i¸cerisinde sınırlandırılmı¸s olsun.

S¸ekil 1.10:

V (x) =





0 |x| ≤ L

∞ |x| > L

Bu uzayda H(p, x) = E olduˇgu durumları bulmaya ¸calı¸salım.

E = H(p, x) = p²

2m + V (x) ⇒ p² = 2mE

˙Iki par¸cacık varsa;

p²₁ 2m+ p²₂

2m = E ⇒ p²₁ + p²₂ = 2mE

Uzay, yarı¸capı√

2mE olan bir ¸cember olur. Bu ¸cember ¨uzerindeki t¨um noktalar girilebilir. Her noktanın enerjisi E’ dir.

S¸ekil 1.11:

Termodinamiˇgi bu mikrokanonik topluluktan yeniden t¨uretmeye ¸calı¸salım.

Termodinamˇgin Yeniden T¨uretilmesi

0. Kanun :

S¸ekil 1.12:

Alt sistem dı¸sarıyla sadece ısı alı¸s-veri¸sinde bulunabilir.

E = E₁ + E₂ = sabit (E₂ = E − E₁)

Toplam Γ y¨uzeyinin alanına bakalım. (1) ve (2) nolu alt sistemlerin olası mikro- durumları ¨uzerinden y¨uzey alanını yazmaya ¸calı¸salım.

Γ(E) = Z

dE₁Γ₁(E₁)Γ₂(E₂) (1.3.2)

(1) nolu sistemin enerjisi deˇgi¸stiˇginde (2) nolu sistemin enerjisinin t¨um olası du- rumlarınıhesaba katıyoruz, olası t¨um konfig¨urasyonları hesaplıyoruz. Bu integrali hesaplamak i¸cin Saddle-Point y¨ontemini kullanacaˇgız.

Saddle-Point Metodu :

˙Ilk ¨once toplamlar i¸cin Saddle-Point y¨ontemine bakalım. ¨Orneˇgin X

i

e^{N φ(xi)}

toplamına bakalım (N : makroskobik sistemdeki par¸cacık sayısı). Bu toplamın i¸cndeki φ(x_i) lerden b¨uy¨uk olan φ(x_max) terimini dı¸sarı alalım.

X

i

e^{N φ(xi)} = e^{N φ(xmax)}{1 + X

i6=imax

e^{N [φ(xi)−φ(xmax)]}

| {z }

N À ise =0olur.

}

˙Integrale bakalım;

I = Z

dxe^{N φ(x)}= Z

dx exp µ

N

·

φ(x^∗) + dφ dx

¯¯

¯¯

x^∗

(x − x^∗) + 1 2

d²φ dx²

¯¯

¯¯

x^∗

(x − x^∗)²

¸¶

φ(x) i minimum ya da maksimum civarında a¸cıyoruz. Bu nedenle birinci d¨uzeltme terimi d²φ

dx² dir.

S¸ekil 1.13:

I = e^{N φ(x∗)} Z

dx exp µ

−N|φ⁰⁰|

2 (x − x^∗)²

¶

→ Gaussian bir integral

Gauss integrali; Z _+∞

−∞

e^−ax2dx = rπ

a (1.3.3)

O halde;

I = s

2π

N|φ⁰⁰|e^{N φ(x∗)} (1.3.4)

olur. Buna Saddle-Point integrasyonu denir.

Denklem 1.3.2 ile verilen Γ(E) nın logaritmasına bakalım.

S = k_Bln Γ(E) = k_Bln Z

dE₁exp



{S₁(E₁) + S₂(E₂)

| {z }

j

} 1 k_B





(S₁(E₁) = k_Bln Γ₁(E₁))

Saddle pointe g¨ore j ile belirtilen parantez i¸cini maksimum yapan deˇger integral

dı¸sında yazılabilir.

S = kBln

· exp

µ

{S1(E₁^∗) + S2(E₂^∗)} 1 k_B

¶¸

Yukarıda E₂^∗ = E − E₁^∗ yazdık.

Toplamı maksimize eden enerjiyi E₁^∗ civarında seri a¸calım.

∂

∂E₁ (S₁(E₁) + S₂(E − E₁))|_E1=E∗ 1 = 0

∂S1

∂E₁

¯¯

¯¯

∗

− ∂S2

∂E₂

¯¯

¯¯

∗

= 0 ⇒ ∂S1

∂E₁

¯¯

¯¯

∗

= ∂S2

∂E₂

¯¯

¯¯

∗

⇒ 1

T₁ = 1

T₂ ⇒ T1 = T2

0. kanun bulundu. Denge durumunda sıcaklıkların e¸sit olması gerekir.

I. Kanun :

Denge durumundaki d¨on¨u¸s¨umlere bakacaˇgız. Hacmi biraz deˇgi¸stirip (δx kadar) entropideki deˇgi¸sime bakalım.

δ~x → S(E, ~x) dW = Jdx

∆S = S(E + ~Jd~x, ~x + d~x) − S(E, ~x) C¸ ok k¨u¸c¨uk deˇgi¸simler olduˇgu i¸cin Taylor a¸cılımı yapılır:

∆S = S(E, ~x) + ∂S

∂E

¯¯

¯¯

~x

J · d~x +~ ∂S

∂~x

¯¯

¯¯

E

d~x − S(E, ~x)

Eˇger E ve ~x bir denge noktası ise birinci dereceden d¨uzeltmeler sıfır verir. ˙Ilk

d¨uzeltmeler ikinci dereceden gelir.









∂S

∂E

¯¯

¯¯

| {z }~x

1 T

J +~ ∂S

∂~x

¯¯

¯¯

E







δx = 0 ⇒ −J~ T = ∂S

∂~x

¯¯

¯¯

E

S = S(E, ~x) ⇒ dS = ∂S

∂E

¯¯

¯¯

~x

dE + ∂S

∂~x

¯¯

¯¯

E

d~x

dS = ∂S

∂E

¯¯

¯¯

~x

dE − J~

Td~x = dE T − J~

Td~x

dE = T dS + ~Jd~x (1.3.5)

II. Kanun :

˙Iki sistem olsun:

Γ₁(E₁, ~x₁), Γ₂(E₂, ~x₂)

(1) ve (2) sistemleri temas haline ge¸csin. Enerji alı¸sveri¸si ba¸slasın. Dolayısıyla E₁ ve E₂ deˇgi¸secek.

Yeni durum;

Γ₁(E₁^∗, ~x₁) · Γ₂(E₂^∗, ~x₂) (E₁+ E₂ = E₁^∗+ E₂^∗)

Yeni durumun mikrodurumu ¸cok daha fazladır.

Z

dE₁Γ₁(E₁, ~x₁)Γ₂(E₂, ~x₂)

Saddle-Point teroreminden

Γ = Γ₁(E₁^∗, ~x₁)Γ₂(E₂^∗, ~x₂)

Entropi deˇgi¸simi;

δS = S₁(E₁^∗) + S₂(E₂^∗) − S₁(E₁) − S₂(E₂) ≥ 0

Dengeye gelmeden hemen ¨onceki duruma baktıˇgımızı kabul edelim. Yani E1 ile E₁^∗, E₂ ile E₂^∗arasındaki fark ¸cok k¨u¸c¨ukse (S₁(E₁^∗) ' S₁(E₁), S₂(E₂^∗) ' S₂(E₂));

δS = ∂S1

∂E₁

¯¯

¯¯

~ x1

δE1+ ∂S2

∂E₂

¯¯

¯¯

~ x2

δE2 ≥ 0

δE2 = −δE1

⇒

µ 1 T₁ − 1

T₂

¶

δE₁ ≥ 0 Bu denklem enerji transferinin y¨on¨u hakkında bilgi verir.

δE₁ ≥ 0 ise ((1). sistem enerji almı¸ssa) T₁ < T₂ olur. T₁ sıcaklıˇgındaki (1).

sistem soˇguk sistem olur. Yani enerji sıcaktan soˇguˇga akar.

III. Kanun :

S(T = 0) = 0 ⇒ Γ(T = 0) = 1

Yani T = 0 da tek bir durum s¨ozkonusu. Temel durum 1 tane olmalı.

Ornek : V hacimli bir kutu i¸cerisindeki ideal gaz:¨

H =X

i

|~p_i|²

2m + U(~x_i)

Potansiyel terimini tanımlayalım;

U(~x_i) =





0 {~xi} ∈ V

∞ {~xi} 3 V

Par¸cacıkların toplam enerjilerinin E’ ye e¸sit olduˇgu alan (6N boyutlu uzayda) ne kadardır?

Γ(E) = Z

d^3Npd^3Nx δ (H({~p_i, ~x_i}) − E)

Bu ifade, Γ uzayında sabit enerji y¨uzeyinin alanına kar¸sılık geliyor.

Noktalar hacim i¸cerisinde olduˇgu s¨urece x’ lerin katkısı sıfırdır (hacim i¸cinde U(~x_i) = 0).

Γ(E) = Z

d^3Np δ µ|~p_i|²

2m − E

¶ Z d^3Nq

{~q_i} ∈ V ⇒ Z

d^3Nq = V^N P

i|~p_i|² = 2mE → 3N boyutlu uzayda yarı¸capı √

2mE olan k¨urenin y¨uzeyi

Γ(E) = V^N Z

Pp²_i=2mE

d^3Np = V^N (

2π^3N/2

¡_3N

2 − 1¢

! )

| {z }

S3N

(2mE)^3N/2−1

(P

p²_i = 2mE : √

2mE yarı¸caplı 3N boyutlu k¨urenin y¨uzey alanı S_3N : 3N boyutlu birim yarı¸caplı k¨urenin y¨uzey alanı)

Γ(E) ' V^N(2mE)^3N/2S_3N (1.3.6)

S(E, V, N ) = k_Bln Γ(E, V, N ) S

k_B = N ln£

V (2mE)^3/2¤

+ ln S_3N

ln S3N = ln (

2π¡_3N^3N/2

2

¢! )

= N ln π^3/2− ln µ3N

2 !

¶

| {z }

ln N! = N ln N − N: Stirling yakla¸sımı

Stirling yakla¸sımını Saddle-point integrasyonu ile g¨osterebiliriz:

Z _∞

0

xⁿe^−xdx = n!

ln S_3N = N ln µπ^3/2

N^3/2e^3/2

¶

⇒ S

k_B = N ln

"

V

µ4eπmE 3N

¶_3/2#

(1.3.7)

Entropiyi kullanarak termodinamik potansiyelleri bulabiliriz. ¨Orneˇgin enerjiyi bulalım.

1

T = ∂S

∂E

¯¯

¯¯

V,N

= k_B3N

2E ⇒ E = 3

2Nk_BT (1.3.8)

Durum Denklemi :

dE = T dS − P dV

Sabit E altında T dS = P dV olur.

P

T = ∂S

∂V

¯¯

¯¯

E,N

= kbN

V ⇒ P V = NkBT

Bu ifade, sadece ideal gaz i¸cin ge¸cerli olan durum denklemidir.

Gibbs Paradoksu

T sıcaklıˇgında iki tane gaz ¨orneˇgi olsun: N1, V1, T ; N2, V2, T

S¸ekil 1.14:

˙Iki farklı cins gaz atomu. Par¸cacıklar karı¸sınca, aradaki engel kalkar, entropinin artması gerekir.

Sistemler birle¸smeden ¨onceki ve sonraki enerji farkı;

∆E = E₁₊₂− E₁− E₂

= 3

2(N₁+ N₂)k_BT − 3

2N₁k_BT − 3

2N₂k_BT = 0 Entropi;

∆S = S₁₊₂− S₁− S₂

S(E) = Nk_Bln



V

µ4eπmE 3N

¶_3/2

| {z }





Bu denklemdeki ln ifadesi toplam olarak yazılırsa entropi farkı alınırken parantez i¸cerisindeki ifadeden herhangi bir katkı gelmez.

∆S = (N₁+ N₂) ln(V₁+ V₂) − N₁ln V₁− N₂ln V₂

= N1ln

³V V1

´

+ N2ln

³V V2

´

≥ 0 (V = V1+ V2)

Bu denklem farklı gazlar i¸cin doˇgrudur. Fakat; aynı gazlar i¸cin problemlidir.

˙Iki gaz aynı par¸cacıklardan olu¸suyorsa makroskobik olarak ayırtedilemezlik prob- lemi ortaya ¸cıkar.

Bir konfig¨urasyonda aynı tip iki atomun yeri deˇgi¸stoku¸s edildiˇginde konfig¨urasyonu iki defa saymı¸s oluruz. N tane atom varsa N! kadar fazla saymı¸s oluruz. Bunu d¨uzeltmek i¸cin Γ → Γ/N! yazılır. Bu durumda;

S

k_B → S

k_B − N ln N

S = Nk_Bln

"

V N

µ4πmeE 3N

¶_3/2#

(1.3.9) Entropi doˇgru tanımlandı. Doˇgru entropi tanımı extensive olmalı.

Kontrol : (N₁, V₁) + (N₂, V₂) aynı cins gazlar, sabit T , sabit P

P : sabit → N₁ V1

= N₂ V2

= N₁+ N₂ V1+ V2

= α

∆S kB

= (N₁+ N₂) ln

µ V₁ + V₂ N1 + N2

¶

− N₁ln V₁ N1

− N₂ln V₂ N2

∆S

k_B = (N₁+ N₂) ln α − N₁ln α − N₂ln α = 0 saˇglandı. Buraya kadar ilk d¨uzeltmeydi.

˙Ikinci d¨uzeltme :

Γ =R

d^3Npd^3Nq → birimlerden kurtarılmalı. Γ bir sayı olmalı.

Γ → Γ/h^3N h : birimi (p, q)

Sonu¸c olarak;

Γ = 1 N!

Z 1

h^3Nd^3Npd^3Nq yazılmalı.

1.3.2 Kanonik Topluluk

Burada T, V, N sabit olup N → ∞ i¸cin mikrokanonik sonu¸cla uyumludur.

Makrosistemi farklı termodinamik nicelikler cinsinden tanımlayacaˇgız.

Dı¸sarıdan izole edilmi¸s bir sistem ele alalım. Bu sistemin enerjisi E_toplam olsun.

S¸ekil 1.15:

P (µ_S+R) = 1

Γ_S+R(E_toplam) =





1 H_S+ H_R= E 0 H_S+ H_R6= E K¨u¸c¨uk sistemin mikrodurumunu bulalım.

P (µ_S) =X

µR

P (µ_S+R) = ΓR(Etop− HS(µS))

Γ_R+S(E_top) ∝ Γ_R(E_top− H_S(µ_S))

∝ e^{kB1 SR(Etop−HS)} = exp





 1 kB

S_R(E_top) − 1 kB

∂S_R

∂ER

¯¯

¯¯

| {z }x 1/TR

H_S







∝ e^−HS/(kBTR)

Topluluk b¨uy¨uk bir rezervuar ile temas halinde olduˇgu i¸cin farklı mikrodurumlar farklı enerjilerle kar¸sımıza ¸cıkıyor.

Yeni topluluktaki bir mikrodurumun olasılıˇgı:

P (µ_S) = e^{−HS/(kBT )} P

{µS}e^{−HS/(kBT )} Z = X

{µS}

e^{−H(µS)/(kBT )} B¨ol¨u¸s¨um fonksiyonu

Mikrodurumlar {~pi, ~qi} seti ile verilsin.

Z = 1 N!

Z YN i=1

µd³p_id³q_i h³

¶

e^{−H(qi,pi)/kBT} (1.3.10)

B¨ol¨u¸s¨um fonksiyonunu b¨ut¨un enerjiler ¨uzerinden bir toplam olarak yazalım.

Z =X

ε

Γ(ε)e^−ε/kBT Γ(ε) : ε enerjili d¨uzeylerin sayısı

=X

ε

Γ(ε)e^{S(ε)/kB−ε/kBT} Yine Saddle-point y¨ontemine ba¸svuralım:

Z =X

ε

Γ(ε)e^{F (ε)/kB} F (ε) = ε − T S(ε)

A yı maksimize ya da minimize eden ε deˇgerini se¸celim:

Z(T, ~x, N ) = e−A(T,~x,N)/kBT ≡ Helmholtz Serbest Enerjisi

A = F (ε^∗)

Soru : A ile termodinamikten bildiˇgimiz serbest enerji aynı mıdır?

1 = X

{µ}

eβ(A(T,~x)−H) β = 1 k_BT

β ya g¨ore t¨urev alalım:

0 = X

{µ}

·

A(T, ~x) − H + β ∂A

∂β

¯¯

¯¯

x

¸

e^β(A−H)

β∂A

∂β = β∂A

∂T

∂T

∂β = − 1 k_Bβ

∂A

∂T

⇒ A(T, ~x) − E − 1 kBβ

∂A

∂T

¯¯

¯¯

x

= 0

A(T, ~x) = E + T ∂A

∂T

¯¯

¯¯

x

∂A

∂T

¯¯

¯¯

x

= −S

⇒ A = E − T S

Eˇger A Helmholtz enerjisi ise;

E = T dS − P dV

d(E − T S| {z }

A

) = −SdT

Sistemin enerjisi sabit deˇgil deˇgi¸siyor.

A = −k_BT ln Z