Bir Riemann manifoldunun bazı özel altmanifoldları

Tam metin

(1)T.C. KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ. BİR RİEMANN MANİFOLDUNUN BAZI ÖZEL ALTMANİFOLDLARI. RECAİ ATUÇURAN. HAZİRAN – 2008.

(2) Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürünün onayı. 18/06/2008. Doç. Dr. Burak BİRGÖREN Enstitü Müdür V.. Bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak Matematik Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylarım.. Prof. Dr. Kerim KOCA Anabilim Dalı Başkanı. Bu tezi okuduğumuzu ve Yüksek Lisans tezi olarak bütün gerekliliklerini yerine getirdiğini onaylarız.. Yrd. Doç. Dr. Mehmet YILDIRIM Danışman. Tez Jürisi Üyeleri. Prof. Dr. Halit GÜNDOĞAN. Yrd. Doç. Dr. Mehmet YILDIRIM. Yrd. Doç. Dr. Hakan ŞİMŞEK.

(3) ÖZET. BİR RİEMANN MANİFOLDUNUN BAZI ÖZEL ALTMANİFOLDLARI. ATUÇURAN, RECAİ Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mehmet YILDIRIM Haziran 2008, 120 sayfa. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır. İkinci bölümde diferensiyellenebilir manifoldlar ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, M Riemann manifoldunun M altmanifoldunda bir Z M vektör alanı ile ilişkili Z-umbilik, total Z-geodezik ve Z-minimal altmanifoldlar gibi, altmanifoldların bazı özel türleri sunulmuştur. Ayrıca, M ve M ′ nün M Riemann manifoldunun hiperyüzeyleri olduğunu varsayarak, eğer F I. ve II. temel formları koruyan M den M ′ ye bir diffeomorfizm ise o zaman F nin hiperyüzeylerin Z-umbilik, total Z-geodezik ve Z-minimal özelliklerini koruduğu gösterilmiştir. Son bölüm tartışma ve sonuç için ayrılmıştır. Anahtar kelimeler: Riemann manifoldu, Z-umbilik, total Z- geodezik ve Z-minimal altmanifoldlar.. i.

(4) ABSTRACT. ON SPECIAL SUBMANIFOLDS OF A RIEMANNIAN MANIFOLD. ATUÇURAN, RECAİ Kırıkkale University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, M. Sc. Thesis Advisor: Asst. Prof. Dr. Mehmet YILDIRIM June 2008, 120 pages This thesis consist of four chapters. The first chapter is reserved for introduction. The basic concepts about differentiable manifolds are given in the second chapter. In the third chapter, some special type of submanifolds such as Z-umbilical, totally Z-geodesic and Z-minimal submanifolds associated with an M -vector field Z on a submanifold M of a Riemannian manifold M are presented. In addition, supposing M and M ′ are hypersurfaces of a Riemannian manifold M it is shown that if F is a diffeomorphism from M onto M ′ and preserves the first and second fundamental forms then F preserves the Z-umbilical, totally Z-geodesic and Z-minimal properties of the hypersurface. The final chapter is reserved for discussion and conclusion. Key words: Riemannian manifold, Z-umbilical, totally Z-geodesic and Z-minimal submanifolds.. ii.

(5) TEŞEKKÜR. Bu çalışma ile ilgili her çeşit bilgi, teşvik ve yardımlarını esirgemeyen hocam, Sayın Yrd. Doç. Dr. Mehmet YILDIRIMA’a teşekkür ederim. Ayrıca çalışmam esnasında yakın ilgi ve yardımını gördüğüm Sayın Doç. Dr. Hasan ERBAY’a teşekkür ederim.. iii.

(6) İÇİNDEKİLER. ÖZET........................................................................................................................... 1 ABSTRACT ............................................................................................................... İİ TEŞEKKÜR ............................................................................................................ İİİ İÇİNDEKİLER ........................................................................................................İV 1. GİRİŞ ...................................................................................................................... 1 1.1. Kaynak Özetleri ...................................................................................... 1 1.2. Çalışmanın Amacı................................................................................... 1 2. MATERYAL VE YÖNTEM................................................................................. 4 2.1. Topolojik Kavramlar.............................................................................. 4 2.2. IR n de Diferensiyellenebilme................................................................. 9 2.3. Diferensiyellenebilir Manifoldlar ........................................................ 13 2.4. Diferensiyellenebilir Fonksiyonlar ...................................................... 27 2.5 Bir Manifold Üzerinde Türev ............................................................... 31 2.6. Türev Dönüşümü .................................................................................. 35 2.7. Tensörler................................................................................................ 43 2.8. Riemann Manifoldu.............................................................................. 46 2.9. Altmanifoldlar....................................................................................... 47. iv.

(7) 3. ARAŞTIRMA BULGULARI.............................................................................. 65 3.1. Giriş........................................................................................................ 65 3.2. Başlangıç ................................................................................................ 65 3.3. Z-Umbilik Altmanifold......................................................................... 85 3.4. Total Z-Geodezik Altmanifold............................................................. 87 3.5. Z-Minimal Altmanifold ........................................................................ 91 3.6. Konneksiyonu Koruyan Dönüşüm .................................................... 100 4. TARTIŞMA VE SONUÇ................................................................................... 113 KAYNAKLAR ....................................................................................................... 120. v.

(8) 1. GİRİŞ. 1.1. Kaynak Özetleri. Temel kavramlar için Differentiable manifolds topolojik kavramlar için Topoloji manifolds. (1). (3). (1). , Lineer Cebir. (4). ve. adlı kitaplardan faydalanılmıştır. Differentiable. adlı kitapta diferensiyellenebilir manifoldlar ele alınmıştır. Total Mean. Curvature and Submanifolds of Finite Type. (5). adlı kitabın, altmanifoldlar. bölümünden total umbilik, total jeodezik, minimal altmanifoldlar kavramlarına yer verilmiştir. On special submanifolds of a Riemannian manifold. (6). isimli makaleden. de yararlanılarak umbilik, total jeodezik, minimal altmanifoldların daha özel halleri olan Z-umbilik, total Z-geodezik ve Z-minimal altmanifoldlar kavramlarına ulaşılmıştır.. 1.2. Çalışmanın Amacı. M Riemann manifoldunun M altmanifoldu üzerinde, M nin normal ve teğet. uzayları gözönüne alınarak, genelleştirilmiş Gauss denklemi, şekil operatörü, ikinci temel tensör, asli eğrilikler, asli eğrilik vektör alanları, eğrilik çizgisi, geodezik eğrilikler, normal eğrilik, ortalama eğrilik, umbilik altmanifold, total geodezik altmanifold, minimal altmanifold gibi kavramlar tanımlanabiliyor. Örneğin M nin bir hiperyüzey olması halinde şekil operatörü,. N ∈ χ⊥ (M ). olmak üzere. ∀X ∈ χ ( M ) için A ( X ) = ∇ X N şeklinde verilebilmektedir. Bu şekilde tanımlanan. 1.

(9) A lineer dönüşümünün bazı özellikleri yardımıyla M. nin geometrisinin ne. olduğunu anlayabiliyoruz. Bunlardan birini şöyle söyleyebiliriz: Eğer M nin bir p noktasında ξ normal vektör alanı olmak üzere Aξ = λ I olacak şekilde M de λ reel fonksiyonu varsa o zaman M , ξ ye göre umbiliktir denir. Altmanifoldlar için şöyle bir soru sorulabilir.. M. nin geometrisi. oluşturulurken normal vektör alanları yerine herhangi bir vektör alınıp M için bazı geometrik sonuçlar elde edilebilir mi? Bu sorunun cevabı Agashe, N. S. and Chafle, M. R., tarafından yazılmış olan On special submanifolds of a Riemannian Manifold isimli çalışmada verilmiştir. Bu makalede M nin bir M altmanifoldunda tanımlı Z vektör alanı alınmış ve literatürde bilinen altmanifold geometrisinin bir benzeri olarak bazı sonuçlar elde edilmiştir. Örneğin, eğer M de herbir X tanjant vektör alanı için, tan ∇ X Z = ∇ X ZT − AZ N X = λ X ise M altmanifoldu Z-umbilik olarak isimlendirilmiştir. Riemann manifoldunun altmanifoldu üzerinde tanımlı ama Riemann manifoldu üzerinde aldığımız bir C ∞ Z − vektör alanına göre bu verilen kavramlar bu. şekilde. yeniden. tanımlanacaktır.. Buradan. da Riemann. manifoldunun,. genelleştirme yapılarak elde edilmiş olan olan Z-umbilik, total Z-geodezik ve Zminimal altmanifoldları elde edilecektir.. Genelleştirme yapılarak elde edilen bu özel altmanifoldların ve ilgili kavramların hangi altmanifold ve kavramların genelleştirilmişleri oldukları tartışılarak, sonuçlar elde edilecektir.. 2.

(10) Bundan başka M ve M ′ , M Riemann manifoldunun hiperyüzeyleri olmak üzere, F I. ve II. temel formları koruyan M den M ′ ye bir diffeomorfizm ise F nin, hiperyüzeylerin Z-umbilik, total Z-geodezik ve Z-minimal özelliklerini koruduğu gösterilecektir.. 3.

(11) 2. MATERYAL ve YÖNTEM. Diferensiyel geometrinin en temel kavramı olan diferensiyellenebilir manifoldlar bir yandan topolojik uzaylar iken diğer yandan da diferensiyellenebilir bir yapıya sahiptir. Bu nedenle bu çalışmada temel kavramlar olarak topolojik kavramlar, Öklid uzayları arasında diferensiyellenebilme ve diferensiyellenebilir manifold kavramı verilecektir. Ayrıca çalışmanın konusu itibariyle altmanifold kavramı da hatırlatılacaktır.. 2.1. Topolojik Kavramlar. A ≠ ∅ , B ≠ ∅ olmak üzere f : A → B bir fonksiyon olsun. f nin tanım. kümesi Dom f ⊆ A ve değer kümesi range f ⊆ B ile gösterilecektir.. Tanım 2.1.1: f : A → B bir fonksiyon olmak üzere eğer, Dom f = A ise f ’ ye global fonksiyon denir(1). Dom f = U olmak üzere U ∩ V ≠ ∅ olacak şekilde bir V cümlesi verilsin.. f. V. :U ∩V → B x→ f. Şeklinde tanımlı f. V. V. ( x) = f ( x). fonksiyonuna f ’ nin V cümlesine kısıtlanmışı denir.. Tanım 2.1.2: A1 ≠ ∅, A2 ≠ ∅ iki cümle olsun.. 4.

(12) A1 × A2 =. {( a , a ) a ∈ A , i = 1, 2} 1. 2. i. i. cümlesine A1 ve A2 cümlelerinin kartezyen çarpımı denir.. Pi : A1 × A2 → Ai a = ( a1 , a2 ) → Pi ( a ) = ai , i = 1, 2 fonksiyonuna i. izdüşüm fonksiyonu denir(1).. Tanım 2.1.3: A ≠ ∅ bir cümle olmak üzere, id : A → A x → id ( x ) = x şeklinde tanımlanan dönüşüme A cümlesi üzerinde özdeşlik dönüşümü denir(4).. Tanım 2.1.4: S ≠ ∅ cümlesinin alt cümlelerinin bir ailesi τ olsun. Eğer, i ) ∅ ∈τ , S ∈τ ii ) τ ya ait sonlu sayıdaki elemanların arakesiti yine τ ya aittir; yani, A1 , A2 , , An ∈τ için. n. ∩ A ∈τ , i. i =1. iii ) τ ya ait keyfi sayıdaki elemanların birleşimi yine τ ya aittir; yani, n. ∀ { Ai }i∈I ⊂ τ için ∪ Ai ∈τ i =1. aksiyomları sağlanıyorsa τ ailesine S üzerinde bir topoloji,. ( S ,τ ). ikilisine de. topolojik uzay denir. τ nun elemanlarına S’ nin açık alt cümleleri denir(3).. Tanım 2.1.5: S ≠ ∅ bir cümle ve β , S ’nin bir alt cümlelerinin bir ailesi olsun. Eğer, n. i). ∪B. i. = S , ∀Bi ∈ β. i =1. 5.

(13) n. ii ) ∀B1 , B2 ∈ β , B1 ∩ B2 ≠ ∅ iken B1 ∩ B2 = ∪ Bi i =1. özellikleri sağlanırsa β ’ya S üzerinde bir topoloji için bir baz, β ’nın elemanlarına da temel açık cümleler denir(3).. β bazındaki temel açık cümlelerin birleşimi olarak yazılabilen S ’nin boş cümleden farklı elemanlarına, S ’de β bazından elde edilen topolojiye göre açık cümleler denir(3).. Tanım 2.1.6: ( S ,τ ) bir topolojik uzay ve s ∈ S olsun. s ∈ A ve A ∈τ olacak şekilde bir A cümlesi varsa A’ya s ’nin bir açık komşuluğu denir(3). Çalışmanın bundan sonraki kısmında aksi belirtilmedikçe komşuluk denildiğinde açık komşuluk kasdedilecektir. Ayrıca s ’nin komşuluk ailesi N ( s ) ile gösterilirse, N ( s ) = { A ∈τ s ∈ A}. dir.. β ( s ) ⊂ N ( s ) ailesi verilsin.Eğer ∀V ∈ N ( s ) için U ⊂ V olacak şekilde ∃U ∈ β ( s ) varsa bu β ( s ) ailesine s ∈ S noktasında bir baz veya s ∈ S noktasında komşuluklar tabanı denir(3).. Tanım 2.1.7: S ve T herhangi iki topolojik uzay ve f : S → T bir fonksiyon olsun. Eğer ∀V ∈ N ( f ( s ) ) için f (U ) ⊂ V olacak şekilde ∃U ∈ N ( s ) varsa f ’ye s ∈ S noktasında süreklidir denir(3).. 6.

(14) Tanım 2.1.8: S ve T herhangi iki topolojik uzay ve f : S → T bir fonksiyon olsun. ∀U ⊂ Dom f açık iken f (U ) ⊂ T açık ise f ’ye açık fonksiyon denir(3).. Tanım 2.1.9 :. S ve T herhangi iki topolojik uzay ve f : S → T bir fonksiyon. olsun. f ; 1:1, örten, sürekli ve açık ise f ’ye bir homeomorfizm denir(3).. Tanım 2.1.10 : (Kapalı Cümle). ( S ,τ ). topolojik uzay olsun. S − U ∈τ olacak. şekilde bir U ⊂ S cümlesine τ kapalıdır denir. Kapalı cümlelerin ailesi τ c ile gösterilecektir.(3).. Tanım 2.1.11 : (Kapanış, İç, Sınır) ( S ,τ ) topolojik uzay ve A ⊂ S olsun. A nın içi 0. A ile gösterilir ve, 0. A = ∪ {U U ⊂ A, U ∈τ } olarak tanımlanır. A ’nın kapanışı A ile gösterilir ve,. A = ∩ {U A ⊂ U , U ∈τ c } olarak tanımlanır. A ’nın sınırı ∂A ile gösterilir ve, ο. ∂A = A − A olarak tanımlanır(3).. Tanım 2.1.12: (Alt Uzay Topolojisi) ( S ,τ ) topolojik uzay ve A ⊂ S olsun.. τ 1 = { A ∩ U U ∈τ } ⊂ P ( A) olmak üzere τ 1 , A üzerinde bir topolojidir.. ( A,τ 1 ). topolojik uzayına ( S ,τ ) topolojik uzayının bir alt uzayı denir (3).. 7.

(15) Tanım 2.1.13: (Ayırma Aksiyomları). ( S ,τ ) topolojik uzay olsun. T1 Ayırma Aksiyomu : p ≠ q olacak şekildeki ∀p, q ∈ S için ∃U ∈ N ( p ) , ∃V ∈ N ( q ) ∋ p ∉ V , q ∉ U şartı sağlanıyorsa, ( S ,τ ) topolojik uzayı, T1 Ayırma aksiyomunu sağlar denir(3). T2 Ayırma Aksiyomu : p ≠ q olacak şekildeki ∀p, q ∈ S için ∃U ∈ N ( p ) , ∃V ∈ N ( q ) ∋ U ∩ V = ∅ sartı sağlanıyorsa, ( S ,τ ) topolojik uzayı, T2 Ayırma aksiyomunu sağlar denir(3). T2 ’yi sağlayan bir uzaya Hausdorff Uzayı da denir(3).. Tanım 2.1.14: ( S ,τ ) topolojik uzay ve ϕ ⊂ τ olsun.. ∪U = S. ise ϕ ’ye S’nin bir açık örtüsü denir. S’nin ϕ1 ⊂ ϕ olacak şekilde ϕ1 açık. U ∈ϕ. örtüsü varsa ϕ1 ’e, ϕ ’nin alt örtüsü denir(3).. Tanım 2.1.15 : ( S ,τ ) topolojik uzay olsun. S’nin her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa ( S ,τ ) ’ya kompakt topolojik uzay denir(3).. Tanım 2.1.16: (Lokal Kompakt Uzay). ( S ,τ ). topolojik uzay olsun. S ’nin her. noktasının kapanışı kompakt olan bir komşuluğu varsa, S’ye lokal kompakt uzay denir(3).. 8.

(16) Tanım 2.1.17:. ( S ,τ ). topolojik uzay olsun. S ayrık açık cümlelerin birleşimi. şeklinde yazılamıyorsa S ’ye bağlantılıdır veya irtibatlıdır denir(3).. Tanım 2.1.18: ( S ,τ ) topolojik uzay olsun. S ’nin her noktasının sayılabilir komşulukları varsa ( S ,τ ) topolojik uzayına sayılabilirliliğin birinci aksiyomunu sağlar denir. S sayılabilir bir baza sahipse, ( S ,τ ) topolojik uzayına sayılabilirliliğin ikinci aksiyomunu sağlar denir(3).. 2.2. IR n de Diferensiyellenebilme. Tanım 2.2.1 : U ⊂ IR n bir açık altcümle p ∈ U , f : IR n → IR bir fonksiyon ve u1 , u2 ,… , un IR n nin koordinat fonksiyonları olsun. 1 ≤ i ≤ n olmak üzere, her bir i için lim. f ( p1 , , pi + t , , pn ) − f ( p1 , , pn ). t →0. t. limiti mevcut ise bu limite f nin p = ( p1 , , pn ) noktasında i . kısmi türevi denir ve ∂f ∂ui. ile gösterilir. p. f nin 1 ≤ i ≤ n olmak üzere 1. mertebeden. ∂f ∂ui. kısmi türevleri var ve bu p. türev fonksiyonları sürekli ise, f fonksiyonuna p ∈ U noktasında 1. mertebeden diferensiyellenebilirdir denir.. 9.

(17) f bir p ∈ U noktasında her mertebeden diferensiyellenebilir ise, f ye C ∞ − fonksiyon denir(1). f , U nun her bir noktasında C ∞ fonksiyon ise f ye U da C ∞ fonksiyon denir. U ⊂ IR n açık altcümlesi üzerinde reel değerli bütün diferensiyellenebilir fonksiyonların cümlesi C ∞ (U ) ile gösterilecektir.. →. Tanım 2.2.2: f : E n → IR diferensiyellenebilir ve vP ∈ TP E n olsun. Bu durumda →. →. vP = PQ olmak üzere; →. vP [ f ] =. (. d f ( P1 + t ( Q1 − P1 ) , , Pn + t ( Qn − Pn ) ) dt. ). t =0. →. reel sayısına f nin vP yönünde türevi denir(2).. →. Teorem 2.2.1: v = ( v1 , v2 , , vn ) ∈ IR n , P ∈ E n ve f : E n → IR diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. Bu durumda, →. n. vP [ f ] = ∑ vi i =1. ∂f ∂xi. P. dir.. Sonuç 2.2.1: x1 , , xn fonksiyonları, E n nin koordinat fonksiyonları olmak üzere, her j = 1, , n için. 10.

(18) →. n. ∂x j. i =1. ∂xi. vP  x j  = ∑ vi. P. n. = ∑ vi δ ji i =1. P. = vj dir (2).. Tanım 2.2.3: U ⊂ IR n açık bir altcümle olmak üzere f : U → IR m p → f ( p ) = ( f1 ( p ) , f 2 ( p ) , , f m ( p ) ) = ( f1 , f 2 , , f m )( p ) bir fonksiyon, ui : IR m → IR, 1 ≤ i ≤ m. ( q1 , q2 , , qm ) → qi koordinat fonksiyonları olmak üzere. ( ui f ) =. f i : IR n → IR. dir. f i fonksiyonlarına f nin bileşenleri denir. Burada 1 ≤ i ≤ m için ∀f i , p ∈ U = Dom f de diferensiyellenebilir ise f ye p de diferensiyellenebilirdir denir. f , U daki herbir p noktasında diferensiyellenebilir ise f ye U da diferensiyellenebilirdir denir. Buna göre, f ∈ C ∞ dur gerek ve yeter koşul 1 ≤ i ≤ m olmak üzere f i ∈ C ∞ (U ) olmasıdır (1). Tanım 2.2.4: m × n -tipinden reel matrislerin cümlesi M ( m × n, R ) ile gösterilsin.. 11.

(19) f : R n → R m bir C ∞ fonksiyon olmak üzere,. J f : R n → M ( m × n, R )  ∂f  p → J f ( p ) = J ( f , p ) =  i ( p )  ∂x j  m×n ile tanımlanan J ( f , p ) matrisine p ∈ R n noktasında f fonksiyonunun Jakobiyen matrisi denir(1).. Tanım 2.2.5: f : IR n → IR n bir fonksiyon olsun. Eğer, i ) f , 1:1, ii ) f diferensiyellenebilir, iii ) f −1 de diferensiyellenebilir, ise f fonksiyonuna bir diffeomorfizm adı verilir (1).. Teorem 2.2.2: (İnvers Fonksiyon Teoremi) f : R n → R n bir diferensiyellenebilir fonksiyon ve bir p ∈ Domf için. det ( J ( f , p ) ) ≠ 0 ise ∃V ∈ N ( p ) vardır öyle ki f. V. bir diffeomorfizmdir(1).. Tanım 2.2.6: f : R n → R n diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer, ∀p ∈ Dom f. için ∃V ∈ N ( p ) için f. diffeomorfizm denir(1).. 12. V. diffeomorfizm ise f ’ye lokal.

(20) 2.3. Diferensiyellenebilir Manifoldlar. Tanım 2.3.1: M ≠ ∅ bir cümle olsun. x : M → R n bir fonksiyon ve Dom x = U ⊂ M olmak üzere, x fonksiyonu için H1 ) x, 1:1 dir, H 2 ) range x ⊂ R n açıktır, önermeleri doğru ise x e M de n-boyutlu bir harita denir ve (U , x ) ile gösterilir(1).. Tanım 2.3.2 : M bir cümle ve (U , x ) , M nin n-boyutlu bir haritası olsun. ui , R n nin i. koordinat fonksiyonu olmak üzere xi = ui x fonksiyonuna M haritasına göre i. koordinat fonksiyonu denir (1 ≤ i ≤ n ) .. 13. nin. (U , x ).

(21) Tanım 2.3.3: M ≠ ∅ bir cümle, (U , x ) ve (V , y ) M de U ∩ V ≠ ∅ olacak şekilde iki harita olsun.. Eğer. y x −1 : IR n → IR n fonksiyonu bir C k − diffeomorfizm. (U , x ) ve (V , y ). ise M de. haritaları C k − uyumludur veya C k − bağdaşabilirdir denir(1).. {. }. Tanım 2.3.4 : M ≠ ∅ bir cümle ve A = (U i , xi ) i ∈ I , M ’ nin haritalarının bir koleksiyonu olsun. Eğer,. A1 ) ∪ U i = M i∈I. A2 ) ∀i, j ∈ I için U i ∩ U j ≠ ∅ olacak şekildeki ∀ (U i , xi ) , (U j , x j ) ∈ A haritaları C k − uyumlu ise A ya M nin bir C k − atlası denir(1). Eğer A2 koşulu k ∈ IN için sağlanıyorsa A ya M nin bir C ∞ − atlası denir. 14.

(22) Örnek 2.3.1:     2 S =  z = ( z1 , z2 ) ∈ IR z = 1    z12 + z22 =1  1. {. }. U1 = z = ( z1 , z2 ) ∈ S 1 z2 > 0 için, x1 : U1 → IR. z = ( z1 , z2 ) → x1 ( z ) = z1. 15.

(23) H1 ) x1 , 1:1 dir.. H 2 ) x1 (U1 ) = ( −1,1) ⊂ IR açık ⇒ (U1 , x1 ) , S 1 in bir haritasıdır.. {. }. U 2 = z = ( z1 , z2 ) ∈ S 1 z2 < 0 için, x2 : U 2 → IR. z = ( z1 , z2 ) → x2 ( z ) = z1. H1 ) x 2 , 1:1 dir.. H 2 ) x 2 (U 2 ) = ( −1,1) ⊂ IR açıktır. ⇒ (U 2 , x2 ) , S 1 in bir haritasıdır.. {. }. U 3 = z = ( z1 , z2 ) ∈ S 1 z1 > 0 için, x3 : U 3 → IR. z = ( z1 , z2 ) → x3 ( z ) = z2. 16.

(24) H1 ) x 3 , 1:1 dir.. H 2 ) x3 (U 3 ) = ( −1,1) ⊂ IR açıktır. ⇒ (U 3 , x3 ) , S 1 in bir haritasıdır.. {. }. U 4 = z = ( z1 , z2 ) ∈ S 1 z1 < 0 için, x4 : U 4 → IR. z = ( z1 , z2 ) → x4 ( z ) = z2. 17.

(25) H1 ) x 4 , 1:1 dir.. H 2 ) x4 (U 4 ) = ( −1,1) ⊂ IR açıktır. ⇒ (U 4 , x4 ) , S 1 in bir haritasıdır.. A = {(U1 , x1 ) , (U 2 , x2 ) , (U 3 , x3 ) , (U 4 , x4 )} , S 1 in bir C ∞ atlasıdır. Gerçekten, 4. A1 ) ∪ ∪ i = S 1 dir. i =1. A2 ). U1 ∩ U 2 = ∅  U1 ∩ U 3 ≠ ∅ , U1 ∩ U 4 ≠ ∅   ve  olduğundan bu bilgilerle U3 ∩U 4 = ∅  U 2 ∩U3 ≠ ∅ , U 2 ∩U4 ≠ ∅ . ilgili haritalar uyumlu olmalıdır.. {. }. U1 ∩ U 3 ≠ ∅ ve U 1 ∩ U 3 = ( z1 , z 2 ) ∈ S 1 z 2 > 0, z1 > 0 dir.. 18.

(26) (. ). t → ( x3 x1−1 ) ( t ) = x3 ( x1−1 ( t ) ) = x3 t , 1 − t 2 = 1 − t 2 x3 x1−1 : ( 0,1) → ( 0,1) t → 1− t2. (x. 3. süreksiz. ′ x1−1 ) ( t ) = olduğu. (. 1− t2. yerler. ′. )=. −t 1− t2. t = −1 ∉ (0,1) ve t = +1 ∉ (0,1). olduğundan. x3 x1−1. (U1 , x1 ) , (U 3 , x3 ). haritaları. fonksiyonunun (0,1) de türevi var ve süreklidir. Dolayısıyla, x3 x1−1 : ( 0,1) → ( 0,1) t → 1− t2 diferensiyellenebilirdir. Benzer şekilde. (x. 3. x1−1 ) = x1 x3 −1 : ( 0,1) → ( 0,1) −1. t → 1− t2 fonksiyonu da diferensiyellenebilirdir. Böylece x1 x3−1 fonksiyonu bir diffeomorfizm olup uyumludur. Benzer şekilde. (U1 , x1 ) (U 2 , x2 ) (U 2 , x2 ). ile (U 4 , x4 )   ile (U 3 , x3 )  haritaları da uyumludur.  ile (U 4 , x4 ) . A = {(U1 , x1 ) , (U 2 , x2 ) , (U 3 , x3 ) , (U 4 , x4 )} , S 1 in bir C ∞ − atlasıdır.. 19.

(27) Örnek 2.3.2:. S1 =. {( cos 2π s, sin 2π s ) s ∈ IR}. V1 = {(cos 2πs, sin 2πs ) 0 < s < 1} ⊂ S 1 için, y1 : V1 → IR. (cos 2πs, sin 2πs ) → s ∈ (0,1). 20.

(28) H1 ) y1 , 1:1 dir. H 2 ) y 1 (V1 ) = (0,1) ⊂ IR de açıktır, dolayısıyla (V1 , y1 ) , S 1 in bir haritasıdır.. 1 1  V2 = (cos 2πs, sin 2πs ) − < s <  ⊂ S 1 için, 2 2  y2 : V2 → IR. (cos 2πs, sin 2πs ) → s ∈  − 1 , 1   2 2. H1 ). y2 , 1:1 dir..  1 1 H 2 ) y 2 (V2 ) =  − ,  ⊂ IR de açıktır,  2 2 dolayısıyla (V2 , y2 ) , S 1 in bir başka haritasıdır.. 21.

(29) A2 = {(V1 , y1 ) , (V2 , y2 )} , S 1 in bir C ∞ haritasıdır. Gerçekten, A1 ) V1 ∪ V2 = S 1 dir.. A2 ) V1 ∩ V2 = S 1 − {( −1, 0 ) , (1, 0 )} ≠ Ø. 22.

(30) s → y2 ( y1−1 ( s ) ) = y2 ( cos 2π s,sin 2π s ) = s  1  1 y2 y1−1 :  0,  →  0,  özdeşlik dönüşümüdür. Dolayısıyla diffeomorfizmdir.  2  2 s→s. s → y2 ( y1−1 ( s ) ) = y2 ( cos 2π s,sin 2π s ) = s − 1 1   1  y2 y1−1 :  , 0  →  − , 0  dönüşümü de diffeomorfizmdir. 2   2  s → s −1. (V1 , y1 ), (V2 , y 2 ) haritaları uyumludur. O halde , A2 = {(V1 , y1 ) , (V2 , y2 )} , S 1 in bir başka C ∞ atlasıdır.. Tanım 2.3.5: M ≠ Ø bir cümle ve A1 ve A2 M de iki C k − atlas olsun. Eğer. A1 ∪ A2 de M de bir C k − atlas ise bu iki atlasa birbirine denk atlaslar denir(1).. Örnek 2.3.3:. {. } {( cos 2π s,sin 2π s ) s ∈ R}. S 1 = z = ( z1 , z2 ) ∈ R 2 z12 + z2 2 = 1 =. olmak üzere örnek. 2.3.1 ve örnek 2.3.2 de A1 ve A2 , S 1 in birer C ∞ − atlasları oldukları gösterilmişti.. 23.

(31) Şimdi de A1 ve A2 C ∞ − atlaslarının denk atlaslar olduklarını gösterelim. Yani. A1 ∪ A2 nin S 1 in bir C ∞ − atlası olduğu gösterilecektir. A1 ∪ A2 = {(U1 , x1 ) , (U 2 , x2 ) , (U 3 , x3 ) , (U 4 , x4 ) , (V1 , y1 ) , (V2 , y2 )} ve. Vi ∩ U j ≠ Ø i = 1,2 , j = 1,2,3,4 olmak üzere,. V1 ∩ U1 ≠ Ø için (V1 , y1 ) ve (U1 , x1 ) haritalarının uyumlu olduklarını gösterelim.. 24.

(32) olup ( x1 y1−1 ) ( s ) = cos 2π s dir.. x1 y1−1 bir trigonometrik fonksiyon olduğundan süreklidir. Ayrıca. d ( x1 y1−1 ) ds. =. d ( cos 2π s ) ds. = −2π .sin 2π s. süreklidir. Böylece x1 y1−1 bir diffeomorfizmdir. (U1 , x1 ) , (V1 , y1 ) haritaları uyumludur.. Benzer şekilde (Vi , yi ) , (U j , x j ) , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 4 haritaları da uyumludur. O halde A1 ∪ A2 de S 1 in bir C ∞ − atlasıdır. Bu durum A1 ve A2 atlaslarının denk olması anlamına gelir.. −. Bir M cümlesi üzerinde tanımlı diferensiyellenebilir atlasların cümlesi A olsun. Buna göre,. A = { A A, M için bir diferensiyellenebilir atlas} yazılabilir.. Teorem 2.3.1: A üzerinde,. β = {( A1 , A2 ) A1 ∪ A2 ∈ A} şeklinde tanımlı β bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.. İspat:. 25.

(33) i.) ∀A ∈ A için A ∪ A = A ∈ A. olduğundan. ( A, A)∈ β olup, β. yansıma. özelliğine sahiptir.. ii.) ∀ ( A1 , A2 ) ∈ β için,. A1 ∪ A2 ∈ A ⇒ A2 ∪ A1 ∈ A ⇒ ( A2 , A1 ) ∈ β olup, β nın simetri özelliği vardır.. iii.) ( A1 , A2 ) ∈ β ve ( A2 , A3 ) ∈ β olsun.. ( A1 , A2 ) ∈ β ⇒ A1 ∪ A2 ∈. A dir.. ( A2 , A3 ) ∈ β ⇒ A2 ∪ A3 ∈. A. dir.. A1 için (U i , xi ) , A2 için (V j , y j ) , A3 için (Wk , zk ) alındığında, β bağıntısının tanımından, y j xi−1 ve zk y j −1 birer diffeomorfizm olduğu bilinmektedir. Bu iki fonksiyonun bileşkesi olan,. (z. k. y j −1 ) ( y j xi−1. )=z. k. xi−1. fonksiyonu bir diffeomorfizm olup, β bağıntısı geçişme özelliğine sahiptir.. A üzerinde yukarıdaki gibi tanımlanan β bağıntısı, A cümlesini denklik sınıflarına ayırır. Bu bağıntıya göre her bir denklik sınıfına M üzerinde bir diferensiyellenebilir. yapı denir. Bu yapı ile birlikte M ye n-boyuttan bir diferensiyellenebilir C k manifold denir. Eğer ∀k ∈ IN için M , C k manifold ise M ye C ∞ manifold denir.. 26.

(34) 2.4. Diferensiyellenebilir Fonksiyonlar. Tanım 2.4.1: M 1 n-boyutlu, M 2 m-boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar ve f : M1 → M 2 bir fonksiyon olsun. (U , x ) ve (V , y ) sırasıyla M 1 ve M 2 de birer harita olmak üzere,. F = y f x −1 fonksiyonuna,. f. fonksiyonunun verilen haritalara göre. koordinat temsilcisi denir. Eğer. F,. x ( p ) ∈ IR n. de diferensiyellenebilir ise. f ’ye. p ∈ U ⊂ M1. de. diferensiyellenebilirdir denir. (1). Teorem 2.4.1: M 1 ve M 2 sırasıyla n- boyutlu ve m-boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar olmak üzere,. 27.

(35) f : M 1 → M 2 bir fonksiyon ve p ∈ Dom f olsun. f ’nin p ’deki diferensiyellenebilirliği seçilen haritalardan bağımsızdır(1).. İspat : (U , x ) , (U ′, x′ ) , M 1 de p yi içeren haritalar ve (V , y ) , (V ′, y ′ ) , M 2 de f ( p ) yi içeren haritalar olsun.. F = y f x −1 ve G = y′ f x′−1 olmak üzere,. F , x ( p ) de diferensiyellenebilir ise G, x ′ ( p ) de diferensiyellenebilirdir. G nin x (U ∩ U ′ ) kısıtlanmasıyla G = ( y′ y −1 ) F ( x′ x −1 ) elde edilir.. (U ′, x′ ) ,. M 1 de haritalar ve U ∩ U ′ ≠ ∅ olduğundan uyumludurlar.. 28. (U , x ). ve.

(36) O halde x′ x −1 diffeomorfizmdir. Benzer şekilde y′ y −1 de diffeomorfizmdir.. x′ x −1 , y′ y −1 ve F , diferensiyellenebilir olduğundan, G = ( y′ y −1 ) F ( x′ x −1 ) de diferensiyellenebilirdir. O halde, f ’nin p ’deki diferensiyellenebilirliliği seçilen haritalardan bağımsızdır.. Tanım 2.4.2 : M 1 ve M 2 diferensiyellenebilir manifoldlar ve f : M 1 → M 2 bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. Eğer f , 1:1 ve f −1 de diferensiyellenebilir ise f ye bir diffeomorfizm adı verilir.. f. Eğer. bir global diffeomorfizm ( Dom f = M 1 , range f = M 2 ) ise. M 1 ve M 2 ye diffeomorfiktirler denir(1).. Örnek 2.4.1: M 1 = M 2 = IR olsun. x : M 1 → IR s→s. A1 = {( IR, id )} bir atlastır. Bu atlasın oluşturduğu diferensiyellenebilir manifold M 1 olsun.. y = M 2 → IR s → s3. A2 = {( IR, y )} bir atlastır. Bu atlasın da oluşturduğu diferensiyellenebilir manifold M 2 olsun.. 29.

(37) A1 ile A2 denk değildir. Denk olması için A1 ∪ A2 bir atlas olmalıdır. Fakat. x y −1 : y ( IR ) = IR → x ( IR ) = IR s→ 3 s dönüşümü s = 0 noktasında diferensiyellenebilir değildir. x y −1 diffeomorfizm değildir.. ( IR, x ) ve ( IR, y ). haritaları uyumlu olmadığından A1 ∪ A2 , IR için bir. atlas değildir.. Şimdi de M 1 ve M 2 nin diffeomorfik olduğunu göstereceğiz.. f : M1 → M 2 s→ 3 s F ( s ) = ( y f x −1 ) ( s ) = ( y f ) ( x −1 ( s ) ) = ( y f )( s ) = y. ( s) = s 3. olduğundan F = id olup F , IR de diferensiyellenebilirdir. O halde f , M 1 de diferensiyellenebilirdir. F , 1:1 olduğundan f , 1:1 dir.. G = id f −1 y −1 = f −1 y −1 olmak üzere,. G ( s ) = ( f −1 y −1 ) ( s ) = f −1. ( s) = s 3. eşitliğinden G = id olup G, IR de diferensiyellenebilirdir. Buna göre, f −1 , M 2 de diferensiyellenebilirdir. G, 1:1 olduğundan f −1 , 1:1 dir.. Sonuç olarak f : M 1 → M 2 bir diffeomorfizmdir. f , global olduğundan. M 1 ve M 2 diffeomorfiktirler.. 30.

(38) 2.5 Bir Manifold Üzerinde Türev. M bir diferensiyellenebilir manifold, A M nin bir C ∞ atlası olmak üzere,. (U , x ) ∈ A. olsun. f : M → IR diferensiyellenebilir fonksiyonu için Dom f = V ve. U ∩ V ≠ ∅ üzerinde f = F x olacak şekildeki bir F fonksiyonu (yani f nin koordinat temsilcisi) için F diferensiyellenebilir ise f de diferensiyellenebilir olduğu tanım 2.4.1 den bilinmektedir.. ui , IR n nin i. koordinat fonksiyonu olmak üzere,. F diferensiyellenebilir ise ∂F : x (U ∩ V ) ⊂ IR n → IR ∂ui fonksiyonları mevcuttur.. ∂f ∂F = x : U ∩ V ⊂ M → IR ∂xi ∂ui. 31.

(39) şeklinde tanımlı olup. Her. bir. ∂F ∂f ’ler lerin koordinat temsilcisidir. ∂ui ∂xi. i, 1 ≤ i ≤ n için. ∂F ∂ui. diferensiyellenebilir. olduğundan. ∂f ∂xi. de. diferensiyellenebilirdir. O halde f de diferensiyellenebilirdir.. Tanım 2.5.1:. ∂f ∂F = x fonksiyonuna f fonksiyonunun i. kısmi türevi denir(1). ∂xi ∂ui. Teorem 2.5.1: M bir diferensiyellenebilir manifold, f : M → IR , g : M → IR diferensiyellenebilir fonksiyonlar ve a, b ∈ R olsun. Bu durumda. i). ∂ ∂f ∂g ( af + bg ) = a + b ∂xi ∂xi ∂xi. ii ). ∂ ∂f ∂g ( f .g ) = .g + f . ∂xi ∂xi ∂xi. dir(1). M , n − boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold ve p ∈ M olsun. M üzerinde tanım cümleleri p yi içeren M den IR ye diferensiyellenebilir bütün fonksiyonlarının cümlesi ℑ ( p ) olsun. difbilir ℑ ( p ) = { f f : M  → IR, p ∈ Domf }. şeklinde tanımlı cümle, üzerinde tanımlı toplama ve skalerle çarpma işlemleri ile birlikte bir reel vektör uzayı oluşturur. + : ℑ( p) × ℑ( p) → ℑ( p). ( f ,g) →. difbilir f + g : M  → IR. p → ( f + g )( p ) = f ( p ) + g ( p ). 32.

(40) ⋅ : IR × ℑ ( p ) → ℑ ( p ). ( λ , f ) → λ. f. difbilir : M  → IR. p → ( λ . f )( p ) = λ f ( p ) üstelik, i: ℑ ( p ) × ℑ ( p ) → ℑ ( p ). ( f ,g) →. difbilir f i g : M  → IR. p → ( f i g )( p ) = f ( p )i g ( p ) iç işlemiyle birlikte ℑ ( p ) bir reel cebirdir.. Tanım 2.5.2: ℑ ( p ) de tanımlı bir IR − lineer fonksiyona ℑ ( p ) de bir lineer operatör denir(1). liner → IR L : ℑ ( p ) . f → L( f ). ∀a, b ∈ IR, ∀f , g ∈ ℑ ( p ) için L ( af + bg ) = aL ( f ) + bL ( g ). Tanım 2.5.3: Λ : ℑ ( p ) → R bir lineer operatör ve. ∀f , g ∈ ℑ ( p ) için Λ ( f .g ) = Λ ( f ) .g + f .Λ ( g ) ise Λ ye ℑ ( p ) ’nin bir türevi denir(1).. Teorem 2.5.2 : M bir diferensiyellenebilir manifold ve p ∈ M olsun. Tp M = {Λ Λ, ℑ ( p ) ' nin türevi} cümlesini göz önüne alalım. Bu cümle, aşağıda tanımlı toplama ve skalerle çarpma işlemleriyle birlikte bir reel vektör uzayıdır(1).. 33.

(41) + : Tp M × Tp M → Tp M. ( Λ, Ω ) → Λ + Ω : ℑ ( p ) → IR f → ( Λ + Ω )( f ) = Λ ( f ) + Ω ( f ) ⋅ : IR × Tp M → Tp M. ( λ , Λ ) → λ.Λ : ℑ ( p ) → IR f → ( λ.Λ )( f ) = λ .Λ ( f ). Tanım 2.5.4: Tp M vektör uzayına M nin p noktasındaki tanjant uzayı denir. Tp M nin elemanlarına da p noktasındaki tanjant vektörleri denir(1).. Örnek 2.5.1: v , IR 3 ’ de bir z noktasında bir vektör olsun.. v : ℑ ( z ) → IR 3 ∂f f → v ( f ) = ∑ vi . i ∂xi i =1. z. şeklinde tanımlanan v , ℑ ( z ) de türevdir. Gerçekten, i.) v , IR − lineerdir,. ∀a, b ∈ IR, ∀f , g ∈ ℑ ( z ) için, 3 ∂ ( af i + bg i ) v ( af + bg ) = ∑ vi . ∂xi i =1 z 3  a∂ ( f i ) + b∂ ( g i )  = ∑ vi .   ∂xi i =1   z 3 ∂ ( fi ) ∂ ( gi ) + b∑ vi ∂xi z ∂xi z i =1 i =1 = av ( f ) + av ( g ) 3. = a ∑ vi. ⇒ v ( af + bg ) = av ( f ) + av ( g ) dir. ii.) v , Leibniz şartını sağlar,. 34.

(42) ∀f , g ∈ ℑ ( z ) için, 3 ∂ ( fg ) v ( fg ) = ∑ vi . ∂xi z i =1 3  ∂f ∂g   = ∑ vi  i .g + f . i   ∂xi  z  i =1  ∂xi.  3 ∂f =  ∑ vi . i  i =1 ∂xi  = v ( f ) .g +.   3 ∂g g + f . .  z  v. i z ∑ i z   i =1 ∂xi f .v ( g ).   z . ⇒ v ( fg ) = v ( f ) .g + f .v ( g ) dir.. Teorem 2.5.3: M , n − boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold, (U , x ) M nin bir haritası ve p ∈ U olmak üzere (U , x ) ∈ A ise.  ∂ ∂ ,  ∂x ∂x2  1 p. , , p. ∂ ∂xn.    p. cümlesi Tp M nin bir bazıdır. Bu baza Tp M nin (U , x ) haritasına göre standart bazı denir (1).. 2.6. Türev Dönüşümü. M ve M ′ diferensiyellenebilir manifoldlar, φ : M → M ′ diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. p ∈ Dom φ ve φ ( p ) = p ′ olmak üzere,. 35.

(43) f ∈ ℑ ( p ′ ) ⇒ f φ ∈ ℑ ( p ) olduğu açıktır. Λ ∈ Tp M için, Λ : ℑ ( p ) → IR f φ → Λ( f φ ) şeklinde tanımlanan dönüşüm lineerdir ve Leibniz şartını sağlar. O halde Λ, ℑ ( p ) de bir türevdir.. φ∗ : Tp M → Tp′ M ′ p. Λ → φ∗ p ( Λ ) : ℑ ( p′ ) → IR. (. f → φ∗ p ( Λ ). ) ( f ) = Λ ( f φ ). şeklinde tanımlanan dönüşüm de lineerdir ve Leibniz şartını sağlar (1).. Tanım 2.6.1: Bu φ∗ p dönüşümüne, Tp M üzerinde φ nin p deki türev dönüşümü denir(1).. 36.

(44) φ∗ lineer olduğundan buna bir matris karşılık gelir. Şimdi bu matrisi yani p. Jakobiyen matrisi bulacağız.. x ve y sırasıyla p ∈ M ve φ ( p ) = p′ noktalarında birer harita olmak üzere. φ∗ : Tp M → Tp′ M ′ p. ∂ ∂xi. p.  ∂ → φ∗ p   ∂xi .  n′ ∂ =∑  j =1 ∂xi p . (y p. j. φ ). ∂ ∂y j. φ ( p). φ∗ ye karşılık gelen matris yani Jakobiyen matris J (φ , p ) ile gösterilirse, p.  ∂ ( y φ ) j J (φ , p ) =   ∂xi .   ∈ IR n′ n  p  n′×n. dir.. Teorem 2.6.1: M , M ′ ve M ′′ diferensiyellenebilir manifoldlar,. φ : M → M ′ ve ψ : M ′ → M ′′ diferensiyellenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda. 37.

(45) (ψ φ )∗ = ψ ∗ ( ) φ∗ φ p. p. p. dir(1).. Tanım. 2.6.2:. M ve M ′. diferensiyellenebilir. manifoldlar. ve. φ :M → M′. diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. p ∈ M olmak üzere φ∗ p lineer dönüşümünün rankı φ nin p deki rankı olarak tanımlanır (1).. Tanım 2.6.3:. ∪ T M = TM p. p∈M. şeklinde oluşturulan cümle M nin tanjant demeti olarak adlandırılır(1).. Tanım 2.6.4: M. ile M ′. diferensiyellenebilir. olsun.. diferensiyellenebilir manifoldlar ve φ : M → M ′ range φ. üzerinde. φ ψ = id olacak. şekilde. bir. ψ : M ′ → M diferensiyellenebilir fonksiyonu varsa ψ ye φ nin kesiti denir. (1).. Tanım 2.6.5: π : TM → M. π (V p ) = p şeklinde tanımlı bir dönüşüm ve bu. dönüşümün bir kesiti X olsun. Öyleki. ∀f ∈ C ∞ ( M , IR ) ve DomX ∩ Domf = U ≠ ∅ olmak üzere Xf : U ⊂ M → IR p → ( Xf )( p ) = X p f fonksiyonu her f için diferensiyellenebilir ise X kesitine U ⊂ M üzerinde bir vektör alanı denir(1).. 38.

(46) Tanım 2.6.5 den de anlaşıldığı gibi U ⊂ M cümlesi üzerinde tanımlı X vektör alanı X : M → TM her bir p ∈ U noktasında Tp M de X p vektörünü karşılık getirir. U ⊂ M açık altcümlesi üzerinde tanımlı vektör alanlarının kümesi χ (U ) ile gösterilecektir. χ (U ) , C ∞ (U , IR ) üzerinde bir modül olup bir lokal bazı  ∂  ∂  i 1 ≤ i ≤ n  dir. Buradan da anlaşıldığı gibi i kısmi türev operatörleri M de bir ∂x  ∂x  vektör alanıdır. Bu vektör alanlarına koordinat vektör alanları denir.. Tanım 2.6.6: M diferensiyellenebilir bir manifold ve M üzerinde reel değerli C 1 sınıfından bir fonksiyon f olsun. O zaman, f nin bir P ∈ M noktasındaki tam diferensiyeli diye,. ∀X P ∈ TP M için,. (df )( X ) = X P. P. şeklinde tanımlı df. P. P. f = XP[f ]. fonksiyonuna denir(2).. Tanım 2.6.6 dan n. dxi. X p ) = X p [ xi ] dir. X p = ∑ ξ i p( i =1.  ∂ Özel olarak dxi p   ∂x j . ∂ ∂xi. ise dxi. p. (X ) =ξ p. i. olduğu açıktır.. p.  1, i = j  = δ ij =  dir. 0, i ≠ j   p . M bir diferensiyellenebilir manifold olsun. p ∈ M noktasındaki tanjant uzayı Tp M bir vektör uzayı olduğundan cebirsel dualinden bahsedebiliriz.. 39.

(47) Tanım 2.6.7: Tp M nin cebirsel duali Tp∗ M ile gösterilsin. Tp∗ M ye M nin p ∈ M noktasındaki kotanjant uzayı denir. Tp∗ M nin her bir elemanına p ∈ M noktasında, kotanjant vektör adı verilir(2).. (U , x = ( x )) , M de i. {dx. i. bir harita olmak üzere.  ∂ 1 ≤ i ≤ n cümlesidir. Bu baz  i p  ∂x. }. p ∈U. ise Tp∗ M. in bir bazı.  1 ≤ i ≤ n  bazının dualidir.  p. Tanım 2.6.8: M diferensiyellenebilir manifoldunun p ∈ M noktasındaki kotanjant uzayı Tp∗ M olsun. Buna göre bir w: M →. ∪T. ∗ p. M. p∈M. fonksiyonu için özdeşlik π w : M → M. olacak şekilde bir. π : ∪ T p∗ M → M p∈M. fonksiyonu mevcut ise w ye M üstünde bir 1 − form denir. M üstünde 1-formların cümlesini χ ∗ M ile gösterilecektir.. χ ∗ M , C ∞ (U , IR ) halkası üzerinde bir modül ve bu modülün bir lokal bazı. {dx. i p. }. 1 ≤ i ≤ n cümlesidir (2).. w ∈ χ ∗ M , X ∈ χ M ve p ∈ M için. 40.

(48) ( w ( X )) ( p ) = ( w ( p )) ( X ) p. eşitliği yazılabilir.. w ( X ) ∈ C ( M , IR ) dir. n  ∂ Teorem 2.6.2: w ∈ χ ∗ M verilsin. Bu durumda w = ∑ w  i =1  ∂xi.  (2)  dxi dir . . Tanım 2.6.9: V bir K cismi üzerinde vektör uzayı ve. [,] :V × V → V dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa,. [,] dönüşümüne,. V üzerinde bir Lie. operatörü denir. V vektör uzayınada bir Lie cebiri denir.. i ) 2-lineer ii ) Alterne (∀X , Y ∈ V için [ X , Y ] = − [Y , X ]) iii ) [ X , Y ] , Z  + [Y , Z ] , X  + [ Z , X ] , Y  = 0, ∀X , Y , Z ∈ V dir(2).. Tanım 2.6.10: M bir diferensiyellenebilir manifold olsun.. X , Y ∈ χ (M ) için. [,] : χ (M ) × χ (M ) → χ (M ) ( X , Y ) → [,] ( X , Y ) = [X , Y ] ∀f ∈ C ∞ (M , IR ) için,. [X , Y ] f. = X (Yf ) − Y ( Xf ). şeklinde tanımlı fonksiyon bir Lie operatörü olup aşağıdaki özellikleri sağlar.. ∀f , g ∈ C ∞ ( M , IR ) ve ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için,. 41.

(49) i.) [ X , Y ] ( fg ) = f [ X , Y ] ( g ) + g [ X , Y ] ( f ) ii.) [ fX , gY ] = fg [ X , Y ] + f ( X [ g ]) Y − g (Y [ f ]) X. iii.) [ X , X ] = 0 dır(2).. Tanım 2.6.11: M bir C ∞ -manifold olsun. ∇ : χ (M ) × χ (M ) → χ (M ). ( X , Y ) → ∇( X , Y ) = ∇ X Y. fonksiyonu için,. i ) ∇ fX + gY Z = f ∇ X Z + g ∇Y Z , ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) , ∀f , g ∈ C ∞ ( M , IR ) ii ) ∇ X ( fY ) = f ∇ X Y + ( Xf ) Y , ∀X , Y ∈ χ ( M ) , ∀f ∈ C ∞ ( M , IR ) iii.) ∇ X (Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z özellikleri sağlanıyorsa ∇ ya M manifoldu üstünde bir afin konneksiyon ve ∇ X e de X e göre kovaryant türev operatörü denir(2).. (. ). ∇ nın lokal ifadesini verelim. X ve Y vektör alanlarının bir U , x = ( xi ) haritasına göre lokal ifadeleri n. X =∑Xi i =1. n ∂ ∂ , Y = Y j j olmak üzere, ∑ i ∂x ∂x j =1. ∇XY = ∇ n. n. ∑X. i =1. =∇. i. ∑Y. ∂. ∂xi i =1. X1. ∂. i. ∂ ∂y i. Y +∇. ∂x1. X2. ∂. Y + ... + ∇. ∂x 2. Xn. ∂. Y. ∂x n. = X 1∇ ∂ Y + X 2∇ ∂ Y + ... + X n ∇ ∂ Y ∂x1. ∂x 2. ∂x n. 42.

(50) n. = ∑ X i∇ ∂ Y i =1. ∂xi. n. = ∑ X i∇ i =1. ∂ ∂xi. ∂ ∂   1 ∂ + Y 2 2 + ... + Y n n  Y 1 ∂x ∂x   ∂x. n  ∂ ∂ ∂  = ∑ X i  ∇ ∂ Y 1 1 + ∇ ∂ Y 2 2 + ... + ∇ ∂ Y n n   i ∂x ∂x ∂x  i =1 ∂xi ∂xi  ∂x n  ∂Y 1 ∂ ∂ ∂Y n ∂ ∂  = ∑ X i  i 1 + Y 1∇ ∂ 1 + ... + i + Y n∇ ∂  n  ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x n  i =1 ∂xi ∂xi  n  n  ∂Y j ∂ ∂  j = ∑ X i ∑ i + Y ∇ ∂ j     j =1  ∂x ∂x j i ∂x i =1 x ∂     n  n  ∂Y j ∂ ∂  i j = ∑∑ X i i + X Y ∇  ∂   ∂x ∂x j ∂x j   i =1  j =1  ∂xi.  i ∂Y j ∂ ∂  i j = ∑X + X Y ∇  ∂  ∂x i ∂x j ∂x j  i , j =1  ∂xi n. =.  i ∂Y j ∂ ∂  + X iY j Γijk X  ∑ i j ∂x ∂x ∂xk  i , j =1  n. (. ). eşitliği ile verilebilir. Bu eşitlik ∇ nın U , x = ( xi ) haritasına göre lokal ifadesidir.. ∇XY =.  i ∂Y j ∂ ∂  k + X iY j Γijk X  , eşitliğindeki Γij ∑ i j ∂x ∂x ∂xk  i , j =1  n. fonksiyonlarına ∇ nın. bileşen fonksiyonları denir.. 2.7. Tensörler. Tanım 2.7.1: Reel sayılar cismi üzerinde r-tane vektör uzayı V1 , V2 , , Vr olsun.. 43.

(51) f : V1 × V2 × × Vr → IR fonksiyonu, 1 ≤ i ≤ r için ui , vi ∈ Vi ve a, b ∈ IR olmak üzere, f ( v1 , , vi −1 , aui + bvi , vi +1 , , vr ) = af ( v1 , , vi −1 , ui , vi +1 , , vr ) + bf ( v1 , , vi −1 , vi , vi +1 , , vr ) şeklinde tanımlı ise , f ye r-lineer fonksiyon denir (2).. Tanım 2.7.2: V1 × V2 × × Vr den IR ye tanımlı bütün r-lineer fonksiyonların cümlesini, L (V1 ,V2 , , Vr ; IR ) ile gösterelim. Bu cümlede toplama ve skalerle çarpma işlemleri, sırasıyla ∀ ( u1 , u2 , , ur ) ∈ V1 × V2 × × Vr için,. ( f1 + f 2 )( u1 , u2 , , ur ) = f1 ( u1 , u2 , , ur ) + f 2 ( u1 , u2 , , ur ) ve λ ∈ IR için,. ( λ f )( u1 , u2 , , ur ) = λ f ( u1 , u2 , , ur ) şeklinde tanımlanırsa, bu iki işleme göre L (V1 ,V2 , , Vr ; IR ) , IR üzerinde bir vektör uzayı olur. Bu vektör uzayına V1∗ , V2∗ , , Vr∗ dual vektör uzaylarının tensörel çarpımı denir ve. L (V1 ,V2 , ,Vr ; IR ) = V1∗ ⊗ V2∗ ⊗ ⊗ Vr∗ şeklinde gösterilir. V1∗ ⊗ V2∗ ⊗ ⊗ Vr∗ tensör uzayının her bir elemanına r. dereceden bir tensör denir. Eğer V1 = V2 = = Vr = V ise, V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ ⊗ V ∗ uzayına bir kovaryant tensör uzayı ve bu uzayın herbir elemanına da r. mertebeden bir kovaryant tensör denir. Kovaryant tensörlerin uzayı. T r (V ) veya ⊗r V ∗ ile gösterilir(2).. 44.

(52) Tanım 2.7.3: Kovaryant tensörler için verilen tanımda V yerine V ∗ alınırsa (V ∗ ). ∗. uzayı V ye izomorf olduğundan V ∗ üzerinde s-lineer fonksiyonların vektör uzayını elde ederiz. Bu uzaya kontravaryant tensör uzayı denir. T s (V ∗ ) veya ⊗s (V ) ile gösterilir. Bu uzayın elemanlarına s. mertebeden kontravaryant tensörler denir(2).. Tanım 2.7.4: IR sayılar cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı V ve V nin duali V ∗ olsun.. {. }. ( ) L (V r , V ∗ s ; IR ) = f f : V r × V ∗ s → IR r + s −lineer. cümlesi, tanım 2.7.2. verilen toplama ve skalarla çarpma işlemlerine göre bir vektör uzayıdır. Bu uzaya r. mertebeden kovaryant ve s. mertebeden kontravaryant tensör uzayı denir ve T r (V ) ⊗ T s (V ∗ ) = ⊗r V ∗ ⊗ ⊗s (V ) veya Tsr (V ) ile gösterilir (2).. Tanım 2.7.5: M bir C ∞ − manifold olsun. T : χ ( M ) × × χ ( M ) × χ ∗ ( M ) × × χ ∗ ( M ) → C ∞ ( M , IR ).

(53) .

(54) r − tane. s-tane. (. T ( X 1 , , X r , W1 , , Ws )( p ) = Tp X 1 p , , X r p , W1 p , , WS. p. ). şeklinde tanımlı T dönüşümü her bir p ∈ M noktasına Tp M de ( r , s ) − tipinde bir tensör karşılık getiriyorsa buna M de bir tensör alanı denir.. 45.

(55) 2.8. Riemann Manifoldu. Tanım 2.8.1: V bir vektör uzayı ve G, V üzerinde ( 0, 2 ) − tipinde bir tensör olsun. Eğer, i ) G simetriktir: G ( u , v ) = G ( v, u ) ∀u , v ∈ V , ii ) G bilineerdir: G ( au1 + bu2 , v ) = aG ( u1 , v ) + bG ( u2 , v ) ∀a, b ∈ IR, ∀v ∈ V ,. G ( u, av1 + bv2 ) = aG ( u, v1 ) + bG ( u, v2 ) ∀a, b ∈ IR, ∀u ∈ V iii ) Pozitif tanımlılık: ∀u ∈ V için G ( u , u ) ≥ 0, G ( u , u ) = 0 ⇔ u = 0 koşulları sağlanıyorsa G ye V üzerinde bir İç Çarpım veya bir metrik tensör denir.. (G, V ) ye de bir İç Çarpım Uzayı denir(2).. Tanım 2.8.2: M bir C ∞ -manifold olsun. M üzerinde vektör alanları uzayı χ ( M ) ve reel değerli C ∞ fonksiyonlarının halkası C ∞ ( M , IR ) olmak üzere. <, >: χ ( M ) × χ ( M ) → C ∞ ( M , IR ) dönüşümü M nin her bir p noktasına Tp M de bir iç çarpım karşılık getirirse. ( M , <, > ). ikilisine bir Riemann manifoldu denir. ( M , <, > ) ikilisinin yerine bazan. kısaca M de yazılır. Ancak M Riemann manifoldu denildiğinde M de tanımlı <, > metrik tensörün varlığı anlaşılacaktır (2).. Tanım 2.8.3: M bir Riemann manifoldu ve M üzerinde afin konneksiyon ∇ olmak üzere,. ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için,. 46.

(56) [ X , Y ] = ∇ X Y − ∇Y X , ii ) XG (Y , Z ) = G ( ∇ X Y , Z ) + G (Y , ∇ X Z ) , i). özelliklerini sağlıyorsa, ∇ ya M üzerinde bir Riemann konneksiyonu denir(2).. 2.9. Altmanifoldlar. Tanım 2.9.1: M ve M birer C ∞ manifoldlar ve f : M → M bir C ∞ fonksiyon olsun. ∀p ∈ M için rank f = boy M ise f ye bir immersiyon denir (2)..  1 − s 2 2s   şeklinde tanımlanan f fonksiyonu bir , Örnek 2.9.1: IR de s →  2 2  1+ s 1+ s  immersiyondur.  −4 s Çünkü, J =   (1 + s 2 )2  s f. 2 (1 − s 2 )   ve ∀s ∈ IR için rank f = 1 dir. 2 2  (1 + s ) . f fonksiyonu bir injectiondur ve değer kümesi bir delik dairedir.. (. ). Örnek 2.9.2: IR de s → s 2 , s 3 şeklinde tanımlanan f fonksiyonu bir immersiyon değildir. Çünkü, J sf =  2 s 3s 2  olup s = 0 için J sf = [ 0 0] dır. s = 0 için rank f = 0 dır. f fonksiyonu bir immersiyon değildir.. Tanım 2.9.2: Eğer f immersiyonu birebir ise f ( M ) ⊂ M ye M nin bir immersed altmanifoldu denir.. 47.

(57) Tanım 2.9.3: f : M → M birebir immersiyon olsun. M = f ( M ) olmak üzere M nın altuzay topolojisine göre f bir homeomorfizm ise f ye bir imbedding ve M ya M nin M içine bir imbeddingi veya M de bir imbedded altmanifold denir.. Çalışmanın bundan sonraki kısmında, altmanifold denildiğinde immersed altmanifold kasdedilecektir.. Örnek 2.9.3: S ( 3, IR ) , M ( 3 × 3, IR ) nin bir altmanifoldu mudur?. Çözüm:.  a11 A =  a12  a13. a12 a21 a23. a13  a23  ∈ S ( 3, IR ) olmak üzere, a33 . ϕ : IR33 → IR 9 dir.   a11  ϕ  a21  a   31. a12 a22 a32. a13    a23   = (a11 , a12 , a13 , a 21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33 ) dir. a33  . φ S (3, R ) : S ( 3, IR ) → IR9 olduğunda, φ ( A) = ( a11 , a12 , a13 , a12 , a21 , a23 , a13 , a23 , a33 ) olur.. π : IR9 → IR 6 π ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 ) = ( x1 , x2 , x3 , x5 , x6 , x9 ) π φ S (3, R ) : S ( 3, IR ) → IR 6 dir.. 48.

(58) S. için. {( )}. Α = S ,ϕ. tek. haritalı. bir. atlastır.. Bu. atlasla. S ( 3, IR ) , 6 − boyutlu bir C ∞ − manifolddur. x i = xi ϕ , xi : IR 6 → IR lokal koordinat fonksiyonlarıdır. x1 ( A) = a11   x 2 ( A) = a12   x 3 ( A) = a13   x 4 ( A) = a 22   x 5 ( A) = a23  x 6 ( A) = a33 . { x , x , x , x , x , x } lokal koordinat fonksiyonlarıdır. 1. 2. 3. 4. 5. 6. i S  → M ( 3 × 3, IR ). φ↓. ↓φ iˆ. IR  → IR 9 6. (. (). iˆ ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = φ i φ. −1.   x1  = (φ i )   x2 x  3. ) ( x , x , , x ) 1. 2. 6. x3    x4 x5   x5 x6   = ( x1 , x2 , x3 , x2 , x4 , x5 , x3 , x5 , x6 ) x2. dir.. 1 0  0  0 J iˆ = 0  0 0  0 0 . (). 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0  0 1 0 0 0  1 0 0 0 0 0 0 1 0 0  0 0 0 1 0 0 1 0 0 0  0 0 0 1 0 0 0 0 0 1  9×6. (). ⇒ rank J iˆ = 6 = boy S dir.. 49. birlikte.

(59) Buradan da görülmektedir ki i bir immersiyondur. O halde S ( 3, IR ) , M ( 3 × 3, IR ) nin bir altmanifoldudur.. Örnek 2.9.4: S 2 nin, IR 3 ün bir altmanifoldu olduğu gösterilebilir ve teğet uzayı bulunabilir.. {. }. S 2 = ( x, y, z ) x 2 + y 2 + z 2 = 1 , IR3 deki birim kürenin, U ⊂ S 2 olmak üzere U =. {( x, y, z ) x. 2. }. + y 2 + z 2 = 1, z > 0 olsun.. φ : U → IR 2 için. ( x, y , z ) → ( x, y ) H1.) φ , 1:1 dir. Gerçekten,. φ ( x1 , y1 , z1 ) = φ ( x2 , y2 , z2 ) olsun. ⇒ ( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ) ⇒ x1 = x2 , y1 = y2 dir.. ⇒ z1 = 1 − x12 − y12 = 1 − x22 − y22 = z2 ⇒ z1 = z2 dir.. ⇒ ( x1 , y1 , z1 ) = (x2 , y 2 , z 2 ) olduğundan φ , 1:1 dir.. H 2 .). φ (U ) ⊂ IR 2 açıktır.. Gerçekten,. φ (U ) = ( −1, +1) × ( −1, +1) ⊂ IR 2 açıktır. O halde (U , φ ) , S 2 de bir haritadır.. 50.

(60) S 2 ⊆ IR3 , i : S 2 → IR 3 dönüşümünün 1 : 1 bir immersiyon olduğunu gösterelim.. { x1 , x2 } , IR 2. de koordinat fonksiyonları, {u1 , u 2 }, S 2 de lokal koordinatlardır.. x1 φ = u1 , u1 ( P ) = ( x1 φ )( P ) = p1 ve x2 φ = u2 , u2 ( P ) = ( x2 φ )( P ) = p2 dir. iˆ ( P ) = ( i φ −1 ) ( p ) = i (φ −1 ( p ) ). (. = i p1 , p2 , 1 − p12 − p22. (. = p1 , p2 , 1 − p12 − p22. (. iˆ ( x1 , x2 ) = x1 , x2 , 1 − x12 − x22. ). ). ). dir. Jakobiyen matrisi,   1  J iˆ =  0  − x1   1 − x2 − x2 1 2 . ().   0   1  − x2  2 2  1 − x1 − x2  3×2. (). olduğundan rank J iˆ = 2 = boy S 2 dir.Buna göre i bir immersiyondur. i, 1:1 olduğundan S 2 , R 3 ün, bir altmanifoldu olduğu görülür.. ( )( ). J iˆ. φ p.   1  = 0  − x1   1 − x2 − x2 1 2 .   0   1  − x2  2 2  1 − x1 − x2 φ p ( ). 51.

(61)    1  = 0  − x1 (φ ( p ) )   2  1 − x1 (φ ( p ) ) − x2 (φ ( p ) ) . (. ) (.   1  = 0  −u1   1− u2 − u2 1 2 . 0 1 − x2 (φ ( p ) ). ). 2. (. ) (. 1 − x1 (φ ( p ) ) − x2 (φ ( p ) ) 2. ). 2.          .   0   1  −u 2  2 2  1 − u1 − u2  P. olduğunu biliyoruz. p ∈ U , p nin. (U , ϕ ) ye. göre koordinatları. ( p1 , p2 ). olsun. i∗ p : Tp S 2 → Ti( p ) IR 3. lineer dönüşümü gözönüne alınsın. i nin Jakobiyen matrisini ve lineer dönüşüm ile matris eşlemesini de gözönüne alarak şunu yazabiliriz. V p = V1. ∂ ∂ + V2 ∂u1 p ∂u2. p. olmak üzere   1  i∗ p (Vp ) =  0  −u1   1− u2 − u2 1 2 .   0  V  1 1  V2  −u 2  2 2  1 − u1 − u2 .   −u1 −u2 =  V1 , V2 , .V1 + .V2    1 − u12 − u22 1 − u12 − u22   yazılabilir. Özel olarak Vp yerine. ∂ ∂u1. ve p. ∂ ∂u2. baz vektörleri alınırsa, p. 52.

(62)  ∂ i∗ p    ∂u1.    − p1   = 1, 0, 2 2    1 − − p p p  1 2  .  ∂ i∗ p   ∂u2 .   − p2  =  0,1,   1 − p12 − p22 p  .    . elde edilir. S 2 , IR 3 ün bir altmanifoldu olduğundan S 2 nin p deki tanjant uzayı i∗ p (Tp S 2 ) ⊂ Tp IR 3 altuzayıdır. Buna göre.   ∂ i∗ p (Tp S 2 ) = S p i∗ p   ∂u   1.   ∂  , i∗ p    ∂u2 p .  − p1 = S p  1, 0, 1 − p12 − p22 .     p .   − p2  ,  0,1,   1 − p12 − p22  .      . dir. i∗ p birebir olduğundan Tp S 2 ile i∗ p (Tp S 2 ) izomorftur. Daha genel olarak,. Tanım 2.9.4: M bir C ∞ − manifold ve M ′ de M nin bir altmanifoldu olsun. i : M ′ → M doğal inclucion (1:1) dönüşümü olmak üzere i∗ p lineer dönüşümünün görüntü cümlesine p ∈ M ′ noktasında M ′ ye teğet uzay denir.. Örnek 2.9.5: M bir diferensiyellenebilir manifold ve U ⊂ M açık olsun. U, M nin bir altmanifoldudur. Bu tür altmanifoldlara açık altmanifoldlar denir. Ayrıca boy U = boy M dir. Öte yandan M nin kendi boyutuna eşit boyutlu altmanifoldları sadece açık altmanifoldlarıdır.. 53.

(63) (. ). Tanım 2.9.5: (V , G ) , W , G birer iç çarpım uzayı ve L : V → W lineer olsun. ∀u , v ∈ V için G (u , v ) = G (L(u ), L(v )) ise L ye bir izometri denir. Buna göre ∀u ∈ V için u = L(u ) dir.. Tanım 2.9.6: ( M , G ) bir Riemann manifoldu ve M de M nin bir altmanifoldu olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için G ( X , Y ) = G ( di ( X ) , di (Y ) ) şeklinde tanımlı G ye M üzerinde G den indirgenmiş Riemann metriği denir.. (M ,G). (. n-boyutlu bir Riemann manifoldu ve M de bir harita U , ( x i ) n. olsun.. X , Y ∈ χ ( M ) ve X= ∑ X i i =1. gözönüne alırsak, G ( X , Y ) =. n ∂ ∂ , Y = Yj j ∑ i ∂x ∂x j =1. n. ∑XY i. i , j =1. j. olsun. G. ). nin özelliklerini.  ∂ ∂  G  i , j  yazılabilir.  ∂x ∂x . n  ∂ ∂  G  i , j  = Gij yazılırsa, G ( X , Y ) = ∑ Gij X iY j elde edilir.  ∂x ∂x  i , j =1. X i = dxi ( X ) ve Y j = dx j (Y ) olduğunu da biliyoruz. O halde, n. G ( X ,Y ) =. ∑ G dx ( X ) dx (Y ) yazılabilir. i. j. ij. Tensörlerin çarpımı tanımı gözönüne. i , j =1.  n  alındığında G ( X , Y ) =  ∑ Gij dxi ⊗ dx j  ( X , Y ) yazılabilir.  i , j =1  İki fonksiyonun eşitliğinden. G=. n. ∑ G dx ij. i. ( 2.9.1 ). ⊗ dx j. i , j =1. 54.

(64) elde edilir. ( 2.9.1. ). (. ). eşitliğine G nin U , ( x i ) haritasına göre lokal ifadesi ve Gij. reel değerli fonksiyonlarına da G nin verilen haritaya göre bileşenleri denir. Gij fonksiyonlarının bilinmesi G yi belirtmeye yeter.. Örnek 2.9.6: R 3 deki standart iç çarpımı kullanarak, S 2 üzerine bir metrik indirgeyelim. Örnek 2.9.4 de S 2 nin R 3 ün bir altmanifoldu olduğu gösterilmişti.   ∂   ∂  G11 = G  di   , di      ∂u1   ∂u1    −u1 =< 1, 0,  1 − u12 − u22  u12 = 1+ 1 − u12 − u22 =. ⇒ G11 =.   −u1  , 1, 0,   1 − u12 − u22  .  >  . 1 − u22 1 − u12 − u22. 1 − u22 1 − u12 − u22. dir.   ∂   ∂  G12 = G  di   , di    ∂ u  1   ∂u2     −u1 =< 1, 0,  1 − u12 − u22  u1.u2 = 1 − u12 − u22.   −u 2  ,  0,1,   1 − u12 − u22  . = G21 dir.. 55.  >  .

(65)   ∂   ∂  G22 = G  di   , di      ∂u2   ∂u2    −u 2 =<  0,1,  1 − u12 − u22  u22 = 1+ 1 − u12 − u22 =. ⇒ G22 =.   −u 2  ,  0,1,   1 − u12 − u22  .  >  . 1 − u12 1 − u12 − u22. 1 − u12 1 − u12 − u22. dir. Böylece S 2 üzerinde indirgenmiş metrik matris formunda.  1 − u22 1 − u 2 − u 2 1 2 G=  u1.u2  2 2  1 − u1 − u2.  u1.u2 2 2  1 − u1 − u2   1 − u12  2 2 1 − u1 − u2 . şeklinde yazılır.. Tanım 2.9.7:. (M ,G). bir Riemann manifoldu ve M de M nin bir altmanifoldu. olsun. ∀p ∈ M için Tp M , Tp M nin bir altuzayıdır. Tp M nin dik tümleyeni. {. Tp ⊥ M = V p G (V p , U p ) = 0, ∀U P ∈ TP M. }. şeklinde tanımlıdır.. Lineer. cebirden. biliyoruz ki Tp M = Tp M ⊕ Tp ⊥ M şeklinde yazılabilir. X ∈ χ ( M ) olmak üzere, ∀p ∈ M için X p ∈ Tp⊥ M oluyorsa X e M nin bir normal kesiti denir. M nin normal kesitlerinin cümlesini, χ ⊥ ( M ) ile göstereceğiz. χ ⊥ ( M ) , C ∞ ( M , IR ) üzerinde bir modüldür. Böylece χ ( M ). M. = χ ( M ) ⊕ χ ⊥ ( M ) yazılabilir. Burada. 56.

(66) χ (M ). M. = { X X : M → TM } şeklinde tanımlıdır.. Tanım 2.9.8: m-boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M nin n-boyutlu ( n ≤ m ) bir altmanifoldu M olsun. χ (M ) nin χ ( M ) deki dik tümleyeni χ (M ) ve M nin ⊥. Riemann konneksiyonu ∇ olsun.. χ (M ) = χ (M ) ⊕ χ (M ). ⊥. eşitliği gereğince, C ∞ olan ∀X , Y ∈ χ (M ) için yazılabilen. ∇ X Y = ∇ X Y + h ( X ,Y ). (2.9.2). eşitliğine Genelleştirilmiş Gauss Denklemi denir. Burada ∇ X Y ve h( X , Y ) terimlerine, ∇ X Y nin sırası ile teğetsel ve normal bileşenleri denir. ∇ X Y yerine tan ∇ X Y , h( X , Y ) yerine nor ∇ X Y de yazılabilir(2).. Teorem 2.9.1: M m-boyutlu bir Riemann manifoldu ve M , M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olsun. O zaman ∇ : χ (M ) × χ (M ) → χ (M ). ( X , Y ) → ∇ X Y = tan ∇ X Y şeklinde tanımlı ∇ fonksiyonu, M nin Riemann konneksiyonudur(2).. Tanım 2.9.9: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olsun. O zaman , h : χ (M )× χ (M ) → χ ⊥ (M ). ( 2.9.3). ( X ,Y ) → h ( X ,Y ) = ∇ X Y − ∇ X Y. 57.

(67) şeklinde tanımlı, χ ⊥ ( M ) değerli, simetrik, 2-kovaryant tensöre M nin ikinci temel tensörü veya Genelleştirilmiş Weingarten dönüşümü denir(2).. Tanım 2.9.10: M m-boyutlu bir manifold ve M nin n-boyutlu bir altmanifoldu M olsun. M ye normal bir birim vektör alanı ξ olsun. ∇ X ξ nin teğet ve normal bileşenleri sırasıyla − Aξ X ve ∇ ⊥X ξ olmak üzere;. A: χ (M )× χ⊥ (M ) → χ (M ) dönüşümü iyi tanımlıdır. Böylece,. ∇ X ξ = − Aξ ( X ) + ∇ ⊥X ξ. ( 2.9.4 ). biçiminde Weingarten denklemi elde edilir. Burada Aξ ya şekil operatörü, ∇ ⊥ e de M nin T ⊥ M normal demetindeki (normal) konneksiyon adı verilir(2).. Tanım 2.9.11: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olsun. χ ⊥ ( M ) in. ψ = {ξ1 , , ξ m − n } ortonormal bazı yardımıyla, ∀X , Y ∈ χ (M ) için, Bi ( X , Y ) = h ( X , Y ) , ξi , 1 ≤ i ≤ m − n şeklinde tanımlı Bi bilineer formlarına, M nin ψ ye göre ikinci temel formları denir(2).. Tanım 2.9.12: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olsun. χ ⊥ ( M ) in bir ortonormal bazı. ψ = {ξ1 , , ξ m − n }. 58.

(68) olmak üzere, Aξi : χ ( M ) → χ ( M ) X → Aξi ( X ) = − tan ∇ X ξi , 1 ≤ i ≤ m-n şeklinde tanımlı Aξ i fonksiyonuna M nin ψ ye göre i-yinci Weingarten dönüşümü denir(2).. Teorem 2.9.2: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olsun. χ ⊥ ( M ) in bir ortanormal ψ bazına göre M nin i-yinci Weingarten dönüşümü Aξ i ve ikinci temel formları B1 , , Bm − n ise, i.) Bi ( X , Y ) = − Aξi ( X ) , Y , ∀X , Y ∈ χ ( M ) m− n. ii.) h ( X,Y ) = − ∑ Aξi ( X ) , Y ξi , ∀X , Y ∈ χ ( M ) i =1. dir(2).. Tanım 2.9.13: M bir Riemann manifoldu olsun. M nin Riemann konneksiyonu ∇ olmak üzere, X , Y , Z ∈ χ ( M ) için, R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇Y Z − ∇Y ∇ X Z − ∇[ X ,Y ] Z ifadesine M nin Riemann eğrilik tensörü denir(2).. Tanım 2.9.14: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu, M nin Riemann konneksiyonu ∇ , eğrilik tensörü R , M nin Riemann konneksiyonu ∇ , eğrilik tensörü R , ikinci temel tensörü h olsun. O zaman,. ∀X , Y , Z ∈ χ (M ) için,. 59.

(69) tan (R ( X , Y )Z ) = R( X , Y )Z + tan{∇ X h(Y , Z ) − ∇Y h( X , Z )} denklemine M üzerinde Genelleştirilmiş Gaus Eğrilik denklemi ve. nor ( R ( X , Y ) Z ) = h ( X , ∇Y Z ) − h (Y , ∇ X Z ) − h ([ X , Y ] , Z ) +nor {∇ X h (Y , Z ) − ∇Y h ( X , Z )} denklemine M üzerinde Genelleştirilmiş Codazzi-Mainardi denklemi denir(2).. Şimdi de Genelleştirilmiş Weingarten Dönüşümünün cebirsel değişmezlerini verelim.. Tanım 2.9.15: M bir Riemann manifoldu ve M de M nin bir altmanifoldu olsun. M de ξ normal vektör alanı, şekil operatörü Aξ olmak üzere, eğer Aξ , X ile aynı yönlü ise yani Aξ X = λ X , λ reel fonksiyonları için doğru ise, M de bir X vektör alanı M de bir Asli eğrilik (principal) vektör alanı olarak tanımlanır. Burada M nin herhangi bir p noktasında λ ( p ) sabitine eşit karekteristik değerlerine, M nin asli eğriliği (principal) denir(2).. Tanım 2.9.16: c, M de bir eğri ve teğet vektör alanı T olsun. Eğer T , M de bir asli eğrilik (principal) vektör alanı ise c ye M üzerinde bir eğrilik çizgisi denir. Bu tanıma göre M üzerindeki eğrilik çizgilerinin difererensiyel denklemi. λ reel fonksiyonları için, Aξ T = λT dir(2).. Tanım 2.9.17: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olsun. Bir p ∈ M noktasında X p , Yp ∈ Tp M için,. 60.

(70) h ( X p , Yp ) = h ( X , Y ) p = 0 ise X p ve Yp doğrultularına p noktasındaki eşlenik doğrultular denir(2).. Tanım 2.9.18: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olsun. Bir p ∈ M noktasında X P ∈ TP M için,. h( X P , X P ) = 0 ise X P doğrultusuna M üzerinde, p noktasındaki, bir asimtotik doğrultu denir(2).. Tanım 2.9.19: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olsun. Bir p ∈ M noktasında X P , YP ∈ TP M için,. h( X P , YP ) = 0 ise p noktasına M nin bir flat (düzlemsel) noktasıdır denir(2).. Tanım 2.9.20: M bir Riemann manifoldu ve M üzerindeki Riemann konneksiyonu ∇ olsun. O zaman, M üzerinde. {( I , c )}. atlası ile verilen eğri boyunca bu eğrinin. birim teğet vektör alanı T olmak üzere ∇T T vektör alanına M üzerinde geodezik eğrilik vektör alanı denir.. ( 2.9.5 ). k g : I → IR t → k g ( t ) = ∇T T. olarak tanımlanan k g fonksiyonuna da c eğrisinin geodezik eğrilik fonksiyonu denir(2).. 61.

(71) Tanım 2.9.21: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olmak üzere,. M. üzerindeki Riemann konneksiyonu. ∇. ve. M altmanifoldunun da konneksiyonu ∇ olsun. c : I → M , I ⊂ IR eğrisinin birim teğet vektör alanı T olmak üzere ∇T T vektör alanına M üzerinde geodezik eğrilik vektör alanı denir.. ( 2.9.6 ). k g : I → IR t → k g ( t ) = ∇T T. olarak tanımlanan k g fonksiyonuna da c eğrisinin geodezik eğrilik fonksiyonu denir(2).. Tanım 2.9.22: M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olsun. M nin ikinci temel tensörü h ve bir c : I → M , I ⊂ IR eğrisinin birim teğet vektör alanı T olmak üzere, h(T , T ) vektör alanına c nin normal eğrilik vektör alanı, kT = h (T , T ). ( 2.9.7 ). olarak tanımlanan. kT : c ( I ) → IR fonksiyonuna da c nin normal eğrilik fonksiyonu denir(2).. Teorem 2.9.2: (Meusnier) M bir m-boyutlu Riemann manifoldu ve M de M nin nboyutlu bir altmanifoldu olsun.. 62.

(72) i.) Bir P ∈ M noktasından geçen M nin bütün eğrileri arasında aynı. TP birim teğetine sahip olanları için P deki normal eğrilik aynıdır. ii.) Bir c : I → M , I ⊂ IR eğrisinin M ve M deki geodezik eğrilikleri, sırası ile k g ve k g ile gösterilirse, c nin birim teğet vektör alanı T olmak üzere,. (k ) = (k ) + (k ) 2. g. 2. g. 2. (2.9.8). T. dir. Burada,. k g = ∇T T k g = ∇T T dir. iii.) Bir c : I → M , I ⊂ IR eğrisinin M ye göre 2-nci Frenet vektör alanı V2 ile normal eğrilik vektör alanı. h(T , T ) arasındaki açı tanımlı ve φ ise k T = k g cos φ dir(2).. Tanım 2.9.23: M. bir m-boyutlu manifold ve M de M nin n-boyutlu bir. altmanifoldu olmak üzere h = 0 ise M altmanifolduna M manifoldunun total jeodezik altmanifoldu denir(5).. 63.

(73) Tanım 2.9.24: M bir m-boyutlu manifold ve M de M nin n-boyutlu bir altmanifoldu olmak üzere, H=. 1 n. n. ∑h(E , E ) i. i. i =1. ifadesine ortalama eğrilik denir(5).. Tanım 2.9.25: M. bir m-boyutlu manifold ve M de M. nin n-boyutlu bir. altmanifoldu olmak üzere H = 0 ise M altmanifolduna minimal altmanifold denir(5).. Tanım 2.9.26: M. bir m-boyutlu manifold ve M de M nin n-boyutlu bir. altmanifoldu olmak üzere,. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için, h ( X , Y ) = g ( X , Y ) .H ise M ye total umbilik altmanifold denir(5).. 64.