Dinamik Sistemler ve Kaos (MATH 467) Ders Detayları
Ders Adı Ders
Kodu Dönemi Ders
Saati Uygulama
Saati Laboratuar
Saati Kredi AKTS Dinamik
Sistemler ve Kaos
MATH
467 Seçmeli 4 0 0 4 6
Ön Koşul Ders(ler)i Math 231 (Lineer Cebir I) veya Math 275 (Lineer Cebir) ve Math 262 (Adi Diferansiyel Denklemler)
Dersin Dili İngilizce Dersin Türü Seçmeli Dersler Dersin Seviyesi Lisans
Ders Verilme Şekli Yüz Yüze Dersin Öğrenme ve
Öğretme Teknikleri
Soru-Yanıt
Dersin Koordinatörü
Dersin
Öğretmen(ler)i Dersin Asistanı
Dersin Amacı Birçok fiziksel problemden doğan lineer olmayan diferansiyel denklemlerin matematiksel
formulasyonu. Bu ders, lineer olmayan diferansiyel denklemlerin dinamik yönleri üzerinedir. Ders, esas olarak çözüm eğrilerinin davranışı vurgulanarak otonom sistemlerle ilgilenir, ve böyle sistemlerin faz portre analizine bir giriş vermektedir.
Dersin Eğitim Çıktıları
Bu dersi başarıyla tamamlayabilen öğrenciler;
• varlık teoremini, çözümün sürdürüleblirliğini ve başlangıç değerine bağlılığını öğrenirler.
• lineer sistemleri, bir matrisin nasıl köşegenleştireceğini ve nasıl kullanacağını öğrenirler.
• operatörlerin üssünü almayı, R^2 deki bir lineer sistemi özdeğerler yardımıyla çözmeyi öğrenirler.
• Jordan formları kullanmayı, karalılık teorisini ve bunların lineer olmayan sistemlere uygulamasını öğrenirler
• en geniş varlık aralığını, bir diferansiyel
denklemin tanımladığı akışı ve doğrusallaştırmayı öğrenirler.
• denge noktalarını sınıflandırmayı, kararlı ve merkez manifold teorisini, karalılık ve Liapunov fonksiyonlarını öğrenirler.
• limit kümelerinin, çekicilerin, Hamilton
sistemlerinin, Poincare - Bendixson teorisinin ve çatallanma teorisinin tanımlarını ve uygulamalarını öğrenirler.
Dersin İçeriği Tek boyutlu dinamik sistemler. Denge noktasının kararlığı. Çatallanma. Lineer sistemler ve kararlılığı.
İki boyutlu dinamik sistemler. Liapunov’un direkt metodu ve doğrusallaştırma metodu. İki boyutlu dinamik sistemler.
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
Hafta Konular Ön Hazırlık
1 Lineer Sistemler: Çift olmayan
Lineer Sistemler, Köşegenleştirme s. 1-6 2 Operatörlerin üssü, Temel Lineer
sistemler teoremi, R^2’de, Lineer sistemler
s. 6-20
3 Karmaşık özdeğerler, çok katlı
özdeğerler s. 20-32
4 Jordan Formlar, Karalılık teorisi,
homojen olmayan lineer sistemler s. 32-64 5 Lineer olmayan sistemler: Bazı ön
kavram ve tanımlar, temel varlık-teklik teoremleri, başlangıç değer ve parametrelere bağlılık
s. 65-79
6 En geniş varlık aralığı, bir diferansiyel denklem tarafından tanımlanan akış, doğrusallaştırma
s. 79-105
7 Arasınav
8 Kararlı manifold teoremi, denge ve kararlılık ve Liapunov fonksiyonları
s. 105-119 ve s. 129-136
9 Eyer noktaları, nod’lar, odaklar ve merkez, R^2’de hiperbolik olmayan kritik noktalar, merkez manifold Teorisi
s. 136-163
10 Lineer sistemler: Global teori, dinamik sistemler ve global varlık teoremleri, limit kümeleri ve çekiciler
s. 181-202
11 Periyodik yörüngeler, limit çemberleri, periyodik yörüngeler için kararlı manifold teoremi
s. 202-211 ve s. 220-234
12 Hamilton sistemleri, R^2’de Poincare-Bendixson teorisi, Bendixson kriteri
s. 234-252 ve s. 264-267
13 Lineer olmayan sistemler:
Çatallanma teorisi, yapısal kararlılık
s. 315-334
14 Hiperbolik olmayan denge
noktalarında çatallanma s. 334-343 15 Tekrar
16 Genel Sınav
Kaynaklar
Ders Kitabı: 1. L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems:
3rd Edition, Springer, New York, 2000.
Diğer Kaynaklar:
1. F. Verhulst, Nonlinear Differential Equations and
Dynamical Systems: 2nd Edition, Springer, New York, 1996.
2. M.W. Hirsch, S. Smale and R.L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems and, An Introduction to Chaos: 2nd Edition, Academic Press, San Diego, 2004.
3. W. Kelley and A.Peterson, The Theory of Differential Equations: Classical and Qualitative, Pearson Education, New Jersey, 2004.
4. S.L.Ross, Differential Equations, 3rd edition, Wiley, New York, 1984
Değerlendirme Sistemi
Çalışmalar Sayı Katkı Payı
Devam/Katılım - -
Laboratuar - -
Uygulama - -
Alan Çalışması - -
Derse Özgü Staj - -
Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği - -
Ödevler 2 20
Sunum - -
Projeler - -
Seminer - -
Ara Sınavlar/Ara Juri 1 40
Genel Sınav/Final Juri 1 40
Toplam 4 100
Yarıyıl İçi Çalışmalarının Başarı Notu Katkısı
60
Yarıyıl Sonu Çalışmalarının Başarı Notuna Katkısı
40
Toplam 100
Ders Kategorisi Temel Meslek Dersleri
Uzmanlık/Alan Dersleri
X
Destek Dersleri İletişim ve Yönetim Becerileri Dersleri Aktarılabilir Beceri Dersleri
Dersin Öğrenim Çıktılarının Program Yeterlilikleri ile İlişkisi
# Program Yeterlilikleri / Çıktıları Katkı Düzeyi
1 2 3 4 5 1 Matematik lisans programından edindiği ileri düzeydeki
kuramsal ve uygulamalı bilgileri kullanarak matematik temelli lisansüstü programlarda, kamu veya özel sektörde bilimsel çalışma ve araştırma yapmak için yeterli bilgiye sahip olur.
X
2 Alanında edindiği kuramsal ve uygulamalı bilgileri uygun araç-gereçleri kullanarak ortaöğretime uyarlar ve aktarır.
X
3 Alanında edindiği bilgi ve becerileri kullanarak, matematik veya uygulandığı alanlardaki güncel problemleri modelleme ve çözüm için gerekli olan matematiksel yöntemleri seçme, kullanma, geliştirme ve çözme becerisine sahip olur.
X
4 Analitik düşünme yeteneğine sahip olur ve sonuç
çıkarma sürecinde zamanı etkin kullanır. X 5 Bilgisayar bilimleriyle ilgili alanlarda çalışabilecek
düzeyde temel yazılım bilgisine ve bilişim teknolojilerini etkin bir şekilde kullanma becerisine sahip olur.
X
6 Karar süreçlerinin ihtiyaç duyacağı verileri toplama, analiz etme, yorumlama ve istatistiksel yöntemleri kullanabilme becerisine sahip olur.
X
7 Matematiğin doğrudan veya dolaylı olarak kullanıldığı alanlarda çalışma yapabilecek düzeyde bilgiye sahip olur ve yaşam boyu öğrenmenin bilinci ile mesleki bilgi ve becerilerini yeniler.
X
8 Matematiğin kullanıldığı alanlarda bireysel olarak veya takımlarda ekip üyesi olarak sorumluluk alır ve etkin biçimde çalışma becerisine sahip olur.
X
9 Matematik veya uygulama alanlarındaki bilgileri izleyecek ve meslektaşları ile iletişim kuracak düzeyde İngilizce bilir.
X
10 Görüş ve düşüncesini nicel ve nitel verilerle destekleyerek açık ve anlaşılabilir biçimde yazılı ve sözlü ifade eder, paydaşlarıyla iletişim kurar.
X
11 Matematik veya uygulama alanları ile ilgili verilerin toplanması, yorumlanması, uygulanması ve sonuçların duyurulması aşamalarında evrensel ve toplumsal boyutlardaki etkilerini dikkate alan mesleki etik ve sorumluluk bilincine sahip olur.
X
ECTS/İş Yükü Tablosu
Aktiviteler Sayı Süresi (Saat) Toplam İş Yükü Ders saati (Sınav haftası
dahildir: 16 x toplam ders saati)
16 4 64
Laboratuar Uygulama Derse Özgü Staj Alan Çalışması
Sınıf Dışı Ders Çalışma
Süresi 16 4 64
Sunum/Seminer Hazırlama Projeler
Ödevler 2 8 16
Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği
Ara Sınavlara/Ara Juriye
Hazırlanma Süresi 1 16 16
Genel Sınava/Genel Juriye
Hazırlanma Süresi 1 20 20
Toplam İş Yükü 180
