ONE DIMENSIONAL CUTTING STOCK PROBLEM: AN APPLICATION ON A COMPANY

TEK BOYUTLU KESME PROBLEM : B R LETME UYGULAMASI

Fatma DEM RCAN Haluk SOYUER

Ege Üniversitesi Ege Üniversitesi

ÖZET

Bu çal mada, Wascher vd. (2007) tarafndan “Tek Boyutlu Çoklu Stok Büyüklüklerinin Kesim Problemi (one-dimensional Multiple Stock Size Cutting Stock Problem)” eklinde snflandrlan problem ele alnm tr. Uygulama, paslanmaz çelik so uk ekillendirme sektöründe faaliyet gösteren bir i letmenin gerçek verileri kullanlarak yaplm tr. letme farkl tip ve boylarda hammadde tedarik etmektedir.

Çal mada, bu problemin çözümü için iki a amal bir çözüm yöntemi önerilmi tir. lk a amada, olu turulan sezgisel algoritma aracl  ile her parça ve alternatif hammadde boyu için alternatif kesim ekilleri elde edilmi tir. kinci a amada, bu algoritma ile elde edilen kesim ekilleri olu turulan tam sayl do rusal programlama modeline aktarlm tr. Bu model ile tüm ürünlerin dönemsel taleplerinin minimum kesim kayb ile kar lanmas için hangi hammadde tipinin hangi boyundan kaç adet tedarik edilmesi gerekti i ve bu hammaddelerin hangi kesim ekilleri ile kaç kez kesilmesi gerekti i belirlenmi tir.

Anahtar Kelimeler : Tek Boyutlu Kesme Problemi, Tamsayl Do rusal Programlama, Sezgisel Algoritma

ONE DIMENSIONAL CUTTING STOCK PROBLEM: AN APPLICATION ON A COMPANY

ABSTRACT

In this paper, the problem that is classified as a one-dimensional Multiple Stock Size Cutting Stock Problem by Wascher et al. (2007) is addressed. The real life application of this problem is realized in a company operating in the stainless steel cold forming industry. The company supplies different types and sizes of stocks. This paper proposes a two-stage approach. In the first stage, alternative cutting patterns for each item and each stock size are generated through a heuristic procedure. These patterns are fed into the second stage and an integer linear programming model is solved in this stage.Tthe sizes and types of stocks to be supplied and cutting patterns to be applied on the stock types and how many times they will be cut will be determined through this model to fulfill periodic demands of all items with minimum trim loss.

Keywords : One Dimensional Cutting Stock Problem, Integer Linear Programming, A Heuristic Approach

1. G R

Günümüz yo un rekabet ko ullar altnda ayakta kalmak isteyen i letmeler, maliyetlerini minimize etmek ve etkinliklerini arttrmak zorundadr. Ka t, cam, çelik, metal, tekstil, deri vb. birçok endüstride faaliyet gösteren i letme, maliyetlerini ve süreçlerinin etkinli ini önemli ölçüde etkileyen kesme problemleriyle kar  kar ya kalmaktadr. Kesme problemleri endüstriden endüstriye hatta i letmeden i letmeye farkllk gösteren bir problem tipidir. Bu problemlerin ço u, belirli büyüklükteki parçalardan, üretim maliyetlerini ve fire miktarn minimize etmek ya da kar maksimize etmek gibi amaç fonksiyonlarn

optimize ederek, belirli büyüklük ve miktarlarda daha ksa parçalarn kesilmesini içerir (Yanasse ve Lamosa, 2006). Büyük boyutlu parçalardan daha ksa parçalar kesilirken genel olarak, Hinxman (1980) tarafndan ana malzeme (hammadde) seçimi ve kesim kayb olarak adlandrlan iki problem ortaya çkmaktadr.

Bu çal mada tek boyutlu bir kesme problemi ele alnacaktr. Tek boyutlu kesme problemleri NP zor olarak nitelendirilen kombinatoryal problemlerden biridir (Garey ve Johnson,1979). Kesme problemleri ile ilgili literatürde çok sayda çal ma bulunmaktadr. Bu alanda yaplan çal malar ve geli tirilen çözüm yöntemleri, Gilmore ve Gomory (1961,1963)’ nin tek boyutlu kesme problemleri ile ilgili do rusal programlama yöntemini kulland  çal malardan sonra hz kazanm tr (Chiong vd., 2010). Son dönemlerde yaplan çal malarda kesin çözüm veren modeller ile sezgisel yöntemlerin bir arada kullanm ön plana çkm tr. Aktin ve Özdemir (2009) tek boyutlu kesme problemleri için iki a amal bir yakla m sunmu tur.

lk a amada olu turduklar sezgisel algoritma aracl yla kesim ekli alternatifleri olu turulup, ikinci a amada kesim plan kararlar vermi lerdir. ki a amada da tamsayl do rusal programlamay

kullanm lardr. Wongprakornkul ve Charnsethikul (2010) tek boyutlu kesme problemi için kesikli talep durumunda stoklama maliyetlerini de göz önünde bulunduran iki algoritma önermi tir. Bunlardan ilki sütun olu turma tekni ine dayal bir matematiksel model, ikincisi yapc bir sezgisel algoritmadr. Reinertsen ve Vossen (2010), sipari lerin termin zamanlarndan önce tamamlanmas kstnn oldu u kesme problemlerinin çözümü için en iyileme modelleri geli tirmi lerdir. Bu modellerde, sipari lerin zamannda kar lanmasna, hammadde firelerinin minimizasyonundan daha çok önem verilmi tir. Geli tirdikleri modellerin çözümünde sütun olu turma prosedürlerini ve en ksa yol algoritmasn kullanm lardr.

Bu çal mada, stoklarda snrl sayda bulunan farkl uzunluktaki, çok sayda hammaddenin, tek boyutlu olarak küçük parçalar halinde kesildi i, Wascher vd. (2007) tarafndan “Tek Boyutlu Çoklu Stok Büyüklüklerinin Kesim Problemi (one-dimensional Multiple Stock Size Cutting Stock Problem- MSSCSP {1}-boyutlu)” eklinde snflandrlan problem incelenecektir. MSSCSP {1}-boyutlu problem tipi ile ilgili literatürde az sayda çal ma bulunmaktadr (Araujo vd.,2010). Belov ve G. Scheithauer (2002) ve Alves ve Carvalho (2008) bu problem için kesin çözüm algoritmalar kullanrken, Lu vd. (2008), Poldi ve Arenales (2009) ve Araujo vd. (2010) sezgisel algoritmalardan yararlanm tr.

Bu çal mada paslanmaz çelik so uk ekillendirme sektöründe faaliyet gösteren bir i letmenin kesme problemi ele alnacaktr. Bu i letme 9 tipte hammadde tedarik etmektedir. Tüm hammadde tipleri için 3000, 4000 ve 6000 mm olmak üzere üç alternatif hammadde boyu bulunmaktadr. letme bir hammadde tipinden birden fazla ürün için kesim yaplabilmekte; ancak bir ürün yalnzca bir tip hammaddeden kesilebilmektedir.

Problem bir sonraki bölümde detayl olarak anlatlacaktr. Çal mada, bu problemin çözümü için iki a amal

bir çözüm yöntemi önerilmi tir. lk a amada, olu turulan sezgisel algoritma aracl  ile her parça ve alternatif hammadde boyu için göz önünde bulundurulan durumlar altnda en az kesim kaybn veren kesim ekilleri elde edilecektir. kinci a amada, bu algoritma ile elde edilen kesim ekilleri, alternatif kesim ekilleri olarak, olu turulan tam sayl do rusal programlama modeline aktarlacaktr. Bu model ile tüm ürünlerin dönemsel taleplerinin minimum kesim kayb ile kar lanmas için hangi hammadde tipinin hangi boyundan kaç adet tedarik edilmesi gerekti i ve bu hammaddelerin hangi kesim ekilleri ile kaç kez kesilmesi gerekti i bulunacaktr. Bir sonraki bölümde, ele alnan problem ayrntl bir ekilde açklanacaktr. Sonraki bölümlerde sezgisel algoritma ve do rusal programlama modelinden bahsedilecek ve elde edilen sonuçlar sunulacaktr.

2. PROBLEM

Bu çal mada çelik so uk ekillendirme sektöründe faaliyet gösteren bir i letmenin MSSCSP {1}- boyutlu problemi, i letmenin gerçek verileri kullanlarak ele alnm tr. Bu i letme, çe itli uzunluklarda çubuk, profil ve boru tedarik etmektedir. Tablo.1’ de hammadde tip ve boylar gösterilmi tir.

Tablo 1. Hammadde Tip ve Boylar

Hammadde Tipi 10 x 1,20 mm boru

10 x 20 x 1,20 mm profil Alternatif Hammadde Boylar

12 x 1,20 mm boru 3000 mm

14 x 1,20 mm boru 4000 mm

22 x 1,20 mm boru 6000 mm

34 x 1,00 mm boru ÇAP 12 mm çubuk ÇAP 7 mm çubuk ÇAP 8 mm çubuk

Tedarik edilen bu hammaddeler, 50’ den fazla üründe kullanlmaktadr. Ürünler sistemin gereksinimlerine göre indirgendi inde toplamda 46 ürün elde edilmektedir. Ürünlerin talepleri yllk olarak alnmaktadr. letme, belirli uzunluklarda tedarik etti i hammaddeleri pres ve testerelerde kesmektedir.

letme, bir boy çubuk veya borudan birden fazla ürün için kesim yapabilmektedir, ancak bir ürün sadece bir tip hammaddeden kesilebilmektedir.

Kesim sürecindeki önemli maliyet unsurlarndan biri, hammaddelerden birden fazla ürün için kesim yapld nda ortaya çkmaktadr. Ürünler için kesim yaplrken, ürünlerin özelliklerine ba l olarak farkl

kalplar kullanlmaktadr. Bir boy hammaddeden birden çok ürün için kesim yaplmak istendi inde, ürün tipine ba l olarak kalp de i imi ve çe itli ayarlar yaplmas gerekmektedir. Bu, i letme için ciddi bir maliyet unsurudur. Bunun yan sra bir boy hammaddeden ikiden fazla ürün kesildi inde bu kalan parçalarn stoklanmas ve hangi ürün kesilece ini belirtecek ekilde stoklamak da sistemde sorunlara yol açacaktr. Bu nedenle i letme, bir boy hammaddeden mümkün oldu u kadar tek tip ürün için parça kesimi yapmaktadr. Bu kesim sonras hammaddeden kalan parça ba ka bir ya da birkaç ürün için kullanlabilecek boyda ise kullanlmakta, kullanlamayacak boyda ise hurdaya ayrlmaktadr. Bu da i letme için ciddi bir maliyet unsurudur.

Bu çal mada i letmenin hammadde kesim sürecinde en ciddi maliyet payn olu turan bu iki unsur göz önünde bulundurularak, bu sürecin minimum maliyetle gerçekle mesini sa layacak, i letmenin amacna uygun kesim planlarnn çok ksa sürede olu turulmas hedeflenmektedir.

Bu amaçla, kesim srasndaki parça tiplerindeki geçi lerde ya anan skntlar ve ortaya çkan maliyetleri en aza indirgemek amac ile öncelikle bir boy hammaddeden en fazla iki tip parça kesimine izin veren bir sezgisel algoritma olu turulmu tur. Bu sezgisel algoritma ile elde edilen kesim ekilleri, ikinci a amadaki do rusal programlama modeline aktarlm tr. Geli tirilen sezgisel algoritma bir sonraki bölümde ayrntl

olarak açklanmaktadr.

3. SEZG SEL ALGOR TMA

Kombinatoryal problemlerden biri olan kesme problemlerinde, problemin boyutu arttkça makul sürelerde en iyi çözümlerin elde edilmesi oldukça zorla maktadr. Bu çal mada ele alnan problemde, 9 tip ve 3 farkl boyda hammaddeden 46 farkl ürün için parça kesimi yaplmaktadr. Problemin boyutu dü ünüldü ünde, tüm alternatif kesim ekillerinin belirlenmesi ve en dü ük fire miktar ve ayar süresini veren optimum kesim planlarnn olu turulmasnn makul sürelerde gerçekle tirilemeyece i görülmektedir. Bu nedenle, tüm olurlu kesim ekillerini bulmak yerine, i letmenin amaçlarna uygun alternatif kesim ekillerini elde etmek istenmi tir. Bu amaçla olu turulan sezgisel algoritmann i leyi yaps ve admlar a a da açklanm tr:

Parametreler:

i parça indisi; i=1,,..,,I m parça seti elemanlar indisi

j kesim ekli indisi; j=1,…,J k hammadde indisi; k=1,..,K

L_k k hammaddesinin boyu li i parçasnn boyu

nmaxi k hammaddesinden i parçasnn kesilebilece i maksimum say (Lk-nmaxi*li < li) kalanki1 k hammaddesinden i parçasnn nmaxi kere kesimi sonucu kalan miktar

kalanki2 k hammaddesinden i parçasnn nmaxi -1 kere kesimi sonucu kalan miktar

kalankim1 k hammaddesinden i parçasnn nmaxi kere kesimi sonras m parçasnn nmaxm defa kesimi sonucu kalan miktar

kalankim2 k hammaddesinden i parçasnn nmaxi -1 kere kesimi sonras m parçasnn nmaxm defa kesimi sonucu kalan miktar

Algoritma:

Yukarda açklanan algoritma C# dilinde kodlanm tr. Bu algoritma ile her parça ve o parçann kesiminin yaplaca  hammaddenin 3 boyu için, kesime o parça ile ba lanan en az birer tane kesim ekli elde edilmi tir. Her kesim eklinde en fazla iki tip parça yer almaktadr. Bu, kesim srasndaki parça tiplerindeki geçi lerde ya anan skntlar azaltacaktr. Algoritma 1 saniyenin altnda bir sürede çözüm vermektedir. 9 hammaddenin 3000 mm’ lik boyu için 47, 4000 mm için 49 ve 6000 mm için 48 kesim ekli elde edilmi tir.

A a da, algoritmann çözümü sonucu elde edilen kesim ekillerinden örnekler verilmi tir.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5

8. hammadde 3000 mm 1. parça kesim says: 28, 5. parça kesim says:1, fire miktar: 3.8 mm 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16

9. hammadde 4000 mm 15. parça kesim says: 21, 16. parça:1, fire miktar: 2.4 mm

43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 35

6. hammadde 6000 mm 43. parça kesim says:11, 35. parça kesim says: 1, fire miktar: 18 mm ekil 1. Örnek Kesim ekilleri

I. k hammaddesinin ilk alternatif boyundan ba layarak tüm alternatif boylar için a a daki admlar uygula ( lk olarak 3000, daha sonra 4000 ve son olarak 6000 mm)

II. k hammaddesinden kesilebilen parça setini, parça numarasna göre küçükten büyü e srala ( kiçin)

III. parça setinin ilk elemanndan son elemanna kadar sras ile a a daki admlar

uygula

IV. kalanki1 ve kalanki2 de erlerini hesapla

V. parça listesindeki di er parçalar için (m i) sras ile

VI. kalanki1> lm ise

- kalankim1 de erini hesapla VII. kalanki2> lm ise

- kalankim2 de erini hesapla

VIII. kalanki1< lm ise kalanki1 de erini kaydet IX. kalanki2< lm ise kalanki2 de erini kaydet

ekil 1’ de, sezgisel algoritmann çözümü ile elde edilen kesim ekillerinden üç tanesi verilmi tir.

Krmz ile boyanm bölüm, hammadde fire miktarn göstermektedir. Verilen ilk örnekte 8. hammaddenin 3000 mm’ lik boyundan 1. parça 28 kez, 5. parça 1 kez kesilmi tir. Hammaddenin sonunda kalan 3.8 mm’ lik bölüm fire miktardr.

Bu algoritma ile elde edilen kesim ekilleri, tüm olurlu kesim ekilleri içinde en az fireyi veren optimum kesim ekilleri de ildir. Burada amaç, kesim i lemi srasndaki parça tipi de i imlerinden ve hammadde fire miktarlarndan do an maliyetleri ayn anda en aza indirgemeye çal an, amaca uygun kesim ekillerine ksa sürede ula abilmektir. Bu a amada elde edilen alternatif kesim ekilleri, bir sonraki bölümde açklanacak olan tam sayl do rusal programlama modeline girdi olarak sunulmu tur.

4. MATEMAT KSEL MODEL

Sezgisel algoritma ile kesim planna alnabilecek alternatif kesim ekillerinin olu turulmasndan sonra, tüm ürünlerin dönemsel taleplerinin minimum fire miktar ile kar lanmas için bu alternatiflerden hangilerinin kaç kez kullanlaca nn ve hangi hammadde tipinin hangi boyundan kaç adet tedarik edilmesi gerekti inin belirlenmesi gerekmektedir. Bu amaç ile a a da belirtilen tam sayl do rusal programlama modeli olu turulmu tur. Matematiksel modelde, sezgisel algoritmada kullanlan parça ve hammadde indisleri kullanlm tr. Bunlar d nda kullanlan parametre ve karar de i kenleri a a da belirtilmi tir.

Parametreler

talepi i. parçann talebi

ksji j. kesim eklinde i parçasnn kesim says

fire_kj k. hammaddenin j kesim ekli ile kesilmesi sonucu ortaya çkan fire miktar

Mkj k. hammadde j. kesim ekliyle kesilebiliyorsa 1, di er türlü 0 Ck k hammaddesinden mevcut olan miktar

Karar De i keni

X

Min Z=

J K

j k

,

1 , 1

fire_kj . Xj (1) s.t.

ksji . Xj . M kj talep i i için (2) ksji . Xj . M kj 1.1 . talep i i için (3)

J

j 1

Xj * M kj Ck k için (4)

Xj 0 ve tam say j için (5)

Amaç fonksiyonu (1) tüm hammadde tip ve boylar için, toplam fire miktarn minimize etmeyi amaçlamaktadr. Modeldeki ilk kst (2), tüm parçalarn talep miktarlarnn kar lanmasn garanti eder.

Burada her parçann talebi, parçann kesilebilece i hammaddenin tüm boylar için, sezgisel yöntem ile elde edilen kesim ekillerinden seçilenlerin X adet kullanlmas ile kar lanmaktadr. (3) numaral kst ise her parçann yllk olarak kesilecek miktarnn parçann yllk talebini, talebinin %10’ undan daha fazla a mamas

için yazlm olan ksttr. letme, mü terileri ile yapm oldu u anla malara göre her ürün için yllk talep miktarnn %10 alt ya da üstündeki talep de i imlerini kar layabilmelidir. Bu nedenle matematiksel modelde böyle bir ksta yer verilmi tir. Bir sonraki kst (4), her hammadde tipi için kesim planna alnacak olan miktarn, stokta bulunan hammadde miktarn a amayaca n ifade etmektedir. Bu çal mada ele alnan problemde tüm hammadde tip ve boylar için stoklarda snrl fakat tüm ürünler için gerekli olan parçalar

kesmeye yetecek düzeyde stok bulunmaktadr. (5) numaral kst ise her kesim eklinin kesim planna kaç kez alnd n gösteren X karar de i keninin 0 ya da pozitif bir tamsay olmas gerekti ini ifade etmektedir.

Tablo 2. Parça Tiplerinin Yllk Kesim Miktar - Hammadde Tipi ve Boyu çin Yllk Gerekli Miktarlar

Parça Tipi

Kesilecek Parça Miktar

Talep Fark

Hammadd e Tipi

3000 mm 4000 mm 6000 mm

1 6506 6500 6 1 1 177 2884

2 11509 11500 9 2 2151 602 329

3 135267 135200 67 3 1541 2459 0

4 3205 3200 5 4 0 4393 7000

5 7507 7500 7 5 1139 265 0

6 76330 76330 0 6 242 858 119

7 2109 2100 9 7 295 2150 870

8 2112 2100 12 8 626 837 5854

9 2184 2180 4 9 240 2962 1126

10 17878 17877 1

11 8633 8422 211

12 4500 4500 0

13 40018 40000 18

14 6528 6500 28

15 4016 4000 16

16 16010 16000 10

17 12504 12500 4

18 47270 43000 4270

19 4200 4200 0

20 3952 3600 352

21 19006 19000 6

22 1001 1000 1

23 1602 1600 2

24 6594 6000 594

25 4501 4500 1

26 48006 48000 6

27 22601 22600 1

28 35738 32500 3238

29 44262 44250 12

30 92253 92250 3

31 175000 175000 0

32 15946 14500 1446

33 1655 1650 5

34 3609 3600 9

35 549 500 49

36 513 500 13

37 550 500 50

38 1113 1100 13

39 507 500 7

40 500 500 0

41 12502 12500 2

42 550 500 50

43 502 500 2

44 15050 15048 2

45 36567 36564 3

46 14268 14256 12

Bu matematiksel modelin çözümüyle i letme, tüm parçalarn yllk taleplerini en az toplam kesim kaybyla kar lamak için 9 tip hammaddenin üç farkl boyundan kaçar adet kullanmas gerekti ini bulacaktr.

Model Lingo 9 program ile 9 saniyede global optimum sonuç vermi tir. Modelin sonuçlarna göre her hammadde tipi ve boyu için yllk gerekli miktarlar, her parça tipinin yllk kesim miktar ve yllk talep ile kesim miktar arasndaki farklar Tablo 2’ de verilmi tir.

Matematiksel modelin sonuçlarna göre, i letme tüm ürünlerin yllk talebini kar lamak için toplam olarak 51262 adet hammadde tedarik etmelidir. Bu hammaddelerin 13114 tanesinden sadece tek tip parça kesilmelidir. Geriye kalan 38148 adet hammaddeden ise iki tip parça kesimi yaplmaldr. Mevcut durumda i letme, kesim i lemini bütünsel bir süreç olarak ele almamaktadr. Bir hammadde boyundan kesim yaparken mümkün oldu unca tek tip parça kesmekte, kesim sonras kalan parça kullanlabilir uzunlukta ise bu parçadan bir ya da birkaç ürün için kesim yapmaktadr. Kesilecek tüm hammaddeler için bu i lemi ayr ayr

gerçekle tirmektedir. Bu çal mada önerilen iki a amal yöntem ile i letme, tüm kesim sürecini, ayar sürelerini de göz önünde bulundurarak en az fire ile gerçekle tirmi olacaktr. Önerilen yöntem tüm süreci göz önünde bulundurdu u ve bir hammaddeden en fazla iki tip parça kesimine izin verdi i için i letme ayar sürelerinde ciddi azalma ya ayacaktr. Ayn zamanda önerilen yöntem ile i letme, mü terileri ile yapm

oldu u anla malarda belirtilmi olan maksimum talep de i ikli i orann göz önünde bulundurarak kesim yapm olacaktr. Bu yöntemin alternatif algoritmalardan çözüm süresi d ndaki fark olarak, i letmenin kesim sürecini uzun dönemli olarak ele almas ve talep de i kenli i üst limitini göz önünde bulundurmas

söylenebilir.

5. SONUÇ VE DE ERLEND RME

Bu çal mada çelik so uk ekillendirme sektöründe faaliyet gösteren bir i letmenin MSSCSP {1}- boyutlu problemi, i letmenin gerçek verileri kullanlarak ele alnm tr. letme 9 tipte ve 3 farkl boyda hammadde tedarik etmekte ve bu hammaddelerden 46 tipte parça kesilmektedir. Kombinatoryal problemlerden biri olan kesme problemlerinde, bu boyuttaki bir problem için makul bir sürede optimal çözüm elde etmek oldukça zordur. Bu nedenle, i letmenin kesim sürecindeki en önemli iki maliyet unsuru olan toplam fire miktar ve kesim srasnda parça de i imleri srasndaki ayar sürelerini göz önünde bulunduran bir sezgisel algoritma geli tirilmi tir. Bu algoritma ile 1 saniyenin altnda bir sürede her parça ve hammadde boyu için alternatif kesim ekilleri olu turulmu tur. Olu turulan bu kesim ekilleri, tam sayl

do rusal programlama modeline aktarlm tr. Bu modelde, tüm ürünlerin dönemsel taleplerinin minimum kesim kayb ile kar lanmas için hangi hammadde tipinin hangi boyundan kaç adet tedarik edilmesi gerekti i ve bu hammaddelerin hangi kesim ekilleri ile kaç kez kesilmesi gerekti i belirlenmi tir. Modelde ayn

zamanda, i letmenin her parça için yllk parça kesiminin, talebin %10’ undan daha fazla yaplmamas

sa lanm tr. Çal mada önerilen iki a amal yöntem, çok ksa sürede i letmenin problemine çözüm bulabilmekte, kesim srasndaki parça de i imlerindeki ayar sürelerini de göz önünde bulundurarak toplam fire miktarn minimize etmektedir.

KAYNAKÇA

Aktin, T. ve Ozdemir, R.G. (2009), “An integrated approach to the one-dimensional cutting stock problem in coronary stent manufacturing”, European Journal of Operational Research, 196: 737–743.

Alves, C., Carvalho, J. M. V. (2008), “A stabilized branch-and-price-and-cut algorithm for the multiple length cutting stock problem”, Computers and Operations Research, 35: 1315- 1328.

Araujo, S.A., Constatntino, A.A. ve Poldi, K.C.(2011), “An evolutionary algorithm for the one- dimensional cutting stock problem”, International Transactions in Operational Research, 18 (1): 115–127.

Belov, G. ve Scheithauer, G. (2002), “A cutting plane algorithm for the one-dimensional cutting stock problem with multiple stock lengths”, European Journal of Operational Research, 141:274–294.

Chiong, R. (2007), “A Comparison between Genetic Algorithms and Evolutionary Programming based on Cutting Stock Problem”, Engineering Letters, 14:1.

Garey, M.R. ve Johnson, D.S. (1979), Computers and intractability:a guide to the Theory of NP- Completeness, W.H. Freeman and Company, San Francisco, CA, USA.

Gilmore, P.C. ve Gomory, R.E. (1961), “ A linear programming approach to the cutting stock problem”, Operations Research, 9: 849–859.

Gilmore, P.C., Gomory, R.E. (1963), “ A linear programming approach to the cutting stock problem – part II”, Operations Research, 11:863–888.

Hinxman, A. (1980), “The trim-loss and assortment problems: A survey”, European Journal of Operational Research, 5: 8–18.

Jahromi, M.H.M.A, Tavakkoli-Moghaddam R., Givaki E. ve Rezapour-Ziba A. (2011), “ A Simulated Annealing Approach for a Standard One-Dimensional Cutting Stock Problem”, International Journal of Academic Research, 3(1): 353-358.

Lu, Q., Wang, Z. ve Chen M. (2008), “An Ant Colony Optimization Algorith for the One-Dimensional Cutting Stock Problem with Multiple Stock Lengths”, Proceeding ICNC '08 Proceedings of the 2008 Fourth International Conference on Natural Computation , Vol: 07.

Poldi, K. C., Arenales, M. N. (2009), “ Heuristics for the one dimensional cutting stock problem with limited multiple stock lengths”,Computers and Operations Research, 36:2074-2081.

Reinertsen, H. ve Vossen, T.W.M. (2010),“The one-dimensional cutting stock problem with due dates”, European Journal of Operational Research, 201:701–711.

Wascher, G., Haubner, H. ve Schumann, H. (2007), “An improved typology of cutting and packing problems”, European Journal of Operational Research, 183: 1109–1130.

Wongprakornkul, S. ve Charnsethikul, P. (2010), “Solving One-Dimensional Cutting Stock Problem with Discrete Demands and Capacitated Planning Objective”,Journal of Mathematics and Statistics, 6(2):

79-83.

Yanasse, H. H. ve Lamosa, M.J.P. (2006), “An integrated cutting stock and sequencing problem”, European Journal of Operational Research, 183(3):1353-1370.