MTS 225 ˙Integral Hesap (2018-19) D¨onem Sonu Sınavı C¸ ¨oz¨umler
1.
1
y =p3 x
2 x 2
y
y =p4 x2 0 ≤ x ≤ 1, √
3 x ≤ y ≤ √
4 − x2 e¸sitsizlikleri, yanda g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi, daire dilimini ¸seklindeki (B b¨olgesini) belirtir. Bunun sonucu olarak
Z 1 0
Z √4−x2
√3x
dy 1 + x2+ y2
! dx=
Z
B
1
1 + x2 + y2 dA olur.
Bu b¨olge (ve 1+x12+y2 fonksiyonu) kutupsal koordinatlarda i¸slem yapmaya daha uygundur.
Kutupsal koordinatlarda, B : π3 ≤ θ ≤ π2, 0 ≤ r ≤ 2 ¸seklindedir. ˙Iki katlı integrallerde de˘gi¸sken de˘gi¸sikli˘gi teoreminden
Z
B
1
1 + x2+ y2 dA= Z π2
π 3
Z 2 0
1
1 + r2r dr
dθ=
Z π2
π 3
ln(1 + r2) 2
2
0
dθ = πln 5 12
2.
x= y
x=y+22
x y
1 2
2
˙Integrasyon b¨olgesi (ikinci Tip olarak):
B : 0 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y+22 olarak yazılabilir.
¯ x=
R
Bxρ(x, y) dA R
Bρ(x, y) dA y¯= R
Byρ(x, y) dA R
Bρ(x, y) dA dir.
Fubini Teoreminden (her s¨urekli f fonksiyonu i¸cin):
Z
B
f(x, y) dA = Z 2
0
Z y+22
y
f(x, y) dx
!
dy dir.
Z
B
ρ(x, y) dA = Z 2
0
Z y+22
y
y dx
! dy=
Z 2 0
y− y2
2
dy= 2 3 Z
B
yρ(x, y) dA = Z 2
0
Z y+22
y
y2dx
! dy=
Z 2
0
y2− y3 2
dy = 2
3 y¯= 1
3.
1
2 3
x
y z
z = 3 − 3x −32y
1 2
x y
= 2−2x
(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) noktalarından ge¸cen d¨uzle- min denklemi 6x + 3y + 2z = 6 dır. Buradan
B = {(x, y, z) : (x, y) ∈ B′, 0 ≤ z ≤ 3 − 3x − 32y} (I. Tip olarak) B′ : 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 2 − 2x (B′ aynı zamanda II. Tip b¨olgedir.)
K¨utle=R
By dV. Fubini nin Teoreminden,
K¨utle = Z
B′
Z 3−3x−32y 0
y dz
!
y dA= Z 1
0
Z 2−2x
0
Z 3−3x−32y 0
y dz dy dx
= Z 1
0
Z 2−2x
0
3y − 3xy − 3 2y2
dy dx= Z 1
0
3
2(2 − 2x)2 −3
2x(2 − 2x)2− 1
2(2 − 2x)3
dx= 1 2
1
4.
x
y z
9
−3 x
y K¨utle=R
Bµ(x, y, z) dV = R
Bpx2+ y2dV
B = {(x, y, z) : (x, y) ∈ B′, 0 ≤ z ≤ 9 − x2− y2} B′ = {(x, y) : −3 ≤ x ≤ 3, −√
9 − x2 ≤ y ≤√
9 − x2} (Silindirik Koordinatlarda)
B = {(r, θ, z) : 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 9 − r2}
Z
B
px2+ y2dV = Z 2π
0
Z 3
0
Z 9−r2
0
r dz
!
r dr dθ = Z 2π
0
Z 3
0
(9r2− r4) dr dθ
= Z 2π
0
3r3−r5 5
3
0
dθ = 324π 5
5.
z =
p3x2+ 3y2
x2+ y2+ z2= 4z z
x
x
K¨uresel koordinatlarda :
K¨ure: ρ2 = 4ρ cos φ, ρ= 4 cos φ Koni: ρ cos φ = √
3 ρ sin φ, tan φ = √13, φ= π6
K¨utle = Z
B
µ(x, y, z) dV = Z
B
ρ dV
= Z 2π
0
Z π6
0
Z 4 cosφ 0
ρ· ρ2sin φ dρ dφ dθ
K¨utle = Z 2π
0
Z π6
0
Z 4 cosφ 0
ρ3sin φ dρ dφ dθ = Z 2π
0
Z π6
0
ρ4 4 sin φ
4 cosφ
0
dφ dθ
= Z 2π
0
Z π6
0
64 cos4φsin φ dφ dθ = Z 2π
0
Z π6
0
−64 5 cos5φ
π 6
0
dθ = 128π
5 1 −9√ 3 32
!
2
